东北三省三校2020年高三第一次联合模拟考试 文科数学(含答案+答题卡)
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东北三省三校2019-2020学年高三第一次联合模拟考试数学(文)试题(教师版)
三省三校2019——2020 (上)第一次内考卷文科数学一、选择题:本题共 12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.设{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}2,4B =，则U A B =I ð（ ） A. {}1 B. {}2 C. {}1,2,3 D. {}1,3【答案】D 【解析】 【分析】先由题意求出{}1,3,5U B =ð，再与集合A 求交集，即可得出结果. 【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}2,4B =，所以{}1,3,5U B =ð， 又{}1,2,3A =，所以{}1,3=U A B I ð. 故选：D【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的混合运算，熟记交集与补集的定义即可，属于基础题型. 2.设,a b 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则//αβ的一个充分条件是（ ） A. 存两条异面直线,a b ，,,//,//a b a b αββα⊂⊂.B. 存在一条直线a ，//,//a a αβ.C. 存在一条直线a ，,//β⊂a a a .D. 存在两条平行直线,a b ，,,//,//αββ⊂⊂a b a b a . 【答案】A 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A 选项，如图：,a b 为异面直线，且,,//,//a b a b αββα⊂⊂，在β内过b 上一点作//c a ，则β内有两相交直线平行于α，则有//αβ；故A 正确；对于B 选项，若//,//a a αβ，则a 可能平行于α与β的交线，因此α与β可能平行，也可能相交，故B 错；对于C 选项，若,//β⊂a a a ，则α与β可能平行，也可能相交，故C 错；对于D 选项，若,,//,//αββ⊂⊂a b a b a ，则α与β可能平行，也可能相交，故D 错. 故选：A【点睛】本题主要考查探求面面平行的充分条件，熟记面面平行的判定定理，以及线面，面面位置关系即可，属于常考题型.3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A.15B. 5C. 4D.14【答案】A 【解析】 【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果. 【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=， 所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若sin 22a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3sin 2a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A. 23- B. 13- C.13 D.23【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到cos2=a ，再根据二倍角公式，以及诱导公式，即可得出结果.【详解】由sin 22a π⎛⎫+=⎪⎝⎭，得cos 2=a ，221cos 2cos 12123∴=-=⨯-=-⎝⎭a a ， 31sin cos 23πα⎛⎫∴+=-= ⎪⎝⎭a .故选:C【点睛】本题主要考查三角恒等变换给值求值的问题，熟记公式即可，属于常考题型.5.已知()f x 在R 上连续可导，()f x '为其导函数，且()(0)x xf x e f e '-=+⋅，则()1f =（ ）A. 2eB. 12e e+ C. 3 D.103【答案】B 【解析】 【分析】先对函数求导，得出1(0)2'=f ，求出1()2-=+xx f x e e ，进而可求出结果. 【详解】由题意，()(0)-''=-⋅xxf x e f e ，所以0(0)(0)1(0)'''=-⋅=-f e f e f ， 因此1(0)2'=f ，所以1()2-=+xx f x e e ，故()112=+f e e. 故选：B【点睛】本题主要考查由导数的方法求参数，以及求函数值的问题，熟记导数的计算公式即可，属于基础题型.6.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若101010112a a =，则111213120202222log log log log a a a a ++++的值为（ ） A. 2 021 B. -2021 C. 1 010 D. -1010【答案】D 【解析】 【分析】根据题中数据，以及等比数列的性质，得到122201********* =a a a a a a =⋯=，再由对数的运算法则，得到111213120202222log log log log a a a a ++++112320202log =⋅⋅a a a a ，进而可求出结果.【详解】在各项均为正数的等比数列{a n }中，若101010112a a =，可得122201*********=a a a a aa=⋯=，则111213120202222log log log log a a a a ++++()101011232020122log log 21010a a a a =⋅⋅==-.故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，以及对数的运算，熟记等比数列的性质，以及对数运算法则即可，属于常考题型.7.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（ ） A. ()()0.63(3)log 132f f f -<-<B. ()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C. ()()0.632log 13(3)ff f <-<-D. ()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可得()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，又由0.63322log 13log 273<<<=，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=， 有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意函数奇偶性的应用，属于基础题． 8.数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究陌数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2()()21x x f x -=-.的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先由函数解析式，得到22()()()2121----==≠--xx x x f x f x ，推出()f x 不是偶函数，排除AC ，再由特殊值验证，排除B ，即可得出结果.【详解】因为函数22()()2121-==--x x x x f x ，所以22()()()2121----==≠--xx x x f x f x ， 因此函数()f x 不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A 、C 选项；又因为9(3)7=f ，16(4)15=f ，所以(3)(4)f f >，而选项B 在0x >时是递增的，故排除B. 故选：D【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的基本性质，灵活运用排除法处理即可，属于常考题型. 9.已知偶函数()f x 的图象经过点()1,3--，且当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则使得(2)30f x -+<成立的x 的取值范围为（ ）A. ()3,+∞B. ()1,3C. ()(),13,-∞⋃+∞D. []1,3【答案】C 【解析】 【分析】先由题意，得到点()1,3-也在函数图象上，函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，将不等式化为(|2|)(1)-<f x f ，根据函数单调性，即可得出结果.【详解】根据题意，()f x 为偶函数， 且经过点()1,3--，则点()1,3-也在函数图象上， 又当0a b ≤<时，不等式()()0f b f a b a-<-恒成立，则函数()f x 在[)0,+∞上为减函数，因为(2)30f x -+<，所以(2)3(|2|)(1)|2|1f x f x f x -<-⇒-<⇒-> 解得1x <或3x >. 故选：C【点睛】本题主要考查由函数单调性与奇偶性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，属于常考题型.10.已知实数x ，y 满足10220220x y x y x y --⎧⎪-+-⎨⎪+-⎩………，若目标函数()0z ax y a =+>最大值为5，取到最大值时的最优解是唯一的，则a 的取值是（ ）A.14 B.13C. 12D. 1【答案】C 【解析】 【分析】先由约束条件作出可行域，化目标函数z ax y =+为y ax z =-+，则y ax z =-+表示斜率为a -的直线，且0a -<，结合图像，以及题中条件，即可得出结果.【详解】由不等式组10220220x y x y x y --⎧⎪-+-⎨⎪+-⎩………，即为10220220x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪+-⎩………，作可行域如图:目标函数z ax y =+可化为y ax z =-+，因为y ax z =-+表示斜率为a -的直线，且0a -<，由图象可知当y ax z =-+经过点C 时，z 取到最大值，这时满足C 坐标满足22010x y x y -+=⎧⎨--=⎩解得43x y =⎧⎨=⎩，C 点坐标为()4,3，代人z ax y =+得到12a =. 故选:C【点睛】本题主要考查由最优解求参数的问题，通常需作出可行域，根据目标函数的几何意义，结合图像求解，属于常考题型.11.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，若b =且ABC ∆的面积为)2224=-+-S a c b ，则a c +的最大值为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】根据余弦定理，以及题中三角形的面积，得到1sin cos 22ac B ac B=-，求出23B π=，再由(222222cos ()==+-=+-b a c ac B a c ac ，结合基本不等式，即可求出结果.【详解】由余弦定理可得：2222cos a c b ac B =+-，又)222=+-S a c b ， 1sin cos 2∴=ac B B ，因此tan B =23B π=. 所以(22222222()32cos ()()()44+==+-=+-+-=+a c b a c ac B a c ac a c a c …，即223()4a c +… 2()16a c ∴+…，即4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，故a c +的最大值为4.故选：D【点睛】本题主要考查解三角形，以及基本不等式求最值，熟记余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.12.如果定义在R 上的函数()f x 满足:对于任意12x x ≠，都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+,则称()f x 为“M 函数”.给出下列函数:①221y x x =-++；②3112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭；③xx y ee -=- ；④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩其中为“M 函数”的是（ ） A. ①② B. ②③C. ①②③D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】先根据题中条件，得到函数()f x 是定义在R 上的减函数，逐项判断所给函数单调性，即可得出结果. 【详解】∵对于任意给定的不等实数12x x ，，不等式()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +<+恒成立，∴不等式等价为()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦恒成立， 即函数()f x 是定义在R 上的减函数.①2221(1)2y x x x =-++=--+，则函数在定义域上不单调.②函数3112x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭是由1,312ty t x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭复合而成，根据同增异减的原则，函数单调递减，满足条件. ③根据指数函数单调性可得：xx y e e -=-为减函数，满足条件.④ln ,0()0,0x x f x x ⎧≠=⎨=⎩.当0x >时，函数单调递增，当0x <时，函数单调递减，不满足条件.综上满足“M 函数”的函数为②③， 故选:B【点睛】本题主要考查函数单调性的判定，熟记函数单调性的定义，以及基本初等函数单调性即可，属于常考题型.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()y f x =是偶函数，当0x >时，()31xf x =-，则31log 2f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=.______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，以及题中条件，结合对数运算，可直接得出结果.【详解】因为0x >时，()31xf x =-，且函数()y f x =是偶函数，所以()()3log 23331log log 2log 23112⎛⎫=-==-= ⎪⎝⎭f f f . 故答案为：1【点睛】本题主要考查由函数奇偶性求函数值，熟记偶函数性质，以及对数运算法则即可，属于基础题型. 14.若关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3，则a =_______. 【答案】3-或2 【解析】【分析】先由题意得到关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3，进而可求出结果. 【详解】因为关于x 的不等式2250x x a a -++<的解集是()2,3， 所以关于x 的方程2250x x a a -++=的两根分别是2和3， 所以有2236a a +=⨯=，解得：3a =-或2a =. 故答案为：3-或2【点睛】本题主要考查由不等式的解集求参数，熟记三个二次之间关系即可，属于常考题型. 15.设D 为ABC ∆所在平面内一点，4BC CD =，若24AD AB AC λμ=+，则λμ+=__________.【答案】92【解析】 【分析】先由题意，作出图形，根据平面向量的基本定理，得到1544AD AB AC =-+，再由题意确定λμ，的值，即可得出结果.【详解】如图所示，由4BC CD =，可知，B 、C 、D 三点在同一 直线上，图形如右:根据题意及图形，可得: 1115()4444=+=+=+-=-+AD AC CD AC BC AC AC AB AB AC ，24AD AB AC λμ=+，124544λμ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，解得: 125λμ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则19522λμ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭故答案为：92【点睛】本题主要考查由平面向量基本定理求参数，熟记平面向量的基本定理即可，属于常考题型.16._____．【答案】27【解析】【分析】找出正四面体中内接圆柱的最大值的临界条件，通过体积公式即可得到答案.【详解】解：圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心'O ，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上．，∴32BM =，12O M '=，1BO '=，∴AO '=设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则102r <<．由三角形相似得：12r =h =，圆柱的体积()2212V r h r r π=-，∵()3212112327r r r r r ++-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =-即13r =时取等号．∴圆柱的最大体积为27．故答案为27．【点睛】本题主要考查学生的空间想象能力,以及分析问题的能力，基本不等式的运用,难度较大.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17.已知命题:[2,1]p x ∀∈--，不等式2a x x <-恒成立；命题q :函数[1,)x ∀∈+∞，2141--x a x …； (1)若命题p 为真，求a 的取值范围；(2)若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(1)1a <-；（2）(),1-∞-.【解析】【分析】（1）根据p 为真，得到[2,1]x ∈--时，min2a x x ⎛⎫<-⎪⎝⎭即可，根据函数单调性，求出2=-y x x 的最小值，进而可求出结果； （2）若q 为真命题，根据题意得到2max 141x a x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭…，由函数单调性，求出1y x x=-在[1,)+∞上的最大值，进而可求出结果. 【详解】(1) 若p 为真，即[2,1]x ∀∈--，不等式2a x x <-恒成立; 只需[2,1]x ∈--时，min 2a x x ⎛⎫<-⎪⎝⎭即可， 易知：函数2=-y x x 在[2,1]--递减，所以2=-y x x 的最小值为1-， 因此1a <-.(2)若q 为真命题，则2max 141x a x ⎛⎫--⎪⎝⎭…， 易知：1y x x=-在[1,)+∞上单调递减，所以min 0y =； 因此2410a -…，故12-a …或12a …，因为命题p q ∧是真命题，所以p ，q 均为真命题，故a 满足112a a <-⎧⎪⎨-⎪⎩…或112a a <-⎧⎪⎨≥⎪⎩ 解得：1a <-，因此实数a 的取值范围是(),1-∞-.【点睛】本题主要考查由命题的真假求参数，以及由复合命题真假求参数，根据转化与化归的思想即可求解 ，属于常考题型.18.已知函数2()sin 2cos 1,264x x f x x π⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭R (1)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；(2)求函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值，并求出取得最值时x 的值. 【答案】(1)4π,5114,4()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)最小值为， 3x π=. 【解析】【分析】（1）先将函数解析式化简整理，得到()23π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x f x ，根据正弦函数的周期与单调区间求解，即可得出结果；（2）由2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得,0236x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，根据正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】(1)因为2()sin 2cos 1sin cos cos sin cos 26426262x x x x x f x πππ⎛⎫=--+=--⎪⎝⎭3cos 22223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期为2412T ππ==. 由322,2232x k k k πππππ+-+∈Z 剟，得51144,33ππππ++∈k x k k Z 剟故函数()f x 的单调递减区间为5114,4()33ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦k k k Z . (2)因为2,,,033236x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以当236x ππ-=-即3x π=时，min ()36f x f ππ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为，此时3x π=. 【点睛】本题主要考查求正弦型函数的周期，单调区间，以及最值，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.19.已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，,PD DC AD PC =⊥.(1)求证：AC AP =；(2)若平面APD ⊥平面ABCD ，120ADC ∠=，4AD DC ==，求点B 到平面PAC 的距离.【答案】(1)证明见解析；（2. 【解析】【分析】 （1）取PC 中点M ，连接AM ，DM ，根据线面垂直的判定定理，得出PC ⊥平面ADM ，进而可得AC AP =；（2）过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ，根据线面垂直的判定定理，证明PH ⊥平面ABCD ，推出⊥PH CH ；设h 为点B 到平面PAC 的距离，根据P ABC B ACP V V --=，结合题中数据，即可求出结果.【详解】(1)取PC 中点M ，连接AM ，DM ，∵PD DC =，且M 为PC 中点，DM PC ∴⊥∴AD PC ⊥，AD DM D =I ，PC ∴⊥平面ADM ，AM ⊂平面ADM ，PC AM ∴⊥，∵M 为PC 中点，AC PA ∴=；(2)过点P 作PH 垂直AD 延长线于点H ，连接CH ，∵平面APD ⊥平面ABCD ，平面APD 平面ABCD AD =，PH ⊂平面APD ，PH AD ⊥，PH ∴⊥平面ABCD ，CH ⊂Q 平面ABCD ，PH CH ∴⊥，∵PD DC =，AD AD =，AC AP =，∴∆≅∆ADP ADC ，∴120∠=∠=ADC ADP ，∴4===PD AD DC，==AC APPH CH PC ===设h 为点B 到平面PAC 的距离，由于P ABC B ACP V V --=，可得1133∆∆⋅=⋅ABC ACP S PH S h ，1442∆=⨯⨯=ABC S12ACP S ∆=⨯=7=h . 即点B 到平面PAC. 【点睛】本题主要考查证明线段相等，以及求点到平面的距离，熟记线面垂直的判定定理，性质定理，以及等体积法求点到平面的距离即可，属于常考题型.20.已知数列的前n 项和n S 满足2,n n S a n n =-∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若()2log 1n n b a =+，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1) 21n n a =-；（2）1n n T n =+. 【解析】【分析】（1）根据2n n S a n =-，求出11a =；再得到2n ≥时，112(1)n n S a n --=--，两式作差得到数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，进而可得出结果；（2）由（1）的结果，根据裂项相消的方法，即可求出数列的和.【详解】(1)由题可知2n n S a n =-，①当1n =时，1112a a +=，得11a =，当2n ≥时，112(1)n n S a n --=--，②①-②，得121n n a a -=+，所以()1121n n a a -+=+所以数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⨯=，故21n n a =-.(2)由(1)知()22log 1log 2n n n b a n =+==，则11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 12233411111111111111223341n n n T b b b b b b b b n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+=-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1111n n T n n =-=++. 【点睛】本题主要考查由递推公式求通项公式，以及数列的求和，熟记等比数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和即可，属于常考题型.21.已知函数()(2)e 2x f x ax x =+--，其中2a >-.(1)当0a =时，求函数()f x 在[]1,0-上的最大值和最小值；(2)若函数()f x 为R 上的单调函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)max ()0f x =，min ()ln 21f x =-；（2）21a -<≤-.【解析】【分析】（1）由0a =得()22=--x f x e x ，对其求导，得到()21'=-x f x e ，解对应不等式，求出单调区间，进而可求出最值；（2）先由2(1)10f e'-=-<得到函数()f x 不可能在R 上单调递增，由题意，得到()f x 在R 上单调递减，推出()0f x '≤恒成立；令()()(2)1x g x f x ax a e '==++-，用导数的方研究其单调性，进而可求出结果. 【详解】(1)当0a =时，()22=--x f x e x ，所以()21'=-xf x e .由()0f x '>解得ln 2x >-，由()0f x '<解得ln 2x <-.故函数()f x 在区间[]1,ln 2--上单减，在区间[]ln 2,0-上单增. min ()(ln 2)ln 21f x f ∴=-=-,2(1)10,(0)0-=-<=f f e，max ()(0)0∴==f x f ；(2) 因为2(1)10f e'-=-<，所以函数()f x 不可能在R 上单调递增. 所以，若函数()f x 为R 上单调函数，则必是单调递减函数，即()0f x '≤恒成立.由(0)10f a '=+…可得1a ≤-，故()0f x '≤恒成立的必要条件为21a -<≤-.令()()(2)1x g x f x ax a e '==++-，则()(22)x g x ax a e '=++.当21a -<≤-时，由()0g x '>，可得22x a ⎛⎫<-+ ⎪⎝⎭， 由()0g x '<可得22x a ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭， ()g x ∴在2,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭.上单调递增，在22,a ⎛⎫--+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 故22max 2()21a g x g ae a --⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭令22()1a h a ae--=--，下证:当21a -<≤-时，22()10a h a ae --=--…. 即证221a e a---…，令22t a --=，其中(]1,0∈-t ，则112t a -=+， 则原式等价于证明:当(]1,0∈-t 时，12t e t +…. 由(1)的结论知，显然成立.综上，当21a -<≤-时，函数()f x 为R 上的单调函数，且单调递减.【点睛】本题主要考查求函数最值，以及由函数单调性求参数的问题，灵活运用导数的方法求函数单调性，即可研究其最值等，属于常考题型.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选- -题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .(1)求1C 的极坐标方程；(2)若直线2C 与曲线1C 相交于M ，N 两点，求MN .【答案】(1) 22cos 40ρρθ--=；(2)【解析】【分析】 （1）根据曲线1C 的参数方程消去参数，得到普通方程，再转化为极坐标方程即可；（2）先将直线的极坐标方程化为参数方程，代入()2215x y -+=，根据参数方程下的弦长公式，即可求出结果. 【详解】(1)曲线1C 的参数方程为: 1(x y ααα⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数)， 转换为普通方程为: ()2215x y -+=，转换为极坐标方程为: 22cos 40ρρθ--=. (2)直线2C 的极坐标方程为()4πθρ=∈R .转换为参数方程为: 22x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 把直线的参数方程代入22(1)5x y -+=，得到: 240t -=，(1t 和2t 为M ，N 对应的参数)，故: 12t t +124t t ⋅=-， 所以12||MN t t =-==【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及求弦长的问题，熟记公式即可，属于常考题型.选修4-5:不等式选讲23.已知()|1||1|f x x ax =+++.(1)当1a =-时，求不等式()3f x ≥的解集；(2)若1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立，求a 的取值范围.【答案】(1) 33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）(,2][0,)-∞-⋃+∞. 【解析】【分析】（1）先由1a =-得|1||1|3++-≥x x ，分别讨论1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况，即可得出结果；（2）先由题意，得到当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x -…或0a ≥恒成立，进而可求出结果.【详解】(1)当1a =-时，不等式()3f x ≥可化简为|1||1|3++-≥x x .当1x <-时，113x x --+-≥，解得32x -…，所以32x -… 当11x -≤<时，113x x ++-≥，无解；当1x ≥时，113x x ++-≥，解得32x ≥，所以32x ≥； 综上，不等式()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； (2)当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+可化简为11ax +≥.由不等式的性质得11ax +≤-或11ax +≥，即2ax ≤-或0ax ≥.当1x ≥时，不等式()2f x x ≥+恒成立转化为2a x -…或0a ≥恒成立; 则2a ≤-或0a ≥.综上，所求a 的取值范围为(,2][0,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题主要考查解含绝对值不等式，以及由不等式恒成立求参数的问题，灵活运用分类讨论法求解即可，属于常考题型.。
东北三省三校哈师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2020届高三数学三模考试试题文含解析
【解析】
【分析】
根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度 总量和增速由高到低排位均居同一位的
省份有某某均第一.某某均第四.共2个.故C项正确； .
故D项不正确.
故选：D.
【点睛】本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.
在对称轴处取得最值有 ，结合 ，可得 ，易得曲线 的解析式为 ，结合其对称中心为 可得 即可得到 的最小值.
【详解】∵直线 是曲线 的一条对称轴.
，又 .
.
∴平移后曲线 为 .
曲线 的一个对称中心为 .
.
，注意到
故 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题.
（1）求证： .
（2）若点 在 轴的上方， ，求 面积的最小值.
【答案】（1）见解析；（2）1
【解析】
【分析】
（1）联立直线 的方程和椭圆 的方程，利用判别式列方程，求得 点的坐标，求得 点的坐标，通过计算得到 ，由此证得 .
（2）求得 ，由此求得三角形 面积的表达式，根据函数的单调性求得三角形 面积的最小值.
14. 春节即将来临之际，3位同学各写一X贺卡，混合后每个同学从中抽取一X，且抽取其中任意一X都是等可能的，则每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求得基本事件的总数，由此求得每个同学抽到的都是自己写的贺卡的概率.
【详解】设三X贺卡编号为 ，则每个同学从中抽取一X，
2024届东北三省三校第一次联考数学试题+答案
哈尔滨师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在．本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈−≤R ，则M N = （ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．∅2．已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=−，则z =（ ） A ．1i −+B ．1i −−C ．1i −D ．1i +3．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =−，则a =（ ） A ．3−B ．3C ．13D ．13−4．已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为A ，B ，过左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D ，若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B C ．13D ．235．()521x x y y −−的展开式中32x y 的系数为（ ） A ．55B ．70−C ．30D ．25−6．已知正四棱锥P ABCD −各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（ ） A ．9πB ．36πC ．4πD ．4π37．已知函数()22e e xx f x ax −=−−，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2−∞B ．(],4−∞C ．[)2,+∞D ．[)4,+∞8．设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（ ） A ．若374a a +=，则918S =B ．若150S >，160S <，则2289a a > C ．若211a a +=，349a a +=，则7825a a += D ．若810a S =，则90S >，100S <10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（ ） A ．PQ PF +的最小值是2 B ．PQ PF ≥C ．当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP =D ．若PQF △是等边三角形，则点P 的橫坐标是311．在一个只有一条环形道路的小镇上，有2家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示．小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间．某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路。
【附加15套高考模拟试卷】东北三省四市教研协作体2020届高三联合考试数学(文)试题含答案
东北三省四市教研协作体2020届高三联合考试数学（文）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知2(1)(1)x x ++++0(1)n x a ⋯++=212nn a x a x a x +++⋯+，若12129n a a a n -++⋯+=-，那么自然数n =( ) A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y ab a b+=>>和22221()()x y ma mb +=（0a b >>，1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、BD 的斜率之积恒为1625-，则椭圆的离心率为（ ）A ．35B ．34C ．45 D ．743．如图1为某省2019年1~4月快递义务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是( )A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就.书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.若某“阳马”的三视图如图所示网格纸上小正方形的边长为1，则该“阳马”最长的棱长为（ ）A ．5B ．34C ．41D ．525．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若对于任意都有，则（ ） A ．B ．C ．D ．6．22221231111,,,xS x dx S dx S e dx x ===⎰⎰⎰若 ，则s 1,s 2,s 3的大小关系为（ ）A ．s 1＜s 2＜s 3B ．s 2＜s 1＜s 3C ．s 2＜s 3＜s 1D ．s 3＜s 2＜s 17．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1234a a a ++=，610S =，则3a =（ ）A ．149B ．169 C ．209 D ．738．定义在R 上的函数，则（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知()()13cos 213xxf x x α-=++，R x ∈.则当[]0απ∈，时，()f x 的图像不可能．．．是（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知()1f x x =+，()ln g x x =，若12()()f x g x =，则21x x -的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．2ln 2-D ．2ln2+11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===2BC =，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π12．73(1)(1)x x -+的展开式中x 的系数是（ ） A ．10 B ．4 C ．-10 D ．-4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
东北三省三校2019-2020学年高三第一次联合模拟考试数学(文)试题(学生版)
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为: 为参数)，以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(1)求 的极坐标方程；
(2)若直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 .
选修4-5:不等式选讲
23.已知 .
(1)当 时，求不等式 的解集；
(2)若 时，不等式 恒成立，求 的取值范围.
14.若关于 的不等式 的解集是 ，则 _______.
15.设 为 所在平面内一点， ，若 ，则 =__________.
16.某工厂现将一棱长为 的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为_____．
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.
A 1B. 2C. 3D. 4
12.如果定义在 上的函数 满足:对于任意 ，都有 ,则称 为“ 函数”.给出下列函数:① ；② ；③ ；④ 其中为“ 函数”的是（）
A.①②B.②③C.①②③D.②④
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若 是偶函数，当 时， ，则 =.______.
(一)必考题:共60分
17.已知命题 ，不等式 恒成立；命题 :函数 ， ；
(1)若命题 为真，求 的取值范围；
(2)若命题 是真命题，求实数 的取值范围.
18.已知函数
(1)求函数 的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数 在区间 上的最小值，并求出取得最值时 的值.
19.已知四棱锥 的底面 为平行四边形， .
A. B.
C. D.
东北三省四市教研联合体2020届高三数学模拟考试试题文(含解析)
东北三省四市教研联合体2020届高三数学模拟考试试题 文（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则（{}1,2,3,4,5,6,7U ={}2,3,5,7A ={}1,2,4,6B =()U A B =ð）A.B.C.D.{}2,5,7{}3,5,7{}3{}5,7【答案】B 【解析】【分析】先由已知得到，再与A 求交集即可.{3,5,7}U C B =【详解】由已知，，故.{3,5,7}U C B =(){3,5,7}U A C B = 故选：B.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.已知，则复数( )2(1)=1i i z +-z =A. B. C. D. 1i +1i-1i--1i-+【答案】D 【解析】【分析】根据复数的四则运算，即可求得复数.z 【详解】因为，2(1)=1i i z +-故可得.()()()()2121211111i i i i z i i i i i ++====-+---+故选：D.【点睛】本题考查复数的四则运算，属基础题.3.为等差数列的前项和，若，则( )n S {}n a n 150S =8a =A. －1 B. 0C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据，即可容易求得.15815S a =【详解】因为数列是等差数列，{}n a 故可得，又，15815S a =150S =故可得.80a =故选：B.【点睛】本题考查等差数列前项和的性质，属基础题.n 4.设是实数，“”是“”的( )x 0x <11x <A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C .充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解分式不等式，根据充分性和必要性即可容易求得.【详解】因为，即可求得，11x <()(),01,x ∈-∞⋃+∞故是的充分不必要条件.0x <11x <故选：A.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及分式不等式的求解.5.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式.它L h 2136V L h ≈实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体23112V L h ≈积公式中的圆周率近似取为（ ）A. B. C. D. 22715750289337115【答案】C 【解析】【分析】将圆锥的体积用两种方式表达，即，解出即可.213V r h π==23(2)112r hππ【详解】设圆锥底面圆的半径为r ，则，又，213V r h π=2233(2)112112V L h r hπ≈=故，所以，.23(2)112r h π213r h π≈11228369π≈=故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.哈尔滨市为创建文明城，试运行生活垃圾分类处理，将生活垃圾分为厨余、可回收和其他三类，分别记为，，；并且设置了相应的垃圾箱：“厨余垃圾箱”、“可回收垃圾箱”a b c 和“其他垃圾箱”，分别记为，，.为调查居民生活垃圾分类投放情况，随机抽取某小A B C 区三类垃圾箱中共计生活垃圾，数据统计如图.则估计生活垃圾投放错误的概率为( 500g k )ABCa2001040b1512020c155030A. B. C. D. 235014950310【答案】D 【解析】【分析】先计算投放正确的概率，再求出投放错误的概率即可.【详解】根据题意，投放正确的概率为，20012030 750010++=故投放错误的概率为.7311010-=故选：D.【点睛】本题考查简单随机事件的概率求解，属基础题.7.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则3211()532f x x x =+-(1,(1))f α( )2cos 2sin 2cos ααα=+A. B.C. 2D. 1235-85【答案】B 【解析】【分析】根据导数的几何意义，求得，再利用同角三角函数关系，求得齐次式的值即可.tan α【详解】因为，故可得，3211()532f x x x =+-()2f x x x '=+则切线的斜率；()12tan f α'==又因为.2cos 2sin 2cos ααα=+2222cos sin 1tan 1432cos 21415sin cos tan ααααααα---===-+++故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及已知正切值求齐次式的值，属综合基础题.8.已知函数，若函数的零点恰有4个，则实数的取232,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩|()|y f x m =-m 值范围是( )A. B.C. D. 33,102⎛⎤⎥⎝⎦(]0,220,3⎛⎤ ⎥⎝⎦31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】画出函数的图像，数形结合即可容易求得.()y f x =【详解】因为，故可得的图像如下：232,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩()y f x =若函数的零点恰有4个，|()|y f x m =-即与有4个交点，()y f x =y m =故.(]0,2m ∈故选：B.【点睛】本题考查由函数的零点个数求参数的范围，涉及对数函数的图像，属综合中档题.9.设等比数列满足，则的最大值为( ){}n a ()211047220a a a a +=+56a aB. 4C. 10D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的下标和性质，即可容易求得，再根据均值不等式即可容易求得.2211020a a +=【详解】因为数列是等比数列，又，{}n a ()211047220a a a a +=+故可得，22110110472220a a a a a a ++=+即，2211020a a +=又，56a a 110a a =又，22110110102a a a a +≤=当且仅当时，取得最大值..110a a ==故选：C.【点睛】本题考查等比数列的下标和性质，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.10.如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于.剪去，将剩ABCD AC BD O AOB ∆余部分沿，折叠，使、重合，则以、、、为顶点的四面体的OC OD OA OB ()A B C D O 外接球的体积为( )A. B.D. 24π48π【答案】A 【解析】【分析】根据题意，还原出几何体，结合几何体的特点，即可容易求得.【详解】根据题意，为方便说明问题，将几何体从正方体中截取出来如下所示：容易知三棱锥和棱长为的正方体有相同的外接球.A ODC-则外接球的半径r ==故其外接球体积.343V r π==故选：A.【点睛】本题考查几何体的还原以及外接球的求解，本题中从正方体中截取几何体是解决问题的关键.11.已知双曲线：（，，抛物线：1C 22221x y a b -=0a >0b >2C （）的准线经过的左焦点.若抛物线的焦点到的渐近线的距离为22y px =0p >1C 2C 1C 2，则的标准方程为( )2C A.B. C. D.2y =24y x=220y x=2y =【答案】D 【解析】【分析】根据题意，双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，结合离心率和焦点到渐近线的距离即可容易求得.【详解】根据题意可知双曲线的右焦点和抛物线焦点相同，又因为抛物线的焦点到的渐近线的距离为2，2C 1C故可得（根据点到直线的距离公式，即可容易求得）2b =(),0c b y xa =又因为，ca =解得，则.c =2p=则抛物线的方程为.2y =故选：D.【点睛】本题考查抛物线方程和双曲线方程的求解，涉及抛物线的渐近线，属综合基础题.12.已知函数，则使成立的的取值范围是( )211()1||x f x e x +=-+(2)(1)f x f x >+x A. B. 1,(1,)3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(1,)-+∞C.D. 1(,1),3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭1,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据是偶函数，且当时是单调增函数，利用函数的性质即可求得不等式.()f x 0x >【详解】因为，且其定义域为，故是偶函数；()()2111x f x f x e x+-==-+R ()f x 又当时，是单调增函数，则时，是单调减函数.0x >()211x x f x e x +=-+x 0<()f x 故等价于，(2)(1)f x f x >+21x x >+整理得，解得.()()3110x x +->()1,1,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭故选：A.【点睛】本题考查利用函数性质求解不等式，属综合中档题；本题的难点在于要有意识去判断函数的性质.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.设向量，若与共线，则________.((),,1a b m ==-a bm =【答案】【解析】【分析】根据向量共线的坐标公式，即可容易求得参数.【详解】因为且与共线((),,1a b m ==-a b 故可得，解得.2=m =故答案为：.【点睛】本题考查向量平行的坐标公式，属基础题.14.一个样本的容量为70，分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为________.15【答案】1135【解析】【分析】根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得.【详解】因为样本容量为，根据题意可得：70第一组和第三组的频率为.84126,70357035==根据频率之和为，即可求得：1第四组的频率为.4621113535535---=故答案为：.1135【点睛】本题考查频率的计算公式，属基础题.15.若函数的图像向左平移个单位得到函数的图像.则()sin 22f x x x =-8π()g x 在区间上的最小值为________.()g x 3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】【解析】【分析】注意平移是针对自变量x ，所以，再利用整体换元法求值()()8g x f x π=+=2sin(212x π-域（最值）即可.【详解】由已知，，()sin 22sin(23f x x x x π=-=-()(8g x f x π=+=，又，故，2sin[2(]2sin(2)8312x x πππ+-=-3,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦22[,]1233x πππ-∈-，所以的最小值为.2sin(2[12x π-∈()g x 故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应用，是一道基础题.16.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，如图是过且垂直于长轴C 22162x y +=1F 2F AB 1F 的弦，则的内切圆方程是________.2ABF ∆【答案】224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用公式计算出，其中为的周长，为内切圆半径，再利用212ABF S lr∆=r l 2ABF ∆r 2ABF ∆圆心到直线AB 的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，，，，设内切圆的圆心为，(A-(2,B -2(2,0)F (,0)(2)t t >-半径为，则r，21222111()4222ABF S AB F F AB AF BF r a r∆=⨯⨯=⨯++⨯=⨯⨯4=解得，由，或（舍），所以的内切圆方程为23r =2|(2)|3t --=43t =-83t =-2ABF ∆.224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭故答案为：.224439x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识，考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数（以十位数字为茎，个位数字为叶）：若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.组别分组频数频率频率组距1[)60,702[)70,803[)80,904[]90,100（Ⅰ）从这20人中成绩为“优秀”的员工中任取2人，求恰有1人的分数为96的概率；（Ⅱ）根据这20人的分数补全频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计所有员工的平均分数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）频率分布表和频率分布直方图见解析，82.23【解析】【分析】（Ⅰ）列举出从四个人中抽取两人的所有情况，找出满足题意的情况，用古典概型的概率计算公式即可求得；（Ⅱ）根据茎叶图中数据，先补全频率分布表和频率分布直方图，再估算平均值即可.【详解】（Ⅰ）设分数分别为95、96、96、98的四人为、、、a b c d 从成绩为优秀的员工中任取2人，包含6个基本事件(,)a b (,)a c (,)a d (,)b c (,)b d (,)c d 设从成绩为优秀的员工中随机抽取2人恰有一人的分数为96为事件.A 包含4个基本事件A (,)a b (,)a c (,)b d (,)c d ∴42()63P A ==（Ⅱ）组别分组频数频率频率组距1[)60,7021100.012[)70,8063100.033[)80,908250.044[]90,1004150.02，1342657585958210101010⨯+⨯+⨯+⨯=估计所有员工的平均分为82.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，以及频率分布表和频率分布直方图的绘制，涉及平均数的求解，属综合基础题.18.在中，为边上一点，，.ABC ∆M BC 45BAM ∠=︒cos AMC ∠=（1）求；sin B （2）若，，求.12MC BM= 4AC =MC【答案】（12）4【解析】【分析】（1），利用两角差的正弦公式计算即可；B AMC BAM =∠-∠（2）设，在中，用正弦定理将用x 表示，在中用一次余弦定理MC x =ABM ∆AM ACM ∆即可解决.【详解】（1）∵，cosAMC ∠=∴，sin AMC ∠=所以，sin sin()B AMC BAM =∠-∠sin cos cos sin AMC BAM AMC BAM=∠⋅∠-∠⋅∠==（2）∵，12MC BM=∴设，，MC x =2BM x =在中，由正弦定理得，，ABM ∆sin 45sin BM AMB=︒=∴，AM x =∵，2222cos AC AM MC AM MC AMC =+-⋅⋅∠∴222445x x x x =+-⋅∴.【点睛】本题考查两角差的正弦公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19.点（）是抛物线：上一点，为的焦点.(1,)P t 0t >C 24y x =F C （Ⅰ）若直线与抛物线的准线交于点，求的面积；OP l Q QFP ∆（Ⅱ）过点作两条倾斜角互补的直线分别与交于，两点，证明：直线的斜率P C M N MN 是定值.【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，求得点的坐标，即可容易求得面积；,P Q （Ⅱ）设出点的坐标，根据点在曲线上点的坐标满足曲线方程，以及直线的,M N ,PM PN 斜率之和为零，即可容易证明.【详解】（Ⅰ）将代入得(1,)P t 24y x =2t =则：，准线：，OP l 2y x =l 1x =-∴(1,2)Q --∴122QFP P Q S OF y y ∆=-=（Ⅱ）设，()11,M x y ()22,N x y 由题可知，，0MP NP K K +=∴121222011y y x x --+=--∴1222122201144y y y y --+=--∴12022y y +=++∴124y y +=-∴1212MN y y K x x -=-即证.1241y y ==-+【点睛】本题考查抛物线上一点坐标的求解，抛物线中定值问题的简单证明，属中档题.20.如图，在直角中，.通过以直线为轴顺时针旋转AOB ∆2OA OB ==AOC ∆AOB ∆OA 得到（）.点为线段上一点，且.120︒120BOC ∠=︒MBC MB=（Ⅰ）证明：平面；MO ⊥AOB （Ⅱ）若是线段的中点，求四棱锥的体积.D AB O ACMD -【答案】.【解析】【分析】（Ⅰ）通过证明，即可证明线面垂直；,AO MO MO OB ⊥⊥（Ⅱ）根据即可容易求得.O ACMD A BOC M ODB V V V ---=-【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理得，MOB ∆OM =∴∴222OM OB MB +=OM OB⊥由题意可知：∴，，OA OB ⊥OA OC ⊥OB OC O = ∴平面，OA ⊥COB 平面，∴OM ⊂COB OA OM⊥，OA OB O = ∴平面，OM ⊥AOB（Ⅱ）1122232A BOC V -=⨯⨯⨯=112132M ODB D OMB V V --==⨯⨯=O ACMD A BOC M ODB V V V ---=-=故四棱锥O ACMD -【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，以及棱锥体积的求解，属中档题.21.已知函数（）.2()()ln 2a x f x x +=+a ∈R （Ⅰ）若函数，讨论的单调性；()()(1)ln h x f x x a x =--+()h x （Ⅱ）若函数的导数的两个零点从小到大依次为，，证明：()f x ()f x '1x 2x .()1222x x f x +<【答案】（Ⅰ）函数单调性见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，求得，对参数进行分类讨论即可容易求得；()h x 'a （Ⅱ）根据是的两根，求得之间的关系式，构造函数12,x x ()f x '12,x x ，根据其单调性即可证明.21()ln 222x x g x x x =---【详解】（Ⅰ）∵∴（）.2()()ln 2a x h x a x x +=--+(1)()()x x a h x x -+'=0x >当时，，0a ≥()01h x x '>⇒>()001h x x '<⇒<<∴在上单调递增，在上单调递减；()h x (1,)+∞(0,1)当时，或，10a -<<()01h x x '>⇒>0x a <<-()01h x a x '<⇒-<<∴在，上单调递增，在上单调递减；()h x (1,)+∞(0,)a -(,1)a -当时，或，1a <-()0h x x a '>⇒>-01x <<()01h x x a'<⇒<<-∴在，上单调递增，在上单调递减；()h x (,)a -+∞(0,1)(1,)a -当时，在上恒成立，1a =-()0h x '≥(0,)+∞所以在上单调递增；()h x (0,)+∞综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；0a ≥()h x (1,)+∞(0,1)当时，在，上单调递增，在上单调递减；10a -<<()h x (1,)+∞(0,)a -(,1)a -当时，在，上单调递增，在上单调递减；1a <-()h x (,)a -+∞(0,1)(1,)a -当时，在上单调递增.1a =-()h x (0,)+∞（Ⅱ）∵（）.21()x ax f x x ++'=0x >且的两个零点从小到大依次为，()f x '1x 2x ∴，是方程的两个根，1x 2x 210x ax ++=∴12121x x a x x +=-⎧⎨=⎩又，且所以1>0x 20x >12x x <1201x x <<<欲证，即证()1222x x f x +<()22122ln 22x a x x x +++<只需证1211111ln 22x x x x ++<令（），21()ln 222x x g x x x =---01x <<()221(21)()2x x g x x --'=∴在上单调递增，上单调递减，()g x 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭∴，1()02g x g ⎛⎫≤< ⎪⎝⎭即成立.()1222x x f x +<【点睛】本题考查分类讨论求函数的单调性，以及利用导数证明不等式，涉及构造函数法，属综合困难题.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.选修4-4坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.点在曲xOy C 2221121t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩t ()00,p xy 线上，点满足.C (,)Q m n 002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩（1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐O x Q 1C 标方程；（2）点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求A B 1C 2AOB π∠=的值.2211||||OA OB +【答案】（1）（）；（2）22223cos 4sin 12p θρθ+=πθπ-<<712【解析】【分析】（1）由已知，曲线的参数方程消去t 后，要注意x 的范围，再利用普通方程与极坐标方C 程的互化公式运算即可；（2）设，，由（1）可得，()11,A ρθ21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2211213cos 4sin 112θθρ+=，相加即可得到证明.2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=【详解】（1），222222212111t t x y t t ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵，∴，∴，(]2211,11t t -∈-+1x ≠-221(1)x y x +=≠-由题可知：，002m x n =⎧⎪⎨=⎪⎩022021(2)43m x m n m y ⎧=⎪⎪⇒⇒+=≠-⎨⎪=⎪⎩：（）.1C 22223cos 4sin 12ρθρθ+=πθπ-<<（2）因为，222123cos 4sin ρθθ=+设，，()11,A ρθ21,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭则，2211213cos 4sin 112θθρ+=，2211223cos 4sin 12212ππθθρ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=22113sin 4cos 12θθ+=.22221211117||||12OA OB ρρ+=+=【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.选修4-5不等式选讲23.已知关于的不等式有解.x |1||3||2|x x m m +--≥-+（1）求实数的最大值；m t （2）若，，均为正实数，且满足.证明：.a b c a b c t ++=3333a b b c c a abc ++≥【答案】（1）；（2）见解析3t =【解析】【分析】（1）由题意，只需找到的最大值即可；()|1||3|f x x x =+--（2），构造并利用基本不等式可得22233333b c a a b b c c a abc a b c ++≥⇔++≥，即.222()2()b c a a b c a b c a b c +++++≥++2223b c a a b c a b c ++≥++=【详解】（1），()|1||3|f x x x =+--4,322,134,1x x x x ≥⎧⎪=--<<⎨⎪-≤-⎩∴的最大值为4.()f x 关于的不等式有解等价于，x |1||3||2|x x m m +--≥-+max ()4|2|f x m m =≥-+（ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得，2m ≥42m m ≥-+23m ≤≤（ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得，2m <42m m ≥-++2m <综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.m 3m ≤m 3t =（2）证明：根据（1）求解知，所以，3t =3a b c t ++==又∵，，，，0a >0b >0c >22233333b c a a b b c c a abc a b c ++≥⇔++≥222222()b c a b c a a b c a b c a b c a b c+++++=+++++，当且仅当时，等号成立，2()a b c ≥++=++a b c ==即，∴，222b c a a b c a b c ++≥++2223b c a a b c ++≥所以，.3333a b b c c a abc ++≥【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.。
东北三省三校2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题含答案解析
哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在.本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈-≤R ，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.∅2.已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=-，则z =（）A.1i-+ B.1i-- C.1i - D.1i+3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =-，则=a （）A .3- B.3C.13D.13-4.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为,A B ，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D .若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.32C.13D.235.()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为（）A.55B.70- C.30D.25-6.已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（）A.9πB.36πC.4πD.4π37.已知函数()22e e xx f x ax -=--，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞8.设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（）A.若374a a +=，则918S =B.若150S >，160S <，则2289a a >C .若121a a +=，349a a +=，则7825a a +=D.若810a S =，则90S >，100S <10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（）A.PQ PF +的最小值是2B.PQ PF≥C.当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP=D.若PQF △是等边三角形，则点P 的横坐标是311.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，BC =22ABC S AB AC =⋅△，则ABC 外接圆半径为______.13.如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，M 是线段PB 的中点，则异面直线DM 与PA 所成角的正切值为______.14.已知圆M ：()2249x y -+=，直线y kx =交圆M 于A 、B 两点，点()6,0C，则三角形ABC 面积的最大值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知()sin 22cos f x x x =+.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调递减区间.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2833，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.17.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X ，求X 的分布列.18.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q .（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的取值范围.19.十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为()21，2表示为()210，3表示为()211，5表示为()2101，发现若N n +∈可表示为二进制表达式()01212k k a a a a a -⋅⋅⋅，则11011222kk k k n a a a a --=⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++，其中01a =，0i a =或1（1,2,i k =⋅⋅⋅）.（1）记()011k k S n a a a a -=++⋅⋅⋅++，求证：()()8343S n S n +=+；（2）记()I n 为整数n 的二进制表达式中的0的个数，如()21I =，()30I =.（ⅰ）求()60I ；（ⅱ）求()51112I n n =∑（用数字作答）.哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在.本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈-≤R ，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.∅【答案】C 【解析】【分析】先由对数函数的性质，求出对数不等式的解集，再求M N ⋂即可.【详解】由对数函数的性质可得：不等式()2log 212x -≤成立，需要满足202124x <-≤=，解得1522x <≤，即15(,]22N =，且{}1,2M =，则M N ⋂={}1,2M =，故选：C.2.已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=-，则z =（）A.1i -+B.1i --C.1i- D.1i+【答案】A 【解析】【分析】先由i 1i z ⋅=-，得到1iiz -=，利用复数的除法运算法则求出z ，进而求出复数z 即可.【详解】由于i 1i z ⋅=-，得1i (1i)(i)1i i i (i)z --⋅-===--⋅-，则1i z =-+，故选：A.3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =-，则=a （）A.3- B.3C.13D.13-【答案】B 【解析】【分析】借助奇函数的性质计算即可得.【详解】()()383f f =-=--，故()38f -=，故()()23383af -=-+=-，解得3a =.故选：B.4.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为,A B ，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D .若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.32C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】先求直线AB 的斜率，再求过左焦点F 且平行于直线AB 的直线方程，求出点D 的坐标后，由关系式2OD DB =得出关于,,a b c 的方程，化简即可.【详解】由椭圆C ：22221x y a b +=的方程可得：(,0),(0,),(,0)A a B b F c --，其中c =则00()AB b b k a a-==--，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线方程为：()by x c a=+，将0x =代入该直线方程，可得点D 的坐标为(0,bca，若2OD DB = ，则23bc b a =，得23c a =.故选：D.5.()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为（）A.55 B.70- C.30D.25-【答案】C 【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对()5x y -，有()()55155C 1C k kk k k k kk T x y x y --+=-=-，令2k =，有()2252232351C 10T x y x y -=-=，令3k =，有()3353323451C 10T x y x y -=-=-，则()32233221101030x x y x y x y y ⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭，故()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为30.故选：C .6.已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（）A .9πB.36πC.4πD.4π3【答案】B【解析】【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.【详解】如图，设P 在底面ABCD 的射影为H ，则PH ⊥平面ABCD ，且H 为,AC BD 的交点.因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为16，且12AH =⨯=，故1641633PH ⨯⨯=，故4PH =.由正四棱锥的对称性可知O 在直线PH 上，设外接球的半径为R ，则4OH R =-，故()2284R R =+-，故3R =，故正四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为4π936π⨯⨯=，故选：B.7.已知函数()22e e xx f x ax -=--，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】B 【解析】【分析】求导()222e2e xx f x a -'=+-，令()()222e 2e 0x x g x a x -=+-≥，利用导数判断函数()g x 的单调性，再由a 分类讨论即可得解.【详解】由()22e e xx f x ax -=--，得()222e 2e x x f x a -'=+-，令()()222e2e 0xx g x a x -=+-≥，则()224e4e xx g x -'=-，因为函数224e ,4e x x y y -==-在[)0,∞+上都是增函数，所以函数()224e4e xx g x -'=-在[)0,∞+上是增函数，所以()()00g x g ''≥=，所以函数()222e2e xx g x a -=+-在[)0,∞+上是增函数，所以()()min 04f x f a ''==-，当4a ≤时，()222e2e 40xx f x a a -'=+-≥-≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00f x f ≥=，满足题意；当4a >时，则存在()00,x ∈+∞，使得()00f '=，且当[)00,x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以()()000f x f <=，故()0f x ≥不恒成立，综上所述，a 的取值范围是(],4∞-.故选：B.8.设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1a >，1b <，1c <，即可得a b >，a c >，再比较b 与c 的大小关系，借助对数运算转化为比较()91.1与2的大小关系，结合放缩计算即可得.【详解】10331ee a >==，11ln110b =<，ln 2.2110c =<，故a b >，a c >，要比较11ln 10与ln 2.210的大小，即比较1011ln 10⎛⎫ ⎪⎝⎭与ln 2.2的大小，等价于比较()101.1与2.2的大小，等价于比较()91.1与2的大小，又()()()()98441.1 1.1 1.1 1.1 1.21 1.1 1.2=⨯=⨯>⨯()()221.1 1.44 1.1 1.4 1.11.962=⨯>⨯=⨯>，故()91.12>，即11ln2.2ln 1010>，即b c >，故c b a <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较b 与c 的大小关系，可借助对数运算转化为比较()91.1与2的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（）A.若374a a +=，则918S =B.若150S >，160S <，则2289a a >C.若121a a +=，349a a +=，则7825a a +=D.若810a S =，则90S >，100S <【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n 项和公式逐项分析判断即得.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，对于A ，374a a +=，1937989(1)9()22S a a a a ++===，A 正确；对于B ，11515815()1502a a S a +=>=，则80a >，116168916()8()02a a S a a +==+<，则890a a +<，980a a <-<，因此22898989()()0a a a a a a -=+-<，即2289a a <，B 错误；对于C ，5634122()()17a a a a a a +=+-+=，则675483252()()a a a a a a +=++=-，C 正确；对于D ，设{}n a 的公差为d ，由810a S =，得1171045a d a d +=+，解得1938d a =-，则9111189369()019S a d a a =+=->，1011815(2)038S a a =-<，D 正确.故选：ACD10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（）A.PQ PF +的最小值是2B.PQ PF≥C.当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP= D.若PQF △是等边三角形，则点P 的横坐标是3【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出()1,0F 及准线方程，由抛物线定义得到PF PA =，当Q 与点A 重合时，2PQ PF PA +=取的最小值，当P 与点O 重合时，PA 取得最小值，得到答案；B 选项，在A 选项基础上得到PQ PF ≥；C 选项，求出()4,4P ，假设存在点Q ，使得3QF FP =，则点Q 为直线PF 与准线=1x -的交点，求出直线PF 的方程，得到81,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求出23QF FP = ；D 选项，得到PF PQ =，由抛物线定义得到点Q 与点A重合，由等边三角形的性质结合2WF =得到4PQ PF ==，从而求出点P 的横坐标.【详解】A 选项，由题意得()1,0F ，准线方程为=1x -，设准线与x 轴交点为W ，过点P 作PA ⊥抛物线C 的准线，垂足为A ，由抛物线定义可知，PF PA =，则PQ PF PQ PA +=+，故当Q 与点A 重合时，2PQ PF PA +=取的最小值，显然，当P 与点O 重合时，PA 取得最小值，最小值为1OW =，故2PQ PF PA +=的最小值为2，A 正确；B 选项，由A 选项知PQ PA PF ≥=，当点Q 与点A 重合时，等号成立，故B 正确；C 选项，当点P 的纵坐标为4时，令24y x =中的4y =得，4x =，故()4,4P ，假设存在点Q ，使得3QF FP =，则点Q 为直线PF 与准线=1x -的交点，直线PF 的方程为014041y x --=--，即4340x y --=，4340x y --=中，令=1x -得83y =-，故点81,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时()82,,3,43QF FP ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时23QF FP =，C 错误；D 选项，若PQF △是等边三角形，则PF PQ =，因为PF PA =，所以PA PQ =，即点Q 与点A 重合，则PQ ⊥y 轴，则π3PQF QFW ∠=∠=，又2WF =，则224πcos3WFQF ==⨯=，所以4PQ PF ==，故点P 的横坐标是413-=，D 正确；故选：ABD11.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732【答案】ABD 【解析】【分析】根据分类计数原理和分布计数原理可逐个判定选项得结果.【详解】选项A ：10分钟或10分钟以内到家只能是A B C D →→→，所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为11112228⨯⨯=，故A 正确；选项B ：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于1553=步，可能顺时针A D →走5步概率为511232⎛⎫= ⎪⎝⎭，可能逆时针A D →走3步概率为31128⎛⎫= ⎪⎝⎭，或者逆时针A D →走5步，即概率为31313C 232⎛⎫= ⎪⎝⎭，故其概率概率为1131832324++=，故B 正确；选项C ：经过家门口不停，15分钟后恰好停在家门口，共走5步，可以顺时针走5步,即A H G F E D →→→→→，概率为511232⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以逆时针走5步，概率为51515C 232⎛⎫= ⎪⎝⎭，故其概率为153532321632+=≠，故C 错误；选项D ：经过家门口不停，21分钟后恰好停在家门口，共走7步，可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，所以其概率为2116677C C C 7232++=，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC中，BC =22ABC S AB AC =⋅△，则ABC 外接圆半径为______.【答案】3【解析】【分析】根据面积公式和数量积的定义可求tan A =，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径.【详解】因为22ABC S AB AC=⋅△，故1sin cos 2AB AC A AC A = ,故tan A =，故A为锐角，故sin 3A =，132=，故答案为：3.13.如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，M 是线段PB 的中点，则异面直线DM 与PA 所成角的正切值为______.【答案】5【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，则PA AD ⊥，PA AB ⊥，又四边形ABCD 是正方形，则AB AD ⊥，以A 为坐标原点，,,AP AB AD分别为,,x y z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，且2PA AB ==，则()0,0,2D ，()2,0,0P ，()0,2,0B ，又M 是线段PB 的中点，则()1,1,0M ，则()1,1,2DM =- ，()2,0,0AP = ，则6cos ,626AP DM AP DM AP DM ⋅==⋅，设异面直线DM 与PA 所成角为θ，即6cos cos ,6AP DM θ=<>=，则230sin 1cos 6θθ=-=，所以sin tan 5cos θθθ==，即异面直线DM 与PA 5.514.已知圆M ：()2249x y -+=，直线y kx =交圆M 于A 、B 两点，点()6,0C，则三角形ABC 面积的最大值为______.【答案】274【解析】【分析】求出圆心()4,0M 到直线y kx =的距离为3d =<，和()6,0C 到直线y kx =的距离为h =，利用垂径定理得到AB =，表达出ABC S =，换元后得到面积的最大值.【详解】()2249x y -+=的圆心()4,0M ，半径为3，则()4,0M 到直线y kx =的距离为3d =<，解得297k <，()6,0C 到直线y kx =的距离为h =，AB =，故12ABCS AB h =⋅==t =，由于3d =<，故34t <，则6ABCS === ，当328t =时，ABC S取得最大值，最大值为274=.故答案为：274四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知()sin 22cos f x x x =+.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）22y x =+（2）单调递减区间为π5π[2π,2π]66k k ++，k ∈Z 【解析】【分析】（1）先求原函数的导函数，再求出0x =处的导数值即切线的斜率，写出切线方程即可；（2）求()f x 的单调递减区间，只需求出其导函数满足不等式()0f x '≤的解集即可.【小问1详解】由于()sin 22cos f x x x =+，其导函数为：()2cos 22sin f x x x =-'，得：()02f '=，()02f =，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()220y x -=-，即22y x =+；【小问2详解】由于()2cos 22sin f x x x =-'，得：()()()22212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x =--=-+-'，若()0f x '≤，则()222sin sin 10x x -+-≤，即()()22sin 1sin 10x x --+≤，由于1sin 1x -≤≤，则sin 10x +≥，只需1sin 2x ≥即可，解得π5π[2π,2π66x k k ∈++，k ∈Z ，故()f x 的单调递减区间为：π5π[2π,2π]66k k ++，k ∈Z .16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2833，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1313【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出DB =，再利用线面垂直的判定与性质即可证明；（2）利用台体体积公式求出11DD =，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角余弦值即可.【小问1详解】底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=︒ ，60DAB ∴∠=︒.4DA = ，8AB =，由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+-⨯︒=，DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，1DD DB ∴⊥，又DA ⊂ 平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，且1DA DD D = ，DB ∴⊥平面11ADD A ，又1AA ⊂ 平面11ADD A ，1DB AA ∴⊥.【小问2详解】四棱台中1111ABCD A B C D -的体积为2833，(111113ABCD A B C D V S S ∴=++，(11111283133DD AD DB A D D B ∴=⋅⋅⋅+⋅+，1133DD ∴=⋅⋅11DD =.如图，以点D 为原点，DA ，DB ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()4,0,0A，()0,B，()4,C -，()10,B ，()4,0,0BC ∴=-，()10,BB =- ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则有140n BC x n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，所以(0,1,n = 平面11ADD A 的法向量为()0,1,0m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ，则cos cos ,13m nm n m n θ⋅====.17.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X ，求X 的分布列.【答案】（1）甲班（2）25，35（3）分布列见解析【解析】【分析】（1）根据甲乙两班成绩箱型图中的中位数，第三四分位数和第一四分位数的位置可以判断结果；（2）依题知这是条件概率问题，分别设出从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则需要求()P A B 和()P A B ，而这需要先求()P B A 和()P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，最后用贝叶斯公式求解即得；（3）先求出X 的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每个值对应的概率，即得X 的分布列.【小问1详解】由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.【小问2详解】由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分；乙班中有34的学生分数低于128分设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则()12P A =，()12P A =，()12P B A =，()34P B A =，()()()()()()()1131522428P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅=⨯+⨯=()()()()()()11222558P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====()()()()()()13324558P A P B A P AB P A B P B ⨯====所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为25，35.【小问3详解】依题X 的所有可能取值为0，1，2，3()3064310C C 10C 6P X ===，()2164310C C 11C 2P X ===()1264310C C 32C 10P X ===，()0364310C C 14C 30P X ===所以X 的分布列为：X123P161231013018.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q .（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析（3）3⎤⎥⎦【解析】【分析】（1）设出M 、N 两点坐标，借助点差法计算即可得；（2）联立直线与双曲线方程，可得与M 、N 两点坐标有关韦达定理，通过计算0EM EN ⋅=即可得MEN 为直角三角形；（3）设直线AB 方程为：x my n =+，()33,P x y ，()44,A x y ，()55,B x y ，结合题意计算可得()()()()22222244554545332331x y xy x x y y λλλ-+-+-=+，又224430x y -= ，225530x y -=，可得()245453132x x y y λλ+-=，联立直线AB 与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得()222316312n m λλ+-=-，结合面积公式计算即可用λ表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围.【小问1详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则122x x +=，126y y +=，M ，N 两点在双曲线C 上，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩①②，由①－②得22221212220x x y y a b ---=，即2221222212y y b x x a -=-，()()()()2121221212y y y y b x x x x a+-∴=+-，22OQ MNb k k a ∴⋅=，即2213b a∴⋅=，223b a ∴=，又1a = ，23b ∴=，∴双曲线C 的方程为：2213yx -=；【小问2详解】由已知可得，直线MN 的方程为：()311y x -=⋅-，即2y x =+，联立22222470330y x x x x y =+⎧⇒--=⎨--=⎩，1656720∆=+=>，则122x x +=，1272x x =-，()()()()112212121,1,11EM EN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()12121212112225x x x x x x x x =--+++=+++722502⎛⎫=⨯-++= ⎪⎝⎭，EM EN ∴⊥，EMN ∴△为直角三角形；【小问3详解】由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+，设()33,P x y ，()44,A x y ，()55,B x y ，AP PB λ=，()()34345353,,x x y y x x y y λ∴--=--，()()4533453345345311x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+∴⇒⎨⎨-=-+⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，点P 在双曲线C 上，22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴-=，()()()2224545331x x y y λλλ∴+-+=+，()()()()22222244554545332331x y x y x x y y λλλ∴-+-+-=+③，又224430x y -= ，225530x y -=，()()245452331x x y y λλ∴-=+，()245453132x x y y λλ+∴-=④，联立()222223031630x y m y mny n x my n⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，()2222231033Δ3612310m m m n n m ⎧-≠⎪⇒≠±⎨=-->⎪⎩，452631mn y y m -+=-⑤，2452331n y y m =-⑥，A ，B 分别在第一象限和第四象限，450y y ∴<，2310m ∴-<，由④式得：()()()245453132my n my n y y λλ+++-=，()()()22245453131332m y y mn y y n λλ+∴-+++=⑦，将⑤⑥代入⑦得：()()2222223136313331312n mn m mn n m m λλ+--++=--，()222316312n m λλ+-∴=-，12132323sin 2433AOB S OA OB AOB y y ∴=⋅⋅∠=⋅⋅⋅⋅△212231n y y m ===-()231122λλλλ+⎫==++⎪⎭令()1h λλλ=+，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数性质可得()h λ在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,2上单调递增，()102,3h λ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，433AOB S ∴∈⎦△.【点睛】关键点点睛：本题第（3）小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用λ表示出该三角形面积，难点在于计算.19.十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为()21，2表示为()210，3表示为()211，5表示为()2101，发现若N n +∈可表示为二进制表达式()01212k k a a a a a -⋅⋅⋅，则11011222kk k k n a a a a --=⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++，其中01a =，0i a =或1（1,2,i k =⋅⋅⋅）.（1）记()011k k S n a a a a -=++⋅⋅⋅++，求证：()()8343S n S n +=+；（2）记()I n 为整数n 的二进制表达式中的0的个数，如()21I =，()30I =.（ⅰ）求()60I ；（ⅱ）求()51112I n n =∑（用数字作答）.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）2；（ⅱ）9841【解析】【分析】（1）借助二进制的定义计算可得()()832S n S n +=+，()()432S n S n +=+，即可得证；（2）（ⅰ）借助二进制的定义可计算出()260111100=，即可得表达式中的0的个数；（ⅱ）计算出从1n =到511n =中，()0I n =、()1I n =、L ，()9I n =的个数，即可得()51112I n n =∑.【小问1详解】32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+，()()0183112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=+，21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+，()()0143112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=+，()()8343S n S n ∴+=+；【小问2详解】（ⅰ）()54321260321684121212120202111100=+++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()602I ∴=，（ⅱ）()021121=⨯=，()8765432102511121212121212121212111111111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故从1n =到511n =中，()0I n =有()21、()211、L 、()2111111111共9个，()1I n =有111128C C C ++⋅⋅⋅+个，由11121289C C C C ++⋅⋅⋅+=，即共有29C 个()2I n =有222238C C C ++⋅⋅⋅+个，由22232389C C C C ++⋅⋅⋅+=，即共有39C 个……，()9I n =有89891C C ==个，()511021329899912922C 2C 2C I n n ==⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯∑11223399999922222C C C C ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=001122339999999C C C C C 2222212⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-=()912198412+-==.【点睛】关键点点睛：本体最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到()021121=⨯=，()2511111111111=，通过组合数的计算得到()0I n =、()1I n =、L 、()9I n =的个数，再结合组合数的性质计算得到结果.。
东北三省四市2020年教研联合体高考模拟试卷 数学(文科)试卷
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4. 考试结束，只需上交答题卡。 -、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合
''''''''''，''
题目要求的。
c 1.已知全集U= {1,2,3,4,5,6,7},集合 A= {2,3,5,7}, B= {1,2,4,6},则A门 C 泣）＝
5. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的 数学典籍． 其中记载有求 “ 困盖 ”的术＂ ： 置 如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一“． 该 术
相当千给出了由圆锥的底面周长L与高h '计算 其体积V::::::: — 36L切的近似公式．它实际上是将
．
数学（文科类）模拟测试第1页（共4页）
数学（文科类）模拟测试第2页（共4页）
D.
3 10
II 第 卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23
题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本题共4小题，每小题S分．
13. 设向最a = (2,立）， b= (— m,l) ,若a与b共线，则m=
.
14. 一个样本的容扯为70,分成五组．已知第一组、第三组的频数分别是8,12,第二组、第五组的
频率都为—，则该样本 第 四组的频率为
．
t 15.若函数f(x) = sin2x—祁cos2x的图像向左平移 个单位得到
t 函数 g(x)的图像则g(x) 在区间[ 平］上的最小 值为
y
x