勒贝控制收敛定理及其他格
勒贝格控制收敛定理基本用途
勒贝格控制收敛定理基本用途1.证明函数序列的一致收敛性：在实际问题中，往往需要证明给定的函数序列是否一致收敛。
这对于分析解决问题至关重要。
勒贝格控制收敛定理可以作为一种重要工具，通过构造一组适当的控制函数来刻画原函数序列的收敛性，从而可以判断函数序列是否一致收敛。
2.研究函数级数的收敛性：函数级数是函数的无穷和，它在数学分析中具有重要的地位。
勒贝格控制收敛定理可以用来证明函数级数的收敛性。
具体来说，对于给定的函数级数，通过构造一组适当的控制函数序列，可以判断函数级数是否一致收敛。
3.确定极限函数：在实际问题中，常常需要确定一组函数的极限函数。
极限函数可以帮助我们更好地理解问题的本质和性质。
勒贝格控制收敛定理可以作为一种工具，帮助我们确定函数序列的极限函数。
4.定义积分：在实际问题中，需要对给定的函数进行积分，以求解问题。
在定义和计算积分时，勒贝格控制收敛定理可以用来保证所定义的积分有效，即在一定条件下积分可以存在且有良好的性质。
5.确定逐点极限：在实际问题中，经常需要研究给定函数序列的逐点极限。
逐点极限可以帮助我们更好地理解函数序列的性质和变化趋势。
勒贝格控制收敛定理可以作为一种工具，帮助我们确定原函数序列的逐点极限。
总之，勒贝格控制收敛定理是数学分析中的一个重要定理，具有广泛的应用价值。
它可以帮助我们研究函数序列的一致收敛性、函数级数的收敛性、函数序列的极限函数、积分的定义和计算以及给定函数序列的逐点极限。
勒贝格控制收敛定理提供了一种有力的工具和方法，可以帮助我们分析和解决实际问题。
三大极限定理的证明
A 、列维定理的证明：证明：显然()x f 在E 上非负可测且()()()x f x f x f n n ≤≤+1 ，故()()()dx x f dx x f dx x f EE n E n ⎰⎰⎰≤≤+1.因而 ()()dx x f dx x f EE n n ⎰⎰≤∞→lim （1）现在相反的不等式，任取E 上一个非负简单函数()x ϕ使得E x ∈时()()x f x ≤≤ϕ0.再任取0<c<1，我们先证()()dx x c dx x f E E n ⎰⎰≥∞→ϕlim ，令()ϕc f E En n ≥= ，则n E 是E 可测子集，1+⊆n n E E ，E E n n =∞= 1且()()()()dx x c dx x c dx x f dx x f n n n E E E n E ⎰⎰⎰⎰=≥≥ϕϕ 且 ()()dx x dx x E n ⎰=∞→ϕϕlim ， 故()()()dx x c dx x c dx x f E E n E n n n ⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛≥∞→∞→ϕϕlim lim . 由于0<c<1是任意的，所以()()dx x dx x f E E n n ⎰⎰≥∞→ϕlim ，再由ϕ的任意性，可知， ()()dx x f dx x f E E n n ⎰⎰=∞→lim （2) 由（1）和（2）得()()dx x f dx x f EE n n ⎰⎰=∞→lim .(豆丁网站实变函数中积分极限定理的讨论）B 、法都引理的证明：证明：令()(){}E x n k x f x g k n ∈≥=,:inf则{}∞=1n n g 是E 上的一列非负可测函数且E x ∈时 ()()()x f x g x g n n n 110++≤≤≤于是 ()()dx x g dx x f nE n E n ⎰⎰∞→∞→=lim lim ()dx x g E nn ⎰∞→=lim ()dx x f E nn ⎰∞→≤limC 、勒贝格控制收敛定理的证明：证明：（1）由设(){}x f n 是E 上一列可测函数，则()()()()x f x G x f x F n n n n lim lim ,∞→∞→==也在E 上可测，特别当()()x f x F n n lim ∞→=存在时，它也在E 上可测的定理可知f 在E 上可测且()()..e a xF x f ≤于E ，由定理设f 是E 上的可测函数，g 是E 上的非负勒贝格可积函数且()()..e a x g x f ≤于E ，则f 也在E 上勒贝格可积且()()()dx x g dx x f dx x f E E E ⎰⎰⎰≤≤可知f 在E 上勒贝格可积，每个n f 也在E 上勒贝格可积.令()()()E x x f x f x g n n ∈-=,，则n g 在E 上非负勒贝格可积， ()()..20e a x F x g n ≤≤于E 且()..,0lim e a x g n n =∞→于E因而()()..02e a x g x F n ≥-于E 且()()()()..22lim e a x F x g x F n n =-∞→于E .由法都引理知()()()()dx x g x F dx x F nE n E -=⎰⎰∞→22lim ()()()⎰⎰⎰-≤∞→E E E nn dx x g dx x F 2lim ()()dx x g dx x F E nn E ⎰⎰∞→-=lim 2 所以()0lim ≤⎰∞→E n n dx x g ，由于（？），故()0lim =⎰∞→dx x g E n n ，即 ()()0lim =-⎰∞→dx x f x f E n n(2)因为()()()()00lim lim =-≤-≤⎰⎰⎰∞→∞→dx x f x f dx x f dx x f E nn E E n n 所以()()0lim =-⎰⎰∞→EE n n dx x f dx x f即()()dx x f dx x f E E n n ⎰⎰=∞→lim。
Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用
Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理推广及其应用作者：***来源：《科技风》2020年第13期摘;要：本文给出条件fnf下Fatou引理以及Lebesgue控制收敛定理，并且用该推广证明原版Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理不太容易证明的一些问题。
关键词：Fatou引理;Lebesgue控制收敛定理;依测度收敛;几乎处处收敛可测函数积分理论是实变函数的核心部分，一般此类问题最常见的方法是利用Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理进行讨论。
此种方法一般针对的是fn→f，a.e这类情况，对于fnf这种情况虽然也可解决，但是过程比较复杂，本文主要给出fnf情况下相对应的定理，从而简化证明过程。
一、fn→f，a.e与fnf的异同实变函数课程中常见收敛有5种，fn→f，a.e与fnf是其中最重要与最常见两种，这两种收敛既有区别又有联系。
例1 取E=0，1，n=2k+i，0SymbolcB@iSymbolcB@2k，k∈N定义：fn（x）=f2k+i（x）=1，x∈i-12n，i2n0，xi-12n，i2n该函数列显然有fn0但fn→0，a.e不成立。
例2 取E=0，+SymboleB@，作函数列：fn（x）=1，x∈（0，n]0，x∈（n，+SymboleB@）显然该函数列有fn（x）→1，a.e但是fn0不成立。
以上两个例子说明一般情况下两种收敛应该是没有关系，但以下定理又说明了mE<+SymboleB@情况下、fn→f，a.e可以推导出fnf。
定理1[1]设：mE<+SymboleB@;fn是E上a.e有限可测函数列;fn在E上a.e收敛于a.e有限的函数f，则：fnf定理表明fnf很多情況下是比fn→f，a.e更弱的条件。
二、推广Fatou引理和Lebesgue控制收敛定理定理2（Fatou引理）[2]若fn是E上a.e有限可测函数列，则：Elimn→SymboleB@fndxSymbolcB@limn→SymboleB@Efndx定理3（Lebesgue控制收敛定理）[2]设fn∈LE，且有：limn→SymboleB@fn（x）=f（x），a.e.;x∈E若存在E上的可积函数F（x），使得：fn（x）SymbolcB@F（x），a.e.;x∈E（n=1，2，3，...），则：limn→SymboleB@Efn（x）dx=Ef（x）dx以上两个定理是实变函数积分论中最重要的基本定理，不过在讨论fnf情况时并不方便，以下结合Riesz定理得出fnf相对应的定理。
勒贝格控制收敛定理基本用途
勒贝格控制收敛定理基本用途1.稳定性分析：勒贝格控制收敛定理可以用来判断控制系统的稳定性。
对于线性时不变系统，如果系统的状态转移矩阵满足勒贝格条件，即存在一个加权衰减条件，当权重因子趋于零时，系统的状态也趋于稳定。
这样的系统被认为是稳定的，否则是不稳定的。
2.性能评估：勒贝格控制收敛定理可以用来评估控制系统的性能。
通过研究系统的收敛速度和稳定性，在设计控制器时可以选取合适的权重因子来平衡系统的稳定性和性能。
因此，勒贝格控制收敛定理为控制系统的性能评估提供了理论基础。
3.控制器设计：勒贝格控制收敛定理可以用于控制器的设计。
根据勒贝格控制收敛定理，可以通过选择适当的权重因子来设计控制器，以达到期望的控制效果。
例如，对于一些要求系统快速收敛的应用，可以选择较大的权重因子，从而获得更快的收敛速度。
4.鲁棒性分析：勒贝格控制收敛定理也可以用于分析控制系统的鲁棒性。
鲁棒性是指在存在建模误差、外部干扰或不确定性情况下，系统仍然能够保持稳定。
通过对系统的状态转移矩阵进行分析，可以确定系统对于不确定性的鲁棒性能力。
5.配置权重因子：勒贝格控制收敛定理还可以用于配置权重因子。
权重因子是系统对不同输入或状态的响应程度的参数。
根据勒贝格控制收敛定理，可以通过权重因子的选取，调整系统对不同输入或状态的敏感性和稳定性，从而实现系统的控制目标。
总之，勒贝格控制收敛定理在控制系统的分析与设计中有着重要的应用。
它可以用于判断系统的稳定性、评估系统的性能、设计控制器、分析系统的鲁棒性以及配置权重因子。
凭借其强大的理论基础和广泛适用性，勒贝格控制收敛定理已经成为控制论领域中不可或缺的工具。
勒贝格引理
勒贝格引理
勒贝格引理（Lebesgue's lemma）是测度论中的一个重要定理，通常用于证明收敛定理和测度论中的一些重要结果。
这个引理的主要思想是：在一个测度空间中，如果一个序列的测度（或积分）收敛到零，那么可以从中提取一个收敛到零的子序列。
具体来说，勒贝格引理的陈述如下：
设(X,Σ,μ) 是一个完备的测度空间，其中Σ 是X上的σ-代数，μ是测度，满足μ(X)<∞。
如果对于任意可测集合A∈Σ，有
其中(An) 是X中的一个可测序列，那么存在一个子序列(Ank)，对于任意可测集合B∈Σ，有
这意味着，原序列中的测度值逐渐趋近于零的子序列(Ank) 在与任意可测集合B的交集上也趋近于零。
勒贝格引理在测度论和实分析中非常有用，常常用于证明测度论中的收敛定理、控制收敛定理以及其他与测度空间和积分理论相关的结果。
它有助于理解测度空间中序列的性质，特别是那些在测度意义下收敛到零的序列。
勒贝格积分三大收敛定理及其应用
作者：邓志颖 沈世云
来源：《科教导刊》2017年第18期
摘要通过介绍勒贝格积分三大收敛定理及其在积分极限计算与证明中的应用，帮助学生获得更多现代数学思想提高应用实变函数理论分析问题与解决实际问题格积分
中图分类号：0172.2文献标识码：A DOI：10.16400/ki.kjdkx.2017.06.028
1016400kikjdkx201706028科教导刊2017年18期科教导刊的其它文章案例教学在高中旅游地理教学中的应用如何运用范文来提升高中生英语写作能力浅谈高校服务型行政管理体系的构建清史教学中的西方学者若干观点商榷核心素养视野下中小学生问题解决能力审视与培养策略基于职业技能竞赛的高职单片机教改研究全文完
实变函数三大积分收敛定理计算题
实变函数三大积分收敛定理计算题一、实变函数三大积分收敛定理概述实变函数的三大积分收敛定理分别是：Lebesgue控制收敛定理、dominated收敛定理和Fubini定理。
这三大定理在数学分析中具有重要的意义，它们为我们判断积分收敛性提供了有力的工具。
1.Lebesgue控制收敛定理：若函数列{f_k}在区间E上可积，且f_k趋于f （在E上有界），则{f_k}在E上几乎处处收敛于f。
2.Dominated收敛定理：若函数列{f_k}在区间E上可积，且存在一个函数g，使得|f_k(x)|≤g(x)，对所有x∈E，k=1,2,...，则{f_k}在E上收敛。
3.Fubini定理：若函数f(x,y)在区域D上有界，且对任意x∈D，f(x,y)关于y单调，则f在D上的二重积分收敛。
二、积分收敛定理的应用1.判断函数列的积分收敛性：通过分析函数列的性质，利用积分收敛定理判断其积分是否收敛。
2.求解极限：利用积分收敛定理将复杂函数列的极限问题转化为求解积分问题，从而简化问题。
3.分析函数性质：通过研究函数的积分收敛性，分析函数的性质，例如单调性、有界性等。
三、计算题解析1.题目：求函数列{f_k(x)=kln(kx)e^(cosx)}在区间[0,1]上的Lebesgue积分极限。
解析：首先分析函数列{f_k}的性质，证明其为可测函数列。
然后利用Lebesgue控制收敛定理，找到一个非负函数F(x)，使得FL(E)且f_k(x)≤F(x)，x∈E。
最后求解极限。
2.题目：利用dominated 收敛定理判断函数列{f_k(x)=k^2sin(kπx)}在区间[0,1]上的积分收敛性。
解析：首先分析函数列{f_k}的性质，证明其为可积函数列。
然后找到一个函数g(x)=x^2，使得|f_k(x)|≤g(x)，x∈[0,1]。
利用dominated收敛定理判断{f_k}在[0,1]上的积分收敛性。
通过以上内容，我们可以看出实变函数的积分收敛定理在判断函数列的积分收敛性和求解极限问题中发挥着重要作用。
Lebesgue控制收敛定理的证明及应用
１ ２ ５・
若记Ｍ 和 分别是 ， （ 在 ， ｌ 】 上的上下确界， 即有
（ 一 Ｘ ｉ ～ １ ） ≤ Ｌ 厂 ） ｄ ｘ ＜ Ｍ ｚ （ 一 一 １ ） ，
因此可 得
窑 （ 一 ） ≤ ￡ 朋 ． ， ＇ （ 批 喜 （ 一 ） 。
于是对上式两端所有划分分别取上下确源自 ， 便得 Ｌ ， ｂ ｌ ｆ （ ＝ （ ＝ （ 。
・ ．
．
） 在【 口 ， ｂ ｌ ＿ Ｌ￣ Ｌ积分和 Ｒ积分相 同。
例１ ： 定义在【 ０ ， １ 】 的狄利克雷函数 厂 （ ｘ ） ：
八 ＝ 妻
・ 。
．
对于区间【 ０ ， １ 】 的任意分划 ， 一切积分大和等于 １ ， 一切小和等于 ０， 因此 （ ） 不可能是 Ｒ可积
２ ０ １ ６ｆ － ￣６ 期 ５ 期 ）
－
营
。
贵 州 工 程 应 用 技 术 学 院 学 报 Ｊ Ｏ Ｕ 贝 Ｒ Ｎ Ａ Ｌ ｏ Ｆ Ｇ Ｕ Ｉ Ｚ Ｈ 匪 Ｏ ｕ Ｕ ⅢＶ Ｅ ～ Ｒ Ｓ １ Ｔ Ｙ０ 小 Ｆ Ｅ Ｎ Ｇ 于 Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ 于 Ｓ Ｃ Ｅ 报 Ｎ Ｃ Ｅ
摘 要： 通过 引Ａ ． Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ ￣， 分与 Ｒ Ｊ ｅ ｍａ ｎ ｎ 积分 的关 系， 仔 细比较 两个积 分 的优越 性 ， 进 而详 细地 阐述 了Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 控 制收敛 定理 的证 明及 其应 用。 首先给 出了Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 控 制收敛 定理 并对其进 行证 明 ， 其 次再
举例说明其基本的应用， 最后 ， 指 出该定理的不足之处并给 出条件稍宽松的定理， 从而可为解题带来便利， 为理解并掌握 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 控制收敛定理及应用提供指导。
Lebesgue控制收敛定理在数学分析中的应用
Lebesgue 控制收敛定理在数学分析中的应用卢江龙 指导教师：王汝军（河西学院数学与应用数学专业085班13号，甘肃张掖734000）摘要：本文利用Lebesgue 控制收敛定理和概率统计的有关知识以及由Lebesgue 控制收敛定理得到的新的逐项积分定理，解决了数学分析中的一些难以解决的问题。
众所周知，Riemann 积分（下面称为（R ）积分，并记为()()baR f x dx ⎰）中函数项级数的逐项积分定理需要很强的级数一致收敛的条件，且级数的每一项都要连续（见注解［5］引文，定理13.12）。
使用起来非常不便，且应用面较窄，本文借助于Lebesgue 积分（下面称为（L ）积分，记为()()baL f x dx ⎰）得到了新的在（R ）积分中能接受的，应用面更广泛的逐项积分定理，从而解决了数学分析中的一些问题。
关键词 ： Lebesgue 控制收敛定理；Riemann 积分；极限；大数定律：Lebesgue 积分Lebesgue dominated convergence theorem in mathematical analysisLuJianglong Supervisor: Wang Rujun(Hexi University, of Mathematics and Applied Mathematics 085 class on the 13th, Gansu Zhangye 734000)Abstract: using the Lebesgue convergence theorem and the knowledge about the probability and statistics and the convergence theorem of Lebesgue integral theorem, a new item to solve some of the mathematical analysis to solve the problem. As is known to all, Riemann integral (below (R) called for the integration, and remember) function series of core-staff integral theorem is unanimous convergent series, and the conditions of each to continuous (see comments [5] 13.12), theorem. Use up very inconvenient, and application of narrow Lebesgue integral, the paper by the called (L) points, a new record for) in (R) can accept, more extensive application of the item, which solved the integral theorem and some problems of mathematical analysis.Keywords: Lebesgue dominated convergence theorem; Riemann integral; limit; Law of Large Numbers: Lebesgue integral1．引言众所周知，Riemann 积分（下面称为（R ）积分，并记为()()baR f x dx ⎰）中函数项级数的逐项积分定理需要很强的级数一致收敛的条件，且级数的每一项都要连续（见注解［5］引文，定理13.12）。
勒贝格积分定义及基本定理
(ff)d xfd xfd x0.
[a,b]
[a,b]
[a,b]
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
又 f(x)dx m(x)dx
[a,b]
[a,b]
im
mi(m)(xi(m)xi( m 1))abf(x)dxi1来自f(x)dx m(x)dx
[a,b]
[a,b]
im
M i(m)(xi(m)xi( m 1))abf(x)dx
E
E kE
E kE
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
注意到 mEk，且在 Ek 上，
{f(x)}l m l i m {fm(x)}l，
由Egoroff定理知，存在
mE 4l ，且在 Ek E
E Ek，使 上 {fm(x)}l
一致收敛到 {f (x)}l。
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
L-积分的极限定理
定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积） 如果有界函数在闭区间[a,b]上是Riemann可积 的，则在[a,b]上也是Lebesgue可积的，且
b
f(x)dxa f(x)dx,
[a,b]
此处 f ( x)dx 表示在[a,b]上的Lebesgue积分，
[ a ,b ]
b f (x)dx 表示在[a,b]上的Riemann积分。 a
第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理
证明：显然，由本节定理1，只需证明 是[a,b]上的可测函数。 由于 f Riemann可积，取[a,b]的分点组
D m :a x 0 (m ) x 1 (m ) x i ( m m ) b ,D m 1
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勒贝格控制收敛定理及其他莱维单调收敛定理：.1.lim ,I }{lim )}){}{⎰⎰⎰∞→∞→=In n I n I n n n n s ff s s b I s a s 且有极限函数上几乎处处收敛于一个在则存在，上是递增的，在区间使得是一个阶梯函数序列，理：设关于阶梯函数的莱维定2. (关于勒贝格可积函数序列的莱维定理)设}{n f 是)(I L 中的一个函数序列，使得a)}{n f 在I 上几乎处处是递增的，b)⎰→I n n n f lim 存在，则}{n f 在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数f,且有.lim ⎰⎰→=In n n I f f3. (关于勒贝格可积函数级数的莱维定理)设}{n g 是)(I L 中的一个函数序列，使得a)每个}{n g 在I 上几乎处处是非负的，b)级数∑⎰∞=1n In g收敛， 则级数∑⎰∞=1n I n g 在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数,且有⎰∑⎰∑⎰∞=∞===I i In i n I g gg 11. 4．设}{n g 是)(I L 中的一个函数序列，使得级}{n f 数∑⎰∞=1||n I n g是收敛的，则级数∑⎰∞=1n I n g在I 上几乎处处收敛于L(I)内的一个极限函数,且有⎰∑⎰∑∞=∞==I i I n i n g g11. 5 . (勒贝格控制收敛定理) 设}{n f 是区间I 上的一个勒贝格可积函数序列. 设a) }{n f 在I 上几乎处处收敛于一个极限函数f ,b) 在)(I L 内有一个非负函数g 使得对于一切1≥n 都有I ..),(|)(|于e a x g x f n ≤则极限函数)(I L f ∈,序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎰I n x f )(收敛，且.lim ⎰⎰→=In n n I f fb)可表述为}{n f 在I 上几乎处处被g 控制6. 设I 是一个有界区间，假设}{n f 是)(I L 中的一个函数序列，它在I 上几乎处处有界收敛，即，存在一个极限函数f 和一个正常数M ，使得在I 上几乎处处有,|)(|),()(lim M x f x f x f n n n ≤=∞→则.lim ),(⎰⎰=∈→II n n n f f I L f 7 . (勒贝格可积性) 设}{n f 是L(I)中的一个函数序列. 它I 上几乎处处收敛于一个极限函数f .若在)(I L 内有一个非负函数g 使得对于一切1≥n 都有I ..),(|)(|于e a x g x f ≤则极限函数)(I L f ∈.8．设f 在半无穷区间),[+∞=a I 上有定义，假定对每个a b ≥，f 在紧区间[a,b]上是勒贝格可积的，而且存在一个正常数M ，使得对于每个a b ≥都有⎰≤b a M f ,|| 则)(I L f ∈，极限⎰+∞→b a b f lim 存在，且⎰⎰+∞→+∞=b a b a f f lim阶梯函数的极限函数类比勒贝格可积函数类要大，该类中的函数称为 可测函数由勒贝格积分定义的函数的连续性设X 和Y 是不是R 的两个子区间，f 是定义在Y X ⨯上的函数，它满足以下条件 a) 对Y 中的每个y ，在X 上由下式),()(y x f x f y =定义的函数)(x f y 在X 上是可测的.b) 在)(X L 内存在一个非负函数g,使得对任意的Y y ∈都有.X ..),(|),(|于e a x g y x f ≤c) 对Y 中固定的y 有.X ..),,(),(lim 于e a y x f t x f yt =→ 于是勒贝格积分⎰X dx y x f ),(对Y 中的每个y 都存在，而且由等式 ⎰=X dx y x f y F ),()(定义的函数F 在Y 上连续.积分号下的微分法设X 和Y 是不是R 的两个子区间，f 是定义在Y X ⨯上的函数，它满足以下条件 a) 对Y 中的每个y ，由等式 ),()(y x f x f y =定义的函数)(x f y 在X 上是可测的，且对于Y 内的某个点a 有).(X L f a ∈.b) 对于Y X ⨯的每个内点(x,y),偏导数.),(2存在y x f Dc)在)(X L 内存在一个非负函数G ,使得对于Y X ⨯的全部内点都有),.(|),(|2x G y x D ≤那么勒贝格积分⎰X dx y x f ),(对Y 中的每个y 都存在，其导数为 ⎰=X dx y x f D y F ),()('2即求导和求积分可交换次序.••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。
懒洋洋的幸福。
顶 3 收藏 2•【唯美句子】一个人踮着脚尖，在窄窄的跑道白线上走，走到很远的地方又走回来。
阳光很好，温暖，柔和。
漫天的安静。
顶7 收藏7•【唯美句子】清风飘然，秋水缓淌。
一丝云起，一片叶落，剔透生命的空灵。
轻轻用手触摸，就点碎了河面的脸。
落叶舞步婀娜不肯去，是眷恋，是装点？瞬间回眸，点亮了生命精彩。
顶11 收藏9•【唯美句子】几只从南方归来的燕子，轻盈的飞来飞去，“几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥，”其乐融融的山林气息，与世无争的世外桃源，让人心旷神怡。
顶0 收藏 2•【唯美句子】流年清浅，岁月轮转，或许是冬天太过漫长，当一夜春风吹开万里柳时，心情也似乎开朗了许多，在一个风轻云淡的早晨，踏着初春的阳光，漫步在碧柳垂青的小河边，看小河的流水因为解开了冰冻而欢快的流淌，清澈见底的的河水，可以数得清河底的鹅软石，偶尔掠过水面的水鸟，让小河荡起一层层的涟漪。
河岸换上绿色的新装，刚刚睡醒的各种各样的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，这儿一丛，那儿一簇，好像是交头接耳的议论着些什么，又好象是在偷偷地说着悄悄话。
顶 3 收藏 4•【唯美句子】喜欢海子写的面朝大海春暖花开，不仅仅是因为我喜欢看海，还喜欢诗人笔下的意境，每当夜深人静时，放一曲纯音乐，品一盏茶，在脑海中搜寻诗中的恬淡闲适。
在春暖花开时，身着一身素衣，站在清风拂柳，蝶舞翩跹的百花丛中，轻吹一叶竖笛，放眼碧波万里，海鸥，沙滩，还有扬帆在落日下的古船，在心旷神怡中，做一帘红尘的幽梦。
顶0 收藏 2•【唯美句子】繁华如三千东流水，你只在乎闲云野鹤般的采菊东篱、身心自由，置身置灵魂于旷野，高声吟唱着属于自己的歌，悠悠然永远地成为一个真真正正的淡泊名利、鄙弃功名利禄的隐者。
顶 1 收藏 3•【唯美句子】世俗名利和青山绿水之间，你选择了淡泊明志，持竿垂钓碧泉绿潭；权力富贵和草舍茅庐之间，你选择了宁静致远，晓梦翩跹姹紫嫣红。
顶 2 收藏 3•【唯美句子】那是一株清香的无名花，我看到了它在春风夏雨中风姿绰约的模样，可突如其来的秋雨，无情的打落了它美丽的花瓣，看着它在空谷中独自凋零，我莫名其妙的心痛，像针椎一样的痛。
秋雨，你为何如此残忍，为何不懂得怜香惜玉，我伸出颤抖的双手，将散落在泥土里的花瓣捧在手心。
顶 4 收藏 5•【唯美句子】滴答滴答，疏疏落落的秋雨，赶着时间的脚步，哗啦啦的下起来。
听着雨水轻轻地敲击着微薄的玻璃窗，不知不觉，我像是被催眠了一样，渐渐的进入了梦乡。
顶 3 收藏 5•【唯美句子】在这极致的悲伤里，我看到了世间最美的爱，可谁又能明白，此刻的我是悲伤还是欢喜，也许只有那拨动我心弦的秋季，才知道潜藏在我心中的眼泪。
顶 4 收藏 3•【唯美句子】看着此情此景，我细细地聆听。
像是听到了落叶的呢喃，秋风的柔软，在这极短的瞬间，他们一起诉说着最美的爱恋，演绎着永恒的痴缠。
当落叶安详的躺在大地，露出幸福的模样，你看，它多像一个进入梦乡的孩子。
突然发现，秋风并非是想象中的刽子手，原来它只是在叶子生命的最后一刻，让它体会到爱的缠绵，飞翔的滋味。
顶 1 收藏 1•【唯美句子】很感谢那些耐心回答我的人，公交上那个姐姐，还有那位大叔，我不知道他们是不是本地人，但我们遇到的一个交警协管，一位头发花白的大姐，她是上海本地人，很和善，并不像有些人说的上海人很排外。
事实上，什么都不是绝对的。
顶 2 收藏0•【唯美句子】我嗅到浓郁的香奈尔，却也被那种陌生呛了一鼻。
也许，我却不知道，那时的感受了。
那里没有那么美好，没有安全感，归属感。
我想要的自由呢，不完全地体验到了。
顶 2 收藏 1•【唯美句子】那些繁华的都市，车水马龙，灯红酒绿，流光溢彩，却充斥着一种悲哀，浮夸。
我看到各种奢华，却也看到各种卑微，我看到友善亲和，也看到暴躁粗鲁，我看到金光熠•【优美语句】踏过一片海，用博识的学问激起片片微澜；采过一丛花，正在聪慧的碰碰外送来缕缕清喷鼻；无过一个梦，决定从那里启程。
顶0 收藏0•【优美语句】人生如一本书，应该多一些精彩的细节，少一些乏味的字眼；人生如一支歌，应该多一些昂扬的旋律，少一些忧伤的音符；人生如一幅画，应该多一些亮丽的色彩，少一些灰暗的色调。
顶0 收藏0•【优美语句】母爱是一滴甘露，亲吻干涸的泥土，它用细雨的温情，用钻石的坚毅，期待着闪着碎光的泥土的肥沃；母爱不是人生中的一个凝固点，而是一条流动的河，这条河造就了我们生命中美丽的情感之景。
顶0 收藏0•【优美语句】生活如海，宽容作舟，泛舟于海，方知海之宽阔；生活如山，宽容为径，循径登山，方知山之高大；生活如歌，宽容是曲，和曲而歌，方知歌之动听。
顶0 收藏0•【优美语句】母爱就是一幅山水画，洗去铅华雕饰，留下清新自然；母爱就象一首深情的歌，婉转悠扬，轻吟浅唱；母爱就是一阵和煦的风，吹去朔雪纷飞，带来春光无限。
顶0 收藏0•【优美语句】努力奋斗，天空依旧美丽，梦想仍然纯真，放飞自我，勇敢地飞翔于梦想的天空，相信自己一定做得更好。
顶0 收藏0•【优美语句】品味生活，完善人性。
存在就是机会，思考才能提高。
人需要不断打碎自己，更应该重新组装自己。
顶0 收藏0•【优美语句】母爱是一缕阳光，让你的心灵即使在寒冷的冬天也能感到温暖如春；母爱是一泓清泉，让你的情感即使蒙上岁月的风尘依然纯洁明净。
顶0 收藏0•【优美语句】母爱是温暖心灵的太阳；母爱是滋润心灵的雨露；母爱是灌溉心灵的沃土；母爱是美化心灵的彩虹。
顶0 收藏0•【优美语句】一轮金色的光圈印在海面，夕阳将最后的辉煌撒向了大海，海平面波光潋滟，金光闪闪，夕阳下的海水让最后一丝蓝也带着感动。
温和的海水轻轻地拍打着我的脚踝，我张开双臂拥抱最温馨的时刻……我爱大海宽广的胸怀，无论多大的风浪，她都可以揽入怀中；无论多少风雨，都无法将她击垮；无论多少河流，她都可以容纳；我愿做一只填海的燕，填平她的波涛翻滚，填平她的汹涌愤怒，只留下平静、柔和的海面。