上海市七宝中学2019-2020学年高三上学期10月月考数学试题(教师版)
2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试卷(1)及答案解析
2020届上海市七宝中学高三高考押题卷数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题或开始呈现相应的症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格:已知该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，若从上述1000名患者中抽取200人，得到如下联表.则表格中的位置分别应填入数字是（ ） A.①35；②65；③45 B.①45；②45；③45 C.①65；②35；③45D.①70；②30；③452.已知行列式102131x P y z =-，则“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3.已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A.[]0,4B.[]0,2C.[]1,4D.[]1,24.如图，已知函数()y f x =与y x =的图象有唯一交点()1,1，无穷数列{}()*n a n N ∈满足点()1,n n n P a a +()*n N∈均落在()y f x =的图象上，已知()13,0P ，()20,2P ，有下列两个命题：（1）lim 1n n a →∞=；（2）{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增；以下选项正确的是（ ）A.（1）是真命题，（2）是假命题B.两个都是真命题C.（1）是假命题，（2）是真命题D.两个都是假命题第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）5.已知集合}41,A x x k k Z ==±∈，{}2,B y y n n Z ==∈，则AB =________.6.已知圆225x y +=和点()2,1A -，则过点A 的圆的切线方程为._________7.满足()12log 24x x -+=的实数x =________.8.已知复数13z i =-+（i 是虚数单位）是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的一个虚根，则::a b c =________.9.已知向量()1,2AB =，()4,2AC =-，则ABC 的面积为_____________ .10.为了支持“新冠肺炎”的湖北抗疫工作，上海市某医院某科室拟从2名男性，3名女性医务人员中抽调两人前往湖北支援，则抽调的两人刚好为一男一女的概率为________.11.已知函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()1f x -，则()112f f --⎡⎤=⎣⎦________. 12.已知O 是ABC 内部一点，20OA OB OC ++=，4BA BC ⋅=，且6ABC π∠=，则OAC 的面积为________.13.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音，“宫”经过一次“损”频率变为原来的32，得到“徵”；“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”；……依次损益交替变化，获得了“宫、徵、商、羽、角”五个音阶，设“宫”的频率为1，则“角”的频率为________.14.过双曲线221168x y -=的左焦点1F 作倾斜角为α的直线与y 轴交于点A ，与双曲线的右支位于第四象限的部分交于点B ，若()112OA OB OF =+，则α=________. 15.若0>ω，函数()f x 3sin 4cos 03x x x πωω⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭的值域为[]4,5，则cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是________.16.已知x R ∈，[]x 表示小于x 的最大整数，{}[]x x x =-，令{}{}M x 0x 100,1x =≤≤=，则M 中元素之和为________.三、解答题（题型注释）17.如图，一智能扫地机器人在A 处发现位于它正西方向的B 处和北偏东6π方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B 的距离比到C 的距离少0.4米，于是选择沿A B C →→路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，10秒钟完成了清扫任务（忽略机器人吸入垃圾及在B 处旋转所用时间）（1）B 、C 两处垃圾的距离是多少？（2）求智能扫地机器人此次清扫过程中旋转角的最小值？请指出旋转方向. 18.将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把()g x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变），得到函数()h x 的图象.（1）求ϕ的最小值和()h x 的解析式； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()h x 的单调递减区间. 19.如图，四边形11ABB A 是圆柱1OO 的轴载面，4AB =，12OO =，以圆柱上底面为底面作高为2的圆锥1PO ，C 、1C 分别在AB 、11A B 上，2AOC π∠=，1113AO C π∠=.（1）求这个几何体的表面积和体积； （2）求二面角111O AC C --的余弦值.20.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）经过1,0A ，()0,B b 两点.O 为坐标原点，且AOB的面积为4.过点()0,1P 且斜率为k （0k >）的直线l 与椭圆C 有两个不同的交点M ，N ，且直线AM ，AN 分别与y 轴交于点S ，T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）求直线l 的斜率k 的取值范围；（Ⅲ）设PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围. 21.对于数列{}n a 、{}n b 、{}()*n d n N∈，若()()2211nn n n n n da b d a d ++-=对任意的*n N ∈恒成立，则称数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P .设121nk n k a a a a ==+++∑；（1）证明：数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）若()*tan3n n d n N π=∈，{}n a 、{}n b 、{}n d 满足（1）的充分条件，求()2020221nn n ab =+∑；（3）若{}n a 、{}n b 、{}3n d 的每一项均为有理数，但{}n d 每一项均为无理数，试给出数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件.若在此条件下令13332n nd =⨯，试探究数列{}n b 的一些性质（如单调性，极限，{}n b 的最大项等）.参考答案1.C【解析】1.计算出200人中潜伏期6≤天的人数，结合表格中的数据可计算出①②③处应填入的数字. 由分层抽样可知，从上述1000名患者中抽取200人，其中潜伏期6≤天的人数为852053102001201000++⨯=，所以，①处应填的数字为1205565-=，②处应填的数字为1006535-=，③处应填的数字为1005545-=. 故选：C. 2.A【解析】2.利用行列式展开法则推导出“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，举反例说明“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，由此能求出结果． 行列式102131x P y z =-，“12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”，2355230P x z x y x y z k k k ∴=-+-+=-++=-++=， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分条件，当50P x y z =-++=时，有可能52y z x ==， ∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”不是“0P =”的必要条件，∴ “12()3x y k k R z ⎧⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=∈⎨⎬ ⎪⎪⎪ ⎪⎩⎭⎝⎭”是“0P =”的充分不必要条件．故选：A ．3.B【解析】3.利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围. 设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2.故选：B . 4.B【解析】4.根据函数()y f x =的图象和()11f =可得出n a 的取值范围，再根据函数()y f x =的单调性判断{}21n a -和{}2n a 的单调性，结合数列各项的取值范围和单调性可得数列的极限值.()1n n a f a +=，当01n a <<时，由图象可知，112n a +<<；当13n a <<时，101n a +<<.13a =，20a =，32a =，401a ∴<<，512a <<，601a <<，712a <<，，因为函数()y f x =在区间()0,3上单调递减，因为5302a a <<=，()()53f a f a ∴>，即64a a >，()()64f a f a <，即75a a <，()()75f a f a >，即86a a >，，以此类推，可得1357a a a a >>>>，数列{}21n a -单调递减，2468a a a a <<<<，数列{}2n a 单调递增，命题（2）正确；当2n ≥时，2112n a -<≤，201n a <<，且数列{}21n a -单调递减，{}2n a 单调递增，所以，lim 1n n a →∞=，命题（1）正确. 故选：B. 5.Z【解析】5.分析出集合A 为奇数集，集合B 为偶数集，由此可计算得出AB .{}{}41,41,A x x k k Z x x k k Z ==+∈⋃=-∈{}(){}{}221,2211,21,x x k k Z x x k k Z x x m m Z ==⋅+∈⋃=⋅-+∈==+∈，则集合A 为奇数集，{}2,B y y n n Z ==∈为偶数集， 因此，Z AB =.故答案为：Z . 6.250x y --=【解析】6.经分析不存在切线斜率不存在的情况，设出切线方程：()21y k x =--，根据相切时圆心到直线的距离为圆的半径求解出k 的值，即可写出切线方程. 设切线方程为：()21y k x =--，=2k =，所以切线方程为：()221y x =--，即250x y --=. 故答案为：250x y --=. 7.3【解析】7.本题可通过对数与指数的运算得出结果.()12log 24x x -+=，1242x x -+=，1224x x --=，112224x x --⨯-=， 124x -=，解得3x =，故答案为：3. 8.1:2:10【解析】8.利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，利用韦达定理即可求出a 、b 、c 的关系，从而可得 ::a b c利用求根公式可知，一个根为13i -+，另一个根为13i --，由韦达定理可得()()()13131313b i i ac i i a ⎧-++--=-⎪⎪⎨⎪-+--=⎪⎩ ，整理得：210ba c a⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以2b a =，10c a =，所以:::2:101:2:10a b c a a a == 故答案为：1:2:10 9.5【解析】9.根据向量的坐标可得向量垂直，从而得到三角形为直角三角形，求出向量的模长，即可得答案；因为AB AC ==0AB AC ⋅=，所以90BAC ∠=︒，所以152ABCS==． 故答案为：5． 10.35【解析】10.本题首先可以令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，然后列出抽调两人的所有可能情况，再然后列出刚好为一男一女的所有可能情况，最后根据古典概型的概率计算公式即可得出结果.令2名男性分别为A 、B ，3名女性分别为a 、b 、c ，从中抽调两人的所有可能情况为：AB 、Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 、ab 、ac 、bc 共十种，满足刚好为一男一女的所有可能情况：Aa 、Ab 、Ac 、Ba 、Bb 、Bc 共六种， 则抽调的两人刚好为一男一女的概率63105P ==，故答案为：35. 11.1-【解析】11. 先求出()1fx -，再计算1(2)f - ，即可得()112f f --⎡⎤⎣⎦的值.当0x <时()20,1x y =∈，可得2log x y =，即()12log f x x -=，()0,1x ∈，当0x ≥时，[)211,y x =+∈+∞，可得12y x -=，即11()2x f x --=，[)1,x ∈+∞， 所以函数()2,021,0x x f x x x ⎧<=⎨+≥⎩的反函数是()21log ,011,12x x f x x x -<<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，1211(2)22f --==， ()1112112log 122f f f ---⎛⎫⎛⎫⎡⎤===- ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， 故答案为：1-【解析】12.由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+，设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+，可得BO OD =，从而可得O 为BD 的中点，进而可得12AOC ABC S S =△△，由4BA BC ⋅=可得83BA BC ⋅=12||||sin ABC BA AB S BC C ⋅⋅=∠△即可求出. 在ABC 中，由20OA OB OC ++=可得()12BO OA OC =+， 设D 为AC 中点，则()12OD OA OC =+， BO OD ∴=，∴O 为BD 的中点，12AOCABCSS ∴=，4BA BC ⋅=，3cos 42BA BC BA BC ABC BA BC ∴⋅=⋅⋅∠=⋅⋅=， 83BA BC ∴⋅=111||||sin 22323ABCS BA BC ABC ∠∴=⋅⋅=⨯⨯=12AOCS==.故答案为：3. 13.8164【解析】13.根据已知条件经过一次“损”频率变为原来的32，经过一次“益”，频率变为原来的34，依次损益交替变化求概率即可.由“宫”的频率为1，“宫”经过一次“损”得到“徵”的频率变为32， “徵”经过一次“益”，得到商的频率为339248⨯=， “商”经过一次“损”，得到“羽”的频率为93278216⨯=， “羽”经过一次“益”，得到“角”的频率为2738116464⨯=， 所以“角”的频率为8164， 故答案为：816414.απ=-【解析】14.由双曲线方程求得左焦点坐标，由直线的倾斜角可得直线的斜率，写出直线方程，得到直线在y 轴上的截距，由向量等式可知A 为1F B 的中点，由中点坐标公式求得B 点坐标，代入双曲线方程可得tan α，再由反三角函数求得角α值．如图，由双曲线221168x y -=，得1(F -，直线AB 的斜率为tan (αα为钝角），直线方程为tan (y x α=+， 取0x =，得y α=，则)A α， 由11()2OA OB OF =+，可得A 为1F B 的中点，设(,)B x y ，则00x y α⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，B ∴)α． B 在双曲线上，∴224961168tan α-=，即tan 12α=-． α为钝角，απ∴=-．故答案为：απ=- 15.74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】15.首先利用辅助角公式对()f x 化简，可得()()5sin f x x ωϕ=+，再利用()f x 的值域，可求出23ππωϕπϕ≤+≤-的范围，即得0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，再结合余弦函数的单调性，4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=，即可求出cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围. ()34f 3sin 4cos =5sin cos 55x x x x x ωωωω⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦()5sin x ωϕ=+，其中4sin 5ϕ=，3cos 5ϕ=， 因为03x π≤≤，所以3x πϕωϕωϕ≤+≤+，令x t ωϕ+=，则5sin y t =的值域为[]4,5，可得sin y t =的值域为4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦又因为4sin 5ϕ=，所以23ππωϕπϕ≤+≤-， 即0223ππϕωπϕπ<-≤≤-<，且cos y x =单调递减，因为4cos sin 25πϕϕ⎛⎫-==⎪⎝⎭，()221697cos 2cos 2sin cos 252525πϕϕϕϕ-=-=-=-=， 所以cos 3πω⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围是74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：74,255⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.5050【解析】16.本题首先可根据题意确定集合{}0,1,2,3,4,,100M =，然后根据等差数列求和公式即可得出结果.因为{}[]x x x =-，0x 100≤≤，{}1x =， 所以集合{}0,1,2,3,4,,100M =，则M 中元素之和为010001210010150502， 故答案为：5050.17.（1）1.4m （2）11cos 14arc π-，方向见解析.【解析】17.（1）利用余弦定理，结合a c +列方程组，解方程组求得BC .（2）利用余弦定理求得cos B 的值，由此求得旋转角的最小值，并判断出旋转方向.（1）依题意可知2263A πππ∠=+=，设,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则 2222220.21020.40.42cos a c a c b c b c a b c bc A a b c bc +=⨯+=⎧⎧⎪⎪-=⇒-=⎨⎨⎪⎪=+-=++⎩⎩， 将2,0.4 2.4c a b c a =-=+=-代入222a b c bc =++化简得2 6.67.280a a -+=，即()()1.4 5.20a a --=，由于0.2102a <⨯=，所以()()1.4 5.20a a --=解得 1.4m a =. 且20.6m, 2.41m c a b a =-==-=.（2）由余弦定理得222 1.960.361 1.3211cos 22 1.40.6 1.6814a cb B ac +-+-====⨯⨯，由于23A π=，所以B 为锐角. 所以旋转角的最小值为11cos 14arc π-，方向沿顺时针方向旋转. 18.（1）ϕ的最小值为6π，()2sin 33h x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】18.（1）利用三角函数的图象变换可得出关于ϕ的表达式，进而可求得正数ϕ的最小值，再利用正弦型函数的伸缩变换可求得函数()y h x =的解析式； （2）求得函数()y h x =在R 上的单调递减区间，与区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦取交集可得出结果. （1）将函数()2sin 2f x x =的图象向右平移()0ϕϕ>个长度单位， 可得到函数()()()2sin 22sin 22g x x x ϕϕ=-=-⎡⎤⎣⎦的图象，又()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()223k k Z πϕπ∴-=-+∈，可得()6k k Z πϕπ=-∈，0ϕ>，当0k =时，ϕ取最小值6π，将函数()2sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩小到原来的23（纵坐标不变）， 可得到函数()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，因此，()2sin 33h x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）令()3232232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈，解得()52112183183k k x k Z ππππ+≤≤+∈， 所以，函数()y h x =在R 上的单调递减区间为()52112,183183k k A k Z ππππ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，50,,2182A πππ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.因此，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()y h x =的单调递减区间为5,182ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 19.（1）表面积为(12π+，体积为323π；（2.【解析】19.（1）计算出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式和圆柱的侧面积、底面积公式可计算出几何体的表面积，结合柱体和锥体的体积公式可求得几何体的体积；（2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -，利用空间向量法可求得二面角111O AC C --的余弦值. （1）由题意可知，圆柱的底面半径为22ABr ==， 因为1PO 为圆锥的高，且12PO =，所以，圆锥的母线长为1PA==，又12OO =，因此，该几何体的表面积为(22+222212S ππππ=⨯⨯⨯+⨯=+.该几何体的体积为22132222233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=； （2）以点O 为坐标原点，OA 、OC 、OP 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则点()10,0,2O ，()12,0,2A，()1C ，()0,2,0C ，设平面11A CC 的一个法向量为(),,m x y z =，()11AC =-，()12,2,2AC =--， 由11100m AC m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得02220x x y z ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，令x =1y =，1z =，所以，平面11A CC的一个法向量为(3,1,1m =，易知平面111O AC 的一个法向量为()0,0,1n =，(cos ,m n m nm n⋅<>===⋅，由图象可知，二面角111O AC C --20.（Ⅰ）2221x y +=（Ⅱ）2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭（Ⅲ）)2【解析】20.（Ⅰ）把点A 坐标代入椭圆的方程得1a =.由AOB 12ab =得b ，进而得椭圆C 的方程.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx=+，()11,M x y ，()22,N x y .联立直线l 与椭圆C 的方程可得关于x 的一元二次方程.>0∆，进而解得k 的取值范围.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y ，写出直线AM 的方程，令0x =，解得111y y x -=-.点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.用坐标表示PS ，PT ，PQ ，代入PS PO λ=，PT PO μ=，得111111111y kx x x λ+=+=+--.同理22111kx x μ+=+-.由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+，代入λμ+，化简再求取值范围.（Ⅰ）因为椭圆C ：22221x y a b+=经过点1,0A ，所以21a =解得1a =. 由AOB124ab =，解得2b =所以椭圆C 的方程为2221x y +=.（Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y .联立22211x y y kx ⎧+=⎨=+⎩，消y 整理可得：()2221410k x kx +++=.因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以()22164210k k ∆=-+>，解得212k >. 因为0k >，所以k的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎝⎭.（Ⅲ）因为1,0A ，()0,1P ，()11,M x y ，()22,N x y . 所以直线AM 的方程是：()1111y y x x =--. 令0x =，解得111y y x -=-. 所以点S 的坐标为110,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 同理可得：点T 的坐标为220,1y x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭.所以110,11y PS x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，220,11y PT x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，()0,1PO =-. 由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：1111y x λ--=--，2211y x μ--=--， 所以111111111y kx x x λ+=+=+--. 同理22111kx x μ+=+-. 由（Ⅱ）得122421kx x k +=-+，122121x x k =+， 所以()()()1212121212122121122111kx x k x x kx kx x x x x x x λμ+-+-+++=++=+---++ ()222214212212121412121k k k k k k k k ⎛⎫⋅+--- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭()22224422121421k k k k k k -+-+=++++()()2121k k -+=++)12221k k ⎛⎫=-+∈> ⎪ ⎪+⎝⎭ 所以λμ+的范围是)2.21.（1）证明见解析；（2）40394；（3）单调递减，lim 0n n b →∞=，()max637n b =.【解析】21.（1）将1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩代入验证等式()()2211n n n n n n d a b d a d ++-=即可证得结论成立；（2）根据条件1n n n n n na b d b a d +=⎧⎨=⎩求得22n n a b +关于n 的表达式，进而可求得()2020221n n n a b =+∑的值；（3）根据题意求得数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的充要条件为636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩，由结合13332nn d =⨯可推导出数列{}n b 的单调性、极限以及最大项.（1）1n n n a b d +=，n n n b a d =，所以，()()()()()22222211111n n n n n n n n n n n n n d a b d a d d a d d a d a ++-=+-=--+()()223111n n n n n n n n n d b d a d d b a d =-+=-+=，因此，数列{}n a 、{}n b 、{}n d 具有性质P 的一个充分条件为：1n n n nn n a b d b a d +=⎧⎨=⎩；（2）1n n n n n n a b d b a d +=⎧⎨=⎩，且tan 3n n d π=，可得tan 13tan3n n n n n a b n b a ππ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，222211cos 31tan sin 331cos 3n n a n n n ππππ===++，tansin cos 333n n n n n b a πππ==， 所以，224222222cossin cos cos cos sin cos 3333333n n n n n n n n n a b πππππππ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭121cos 23n π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()()()2222122123cos cos cos 2333n k k k nn n n a b πππ+=++⎡⎤+=+++⎢⎥⎣⎦∑12222224243cos cos cos sin sin cos cos sin sin 2333333333n n n n n πππππππππ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭1212212233cos cos cos 23232323232n n n n n πππππ⎛⎫=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭， 202036731=⨯+，因此，()2020222211131220191201940396731cos 2232424nn n ab a b π=⎛⎫+=++⨯=++=+= ⎪⎝⎭∑； （3）()()2211nn n n n n da b d a d ++-=，23421n n n n n n n n n n n a d a b d b d a d a d ∴+++--=，()331n n n n n n n a b d d b a d ∴++-=，{}n a 、{}n b 、{}3n d 为有理数列，{}n d 为无理数列，3310n n n n n n a b d b a d ⎧+=⎨-=⎩，所以636111n nnn n a d d b d ⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩， 当13332n nd =⨯时，则332nn d =⨯，则32111943232nn nn nb ⨯==+⨯+⨯⨯，令326n t =⨯≥，由双勾函数的单调性可知，函数1y t t=+在区间[)6,+∞上单调递增，所以，数列{}n b 单调递减，1lim lim13232n n n n nb →∞→∞==+⨯⨯，数列{}n b 的最大项为12661637b ==+.。
上海市七宝中学2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题(教师版)
2020-2021年上海市七宝中学高二上10月月考一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分）1. 二元一次方程组3121x y x y +=⎧⎨-=-⎩的增广矩阵是________.【答案】131121⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】本题可通过增广矩阵的概念进行求解，即可得出结果．【详解】由增广矩阵概念，可知二元一次方程组所对应的增广矩阵为131121A ⎛⎫⎪--⎝⎭=，故答案为：131121⎛⎫⎪--⎝⎭.【点睛】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念，属于基础题． 2. 已知1tan tan 1tan tan A αβαβ⎛⎫= ⎪+-⎝⎭，117B ⎫=⎪-⎝⎭，若A B =，则tan()αβ+=________. 【答案】17- 【解析】 【分析】根据矩阵相等得到117tan tan tan tan αβαβ+=-⎧⎨-=⎩，利用两角和的正切公式即可求解.【详解】11=tan tan 1tan tan 17A B αβαβ⎛⎫⎫== ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭，∴ 117tan tan tan tan αβαβ+=-⎧⎨-=⎩,tan tan 1tan()=1tan tan 7αβαβαβ+∴+=--故答案为：17-【点睛】本题考查了相等矩阵，两角和的正切公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，属于中档题. 3. 已知||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为4π，若()a b a λ-⊥，则λ=________. 【答案】12【解析】 【分析】由平面向量数量积的定义可得1a b ⋅=，再由平面向量垂直的性质可得()0a b a λ-⋅=，运算即可得解. 【详解】因为||2a =，||1b =，a 与b 的夹角为4π，所以cos 14a b a b π⋅=⋅=，又()a b a λ-⊥，所以2()210a b a a a b λλλ-⋅=-⋅=-=，解得12λ=.故答案为：12. 4. 计算两矩阵的积：132102131250-⎛⎫-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪-⎝⎭________. 【答案】07158-⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】 【分析】由矩阵乘法的运算法则运算即可得解.【详解】由题意，13210072131215850-⎛⎫--⎛⎫⎛⎫⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭. 故答案为：07158-⎛⎫⎪-⎝⎭.5. 若()2,3a =，()4,7b =-，则a 在b 方向上的投影为________ 5【解析】 【分析】用坐标表示平面向量的数量积和模，即可得结果.【详解】a在b方向上的投影为(24374a bb⨯-+⨯⋅===-故答案为：5【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算和平面向量的模，考查了运算求解能力，属于基础题目.6. 记等差数列｛a n｝的前n项和为S n，若1OB a＝200OA a OC＋，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝_________.【答案】100【解析】试题分析：依题意，12001a a+=，故()12002002001002a aS+==.考点：等差数列的前n项和公式.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的前n项和公式以及共线向量定理的应用，属于基础题.解答本题时部分考生找不到解题思路，根本原因是对题目条件的挖掘不够，“1OB a＝200OA a OC＋且,,A B C三点共线”，由共线向量定理的推论可知12001a a+=，再由等差数列的前n项和公式即可求出200S的值.7. 已知向量序列123,,na a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅，满足如下条件：12a=，2||4d=，121a d⋅=-，且1(2)n na a d n--=≥，若1ka a⋅=，则k=________.【答案】9【解析】【分析】由题意知{na→}是以1a为首项，d→为公差的等差数列，则1(1)ka a k d→→→=+-，计算1ka a→→⋅=即可求解.【详解】因为1n na a d→→→--=，所以1(1)ka a k d→→→=+-，因为121a d→→⋅=-，所以112a d→→⋅=-，所以2111111(1)(1)402kka a a a k d a k a d→→→→→→→→-⎡⎤⋅=⋅+-=+-⋅=-=⎢⎥⎣⎦，解得9k =. 故答案为：9【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及向量的数量积，属中档题.8. 设点O 在ABC 内部，且5370OA OB OC ++=，则ABC 与AOC △的面积之比为________. 【答案】5:1 【解析】 【分析】本题可根据奔驰定理以及5370OA OB OC ++=得出结果. 【详解】因为点O 在ABC 内部，满足奔驰定理0BOC AOC AOB S OA S OB S OC △△△⋅+⋅+⋅=，且5370OA OB OC ++=，所以ABC 与AOC △的面积之比为(537):35:1++=， 故答案为：5:1.【点睛】本题考查奔驰定理在解决向量问题中的应用，奔驰定理可用来解决三角形中的面积比值问题，考查计算能力，是简单题.9. 平面直角坐标系中，已知点0(3,1)P ，1(4,2)P ，且()1112n n n n P P P P n N ++-=-∈，当n →+∞时，点P 无限趋近于点M ，则点M 的坐标是________. 【答案】115,33⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】由平面向量及其数乘运算的坐标表示结合等比数列的前n 项和公式可得11111141,213232n n n P --⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫------ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，再由极限的知识即可得解. 【详解】因为2112101111222nn n n n n n P P P P P P P P +---⎛⎫⎛⎫=-=-⋅⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()10112,122nn n OP OP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎛⎫⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以22231111114,2,4,2,,222222P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+-⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21211111114,2222222n n n P --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+--+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以1111111122224,2111122n n n P --⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫------⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭， 即11111141,213232n n n P --⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫------ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以点115,33M ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：115,33⎛⎫⎪⎝⎭.10. 已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C ，若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12λ≤≤，01μ≤≤）的点P 组成，则D 的面积为__________.【答案】3 【解析】()2,1AB =,()1,2AC =，()()()2,11,22,2AP AB AC λμλμλμλμ=+=+=++，设(),P x y ，则()1,1AP x y =-+，所以12,{12,x y λμλμ-=++=+即23,3{23.3y x x y μλ-+=--= 因为12λ≤≤，01μ≤≤，所以23013y x -+≤≤且23123x y --≤≤，即画出平面区域，如下图所示，5CD =E 到直线230x y --=5BDCE 的面积为3.【考点定位】本题考查两条直线的位置关系、考查了点到直线的距离、平面向量的线性运算、坐标运算，线性规划问题.难度较大.11. 在ABC 中，2AB =，10BC =3AC =，若点O 为三角形外心，则满足关系式：AO m AB n AC →→→=+的有序实数对(,)m n =________.【答案】14,39⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】根据题意，作出图形，先根据BC AC AB →→→=-，结合模的公式 可得32AB AC →→=⋅，进而得342AO AB m n →→⋅=+，392AO AC m n →→⋅=+，另一方面，延长AO 与三角形的外接圆交于点D ，则2AO AB →→⋅=，92AO AC →→⋅=，再联立方程即可得答案. 【详解】解：根据题意，作出图形如图，延长AO 与三角形的外接圆交于点D ，因为BC AC AB →→→=-，所以2222()()()()2BC AC AB AC AB AC AB →→→→→→→=-=+-⋅， 即10942AC AB →→=+-⋅，所以32AB AC →→=⋅， 所以23()()42AO AB m AB n AC AB m AB n AC AB m n →→→→→→→→⋅=+⋅=+⋅=+， 同理392AO AC m n →→⋅=+， 又2111()()2222AO AB AD AB AB BD AB AB →→→→→→→→⋅=⋅=+⋅==，同理92 AO AC→→⋅=，所以342239922m nm n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得1349mn⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以有序实数对14(,),39m n⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：14,39⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，考查运算能力，化归转化思想，方程思想，是中档题. 12. 在ABC中，AB AC→→⊥，点P在线段BC上，且4AP AC AP AB→→→→⋅=⋅=，则||AB AC AP→→→++的最小值为________.【答案】6【解析】【分析】根据数量积公式直接求向量长度，利用基本不等式求向量长度的最值.【详解】因为4AP AC AP AB→→→→⋅=⋅=，所以()0AP AC AB AP BC→→→→→-=⋅=所以24AP→=，解得2AP=，所以2||()AB AC AP AB AC AP→→→→→→++=++222222AB AC AP AB AP AC AP AB AC→→→→→→→→→=+++⋅+⋅+⋅==设BP m =，CP n =，则BC m n =+，由射影定理得2BP CP AP ⋅=，即4mn =，所以22()416BC m n mn =+≥=，当且仅当2m n ==时等号成立，所以||6AB AC AP →→→++=，即最小值为6. 故答案为：6【点睛】本题主要考查平面向量数量积的应用，要求熟练掌握向量的数量积公式，考查学生的计算能力.二、选择题（每小题5分，共20分）13. 已知命题甲：非零向量a ，b ，c 满足0a b c ++=；命题乙：a ，b ，c 可以构成三角形，则甲是乙的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分C. 充要D. 非充分非必要【答案】D 【解析】 【分析】由充分条件，必要条件的定义，判断即可得解.【详解】若0a b c ++=且a ，b ，c 共线，则a ，b ，c 不可以构成三角形，故甲不能推出乙； 在ABC 中，若a AB =，b BC =，c AC =，则a ，b ，c 可以构成三角形， 但20AB BC AC A a C b c ++=+=≠+， 故a ，b ，c 可以构成三角形推不出0a b c ++=； 所以甲是乙的非充分非必要条件. 故选：D.14. 下面给出矩阵的一些性质中正确的是（ ） A. AB BA =B. AB O A O =⇒=或B O =C. AC BC A B =⇒=D. ()()AB C A BC =【答案】D 【解析】由矩阵的运算法则可判断A 、D ，举出反例可判断B 、C ，即可得解. 【详解】对于A ，矩阵乘法运算没有交换律，故A 错误； 对于B ，令0100A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1000B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0000AB O ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时A O ≠且B O ≠,故B 错误； 对于C ，若0100A ⎛⎫=⎪⎝⎭，1000B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，0000C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，满足AC BC =，但是A B ≠，故C 错误；对于D ，矩阵乘法运算有结合律，故()()AB C A BC =，故D 正确. 故选：D.15. 在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则222||||PA PB PC +=A. 2B. 4C. 5D. 10【答案】 D【解析】【详解】试题分析：将直角三角形的直角顶点C 与原点重合，设(,0)B a ，(0,)A b ，那么,22a b D ⎛⎫⎪⎝⎭，,44a b P ⎛⎫⎪⎝⎭那么22222222299||||1616161610||1616a b b a PA PB a b PC ++++==+，故选D ． 考点：1．坐标系；2．两点间距离．【方法点睛】本题考查了向量法解决平面几何的问题，属于中档题型，而向量法又分是用向量代数表示，还是用坐标表示，经分析用坐标表示，那如何建坐标系？题设只说是直角三角形，所以就以直角顶点为原点建立坐标系，两条直角边落在坐标轴上，这样就可以设各点的坐标，转化为两点间距离求值．坐标法解决平面几何的问题，很多时候会事半功倍．16. 已知点O 是ABC 所在平面上的一点，ABC 的三边为,,a b c ，若0aOA bOB cOC →→→→++=，则点O 是ABC 的（ ） A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心【解析】【分析】在AB，AC上分别取单位向量,AD AE→→，作AF AD AE→→→=+，则AF平分BAC∠，用,,OA AB AC→→→表示出,OB OC→→代入条件式，用,AB AC→→表示出AO→，则可证明A，F，O三点共线，即AO平分BAC∠．【详解】在AB，AC上分别取点D，E，使得ABADc→→=，ACAEb→→=，则||||1AD AE→→==．以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图，则四边形ADFE是菱形，且AB ACAF AD AEc b→→→→→=+=+．AF∴为BAC∠的平分线．aOA bOB cOC→→→→++=()()0a OAb OA ABc OA AC→→→→→→∴⋅+⋅++⋅+=，即()0a b c OA b AB c AC→→→→++++=，∴()b c bc AB AC bcAO AB AC AFa b c a b c a b c c b a b c→→→→→→=+=+=++++++++．A∴，O，F三点共线，即O在BAC∠的平分线上．同理可得O在其他两角的平分线上，O∴是ABC的内心．故选：B．【点睛】本题考查了三角形内心的向量表示，向量的线性运算，属于中档题.三、解答题（本题共76分）17. 已知||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120︒， 求：（1）(2)()a b a b -⋅+； （2）|2|a b -； （3）a 与a b +的夹角.【答案】（1）12；（2）|2|221a b -=；（3）6π. 【解析】 【分析】（1）先计算a b ⋅，再把(2)()a b a b -⋅+展开，代入已知计算可得答案； （2）先对2a b -进行平方运算，再开方可得答案；（3）先对a b +进行平方运算，再开方求其模长，再计算()a a b ⋅+，最后代入夹角公式可得答案. 【详解】（1）42cos1204a b ⋅=⨯⨯︒=-所以22(2)()2164812a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=+-=； （2）因为222(2)446416484a b a a b b -=-⋅+=++=， 所以|2|221a b -=；（3）因为222()2168412a b a a b b +=+⋅+=-+=， 所以||23a b +=，又2()16412a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，所以()cos ,||||42a a b a a b a a b ⋅+<+>===+⨯，所以a 与a b +的夹角为6π. 【点睛】本题考查了向量的数量积、模长的计算，考查了向量的夹角公式，属于基础题.18. （1）设向量(3,1)OA =，(1,2)OB =-，向量OC 垂直于向量OB ，向量BC 平行于OA ，试求OD OA OC +=时，OD 的坐标；（2）用行列式解方程组()2251(1)(1)1x m y m x m y ⎧--=-⎪⎨+-+=⎪⎩（m 为常数）【答案】（1）(11,6)OD =；（2）答案见解析.【分析】（1）设(,)OC x y =，由平面向量垂直、平行的坐标表示可得147x y =⎧⎨=⎩，再由平面向量线性运算的坐标表示即可得解；（2）分别求出系数行列式D 及x D 、y D ，运算即可得解.【详解】（1）设(,)OC x y =，因为OC OB ⊥，所以20OC OB x y ⋅+=-=， 又(1,2)BC OC OB x y =-=+-，且//BC OA ，(3,1)OA =，所以3(2)(1)0y x --+=，即370y x --=，所以147x y =⎧⎨=⎩，所以(14,7)OC =，所以(11,6)OD OC OA =-=； （2）由题意，系数行列式()()22215(1)151(1)m D m m m m m --==+--+-+-+(1)(3)(2)m m m =+-+，()()()22152121(1)x m D m m m ---=-+-+=，11211y D m m -=++=，当1m ≠-且3m ≠且2m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解()21(3)(1)1(3)(1)xy m D x D m m D y D m m ⎧-==⎪-+⎪⎨⎪==⎪-+⎩；当2m =-时，0x y D D D ===，原方程组有无数组解； 当3m =或1m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，原方程组无解.19. （1）已知ABC 的三边长8AB =，7BC =，3AC =，求AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅； （2）在Rt ABC 中，已知斜边BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，求BP CQ ⋅的最大值？ 【答案】（1）61-；（2）0. 【解析】（1）由余弦定理可得cos A 、cos B 、cos C ，再由平面向量数量积的定义即可得解；（2）由平面向量的线性运算法则结合数量积的运算可得22cos ,BP CQ a a PQ BC ⋅=-+，即可得解.【详解】（1）由余弦定理得222649491cos 22832AB AC BC A AB AC +-+-===⋅⨯⨯，同理13cos 14B =，1cos 7C =-， 所以AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅cos()cos()cos()AB BC B BC CA C CA AB A πππ=⋅-+⋅-+⋅-1311877338611472⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯⨯+⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）由题意作出图形，如图，因为AP AQ =-，BP AP AB =-，CQ AQ AC =-，所以()()()()BP CQ AP AB AQ AC AQ AB AQ AC ⋅=-⋅-=--⋅-()22AQ AQ AC AB AQ AB AC a AQ AC AB AB AC =-+⋅-⋅+⋅=-⋅-++⋅2212a AQ BC a PQ BC =-⋅=-++⋅22cos ,a a PQ BC =-+，故当cos ,1PQ BC =，即PQ 与BC 同向时，BP CQ ⋅取得最大值0. 20. 已知向量(,)u x y =与向量(,2)v y y x =-的对应关系用()v f u =表示． （1）设(1,1)a =，(1,0)b =，求向量()f a 与()f b 的坐标； （2）求使()(),f c p q =（p ，q 为常数）的向量c 的坐标；（3）证明：对任意的向量a ，b 及常数m ，n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+成立． 【答案】（1）()(1,1),()(0,1)f a f b ==-． （2）(2,)c p q p =- （3）证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据向量(,)u x y =与向量(,2)v y y x =-的对应关系用()v f u =表示,可求得;(2)设()00,c x y =,根据对应关系()v f u =计算可得()000(),2(,)f c y y x p q =-=,由此解得; (3)根据对应关系()v f u =计算()f ma nb +,()()mf a nf b +可证. 【详解】（1）解：∵(1,1)a =，(1,0)b =，∴()(1,211)(1,1),()(0,201)(0,1)f a f b =⨯-==⨯-=-． （2）解：设()00,c x y =，则()000(),2(,)f c y y x p q =-=，∴000,2,y p y x q =⎧⎨-=⎩∴002,,x p q y p =-⎧⎨=⎩∴(2,)c p q p =-．（3）证明：设()12,a a a =，()12,b b b =， 则()2211,ma nb ma nb ma nb +=++，∴()222211(),22f ma nb ma nb ma nb ma nb +=++--． ∵()()221221(),2,(),2mf a m a a a nf b n b b b =-=-，∴()()221221()(),2,2mf a nf b m a a a n b b b +=-+-()222211,22ma nb ma nb ma nb =++--． 故对任意的向量a ，b 及常数m ，n ，恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+成立． 【点睛】本题考查向量的坐标运算以及平面向量基本定理，属于中档题.21. 一个三角形数表按如下方式构成（如图：其中项数5n ≥）：第一行是以4为首项，4为公差的等差数列，从第二行起，每一个数是其肩上两个数的和，例如：()()()2,11,11,2f f f =+；(),f i j 为数表中第i 行的第j 个数.()1,1f ()1,2f …()1,1f n - ()1,f n ()2,1f ()2,2f …()2,1f n - ()3,1f …()3,2f n -……(),1f n（1）求第2行和第3行的通项公式()2,f j 和()3,f j ；（2）证明：数表中除最后2行外每一行的数都依次成等差数列，并求(),1f i 关于()1,2,,i i n =的表达式；（3）若()()(),111i f i i a =+-，11i i i b a a +=，试求一个等比数列()()1,2,,g i i n =，使得()()()121123n n S b g b g b g n =+++<，且对于任意的11,43m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，均存在实数λ，当n λ>时，都有n S m >.【答案】（1）()()2,841,2,,1f j j j n =+=-．()()3,16161,2,2f j j j n =+=-.（2）见证明；（3）()2ig i =.【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的定义即可求出相应的通项公式，（2）根据条件建立方程关系即可求出f （i ，1）的表达式．（3）根据条件寻找等比数列g （i ），即可得到结论．【详解】（1）()()()()()()f 3,j f 2,j f 2,j 12f 2,j 828j 4816j 16j 1,2,n 2=++=+=++=+=-()i 1i n 3≤≤-.（2）由已知，第一行是等差数列，假设第i d 行是以()()()()()()f i 1,j 1f i 1,j f i,j 1f i,j 2f i,j +f i,j 1⎡⎤⎡⎤++-+=+++-+⎣⎦⎣⎦为公差的等差数列，则由()()i f i,j 2f i,j 2d =+-= ()i 11i n 3+≤≤-（常数）知第i 2d 行的数也依次成等差数列，且其公差为i d 4=.综上可得，数表中除最后2行以外每一行都成等差数列；由于()i i 1d 2d i 2-=≥，i 1i 1i d 422-+=⋅=，所以()()()()i 1f i,1f i 1,1f i 1,22f i 1,1d -=-+-=-+，所以i i 1d 2-=，由()()i f i,12f i 1,12=-+，得()()ii 1f i,1f i 1,1122--=+，于是()()ii 1f i,1f i 1,1122---=，即()1f 1,14222==，又因为()i f i,12⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 所以，数列()()if i,12i 1i 12=+-=+是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，()()()if i,1i 12i 1,2,,n =+⋅=，所以()()()()i i i f i,1f i,1i 1a 1a 121i 1=+-⇒=+=++.（3）()()i i i i 1i 1i i i 111111b a a 221212121+++⎛⎫⇒===- ⎪++++⎝⎭， ()()i i i i i i 1i i 111111g i 2b g i 2221212121++⎛⎫=⇒=-⨯=- ⎪++++⎝⎭， 令n 223n n 1n 1111111111S 2121212121213213++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇒=-+-++-=-<⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， n n 1n 1111113mS m m m 3212133++->⇔->⇔<-=++.111m ,013m 434⎛⎫∈⇒<-< ⎪⎝⎭，n 123321n log 1113m 13m +⎛⎫⇒+>⇒>-- ⎪--⎝⎭，23λlog 113m ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，令n λ>，则当n S m >时，都有()ig i 2=，∴适合题设的一个等比数列为()ig i 2=.【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，裂项相消求和，考查学生的运算能力，综合性较强，运算量较大，是难题。
上海市七宝中学2020届高三三模考试数学试题 Word版含解析
七宝中学高三三模数学试卷一.填空题1.已知集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|22}B x x =-≤≤，则A B =________【答案】{2,0,2}- 【解析】 【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{|2,}A x x k k ==∈Z ，{|22}B x x =-≤≤， 则AB ={2,0,2}-.故答案为：{2,0,2}-【点睛】本题考查了集合的基本运算，解题的关键是理解集合中的元素特征，属于基础题. 2.若直线方程0ax by c 的一个法向量为3,1)-，则此直线的倾斜角为________【答案】3π 【解析】 【分析】根据题意首先求出直线的一个方向向量，然后再求出直线的斜率，根据直线的斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】设直线的一个方向向量为(),a x y = 由直线方程0ax by c的一个法向量为3,1)-，30x y -=，令1x =，则3y =所以直线的一个方向向量为3)，33k ==，设直线的倾斜角为α， 由tan k α=，所以直线的倾斜角为：3πα=.故答案：3π 【点睛】本题考查了直线的法向量、方向向量、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题. 3.已知复数z 满足1i z i ⋅=+（i 为虚数单位），则Im z =__________． 【答案】1- 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案. 【详解】解：由1i z i ⋅=+，得21(1)()1i i i z i i i ++-===--， ∴Im 1z =-. 故答案为：1-.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.4.已知a 、b 、c 是任意实数，能够说明“若a b c >>，则a b c +>”是假命题的一个有序整数组(,,)a b c 可以是________ 【答案】1,2)3(,---（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，适当的进行赋值验算即可求解【详解】根据题意，要说明其为假命题，可以令1a =-，2b =-，3c =-，此时满足a b c >>，但33a b c +=->=-不成立，故原命题为假命题. 故答案为：1,2)3(,---（答案不唯一）【点睛】本题主要考查命题及其关系，属于基础题.5.函数|2|=+y xi （x ∈R ，i 是虚数单位）的图象与直线y a =有且仅有一个交点，则实数a =________【答案】2 【解析】 【分析】先通过复数模的求法得到函数24+y x ，再利用数形结合法求解.【详解】函数2224242y x y xi x y ⎧-==+=+⇔⎨≥⎩，∴函数图象为双曲线224y x -=的一支， 如图所示：又因为函数图象与y a =有且仅有一个交点， 则2a =. 故答案为：2【点睛】本题主要考查复数的模的几何意义以及函数图象的交点问题，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.6.直角坐标系xOy 内有点()()()()2,1,2,2,0,2,0,1A B C D ，将四边形ABCD 绕直线1y =旋转一周，所得到的几何体的体积为____ 【答案】2π 【解析】 【分析】四边形ABCD 是矩形，边AD 在直线1y =上，旋转一周后得一圆柱，AD 是圆柱的高，AB 是底面半径，由此可计算体积。
2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市七宝中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A ．22a b < B ．22ab a b <C ．2211ab a b< D ．b aa b< 【答案】C 【解析】【详解】若a <b <0,则a 2>b 2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b>⇒<<B 不成立；若a =1，b=2，则12,2b a b aa b a b==⇒>,所以D 不成立 ,故选C. 2．设集合A={}{}|1,,2,.x x a x R B x x b x R -<∈=-∈若A ⊆B,则实数a,b 必满足A ．3a b +≤B ．3a b +≥C ．3a b -≤D ．3a b -≥【答案】D【解析】试题分析：{}{}|1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，{}{}222B x x b x x b x b =-=+<-或，若A ⊆B ，则有21b a +≤-或21b a -≥+3a b ∴-≥【考点】1．绝对值不等式解法；2．集合的子集关系3．已知函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，集合{|()0}A x f x =<，则下列结论中正确的是（ ） A ．任意x A ∈，都有(3)0f x +> B ．任意x A ∈，都有(3)0f x +< C ．存在x A ∈，都有(3)0f x += D ．存在x A ∈，都有(3)0f x +<【答案】A【解析】由题意可得 0a >，且0c <，122c a -<<-，1x =为()f x 的一个零点，再由根与系数的关系可得，另一零点为c a．可得{|1}cA x x a =<<，31x +>，有(3)0f x +>恒成立，从而得出结论．【详解】解：Q 函数2()f x ax bx c =++，且a b c >>，0a b c ++=，故有0a >，且0c <， 02a a c a c ∴<++=+，即2ca>-，且02a c c a c >++=+， 即12c a <-，因此有122c a -<<-， 又(1)0f a b c =++=，故1x =为()f x 的一个零点， 由根与系数的关系可得，另一零点为0c a<，所以有：{|1}cA x x a =<<，所以，331cx a+>+>，所以有(3)0f x +>恒成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程根的分布与系数的关系，体现了转化的数学思想，属于中档题．4．设,,,a b c d R ∈，32()()()f x x a x bx cx d =++++，32()(1)(1)g x ax dx cx bx =++++.记集合{|()0,}Sx f x x R ==∈，{|()0,}T x g x x R ==∈，若Card()S 、Card()T 分别表示集合S ，T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．Card()1S =，Card()0T = B ．Card()1S =，Card()1T = C ．Card()2S =，Card()2T = D ．Card()2S =，Card()3T =【答案】D【解析】给a ，b ，c ，d 取特值，可排除A ，B ，C ，再根据()()f x g x ，解析式关系，确定对应根的关系，即可判断D . 【详解】当a ＝b ＝c ＝d ＝0时，f （x ）＝x 3，g （x ）＝1，此时Crad （S ）＝1，Card （T ）＝0，排除A ；当a ＝b ＝c ＝d ＝1时，f （x ）＝（x +1）（x 3+x 2+x +1）＝（x +1）2（x 2+1），g （x ）＝x 3+x 2+x +1＝（x +1）（x 2+1），此时Card （S ）＝1，Card （T ）＝1，排除B ； 当a ＝2，b ＝c ＝d ＝1时，f （x ）（x +2）（x +1）（x 2+1），此时Card （S ）＝2，g （x ）＝（2x +1）（x +1）（x 2+1），此时Card （T ）＝2，排除C ；当0x ≠时32411()(1)(1)()a d c b g f x x x x x x x=++++=又当0ad =时(0)0f ad ==，而(0)1g =，所以Card()S Card()T ≥，因此结论不可能的是D . 故选：D . 【点睛】本题考查函数解析式以及函数零点，考查综合分析判断能力，属中档题.二、填空题5．不等式||1x >的解集为________； 【答案】(,1)(1,)-∞-+∞U 【解析】根据绝对值定义化简求解 【详解】||111x x x >∴><-Q 或故答案为：(,1)(1,)-∞-+∞U 【点睛】本题考查解含绝对值不等式，考查基本求解能力，属基础题.6．已知集合{}02A x x =<<，{}11B x x =-<<，则A B =I _________. 【答案】()0,1【解析】根据交集的定义即可写出答案。
上海市闵行区七宝中学2019_2020学年高一数学上学期9月月考试题(含解析)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一数学上学期9月月考试题（含解析）一：填空题。
1.点(2,3)P -关于y 轴对称的点的坐标为________ 【答案】(2,3) 【解析】 【分析】根据点关于y 轴对称点的特征，求得P 点关于y 轴的对称点.【详解】点关于y 轴对称，横坐标相反，纵坐标相同，故()2,3P -关于y 轴对称点的坐标为()2,3.故填：()2,3.【点睛】本小题主要考查点关于y 轴对称点的特征，属于基础题.2.函数y =x 的取值范围是________ 【答案】35x <≤ 【解析】 【分析】根据分母不为零，偶次方根被开方数为非负数列不等式组，解不等式组求得函数定义域. 【详解】依题意3050x x ->⎧⎨-≥⎩，解得35x <≤.故填：35x <≤.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要考虑分式的分母、偶次方根的被开方数，属于基础题.3.已知反比例函数ky x=（0k ≠），当0x <时，y 随x 的增大而增大，那么一次函数y kx k=-的图像不经过第________象限 【答案】三 【解析】 【分析】根据反比例函数的单调性求得k 的范围，由此判断出一次函数不经过的象限. 【详解】由于函数k y x=0x <时递增，故k 0<，由()1y kx k k x =-=-可知，直线过()1,0，且斜率小于零，由此可判断一次函数y kx k =-不经过第三象限.故填：三.【点睛】本小题主要考查反比例函数的单调性，考查一次函数过定点以及一次函数经过的象限，属于基础题.4.x =-的解的集合为________ 【答案】{}1- 【解析】 【分析】先求得x 的范围，然后两边平方求得方程的解的集合.【详解】依题意0x -≥，解得0x ≤x =-两边平方得22x x +=，解得1x =-或2x =，由于0x ≤，故1x =-，所以方程的解的集合为{}1-.故填：{}1-.【点睛】本小题主要考查含有根式的方程的解法，解题过程中要注意x 的取值范围，属于基础题.5.反比例函数2y x=的图像与一次函数y x b =-+的图像在第一象限内有交点，则b 的最小值为________【答案】22【解析】【分析】联立一次函数和反比例函数的解析式，利用判别式为非负数且0b>列不等式组，解不等式组求得b的最小值.【详解】由于反比例函数2yx=过第一、三象限，一次函数y x b=-+斜率为10-<，两个函数公共点在第一象限，故0b>，由2yxy x b⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y得220x bx-+=，其判别式280b-≥，结合0b>解得22b≥，故b的最小值为22.故填：22.【点睛】本小题主要考查反比例函数、一次函数的图像交点问题，考查一元二次方程有解的条件，属于基础题.6.如图，过△ABC的重心G作BC的平行线，分别交AB、AC于点E、F，若4EF=，则BC=_______【答案】6【解析】【分析】根据三角形重心的性质列方程，解方程求得BC的长.【详解】由于G是三角形ABC的重心，且//EF BC，所以23EFBC=，所以362EFBC==. 故填：6.【点睛】本小题主要考查三角形重心的性质，考查平行线的性质，属于基础题.7.已知0x y z ++≠，a 、b 、c 均不为0，且x a y z =+，yb x z=+，z c x y =+，则111a b ca b c++=+++_______ 【答案】1 【解析】 【分析】化简已知条件，由此求得表达式的化简结果. 【详解】由xa y z=+，yb x z=+，zc x y=+得1,1,1x y z x y z x y za b c y z x z x y ++++++=+=+=++++，所以111,,111y z x z x y a x y z b x y z c x y z +++===+++++++++，所以111a b ca b c ++=+++1x y z x y z x y z x y z++=++++++. 故填：1.【点睛】本小题主要考查代数式的运算，属于中档题.8.已知点(1,1)A 和点(3,2)B ，在直线y x =-上有一个点P ，满足PA PB +最小，则PA PB +的最小值是________ 【答案】5 【解析】 【分析】根据对称性求得A 关于直线y x =-对称点的坐标'A ，由'A B 求得PA PB +的最小值.【详解】由于()1,1A 在y x =上，所以点A 关于直线y x =-的对称点为()'1,1A --，所以PA PB +的最小值为'5A B ==.故填：5.【点睛】本小题主要考查点关于直线对称点问题，考查类似将军饮马的最短距离和问题，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.9.已知方程|53||54|7x x ++-=，则x 的取值范围是_______ 【答案】3455x -≤≤ 【解析】 【分析】化简原方程，利用绝对值的几何意义，求得x 的取值范围. 【详解】由|53||54|7x x ++-=得347555x x ++-=，方程表示数轴上到35-和45的距离和为75的点，而35-和45的距离是75，故符合题意的x 的范围是3455x -≤≤.故填：3455x -≤≤. 【点睛】本小题主要考查利用绝对值的几何意义解方程，属于基础题.10.关于x 方程221(43|43|)2x x x x k -+--+=有两个不同的根，则k 的取值范围是_____ 【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】根据x 的取值范围去绝对值，求得方程左边的表达式，根据方程根的个数，结合图像，求得k 的取值范围.【详解】当1x ≤或3x ≥时，方程为0k =，不符合题意.当13x <<时，方程为()()2431,3x x k x -+=∈，画出()()2431,3y x x x =-+∈的图像如下图所示，由图可知，要使方程()()2431,3x x k x -+=∈有两个不相同的根，则需()1,0k ∈-. 故填：(1,0)-.【点睛】本小题主要考查含有绝对值的方程的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知集合{1,2,3,,}M n =⋅⋅⋅（1n >，*n ∈N ），则M 的所有非空子集的元素和为_______（只需写出数学表达式）【答案】22()2n n n -+⋅【解析】 【分析】求得含1个元素的子集的元素和、求得含2个元素的子集的元素和、以此类推，求得含n 个元素的子集的元素和，然后相加，求得M 所有非空子集的元素和. 【详解】含1个元素的子集的元素和为()()11112n n n C C -+++⋅-L ，含2个元素的子集的元素和为()()22112n n n C C -+++⋅-L ，……以此类推含1n -个元素的子集的元素和为()()11112n n n n n C C ---+++⋅-L ，含n 个元素的子集的元素和为()12nn n C +++⋅L .上述n 个式子相加得()()()1212111112n n n n n n n n n n C C C C C C ----+⎡⎤+++++++⎣⎦L L ()2122222n n n n n n --+=⋅=+⋅. 故填：()222n n n -+⋅.【点睛】本小题主要考查集合非空子集元素和的计算，考查等差数列前n 项和公式，考查二项式展开式的二项式系数和公式，属于中档题.12.当一个非空数集F 满足条件“若,a b F ∈，则+a b ，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈”时，称F 为一个数域，以下四个关于数域的命题： （1）0是任何数域的元素；（2）若数域F 有非零元素，则2019F ∈； （3）集合{|3,}P x x k k ==∈Z 为数域； （4）有理数集为数域；其中，真命题的编号为________（写出所有真命题的编号） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】根据新定义数域的概念，对四个命题逐一分析，由此得出真命题的编号. 【详解】对于（1），当a b =时，0a b F -=∈，故（1）正确. 对于（2），当a b =时，1aF b=∈，所以11,21,,20181+++L 都是F 的元素，故（2）正确. 对于（3）由于33,3P P ∈∉，故P 不是数域.对于（4）有理数集满足,a b F ∈，则+a b ，-a b ，ab F ∈，且当0b ≠时，aF b∈.故（4）正确.综上所述，正确的命题编号为：（1）（2）（4）. 故填：（1）（2）（4）.【点睛】本小题主要考查新定义集合的理解，考查分析问题与解决问题的能力，属于中档题.二.选择题13.已知关于x 的一次函数27y mx m =+-在15x -≤≤上的函数值总是正的，则m 的取值范围是（ ） A. 7m > B. 1m >C. 17m ≤≤D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的单调性列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围.【详解】由于一次函数是单调函数，依题意有2705270m m m m -+->⎧⎨+->⎩，解得7m >，故选A.【点睛】本小题主要考查一次函数的性质，考查一元一次不等式组的解法，属于基础题.14.m 是一个完全平方数，则（ ） A. 1m -一定是完全平方数 B. 1m -一定不是完全平方数 C. 2m +一定是完全平方数 D. 2m +一定不是完全平方数【答案】D【分析】对m 取特殊值，排除错误选项，从而得出正确结论.【详解】当4m =时，13m -=不是完全平方数，26m +=不是完全平方数，由此排除A,C 两个选项.当1m =时，10m -=是完全平方数，由此排除B 选项.故本小题选D. 【点睛】本小题主要考查完全平方数的特点，考查特殊值解选择题的方法，属于基础题.15.如图，反比例函数3y x=-（0x >）图像经过矩形OABC 边AB 的中点E ，交边BC 于F 点，连结EF 、OE 、OF ，则△OEF 的面积是（ ）A.32B.94C.73D.52【答案】B 【解析】 【分析】设出A 点坐标，求得,,B E F 的坐标，利用矩形面积减去三个直角三角形的面积，求得三角形OEF 的面积.【详解】设(),0,0A a a >，则366,,,,,2a E a B a F a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，矩形OABC 的面积为66a a ⋅=，三个直角三角形的面积为131********222222424a a a a a a ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=，所以三角形OEF 的面积为159644-=，故选B. 【点睛】本小题主要考查反比例函数上点的坐标的特点，考查利用割补法求三角形面积，属于基础题.16.如果不等式组9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩的整数解有n （*n ∈N ）个，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对(,)a b 共有（ ）个A. 17个B. 64个C. 81个D. 72个【答案】D 【解析】 【分析】先解不等式组求得x 的取值范围，根据整数解的情况，确定有序对的个数. 【详解】由9080x a x b -≥⎧⎨-<⎩得98a bx ≤<，不妨设1n =，故a 可取1,2,3,4,5,6,7,8,9共9种可能，b 可取9,10,11,12,13,14,15,16共8种可能，可以满足整数解有1个，为1.所以有序数对(),a b 共有9872⨯=个，故选D.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式组的解法，考查分步计数原理，考查整数的性质，考查分析与思考的能力，属于基础题.三.解答题17.求3232x x x ++-除以2x -的商式与余数. 【答案】商式23715x x =++，余式28=. 【解析】 【分析】设商为2ax bx c ++，利用()()22x ax bx c -++的展开式与3232x x x ++-比较，求得,,a b c的值，进而求得商式和余式.【详解】设商为2ax bx c ++，()()22x ax bx c -++()()32222ax b a x c b x c =+-+--，所以32121a b a c b =⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得3,7,15a b c ===，()()223715x x x -++22330x x x =++-，由()32223233028x x x x x x ++--++-=可知，余式为28.【点睛】本小题主要考查多项式除法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.18.如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.【参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数】【答案】202m【解析】【分析】利用梯形面积，减去弓形面积，求得阴影部分面积.【详解】连接,,OA OB AB ，过O 作OG CD ⊥交AB 于E ，交劣弧»AB 于F .过A 作AH CD ⊥交CD 于H ，过B 作BI CD ⊥交CD 于I .由于228AB AE BE ===，5OB OA ==，所以3,2,3OE FE OF OE EG EF FG ==-==+=，所以3AH BI ==，在直角三角形ADH 中，3tan ,tan 56,2AH D DH DH DH===o ，同理求得2CI =，所以28212CD =++=，故梯形ABCD 的面积为8123302+⨯=.在直角三角形OAE 中4sin 0.85AOE ∠==，故53,106AOE AOB ∠≈∠=o o ，所以扇形OAFB 的面积为1063522360⨯⨯≈，而三角形AOB 的面积为183122⨯⨯=，所以弓形AFB 的面积为221210-=，故阴影部分面积为2301020m -=.【点睛】本小题主要考查与圆有关的面积计算，考查梯形面积公式、扇形面积公式，考查分析与思考、解决问题的能力，属于中档题.19.如图，在边长为6的正方形ABCD 中，弧AC 的圆心为B ，过弧AC 上的点P 作弧AC 的切线，与AD 、CD 分别相交于点E 、F ，BP 的延长线交AD 边于点G .（1）设AE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数解析式，并写出函数定义域；（2）当2AE =时，求EG 的长.【答案】（1）3666x y x -=+，(0,6)x ∈；（2）52. 【解析】【分析】（1）根据切线长定理求得,PE PF 的长，在直角三角形DEF 中利用勾股定理求得y 与x 的关系式.（2）以B 为平面直角坐标系原点,BC BA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，又,E F 坐标，求得直线EF 的斜率，进而求得直线BP 的斜率，由此求得AG 长，进而求得EG 的长.【详解】（1）根据切线长定理得,PE AE x PF CF y ====，且6,6DE x DF y =-=-，直角三角形DEF 中由勾股定理得()()()22266x y x y +=-+-，化简得3666x y x -=+，由066x <-<，解得06x <<，也即函数定义域为()0,6.所以函数解析式为()()3660,66x y x x-=∈+.（2）当2AE =时，由（1）知3CF =.以B 为平面直角坐标系原点,BC BA 分别为,x y 轴建立平面直角坐标系，则()()()()0,6,6,0,2,6,6,3A C E F ，所以直线EF 的斜率为633264-=--，所以与EF 垂直的直线BG 的斜率为43，而4tan tan 3AB AGB GBC AG ∠=∠==，所以3942AB AG ==，所以95222EG AG AE =-=-=.即EG 长为52.【点睛】本小题主要考查圆的切线长定理，考查勾股定理，考查坐标法求解几何问题，属于中档题.20.对于函数()f x ，若存在0x ∈R ，使00()f x x =成立，则称点00(,)x x 为函数()f x 的不动点.（1）已知函数2()f x ax bx b =+-（0a ≠）有不动点(1,1)和(3,3)--，求a 、b ；（2）若对于任意的实数b ，函数2()f x ax bx b =+-总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1a =，3b =；（2）(0,1).【解析】【分析】（1）根据不动点的定义列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）根据不动点的概念列式，利用一元二次方程根的个数与判别式的关系列不等式，解不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）依题意()()11393943f a b b a f a b b a b ⎧=+-==⎪⎨-=--=-=-⎪⎩，解得1,3a b ==. （2）首先0a ≠，依题意20000()f x ax bx b x =+-=有两个不同的解，即()20010ax b x b +--=有两个不同的解，所以()2140b ab ∆=-+>，即()24210b a b +-+>对任意b R ∈都成立，所以()24240a ∆=--<，即216160a a -<，()10a a -<，解得01a <<.所以实数a 的取值范围是()0,1.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查一元二次不等式根的个数与判别式的关系，考查一元二次不等式恒成立问题的求解策略，属于中档题.21.设n 为正整数，集合12{|(,,,),{0,1}}n k A t t t t αα==⋅⋅⋅∈（1,2,,k n =⋅⋅⋅），对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=⋅⋅⋅和12(,,,)n y y y β=⋅⋅⋅，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+--++--+⋅⋅⋅++--. （1）当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（2）当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素α、β，当α、β相同时，(,)M αβ是奇数，当α、β不同时，(,)M αβ是偶数，求集合B 中元素个数的最大值.【答案】（1）(,)2M αα=，(,)1M αβ=；（2）4.【解析】【分析】（1）利用(,)M αβ的定义，求得(,)M αα和(,)M αβ的值.（2）当4n =时，根据α、β相同时，(,)M αβ是奇数，求得此时集合B 中元素所有可能取值，然后验证α、β不同时，(,)M αβ是偶数，由此确定集合B 中元素个数的最大值.【详解】（1）依题意(,)M αα()()()111011000022=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦； (,)M αβ()()()110111001112=+-++-++-=⎡⎤⎣⎦. （2）当4n =时，依题意当α、β相同时，(,)M αβ()()()()1122334412x x x x x x x x =+++++++⎡⎤⎣⎦1234x x x x =+++为奇数，则1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”或者“1个1和3个0”.当α、β不同时：①当1234,,,x x x x 中有“3个1和1个0”时，元素为()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1，经验证可知(,)M αβ是偶数，符合题意，集合B 最多有4个元素()()()()1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1.②当1234,,,x x x x 中有“1个1和3个0”时，元素为()()()()1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1，经验证可知(,)Mαβ是偶数，符合题意，集合B 1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1.最多有4个元素()()()()综上所述，不管是①还是②，集合B中元素个数的最大值为4.【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力，属于中档题.。
上海2020-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷(数学学科)参考答案
上海2021-2021学年七宝中学高三上学期期中仿真密卷 数学学科参考答案一. 填空题1. (,3][1,0)-∞--2. 79-3. 24. 3log 1x +〔1(0,)3x ∈〕 5. 312n n a n n =⎧=⎨≥⎩6. 507.10109.110. 1}-11.(3---12.1288二. 选择题13. B 14.C15.C 16. B 17．如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1. 〔1〕证明：BE ⊥平面EB 1C 1；〔2〕假设AE =A 1E ，求二面角B –EC –C 1的正弦值.【答案】〔1〕证明见解析；〔2【解析】 【分析】〔1〕利用长方体的性质，可以知道11B C ⊥侧面11A B BA ，利用线面垂直的性质可以证明出11B C EB ⊥，这样可以利用线面垂直的判定定理，证明出BE ⊥平面11EB C ；〔2〕以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设正方形ABCD 的边长为a ，1B B b =，求出相应点的坐标，利用1BE EC ⊥，可以求出,a b 之间的关系，分别求出平面EBC 、平面1ECC 的法向量，利用空间向量的数量积公式求出二面角1B EC C --的余弦值的绝对值，最后利用同角的三角函数关系，求出二面角1B EC C --的正弦值. 【详解】证明〔1〕因为1111ABCD A B C D -是长方体，所以11B C ⊥侧面11A B BA ，而BE ⊂平面11A B BA ，所以11BE B C ⊥又1BE EC ⊥，1111B C EC C ⋂=，111,B C EC ⊂平面11EB C ，因此BE ⊥平面11EB C ；〔2〕以点B 坐标原点，以1,,BC BA BB 分别为,,x y z 轴，建立如以下图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(,0,0),(,0,),(0,,)2bB C a C a b E a ，因为1BE EC ⊥，所以2210(0,,)(,,)002224b b b BE EC a a a a b a ⋅=⇒⋅-=⇒-+=⇒=，所以(0,,)E a a ，1(,,),(0,0,2),(0,,)EC a a a CC a BE a a =--==， 设111(,,)m x y z =是平面BEC 的法向量，所以111110,0,(0,1,1)0.0.ay az m BE m ax ay az m EC +=⎧⎧⋅=⇒⇒=-⎨⎨--=⋅=⎩⎩，设222(,,)n x y z =是平面1ECC 的法向量，所以2122220,0,(1,1,0)0.0.az n CC n ax ay az n EC =⎧⎧⋅=⇒⇒=⎨⎨--=⋅=⎩⎩，二面角1B EC C --的余弦值的绝对值为122m n m n⋅==⋅，所以二面角1B EC C --=【点睛】此题考查了利用线面垂直的性质定理证明线线垂直，考查了利用空间向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函数关系，考查了数学运算能力.18．在ABC ∆在在在在A在B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.sin cos 6b A a B π⎛⎫=-⎪⎝⎭. ，1〕求角B 的大小；，2〕设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3πⅠ(Ⅰ)b =【解析】分析：ⅠⅠⅠ由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数根本关系可得tanB =B =π3Ⅰ ⅠⅡ〕在△ABC 中，由余弦定理可得b Ⅰ结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得()214sin A B -=详解：ⅠⅠ〕在△ABC 中，由正弦定理a b sinA sinB=，可得bsinA asinB =Ⅰ 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Ⅰ即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB =又因为()0πB ∈，，可得B =π3Ⅰ ⅠⅡ〕在△ABC 中，由余弦定理及a =2Ⅰc =3ⅠB =π3Ⅰ 有22227b a c accosB =+-=，故b Ⅰ由π6bsinA acos B⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得sinA =a <c，故cosA =Ⅰ 因此22sin A sinAcosA ==Ⅰ212217cos A cos A =-=．所以，()222sin A B sin AcosB cosAsinB -=-=1127-= 点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中假设出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．19．华为董事会决定投资开发新款软件，估计能获得10万元到1000万元的投资收益，讨论了一个对课题组的奖励方案:奖金y (单位:万元)随投资收益x (单位:万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.〔1〕请分析函数11005x y =-是否符合华为要求的奖励函数模型，并说明原因； 〔2〕假设华为公司采用模型函数110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩作为奖励函数模型，试确定正整数a 的取值集合.【答案】〔1〕不符合，原因见解析〔2〕a 的取值集合为{}910911912，， 【解析】【分析】〔1〕根据题意，总结奖励模型需要满足的条件①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5xf x ≤恒成立；判断单调性及最值，即可求解；〔2〕由题意，依此判断分段函数的单调性，最大值和()5xf x ≤，即可求解参数范围，由a 为正整数，即可确定取值集合. 【详解】〔1〕设奖励函数模型为()y f x =，按公司对函数模型的根本要求，函数()y f x =满足:当[10,1000]x ∈时，①()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；②()9f x ≤恒成立；③()5x f x ≤11005x y =-.当[10,1000]x ∈时，11005x y =-是增函数，max 1000149()(1000)910055f x f ==-=>所以()9f x ≤不恒成立.故该函数模型不符合公司要求.〔2〕对于函数模型110100100510100100010x x y x a x x ⎧-≤≤⎪⎪=⎨-⎪<≤⎪+⎩，当10100x ≤≤时，()f x 在定义域[10,100]上是增函数，且()9f x ≤恒成立；当1001000x <≤时，10100()101010x a a f x x x ---==+++，只有1000410005110a a --<⎧⎪-⎨≤⎪⎩时，()f x 在定义域[10,1000]上是增函数；要使()9f x ≤在[10,1000]x ∈恒成立，(1000)9f ≤，即100041000[100,912]5110(1000)9a aa f --<⎧⎪-⎪≤⇒∈⎨⎪≤⎪⎩；要使()5x f x ≤恒成立对[10,1000]x ∈恒成立，即11010010055101001000105x xx x a x x x ⎧-<≤≤⎪⎪⎨-⎪<<≤⎪+⎩，即24050x x a -+≥恒成立，所以910a ≥； 综上所述，910a ≥，所以满足条件的正整数a 的取值集合为{}910911912，， 【点睛】此题结合实际问题，考查了〔1〕函数的单调性，最值和恒成立问题；〔2〕由函数的单调性最值和不等式确定参数的取值范围；考查计算能力，考查数学建模思想，属于中等题型.20．椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>经过点(2,1)A，离心率为2，过点(3,0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M N 、， 〔1〕求椭圆C 的方程； 〔2〕求BM BN ⋅的取值范围；〔3〕设直线AM 和AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值.【答案】〔1〕22163x y +=〔2〕(2,3]〔3〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕根据离心率和(2,1)A 代入椭圆方程可求得a 和c ，进而求得b ，方程可得；〔2〕由题意显然直线l 方程为()3y k x =-，联立直线与椭圆的方程22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222212121860k xk x k +-+-=.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴>0∆，可得11k -<<，再用坐标表示出BM BN ⋅，即可求取值范围. 〔3〕由〔2〕用坐标表示出AM AN k k +化简即可. 【详解】〔1〕由题意得22222411a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩，解得a =b =∴椭圆C 的方程为22163x y +=.〔2〕由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()3y k x =-，由22(3)163y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222212121860k x k x k +-+-=.∵直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，∴()()()42221444121862410k kkk ∆=-+-=->，解得11k -<<.设M ，N 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，那么21221212k x x k +=+，212218612k x x k-=+， 又()113y k x =-，()223y k x =-，()2223333122212k k k +==+++， ∵11k -<<，∴()233232212k <+≤+， ∴BM BN ⋅的范围为(]2,3. 〔3〕由〔2〕得所以AM AN k k +为定值，=2AM AN k k +- 【点睛】此题考查主要考查椭圆的标准方程求解，运用韦达定理解决直线与椭圆相交问题，椭圆定点问题，考查逻辑推理能力和计算求解能力，综合性较强，有一定难度.21．定义在R 上的函数()f x 和数列{}n a 满足以下条件:121,a a a a =≠，当n *∈N 且2n ≥时，1()n n a f a -=且11()()()n n n n f a f a k a a ---=-，其中a k 、均为非零常数. 〔1〕数列{}n a 是等差数列，求k 的值；〔2〕令1()n n n b a a n N *+=-∈，假设11b =，求数列{}n b 的通项公式；〔3〕证明:{}n a 数列是等比数列的充要条件是()(1)f x kx k =≠. 【答案】〔1〕1〔2〕n b ()1210n k a a -=-≠〔3〕证明见解析【解析】【分析】〔1〕由题意知1()n n a f a -=，11()()()n n n n f a f a k a a ---=-()2n ≥，得()()112n n n n a a k a n a --=-≥-，再由等差数列，即可求解k 值；〔2〕由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠，因此()()()1111n n n n n n n n b a a f a f a k a a kb +---=-=-=-=，由此可知，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.〔3〕先进行充分性证明：假设()(1)f x kx k =≠那么{}n a 数列是等比数列；再进行必要性证明：假设{}n a 数列是等比数列，那么()(1)f x kx k =≠.【详解】〔1〕由()1n n a f a -=，()()()()112,3,4,n n n n f a f a k a a n ---=-=⋅⋅⋅， 得()()()()1112,3,4,n n n n n n a a f a f a k a a n +---=-=-=⋅⋅⋅， 由数列{}n a 是等差数列，得()112,3,4,n n n n a a a n a +-=-=-⋅⋅⋅，所以，()11n n n n a a k a a ---=-，()2,3,4,n =⋅⋅⋅， 得1k =.〔2〕由1210b a a =-≠，可得()()()23221210b a a f a f a k a a =-=-=-≠， 且当2n >时，()()()111n n n n n n n b a a f a f a k a a +--=-=-=-()1210n ka a -==-≠，所以，当2n ≥时，()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n f a f a k a a b a a k b a a a a a a --+-------====---， 因此，数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列.故通项公式为()1210n n b ka a -=-≠〔3〕{}n a 是等比数列的充要条件是()()1f x kx k =≠，充分性证明:假设()()1f x kx k =≠，那么由10a a =≠，()()12,3,4,n n a f a n -==⋅⋅⋅ 得()12,3,4,n n n a ka -==⋅⋅⋅，所以，{}n a 是等比数列. 必要性证明:假设{}n a 是等比数列，由〔2〕知，()()1*21n n b ka a n N -=-∈，()()()12121211n n n b b b a a a a a a --++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-()12n a a n =-≥， ()1121n n a a b b b -=+++⋅⋅⋅+.当1k =时，()()()12112n a a a a n n =+--≥.上式对1n =也成立， 所以，数列{}n a 的通项公式为:()()()()*1n a a f a an n N =+--∈.所以，当1k =时，数列{}n a 是以a 为首项，()f a a -为公差的等差数列.所以，1k ≠.当1k ≠时，()()1121121n n k a a a a n k --=+-≥-. 上式对1n =也成立，所以，()11()1n n k a a f a a k --=+--1()(())11n f a a f a a k a k k---=+---. 所以，()0()1f a aa f a ka k-+=⇒=-.Ⅰ，等式()(1)f x kx k =≠对于任意实数a 均成立.所以()(1)f x kx k =≠.【点睛】此题考查等差数列的定义，利用等比数列定义证明，求解等比数列通项公式及证明，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题.。
上海市七宝中学2019-2020学年高三下学期数学综合基础强化练习卷5(word,含答案)
七宝中学高三数学综合基础强化052020.04一.填空题1.已知集合A=[a,+∞), B={-1,0,1}, 若B ⊆A,则实数a 的最大值为____2.若lim(1)nn x →∞-存在，则实数x 的取值范围为___ 3.满足不等式|x-A|<B ( B>0, A ∈R )与实数x 的集合叫做A 的B 邻域,若a+b-2的a+ b 邻域是一个关于原点对称的区间,则14a b +的取值范围是____ 4.已知函数f(x)=|2x-a|+a, g(x)=|2x-1|, 若f(x)+ g(x)≥3对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是____5.若f(x)是奇函数,当x>0时, f(x)=π-arccos(sinx)， 则当x<0时，f(x)的解析式是f(x)=____6.设a ∈(-∞,0)内变化时,若经过O(0,0)、 A(4,0)、 B(1,a)三点的圆的圆心在△AOB 的内部或三角形的上，则a 的最大值是_____7.设集合A 共有6个元素，用这全部的6个元素组成的不同矩阵的个数为_____8.已知,,a b c r r r 是平面内三个单位向量,若,a b ⊥r r 则||2||32|a c a b c +++-r r r r r 的最小值是_____9.已知3sin cos 1(x x ωωω+=>0)在x ∈(0,2π)有且仅有一个实数根,则实数ω的取值范围____10.从双曲线22221x y a b-=上任意一点P 引实轴平行线交两渐近线于Q 、R 两点，则|PQ|：|PR|=_____ 11.如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的,则该几何体的体积为____12.在图中的三角形数阵的,用*(,,)i a i j i j ≥∈N 表示第i 行第j 个数，且,1112i na =-且当i≥3时,每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和,即,1,11,i j i j i j a a a ---=+(2≤j≤i -1),若,22020,m a >则正整数m 的最小值为____二.选择题13.已知点P(a,b),曲线1C 的方程1,y x =-曲线2C 的方程221,x y +=则“点P(a,b)在曲线1C 上”是“点P(a,b)在曲线2C 上”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.曲线22:(0,45x y Γ--=要使直线y=m (m ∈R )与曲线r 有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )55.(,)33A - B.(-3,3)55.(3,)(,3)33C --⋃ 5555.(3,)(,)(,3)3333D --⋃-⋃ 15.已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数m 、n,使得对任意实数x 总有f(m)≤f(x)≤f(n)成立,则M·|m-n|的最小值为( ).2019A π 2.2019B π 4.2019C π .4038D π16. 记f(x)=x-[x],其中[x]表示不大于x 的最大整数,0(),10kx x g x x x≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩若方程f(x)= g(x)在[-5,5]上有7个不同的实数根,则实数k 的取值范围( ) 11.[,]65A 11.(,]65B 11.(,]54C 11.[,)54D 三.解答题 17.已知等差数列{}n a 中，255,14,a a ==数列{}n b 的前n 项和2 1.n n S b =-(1)求,n n a b (2)若(1),n n n n c a b =-+求{}n c 的前n 项和.n T18.如图所示，四棱锥P- ABCD 的底面是菱形，PO ⊥底面ABCD, O 、E 分别是AD 、AB 的中点，AB=6, AP=5,∠BAD= 60°.(1)求直线PB 与平面POE 所成角的正弦值;(2)在DC 边上是否存在点F ，使BF 与PA所成角的余弦值为若存在,确定点F 位置，如不存在，说明理由.19. 设a 为实数,函数2()||1()f x x x a a =+-+∈R(1)若函数y= f(x)是偶函数,求实数a 的值;(2) 若a=2,求f(x)的最小值;(3)对于函数y= m(x)和给定区间[a,b],若存在00()x a x b <<，满足0()()(),m b m a m x b a -=-则称函数m(x)是区间[a,b]上的“平均值函数”，0x 是它的一个“均值点”，如函数2y x =是[-1,1] 上的平均值函数, 0就是它的均值点,现有函数2()g x x mx =-++1是区间[-1,1]上的平均值函数,求实数m 的取值范围.。
上海市七宝中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题
5．设函数 ，则函数 的定义域是________
6．已知函数 和 的定义如下表：
x
2016
2017
2018
f(x)
2017
2018
2016
x
2016
2017Байду номын сангаас
2018
g(x)
2016
2018
11．若关于 的不等式 的解集恰好是 ，则 ．
12．定义在 上的函数 满足对任意 ， 成立，当 时, ，则在 内，函数 的所有零点之和为________
二、单选题
13．下列图形表示数集D到C的对应法则，其中表示定义域是D，值域是C的函数的是（）
A． B．
C． D．
14．若圆弧长度等于圆内接正方形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为（ ）
故答案为：{x|2≤x＜3}．
【点睛】
本题考查交集的求法，考查交集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5．
【分析】
由对数式的真数大于0求得f（x）的定义域，再由﹣1 1，即可得到函数 的定义域．
【详解】
解：由1﹣x2＞0，可得﹣1＜x＜1．
∴f（x）的定义域为（﹣1，1），
4．
【分析】
求出集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}．由文氏图得到P＝A∩（∁RB），由此能求出集合P．
【详解】
解：集合 {x|1＜x＜3}，
B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}．
由文氏图得到P＝A∩（∁RB）＝{x|1＜x＜3}∩{x|x≤0或x≥2}＝{x|2≤x＜3}．
2019-2020学年上海中学高三(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷一.填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N = ．2．函数y = ．3．等比数列{}n a 中，公比4q =，且前3项之和是21，则数列的通项公式n a = ． 4．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x --<的解集是 ．5．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．6．若不等式20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为 ．7．已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令*n b n N =∈，2020)n <，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = ．8．若不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，则实数k 的取值范围是 ． 9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1236++=．则满足条件“{1A ⊆，2，3，4，5，6，7}，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和是 ．10．a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1-，1]上有零点，则a 的取值范围是 ．11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 项．12．设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+=⎨++->⎩…，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为 ．二.选择题13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠．若12345m a a a a a a =，则(m = ) A ．9B ．10C ．11D ．1215．若存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．13(,)24-B ．13(,)(,)22-∞-+∞ C ．13(,)44-D ．13(,)(,)44-∞-+∞ 16．给定函数()f x 和()g x ，令(){()h x max f x =，()}g x ，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个三.解答题17．已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求11(1)(1)a b++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值． 18．已知()|1|()f x ax a R =-∈，()1||g x x =-． （1）解关于x 的不等式()1f x …；（2）若()()f x g x …的解集为R ，求a 的取值范围．19．若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x …恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的取值范围；（2）若函数30()f x a x =-与()()xg x lg a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围． 20．在数列{}n a 中，10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈．（1）若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“*11()4n a n N +>∈恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k N ∈，使得2019k a >． 21．已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >． （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值；（3）若函数()f x 在[2-，2]上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值．2019-2020学年上海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．已知集合{|42}M x x =-<<，2{|60}N x x x =--<，则M N = {|22}x x -<< ．【解答】解：集合{|42}M x x =-<<，2{|60}{|23}N x x x x x =--<=-<<，{|22}MN x x ∴=-<<．故答案为：{|22}x x -<<．2．函数y = [4．)+∞ ． 【解答】解：由已知可得2log 20x x ⎧⎨>⎩…，解不等式可得{|4}x x …故答案为：[4，)+∞3．等比数列{}n a 中，公比4q =，且前3项之和是21，则数列的通项公式n a = 14n - ． 【解答】解：因为公比4q =，且前3项之和是21， 所以31(14)2114a -=-，解得11a =，所以11144n n n a a --==， 故答案为：14n -．4．设奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且f （1）0=，则不等式()()0f x f x x--<的解集是 (1-，0)(0⋃，1) ． 【解答】解：函数()f x 是奇函数 ()()f x f x ∴-=- ∴不等式()()0f x f x x--<可转化为：()0f x x <根据条件可作一函数图象： ∴不等式()()0f x f x x--<的解集是(1-，0)(0⋃，1)故答案为：(1-，0)(0⋃，1)5．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，==+；由基本不等式有：64xyxy=；当且仅当=时，即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，；故答案为：6．若不等式20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，则不等式2()(1)0qx px r x ++->的解集为 (3-，1)(2⋃，)+∞ ．【解答】解：20px qx r -+…的解集为{|2x x -…或3}x …，所以其对应的方程20px qx r -+=有两个根2-，3，且0p >，22(2)(3)6px qx r p x x px px p -+=+-=--，所以q p =，6r p =-． 2()(1)0qx px r x ++->，即2(6)(1)0p x x x +-->，即(3)(2)(1)0x x x +-->，由穿针引线法，得(3x ∈-，1)(2⋃，)+∞． 故答案为：(3-，1)(2⋃，)+∞．7．已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令*n b n N =∈，2020)n <，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = 1010 ．【解答】x =y =，*n b n N =∈，2020)n <，∴根据基本不等式222222222()22()x y x y xy x y x y x y +=+++++=+…，得222020*********()2(2)4n n n b a a a a -=+==…，当且仅当2020n n a a -=时，n b 取到最大值， 此时1010n =，1010k ∴=． 故答案为：1010．8．若不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，则实数k 的取值范围是 14k 剟 ．【解答】解：设原不等式的解集为A ， 当0k =时，则4x >，不合题意，当0k >且2k ≠时，原不等式化为[(x -4)](4)0k x k +-<，44k k+>， ∴4(4,)A k k =+，要使不存在整数x 使不等式2(4)(4)0kx k x ---<成立，须45k k+…，解得：14k 剟； 当2k =时，A =∅，合题意，当0k <时，原不等式化为[(x -4)](4)0k x k +->，(A ∴=-∞，4)(4k k+⋃，)+∞，不合题意，故答案为：14k 剟． 9．定义：数集的容量是集合中所有元素的和．例如，数集{1，2，3}的容量为1236++=．则满足条件“{1A ⊆，2，3，4，5，6，7}，且若a A ∈时，必有8a A -∈”的所有非空集合A 的容量的总和是 224 ．【解答】解：若满足条件则下列同一括号里的数，同时属于或不属于A ，即(1,7)、(2,6)、(3,5)，4又(1,7)属于集合是一种情况，不属于集合又是一种情况，共两种情况，同理(2,6)，(3,5)，4同(1,7)类似各有两种情况，∴利用乘法原理，可得满足条件的集合个数为42(1,7)、(2,6)、(3,5)，4出现和不出现的次数是相等的， (1,7)∴、(2,6)、(3,5)，4出现的次数均为8， ∴总容量为：8(8884)224⨯+++=，故答案为：22410．a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--．如果函数()y f x =在区间[1-，1]上有零点，则a 的取值范围是 ([1，)+∞ ． 【解答】解：0a =时，不符合题意，所以0a ≠，2()2230f x ax x a =+--=在[1-，1]上有解，2(21)32x a x ∴-=-在[1-，1]上有解∴212132x a x-=-在[1-，1]上有解， 问题转化为求函数22132x y x -=-在[1-，1]上的值域．设32t x =-，[1x ∈-，1]，则23x t =-，[1t ∈，5]， 17(6)2y t t∴=+-，设7()g t t t =+，27()1g t t∴'=-，[1t ∈时，()0g t '<，此函数()g t 单调递减，t ∈，5]时，()0g t '>，此函数()g t 单调递增，y ∴的取值范围是3-，1]，∴13a∈-，1]，1a ∴…或a …．故答案为(-∞[1，)+∞． 11．若一个整数数列的首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1，则我们称这个数列为“好数列”，例如：1，2，2，3，4，3，2，1，1是一个好数列，若一个好数列的各项之和是2019，则这个数列至少有 89 项．【解答】解：由题可知，数列要想项数最少，需要各项最大；又因为数列首项和末项都是1，且任意相邻两项之差的绝对值不大于1， 所以需要数列前面递增，后面对称递减； 又各项之和是2019，中间可能存在相等的项，设除去相等项后的各项为：1，2，3⋯，(1)n -，n ，(1)n -，3⋯，2，1； ∴令各项和：2(1)[1(1)]123(1)(1)212[123(1)]2(1)20192n n n n n n n n n n n n -+-+++⋯+-++-+⋯++=+++⋯+-+=⨯+=-+=…， 得44n …，当n 为44时，项数为432187⨯+=项， 220194483-=，将83分成小于或等于44的项，最少可以分成两项， 故这个数列至少有87289+=项， 故答案为：89．12．设220()|||1|0x ax x f x x a x x ⎧-+=⎨++->⎩…，若()f x 的最小值为1a +，则实数a 的取值范围为{2[1---，1] ．【解答】解：（1）若0a -…，即0a …时，22,0()1,0121,1x ax x f x a x x a x ⎧-+⎪=+<⎨⎪+->⎩……， ()f x ∴在(-∞，0]上单调递减，最小值为(0)2f =，在(0,)+∞上最小值为1a +，故只需21a +…即可，解得01a 剟； （2）若01a <-…，即10a -<…时，则22,021,0()1,121,1x ax x x a x af x a a x x a x ⎧-+⎪--+<-⎪=⎨+-<<⎪⎪+-⎩………，()f x ∴在(-∞，0]上先减后增，最小值为2()224a a f =-，在(0,)+∞上最小值为1a +，故只需2214a a -+…即可，解得22a ---+， 又10a -<…，10a ∴-<…；（3）若1a ->，即1a <-时，22,021,01()1,121,x ax x x a x f x a x a x a x a⎧-+⎪--+<⎪=⎨--<<-⎪⎪+--⎩………，()f x ∴在(-∞，0]上先减后增，最小值为2()224a a f =-，()f x 在(0,)+∞上的最小值为10a -->，而()f x 的最小值为10a +<，故只需令2214a a -=+即可，解得2a =--2a =-+（舍)，综上，a的取值范围是{2[1---，1]．故答案为：{2[1---，1]． 二.选择题13．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要非充分条件． 故选：B ．14．在等比数列{}n a 中，11a =，公比||1q ≠．若12345m a a a a a a =，则(m = ) A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：根据等比数列的性质得，215243a a a a a ==， 又12345m a a a a a a =，所以53m a a =， 因为111m m m a a q q --==，2231a a q q ==， 所以125()m q q -=，所以110m -=，即11m =， 故选：C ．15．若存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．13(,)24-B ．13(,)(,)22-∞-+∞C ．13(,)44-D ．13(,)(,)44-∞-+∞ 【解答】解：命题存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立的否定为[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立．由[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立，得2212x a --剟，即1322x xa -剟， 当[1x ∈，2]时，12x -的最大值为14-，32x 的最小值为34． ∴命题[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立为真命题的a 的取值范围为1[4-，3]4， 则命题[1x ∀∈，2]，使得|21|20x a --…成立为假命题的a 的取值范围为13(,)(,)44-∞-+∞，即存在[1x ∈，2]，使得|21|20x a -->成立的实数a 的取值范围是13(,)(,)44-∞-+∞． 故选：D ．16．给定函数()f x 和()g x ，令(){()h x max f x =，()}g x ，对以下三个论断：（1）若()f x 和()g x 都是奇函数，则()h x 也是奇函数；（2）若()f x 和()g x 都是非奇非偶函数，则()h x 也是非奇非偶函数；（3）()f x 和()g x 之一与()h x 有相同的奇偶性； 其中正确论断的个数为( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【解答】解：（1）若()f x x =-，3()g x x =，则3,0(),0x x h x x x -<⎧=⎨⎩…，则()h x 为非奇非偶函数，故（1）错误，（2）若()2xf x =，()2xg x -=，则2,0()2,0x x x h x x -⎧=⎨<⎩…，则()h x 为偶函数，故（2）错误，（3）由（1）（2）知，()f x 和()g x 与()h x 的奇偶性没有关系，故（3）错误， 故正确的个数为0个， 故选：A ． 三.解答题17．已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<． （1）若1a b +=，求11(1)(1)a b++的最小值；（2）若14ab =，求1111a b+--的最小值．【解答】解：已知实数a 、b 满足01a <<，01b <<．（1）若1a b +=，11(1)(1)(1)(1)(2)(2)4419a b a b a ba b a b b a ++++=++=++++=…，当且仅当a b =成立，故最小值为9，（2）令11x a =-，11y b =-，所以1x a x-=，1y b y -=，1x >，1y >，所以2x y +>，由14ab =，得1114x y x y --=，化简得234()34()44x y xy x y +=+++…，当且仅当x y =时成立， 解得4x y +…，或者43x y +…（不成立） 故x y +的最小值为4．18．已知()|1|()f x ax a R =-∈，()1||g x x =-． （1）解关于x 的不等式()1f x …；（2）若()()f x g x …的解集为R ，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）()1f x …，|1|1ax ∴-…，111ax ∴--剟，02ax ∴剟，∴当0a >时，20xa 剟；当0a =时，x R ∈；当0a <时，20x a剟， ∴当0a >时，不等式的解集为2[0,]a；当0a =时，不等式的解集为R ； 当0a <时，不等式的解集为2[,0]a；（2）不等式()()f x g x …的解集为R ， 即|1|1||ax x --…的解集为R ． |1|y ax =-经过定点(0,1)， ∴当0a =时，||0x …，满足题意； 当0a ≠时，关于x 的不等式|1|1||ax x --…的解集为R ， 则11a …或11a-…，11a ∴-剟且0a ≠， a ∴的取值范围为[1-，1]．19．若函数()y f x =与()y g x =在给定的区间上满足()()0f x g x …恒成立，则称这两个函数在该区间上“和谐”．（1）若函数2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-在R 上和谐，求实数a 的取值范围；（2）若函数30()f x a x =-与()()xg x lg a=在*N 上和谐，求实数a 的取值范围． 【解答】解：（1）由2()(1)22f x x a x a =+--+与2()22g x x ax a =+-是公共区间上的“和谐函数”，可得在公共定义域上()()0f x g x …， 若()f x ，()g x 对应的方程是同解方程， 则1222a a a a⎧-=⎪⎨⎪-+=-⎩，解得2a =； 此时22(2)(224)0x x x x +-+-…． 若()f x ，()g x 对应的方程不是同解方程，要保证对于定义域内的任意实数x ，函数值乘积均为正， 则需要两个二次函数的判别式均小于或等于0， 即22(1)4(22)042(2)0a a a a ⎧---+⎨-⨯⨯-⎩……， 解得70a -剟， 即a 的取值范围是70a -剟． 当0a =时，函数化为2()2f x x x =-+与2()2g x x =，()g x 大于等于0，()f x 的判别式小于0，()f x 大于0恒成立，函数值乘积恒非负，也满足条件．综上知，实数a 的取值范围是70a -剟或2a =； （2）由定义域可得0xa>，由题意可得0a >， 由()0f x =，可得30x a=，由()0g x =，可得x a =， 由题意可得两零点之间无正整数， 由于5630⨯=，所以当05a <<时，306a>，不满足题意； 当6a >时，3005a<<，不满足题意； 当56a 剟时，3056a剟，满足题意．所以a 的取值范围是[5，6]．20．在数列{}n a 中，10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈． （1）若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，求m ； （2）证明：“14m >”是“*11()4n a n N +>∈恒成立”的充要条件； （3）若14m >，求证：存在*k N ∈，使得2019k a >． 【解答】解：（1）10a =，21n na a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈． 当1n =时，20a m m =+=， 当2n =时，23a m m =+，当3n =时，224()a m m m m =++=，∴若2a 、3a 、4a 依次成公差不为0的等差数列，3242a a a ∴=+，得1m =-± （2）证明： 充分性：21n n a a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈．1n a m +∴…，14m >， *11()4n a n N +∴>∈恒成立．∴ “14m >” ⇒ “*11()4n a n N +>∈恒成立”． 必要性：21n n a a m +=+，其中m R ∈，*n N ∈，1n a m +∴…，又*11()4n a n N +>∈恒成立，14m ∴>， ∴ “*11()4n a n N +>∈恒成立” ⇒ “14m >” （3）221111()()244n n n n n a a a m a a m m +-=+-=-+--…，又14m >，∴令104d m =->， 由1n n a a d --…， 12n n a a d ---…，⋯21a a d -…，将上述不等式相加，得： 1(1)n a a n d --…，即(1)n a n d -…，取正整数20191k d>+，就有 2019(1)()2019k a k d d d->=…． 21．已知2()||f x x a x b =--，其中0a >，0b >． （1）若2a =，1b =，写出()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 恰有三个不同的零点，且这些零点之和为2-，求a 、b 的值；（3）若函数()f x 在[2-，2]上有四个不同零点1x 、2x 、3x 、4x ，求1234||||||||x x x x +++的最大值．【解答】解：（1）2a =，1b =时，2222222,1(1)1,1()2|1|22,1(1)3,1x x x x x f x x x x x x x x ⎧⎧-+-+=--==⎨⎨+-<+-<⎩⎩厖， ()f x ∴在(-∞，1]-单调递减，在(1,1)-上单调递增，在[1，)+∞单调递增；（2）由题意2()||0f x x a x b =--=有三个解，且他们的和为2-，x b <时，2()0f x x ax ab =+-=必有两个解，x =，x b ∴>时，2()0f x x ax ab =-+=只有一解，△240a ab =-=，4a b =①，2x b =②，联立①②解得4a =，1b =，综上所述4a =，1b =；（3）2()||0f x x a x b =--=即20x ax ab -+=或20x ax ab +-=，设20x ax ab -+=的两根为1x ，2x ，则12x x a +=，10x >，20x >；设20x ax ab +-=的两根为3x ，4x ，则34x x a +=-，340x x ab =-<，23434||||||4x x x x a ab ∴+=-==+，1x ，2x ，3x ，4x 均在区间[2-，2]内，20x ax ab ∴+-=在区间[2-，2]内，∴2-，4a ∴+，1234||||||||4x x x x a ∴+++=+，综上所述1234||||||||x x x x a +++=+的最大值为4；。
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2019-2020年七宝中学高三上10月月考
一.填空题 1.已知复数z满足117izi（i是虚数单位），则z ． 【答案】5 【解析】 【分析】 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案． 【详解】由（1+i）z=1﹣7i，
得1711768341112iiiiziiii， 则|z|=22(3)(4)5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．
2.设{|}Mxxa，{2,0,1}N，若{2,0}MNI，则实数a的范围是________ 【答案】[0,1) 【解析】 【分析】 由已知集合M，N，以及M交N，可得到实数a的取值范围． 【详解】解：∵集合M＝{x|x≤a}，N＝{﹣2，0，1}， 又M∩N＝{﹣2，0}， ∴实数a的取值范围是：0≤a＜1． 故答案为：[0，1）． 【点睛】本题考查了交集及其运算，利用好数轴是解题的关键，是基础题．
3.已知定义域在[-1，1]上的函数y=f（x）的值域为[-2，0]，则函数y=f（cosx）的值域是______．
【答案】[-2，0] 【解析】 【分析】 可以看出-1cos1x，从而对应的函数值cos2,0fx，这便得出了该函数的值域． 【详解】解：∵cosx∈[-1，1]； ∴cos2,0fx； 即y∈[-2，0]； ∴该函数的值域为[-2，0]． 故答案为：[-2，0]． 【点睛】考查函数定义域、值域的概念，本题可换元求值域：令cosx=t，-1≤t≤1，从而得出f（t）∈[-2，0]．
4.若3sin()45，则cos()4的值是________ 【答案】35-
【解析】 【分析】 利用诱导公式即可得到结果. 【详解】∵3sin()45，
∴cos()=cos()4423sin()45 故答案为：35- 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查学生恒等变形的能力，属于常考题型.
5.设6()axx（0a）展开式中3x的系数为A，常数项为B，若4BA，则a________ 【答案】2 【解析】 【分析】 首先写出二项展开式的通项，化简后按照要求确定字母的指数，得到特征项．
【详解】解：二项式6()axx（a＞0）的展开式，通项为366266()()kkkkkkaCxCaxx， 令632k3，得到k＝2，所以x3系数为A226Ca15a2； 令632k＝0，k＝4，所以常数项为B446()Ca15a4， 又B＝4A，所以15a4＝4×15a2，a＞0，解得a＝2； 故答案为：2 【点睛】本题考查了二项展开式的特征项的求法，关键是正确写出通项，考查学生的计算能力．
6.向量(3,4)a在向量(1,1)br 方向上的投影为________. 【答案】22
【解析】 【分析】 根据向量在向量方向上的投影公式计算即可.
【详解】依题意得·1,2abb，因此向量a在向量b方向上的投影为·22abb.
【点睛】本题主要考查了向量在向量方向上的投影及其计算，属于中档题.
7.已知函数224,0(){4,0xxxfxxxx若2(2)(),fafa则实数a的取值范围是 _____________. 【答案】 【解析】 解：因为根据函数图像可知，分段函数在整个定义域上单调递增，因此原不等式等价于2-a2>a，解得a的范围是-28.设21{|10}Pxxax，22{|20}Pxxax，有下列命题：①对任意实数a，1P是2P的子集；
②对任意实数a，1P不是2P的子集；③存在实数a，使1P不是2P的子集；④存在实数a，使1P是2P的子集；其中正确的有________ 【答案】①④ 【解析】 【分析】 运用集合的子集的概念，令m∈P1，推得m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集，从而作出判断. 【详解】对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}， 可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0， 即有m∈P2， 可得对任意a，P1是P2的子集； 显然①④正确 故答案为：①④ 【点睛】本题考查集合的关系的判断，注意运用二次不等式的解法，以及任意和存在性问题的解法，考查判断和推理能力，属于基础题．
9.已知常数0a，函数2()2xxfxax的图像经过点6(,)5Pp、1(,)5Qq，若216pqpq，则a________ 【答案】4 【解析】 【分析】 直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．
【详解】函数f（x）=22xxax的图象经过点P（p，65），Q（q，15）．
则：226112255pqpqapaq， 整理得：22222222pqpqpqpqpqaqapaqapapq=1， 解得：2p+q=a2pq， 由于：2p+q=16pq， 所以：a2=16， 由于a＞0， 故：a=4． 故答案为：4 【点睛】本题主要考查函数的性质和指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.
10.已知函数211()521xxxfxxx，若方程()fxm有两个不等实根1x、2x，且121xx，则实数
m的取值范围为________
【答案】(3,13) 【解析】 【分析】 作出函数f（x）的图象，根据分段函数的关系，结合一元二次函数的对称性，利用数形结合进行求解即可． 【详解】解：作出函数f（x）的图象如图： 由x2+x+1＝5x﹣2得x2﹣4x+3＝0得x＝1或x＝3， 即y＝x2+x+1与y＝5x﹣2的交点坐标为（1，3），（3，12）， 当x≤1时，y＝x2+x+1＝（x12）234，抛物线的对称轴为x12， 若方程f（x）＝m有两个不相等的实数根x1、x2， 则m34＞， 若x1+x2＜﹣1， 则12122xx＜， 即两个函数的交点（x1、f（x1）），（x2、f（x2））的中点在x12的左侧， 即当x＞1时，x2+x+1＜5x﹣2，即1＜x＜3， 此时3＜f（x）＜13， 即3＜m＜13， 故答案为：（3，13）
【点睛】本题主要考查分段函数的应用，利用一元二次函数的对称性，利用数形结合是解决本题的关键． 11.若()fx是R上单调函数，且对任意x都有21[()]222xffx，则2(log5)f_____ 【答案】57
【解析】 【分析】 设f（x）222xt，（t为常数），则f（x）＝t222x，f（t）12，从而t21222t， 令g（x）＝x222x，推导出f（x）＝1222x，由此能求出f（log25）． 【详解】∵函数f（x）是R上的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）222x]12， ∴可设f（x）222xt，（t为常数），∴f（x）＝t222x， ∴f（t）12，∴t21222t，令g（x）＝x222x， ∵g（x）在R上单调递增，且g（1）12，∴t＝1， f（x）＝1222x，f（log25）＝12525227log
．
故答案为：57． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.已知两定点(3,2)E和(3,2)F，若对于实数，函数|2||2|4yxx（44x）的图像上有
且仅有6个不同的点P，使得PEPF成立，则的取值范围是________ 【答案】9(,1)5
【解析】
【分析】 画出函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4在[﹣4，4]的图象，讨论若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4）；若P在BC上，设P（x，0）；若P在CD上，设P（x，2x﹣4）．求得向量PE，PF的坐标，求得数量积，由二次函数的最值
的求法，求得取值范围，讨论交点个数，即可得到所求范围． 【详解】解：函数y＝|x+2|+|x﹣2|﹣4 42420222424xxxxx，，＜，＜，
（1）若P在AB上，设P（x，﹣2x﹣4），﹣4≤x≤﹣2． ∴PE（3﹣x，6+2x），PF（﹣3﹣x，6+2x）． ∴PEPFx2﹣9+（6+2x）2＝5x2+24x+27， ∵x∈[﹣4，﹣2]，∴由二次函数的性质可得：当9λ15时有两解； （2）若P在BC上，设P（x，0），﹣2＜x≤2． ∴PE（3﹣x，2），PF（﹣3﹣x，2）． ∴PEPFx2﹣9+4＝x2﹣5， ∵﹣2＜x≤2，∴﹣5≤λ≤﹣1． ∴当λ＝﹣5或﹣1时有一解，当﹣5＜λ＜﹣1时有两解； （3）若P在CD上，设P（x，2x﹣4），2＜x≤4． PE（3﹣x，6﹣2x），PF（﹣3﹣x，6﹣2x）， ∴PEPFx2﹣9+（6﹣2x）2＝5x2﹣24x+27， ∵2＜x≤4， ∴∴由二次函数的性质可得：当9λ15时有两解； 综上，可得有且只有6个不同的点P的情况是9λ15． 故答案为：9(,1)5．