清华大学09期中考题A 答案

2009级一元微积分期中考题（A） 答案
一．填空题（每空3分，共15空）（请将答案直接填写在横线上！）

1. 已知52lim22xbaxxx，则ba 。
答案： 5ba

2. xxxe2sin)sin1ln(0lim 。
答案：21e

3. 设0)()1ln(lim20xxxfxx，则xxfx1)(lim0 。
答案：21

4. 已知0x时，xxaxxfsincos34)(为x的5阶无穷小量，则a 。
答案：31

5. 220sin)1ln(limxxxxx 。
答案：23
6. nnn11sinlim 。
答案：1

7. 11211lim20xxxx 。
答案：21
8. 1222533limxxxxxx 。
答案：31e
9. 2cos)(xexf，则)(xf 。
答案：2cos2sin2xexx

10. )()2)(1()(nxxxxxf，则)0(f 。
答案：!n

11. 函数xxxxxf2)(23的不可导点的个数为 。
答案：2

12. 曲线12xxxy当x时的渐近线为 。
答案：212xy

13. 设xxfarctan)(，则)(xf 。
答案：22)1(2xx
14. 已知函数)(xyy由0xyeexy确定，则曲线)(xyy在0x点处的切线方程
为 。
答案：0yx

15. 函数xxysin2的反函数的导数dydx 。
答案：xcos21
二．计算题（每题10分，共40分）
1. 已知,arctan)1ln(2tytx求22,dxyddxdy。
解：,21tdxdy…………………………………………………………5分
322
2
41ttdx
yd


……………………………………………………..5分

2. 写出函数 2)(2xxxxf 在00x处的带有Lagrange余项的n阶泰勒公式。
解：

nkkkkxxxxxx0
2
21)1(311122312

………………………6分

1221)1(1)2(23)1(n
nn

n
x
xx

)1,0(



……….4分

3. 根据n的奇数偶数不同情况分别讨论函数xnexxf)(（n为正整数）的增减性，求
它在实数范围的最值并画出其图像。
解：0)()(1xnexxnxf

当1n时，驻点为1nx，)1,(上单调增，),1(单调降，最大值为1e，无最
小值； ……………………………………………………………………………………3分
当12kn为奇数时（k为正整数），驻点为nx与0x，),(n上单调增，

),(n
单调降，最大值为nnen，无最小值； ………………………………………3分

当kn2为偶数时（k为正整数），驻点为nx与0x，)0,(上单调降，),0(n上
单调增，),(n单调降，最小值为0。 ………………………………………4分

4. 设)(xf为),(上的连续可导函数，xxfxg)(，
(I) 求证：)(xg为),(上的可导函数；
(II) 计算)(xg。

解：(I) 0),(0),()(22xxfxxfxxfxg
因为)(xf为),(上的可导函数，当0x或0x时，)(xg为可导函数。
当0x时，因为)(xf为),(上的连续可导函数，由罗比达法则，

02)(lim0)(lim)0()(lim20200xxf
xfxfx

gxg

xxx
，


0)2()(lim0)(lim)0()(lim20200xxf
xfxfx

gxg

xxx
，

所以)(xg在0x点可导。…………………………………………………………..5分
故)(xg为),(上的可导函数。

(II)0),(20,00),(2)(22xxfxxxfxxg……………………………………………………..5分
三．证明题
1. (8分)设),0[)(Cxf，0)0(f，且当0x时，)(xf存在且单调增，证明：当
0x

时，xxf)(单调增。
证明：设xxfxF)()(，则当0x时，

22
)]0()([)()()()(xfxfxfxxxfxfxxF



…………………………4分

xfxfx
fxxfx)()()()(2



其中),0(x。 …………………………………………………………………2分
由于)(xf单调增，故0)(xF，从而xxf)(单调增。…………………………2分

2. (7分)设函数)(xfy在),(内二阶可导，且其图像在),(内有三个点满足关系
cbxaxy
2
，

(I) 证明必然存在一个点),(，使得af2)('';
(II) 写出此命题的一个推广命题。
证明：(I) 记)()()(2cbxaxxfxF，则)(xF在),(内二阶可导。由已知条件，

设)(,,wvuwvu为区间),(内的三个点，使得函数)(xfy与cbxaxy2得
图像相交，即0)()()(wFvFuF，由微分中值定理可知，),(),,(21wvvu
0)()(21FF
………………………………………………2分

),(),(21
，02)()(afF，即af2)(''。…………………..3分

(II) 任意一个有道理的推广命题 ……………………………………………2分