考研数学PPT
考研数学之高等数学讲义第五章（考点知识点+概念定理总结）
82 第五章 向量代数与空间解析几何
§5.1 向量代数
(甲)内容要点内容要点
一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系
二、向量概念二、向量概念
®
a
＝®
ix
+®
jy
+®
kz
坐标()zyx,,
模®
a
＝222
zyx
++
方向角gba,,
方向余弦gbacos,cos,cos
acos
＝
222
zyxx
++ ； bcos＝
222
zyxy
++ ； gcos＝
222
zyxz
++
三、向量运算三、向量运算
设®
a()
11,1,zyx
； ®
b()
22,2,zyx
；®
c()
33,3,zyx
1． 加（减）法加（减）法 ®
a
±®
b
＝()
2121,21,zzyyxx
±±±
2． 数乘数乘 ()
111,,zyxallll=®
3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®
a
·®
b
=®
a®b
÷
øö
ç
èæ®®
Ðba,cos
（ⅱ）坐标公式®
a
·®
b
=
21xx
+
21yy
+
21zz
（ⅲ）重要应用®
a
·®
b
=0Û®
a
^®
b
4
．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a
´®
b
＝®®ba
÷
øö
ç
èæ®®
Ðba,sin
®
a
´®
b
与®
a
和®
b
皆垂直，且®
a
，®
b
，®
a
´®
b
构成右手系构成右手系
83 （ⅱ）坐标公式®
a
´®
b
=
222111
zyxzyxkji®®®
（ⅲ）重要应用®
a
´®
b=®
0Û®
a，®
b共线共线
5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义 （®
a
，®
b
，®
c
）＝（®
a
´®
b
）·®
c
（ⅱ）坐标公式（®
a
，®
b
，®
c
）=
333222111
zyxzyxzyx
（ⅲ）÷
øö
ç
èæ®®®
cba,,表示以®
a
，®
b
，®
c
为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积
§5.2 平面与直线
（甲）内容要点（甲）内容要点
一、一、 空间解析几何空间解析几何
1 空间解析几何研究的基本问题。空间解析几何研究的基本问题。
（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，
（2）已知坐标x，y和z 间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。
王式安考研概率讲义
实用标准文档
文案大全 概率统计
第一讲
随机事件和概率
考试要求：数学一、三、四要求一致。
了解： 样本空间的概念
理解： 随机事件，概率，条件概率，事件独立性，独立重复试验
掌握： 事件的关系与运算，概率的基本性质，五大公式（加法、减法、乘法、全概率、贝叶斯），独立性计算，独立重复试验就算
会计算：古典概率和几何型概率。
§1 随机事件与样本空间
一、随机试验：E
（1）可重复 （2）知道所有可能结果 （3）无法预知
二、样本空间
试验的每一可能结果——样本点
所有样本点全体——样本空间
三、随机事件
样本空间的子集——随机事件 A B C
样本点——基本事件， 随机事件由基本事件组成。
如果一次试验结果，某一基本事件出现——发生，出现
如果组成事件A的基本事件出现——A发生，A出现
——必然事件 ——不可能事件
§2 事件间的关系与运算 实用标准文档
文案大全 一．事件间关系
包含，相等，互斥，对立，完全事件组，独立
二．事件间的运算：
并，交，差
运算规律：交换律，结合律，分配律，对偶律
概率定义，集合定义，记号，称法，图
三．事件的文字叙述与符号表示
例2 从一批产品中每次一件抽取三次，用(1,2,3)iAi表示事件：
“第i次抽取到的是正品”试用文字叙述下列事件：
（1）122313AAAAAA； （2）123AAA；
（3）123AAA； （4）123123123AAAAAAAAA；
再用123,,AAA表示下列事件：
(5)都取到正品； (6)至少有一件次品；
(7)只有一件次品； (8)取到次品不多于一件。
§3 概率、条件概率、事件独立性、五大公式
一．公理化定义 ,,AP
2013年考研数学大纲(数学三)
仅供个人参考
不得用于商业用途 2013年考研数学大纲（数学三）
研究生数学考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计
考研考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间：试卷满分为150分，考试时间为180分钟．
二、答题方式：答题方式为闭卷、笔试．
三、试卷内容结构：微积分 约56%；线性代数 约22%；概率论与数理统计 约22%
四、试卷题型结构
单项选择题选题 8小题，每小题4分，共32分
填空题 6小题，每小题4分，共24分
解答题（包括证明题） 9小题，共94分
微积分
一、函数、极限、连续
考试内容：函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系
无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
考试要求：
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．
5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．
6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．
8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．
2016考研数学真题答案解析[数一]
![2016考研数学真题答案解析[数一]](https://360docs-1393072327.cos.ap-beijing.myqcloud.com/4b512e35561252d381eb6e1d.webp)
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2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题 :1～ 8 小题，每小题 4 分，共 32 分 .下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合
题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 .
．．．
1 、设函数 f ( x) 在（- ,+ ）连续，其 2 阶导函数 f (x) 的图形如下图所示， 则曲线 y f ( x) 的
拐点个数为（）
（A ）0 （B） 1
（C ）2 （D）3
【答案】 (C)
【考点】拐点的定义
【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导
数异号，因此，由 f (x) 的图形可知，曲线 y f ( x) 存在两个拐点，故选 (C).
2 、设 y 1 e2 x x 1 ex 是二阶常系数非齐次线性微分方程 y ay by cex 的一个特解，
2 3
则（）
（ A ） a 3,b 1,c 1. （B） a 3,b 2, c 1.
（ C ） a 3,b 2, c 1. （ D） a 3,b 2, c 1.
【答案】 (A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法
【难易度】★★
【详解】 1 e2x , 1 ex 为齐次方程的解，所以 2 、 1 为特征方程 2 +a b 0 的根，从而
2 3
a1 2 3,b 1 2 2, 再将特解 y xex 代入方程 y 3y 2 y cex 得： c 1.
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3 、若级数 an 条件收敛，则 x 3 与 x 3 依次为幂级数 nan n
x 1 的：
(整理)年考研数学大纲.
精品文档
精品文档 2009年数学大纲已经正式出炉，通过将新出的大纲与2008年考研数学大纲对比分析得到：
数学一、数学二除了个别措辞及标点的修正与变动以外，在内容上几乎没有任何变化。数学一、数学二的考生可以按原来制定的内容及方法进行复习。
而倍受关注数学三、数学四变动方面，教育部决定从2009年起，将原来的数学三、数学四进行整合。整合后称为“数学三”。
原使用数学三或数学四的招生专业从2009年开始使用新的“数学三”
1：新“数学三”的考试内容为：微积分、线性代数学、概率论与数理统计，其分数比例约为：56%、22%和22%.
2：新“数学三”较原数学四的变化有：
(1)增加了无穷级数的相关内容；
(2)增加了线性微分方程解的性质及解的结构定理、二阶微分方程及差分方程的相关内容；
(3)增加了数理统计的基本概念、点估计的概念、矩估计法及最大似然估计的相关内容；
3：新“数学三”较原数学三的变化有：
(1)降低了无穷级数中部分考试内容的要求;
(2)降低了常微分方程与差分方程中二阶微分方程、差分方程的考试要求；
(3)降低了概率论中的切比雪夫不等式的考试要求；
(4)降价数理统计的基本概念中部分考试内容的考试要求；
(5)降低了参数估计中点估计等概念的考试要求；
(6)删除了参数估计中估计量的评选标准和区间估计的考试内容；
(7)删除了假设检验的全部内容。
所以数学三、数学四考生应该关注大纲内容的变化，对复习内容进行适当的调整。
考生在策略上要有的放矢。针对变化的内容，认真阅读考试大纲的要求及大纲的解析，对变化的章节部分各个击破。 精品文档
精品文档 数学一
章节
2008年大纲内容
2009年大纲内容
对比分析
高等数学
第一章：函数、极限、连续 考试内容：函数的概念及表示法
函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立
2014考研数学详细复习计划(陈文灯一手策划-免费吐血推荐-并附2014考研备战时间表)
2014年数学详细考研计划
本文分三部分：高等数学、概率与数理统计、线性代数
第一部分：高等数学
《高等数学》第五版 同济大学 高等教育出版社
一、 数学试卷结构
此试卷结构参考13年考研大纲
种类
内容比例
题型比例
数学
高等数学约56%
线性代数约22%
概率论与数理统计约22%
填空题与选择题约37%
解答题（包括证明题）约63%
二、数学复习全年规划
第一阶段 夯实基础，全面复习
主要目标：基本教材阶段。吃透考研大纲的要求，做到准确定位，事无巨细地对大纲涉及到的知识点进行地毯式的复习，夯实基础，训练数学思维，掌握一些基本题型的解题思路和技巧，为下一个阶段的题型突破做好准备。
第二阶段 熟悉题型，前后贯通
主要目标：复习全书阶段。大量习题训练，熟悉考研题型，加强知识点的前后联系，分清重难点，让复习周期尽量缩短，把握整体的知识体系，熟练掌握定理公式和解题技巧。
第三阶段 查缺补漏，模拟训练
主要目标：套题、模拟训练题阶段。练习答题规范，保持卷面整洁，增加信心，练习掌握考试时间的分配，增强临场应变的能力，要对自己前两个阶段复习中出现含糊不清，掌握不牢的地方重点加强。
第四阶段 强化记忆，保持状态
主要目标：查漏补缺，回归教材。强化记忆，调整心态，保持状态，积极应考。
三、教材的选择
《高等数学》同济版：讲解比较细致，例题难度适中，涉及内容广泛，是现在高校中采用比较广泛的教材，配套的辅导教材也很多。
《线性代数》清华版：讲解详实，细致深入，适合时间充裕的同学(推荐)。
《线性代数》同济版：轻薄短小，简明易懂，适合基础不好的同学。
《概率论与数理统计》浙大版：课后习题中基本的题型都有覆盖。
四、学习方法解读
(1)强调学习而不是复习
对于大部分同学而言，由于高等数学学习的时间比较早，而且原来学习所针对的难度并不是很大，又加上遗忘，现在数学知识恐怕已经所剩无几了，所以，这一遍强调学习，要拿出重新学习的劲头亲自动手去做，去思考。
考研数学三大公式讲解
高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
axxaaaxxxxxxxxxxaxxln1)(logln)(cotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tan22222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsinxxarcxxxxxxCaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxxdxxCxdxxxCxxdxxdxCxxdxxdxxx)ln(lncsccotcscsectanseccotcscsintanseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxaxadxCxxxdxCxxxdxCxxdxCxxdxarcsinln21ln21arctan1cotcsclncsctanseclnsecsinlncotcoslntan22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020
三角函数的有理式积分：
222212211cos12sinududxxtguuuxuux， ， ，
和差角公式： ·和差化积公式：
倍角公式：
·半角公式：
cos1sinsincos1cos1cos12cotcos1sinsincos1cos1cos12tan2cos12cos2cos12sin
2013年考研大纲数学(三)
2013年考研大纲：数学三[1]
考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计
考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为150分，考试时间为180分钟．
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试．
三、试卷内容结构
微积分
约56%
线性代数
约22%
概率论与数理统计
约22%
四、试卷题型结构
单项选择题选题
8小题，每小题4分，共32分
填空题
6小题，每小题4分，共24分
解答题（包括证明题）
9小题，共94分
微积分
一、函数、极限、连续
考试内容
函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立
数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：
函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质
考试要求
1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．
2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．
3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．
4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．
5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念．
6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．
7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系．
8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．
9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质．
二、一元函数微分学
857数学基础参考书目
857数学基础参考书目
一、重点名校考研真题汇编
1．重点名校考研真题汇编
①重点名校：高等数学2016-2020年考研真题汇编（暂无答案）
②重点名校：线性代数2010-2020年考研真题汇编（暂无答案）
说明：本科目没有收集到历年考研真题，赠送重点名校考研真题汇编，因不同院校真题相似性极高，甚至部分考题完全相同，建议考生备考过程中认真研究其他院校的考研真题。
二、2022年新疆师范大学857数学基础考研资料
2．同济大学《高等数学》考研相关资料
（1）同济大学《高等数学》[笔记+课件+提纲]
①新疆师范大学857数学基础之同济大学《高等数学》考研复习笔记。
说明：本书重点复习笔记，条理清晰，重难点突出，提高复习效率，基础强化阶段必备资料。
②新疆师范大学857数学基础之同济大学《高等数学》本科生课件。
说明：参考书配套授课PPT课件，条理清晰，内容详尽，非本校课件，版权归属制作教师，本项免费赠送。
③新疆师范大学857数学基础之同济大学《高等数学》复习提纲。
说明：该科目复习重难点提纲，提炼出重难点，有的放矢，提高复习针对性。
（2）同济大学《高等数学》考研核心题库（含答案）
①新疆师范大学857数学基础考研核心题库之同济大学《高等数学》解答题精编。 说明：本题库涵盖了该考研科目常考题型及重点题型，根据历年考研大纲要求，结合考研真题进行的分类汇编并给出了详细答案，针对性强，是考研复习首选资料。
（3）同济大学《高等数学》考研模拟题[仿真+强化+冲刺]
①2022年新疆师范大学857数学基础之高等数学考研专业课五套仿真模拟题。
说明：严格按照本科目最新专业课真题题型和难度出题，共五套全仿真模拟试题含答案解析。
②2022年新疆师范大学857数学基础之高等数学考研强化五套模拟题及详细答案解析。
说明：专业课强化检测使用。共五套强化模拟题，均含有详细答案解析，考研强化复习必备。
③2022年新疆师范大学857数学基础之高等数学考研冲刺五套模拟题及详细答案解析。
考研数学考点与题型归类分析总结
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1高数部分
1.1 高数第一章《函数、极限、连续》
求极限题最常用的解题方向：
1.利用等价无穷小；
2.利用洛必达法则 00型和型直接用洛必达法则
0、0、1型先转化为00型或型，再使用洛比达法则；
3.利用重要极限，包括1sinlim0xxx、exxx10)1(lim、exxx)1(1lim；
4.夹逼定理。
1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》
第三章《不定积分》提醒：不定积分CxFdxxf)()(中的积分常数C容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C会失一分。所以可以这样加深印象：定积分dxxf)(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是CxFdxxf)()(中的那个C,漏掉了C也就漏掉了这1分。
第四章《定积分及广义积分》解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：
对于aadxxf)(型定积分，若f(x)是奇函数则有aadxxf)(=0；
若f(x)为偶函数则有aadxxf)(=2adxxf0)(；
对于20)(dxxf型积分，f(x)一般含三角函数，此时用xt2的代换是常用方法。
所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利用性质0aa奇函数、aaa02偶函数偶函数。在处理完积分上下限的问题后就使用第三章不定积分的套路化方法求解。这种思路对于证明定积分等式的题目也同样有效。
-来源网络，仅供个人学习参考 1.3 高数第五章《中值定理的证明技巧》
用以下逻辑公式来作模型：假如有逻辑推导公式AE、(AB)C、(CDE)F,由这样一组逻辑关系可以构造出若干难易程度不等的证明题，其中一个可以是这样的：条件给出A、B、D，求证F。