数列的排列组合算法
排列组合公式及排列组合算法
排列组合公式及排列组合算法排列组合1. 排列组合公式quad排列与组合二者的区别，排列计较次序而组合不计序。
quad从n从n从n个不同物件随机取rrr个物件，记排列数和组合数分别为AnrA_n^rAnr?和CnrC_n^rCnr?，则：Anr=n(n?1)?(n?r?1)=n!(n?r)!Cnr=Anrr!=n!r!(n?r)!begin{aligned}amp; A_n^r=n(n-1)cdots(n-r-1)=frac{n!}{(n-r)!}amp; C_n^r=frac{A_n^r}{r!}=frac{n!}{r!(n-r)!}end{aligned}Anr?=n(n?1)?(n?r?1)=(n?r)!n!?Cnr?=r!Anr?=r!(n?r)!n!?quad注:Anr(n≥r≥1)A_n^r(ngeq r geq 1)Anr?(n≥r≥1)，Cnr(n≥r≥0)C_n^r(ngeq r geq 0)Cnr?(n≥r≥0)，0!=10!=10!=1，Cn0=1C_n^0=1Cn0?=12. 二项式及公式推广quad二项式展开公式为：(a+b)n=∑i=0nCniaibn?i(a+b)^n=sum_{i=0}^nC_n^ia^ib^{n-i}(a+b)n=i=0∑n?Cni?aibn?iquad系数CnrC_n^rCnr?常称为二项式系数。
由(a+b)n=(a+b)?(a+b)?n(a+b)^n=underbrace{(a+b)cdots(a+b)}_{ n} (a+b)n=n(a+b)?(a+b)?，若独立nnn次实验从{a，b}{a，b}{a，b} 中取数，则有CniC_n^iCni?种情况取到iii个aaa、n?in-in?i个bbb，故aibn?ia^ib^{n-i}aibn?i项的系数为CniC_n^iCni?。
quad(1) ∑i=0nCni=2nsum_{i=0}^n C_n^i=2^n∑i=0n?Cni?=2n quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；quad(2)Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n ^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?quadquad 因为(1+x)m+n=(1+x)m(1+x)n(1+x)^{m+n}=(1+x)^m(1+x)^n(1+x)m +n=(1+ x)m(1+x)n，即∑j=0m+nCm+njxj=(∑j=0mCmjxj)?(∑j=0nCnjxj)sum_{j=0}^{m+n} C_{m+n}^jx_j=(sum_{j=0}^mC_m^jx_j)cdot(sum_{j=0}^nC_n^jx_j) ∑j=0m+n?Cm+nj?xj?=(∑j=0m?Cmj?xj?)?(∑j=0n?Cnj?xj?)，由等式两边同幂项系数相同知Cm+nk=∑i=0kCmiCnk?iC_{m+n}^k=sum_{i=0}^kC_m^iC_n^{k-i}Cm+n k?=∑i=0k?Cmi?Cnk?i?。
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法 ( 2 0 2 0 )
秒杀排列组合（上）————排列篇首先为什么要写排列组合？因为排列组合在数学中占有重要的地位，其与概率论也有密切关系；并且排列组合问题在求职的笔试，面试出现的概率特别高，而我在网上又没有搜到比较全面题型的文章；同时，我觉得编写排列组合程序对学习递归也是很有帮助的；当然，最重要的原因是排列组合本身就很有趣！所以就总结下排列组合的各种问法，分两篇写：上篇写排列，下篇写组合。
首先从各【导师实操追-女孩教-学】大IT公司的题中总结出排列组合的对象都是整形数组或字符数组，排列问题可以按输入数据分为两大类：输入数据【扣扣】有重复和无重复，又可以按输出数据分为两大类：输出数据有【⒈】重复和无重复；而排列问题也偶尔会考非递归。
首先提一【０】下全排列的几种算法：1—【１】—字典序法2——递增进位数制法; 3——递减进位数制法【б】4——邻位交换法5——n进制数法6——递归生成法7——循【⒐】环移位法8——回溯法由于侧【５】重点在输入数据无重复，所以先看输入数据无重复类型：其中又【２】可以分为全排列和分组后排列：首先写基【６】本的全排列：1.输出数组a的全排列(不可重复取)如a={1,2,3}。
输出123，132，213，231，312，321这个是最基本，也是最经典的排列算法思想：可以输出1加上23的全排列，2加13的全排列，3加上12的全排列，运用递归求比如23的全排列.依次递归下去；比如现在要2开头求全排，首先要交换1，2的位置，让a[0]变为2，在用递归求13的所有全排列，前面加个2就是2开头的所有全排列了，最后运用回溯再把1，2调换回来。
代码清单：public class PaiLie {public void runPermutation(int[] a){getAllPermutation(a, 0);-*index用于控制如上述分析中2加上13的所有全列的*-public void getAllPermutation(int[] a,int index){-*与a的元素个数相同则输出*-if(index == a.length-1){for(int i = 0; i a.length; i++){System.out.print(a[i] + " ");System.out.println();return;for(int i = index; i a.length; i++){swap(a ,index, i);getAllPermutation(a, index+1);swap(a ,index, i);public void swap(int[] a, int i, int j) {int temp = a[i];a[i] = a[j];a[j] = temp;public static void main(String[] args) {PaiLie robot = new PaiLie();int[] a = {1,2,3};robot.runPermutation(a);2.输出数组a的全排列(可重复取)如a={1,2}。
排列组合公式和各类例题
组合恒等式排列组合常见公式基本计数原理⑴加法原理和分类计数法⒈加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+m3+…+mn种不同方法。
⒉第一类办法的方法属于集合A1，第二类办法的方法属于集合A2，……，第n类办法的方法属于集合An，那么完成这件事的方法属于集合A1UA2U…UAn。
⒊分类的要求：每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同（即分类不重）；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类（即分类不漏）。
⑵乘法原理和分步计数法⒈乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法。
⒉合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同。
3.与后来的离散型随机变量也有密切相关。
4例题【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，这样的不同等差数列有多少个？分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。
设a,b,c成等差，∴2b=a+c，可知b由a,c决定，又∵2b是偶数，∴a,c同奇或同偶，即：分别从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，A（10,2）*2=90*2，因而本题为180。
【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?分析：对实际背景的分析可以逐层深入：（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步；（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右；从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数。
组合数学之排列组合生成算法
2. 字典序法
字典序法就是按照字典排序的思想逐
一产生所有排列. 设想要得到由1,2,3,4以各种可能次序产 生出4!个“单词”. 肯定先排1234, 再 排1243, 下来是1324, 1342, …., 4321. 分析这种过程, 看如何由一个排列得到 下一个排列, 并给出严格的数学描述.
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n!-1=(n-1)
(n-1)! +(n-2) (n-2)! +(n-3) (n-3)!+ +2• 2!+1•1! 可以证明, 从0到n!-1之间的任何整数m 都可唯一地表示为: m=an-1 (n-1)!+an-2 (n-2)!++a2• 2!+a1• 1! 其中0aii, i=1,2, ,n-1. m与序列(an-1,an-2 ,a2,a1)一一对应 书中有确定这些系数的方法. 例如：10＝13! ＋ 22! ＋ 01!
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我们可2,a1)满足条件(2.1). 则它所对应的排列为 (p)=p1p2pn, 其 中 ai 可以看作是排列 (p) 中数 i+1 所在位 置后面比i+1小的数的个数. 要说明这种对应的合理性 , 必须清楚 . 如何由序列产生出它所对应的排列. 我们通过一个具体的例题说明思想方 法.
利用这个概念可以把上面的生成
排列的方法叙述的比较清楚.
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设有排列(p) =p1p2pn.
Step 1. 若排列(p) =p1p2pn中没有处于 活动状态的数, 则停止. Step2. 若排列(p) =p1p2pn中有处于活 动状态的数, 则设m是处于活动状态数 中的最大者. 把m与它箭头方向所指的 相邻数互换位置. Step 3. 改变所有比m大的数上方的箭头; 然后转向Step 1.
数学运算之排列组合专题
但此类题型还是可以用挡板法，只需做一些小变化，可以假想从每个盒子中借一个球，
这样共有 11 个球，然后用挡板法进行计算考虑，故有 C120 = 45 种分法。
（二）9 个完全相同的球全部放入 3 个相同的盒子中，每个盒子要求至少有一个，
有
种不同的分法。
【解析】本题跟上面两题又有所差别，放入三个相同的盒子，就要考虑排除盒子排列产生的
多余次数，即除以 A33 。但是直接拿 C82 来除显然有问题，因为比如像（1，1，7）（2，2， 5）（4，4，1）这样的情况只有 3 种排列可能，并不是 A33 种排序，所以要在除以 A33 之前补 足，同样 3，3，3 也是一种特殊情况，要补足 5 种，这样就有了答案共[ C82 +3*3+5]/ A33 =7
【例九】六人站成一排，求： ①甲不在排头，乙不在排尾的排列数； ②甲在乙的前面的排列数； ③甲乙丙按从左到右依次排列的排列数。
【解析】特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑
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①方法一：上图，A 为甲在排头的情况种数，B 为乙在排尾的情况种数，T 为符合两种情况 的种数，M 为 6 人排列种数。根据题目要求可知蓝色区域种数=M-A-B+T=6！-5！-5！ +4！=504 种。 方法二：可以判断出先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而考虑分类（甲、乙 均可）。
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【例十】对某件产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品进行一一测试，至区分出所 有次品为止。若所有次品恰好在第五次测试时被全部发现，则这样的测试方法有 多少种可能?
【解析】由题意可得，第五次测试的产品一定是次品，并且是最后一个次品，因而可按下列
步骤分步完成。
①
Байду номын сангаас
排列数公式和组合数公式的应用
排列数公式和组合数公式的应用排列数公式和组合数公式的应用有顺序用排列如5个医生选出2个分别去1号房和2号房，这时是有顺序的，A52 20种没有顺序用组合如就是选出2个医生C52 10种排列数公式和组合数公式的区别是什么组合公式是从n项中随机把n个数组合在一起的方法。
二排列数公式是在组合数公式的基础上建立的，可以理解为把那n个数考虑顺序的组合方法。
看懂了吗？C43=4*3*2/(3*2*1)=4P43=4*3*2=24排列数公式: P=n(n-1)(n-2)…(n-m＋1)= (m≤n,m、n∈N*),当m=n时为全排列 =n(n-1)…2 1组合公式：C=n!/[(n-m)!m!]``高中数学。
排列数公式。
组合数公式。
排列是有序的，组合无序的。
比如组合，123或是321或213都属于一种情况。
排列，123，321,213分别是一种情况。
排列数组合数公式中n，m，怎么算排列数组合数公式中n，m，怎么算排列 A(m,n)=m(m-1)(m-2)×…×(m-n+1).组合 C(m,n)=[m(m-1)(m-2)×…×(m-n+1)]/n!.组合数公式的性质首先 3<x<13 隐含条件然后由组合公式 :C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]可将C[x 13]<C[x-3 13] 化简成关于x的不等式在解即 13!/[x!(13-x)!]<13!/[(x-3)!(16-x)!]化简 1/x!(13-x)!]<1/[(x-3)!(16-x)!]在化简 1/[x.(x-1).(x-2)]<1/[(16-x)(15-x)(14-x)]由隐含条件得 x.(x-1).(x-2)>(16-x)(15-x)(14-x)另外你可以尝试去证明C(n,m)=n!/[m!(n-m)!] 的单调性和单调区尖来做做关于组合数公式的方程C18X=C18(3X-6)x=3x-6或x=18-(3x-6)解得x=3或x=6Cm(n)=Cm(m-n),所以有x=18-(3x-6)组合公式和排列数公式里的m n能取0吗？急！急！急！组合公式m能取0，n不能取0,m取0等于1；排列公式m和n 都不能取0.排列数和组合数怎么计算A5,2是排列 C5,2是组合A-5,3=5*4*3=60，A-5,2=5*4=20就是从最大数5开始乘,后面那个数表示有多少个数,如A-5,3，从5开始乘三个数，就5*4*3；C5,2=（A-5,2）/（A-2,2）=5*4/2*1=10，C5,3=（A-5,3）/（A-3,3）=5*4*3/3*2*1=10排列组合数学公式解答C8 10 （8在上10在下）= （10!/(10-8)!）/8!= 10*9*8*7*6*5*4*3/8*7*6*5*4*3*2*1也有：C8 10 （8在上10在下）= C2 10 （2在上10在下）= （10!/(10-2)!）/2!= 10*9/2*1其值 = 90/2 = 45。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式/排列组合计算公式排列P------和顺序有关组合C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合"1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n 分别为上标和下标）=n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标）=1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
数字排列组合如何将给定数字进行排列组合求出所有可能的组合
数字排列组合如何将给定数字进行排列组合求出所有可能的组合数字排列组合是数学中一个重要的概念，它描述了在给定一组数字的情况下，如何通过不同的方式对这些数字进行排列或组合，以求出所有可能的组合结果。
本文将探讨如何进行数字排列组合，以及如何求解所有可能的组合。
1. 排列与组合的定义在开始深入研究数字排列组合之前，我们首先需要了解排列与组合的定义。
排列：给定n个不同的元素，从中选取m个元素进行排列，得到的结果称为排列。
组合：给定n个不同的元素，从中选取m个元素进行组合，得到的结果称为组合。
2. 排列的计算方法对于给定的n个不同元素进行排列，求解所有可能的排列方式，可以使用以下的计算公式：P(n,m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从n连乘到1的积。
而(n-m)!则表示从n-m连乘到1的积。
3. 组合的计算方法对于给定的n个不同元素进行组合，求解所有可能的组合方式，可以使用以下的计算公式：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，m!表示m的阶乘，(n-m)!则表示n-m的阶乘。
4. 求解所有可能的组合现在我们来看一个具体的例子，假设有一个数字序列{1, 2, 3, 4}，我们需要求解这个数字序列的所有可能的排列组合。
首先，我们可以通过排列的方式来确定数字的顺序。
对于这个数字序列，一共有4个数字，我们可以从中选取1个数字、2个数字、3个数字和4个数字进行排列，以求解所有可能的排列结果。
当选取1个数字进行排列时，只有一种排列方式：{1}、{2}、{3}、{4}。
当选取2个数字进行排列时，有6种排列方式：{1, 2}、{2, 1}、{1, 3}、{3, 1}、{1, 4}、{4, 1}，共6种排列方式。
当选取3个数字进行排列时，有24种排列方式。
当选取4个数字进行排列时，有24种排列方式。
接下来，我们可以通过组合的方式来确定数字的组合。
对于这个数字序列，我们可以从中选取1个数字、2个数字、3个数字和4个数字进行组合。
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数列的排列组合算法
数列是数学中的一种基础概念，是由一组按照一定规律排列的数字所组成的序列。
在组合数学中，数列的排列组合算法是非常重要的内容，在此对其进行详细介绍。
一、排列的定义
在数学中，排列是指从n个不同元素中，按照一定的规则和次序，取出m(1≤m≤n)个不同的元素，按照一定顺序成为一列的过程。
其排列数表示为 A(n,m)或 Pn^m。
排列根据规则和条件的不同分为两种：有重复的排列和没有重复的排列。
有重复的排列，指可重复地从n个元素中取出m个元素，且每一个元素可以重复的情况，其排列数为n^m。
没有重复的排列，指不可重复地从n个元素中取出m个元素的情况，其排列数为
A(n,m)= n × (n –1) × (n –2) × … × (n – m + 1)。
二、组合的定义
其组合数表示为C(n,m)或表示为n!/m!(n-m)！。
组合不考虑元素出现的顺序，只考虑元素是否存在，因此不同于排列。
三、排列组合的基础原理
根据概率论的基本原理，n件事同时进行，有m种相互独立的结果，第1件有n1种可能，第2件有n2种可能……则这n件事共有n1 x n2 x ......nx nm种不同的结果。
由此可以推得排列和组合的公式：
有重复排列数式： n^m
没有重复排列数式：A(n, m) = n! / (n - m)!
四、排列组合的应用
排列组合是组合数学的基础，其应用涉及到概率论，统计学、计算机等多个领域。
在实际应用中，排列组合可以用来解决很多问题，如在全排列问题中，我们可以求出n个元素全排列的个数，从而在现实中应用于各种组合问题的求解。
再比如，在计算机科学中，扑克牌随机发放时，可以先进行全排列，从而确定所有可能的发牌方案。
总之，排列组合是非常重要的数学概念，其应用范围非常广泛，不仅在科学和工程领域有着广泛的应用，而且在日常生活中也非常常见。
熟练掌握排列组合的理论和技巧，将会在计算和分析问题时提高我们的有效性和准确性，为我们带来更多的实际价值。