2019年高考文科数学知识点总结：极坐标与参数方程
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极坐标与参数方程
116.点的极坐标
对于平面上任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从OX 到OM 的角度，ρ叫做点M 的极径， θ叫做点M 的极角，有序数对（ρ，θ）就叫做M 的极坐标。
117. 极坐标与直角坐标的互化公式
{cos sin x y ρθ
ρθ== 222tan x y y
x ρθ=+=⎧⎨⎩
118、参数方程的概念
在平面直角坐标系中，曲线上任意一点的坐标,x y 都是第三个变量t 的函数()()x f t y g t =⎧⎪⎨=⎪⎩
（1），并且对于t 的每一个值，由（1）式所确定的点(),M x y 都在这条曲线上，那么（1）式叫做这条曲线的参数方程，其中变量t 叫做参数。
119、过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程⎩
⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数） 参数|t|的几何意义是直线上由参数t 确定的点到定点P 的距离
120. (1)圆心在原点O ，半径为R 的圆的参数方程{
cos sin x R y R θθ== (2)圆心在(a ，b)，半径为R 的圆的参数方程{cos sin x a R y b R θ
θ=+=+
（3）焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0) ⇔{
cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数）。
(完整)2019年高中数学极坐标方程知识点总结题型汇总,推荐文档
极坐标方程创作时间： 2019.1【学习目标】1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程． 【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴． 要点诠释：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 轴旋 2. 点的极坐标 在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 转到OP 的角度θ来确定，（ρ，θ）叫做点P 的极坐标，ρ叫做点P 的极径，θ叫做点P 的极角．极点的极坐标为（0，θ），其中θ可以取任何值． 要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0．（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ρ，θ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（ρ，θ）（ρ≠0），那么这一点也可以表示为（ρ，2n θπ+）或（ρ-，(21)n θπ++）（其中n 为整数）．一般情况下，我们取极径ρ≥0，极角θ为0≤θ＜2π（或－π＜0≤π）．如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标（1）同一个点：如极坐标系中点4,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,46ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,66ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，4,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，4,26k ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）都表示点4,6π⎛⎫⎪⎝⎭．于是我们有，一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，2k θπ+）（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，θ）（θ∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示． 这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．（2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、4,6π⎛⎫⎪⎝⎭、4,3π⎛⎫⎪⎝⎭、4,2π⎛⎫⎪⎝⎭，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（ρ，θ）{这里ρ为定值，[0,2)θπ∈}点的轨迹就是以极点为圆心，以ρ为半径的圆．（3）对称点：（ρ，θ）关于极轴的对称点为（ρ，2πθ-），关于极点的对称点为（ρ，πθ+），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（ρ，πθ-）． （4）共线的点：如果极坐标为（ρ，θ），其中θ为常数，ρ＞0，则表示与极轴成θ角的射线． 4．极坐标系内两点间的距离公式设极坐标系内两点111(,)P ρθ，222(,)P ρθ，则2212121212||2cos()PP ρρρρθθ=+--．特例：当12θθ=，1212||||P P ρρ-=-．要点二、极坐标与直角坐标的互化1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴正半轴重合； ③两种坐标系中长度单位相同2、互化公式如图，符合上述三条件的点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，则①极坐标化直角坐标：cos ,sin x y ρθρθ==②直角坐标化极坐标：222,tan (0)yx y x xρθ=+=≠ 这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释： 由222x y ρ=+求ρ时，ρ不取负值；由tan (0)yx xθ=≠确定θ时，根据点（x ，y ）所在的象限取正角．当x ≠0时，θ角才能由tan yxθ=按上述方法确定．当x=0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，θ可取任何值；（2）当x=0，y ＞0时，可取2πθ=；（3）当x=0，y ＜0时，可取32πθ=．要点三、曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程的概念（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=称为曲线C 的极坐标方程．在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程(,)0f ρθ=来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．要点诠释： 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρθ=，设点P 的一极坐标为,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭，那么点P 适合方程ρθ=，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一个极坐标9,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭就不适合方程ρθ=了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．2. 求曲线极坐标方程的步骤．①建立适当的极坐标系，设(,)P ρθ是曲线上任意一点．②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．要点诠释：（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系． （2）今后我们遇到的极坐标方程多是()ρρθ=的形式，即ρ是θ的一个函数．（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程()ρρθ=的图形的对称性：若()()ρθρθ=-，则相应图形关于极轴对称；若()()ρθρπθ=-，则图形关于射线2πθ=所在的直线对称；若()()ρθρπθ=+，则图形关于极点O 对称．3．圆的极坐标方程（1）圆心在极轴上且过极点的圆圆心在极轴上的点（a ，0）处，且圆过极点O （如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，(,)M ρθ为圆上的动点，连接OM 和MP ，由平面几何知识知OM ⊥MP ．在直角三角形OMP 中，由三角知识可得2cos a ρθ=．坐标(,)ρθ满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为2cos a ρθ=．也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a ，0），半径为a ，故圆的直角坐标方程为 (x －a)2+y 2=a 2，即 x 2+y 2=2ax ． 由坐标变换公式得 22cos a ρρθ=，即 2cos a ρθ=．这样就得到前面推导出的极坐标方程． 所以，方程2cos a ρθ=就是圆上任意一点极坐标(,)ρθ所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程2cos a ρθ=的点都在这个圆上．（2）圆心在极点的圆如果已知⊙O 的半径为r ，我们可以以圆心为极点，以从圆心O 发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r ，这时圆的极坐标方程为r ρ=（ρ∈R ）． 4．直线的极坐标方程（1）过极点的直线的极坐标方程．如图所示，直线AA ＇过极点且与极轴成的角为α，即直线AA ＇的极坐标方程为 θα=（ρ≥0）和θπα=+（ρ≥0）． 特别地，我们规定ρ为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为θα=（ρ∈R ），或θαπ=+（ρ∈R ）． （2）过点A （a ，0）（a ＞0）且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程．如图所示，设(,)M ρθ为直线l 上的除A 外的任意一点．连接OM ，则有△AOM 为直角三角形并且∠AOM=θ，|OA|=a ，|OM|=ρ，所以有||cos ||OMOA θ=．即cos a ρθ=，化为直角坐标方程为x=a ．（3）过点,2A a π⎛⎫⎪⎝⎭且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程． 如图所示，设M 为直线上任意一点，其极坐标为(,)M ρθ，连接OM ，则有|OA|=a ，|OM|=ρ，2AOM πθ∠=-，在直角三角形AOM 中，我们有||cos ||2OMOA πθ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭．∴cos 2a πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即sin a ρθ=，化为直角坐标方程为y=a ．【典型例题】类型一、极坐标系中的点的表示例1． 写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．【思路点拨】 根据极坐标定义：若M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角． 【解析】 由图可知： A （5，0），2,6B π⎛⎫⎪⎝⎭，4,2C π⎛⎫⎪⎝⎭，35,4D π⎛⎫ ⎪⎝⎭，E （2，π），45,3F π⎛⎫⎪⎝⎭，53.5,3G π⎛⎫ ⎪⎝⎭．【总结升华】 本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如[0，2π）．当ρ＞0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标． 举一反三：【变式1】下列各点中与2,6π⎛⎫⎪⎝⎭不表示极坐标中同一个点的是（ ）． A ．112,6π⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．132,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．112,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．232,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 。
2019年高考文科数学选修4—4：坐标系与参数方程选讲
2019年高考文科数学选修4—4：坐标系与参数方程选讲1.在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为：（为参数），直线与曲线C 分别交于M 、N 两点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线的普通方程； （2）若，，成等比数列，求的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）解：由得：，∴曲线C 的直角坐标方程为：；由消去参数得直线的普通方程为． （2）解：将直线的参数方程代入中， 得：，设M 、N 两点对应的参数分别为、，则有，，，，即，解得．()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>()2,4P --l 2242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩t l l PM MN PN a ()220y ax a =>2y x =-1a =()2sin 2cos 0a a ρθθ=>()2sin 2cos a ρθρθ=()220y ax a =>242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩2y x =-l 242x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩22y ax=)()24840t a t a -+++=1t 2t )124t t a +=+()1284t t a =+2PM PN MN ⋅=()()22121212124t t t t t t t t ∴-=+-=()()284404a a +=+1a =2.在平面直角坐标系中，将曲线(为参数)上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线：．（1）求曲线和直线的普通方程；（2）点为曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值及取得最大值时点的坐标．【解析】解：（1）由已知有（为参数），消去得．将，代入直线的方程得，曲线的方程为，直线的普通方程为：．………5分 （2）由（1）可设点为，．则点到直线的距离为：，故当，即时，取最大值．此时，点的坐标为．……………………………………10分l l3.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为()2cos 2sin 02ρθθθ=+<π≤，点1,2M π⎛⎫⎪⎝⎭．以极点O 为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．已知直线()2:12x l t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数，与曲线C 交于A ，B 两点，且MA MB >． （1）若()P ρθ，为曲线C 上任意一点，求ρ的最大值，并求此时P 的极坐标；（2）求MA MB．【解析】解：（1）∵()2cos 2sin +024ρθθθθπ⎛⎫=+<π ⎪⎝⎭≤，∴当4θπ=时，ρ取的最大值，此时P的极坐标为4π⎛⎫ ⎪⎝⎭． …..4分（2）由2cos 2sin ρθθ=+得22cos 2sin ρρθρθ=+， 即：22220x y x y +--=．故曲线C 的直角坐标方程为()()22112x y -+-=．…..6分将2:12x l y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()()22112x y -+-=，整理可得210t -=，解得：t =． …..8分∵MA MB >，∴由t的几何意义可得：MA =，MB =故2MAMB==…..10分4.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点的极坐标，直线的极坐标方程为．（1）若点在直线上，求直线的直角坐标方程；（2）圆的参数方程为（为参数），若直线与圆相交的弦长，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由点在直线上，可得所以直线的方程可化为，从而直线的直角坐标方程为．（2）由已知得圆的直角坐标方程为，所以圆的圆心为，半径，而直线的直角坐标方程为，若直线与圆，则圆心到直线的距离为，所以，求得或．5.已知直线的参数方程为（为参数，），曲线的极坐xAπ4⎫⎪⎭lπcos4aρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭Al lC2cossinxyαα=+⎧⎨=⎩αl Ca20x y+-=2a=2a=π4A⎫⎪⎭πcos4aρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭a=l cos sin2ρθρθ+=l20x y+-=C()2221x y-+=C()2,01r=l x y+=l Cl22d==2a=2a=标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，求的最小值．【答案】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，（2）将直线的参数方程代入，得．设、两点对应的参数分别为，，则，，∴时，的最小值为4．6.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：123x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 3ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的极坐标为3,2π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求MA MB +的值．【解析】（1）把4sin 3ρθπ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭展开得2sin ρθθ=+，B 2sin 4cos ρθθ=2(sin )4cos ρθρθ=C 24y x =l 24y x =22sin 4cos 40t t αα--=A B 1t 2t 1224cos sin t t αα+=1224sin t t α=-12AB t t =-==2απ=AB两边同乘ρ得22sin cos ρρθθ=+①．将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入①即得曲线C 的直角坐标方程为2220x y y +--=②．（2）将1,232x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入②式，得230t ++=，易知点M 的直角坐标为(0,3)．设这个方程的两个实数根分别为1t ，2t ，∴12t t +=-123t t =，则由参数t的几何意义即得12MA MB t t +=+=7、直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线．（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求的极坐标方程；（2）射线与异于极点的交点为，与的交点为，求．【答案】解：（1）曲线：（为参数）化为普通方程为，所以曲线的极坐标方程为， 曲线的极坐标方程为．（2）射线与曲线的交点的极径为，射线与曲线的交点的极径满足，解得，所以．8、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角）．以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系．圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，设直线l 与圆C 交于A ，B 两点． （1）求角α的取值范围； （2）若点P 的坐标为()1,0-，求11PA PB+的取值范围． 【答案】（1）圆C 的直角坐标方程2220x y x +-=，把1cos sin x t y t αα=-+⎧⎨=⎩代入2220x y x +-=得24cos 30t t α-+= ① 又直线l 与圆C 交于A ，B 两点，所以216cos 120α∆=->，解得：cos α>cos α<又由[)0,α∈π故50,,66αππ⎡⎫⎛⎫∈π⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭．（2）设方程①的两个实数根分别为1t ，2t ，则由参数t 的几何意义可知：12124cos 113t t PA PB t t α++==cos 1α<≤， 所以4cos 4333α<≤， 于是11PA PB +的取值范围为433⎛⎤ ⎥ ⎝⎦． 9、在直角坐标系中，直线的参数方程（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的单位长度，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于点，且，求直线的倾斜角的值．【答案】解：（1）（2）将直线参数方程代入圆的方程得，化简得，设两点对应的参数分别为，则，∴，∴，，或10.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合的极坐标系中，圆的极坐标方程为． （1）若直线与圆相切，求的值；（2）若直线与曲线相交于两点，求的值． 【答案】（1）圆的直角坐标方程为， 直线的一般方程为，∴，∴；（2）曲线的一般方程为，代入得， ∴，，∴11、在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以O为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为cos sin 0m ρθθ-=．（1）若1m =，求直线交曲线C 所得的弦长；xOy l 22x ty t =⎧⎨=+⎩t C 2x my m =⎧⎨=⎩m x O ()0a a ρ=>l O a l C A B 、AB O 222x y a +=l 220x y -+=d ==a =C 2y x =220x y -+=2220x x --=122x x +=122x x =-12AB x =-==（2）若C 上的点到直线的距离的最小值为1，求m 的值． 【答案】（1）（2）6m =±．【解析】（1）曲线C 的普通方程为224x y +=． 当1m =时，直线的普通方程为10x -=．设圆心到直线的距离为d ，则12d ==． 从而直线交曲线C所得的弦长为2=（2）直线的普通方程为0x m --=．则圆心到直线的距离2md =．∴由题意知212m-=，∴6m =±． 12、在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线1C 的极坐标方程是ρ=1C 倍，得到曲线2C ，直线l的参数方程是0022x x ty y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线1C 与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设00(),M x y ，直线l 与曲线2C 交于,A B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 轨迹的直角坐标方程．【答案】（1）222212:2,:12x C x y C y +=+=；（2）22163x y +=（取夹在平行直线y x =之间的两端弧）．【解析】（1）221:2C x y +=，设点(),P x y ''是曲线2C上任一点，则2x xy y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩解得x x y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩ ∴曲线2C 的直角坐标方程为：2212x y +=．（2）由直线 l 与曲线2C相交可得：222000032202t x y +++-=，220022883332x y MA MB +-⋅=⇒=，即220026x y +=，2226x y +=表示一椭圆，取y x m =+代入2212x y +=，得：2234220x mx m ++-=，由∆≥0，得m故点M 的轨迹是椭圆22 26x y +=夹在平行直线 y x = 13、在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为()sin ρθθ= （1）求C 的极坐标方程；（2）射线11:2OM θθθθπ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求OP OQ ⋅的范围．【答案】（1）2cos ρθ=；（2）06OP OQ <⋅<．【解析】（1）圆C 的普通方程是()2211x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==， 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．（2）设()11,P ρθ，则有112cos ρθ=，设()21,Q ρθ，且直线l的方程是()sin ρθθ=2ρ=，所以12102OP OQ ρρθπ⎫⋅=⋅==<<⎪⎭，因为1tan 0θ>，所以06OP OQ <⋅<．14、在平面直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x a a C y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，实数0a >），曲线2:C cos sin x b y b b ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数，实数0b >）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:0,02l θαραπ⎛⎫= ⎪⎝⎭≥≤≤与1C 交于O A 、两点，与2C 交于,O B 两点．当0α=时，1OA =；当2απ=时，2OB =． （1）求,a b 的值；（2）求22OA OA OB +⋅的最大值．【答案】解：（1）将1C 化为普通方程为222()x a y a -+=，其极坐标方程为2cos a ρθ=，由题可得当0θ=时，||1OA ρ==，∴12a =． 将2C 化为普通方程为222()x y b b +-=，其极坐标方程为2sin b ρθ=， 由题可得当2θπ=时，||2OB ρ==，∴1b =． （2）由,a b 的值可得1C ，2C 的方程分别为cos ρθ=，2sin ρθ=， ∴222||||||2cos 2sin cos sin 2cos 21OA OA OB θθθθθ+⋅=+=++)14θπ=++．52[,]444θπππ+∈，)14θπ++1，当2,428θθπππ+==即时取到．15、在直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为,sin ,x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．（1）写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程； （2）设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求PQ 的最小值．【答案】（1）1,:sin ,x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）的普通方程是：2213x y +=， …2分∵sin()4ρθπ+=，sin cos ρθθ=，……4分∴C 2的直角坐标方程：4x y +=． ……5分（2）设4x y +=的平行线为1:0l x y c ++=，当1:0l x y c ++=且0c <和C 1相切时，PQ 距离最小， ……6分联立直线和椭圆方程22()103x x c ++-=， ……7分整理得2242103x cx c ++-=，需要满足2416033c ∆=-+=，求得c =2(舍去)，c =-2， ∴当直线为1:20l x y +-=时，满足题意，此时PQ = ……10分 方法2：设点,sin )P αα,点P 到C 2的距离为d …6分d …8分 当sin()13απ+=时 …9分PQ距离最小为PQ = …10分16、在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程为；O xl 12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t C 4cos ρθ=（Ⅰ）求直线的直角坐标方程和曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线与曲线交点分别为，，点，求的值．【答案】（Ⅰ），曲线，（Ⅱ）法1：将（为参数）代入曲线的方程，得，． 法2：设圆心与轴交于、，则， 而．l C l C A B (1,0)P 11PA PB+:10l x y +-=22:40C x y x +-=122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t C 23=0t -12||t t ∴-==1212||11||||||t t PA PB t t -∴+==x O D ||||||||133PA PB OP PD =⋅=⨯=||||||PA PB AB +==11||||||||||||3PA PB PA PB PA PB +∴+==。
高中极坐标与参数方程知识点总结
高中极坐标与参数方程知识点总结1. 极坐标与参数方程的概念极坐标和参数方程都是描述平面上点的位置的数学表示方法。
极坐标的表示方式是使用极径和极角来确定一个点的位置，而参数方程则是使用两个参数来表示一个点的横纵坐标。
在极坐标中，一个点的位置由它到极点的距离（极径）和与极轴的夹角（极角）确定。
极坐标通常表示为(r,θ)，其中r表示极径，即点到极点的距离，而θ表示极角，即点与极轴的夹角。
参数方程则是使用参数来表示点的横纵坐标。
常见的参数方程形式是x=f(t)和y=g(t)，其中x和y表示点的横纵坐标，而t是参数。
通过改变参数t的取值，可以得到点的坐标。
2. 极坐标的转换极坐标与直角坐标（笛卡尔坐标）之间可以相互转换。
下面是极坐标到直角坐标的转换公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中(x, y)是点在直角坐标系中的坐标，r是极径，θ是极角。
而直角坐标到极坐标的转换公式如下：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y / x)其中√表示开平方，arctan表示反正切函数。
3. 参数方程的性质参数方程可以用来描述一条曲线或图形。
通过改变参数的取值范围，可以观察到曲线的形态和特点。
•曲线方程：将参数方程解析为表达式形式，得到的就是曲线的方程。
例如，参数方程为x=f(t)和y=g(t)，将其解析为y=f(x)的形式，即可得到曲线方程。
•曲线的对称性：通过观察参数方程中各个参数的表达式，可以得到曲线的对称性。
例如，如果x=f(t)中含有关于t的奇函数，那么对应的曲线关于y轴对称；如果y=f(t)中含有关于t的偶函数，那么对应的曲线关于x轴对称。
•曲线的特殊点：通过令参数值为特定的数值，可以得到曲线上的特殊点。
例如，在参数方程x=f(t)和y=g(t)中，当t=a时，对应的点就是曲线上的一个特殊点。
4. 极坐标和参数方程的应用极坐标和参数方程在数学和物理等领域有广泛的应用。
极坐标系与参数方程知识点总结
极坐标系与参数方程知识点总结
极坐标系是一种比直角坐标系更实用的坐标系统，它将数学中的点表示为由一对数值构成的数据集。
由于具有不同的视角，这种坐标系统可以被用来描述、标记或者映射几何图形中的点。
极坐标系可以用来表示二维平面中所有点的位置，以及三维空间中所有点的位置，因此它在一定程度上简化了空间分析工作。
极坐标系由三个重要的参数组成：极轴、极径和极角。
极轴是极坐标系出发点，也是极坐标系的原点，起始点可以是任何数学坐标系的原点。
极径是以极轴为原点的半径，根据不同的情况，极径可以是实数数字或者复数的幅度。
最后，极角是指极轴上点到复数的角度，它也可以是实数，也可以是复数。
参数方程是一种数学方程，通过它可以将许多连续的点描述为一个整体，以便应用数学分析。
参数方程是一种涉及参数的数学方程，参数在整个方程中都有它自己的功能，用来介绍特定的特性。
参数方程可以用来描述二次曲线、椭圆、双曲线、螺线以及抛物线等常见的数学几何图形。
总之，极坐标系是一种用来描述图形点的坐标系统，由极轴、极径和极角组成，可以用它来表示二维和三维空间中所有点的位置。
参数方程是一种数学方程，可以描述几何图形，由一个参数和多个参数组成，但是它们在整个方程中都有它自己的功能，用来介绍特定的特性。
因此，极坐标系与参数方程可用来描述几何图形的形状和位置。
高中数学极坐标与参数方程知识点
高中数学极坐标与参数方程知识点知识点参数方程的定义：如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，且对于每个允许值的t，由方程组所确定的点M（x，y）都在这条曲线上，那么方程组就叫做曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数．常见曲线的参数方程：1.过定点（x，y），倾角为α的直线：x = x + tcosαy = y + tsinα其中参数t是以定点P（x，y）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量，又称为点P与点M间的有向距离．2.中心在（x，y），半径等于r的圆：x = x + rcosθy = y + rsinθθ为参数）3.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的椭圆：x = acosθ 或x = bcosθθ为参数）（或）y = bsinθ 或y = asinθ4.中心在原点，焦点在x轴（或y轴）上的双曲线：x = asecθ 或x = btanθθ为参数）（或）y = btanθ 或y = asecθ5.顶点在原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线：x = 2pt^2t为参数，p＞0）y = 2pt直线的参数方程和参数的几何意义：过定点P（x，y），倾斜角为α的直线的参数方程是x = x + tcosαy = y + tsinα其中参数t是以定点P（x，y）为起点，对应于t点M（x，y）为终点的有向线段PM的数量。
根据t的几何意义，可以得出结论：设AB是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t_A和t_B，则AB = t_B - t_A = (t_B - t_A)^2 - 4t_A*t_B。
极坐标系是在平面内取一个定点O作为极点，引一条射线Ox作为极轴，再选一个长度单位和角度的正方向。
对于平面内的任意一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox 到OM的角，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫做点M的极坐标。
这样建立的坐标系叫做极坐标系。
极坐标与参数方程知识点总结大全
极坐标与参数方程一、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ⎩⎨⎧==)()(t f y t f x并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习1．若直线的参数方程为12()23x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数，则直线的斜率为（ ）A ．23 B ．23- C ．32 D ．32- 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的点是（ ）A ．1(,2B ．31(,)42- C ． D ．3．将参数方程222sin ()sin x y θθθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。
这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。
圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。
4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。
2019届高三数学高考备考《极坐标与参数方程》专题复习建议
2019届高三数学高考备考《极坐标与参数方程》专题复习建议极坐标与参数方程为高考选考内容之一，主要考查直线与圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等。
高考对极坐标与参数方程的题量、考查难度都相对稳定。
一道解答题，位于22题，满分10分；考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。
试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”，第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中,ρθ的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查。
随着新课标的实施，2018年考查了圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识。
考查运算求解能力，考查数形结合思想、划归与转化思想等，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算。
近5年本部分内容考查情况如下：一、存在的问题及原因分析（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位【例1】直线l 的参数方程为()x a tt y b t=+⎧⎨=+⎩为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之间的距离是A ．1tB ．12tC 1D 1【评析】易错选为A.为什么错？因为所给的直线l 的参数方程不是标准式，l 上的点1P 对应的参数是1t并没有参数的几何意义.化成标准式x a y b ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，也可以看出答案为C.【例2】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,()2x tt y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数.直线与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.求||AB 的长；【解析】把直线l的参数方程2()2x t t y =--⎧⎪⎨=⎪⎩为参数化为标准的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-='232'212t y t x （'t 为参数）代入曲线:C ()2221,y x --=整理得010'4'2=-+t t ，所以10'',4''2121-=-=+t t t t ，所以142''4)''(''2122121=-+=-=t t t t t t AB .【评析】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，由点,A B 对应的参数分别为12,t t错误得到12||||AB t t =-=当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，||t 才表示距离.一般地，直线⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t表示参数），当122=+b a 时，||t 表示点),(y x p 到点00()P x ,y 的距离.【例3】在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是1+cos ,sin .x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 是参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角．【解析】直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线，由1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=，整理得22cos 30t t α--=，2(2cos )120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<， 所以1t ，2t 异号， 则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又),0[π∈α所以直线l 倾斜角3π=α或32π. 【评析】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数t 的几何意义认识不到位所致，||t 表示距离，t 是包含符号的，由于本题中，,A B 在P 点的两侧，12t ,t 异号，故12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==而不是121212||||||||()44cos 121PA PB t t t t t t α-=-=+-⋅=+=. 此外，本题的参数方程中含两个字母参量，哪个是参数在审题时也是值得特别注意的.（二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价【例4】将曲线1C 的参数方程1sin 22sin cos x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（θ为参数）化为普通方程. 【解析】把θθcos sin +=y 两边平方得x y 212sin 1)cos (sin 22+=+=+=θθθ，所以x y 212+=， ∵R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ∴.2121≤≤-x ∴所求曲线1C 的普通方程为x y 212+=，.2121≤≤-x 【评析】本题易错点主要在于忽视三角函数sin y x =的有界性，即R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ所以.2121≤≤-x 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅要把其中的参数消去，还要注意y x ,的取值范围. 【例5】（2014年广东省深圳市高考模拟题）若直线b x y +=与曲线⎩⎨⎧==θθsin co s y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-有两个不同的交点，则实数b 的取值范围是__________． 【解析】曲线⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-表示的是以原点为圆心，以1为半径的右半圆，如图，直线b x y +=与曲线有两个不同的交点,直线应介于 两直线21,l l 之间,则(1]b ∈-.【评析】本题易错点主要在于忽视θ所给的范围，以为⎩⎨⎧==θθsin cos y x θ(为参数，且)22πθπ≤≤-表示的图形是圆。
(完整版)极坐标与参数方程知识点、题型总结
极坐标与参数方程知识点、题型总结一、伸缩变换：点是平面直角坐标系中的任意一点，在变换),(y x P 的作用下，点对应到点，称伸缩变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ),(y x P ),(y x P '''一、1、极坐标定义：M 是平面上一点，表示OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极角；一般地，，。
，点P 的直角坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直角坐标极坐标 2、极坐标直角坐标⇒cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩⇒222tan (0)x y yx xρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标都是某个变数的函数 并且对于的每一个允许值，由这个方程所确y x ,t ⎩⎨⎧==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的y x ,t 方程叫做普通方程。
（二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上对应的参数是。
2019年高考数学分类汇编：极坐标与参数方程
训练一：2019年高考数学新课标Ⅰ卷文科第22题理科第22题（选做）：在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为。
（Ⅰ）求C 和l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求C 上的点到l 距离的最小值。
本题解答：（Ⅰ）曲线C ：x t x x t xt t xt x t x t tt x -=+⇒-=+⇒-=+⇒-=+⇒+-=1)1(111)1(11222222222112+-=⇒x x t 。
把112+-=x x t 代入22222)1(1614t t y t t y +=⇒+=中得到：2222)111(1)1(16)111(1116+-+++-=⇒+-++-=x x x x x y x x x x y )1(4)1)(1(44)1(1)1(16)1(41)1(16)12(1)1(16222222222x y x x y x x x y x x x y x x x y -=⇒+-=⇒+⋅+-=⇒++-=⇒++-=⇒1444444444422222222=+⇒=+⇒=+⇒-=⇒y x y x y x x y 。
直线l ：011sin 3cos 2=++θρθρ，x =θρcos ，01132sin =++⇒=y x y θρ。
（Ⅱ）曲线C ：1422=+y x ，θθθ2222cos 1sin cos =⇒=+x ，θθcos sin 422=⇒=x y ，θsin 2=yθcos =x⇒曲线C 的参数方程为：（θ为参数）。
θsin 2=y 假设：曲线C 上的点坐标为)sin 2,(cos θθ。
根据点到直线的距离公式得到曲线C 上的点)sin 2,(cos θθ到直线l ：01132=++y x 的距离：7|11sin 32cos 2|)3(2|11sin 23cos 2|22++=++⋅+=θθθθd 。
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题21坐标系与参数方程教学案(文科)含解析
坐标系与参数方程【2019年高考考纲解读】高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程、参数方程与普通方程的互化、常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线的位置关系等解析几何知识． 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x2．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a,0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r,0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.(4)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心在点A (ρ0，θ0)，半径为r 的圆的方程为r 2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量． 5．圆的参数方程圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π)．6．圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)．(2)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a sec θ，y ＝b tan θ(θ为参数)．(3)抛物线y2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数).【题型示例】题型一 极坐标方程和参数方程【例1】(2018·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C 2的直角坐标方程；【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．【解析】(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝2sin t(t 为参数)．【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标． 题型二 参数方程与普通方程的互化【例2】(2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．【解析】 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1. 当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2.l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1，解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0.于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.【感悟提升】(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解、漏解，若x ，y 有范围限制，要标出x ，y 的取值范围．【变式探究】 【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为22,x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.【答案】5【解析】直线l 的普通方程为. 因为点P 在曲线C 上，设，从而点P 到直线l 的的距离，当s =min d =. 因此当点P 的坐标为()4,4时，曲线C 上点P 到直线l. 【考点】参数方程化普通方程【变式探究】在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为（t 为参数,a ＞0）．在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ. （I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ． 【答案】（I ）圆,（II ）1【解析】解：（Ⅰ）消去参数t 得到1C 的普通方程.1C 是以)1,0(为圆心，a 为半径的圆.将代入1C 的普通方程中，得到1C 的极坐标方程为.（Ⅱ）曲线21,C C 的公共点的极坐标满足方程组若0≠ρ，由方程组得，由已知2tan =θ，可得，从而012=-a ，解得1-=a （舍去），1=a .1=a 时，极点也为21,C C 的公共点，在3C 上.所以1=a .【变式探究】在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .【解析】(1)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，由于M 点在C 1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2cos α，y2＝2＋2sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α.从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以AB ＝|ρ2－ρ1|＝2 3.【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．【变式探究】将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为C 上点(x ，y )，依题意，得1,2,x x y y =⎧⎨=⎩由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.故C 的参数方程为cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)．(2)由解得：1,0x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩不妨设P 1(1，0)，P 2(0，2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.题型三 极坐标 参数方程及其应用【例3】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝3＋t(t 为参数)，在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线m ：θ＝β(ρ>0)．(1)求C 和l 的极坐标方程；(2)设点A 是m 与C 的一个交点(异于原点)，点B 是m 与l 的交点，求|OA ||OB |的最大值．解 (1)曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，得()ρcos θ－12＋ρ2sin 2θ＝1，化简得C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 因为l 的普通方程为x ＋y －4＝0，所以极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－4＝0， 所以l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (2)设A (ρ1，β)，B (ρ2，β)， 则|OA ||OB |＝ρ1ρ2＝2cos β·sin β＋cos β4＝12(sin βcos β＋cos 2β)＝24sin ⎝⎛⎭⎪⎫2β＋π4＋14，由射线m 与C ，直线l 相交，则不妨设β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4， 则2β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，所以当2β＋π4＝π2，即β＝π8时，|OA ||OB |取得最大值，即⎝⎛⎭⎪⎫|OA ||OB |max＝2＋14. 【感悟提升】 (1)利用参数方程解决问题，要理解参数的几何意义．(2)在解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，常常将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于认识方程所表示的曲线，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用． 【变式探究】在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(α为参数)，求曲线C 1的直角坐标方程和曲线C 2的普通方程；(2)若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，A (0,1)，且曲线C 1与曲线C 2的交点分别为P ，Q ，求1|AP |＋1|AQ |的取值范围． 【解析】 (1)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， 又∵ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，∴曲线C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －1)2＝t 2.(2)将C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)代入C 1的方程x 2＋y 2－2x ＝0，得t 2＋(2sin α－2cos α)t＋1＝0.∵Δ＝(2sin α－2cos α)2－4＝8sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4－4>0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－22∪⎝ ⎛⎦⎥⎤22，1. t 1＋t 2＝－(2sin α－2cos α)＝－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4，t 1t 2＝1>0，∵t 1t 2＝1>0，∴t 1，t 2同号，∴|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|. 由点A 在曲线C 2上，根据t 的几何意义，可得 1|PA |＋1|AQ |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1||t 2| ＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2|1＝22⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4∈(2,22]．∴1|PA |＋1|AQ |∈(2,22]． 【变式探究】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为.（1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la. 【答案】（1）C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）8a =或16a =-. 【解析】（1）曲线C 的普通方程为2219x y +=. 当1a =-时，直线l 的普通方程为.由解得3{ 0x y ==或2125{ 2425x y =-=. 从而C 与l 的交点坐标为()3,0， 2124,2525⎛⎫-⎪⎝⎭. （2）直线l 的普通方程为，故C 上的点到l 的距离为.当4a ≥-时， d=8a =； 当4a <-时， d由题设得，所以16a =-.综上， 8a =或16a =-.【变式探究】在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； （Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）3±. 【解析】（I ）由可得C 的极坐标方程（II ）在（I ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得于是由||AB =得，所以l的斜率为3或3-. 【变式探究】已知直线l 的参数方程为1,1x t y t =-+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l 与曲线C 的交点的极坐标为________．解析 直线l 的直角坐标方程为y ＝x ＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，直角坐标方程为x 2－y 2＝4，把y ＝x ＋2代入双曲线方程解得x ＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)． 答案 (2，π)【变式探究】已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ，y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l 与圆C 的普通方程．(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l 的距离不大于半径，得到关于参数a 的不等式，即可求出参数a 的取值范围．【解析】(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4， 解得－25≤a ≤2 5. 【感悟提升】1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解． 【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为(t 为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴)中，直线l 的方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝m (m ∈R )． ①求圆C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；②设圆心C 到直线l 的距离等于2，求m 的值．。