北京市宣武区第二次模拟试题数学试卷理科

1 2001年北京市宣武区第二次模拟试题 数学试卷（理科） 第I卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知映射f：A→B，其中集合A={-3，-2，-1，1，2，3}，集合B中的元素都是集合A中的元素在映射f下的象，且对于任意a∈A，在B中和它对应的元素是log2|a|，则集合B中元素为有理数的个数是（ ） A 0 B 1 C 2 D 3

2．函数)1x)(1x(logy2的反函数的图象是（ ）

3．椭圆)0ba(1byax2222的离心率是22，那么双曲线1byax2222的离心率是（ ） A 2 B 23 C 36 D 26 4．已知m、n是不重合的两条直线，α、β是不重合的两个平面，对于以下四个命题： ①若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n； ② 若m∥n，mα，n⊥β，则α⊥β； ③若α∩β=m，m∥n，则n∥α且n∥β； ④若m⊥n，α∩β=m，则n⊥α或n⊥β 若中正确的命题是（ ） A ①与② B ②与③ C 仅② D 仅④ 5．函数y=(arcsinx)2+4arcsinx-1取得最大值和最小值的情况是（ ） A 有最小值-5，无最大值

B 有最小值-5，最大值1242

C 有最小值1242，最大值1242 D 有最小值1242，最大值1242 2

6．极坐标方程所表示的曲线是（ ） A 两条相交的直线 B 两个相交的圆 C 一条直线和一个圆，且直线与圆相离 D 一条直线和一个圆，且直线与圆相切

7．设复数],0[,cosicosz，w=－1+i，则|z－w|的最大值是（ ）

A 12 B 5 C 2 D 2 8．已知两圆O1：x2+y2=16，O2：(x－1)2+(y+2)2=9，两圆公共弦交直线O1O2于M点，则Q1分有向线段MO2的比λ等于（ ）

A 56 B 65 C 56 D 65 9．数列{an}是公差不为零的等差数列，且a7、a10、a15是一等比数列{bn}的连续三项，若该等比数列的首项为b1=3，则bn等于（ ）

A 1n)35(3 B 1n)85(3 C 1n)53(3 D 1n)32(3 10．如图一，菱形ABCD中，∠DAB=120°，AB=1，沿对角线AC将△ACD折起，使点D至D′位置，连BD′得到三棱锥D′—ABC（如图二），则三棱锥D′—ABC体积

的最大值为（ ） A 163 B 81 C 83 D 161 11．某车队有编号为1，2，3，4，5的五辆车。现为完成一件任务，需派三辆车按不同时间出车，其中若2号、3号车被同时派出时，则2号车一定要排在3号车前面。这样不同的派车方法的种数为（ ） A 51 B 45 C 60 D 30

12．不等式1x1ax的解集是{21|x≤bx}，其中a、b是实数，且21b，则b的值等于（ ） A 1 B 22 C 22 D 2 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中的横线上。

13．10tg60tg60tg20tg20tg10tg的值为 。 14．已知轴截面是正三角形的圆锥的侧面积等于一个球的表面积，那么这个圆锥的体积与球的体积之比是 。

15．对于函数)1xxlg(x)x(f22，有以下四个结论： 3

①f(x)的定义域是全体实数； ②f(x)在),0[上是增函数； ③f(x)是偶函数； ④若又知a、Rm，且f(a)=m，则ma2)a(f2 其中正确结论的序号是 （把正确结论的序号都填上） 16．已知抛物线x2=y+1上一定点A(0，－1)和两动点P、Q，当PA⊥PQ时，点Q的横坐标的取值范围是 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

已知集合}1)x2x(log|x{A23，集合B={x|x2+(4－3a)x≤12a}，若A∪B=B，求实数a的取值范围。

18．（本小题满分12分） 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若47Acos3)A2(cos2，

且a2cb， 求2CBcos的值。

19．（本小题满分14分） 已知：如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，点M、N、E分别为AB、PC、PD的中点。

（I）求证：AE⊥平面PMC； （II）求证：MN⊥AB； （III）若平面PCD和平面ABCD所成的二面角为锐角θ，试确定θ的值，使得直线MN为异面直线AB和PC的公垂线； （IV）在（III）的条件下，若又知AB=1，AD=2，求多面体AMCDEN的体积。

20．（本小题满分12分） 某房屋开发公司用128万元购得一块土地，欲建成不低于五层的楼房一幢，该楼每层的建筑面积为1000平方米，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与 4

楼层有关，若该楼建成x层时，每平方米的平均建筑费用用f(x)表示，已知建成n层时所需费用与建成m层所需费用有如下关系成立：

)20mn1()n(f)n(f，（其中n＞m，m、n∈N）

又知建成五层楼房时，每立方米的平均建筑费用为400元，为了使该楼每平方米的综合费用最省（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把该楼建成几层？

21．（本小题满分12分） 设a为实常数，且a≠－1，an为(1+a+x)n展开式中x的系数，其中n∈N。 （I）写出数列{an}的通项公式； （II）设Sn=a1+a2+…+an，求Sn；

（III）当),0[]2,(a时，求nnnSalim的值。 22．（本小题满分12分） 已知双曲线)0b,0a(1byax:G2222，F为右焦点，A为右顶点，又点B的坐标

为（0，b），△ABF的面积为212，∠FAB=135°。 （I）求双曲线G的方程； （II）直线过点且与双曲线G的左支交于M、N两点，求直线m的斜率k的取值范围； （III）在（II）的条件下，又知直线1过点（－2，0）和线段MN的中点，PQ是y轴上的一条动线段，当1和线段PQ无公共点时，PQ的长的最大值是否存在，请说明理由。

参考答案 一、 1 C 2 B 3 D 4 C 5 C 6 D 7 C 8 A 9 A 10 B 11 A 12B 二、 13．1

14．2:6 15．①、②、④ 16．),2[]2,(

三、17．解：对于集合A，有1)x2x(log23， 5

3x12x0x3x2x0x2x

22或

∴ A=（－1，0）∪（2，3） 对于集合a12x)a34(x:B2≤0，)a3x)(4x(≤0 ∵ BBA ∴ BA ∴ 4a3 ∴ ]a3,4[B 又BA， ∴ 3a≥3，∴a≥1。 18．解：由47Acos3)A2(cos2，

得47Acos3Asin2 即47Acos3Acos12

整理得43Acos3Acos2=0

解得23Acos，∴ A=30° 又由a2cb， 根据正弦定理得Asin2CsinBsin 30sin22CBcos2CBsin2 ∵22CBA，

∴222CBcos2Acos2 ∵42615cos2Acos ∴222CBcos4262 ∴213131262222CBcos 19．（1）证明：∵EN为△PCD的中位线， 6

∴EN ==21CD 又AM==21CD ∴ EN==AM，∴四边形AENM是平面四边形 ∴AE∥MN， ∵MN平面PMC，AE平面PMC， ∴AE∥平面PMC （II）证明：∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB。 又AB⊥AD，PAAD=A， ∴AB⊥平面PAD， ∴AB⊥AE。 由（I）知AE∥MN，∴MN⊥AB。 （III）解：45时，直线MN是异面直线AB和PC的公垂线。 下面进行推证： ∵AD⊥CD， PA⊥底面ABCD。 ∴PD⊥CD， ∴∠PDA为平面PCD和平面ABCD所成二面角的平面角。 即∠PDA=， 设AB=a，AD=b，PA=c。 若MN为异面直线AB和PC的公垂线， 又由（II）知MN⊥AB， 则须MN⊥PC， 即须MC=PM。

∵在Rt△CBM中，2222a41bBMCBMC

在Rt△PAM中，2222a41cAMPAPM ∴须CM=PM，只须b=c，即AD=PA即可。 此时1ADPAtg，45。 又当45时，AD=PA，CM=PM ∵N为CD中点， ∴ MN⊥CP。 又由（II）知MN⊥AB， ∴此时MN为AB和PC的公垂线。 综上，当且仅当45时，直线MN为异面直线AB和PC的公垂线。 （IV）解：∵45PDA，∴△PAD是等腰Rt△， 又E是斜边PD的中点，∴ AE⊥PE。 由（III）知PD⊥CD。 ∵EN∥CD， ∴PD⊥EN，即PE⊥EN。 ∴PE⊥面AENM，PE是四棱锥P—AENM的高。

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