北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.1.1椭圆及其标准方程导学案
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.1.1椭圆及其标准方程导学案
北师大版选修1-1
学习目标：1、理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；
2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
重点、难点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的
常用的方法
自主学习
合作探究 1.椭圆标准方程的推导过程（见教材）：
思考：（1）已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
（2）无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
（3）设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、c b a ，，的关系有明显的几何意义．
（4）类比：写出焦点在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()0122
22>>=+b a b
x a y ．
2.如何用几何图形解释 b2=a2－c2 ？在椭圆中分别表示哪些线段的长？
3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程．
练习反馈
1.如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程．
图2-1-1
2.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？。
选修1--1,选修2--1圆锥曲线与方程复习学案(椭圆)
北大附中广州实验学校
王 生
“圆锥曲线与方程”复习讲义
高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ① 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用 ② 掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质 ③ 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 ④ 理解数形结合的思想 ⑤ 了解圆锥曲线的简单应用 （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.
）
4.（2007 福建理)已知正方形 ABCD，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的离心率为_______；
5．(2008 全国Ⅰ卷理)在 △ ABC 中， AB BC ， cos B 则该椭圆的离心率 e ．
7 ．若以 A，B 为焦点的椭圆经过点 C ， 18
6.（2007 福建文)已知长方形 ABCD，AB＝4，BC＝3，则以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的 离心率为 。
x2 y2 1 的两焦点，过点 F2 的直线 16 9
）
例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ (A)
）
1 3
(B)
3 3
(C)
1 2
(D)
3 2
例 3． （2005 全国卷 III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为 F1、 、F2，过 F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于 点 P，若△F1PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A．
x2 y2 1 的焦点,在 C 上满足 PF1⊥PF2 的点 P 的个数为_______. 8 4
x2 y2 1 的两个焦点，过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两 6. （2008 浙江文、理）已知 F1、F2 为椭圆 25 9
2021年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件4北师大版选修1_1
F(0，±c)在 y 轴上
a,b,c之间的关系
c2= a2 - b2
注: 焦点跟着分母走，分母大的轴上有！
课堂小结
求椭圆标准方程的两种方法 (1)定义法: 定义是研究椭圆问题的根底，根据 椭圆的定义和条件得到相应的 a,b,c,再写出椭圆的标准方程.
(2)待定系数法: 具体步骤如下:
的垂直平分线为 y 轴，建立如图的直角坐标系 .
设
则
y
M
M（x，y）为椭圆上的任意一点，
F1
O F2 x
又设M与F1 、F2的距离和等于2a
探究二：椭圆的标准方程
探究二：椭圆的标准方程
a ba cc
探究二：椭圆的标准方程
如果以F1 、F2 所在直线为 y轴，线段 F1 F2的垂直平分线为 x轴， 建立直角坐标系。椭圆的标准方程是怎样的？
新课引入：太阳系中的行星
新课引入：生活中美丽的椭圆
探究一：椭圆的定义
实验探究： 把细绳的两端分开固定在竹签两个定点
F1、F2上，在稍硬的纸上用铅笔作图。作图 过程中，保持细绳是拉紧状态，缓缓移动 铅笔，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？
探究一：椭圆的定义
探究一：椭圆的定义
探究一：椭圆的定义
引导探究，总结概念：
焦点是 F1 (-c，0)、F2(c，0)，
标准方程是
y
F2
焦点是
F1 (0，-c)、F2(0，c)， O
F1
标准方程是
M
x
新知应用
新知应用
（1）两个焦点的坐标分别为 (4,0),(4,0)，椭圆上一点P到 两焦点距离的和等于10
解： ∵两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1.1 椭圆及其标准方程课件 北师大版选修1-1.pptx
x2sin α＋y2cos α＝1，可化为
x2 1
＋
y2 1
＝1，
sin α cos α
1 sin
α>co1s
α，
1 由题意知sin
α>0，
co1s α>0，
解得
π 0<α<4.
∴α
的取值范围是0，π4.
0≤α≤π，
28
类型三 椭圆定义的应用 例4 如图所示，点P是椭圆 x52＋y42 ＝1上的一点，F1和F2是焦点，且 ∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积. 解答
第二章 §1 椭 圆
1.1 椭圆及其标准方程
1
学习目标
1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、 椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.
2
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
3
问题导学
4
知识点一 椭圆的定义
思考1
给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？
29
引申探究 在例4中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B， 连接BF2，其他条件不变，求△BPF2的周长. 解答
由椭圆的定义，可得△BPF2的周长为 |PB|＋|PF2|＋|BF2| ＝(|PF1|＋|PF2|)＋(|BF1|＋|BF2|) ＝2a＋2a＝4a＝4 5.
31
反思与感悟
(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的 方 程 求 得 |PF1|( 或 |PF2|) ； 有 时 把 |PF1|·|PF2| 看 成 一 个 整 体 ， 运 用 公 式 |PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|， 而无需单独求出，这样可以减少运算量. (2)焦点三角形的周长等于2a＋2c.设∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积 为b2tan θ .
北师大版选修1-1高中数学第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案
高中数学 第2章《圆锥曲线与方程》2.2抛物线习题导学案北师大版选修1-1学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。
练习反馈 一、选择题1.已知抛物线的准线方程是x=-7，则抛物线的标准方程是 ( ) A.x 2=-28yB.y 2=-28yC.y 2=28xD.x 2=28x 2．若是定直线 外的一定点，则过与 相切圆的圆心轨迹是（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线一支D ．抛物线 3．抛物线2(0)x ay a =≠的焦点坐标为（ ） A ．1(,0)a B ．1(,0)2a C ．1(,0)4a D ．0a > 时为1(,0)4a ，0a < 时为1(,0)4a- 4．若点到点(4,0)F 的距离比它到直线50x +=的距离小1，则点的轨迹方程是（ ）A ．216y x =- B ．232y x =- C ．216y x = D ．232y x = 5．抛物线20x y += 的焦点位于（ ）A ． 轴的负半轴上B ． 轴的正半轴上C ．轴的负半轴上 D ．轴的正半轴上6．与椭圆224520x y += 有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（ ）A ．24y x =B ．24y x =±C ．24x y =D ．24x y =± 7.抛物线y 2=ax (a ≠0)的准线方程是 ( )(A )4a x =-；(B)x =4a ；(C)||4a x =- ；(D)x =||4a10. 一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则动圆必过定点（ ） A. (4，0) B. （2，0） C.（0，2） D. (0，－2)11. 已知F 为抛物线22y x =的焦点，定点Q （2，1）点P 在抛物线上，要使||PQ PF +的值最小，点P 的坐标为（ ）A. (0，0)B. 112⎛⎫⎪⎝⎭， C.()22， D. (2，2)12、抛物线y=ax 2的准线方程是y=2,则a 的值为（ ） A 、18 B 、18- C 、8 D 、-8 13、已知M 为抛物线x y 42=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）614、抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A 、1716 B 、1516 C 、78D 、0 15、在抛物线y 2=2px 上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则P 的值为（ ） A 、12B 、1C 、2D 、418 设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为（ ）A2pB pC p 2D 无法确定 19．已知直线y kx k =-及抛物线22y px =（0p >）则（ ）A ．直线与抛物线有一个公共点B ．直线与抛物线有两个公共点C ．直线与抛物线有一个或两个公共点 D ．直线与抛物线可能没公共点 20﹑与直线240x y -+=平行的抛物线2y x =的切线方程为（ ）A. 230x y -+=B. 230x y --=C. 210x y -+=D. 210x y --=21、过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）422．过点（-3，2）的直线与抛物线24y x =只有一个公共点，求此直线方程。
【教育专用】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第二章 1.1 椭圆及其标准方程
1．1椭圆及其标准方程学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．知识点一椭圆的定义思考1给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？思考2在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？梳理把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于____________________的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．知识点二椭圆的标准方程思考1椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？思考2椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|?梳理类型一 求椭圆的标准方程命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，a ∶b ＝2∶1，c ＝6；(2)经过点(3，15)，且与椭圆x 225＋y 29＝1有共同的焦点．反思与感悟 用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程．跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－32，52)；(2)焦点在x 轴上，且经过两个点(2,0)和(0,1)．命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程 例2 求经过(2，－2)和⎝⎛⎭⎫－1，142两点的椭圆的标准方程．反思与感悟 如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x 轴上和焦点在y 轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，再解答．跟踪训练2 求经过A (0,2)和B (12，3)两点的椭圆的标准方程．类型二 椭圆方程中参数的取值范围例3 “方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的充分不必要条件是( )A ．1<m <32B ．1<m <2C ．2<m <3D ．1<m <3反思与感悟 (1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式．(2)x 2m ＋y2n＝1表示椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，n >0，m ≠n ；表示焦点在x 轴上的椭圆的条件是⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n >0，m >n ；表示焦点在y 轴上的椭圆的条件是⎩⎨⎧m >0，n >0，n >m .跟踪训练3 已知x 2sin α＋y 2cos α＝1(0≤α≤π)表示焦点在x 轴上的椭圆．求α的取值范围．类型三 椭圆定义的应用例4 如图所示，点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上的一点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．引申探究在例4中，若图中的直线PF 1与椭圆相交于另一点B ，连接BF 2，其他条件不变，求△BPF 2的周长． 跟踪训练4已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图)．求△PF 1F 2的面积．1．已知F 1，F 2是定点，|F 1F 2|＝8，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝8，则动点M 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．直线 C ．圆D ．线段2．已知椭圆4x 2＋ky 2＝4的一个焦点坐标是(0,1)，则实数k 的值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．“m >n >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________．5．已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________.1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在．2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解．3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的．答案精析问题导学 知识点一思考1 固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键． 思考2 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长． 梳理 常数(大于|F 1F 2|) 知识点二思考1 椭圆方程中，a 表示椭圆上的点M 到两焦点间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆，a 、b 、c (都是正数)恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，c 是焦距的一半．a 、b 、c 始终满足关系式a 2＝b 2＋c 2. 思考2 只有当2a >|F 1F 2|时，动点M 的轨迹才是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点的轨迹是线段F 1F 2；当2a <|F 1F 2|时，满足条件的点不存在． 梳理 F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c ) c 2＝a 2－b 2 题型探究例1 解 (1)∵c ＝6，∴a 2－b 2＝c 2＝6.① 又由a ∶b ＝2∶1，得a ＝2b ， 代入①，得4b 2－b 2＝6，解得b 2＝2， ∴a 2＝8.又∵焦点在x 轴上，∴椭圆的标准方程为x 28＋y 22＝1.(2)方法一 椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为(－4,0)和(4,0)，由椭圆的定义可得 2a ＝(3＋4)2＋(15－0)2＋(3－4)2＋(15－0)2， ∴2a ＝12，即a ＝6.∵c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝62－42＝20，∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.方法二 由题意可设椭圆的标准方程为 x 225＋λ＋y 29＋λ＝1， 将x ＝3，y ＝15代入上面的椭圆方程，得 3225＋λ＋(15)29＋λ＝1， 解得λ＝11或λ＝－21(舍去)， ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1.跟踪训练1 解 (1)∵椭圆的焦点在y 轴上， ∴设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的定义知， 2a ＝(－32)2＋(52＋2)2＋ (－32)2＋(52－2)2 ＝210，即a ＝10.又c ＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝6.∴所求椭圆的标准方程为y 210＋x 26＝1.(2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．又椭圆经过点(2,0)和(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.例2 解 设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )． 将点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.跟踪训练2 解 当焦点在x 轴上时，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4b 2＝1，(12)2a 2＋(3)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 相矛盾，故应舍去．当焦点在y 轴上时，可设椭圆的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)， ∵A (0,2)，B (12，3)在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，(3)2a 2＋(12)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1，综上可知，椭圆的标准方程为y 24＋x 2＝1.例3 A [要使方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 应满足⎩⎪⎨⎪⎧m －1>0，3－m >0，3－m >m －1，解得1<m <2， ∵A 选项中{m |1<m <32}{m |1<m <2}，故选A.]跟踪训练3 解 x 2sin α＋y 2cos α＝1， 可化为x 21sin α＋y 21cos α＝1，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1sin α>1cos α，1sin α>0，1cos α>0，0≤α≤π，解得0<α<π4.∴α的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π4. 例4 解 在椭圆x 25＋y 24＝1中，a ＝5，b ＝2， ∴c ＝a 2－b 2＝1.又∵P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，①教育学习+K12教育学习+K12 由余弦定理知，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos 30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4，② ①式两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，③③－②，得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)．∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 30°＝8－43－12. 引申探究 解 由椭圆的定义，可得△BPF 2的周长为|PB |＋|PF 2|＋|BF 2| ＝(|PF 1|＋|PF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝2a ＋2a ＝4a ＝4 5.跟踪训练4 解 由已知得a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1.从而|F 1F 2|＝2c ＝2.在△PF 1F 2中，由勾股定理可得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2，即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4.又由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2×2＝4，所以|PF 2|＝4－|PF 1|.从而有(4－|PF 1|)2＝|PF 1|2＋4.解得|PF 1|＝32.所以△PF 1F 2的面积S ＝12·|PF 1|·|F 1F 2|＝12×32×2＝32， 即△PF 1F 2的面积是32.当堂训练1．D 2.B 3.C 4.y 216＋x 2＝1 5.48。
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准
焦点是 F1 (-c，0)、F2(c，0)，
标准方程是
y
焦点是
F2 M
F1 (0，-c)、F2(0，c)， O
x
F1
标准方程是
新知应用
新知应用
（1）两个焦点的坐标分别为 (4,0), (4,0) ，椭圆上一点P到 两焦点距离的和等于10
解： ∵两个焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），
∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=4，
的垂直平分线为 y 轴，建立如图的直角坐标系 .
设
则
M（x，y）为椭圆上的任意一点，
又设M与F1 、F2的距离和等于2a
y
M
F1 O F2 x
探究二：椭圆的标准方程
探究二：椭圆的标准方程
a ba cc
探究二：椭圆的标准方程
如果以F1 、F2 所在直线为 y轴，线段 F1 F2的垂直平分线为 x 轴，建立直角坐标系。椭圆的标准方程是怎样的？
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数记为2a （大于|F1F2|）的点M的轨迹叫做椭圆
这两个定点叫做 椭圆的焦点 两焦点的距离叫做 椭圆的焦距
记为2c
探究一：椭圆的定义
疑点探究： 问题1：当常数等于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？
线段F1F2
问题2：当常数小于|F1F2|时，点M的轨迹是什么？
新课引入：太阳系中的行星
新课引入：生活中美丽的椭圆
探究一：椭圆的定义
实验探究： 把细绳的两端分开固定在竹签两个定点
F1、F2上，在稍硬的纸上用铅笔作图。作图 过程中，保持细绳是拉紧状态，缓缓移动 铅笔，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？
探究一：椭圆的定义
探究一：椭圆的定义
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件9 北师大版选修11
a2-c2 有什么几何意义？
| OP | a2 c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
3、椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
y
F1 o
M
F2 x
焦点在y轴： y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
y
F2
M
ox
F1
巩固运用 深化新知
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
回扣定义
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离 之和等于常数（大于|F1F2| ）的点的 集合叫椭圆
(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆
(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段 (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在
将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持 不变，纵坐标变为原来的一半，求所得 的曲线的方程，并说明它是什么曲线？
不
图形
同
点
标准方程
y M
F1 O F2
x
y
F2 M
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0 x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相 a、b、c 的关系 同
点 焦点位置的判断
a2 c2 b2 (a b 0)
高中数学第2章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修1_1
[边听边记] 由|a|＋|b|＝4，得 x＋12＋y2＋ x－12＋y2 ＝4，即点 M(x，y)到点 F1(－1,0)与 F2(1,0)的距离之和为 4(4＞ |F1F2|)．
所以点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的椭圆，其中 a＝2，b ＝ 3，c＝1.
所以点 M 的轨迹方程为x42＋y32＝1.
求椭圆的标准方程
(12 分)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点 (5,0)； (2)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (3)经过两点 P113，13，P20，－12.
①当点 P 落在椭圆外时，|PF1|＋|PF2|＞2a；ax212＋by122＞1； ②当点 P 落在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|＝2a，ax212＋by122＝1； ③当点 P 落在椭圆内时，|PF1|＋|PF2|＜2a，ax212＋by122＜1.
1．已知椭圆x92＋y72＝1，则 a，b，c 的值分别是(
(3)椭圆方程中，a 表示椭圆上的点 M 到两焦点间距离的和 的一半，可借助图帮助记忆，a、b、c(都是正数)
恰构成一个直角三角形的三条边，a 是斜边，所以 a＞b，a ＞c，且 a2＝b2＋c2，其中 c 是焦距的一半，叫做半焦距；
(4)对于椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)，F1、F2 为其左、右焦点．点 P 坐标为(x1，y1)．
)
A．3， 7，2
B．3， 7， 2
C. 7，3， 2
D． 2，3， 7
解析： 由椭圆方程可知，a2＝9，b2＝7，
∴a＝3，b＝ 7，c＝ 2.
答案： B
• 2．椭圆3x2＋4y2＝12的两个焦点之间的距离为 ()
数学北师大版高中选修1-1北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程第一节椭圆及其标准方程PPT课件
x y 2 1a b 0 2 a b
2
2
F1
x y 2 1a b 0 2 b a
2
2
椭圆的标准方程焦点所在坐标轴的判断方法： 2 2
只要看
x
和
y
的分母的大小
共同进步！
F1
M
O
F2
x
b | MO |
y
M F1 o
F2
x
x y 2 1a b 0 2 a b
2
2
表示焦点在x轴， 焦点为F1（-c,0），F2（c,0） 焦距为2c, b2 = a2 - c2的椭圆的标准方程。 如果是以F1，F2所在直线为y轴，建立直角坐标系，所求出的椭圆 的标准方程又是什么呢？ y 这也是椭圆的标 2 准方程 y2
2 2
解：（1）因为4>3 ， 所以椭圆的焦点在
x 轴上，
a 2 4 , b2 3 c a2 b2 1 2c 2
则椭圆的两个焦点分别 是(-1,0) 和(1,0),焦距为2
（2）
x2 y2 原式可化为 1 4 8
得椭圆的焦点在 y 轴上
a 2 8, b2 4, c a 2 b 2 2,
x c 2 y 2
a
2a
x c 2 y 2
两边平方得：x c 2 y 2 4a 2 4a 移项化简得：
x c 2 x c 2 y 2
a 2 cx
x c 2 y 2
移项化简得： 两边平方： 化简得
a x c y 2 a4 2a2cx c2 x2
神舟六号飞船飞行轨道图
预备知识回顾：
两点间距离公式： 已知：点A ( x1 , y1 ) ，B ( x2 , y2 ) ，则
高中数学第二章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修1_1
命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程
例2
求经过(2，－
2)和 －1，
14 两点的椭圆的标准方程. 解答 2
反思与感悟
如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：
一是分类讨论，分别就焦点在 x 轴上和焦点在 y 轴上设出椭圆的标准
方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程 Ax2 ＋ By2 ＝ 1(A>0 ， B>0 ， A≠B)，再解答.
椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|? 答案 只有当 2a>|F1F2| 时，动点 M 的轨迹才是椭圆；当 2a ＝ |F1F2| 时， 点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，满足条件的点不存在.
梳理
焦点在x轴上 标准方程
x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0)
焦点在y轴上
y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
a，b，c的关系
F1(－c，0)，F2(c，0) ___________________
F1(0，－c)，F2(0，c) ___________________
c2＝a2－b2 __________
题型探究
类型一
求椭圆的标准方程
命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，a∶b＝2∶1，c＝ 6 ； 解答
跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： 解答
3 5 (1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点(－ ， )； 2 2
y2 x2 ∵椭圆的焦点在y轴上， ∴设椭圆的标准方程为a2＋b2＝1(a>b>0).