计算几何
如何计算几何平均数
如何计算几何平均数几何平均数是一种用于计算一组数的平均值的方法，它与算术平均数不同，它计算的是数值的乘积的N次方根。
几何平均数的计算公式为：GM = (x1 * x2 * x3 * ... * xn)^(1/n)其中，GM表示几何平均数，x1到xn表示一组数字。
计算几何平均数的步骤如下：步骤1：将给定的一组数字标识为x1、x2、x3、..、xn。
步骤2：将所有数字相乘。
步骤3：将乘积值的N次方根，其中N是一组数字的数量。
步骤4：计算得到的结果即为几何平均数。
以下是一个示例以帮助你更好地理解如何计算几何平均数：假设有一组数字：3、6、9、12、15步骤1：将数字标识为x1=3、x2=6、x3=9、x4=12、x5=15因此，几何平均数为8.493几何平均数的应用：几何平均数在统计学和金融领域中广泛应用。
例如，它经常用于计算多个因子对其中一变量的综合影响，投资回报率的计算等。
此外，几何平均数还用于计算复利的平均增长率，因为复利增长是指定时间内初始值按固定利率增长的连续过程。
举例来说，假设你有一笔投资，每年以5%的年收益率复利计算。
如果你想计算10年后的平均年增长率，可以使用几何平均数来计算。
步骤2：将给定的一组数字标识为x1、x2、..、xn，每年的年收益率。
步骤3：将所有数字相乘：(1+0.05)*(1+0.05)*...*(1+0.05)。
步骤4：将乘积值的N次方根，其中N是一组数字的数量。
步骤5：计算得到的结果减去1，即为几何平均数。
例如，假设你有10年的复利增长率，每年收益率分别为5%、4%、6%、3%、7%、2%、8%、1%、9%、10%。
因此，10年的平均年增长率约为7.09%。
总结：几何平均数是计算一组数字平均值的一种方法，它适用于各种情况，包括统计学、金融学和利率计算。
通过将数字相乘，并将乘积的N次方根，其中N是数字的数量，可以计算得到几何平均数。
几何体的表面积计算
几何体的表面积计算在几何学中，几何体的表面积是指该几何体的各个表面的总面积。
计算几何体的表面积对于解决实际问题具有重要的意义，例如在建筑设计中，计算建筑物的表面积有助于确定材料的用量和成本预算。
下面将介绍几种常见几何体的表面积计算方法：1. 立方体的表面积计算立方体是一种具有六个相等正方形面的几何体。
其表面积计算公式为：A = 6a^2，其中a为立方体的边长。
例如，边长为5cm的立方体的表面积为：A = 6 * 5^2 = 150cm^2。
2. 圆柱的表面积计算圆柱是一种由一个圆和与该圆平行的一个曲面所组成的几何体。
其表面积计算公式为：A = 2πr(r + h)，其中r为圆的半径，h为圆柱的高度。
例如，半径为3cm，高度为6cm的圆柱的表面积为：A = 2π * 3(3 + 6) = 108π cm^2。
3. 球体的表面积计算球体是一种所有点到球心的距离相等的几何体。
其表面积计算公式为：A = 4πr^2，其中r为球的半径。
例如，半径为5cm的球体的表面积为：A = 4π * 5^2 = 100π cm^2。
4. 圆锥的表面积计算圆锥是一种由一个圆和从该圆上一点到该圆内所有点的连线所组成的几何体。
其表面积计算公式为：A = πr(r + l)，其中r为圆的半径，l 为圆锥的斜高。
例如，半径为4cm，斜高为6cm的圆锥的表面积为：A = π * 4(4 + 6) = 40π cm^2。
5. 正方体的表面积计算正方体是一种所有面都为正方形的几何体。
其表面积计算公式为：A = 6a^2，其中a为正方体的边长。
例如，边长为7cm的正方体的表面积为：A = 6 * 7^2 = 294cm^2。
6. 圆台的表面积计算圆台是一种由一个圆和与该圆平行的一个曲面，以及连接两个底圆上各点的连线所组成的几何体。
其表面积计算公式为：A = π(r_1 +r_2)l + πr_1^2，其中r_1和r_2分别为两个底圆的半径，l为圆台的斜高。
几何体的表面积计算
几何体的表面积计算几何体是我们在数学学习中经常遇到的一个概念，它是由平面图形沿着一条封闭曲线绕成的立体图形。
在计算几何体的体积和表面积时，我们需要掌握一些基本公式和方法。
本文将介绍几种常见几何体的表面积计算方法，并附上相应公式以便读者可以灵活运用。
一、立方体的表面积计算立方体是最简单的几何体之一，它的六个面都是正方形。
当我们知道立方体的边长时，可以使用以下公式计算其表面积：表面积 = 6 ×边长^2二、长方体的表面积计算长方体是另一个常见的几何体，它的六个面由矩形构成。
计算长方体的表面积时，需要知道它的长、宽和高。
可以使用以下公式计算：表面积 = (2 ×长 ×宽) + (2 ×长 ×高) + (2 ×宽 ×高)三、正方体的表面积计算正方体是一种特殊的立方体，它的六个面都是正方形且边长相等。
若已知正方体的边长，则可以使用以下公式计算其表面积：表面积 = 6 ×边长^2四、圆柱体的表面积计算圆柱体由两个平行且相等的圆和一个连接两个圆的曲面组成。
计算圆柱体的表面积时，需知道底面圆的半径和圆柱体的高。
可以使用以下公式计算：表面积= 2πr^2 + 2πrh其中，r为底面圆的半径，h为圆柱体的高。
五、球体的表面积计算球体是三维空间中的一个曲面，它的表面全是由曲线线圈构成的。
计算球体的表面积时，需要知道它的半径。
可以使用以下公式计算：表面积= 4πr^2其中，r为球体的半径。
六、圆锥的表面积计算圆锥是由一个圆锥面和一个底面为圆的锥体组成。
计算圆锥的表面积时，需知道锥体的高、底面圆的半径和母线长度。
可以使用以下公式计算：表面积= πr^2 + πrL其中，r为底面圆的半径，L为母线的长度。
七、正四面体的表面积计算正四面体是由四个全等的三角形构成的立体图形。
计算正四面体的表面积时，需要知道它的边长。
可以使用以下公式计算：表面积= √3 × 边长^2我们通过以上七个例子介绍了常见几何体的表面积计算方法，并提供了相应的公式。
二分法程序实现平面区域计算几何
二分法程序实现平面区域计算几何计算几何是一门研究不同形状的几何图形之间的关系和属性的学科。
而平面区域计算几何则是研究平面上的区域和图形之间的关系和属性的领域。
在平面区域计算几何中，二分法是一种常见且有效的算法，能够在相当快的时间内对平面上的区域和图形进行分析和计算。
下面将介绍如何使用编程语言实现二分法程序，在计算几何问题中应用。
一、二分法算法二分法是一种基于分治思想的高效算法，其核心思想是通过将一个问题拆分为多个子问题，逐步缩小问题规模，最终得到问题的解。
在平面区域计算几何中，二分法通常被用来确定一个区域中特定位置的坐标或特定图形的性质。
下面是二分法的伪代码：```// 求解特定区域中位置的坐标或图形的性质low = 区域左下角坐标high = 区域右上角坐标while low < high:mid = (low + high) / 2if 满足条件1:high = midelse:low = mid + 1// 返回满足条件的坐标或性质return low```在二分法算法中，我们需要定义满足条件1的规则，以便在分治过程中快速定位目标区域。
对于不同问题，这个规则有很大的差异。
二、应用二分法算法解决平面区域计算几何问题使用二分法实现平面区域计算几何，需要先定义问题，然后才能确定条件1和算法规则。
这里我们的例子是一个简单的问题：给定一个二维平面上的矩形区域和一个内部点P，求该点到矩形的距离。
这个问题在计算机图形学和计算几何中是一个经典问题，可以应用于线段和多边形的求解。
二分法的核心是分治，所以我们首先要将问题分解为多个子问题，然后使用递归算法来解决它。
在这个问题中，我们可以使用水平线和垂直线将矩形划分成9个小矩形（包括本身）。
然后对每个小矩形重复这个过程，直到我们找到包含点P的最小矩形。
这个过程可以看做是一个模板，我们可以在这个过程中填充我们自己定义的条件1和算法规则。
代码实现如下：```// 定义一个二维点类class Point {double x;double y;}// 定义一个矩形类class Rect {Point topLeft;Point bottomRight;}// 定义一个函数来计算点到矩形的距离double distanceFromPointToRect(Point p, Rect rect) {// 判断点是否在矩形内if (p.x >= rect.topLeft.x && p.x <= rect.bottomRight.x &&p.y >= rect.topLeft.y && p.y <= rect.bottomRight.y) {return 0;}// 判断点在矩形的上下左右哪个区域double dx = 0.0, dy = 0.0;if (p.x < rect.topLeft.x) {dx = p.x - rect.topLeft.x;} else if (p.x > rect.bottomRight.x) {dx = p.x - rect.bottomRight.x;}if (p.y < rect.topLeft.y) {dy = p.y - rect.topLeft.y;} else if (p.y > rect.bottomRight.y) {dy = p.y - rect.bottomRight.y;}// 如果点在矩形的左上角、右上角、右下角或者左下角，直接返回距离if (dx == 0.0 || dy == 0.0) {return sqrt(dx*dx + dy*dy);}// 查找包含点P的最小子矩形Rect subRect = null;while (true) {// 将当前矩形平分为4个子矩形double midX = (rect.topLeft.x + rect.bottomRight.x) / 2.0;double midY = (rect.topLeft.y + rect.bottomRight.y) / 2.0;Rect[] subRects = {new Rect(rect.topLeft, new Point(midX, midY)),new Rect(new Point(midX, rect.topLeft.y), newPoint(rect.bottomRight.x, midY)),new Rect(new Point(midX, midY), rect.bottomRight),new Rect(new Point(rect.topLeft.x, midY), new Point(midX, rect.bottomRight.y))};// 判断点所在的子矩形if (p.x < midX) {if (p.y < midY) {subRect = subRects[0];} else {subRect = subRects[1];}} else {if (p.y < midY) {subRect = subRects[3];} else {subRect = subRects[2];}}// 如果包含点，则递归实现求解if (p.x >= subRect.topLeft.x && p.x <= subRect.bottomRight.x &&p.y >= subRect.topLeft.y && p.y <= subRect.bottomRight.y) {return distanceFromPointToRect(p, subRect);}// 否则将包含点的子矩形作为下一个矩形继续递归分治rect = subRect;}}```这个算法基于二分法思想，分治过程中计算出点P到矩形最小矩形的距离，最终得出点P到矩形的距离。
几何体的表面积和体积计算
几何体的表面积和体积计算几何体是指由空间中的点、线、面构成的实体形状，包括常见的球体、立方体、圆柱体等。
在几何学中，表面积和体积是表征几何体大小和形状的重要指标。
本文将介绍几何体表面积和体积的计算方法。
一、球体的表面积和体积计算球体是一种具有无限个相同半径的曲面，其表面积和体积的计算公式如下：表面积公式：S = 4πr²体积公式：V = (4/3)πr³其中，r表示球体的半径，π是一个数学常数（约等于3.14159）。
二、立方体的表面积和体积计算立方体是一种六个面都相等且相互垂直的立方体形状，其表面积和体积的计算公式如下：表面积公式：S = 6a²体积公式：V = a³其中，a表示立方体的边长。
三、圆柱体的表面积和体积计算圆柱体由两个平行且相等的圆面和一个侧面组成，其表面积和体积的计算公式如下：表面积公式：S = 2πr² + 2πrh体积公式：V = πr²h其中，r表示圆柱的底面半径，h表示圆柱的高。
四、其他除了球体、立方体和圆柱体外，还存在许多其他形状的几何体，如圆锥体、棱柱体、正四面体等。
它们的表面积和体积计算方法各不相同，具体的计算公式可以通过几何学原理来推导得到，或者通过公式手册查询获得。
在实际应用中，计算几何体的表面积和体积可以帮助我们求解一些实际问题，例如建筑设计、制造工程、容器容积计算等等。
掌握几何体的计算方法，对于解决各种几何问题非常重要。
总结：几何体的表面积和体积计算是几何学中的重要概念，不同几何体有不同的计算公式。
通过熟练掌握这些计算方法，我们可以准确地计算各种几何体的表面积和体积。
这不仅有助于我们理解几何体的特性和形状，也能够应用到实际问题中。
几何体的体积计算
几何体的体积计算几何体是指在三维空间中具有一定形状和尺寸的立体物体。
几何体的体积是指该物体所占空间的大小，计算几何体的体积是数学中的一个重要问题。
本文将介绍几种常见几何体的体积计算方法。
一、立方体的体积计算方法立方体是最简单的几何体，它的六个面都是正方形。
立方体的体积计算公式如下：体积 = 边长 x 边长 x 边长其中，边长指的是立方体的边长。
二、长方体的体积计算方法长方体也是一种常见的几何体，它有六个面，其中相邻两个面是相等的长方形。
长方体的体积计算公式如下：体积 = 长 x 宽 x 高其中，长、宽、高分别指的是长方体的长、宽、高。
三、圆柱体的体积计算方法圆柱体由一个平行于底面的圆和与底面相切的侧面组成。
圆柱体的体积计算公式如下：体积= π x 半径 x 半径 x 高其中，π取近似值3.14，半径指的是圆柱体底面圆的半径，高指的是圆柱体的高度。
四、球体的体积计算方法球体是由所有与球心距离相等的点所组成的几何体。
球体的体积计算公式如下：体积= (4/3) x π x 半径 x 半径 x 半径其中，π取近似值3.14，半径指的是球体的半径。
五、锥体的体积计算方法锥体由一个圆锥和与圆锥底面相切的侧面组成。
锥体的体积计算公式如下：体积= (1/3) x π x 半径 x 半径 x 高其中，π取近似值3.14，半径指的是锥体底面圆的半径，高指的是锥体的高度。
六、棱柱的体积计算方法棱柱由底面和连接底面顶点与底面对应点的侧面组成。
棱柱的体积计算公式如下：体积 = 底面积 x 高其中，底面积指的是棱柱底面的面积，高指的是棱柱的高度。
七、棱锥的体积计算方法棱锥由底面和连接底面顶点与底面对应点的侧面组成。
棱锥的体积计算公式如下：体积 = (1/3) x 底面积 x 高其中，底面积指的是棱锥底面的面积，高指的是棱锥的高度。
以上是常见几何体的体积计算方法。
通过应用这些公式，我们可以准确计算各种形状的几何体的体积，从而更好地理解和利用几何概念。
计算几何汇报-判断多边形的凹凸性
映射点求取方法
• 将以顶点Pi为圆心的圆分成两 半，这两个半圆分别与两条射 影直线L1、L2形成拓扑对应。 • 射线Pi-1Pi，PiPi+1和圆的交点在 射影直线上也得到映射。
• 假设多边形方向为正，那么， 从Qi-1沿着圆周逆时针走到Qi+ 1， 如果经过的圆弧小于或等于半 个圆周，则该顶点为凸顶点； 反之，该顶点的方向为凹顶点。
斜率溢出的部分情况
3.6 极点顺序法（赵军,等）
• 简单多边形各个顶点中 x、y 坐标最小、 最大的顶点，称为最左、最右、最下和 最上极值顶点，简称极点。对于一个简 单多边形，极点可能独立，也可能重合。 • 如果在某个方向极值坐标存在不止一个， 该方向的极点取在点列中最靠前的一个。 通过各个极点在多边形顶点序列中的先 后顺序关系可确定多边形的方向。
判断一个多边形是否是凸多边 形的算法
汇报时间：2015/11/05
报告提纲
1.引言
2.基本概念 3.几种多边形凹凸性判断算法详解 4.向量积法C#编程实现
1、引言
• 应用范围：简单多边形顶点凹凸 性 判 断 算 法 在 人 工 智 能、图像处理、模式识别及计算机图形学等领域中广泛使 用，并且是许多算法( 如凸包、裁剪、着色及消隐等) 的基 础。 • 判定方法：目前判断简单多边形顶点凹凸性的常见算法有 凸壳法、角度法、左右点法、矢量面积法、向量积法、射 线法、斜率法及极点顺序法等。
讨厌除法 ~~~
3.5 斜率法（庞明勇,等）
• 假定平面简单多边形P0,P1…Pn-1是负向的, Pi-1,Pi,Pi+1为其任意 3 个相邻顶 点， AB 为过点Pi 的铅垂线。以P i为圆心的单位半圆弧交直线 AB 于 A、 B 两点（如下图），记之为 O(Pi) 。令Pk为 O(Pi)上一动点，当Pk 沿 O(Pi) 从 B 运动到 A时， K(PiPk) 从 −∞ 经 0 变化到+ ∞ 。
计算几何中的寻找凸壳算法
计算几何中的寻找凸壳算法在计算几何中，几何形体的寻找是一个很重要的问题。
凸壳，也称凸包，是在点集中连接所有点中的外壳形状。
寻找凸壳是计算几何中一个非常经典和重要的问题。
凸壳不仅可以应用于计算机图形学领域，还可以应用于生物学、土木工程、航空航天等领域。
在本文中，我们将介绍两种不同的计算几何中的寻找凸壳算法。
寻找凸壳的常用算法最常用但也最简单的方法是先找到一个最上方的点和一个最下方的点，然后用这两个点连接整个点集，同时将其它点分成两组。
通过实现一个 O(n^2) 的算法，我们可以寻找到点集中的最高点和最低点。
接下来，我们可以通过寻找与这条线交叉的点，将剩余的点分成两组，从而构建出凸壳形状的一条边。
在以后的操作中，我们不需要考虑被淘汰的点。
我们可以接着在两组点的内部分别进行上述过程，直到所有点都被处理完毕。
这里的时间复杂度取决于每次操作中包含的点的数量，因为每访问一个点需要推迟一个点。
因此，时间复杂度大概是 O(n^2*log n)。
该算法最早由Jarvis 算法提出，通常称为Jarvis 显式凸包算法。
算法的实现非常简单，但是效率极低。
尽管 Jarvis 算法的时间复杂度比较高，但事实证明，对于小规模的数据集， Jarvis 算法是最优的选择。
改进算法的介绍Jarvis 算法尽管容易验明，但效率很低，因此人们提出了其他更好的算法。
其中一个著名的算法是 Graham 扫描算法。
Graham扫描算法是一种基于排序思路的凸包算法，其思路是寻找最低的点，然后按极角对所有点进行排序，从而找到凸包中最右边的点。
最初，只有三个点属于凸包，然后扫描其余点。
如果要添加新点，则先使用栈保存先前的点以构建链。
该算法其核心是一个排序算法，时间复杂度高达 O(n*log n)。
但是经过改进，该算法的复杂度已经减少到了 O(n log n)。
与显式算法不同， Graham 算法使用堆栈简化空间。
总结在本文中，我们介绍了计算几何中两种不同的寻找凸壳算法：显式凸包算法和改进算法。
计算几何试验报告
计算几何实验报告王弘宇、肖阳、曹云[问题背景]目前在图像的信息隐藏领域大致分为空域和频域两类方法，其中空域的方法不能抵抗应用普遍的jpeg压缩或者简单的集合变换，而频域的大部分方法对于几何变换的抵抗效果也相当不好，一些隐藏效率较高的方法甚至对简单的频域或空域变换都不能保持不变。
而参考文献中的Constellation法则是一个相对鲁棒性较高的方法，原论文中没有给出具体的实现方法，我们的实验主要是依据该论文思想进行了一定程度的发挥和创新。
[算法及原理]主要利用的是频域变换的系数在各种小幅度几何变换内保持不变的性质和频域峰值、点集的凸性对于几何变换保持不变的性质。
几何变换主要是指各种仿射变换。
隐藏算法过程为：1.对原图进行二维离散余弦变换。
2.在原图等大的空间内撒播正态分布随机数，每个随机数占据一定的空间，直到连续若干步内找不到空间可以放置随机数。
3.对该随机点集逐层求凸包，按照每层凸包的单调多边形链在原图上设置极值表示待隐藏信息，每一层都从最左上点逆时针开始。
其中某点极值的求法为周围八点的平均值加上4倍的标准差。
在R层的极值表示1，在G层的极值表示0。
4.对隐藏后的频域图进行二维反余弦变换。
检测算法过程为：1.对待检测图进行二维离散余弦变换。
2.对每一点进行判断，是否属于极值点。
3.解码。
过程基本同隐藏算法第三步。
[系统设计]采用MDI多文档结构，设计了CDib类对24bit位图进行操作，和MATLAB 的接口使用mwArray数据类型。
Dib[0]储存原图，Dib[1]储存DCT变换后的频域图形，Dib[2]储存随机点集的位置，Dib[3]储存隐藏后的频域极点示意图，Dib[4]储存反变换后的已隐藏了数据的图像，Dib[5]储存从待检测图像中所恢复出的极点和其代表的二进制位。
[实现过程中遇到问题及解决对策]1.DCT变换后低频分量集中在左上角，高频分量集中在右下角。
为了不会较大的影响图像质量同时又不会被低通滤波影响，设置了阈值border，用来控制低频和高频中不进行数据隐藏的区域的大小。
计算几何之向量旋转
计算几何之向量旋转一、二维向量旋转1.绕原点O(0,0)旋转对于一个向量OP0(x0, y0)，我们如何得知其绕原点O，沿逆时针方向旋转θ后的向量OP1(x1, y1)呢？我们采取参数方程进行推导。
设向量OP的长度为r，其辐角为φ，则其可表示为OP(r*cos(φ), r*sin(φ))，这样其旋转θ后的向量就可表示为OP1(r*cos(φ+θ), r*sin(φ+θ))由三角函数的合角公式即可得到OP1(x0*cos(θ)- y0* sin(θ), x0* sin(θ) + y0* cos(θ))。
得到旋转矩阵：2.绕任意点O(xx,yy)旋转，可以进行移动变换即可二、三维向量的旋转三维向量的旋转必须首先确定转动轴。
那么首先来看三种特殊情况：绕x轴旋转绕y轴旋转绕z轴旋转现在，我们来看看如何推导向量绕任意轴向量OS(x, y, z)旋转的矩阵吧。
为此，我们首先将向量OS通过旋转与x轴重合。
分为两步：首先将向量OS绕x轴旋转，直到向量OS处于xOz平面上；再将向量OS绕y轴旋转，直到向量OS与x轴重合。
接下来，绕向量OS的旋转就变为了绕x轴的旋转，设旋转角度为θ，则对应的矩阵如下所示：最后，需要把向量OS转回原来的位置，这只需要把前面的角度取相反数即可，可以立刻写出矩阵，如下所示：由于矩阵乘法满足结合律，现在，让我们顺次将这些矩阵相乘，最终得到向量绕任意轴OS(x, y, z)旋转的矩阵，如下所示：R' = R1 * R2 * R3 * R4 * R5=看上去很复杂吧？令x*x + y*y + z*z =1,则所以，我们要构造旋转矩阵时，注意使x*x + y*y + z*z =1//mat[][] 旋转矩阵a旋转角度x,y,z旋转轴void RM(double x,double y,double z,double a,double mat[3][3]){ double c=cos(a),s=sin(a);mat[0][0]=x*x+(1-x*x)*c;mat[1][1]=y*y+(1-y*y)*c;mat[2][2]=z*z+(1-z*z)*c;mat[0][1]=x*y*(1-c)-z*s;mat[1][2]=y*z*(1-c)-x*s;mat[2][0]=z*x*(1-c)-y*s;mat[0][2]=x*z*(1-c)+y*s;mat[1][0]=x*y*(1-c)+z*s;mat[2][1]=y*z*(1-c)+x*s;}调用double len=sqrt(x*x + y*y + z*z);double mat[3][3];RM(x/len,y/len,z/len,a,mat);double ans[3];for(int i=0;i<3;i++){ans[i]=0;for(int j=0;j<3;j++){ans[i]+=p[j]*mat[i][j];}}OJ练习HDU 1700HDU 2898。
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计算几何资料 一、引言 计算机的出现使得很多原本十分繁琐的工作得以大幅度简化，但是也有一些在人们直观看来很容易的问题却需要拿出一套并不简单的通用解决方案，比如几何问题。作为计算机科学的一个分支，计算几何主要研究解决几何问题的算法。在现代工程和数学领域，计算几何在图形学、机器人技术、超大规模集成电路设计和统计等诸多领域有着十分重要的应用。在本文中，我们将对计算几何常用的基本算法做一个全面的介绍，希望对您了解并应用计算几何的知识解决问题起到帮助。
二、目录 本文整理的计算几何基本概念和常用算法包括如下内容： 1. 矢量的概念 2. 矢量加减法 3. 矢量叉积 4. 折线段的拐向判断 5. 判断点是否在线段上 6. 判断两线段是否相交 7. 判断线段和直线是否相交 8. 判断矩形是否包含点 9. 判断线段、折线、多边形是否在矩形中 10. 判断矩形是否在矩形中 11. 判断圆是否在矩形中 12. 判断点是否在多边形中 13. 判断线段是否在多边形内 14. 判断折线是否在多边形内 15. 判断多边形是否在多边形内 16. 判断矩形是否在多边形内 17. 判断圆是否在多边形内 18. 判断点是否在圆内 19. 判断线段、折线、矩形、多边形是否在圆内 20. 判断圆是否在圆内 21. 计算点到线段的最近点 22. 计算点到折线、矩形、多边形的最近点 23. 计算点到圆的最近距离及交点坐标 24. 计算两条共线的线段的交点 25. 计算线段或直线与线段的交点 26. 求线段或直线与折线、矩形、多边形的交点 27. 求线段或直线与圆的交点 28. 凸包的概念 29. 凸包的求法
三、算法介绍
中华信息
学
竞赛网 www.100xinxi.com 1.矢量的概念： 如果一条线段的端点是有次序之分的，我们把这种线段成为有向线段(directed segment)。如果有向线段p1p2的起点p1在坐标原点，我们可以把它称为矢量(vector)p2。
2.矢量加减法： 设二维矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2 , y2 )，则矢量加法定义为： P + Q = ( x1 + x2 , y1 + y2 )，同样的，矢量减法定义为： P - Q = ( x1 - x2 , y1 - y2 )。显然有性质 P + Q = Q + P，P - Q = - ( Q - P )。
3.矢量叉积： 计算矢量叉积是与直线和线段相关算法的核心部分。设矢量P = ( x1, y1 )，Q = ( x2, y2 )，则矢量叉积定义为由(0,0)、p1、p2和p1+p2所组成的平行四边形的带符号的面积，
即：P × Q = x1*y2 - x2*y1，其结果是一个标量。显然有性质 P × Q = - ( Q × P ) 和 P × ( - Q ) = - ( P × Q )。一般在不加说明的情况下，本文下述算法中所有的点都看作矢量，两
点的加减法就是矢量相加减，而点的乘法则看作矢量叉积。 叉积的一个非常重要性质是可以通过它的符号判断两矢量相互之间的顺逆时针关系： 若 P × Q > 0 , 则P在Q的顺时针方向。 若 P × Q < 0 , 则P在Q的逆时针方向。 若 P × Q = 0 , 则P与Q共线，但可能同向也可能反向。
4.折线段的拐向判断： 折线段的拐向判断方法可以直接由矢量叉积的性质推出。对于有公共端点的线段p0p1和p1p2，通过计算(p2 - p0) × (p1 - p0)的符号便可以确定折线段的拐向： 若(p2 - p0) × (p1 - p0) > 0,则p0p1在p1点拐向右侧后得到p1p2。 若(p2 - p0) × (p1 - p0) < 0,则p0p1在p1点拐向左侧后得到p1p2。 若(p2 - p0) × (p1 - p0) = 0,则p0、p1、p2三点共线。 具体情况可参考下图：
5.判断点是否在线段上： 设点为Q，线段为P1P2 ，判断点Q在该线段上的依据是：( Q - P1 ) × ( P2 - P1 ) = 0 且 Q 在以 P1，P2为对角顶点的矩形内。前者保证Q点在直线P1P2上，后者是保证Q点不在线段P1P2的延长线或反向延长线上，对于这一步骤的判断可以用以下过程实现： ON-SEGMENT(pi,pj,pk) if min(xi,xj) <= xk <= max(xi,xj) and min(yi,yj) <= yk <= max(yi,yj) then return true; else return false; 特别要注意的是，由于需要考虑水平线段和垂直线段两种特殊情况，min(xi,xj)<=xk<=max(xi,xj)和min(yi,yj)<=yk<=max(yi,yj)两个条件必须同时满足才能返
回真值。
6.判断两线段是否相交： 我们分两步确定两条线段是否相交： (1)快速排斥试验
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竞赛网 www.100xinxi.com 设以线段 P1P2 为对角线的矩形为R， 设以线段 Q1Q2 为对角线的矩形为T，如果R和T不相交，显然两线段不会相交。 (2)跨立试验 如果两线段相交，则两线段必然相互跨立对方。若P1P2跨立Q1Q2 ，则矢量 ( P1 - Q1 ) 和( P2 - Q1 )位于矢量( Q2 - Q1 ) 的两侧，即( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( P2 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) < 0。上式可改写成( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) > 0。当 ( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) = 0 时，说明 ( P1 - Q1 ) 和 ( Q2 - Q1 )共线，但是因为已经通过快速排斥试验，所以 P1 一定在线段 Q1Q2上；同理，( Q2 - Q1 ) ×(P2 - Q1 ) = 0 说明 P2 一定在线段 Q1Q2上。所以判断P1P2跨立Q1Q2的依据是：( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) >= 0。同理判断Q1Q2跨立P1P2的依据是：( Q1 - P1 ) × ( P2 - P1 ) * ( P2 - P1 ) × ( Q2 - P1 ) >= 0。具体情况如下图所示： 在相同的原理下，对此算法的具体的实现细节可能会与此有所不同，除了这种过程外，大家也可以参考《算法导论》上的实现。
7.判断线段和直线是否相交： 有了上面的基础，这个算法就很容易了。如果线段P1P2和直线Q1Q2相交，则P1P2跨立Q1Q2，即：( P1 - Q1 ) × ( Q2 - Q1 ) * ( Q2 - Q1 ) × ( P2 - Q1 ) >= 0。
8.判断矩形是否包含点： 只要判断该点的横坐标和纵坐标是否夹在矩形的左右边和上下边之间。
9.判断线段、折线、多边形是否在矩形中： 因为矩形是个凸集，所以只要判断所有端点是否都在矩形中就可以了。
10.判断矩形是否在矩形中： 只要比较左右边界和上下边界就可以了。
11.判断圆是否在矩形中： 很容易证明，圆在矩形中的充要条件是：圆心在矩形中且圆的半径小于等于圆心到矩形四边的距离的最小值。
12.判断点是否在多边形中： 判断点P是否在多边形中是计算几何中一个非常基本但是十分重要的算法。以点P为端点，向左方作射线L，由于多边形是有界的，所以射线L的左端一定在多边形外，考虑沿着L从无穷远处开始自左向右移动，遇到和多边形的第一个交点的时候，进入到了多边形的内部，遇到第二个交点的时候，离开了多边形，……所以很容易看出当L和多边形的交点数目C是奇数的时候，P在多边形内，是偶数的话P在多边形外。 但是有些特殊情况要加以考虑。如图下图(a)(b)(c)(d)所示。在图(a)中，L和多边形的顶点相交，这时候交点只能计算一个；在图(b)中，L和多边形顶点的交点不应被计算；在图(c)和(d) 中，L和多边形的一条边重合，这条边应该被忽略不计。如果L和多边形的一条边重合，这条边应该被忽略不计。 为了统一起见，我们在计算射线L和多边形的交点的时候，1。对于多边形的水平边不作考虑；2。对于多边形的顶点和L相交的情况，如果该顶点是其所属的边上纵坐标较大的顶点，则计数，否则忽略；3。对于P在多边形边上的情形，直接可判断P属于多边行。由
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竞赛网 www.100xinxi.com此得出算法的伪代码如下： count ← 0;
以P为端点，作从右向左的射线L; for 多边形的每条边s do if P在边s上 then return true; if s不是水平的 then if s的一个端点在L上 if 该端点是s两端点中纵坐标较大的端点 then count ← count+1 else if s和L相交 then count ← count+1; if count mod 2 = 1 then return true; else return false; 其中做射线L的方法是：设P'的纵坐标和P相同，横坐标为正无穷大（很大的一个正数），则P和P'就确定了射线L。 判断点是否在多边形中的这个算法的时间复杂度为O(n)。 另外还有一种算法是用带符号的三角形面积之和与多边形面积进行比较，这种算法由于使用浮点数运算所以会带来一定误差，不推荐大家使用。
13.判断线段是否在多边形内： 线段在多边形内的一个必要条件是线段的两个端点都在多边形内，但由于多边形可能为凹，所以这不能成为判断的充分条件。如果线段和多边形的某条边内交（两线段内交是指两线段相交且交点不在两线段的端点），因为多边形的边的左右两侧分属多边形内外不同部分，所以线段一定会有一部分在多边形外(见图a)。于是我们得到线段在多边形内的第二个必要条件：线段和多边形的所有边都不内交。 线段和多边形交于线段的两端点并不会影响线段是否在多边形内；但是如果多边形的某个顶点和线段相交，还必须判断两相邻交点之间的线段是否包含于多边形内部（反例见图b)。
因此我们可以先求出所有和线段相交的多边形的顶点，然后按照X-Y坐标排序(X坐标小的排在前面，对于X坐标相同的点，Y坐标小的排在前面，这种排序准则也是为了保证水平和垂直情况的判断正确)，这样相邻的两个点就是在线段上相邻的两交点，如果任意相邻两点的中点也在多边形内，则该线段一定在多边形内。 证明如下： 命题1： 如果线段和多边形的两相邻交点P1 ，P2的中点P' 也在多边形内，则P1, P2之间的所有点都在多边形内。 证明： 假设P1,P2之间含有不在多边形内的点，不妨设该点为Q，在P1, P'之间，因为多边形是闭合曲线，所以其内外部之间有界，而P1属于多边行内部，Q属于多边性外部，P'属于多边性内部，P1-Q-P'完全连续，所以P1Q和QP'一定跨越多边形的边界，因此在P1,P'之间至少还有两个该线段和多边形的交点，这和P1P2是相邻两交点矛盾，故命题成立。证毕。