200610高等数学自考
最新10月全国自学考试高等数学(工本)试题及答案解析
全国2018年10月自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1. 向量a ={-1，-3，4}与x 轴正向的夹角α满足（ ）A. 0<1<α<2πB. α=2π C. 2π<α<π D. α=π2. 设函数f (x , y )=x +y, 则点（0，0）是f (x ,y )的（ ）A. 极值点B. 连续点C. 间断点D. 驻点3. 设积分区域D ：x 2+y 2≤1, x ≥0, 则二重积分⎰⎰D ydxdy 的值（ ） A. 小于零B. 等于零C. 大于零D. 不是常数 4. 微分方程xy ′+y =x +3是（ ）A. 可分离变量的微分方程B. 齐次微分方程C. 一阶线性齐次微分方程D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 设无穷级数∑∞=1n p n收敛，则在下列数值中p 的取值为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 已知向量a ={3，0，-1}和b ={1，-2，1} 则a -3b =___________.7. 设函数z =2x 2+y 2，则全微分dz=___________.8. 设积分区域D 由y =x , x =1及y =0所围成，将二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为直角坐标下的二次积分为___________.9. 微分方程y ″+3y =6x 的一个特解y *=___________.10. 无穷级数14332232323232+++++n nΛ+…的和为___________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11. 求过点（-1，-2，3）并且与直线223-=-=z y x 垂直的平面方程. 12. 求曲线x =t , y =t 2, z =t 3在点（1，1，1）处的切线方程.13. 求函数f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2在点P （1，2，1）处的梯度.14. 设方程e z -x 2y +z =3确定函数z =z (x , y ), 求xz ∂∂. 15. 计算二重积分⎰⎰--Dy x dxdy e 22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤2. 16. 计算三重积分⎰⎰⎰Ωxdxdydz ，其中积分区域Ω是由x =0, y =0, z =0及x +y +z =1所围成.17. 计算对坐标的曲线积分⎰++C dy x y xdx )(, 其中C 为从点（1，0）到点（2，1）的直线段.18. 计算对面积的曲面积分⎰⎰∑xyzdS ，其中∑为球面x 2+y 2+z 2=a 2(a >0). 19. 求微分方程(1+x )dx -(1+y )dy =0的通解.20. 求微分方程y ″+ y ′-12y =0的通解.21. 判断级数∑∞=+⋅13)1(2n n n n 的敛散性. 22. 求幂级数∑∞=12n n nx 的收敛区间. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23. 求函数f (x , y )=x 3+3xy 2-15x -12y 的极值点.24. 求曲面z=22y x +(0≤z ≤1)的面积.25. 将函数f (x )=ln(1+x )展开为x 的幂级数.。
自考高等数学一历年真题
全国2010年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1.设函数x x f 31)(+=的反函数为)(x g ，则)10(g =（ ）A.-2B.-1C.2D.32.下列极限中，极限值等于1的是（ ）A.e)11(limxx x -∞→ B.x x x sin lim ∞→ C.2)1(lim xx x x +∞→ D.x xx arctan lim ∞→3.已知曲线x x y 22-=在点M 处的切线平行于x 轴，则切点M 的坐标为A.(-1，3)B.(1，-1)C.(0，0)D.(1，1) 4.设C x F x x f +=⎰)(d )(，则不定积分⎰x f xxd )2(2=（ ）A.C F x +2ln )2( B.F (2x )+C C.F (2x )ln2+C D.2x F (2x )+C5.若函数),(y x z z=的全微分y y x x y z d cos d sin d +=，则二阶偏导数yx z∂∂∂2=（ ）A.x sin - B.y sin C.x cos D.y cos 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 6.设函数f (x )的定义域为[0，4]，则f (x 2)的定义域是______.7.极限=-+-∞→17272lim n nnn n ______. 8.设某产品的成本函数为C (q )=1000+82q ，则产量q =120时的边际成本为______.9.函数212x xy -=在x =0处的微分d y =______.10.曲线2ln -+=x x xy 的水平渐近线为______.11.设函数f (x )=x (x -1)(x -2)(x -3)，则方程0)(='x f 的实根个数为______.12.导数⎰=-xt t t xd )1(d d ______.13.定积分x x d |1|20⎰-=______.14.二元函数f (x ，y )=x 2+y 4-1的极小值为______. 15.设y =y (x )是由方程e y -xy =e 所确定的隐函数，则导数xy d d =______.三、计算题(一)(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 16.设函数||sin )(x x x x f -=，问能否补充定义f (0)使函数在x =0处连续?并说17.求极限)5cos 1(lim 2xx x -∞→. 18.设函数y =ax 3+bx 2+cx+2在x =0处取得极值，且其图形上有拐点(-1，4)，求常数a ，b ，c 的值. 19.求微分方程)1()2(322y x y y ++='的通解.20.求不定积分⎰--x xx d 112.四、计算题(二)(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 21.设函数f (x )=sin e -x ，求)0()0()0(f f f ''+'+.22.计算定积分⎰-=121d 12arctanx x I .23.计算二重积分⎰⎰+=Dy x y xI d d )1(2，其中D 是由直线y =x ，y =2-x 及y轴所围成的区域.五、应用题(本题9分)24.在一天内，某用户t 时刻用电的电流为2)24(1001)(2+-=t t t I (安培)，其中240≤≤t .(1)求电流I (t )单调增加的时间段；(2)若电流I (t )超过25安培系统自动断电，问该用户能否在一天内不被断电?六、证明题(本题5分)25.设函数f (x )，g (x )在区间[-a ，a ]上连续，g (x )为偶函数，且f (-x )+f (x )=2. 证明：⎰⎰-=aaax x g x x g x f 0d )(2d )()(.全国2010年1月高等教育自学考试高等数学（一）试题 课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
自考试卷 自考 高等数学(工本)试题
自考高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知函数,则( )A.2x-2yB.2x2yC.x yD.x-y2.设函数,则点（0，0）是f(x,y)的（）A.间断点B.驻点C.极小值点D.极大值点3.顶点坐标为（0，0），（0，1），（1，1）的三角形面积可以表示为（）A. B.C. D.4.微分方程是（）A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微分方程5.幂级数的和函数为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设向量,，则=______________.7.已知函数,则______________.8.设∑为上半球面,则对面积的曲面积分______________.9.微分方程用待定系数法求特解时，的形式应设为______________.10.设是周期为的周期函数，它在上表达式为是傅里叶级数的和函数，则______________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.设平面π：和直线L:,求平面π与直线L的夹角φ.12.设方程确定函数，求13.设函数,求全微分.14.求函数在点处，沿与x轴正向成45°角的方向l的方向导数.15求曲面上平行于平面的切平面方程.16.计算二重积分,其中积分区域.17.计算三重积分.其中积分区域≤1,-1≤y≤0,0≤z≤2.18.计算对弧长的曲线积分其中L为圆周19.计算对坐标的曲线积分其中L是抛物线上从点（-1，1）到点（1，1）的一段弧.20.求微分方程的通解.21.判断级数是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛？22.已知无穷级数收敛，并且(1)求(2)求四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23.用钢板做一个容积为8cm3的长方体箱子，试问其长、宽、高各为多少cm时，可使所使用的钢板最省？24.验证在整个平面内是某个二元函数的全微分，并求这样的一个25.将函数展开成的幂级数.。
全国2006年4月高等教育自学考试 高等数学(一)试题 课程代码00020
浙00020# 高等数学（一）试题 第 1 页 共 3 页全国2006年4月高等教育自学考试高等数学（一）试题课程代码：00020一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．已知f(x)的定义域是[0,3a]，则f(x+a)+f(x-a)的定义域是（ ） A ．[a,3a] B ．[a,2a] C ．[-a,4a]D ．[0,2a]2．=→xsin x 1sinx lim20x （ ）A ．1B ．∞C ．不存在D ．03．设D=D （p ）是市场对某一商品的需求函数，其中p 是商品价格，D 是市场需求量，则需求价格弹性是（ ） A ．)p ('D p D-B ．)p ('D D p-C ．)D ('p pD-D ．)D ('p Dp-4．=⎰→xtdtcos limx2x （ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞5．⎰⎰≤+=222y x dxdy （ ）A ．πB ．4C ．2πD ．2二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
浙00020# 高等数学（一）试题 第 2 页 共 3 页6．若f(x+1)=x+cosx 则f(1)=__________.7．.__________1n 5n )n 1(lim 233x =++-∞→ 8．若f(x)在x=x 0处可导，且.__________)x ('f ,3h)h 5x (f )x (f lim0000h ==+-→则9．曲线y=x 3-5x 2+3x+5的拐点是__________. 10．曲线y=xe -x 为凹的区间是__________. 11．⎰=.__________xdx ln12．微分方程e x y ′-1=0的通解是__________. 13．⎰-=-31.__________dx |x 2|14．⎰+∞=+12.__________xx dx15．设z=.__________sin 2=∂∂yzx y 则三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16．设y='.11333y x x求-+17．求极限.)x2x (lim x3x +∞→ 18．计算不定积分.dx e1x 2⎰-19．计算定积分⎰+1.dx x1x20．设z=f(.,),dz f yx求可微且 四、计算题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 21．设y=x 2(lnx-1)-(1-x 2)lnx,求ex dx dy=.浙00020# 高等数学（一）试题 第 3 页 共 3 页22．将一长为l 的铁丝截成两段，并将其中一段围成正方形，另一段围成圆形，为使正方形与圆形面积之和最小，问这两段铁丝的长应各为多少？23．设D 是由x 轴，y=x-4和y=⎰⎰D.xydxdy .x 2试求所围成的闭区域五、应用题（本大题9分）24．已知某企业生产某种产品q 件时，MC=5千元/件，MR=10-0.02q 千元/件，又知当q=10件时，总成本为250千元，求最大利润.（其中边际成本函数MC=,dqdC边际收益函数MR=)dqdR 六、证明题（本大题5分） 25．设f(x)=⎰⎰-===xt dx x f ttdt t t ππ.2)(),1sin (sin 证明定义。
2019年10月自考考试00020高等数学(一)真题试卷及参考答案
全国2019年10月高等教育自学考试高等数学（一）试题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 下列函数为奇函数的是（）。
A. 2x sin x B. 2x cos x C. xsinx D. xcosx【正确答案】D【答案解析】已知奇函数满足()()f x f x ，因为D 选项中令()cos f x x x ，有()cos f x x x ，满足奇函数条件，故选择D 。
参见教材P31。
【知识点】函数的奇偶性。
2. 当0,0x y 时，下列等式成立的是（）。
A.ln ln ln xy x y gB. ln ln ln x y x yC. ln ln ln xy xyD. ln lnln x x yy 【正确答案】C【答案解析】因为对数函数有log ()log log a a a xy x y 的性质，故选C 。
参见教材P38。
【知识点】对数函数。
3. 3342lim 2nn nn（）。
A. 1B. 2C. 3D. 4【正确答案】B【答案解析】3223421224limlimlim226112nnnn n n nnnn。
参见教材P96。
【知识点】洛必达法则。
4. 10()020xexf x x a x a x，已知函数在点处连续，则，（）。
A. 0B.12C. 1D. 2【正确答案】B【答案解析】因为函数在0x处连续，则有0lim ()x f x a ，带入可得0011lim ()lim lim 222xx x x ex f x xx，解得12a，故选B 。
参见教材P63。
【知识点】函数的连续性。
5. 221,1y x x 曲线在点处的切线方程为（）。
A. 32y xB. 34y xC. 22y xD. 24y x 【正确答案】A【答案解析】因为函数在一点处的导数值即为函数在该点处的切线斜率。
所以，先求导得()41f x x ，将1x 带入导数可得斜率(1)3k f 。
然后，设直线方程为，00()yy k xx ，将切线斜率3k和点(1,1)带入可得32yx 。
高等数学一自考题-12
高等数学一自考题-12(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、第Ⅰ部分选择题(总题数：0，分数：0.00)二、单项选择题(总题数：5，分数：10.00)1.______（分数：2.00）A.(-3,3)B.(-4,3)C.(-4,4) √D.(-4,0)解析：[考点] 已知函数定义域的求法[解析] 由|x|≤3得，-3≤x≤3，由3＜|x|＜4得，3＜x＜4或-4＜x＜-3．综上，x∈(-4,4)．故选C．2.要使函数在x=0处连续，应给f (0)补充定义的数值是______A．B．2C．1D．0（分数：2.00）A.B.C. √D.解析：[考点] 函数在某点处的连续性[解析故补充的条件是f(0)=1故选C．3.(2,3)的切线斜率是______（分数：2.00）A.-2B.2 √C.-1D.1解析：[考点] 函数导数的几何意义[解析] 由又因过点(2,3)，故k=2．故选B．4.设f(x)=xln(1+x)，则f′(0)=______（分数：2.00）A.0 √B.1C.-1D.2解析：[考点] 导数的计算[解析] 因故f′(0)=0．故选A．5.曲线y=e -x2上拐点的个数是______（分数：2.00）A.0B.1C.2 √D.3解析：[考点] 曲线拐点的求法[解析] 由题意得：y′=-2xe -x2，y″=-2e -x2 +4x 2 e -x2，令y″=0，故故当时,y″＞0；当时，y″＜0；当时，y″＞0．故点x 1，x 2处都是拐点．故选C．三、第Ⅱ部分非选择题(总题数：0，分数：0.00)四、填空题(总题数：10，分数：30.00)（分数：3.00）解析： [考点] 数列极限的计算[解析] 原式7.设f′(1)= 1．（分数：3.00）解析： [考点] 函数导数的计算[解析] 因故8.设函数y″(0)为 1．（分数：3.00）解析：0 [考点] 函数的微分解法[解析，所以y″(0)=0．9.函数x=3处连续，则A= 1．（分数：3.00）解析：6 [考点] 函数在某点连续的含义[解析] 由于f(x)在点x=3处连续，则，故故A=6．10.函数f(x)=x 3 +4x 2 -7x-10在区间[-1,2]上满足罗尔定理的条件，则定理中的值ξ= 1．（分数：3.00）解析： [考点] 罗尔定理的含义[解析] 罗尔定理：设函数y=f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且f(a)=f(b)，则ξ∈(a，b)，使得f′(ξ)=0．根据题意得：f′(ξ)=3ξ2 +8ξ-7=0，故又因ξ∈[-1,2]，故11.设曲线y=ax 2与y=lnx相切，则a= 1．（分数：3.00）解析： [考点] 导数的几何意义[解析] 由两曲线相切，可知两曲线相切时切线的斜率相等．故(ax 2 )′=(lnx)′，即①又因两曲线相切(即有切点)，故ax 2=lnx. ②由①、②式可解得12.若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫e -x f(e -x )dx= 1．（分数：3.00）解析：-F(e -x )+C [考点] 不定积分的计算[解析] 因∫f(x)dx=F(x)+C，故∫e -x f(e -x )dx=-∫f(e -x )d(e -x )=-F(e -x )+C．13.设商品的收益R与价格P之间的关系为R=6500P-100P 2，则收益R对价格P的弹性为 1．（分数：3.00）解析： [考点] 需求价格弹性[解析14.若f(x+y,x-y)=x 2 -y 2，则（分数：3.00）解析：x+y [考点] 二元函数偏导数的计算[解析] 易得f(x,y)=xy，则（分数：3.00）解析： [考点] 二重积分的计算[解析五、计算题(一)(总题数：5，分数：25.00)（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()17.求函数f(x)=x 4 -2x 2 +5在区间[-1,2]上的最大值和最小值．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解：令f′(x)=4x 3 -4x=4x(x-1)(x+1)=0，得x 1 =-1，x 2 =0，x 3 =1．比较f(±1)=4，f(0)=5，f(2)=13，可知函数在[-1,2]上的最大值为13，最小值为4．18.设，求（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()19.计算（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解：令x=sint，则原式20.求极限（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()六、计算题(二)(总题数：3，分数：21.00)21.设z=f(x,y)是由方程e z -z+xy 3 =0确定的隐函数，求z的全微分dz．（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解：两边关于x求偏导，所以两边关于y求偏导，所以因此：22.设，求（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解：23.计算二重积分D是由直线y=x，y=5x，x=1所围成的平面区域．（分数：7.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解：如图于是七、应用题(总题数：1，分数：9.00)24.某商店以每条100元的价格购进一批牛仔裤，已知市场的需求函数为Q=400-2p，问怎样选择牛仔裤的售价p(元/条)，可使所获利润最大，最大利润是多少．（分数：9.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：解：由题意，利润函数为L(p)=pQ-100Q=-2p 2 +600p-40000，求导数令，解得p=150．由于，因此在p=150处L取得极大值．八、证明题(总题数：1，分数：5.00)25.证明方程x 3 -3x+1=0在区间(0,1)内有唯一实根．（分数：5.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()解析：证明：令f(x)=x 3 -3x+1，因为f(0)=1＞0，所以由连续函数的中值定理知所讨论方程在(0,1)内有实根．又由x∈(0,1)时，f′(x)=3(x 2-1)＜0，可知f(x)在(0,1)上是严格单调递减的，所以所讨论方程在(0,1)内仅有一个实根．。
自考高等数学一(微积分)常用公式表
高 数 常 用 公 式 表常用公式表（一）1、乘法公式（1）（a+b ）²=a 2+2ab+b 2 （2）(a-b)²=a ²-2ab+b ² （3）(a+b)(a-b)=a ²-b ² （4）a ³+b ³=(a+b)(a ²-ab+b ²) （5）a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²) 2、指数公式：（1）a 0=1 （a ≠0） （2）a P -=P a 1（a ≠0） （3）a m n=m n a（4）a m a n =a n m + （5）a m ÷a n =n m a a =a n m - （6）（a m ）n=a（7）（ab ）n =a n b n（8）（b a）n =n nb a （9）（a ）2=a（10）2a =|a| 3、指数与对数关系：（1）若a b =N ，则N b a log = （2）若10b=N ，则b=lgN （3）若b e =N ，则b=㏑N 4、对数公式：（1）b a b a =log , ㏑e b=b （2）N a aN =log ，e Nln =N（3）aNN a ln ln log = （4）a b b e a ln = （5）N M MN ln ln ln +=（6）N M N Mln ln ln -= （7）M n M n ln ln = （8）㏑=M n ln 1 5、三角恒等式：（1）（Sin α）²+（Cos α）²=1 （2）1+（tan α）²=(sec α)²（3）1+(cot α)²=(csc α)² （4）αααtan cos sin = （5）αααcot sin cos =（6）ααtan 1cot = （7）ααcos 1csc = （8）ααcos 1sec =6、特殊角三角函数值：αsina 0 1 0 --1 0 cosa 10 --1 0 1 tana 0 1 ∞ 0 --∞ 0 cota∞10 --∞ 0 ∞7.倍角公式：（1）（2）ααα2tan 1tan 22tan -=（3）ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 8.半角公式（降幂公式）：（1）（2sin α）2=2cos 1a - （2）（2cos α）2=2cos 1a + （3）2tan α=a a sin cos 1+=a acos 1sin +9、三角函数与反三角函数关系：（1）若x=siny ，则y=arcsinx （2）若x=cosy ，则y=arccosx（3）若x=tany ，则y=arctanx （4）若x=coty ，则y=arccotx 10、函数定义域求法：（1）分式中的分母不能为0， （a 1α≠0）（2）负数不能开偶次方， （a α≥0） （3）对数中的真数必须大于0， （N a log N>0） （4）反三角函数中arcsinx ，arccosx 的x 满足：（--1≤x ≤1） （5）上面数种情况同时在某函数出现时，此时应取其交集。
高等数学一自考题-2_真题(含答案与解析)-交互
高等数学一自考题-2(总分100, 做题时间90分钟)第一部分选择题一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的。
1.设y=f(x)在区间[0，1]上有定义，则+的定义域是______ A．[0，1] B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D[解析] 由条件0≤≤1且0≤≤1，取交集，其定义域为[]．答案为D．2.设f(x)=cosx2，φ(x)=x2+1，则f[φ(x)]=______•**(x2+1)2•**(x2+1)•**(x2+1)**+1SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:A[解析] ∵f(x)=cosx2，φ(x)=x2+1∴f[φ(x)]=cos[φ2(x)]=cos(x2+1)2．答案为A．3.=______•**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B[解析] ．答案为B．4.设函数在x=0点连续，则k=______A．0B．C．D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D[解析] ，当f(0)=时，即时f(x)在x=0处连续．答案为D．5.已知函数则f(x)在点x=0处______• A.连续但导数不存在• B.间断• C.导数f'(0)=-1• D.导数f'(0)=1SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:B[解析] ，，∴f(x)在点x=0处间断，答案为B．6.函数f(x)=x3在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，适合定理结论的ξ=______A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] 由题知f(1)-f(0)=f'(ξ)(1-0)∴f'(ξ)=1即∴ξ=．答案为C．7.点(1，2)是f(x)=(x-a)3+b对应图形的拐点，则______•**=0，b=1•**=2，b=3•**=1，b=2**=-1，b=-6SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] f(x)=(x-a)3+b，f"(x)=6(x-a)=0，解得x=a，当x=a时，f(x)=b，∴f(x)的拐点是(a，b)，又∵(1，2)是f(x)的拐点，∴a=1，b=2．答案为C．8.=______A． B．C． D．SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] ．答案为C．9.=______•**•**•**D.不存在SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:C[解析] “”型未定式，用洛必达法则，再用变上限积分求导公式求出分子的导数，而．答案为C．10.若函数z=z(x，y)的全微分dz=sinydx+xcosydy，则二阶偏导数=______ •**•**•****SSS_SIMPLE_SINA B C D分值: 3答案:D[解析] ．答案为D．第二部分非选择题二、简单计算题1.求极限．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:原式=2.求抛物线y=x2在点(-2，4)处切线的斜率，并求切线方程和法线方程．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:抛物线y=x2在点(-2，4)处切线的斜率就是函数y=x2在x=-2处的导数，所求切线的斜率为k=y'|x=-2=2x|x=-2=4，切线方程为y-4=-4(x+2)；法线的斜率为，故法线方程为y-4=(x+2)．3.设函数f(x)=xarcsin2x，求二阶导数f"(0)．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:，故f"(0)=4．4.求曲线(a＞0)的凹凸区间与拐点．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:．令y"=0得x=±，列表讨论：和为凸区间，的凹区间；和为拐点．5.计算定积分I=xarctanxdx．SSS_TEXT_QUSTI分值: 4答案:本题考查定积分的求解(分部积分法)．三、计算题1.设x→0时，ln(1+x k)与为等价无穷小量，求k．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:，=0时，极限为1，故．2.利用微分计算arctan1.01的近似值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:设f(x)=arctanx，x0=1，Δx=0.01，则有f(x)=arctan1=，f'(x)=，从而，f'(x0)=，故arctan1.01=f(x+Δx)≈≈0.7904．3.求函数y=的单调区间和极值．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:的定义域为(-∞，+∞)，导数为．导数为零和导数不存在的点为x1=3，x2=-，x3=-2，这三个点将函数定义域分成四个区间，在这四个区间上y'的符号以及函数的单调性、极值如下表所示：4.=0的特解．求方程满足初始条件y|x=1SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:通解为当x=1时，y=0，∴取C=-e，特解为y=x(e x-e)．5.求c的值，使抛物线y=x2-2x与直线y=cx所围成图形的面积是抛物线y=x2-2x 与直线y=0及x=2+c所围成图形面积的一半．SSS_TEXT_QUSTI分值: 5答案:y=x2-2x交x轴于点(0，0)和(2，0)，它与直线y=cx交于点(0，0)和(2+c，2c+c2)．记y=x2-2x与y=cx所围图形的面积为A，则A=．记y=x2-2x与y=0，x=2+c所围图形的面积为B，则B=由B=2A，得，∴．(舍去负值)．四、综合题设某厂某产品的需求函数为Q=116-2P，其中P(万元)为每吨产品的销售价格，Q(吨)为需求量．若生产该产品的固定成本为100(万元)，且每多生产1吨产品，成本增加2(万元)．在产销平衡的情况下：SSS_TEXT_QUSTI1.求收益R与销售价格P的函数关系R(P)分值: 4.XX667答案:收益函数R(P)=QP=116P-2P2．SSS_TEXT_QUSTI2.求成本C与销售价格P的函数关系C(P)分值: 4.XX667答案:成本函数C(P)=100+2Q=100+2(116-2P)=332-4P．SSS_TEXT_QUSTI3.试问如何定价，才能使工厂获得的利润最大?最大利润是多少?分值: 4.XX667答案:利润函数L(P)=R(P)-C(P)=-332+120P-2P2．令L'(P)=120-4P=0，得唯一驻点P=30，并且L"(30)=-4＜0．则当价格P=30(万元)时可获得最大利润，其最大利润为L(30)=1468(万元)．SSS_TEXT_QUSTI4.在抛物线y=x2(第一象限部分，且x≤8)上求一点，使过该点的切线与直线y=0，x=8相交所围成的三角形的面积为最大．分值: 4.XX667答案:，)，过此点的切线方程为：设切点为(x．切线与y=0的交点为，y=0．于是所围面积：，，令S'=0，得(0，8)内唯一驻点，这时，，且，故所求点为，过此点的切线与直线y=0，x=8相交所围面积最大．SSS_TEXT_QUSTI5.求曲线和所围成的平面图形的面积．分值: 4.XX667答案:本题考查定积分的几何应用．平面区域如下图：两曲线交点M，N的坐标由解出为．由对称性，平面图形的面积SSS_TEXT_QUSTI6.某工厂每天生产x单位产品时的总成本为+x+100(元)，若该产品市场需求函数为x=75-3p，其中p为每单位的销售价格，问每天生产多少时获利润最大?此时价格为多少?分值: 4.XX667答案:收入R=px=，利润L=R-C=，L'=，当x=27时，L'=0．L"=，∴当x=27时，利润最大，此时p=16．1。
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全国2006年10月高等教育自学考试
高等数学（工本）试题
课程代码：00023
一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选
均无分。
1．设函数f(x)=1-2x,g[f(x)]=xx1，则g(21)=（ ）
A．-21 B．1
C．2 D．3
2．函数f(x)=x1x25的连接区间是（ ）
A．（-]25, B．（-]25,0()0,
C．（-25,0()0,） D．（-25,）
3．极限x2x)x21(lim（ ）
A．1 B．e
C．e2 D．e4
4．当x→0时，与x2等价的无穷小量是（ ）
A．22x-1 B．sinx
C．ln(1+x2) D．e2x-1
5．曲线y=3x3-2x在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．7x-y-6=0 B．4x-y-3=0
C．x-7y+6=0 D．x+7y-8=0
6．设函数y=lndxdy,x1x1则（ ）
A．x1x1 B．2x12
C．2x1x2 D．1x22
7．当a
A．下降且为上凹的 B．下降且为下凹的
C．上升且为上凹的 D．上升且为下凹的
8．曲线y=1-x1（ ）
A．有一条渐近线 B．有二条渐近线
C．有三条渐近线 D．无渐近线
9．设不定积分C)x(Fdxx12，则函数F（x）=（ ）
A．3x1 B．2x1
C．x1 D．-x1
10．设函数f(x)=0x20xx2，则定积分12dx)x(f（ ）
A．-23 B．3
C．314 D．6
11．设广义积分21q)0q(dx)1x(1收敛，则（ ）
A．q=1 B．q<1
C．q≥1 D．q>1
12．平面x-3y-11=0和平面3x+8=0的夹角为（ ）
A．6 B．3
C．2 D．65
13．方程z=x2+y2在空间直角坐标系中表示的图形是（ ）
A．旋转抛物面 B．上半球面
C．圆柱面 D．圆锥面
14．极限yxyxlim0y0x（ ）
A．等于0 B．等于1
C．等于-1 D．不存在
15．已知函数z=xy(x>0),则xyz2=（ ）
A．yxy B．y(y-1)xy-2
C．xy-1(ylnx+1) D．xy-1(ylnx-1)
16．设C是椭圆：x=acost,y=bsint(0≤t≤2π)，则线积分xdyydxC（ ）
A．0 B．2π
C．πab D．2πab
17．下列函数中哪个不是微分方程y″-4y′+3y=0的解（ ）
A．ex B．e
2x
C．e3x D．ex+1
18．微分方程xy″=y′的通解为（ ）
A．y=C1x+C2 B．y=x2+C
C．y=C1x2+C2 D．y=Cx212
19．下列无穷级数中，绝对收敛的无穷级数是（ ）
A．1n2nn23sin B．1n1nn)1(
C．1n1nn)1( D．1n22n1n
20．当|x|<5时，函数f(x)=x51的麦克劳林展开式是（ ）
A．0nnnx51 B．0nn1nx51
C．1nnnx51 D．1nn1nx51
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
21．函数f(x,y)=yx的定义域为______.
22．极限2x)2xsin(lim0x=______.
23．设函数y=cos2x，则dxdy______.
24．设不定积分Cxxsindx)x(f，则f(x)= ______.
25．定积分302dxx9______.
26．过点（3，-1，2）并且与yoz坐标面垂直的直线方程为______.
27．设函数z=e22y3x2,则全微分dz=______.
28．累积分x010dy)y,x(fdx交换积分次序后为______.
29．设积分区域B：x2+y2≤1，则二重积分deB)yx(22=______.
30．微分方程y″=x满足条件y′(0)=y(0)=0的特解为______.
三、计算题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
31．求极限.xsin5xxsinx5lim0x
32．设方程ex+y-3x+2y2-5=0确定函数y=y(x),求.dxdy
33．已知参数方程)t1ln(yarctgtx2确定函数y=y(x),求.dxyd22
34．计算定积分10.dx)x1(xxarctg
35．将函数f(x)=ln(x2+1)展开为x的幂级数.
四、应用和证明题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
36．证明方程5x4+4x-2=0在0与1之间至少有一个实根.
37．证明不等式
2e.e2dxe220xx412
38．求由抛物线y=x2,直线x=2和x轴所围成的平面图形，绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.