三次数学悖论，引发三次数学危机
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数学悖论与三次数学危机
【编者按】：数学论文是科技论文的一种是用来进行数学科学研究和描述研究成果的论说性文章。
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古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。
N 布尔巴基
什么是悖论?笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。
悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假;由它的假，则可以推出它为真。
由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。
如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。
在这种情况下，悖论往往会直接导致数学危机的产生。
按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止现了三次这样的数学危机。
希帕索斯悖论与第一次数学危机
1。
数学悖论与三次数学危机
欧多克
二百年后，大约在公元前 二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的 年 欧多克索斯建立起一套完整的比例论。 欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的 著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《 著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何 原本》一书第五篇中。 原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可 以避开无理数这一“逻辑上的丑闻” 以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”，并保留住 与之相关的一些结论， 与之相关的一斯的解决方式， 而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式， 是借助几何方法， 是借助几何方法，通过避免直接出现无理数而实 现的。这就生硬地把数和量肢解开来。 现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解 决方案下， 决方案下，对无理数的使用只有在几何中是允许 合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。 的，合法的，在代数中就是非法的，不合逻辑的。 或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符 而不被当作真正的数。 号，而不被当作真正的数。
数学史上把贝克莱的问题称之为“ 数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克 莱悖论” 笼统地说， 莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述 无穷小量究竟是否为0”的问题 的问题： 为“无穷小量究竟是否为 的问题：就无穷 小量在当时实际应用而言，它必须既是0， 小量在当时实际应用而言，它必须既是 ， 又不是0。但从形式逻辑而言， 又不是 。但从形式逻辑而言，这无疑是一 个矛盾。 个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引 起了一定的混乱， 起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危 机的产生。 机的产生。
希帕索斯悖论与第一次数学危机
希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切 相关。因此，我们从勾股定理谈起。 相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是 欧氏几何中最著名的定理之一。 欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒 曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。 曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数 学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用， 学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同 时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。 时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在 我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》 我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中 就已有了关于这一定理的初步认识。不过， 就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我 国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。 国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到 三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证 明。
数学悖论与三次数学危机读后感400字
数学悖论与三次数学危机读后感400字今天我看了纪录片《数学的三次危机》，我特别有感触。
它主要讲述的是数学研究史上出现的三个悖论，分别是：毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论。
这三个悖论，促进了数学研究继续向未知的领域探索，在数学发展史上是有积极的意义的。
在数学研究的路上，因为有了这些不同的声音，才使我们人类不满足于现在，继续向未知的领域探索。
数学在生活当中的应用给我们带来了越来越多的便利。
这些都要归功于数学家的不断研究。
这就好像我们一个人，在成长的过程当中，有人会对我们做的不好的地方，进行指正，指出我们的不足。
这样我们才能够向更完美的自己发展。
结合着我自身的情况，如我的字写得不好。
妈妈和老师都会对我进行有效的教育和指正。
我要虚心接受，要重视起来，认真改正，坚持练字，把字写工整。
而不是无视这个缺点任由其自由发展，这样只会害了我自己。
良药苦口利于病，忠言逆耳利于行。
我们不应该排斥对我们的批评，应该虚心接受，有则改之，无则加勉。
我们在成长的路上经历的一些风雨一定会是我们人生的宝贵财富。
数学悖论与三次数学危机 共38页
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克
莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论可以表述 为“无穷小量究竟是否为0”的问题：就无穷 小量在当时实际应用而言，它必须既是0， 又不是0。但从形式逻辑而言，这无疑是一 个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引 起了一定的混乱，由此导致了第二次数学危 机的产生。
贝克莱
贝克莱悖论与第二次数学危机
第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随 着人们科学理论与实践认识的提高，十七世纪几 乎在同一时期，微积分这一锐利无比的数学工具 为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问 世，就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题 运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿， 还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。 两人的理论都建立在无穷小分析之上，但他们对 作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱 的。因而，从微积分诞生时就遭到了一些人的反 对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克 莱。
实际上，这一伟大发现不但是对毕达 哥拉斯学派的致命打击。对于当时所 有古希腊人的观念这都是一个极大的 冲击。这一结论的悖论性表现在它与 常识的冲突上：任何量，在任何精确 度的范围内都可以表示成有理数。这 不但在希腊当时是人们普遍接受的信 仰，就是在今天，测量技术已经高度 发展时，这个断言也毫无例外是正确 的！
数学悖论与三次数学危机
“……古往今来，为数众多的 悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。”
——N·布尔巴基
什么是悖论？笼统地说，是指这样的 推理过程：它看上去是合理的，但结果却 得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能 得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真， 可以推出它为假；由它的假，则可以推出 它为真。由于严格性被公认为是数学的一 个主要特点，因此如果数学中出现悖论会 造成对数学可靠性的怀疑。
浅谈数学发展史中的三次危机
浅谈数学发展史中的三次危机摘要：在数学发展的历史长河中，危机与发展是并存的。
在数学发展史中出现了三次危机，人们通过对危机的探索，最终消除了它，并促进了数学的不断发展和进步。
第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现进而度过了把第一次数学危机。
第二次数学危机是人们对无穷小的误解，而微积分的出现产生了一种新的方法——分析法，分析法是算和证的结合，是通过无穷趋近而确定某一结果。
罗素悖论的发现，导致了数学史上的第三次危机。
为了探求其根源和解决难题的途径，数学界、逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。
归根结底，导致三次危机的原因，是由于人的认识。
关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合一、前言历史上，数学的发展又顺利也有曲折。
打的挫折也可以叫做危机。
危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。
所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。
每一次危机，都是数学的基本部分受到质疑。
实际上，也恰恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动了数学科学的发展。
二、无理数的发现---第一次数学危机大约公元前５世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。
当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性。
他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此。
这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机。
到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。
他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。
第11讲 三次数学危机与悖论欣赏(优课教资)
谷风课件A
3
一、第一次数学危机
第一次数学危机是由 2 不能写成 两
个整数之比引发的，我们在第一章已专 门讨论过，现再简要回顾一下。
谷风课件A
4
这一危机发生在公元前5世纪，危机 来源于：当时认为所有的数都能表示为整 数比，但突然发现 2 不能表为整数比。
其实质是： 2 是无理数，全体整数之比 构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需 要添加无理数。
11
S t
gt0
1 2
g(t)
（*）
如果是0，上式左端当t 成无穷小后分母为0，就
没有意义了。如果不是0，上式右端的1 g(t) 就不能
任意去掉。
2
在推出上式时，假定了t 0才能做除法，所以
上式的成立是以 t 0为前提的。那么，为什么又
可以让 t 0而求得瞬时速度呢？
因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从
3）实践是检验真理的唯一标准
应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无 穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛 顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清 “无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于 它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。 特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显 示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们 不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的 脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。”
2
们要求物体在 t0 的瞬时速度，先求
S t
。
S
S (t1 )
S(t0 )
1 2
gt12
1 2
gt02
1 2
g[(t0
t ) 2
t02
]
1 2
g[2t0t
第三章若干数学典故中的数学文化
终的比”，就是分子、分母要成为0还不是0时的
比——例如（*）式中的gt，它不是“最终的量的 比”，而是“比所趋近的极限”。 他这里虽然提出和使用了“极限”这个词，但 并没有明确说清这个词的意思。
31
德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积 分，但是也没有明确给出极限的定义。 正因为如此，此后近二百年间的数学家， 都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。 所以，由“无穷小”引发的第二次数学 危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限 理论作为微积分学的基础。
理论的建立。
20
三、第二次数学危机
第二次数学危机发生在牛顿创立微积分
的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉
斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由
牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是
对牛顿 “无穷小量”说法的质疑引起的。
21
1．危机的引发 1）牛顿的“无穷小” 牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴 含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。 我们来看一个例子。 微积分的一个来源，是想求运动物体在某一
次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动 了数学科学的发展。
3
一、什么是悖论
悖论：从“正确”的前提出发，经过“正确”的逻辑推 理，得出荒谬的结论。 理解悖论必须明确以下三点： 1.任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的. 2.悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示. 3.悖论并不是“悖理”、“荒谬”．
芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖
锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，
引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能
不说是巨大的贡献。
13
几个主要的悖论： （1）理发师悖论 村中有一位理发师，村上的人，有的人是自己给 自己刮胡子，有的人不给自己刮胡子．理发师规 定，他只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子． 请问：理发师本人能不能给自己刮胡子？
第三次数学危机的解决【罗素悖论与第三次数学危机】
个数算来算去,忽大忽小,最终都会演化成 4―2―1,因此把 4―2―1 称为
“冰雹数〞十分形象。
鲁宾逊的桌子
这个趣题摘自鲁宾逊的日记,在《鲁宾逊漂流记》的现今版本中你是 找不到的,因为它被删去了。
“第三天早晨,我在沉船漂浮物中找到一块木板,上面有很多洞。我的 仆人星期五始终在叨念,说我们迫切需要一张方桌,用来喝下午茶。于是我 就把这块木板给了他,要他用这块板做成一张没有洞的正方形桌面。我盼
中最基本的东西,所以一经提出就在当时的数学界引起了极大震动,第三
冰雹数
次数学危机由此爆发。
悖论的源头在于康托尔构造集合时使用的概括原则。这一原则说,“全 部满足某种性质〞的元素可以构成一个集合,这样的集合概念很宽泛。因 此要消除悖论就必需建立新的原则来对集合作出某种限制。
任意写出一个正整数 N,将其根据以下规律变换: 假如 N 是奇数,则下一步变成 3N&载可任意编辑，页眉双击删除即可。
假如 N 是偶数,则下一步变成 N/2……
望桌面尽可能大,而且最终成形的桌面最多只能由两块板拼成。〞
得到的结果重复上述步骤,如此循环演算下去。发觉了吗?无论 N 是什
星期五听了主人的要求以后一筹莫展。除了把洞填掉之外,你能帮他
假如 S 属于 S,那么依据 S 的定义,S 就不属于 S;反之,假如 S 不属于 S,同
公理化集合论体系把本来直观的集合概念建立在严格的公理基础之
样依据定义,S 就应当属于 S。
上,集合论从今进展到公理化阶段(1908 年以前由康托尔创立的集合论后
这就是有名的“罗素悖论〞,它特别浅显易懂,而且涉及的都是集合论 被称为朴实集合论),第三次数学危机得到了圆满解决。
第2页共2页
进入高中后,我们学习的第一个数学概念就是“集合〞。讨论集合的 有循环或者说“反身自指〞的特征,因此不同意有这种定义便可以解决问
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三次数学悖论，引发三次数学危机
1什么是悖论
日本波岩书店《数学百科辞典》关于悖论辞条是这样说的：能够
导出与一般判断相反的结论，而要推翻它又很难给出正当的根据时，
这种论证称为悖论。特别是，如果一个命题及其否定均可用逻辑上等
效的推理加以证明，而其推导又无法明确指出错误时，这种矛盾，便
称为悖论。即是说，所谓悖论，是指这样一个命题A，由A出发，可
以推出一个命题B，但从这个命题B，却会出现如下自相矛盾的现象：
若B为真，则推出B为假；若B为假，又会推出B为真。
2悖论的三种主要形式
（1）一个论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）；
（2）一个论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的
理论）；（3）一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导出了逻辑上
的自相矛盾。
3悖论存在的意义
悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题，
是一种现时的科学理论体系所解释不了的矛盾。正因为如此，悖论在
“荒诞”中蕴涵着哲理，可以给人以启迪，给人以奇异的美感，沿着
它所指引的推理思路，可以使您走上一条繁花似锦的羊肠小道，而又
使用您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭。但经过破译，将会使您感
到回味无穷，并且能从中启发思维，提高能力。逻辑学家赫兹贝格说：
“悖论之所以具有重大意，是由于它能使我们看到对于某些根本概念
的理解存在多大的局限，……事实证明，它是产生逻辑和语言中新概
念的重要源泉。”
4悖论举例
1. 上帝全能悖论
甲说：“上帝是全能的。”乙说：“全能就是世界上任何事都能
办到。请问：上帝能创造出一个对手来击败他自己吗？”如果说能，
则上帝可以被对手击败，并非全能的；如果说不能，则说明上帝并非
是全能的。
2. 唐·吉诃德悖论
著名小说《唐·吉诃德》里描写了一个残酷的国王，在他所能统治
的国家里有一条法律：每个旅游者都要回答一个问题：“您来这里干
什么？”如果回答对了，一切事情都好办；如果回答错了，立刻被绞
死。
某天，有个旅游者来到这个国家，回答上述问题时他答道：“我
是来被绞死的。”如果旅游者回答是对的，按照法律，他就不应该被
绞死；如果旅游者回答是错的，按照法律应被绞死，而他的“我是来
被绞死的。”这句话显然又是回答对了，也不应该被绞死。最后，国
王无可奈何，只得对旅游者放行。
3. 撒谎者悖论
这是古老、最重要的语义学悖论之一。这个悖论依欧几里得的叙
述形式可以通俗表示为：“我现在所说的这句话是假话。”此话到底
是真是假？如果此话为真，则“我现在所说的这句话是假话”为假了；
如果此话为假，则“我现在所说的这句话是假话”为真了。
4. 理发师悖论
这是罗素集合悖论的一种通俗说法：萨维尔村里的一名理发师，
给自己立了一条店规：“只给自己不给自己刮脸的人刮脸。”那么这
位理发师的脸该不该由自己刮呢？
如果理发师的脸由他自己刮，则他属于“自己给自己刮脸的人”，
因此，理发师不应该给自己刮脸；如果理发师的脸不由自己刮，则他
属于“自己不给自己刮脸的人”，因此，他的脸可由自己刮，显然又
与上述“自己不给自己刮脸的人”相矛盾。
5.价值悖论
价值悖论（钻石与水悖论）首次由约翰·劳提出，其认为钻石对生
命来说是不重要的，所以人们应该认为它的价值比水低。后来亚当·斯
密试图说明价值决定因素时借用了这个例子，只不过亚当·斯密没有致
谢。此一理论在台湾教科书中常被称作，钻石与水的矛盾。
众所周知，钻石对于人类维持生存没有任何价值，然而其市场价
值非常高。相反，水是人类生存的必需品，其市场价值却非常低。这
种强烈的反差就构成了这个悖论。为什么会有这样的现象呢?若不考虑
市场上的其他因素，沙漠地区的水比钻石贵，或者是需求面的因素。
就供给面来说，水的数量非常大，且几乎随处可见(如果不考虑荒漠干
旱地区，地球上几乎处处都有水，包含大气层中的水汽)；而钻石呢，
是蕴藏在地表底下，且必须经过时间与适当的条件产生(如果不考虑人
工钻石而单纯考虑自然钻石)，供给非常的少，因此水供给大，而钻石
供给少，故会产生这样的现象。
6.祖父悖论
祖父悖论又称为“外祖母悖论”是一种时间旅行的悖论，科幻故
事中常见的主题。最先由法国科幻小说作家赫内·巴赫札维勒(René
Barjavel)在他1943年的小说《不小心的旅游者》（Le Voyageur
Imprudent）中提出。情景如下：
假设你回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死；因为
你祖父母死了，就不会有你的父亲；没有了你的父亲，你就不会出生；
你没出生，就没有人会把你祖父母杀死；若是没有人把你的祖父母杀
死，你就会存在并回到过去且把你的祖父母杀死，于是矛盾出现了。
7.特修斯之船悖论
特修斯之船(又译为忒修斯之船)亦称为忒修斯悖论，是一种同一性
的悖论。
假定某物体的构成要素被置换后，但它依旧是原来的物体吗?
公元1世纪的时候普鲁塔克提出一个问题：如果忒修斯的船上的
木头被逐渐替换，直到所有的木头都不是原来的木头，那这艘船还是
原来的那艘船吗?因此这类问题现在被称作'忒修斯之船'的问题。有些
哲学家认为是同一物体，有些哲学家认为不是。在普鲁塔克之前，赫
拉克利特、苏格拉底、柏拉图都曾经讨论过相似的问题。近代霍布斯
和洛克也讨论过该问题。这个问题的有许多变种，如'祖父的斧头'。
8.电梯悖论
在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼
都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说:'每当
我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼
的。真奇怪!'李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班，
每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。她说:'不论我什么时候要上楼，停下
来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了!'
这究竟是怎么回事?电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么
会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦?
9.黄油猫悖论
黄油猫悖论（英文：Buttered cat paradox），是把两种民间常
识组合而成的恶搞悖论，该常识为：
(1) 猫在半空中跳下，永远用脚着陆。
(2) 把黄油吐司抛到半空中，吐司永远在涂上?黄油的一面落地。
这个悖论出在，你把黄油吐司没有涂上黄油的一面黏着猫的背部
之时。依照以上两条定律，猫无法用脚着陆，因为黄油吐司永远在涂
上黄油的一面落地；但同样的，黄油吐司涂上黄油的一面无法落地，
因为猫永远用脚着陆。
5认识的挑战
数学史上的三次数学危机，是由三次数学悖论的出现所引起的。
1979年美国杰罗姆·马立兹认为几十年来，“悖论至今没有得到圆满的
答案”。哥德尔甚至指出“悖论不解决，会使形式逻辑破产”。其实
悖论的出现，并非使人类思维的错误或无能，而是某种必然的反映，
使科学理性进步的阶梯。
普里斯特说：“悖论式命题充满着使人惊奇的内容。”在科学的
发展过程中各个领域都出现了一些在思维上，推理上不清楚的问题。
有的”似是而非”有的”似非而是”，基至有些是”猜谜”性质的也
被称为悖论。如有些数学书刊上出现的一种”数学诡辩题”，问题幽
默风趣，往往妙不可言，不仅引人入胜，而且发人深思。每一道数学
诡辩题的破译，都可以正反两个方面加深对数学基本概念和基本方法
的理解。
悖论不是闲谈的趣闻，它预示着更新的创造和未来。在某种意义
上来说，悖论推进了科学的进程，激发了科学家的热情。正如哲学家
维特根斯坦早在1930年所指出的：“即使在目前阶段我也要预言，总
会有一天出现包含有矛盾的数学演算研究，人们将会感到真正的自豪，
因为他们把自己从协调性的束缚中解放出来。”人们对数学美学标准
的认识，将会有所突破和创新，到那时，人们对悖论的看法也会是见
“怪” 不 “怪” 了。