北京中考数学专题复习二次函数的综合题
①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（ ）= ，∴S= PM×QF= = ，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM= ﹣（t﹣3）= ，∴S= PM×QF= （ ）= ．
5．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
4．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．
(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝ (k为常数，k≠0)的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；
【详解】
（1）不能，理由如下：
∵1、2、3的倒数分别为1、 、 ，
∴ + ≠1，1+ ≠ ，1+ ≠ ，
∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；
（2）∵M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数 (k为常数，k≠0)的图象上，
∴y1、y2、y3均不为0，且y1＝ ，y2＝ ，y3＝ ，
（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BP=BC；③PB=PC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；
（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB= ×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
∴S△MNB= ×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，
当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
2．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
∴ ＝ ， ＝三种情况：
当 ＝ + 时，则 ＝ + ，即t＝t+1+t+3，解得t＝﹣4；
当 ＝ + 时，则 ＝ + ，即t+1＝t+t+3，解得t＝﹣2；
当 ＝ + 时，则 ＝ + ，即t+3＝t+t+1，解得t＝2；
∴t的值为﹣4、﹣2或2；
∴P1（0，3+3 ），P2（0，3﹣3 ）；
②当PB=PC时，OP=OB=3，
∴P3（0，-3）；
③当BP=BC时，
∵OC=OB=3
∴此时P与O重合，
∴P4（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3﹣3 ）或（﹣3，0）或（0，0）；
（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，
综上所述，S= ．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2＝0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）设x1，x2是方程两根，且 ，求k的值．
【答案】（1）k≥﹣ ；（2）k＝ ．
【解析】
【分析】
（1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k的值即可.
（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，
故A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′= ×（2+5）×9﹣ ×2×4﹣ ×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为 个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
6．如图，已知抛物线 的顶点为 ，与 轴相交于点 ，对称轴为直线 ，点 是线段 的中点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）写出点 的坐标并求直线 的表达式；
（3）设动点 ， 分别在抛物线和对称轴l上，当以 ， ， ， 为顶点的四边形是平行四边形时，求 ， 两点的坐标.
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）点 、 的坐标分别为 或 、 或 ．
令m＝ ，则﹣ ＜m＜ 且m≠0，且OP2＝2(m+ )2+ ，
∵2＞0，
∴当﹣ ＜m＜﹣ 时，OP2随m的增大而减小，当m＝﹣ 时，OP2有最大临界值 ，当m＝﹣ 时，OP2有最小临界值 ，
当﹣ ＜m＜ 时，OP2随m的增大而增大，当m＝﹣ 时，OP2有最小临界值 ，当m＝ 时，OP2有最大临界值 ，
【详解】
解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，
解得：b=﹣4，c=3，
∴二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；
（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
∴B（3，0），
∴BC=3 ，
点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，
①当CP=CB时，PC=3 ，∴OP=OC+PC=3+3 或OP=PC﹣OC=3 ﹣3
【解析】
【分析】
（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）①由直线解析式可求得x1＝﹣ ，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x2+x3＝﹣ ，x2x3＝ ，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得 的取值范围，令m＝ ，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．
【详解】
解：（1）△＝（2k+1）2﹣4k2＝4k2+4k+1﹣4k2＝4k+1
∵△≥0
∴4k+1≥0
∴k≥﹣ ；
（2）∵x1，x2是方程两根，
∴x1+x2＝2k+1
x1x2＝k2，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
又∵k≥﹣ ，
即：k＝ ．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根的判别式等知识，牢记“两根之和等于 ，两根之积等于 ”是解题的关键.
【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，
将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），
令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标；
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．
∴x2、x3是方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴x2+x3＝﹣ ，x2x3＝ ，
∴ + ＝ ＝ ＝﹣ ＝ ，
∴x1，x2，x3构成“和谐三组数”；
②∵x2＝1，
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b，
∵a＞2b＞3c，
∴a＞2b＞3(﹣a﹣b)，且a＞0，整理可得 ，解得﹣ ＜ ＜ ，
∵P( ， )，
∴OP2＝( )2+( )2＝( )2+( )2＝2( )2+2 +1＝2( + )2+ ，
【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3 ）或（0，3﹣3 ）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．
含参数的二次函数专题训练动态问题北京市中考数学题含答案解析
含参数的二次函数专题训练1．（2018·北京）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=4x+4与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线y=ax 2 +bx −3a 经过点A ，将点B 向右平移5个单位长度，得到点C ．（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．2.（2019·北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2 +bx −a 1 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 1,21 ，Q （2，2），若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．含参数的二次函数专题训练答案解析1. 解： （1）∵直线y=4x+4与x 轴、y 轴交于点A ，B ．∴A （−1，0），B （0，4），∴C （5，4）．（2）抛物线y=ax 2+bx −3a 过A （−1，0），∴a −b −3a=0，b=−2a ，∴y=ax 2 −2ax −3a ，∴对称轴为直线x=1．（3）①当抛物线过点C 时，如答图①．25a −10a −3a=4，解得a=31 ． ②当抛物线过点B 时，如答图②．−3a=4，解得a=34- ． ③当抛物线顶点在BC 上时，如答图③．此时顶点为（1，4）．∴a −2a −3a=4，解得a=−1．综上所述，a 的取值范围为a<34-或a ≥31 或a=−1．2.（2019·北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax +bx − 与y 轴交于点A ，将点A 向右平移2个单位长度，得到点B ，点B 在抛物线上．（1）求点B 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P ，Q （2，2），若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．解： （1）将x ＝0代入y ＝ax 2 +bx −a 1，得y ＝−a1 ， ∴点A 的坐标为(0,a1-) ． ∴点B 的坐标为(2,a 1-) ． （2）∵抛物线经过点A (0,a 1-) 和点B(2,a1-) ， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1．（3）①当a ＞0时，a1- ＜0．根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A 和点P ，也不能同时经过点B 和点Q ，所以此时抛物线与线段PQ 没有交点；②当a ＜0时，a1- ＞0．根据抛物线的对称性，可知抛物线不能同时经过点A 和点P ；当点Q 在点B 上方或与点B 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，此时a 1-≤2，即a ≤21- ． 综上可知，当a ≤21-时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点．。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．已知函数y1=mx2+n，y2=mx+n(m>0)，当p<x<q时，y1<y2，则（）A．0<q−p<2B．0<q−p≤2C．0<q−p<1D．0<q−p≤12．一次函数y=bx+a(b≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．4．小飞研究二次函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：①这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；③点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x1<x2，x1+x2>2m，则y1<y2；④当-1<x<2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2其中错误结论的序号是（）A．①B．②C．③D．④5．将二次函数y＝x2﹣5x﹣6在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，若直线y＝2x+b与这个新图象有3个公共点，则b的值为（）A．﹣734或﹣12B．﹣734或2C．﹣12或2D．﹣694或﹣126．如图，函数y1＝|x2﹣m|的图象如图，坐标系中一次函数y2＝x＋b的图象记为y2，则以下说法中：①当m＝1，且y1与y2恰好有三个交点时b有唯一值为1；②当m＝4，且y1与y2只有两个交点时，b＞174或﹣2＜b＜2；③当m＝﹣b时，y1与y2一定有交点：④当m＝b时，y1与y2至少有2个交点，且其中一个为（0，m）.正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7．直线y=ax﹣6与抛物线y=x2﹣4x+3只有一个交点，则a的值为（）A．a=2B．a=10C．a=2或a=﹣10D．a=2或a=108．已知一次函数y1=2x−2，二次函数y2=x2，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值分别为y1和y2，则下列表述正确的是（）A．y1>y2B．y1<y2C．y1=y2D．y1，y2的大小关系不确定9．已知一次函数y1=kx+m(k≠0)和二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)部分自变量和对应的函数值如表：x…-10245…y1…01356…y2…0-1059…21A．-1＜x＜2B．4＜x＜5C．x＜-1或x＞5D．x＜-1或x＞410．对于每个x，函数y是y1=-x+6，y2=-2x2+4x+6这两个函数的较小值，则函数y的最大值是（）A．3B．4C．5D．611．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分．下列说法不正确的是（）A．25min～50min，王阿姨步行的路程为800mB．线段CD的函数解析式为s=32t+400（25≤t≤50）C．5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快D．曲线段AB的函数解析式为s=-3（t-20）2+1200（5≤t≤20）12．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y= 12x2+bx+c的顶点，则抛物线y= 12x2+bx+c与直线y=1交点的个数是（）A．0个或1个B．0个或2个C．1个或2个D．0个、1个或2个二、填空题13．抛物线y=2x2+x+a与直线y=−x+3没有交点，则a的取值范围是．14．如图，已知抛物线y1=−2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2，若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2，例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1<y2，此时M=0，下列判断：①当x<0时，y1>y2；②当x<0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是−12或√22.其中正确的是.15．如图，已知直线y=﹣34x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣12x2+2x+5的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣34x+3于点Q，则当PQ=BQ时，a的值是．16．已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数y2=ax2+bx+c（a≠0）部分自变量和对应的函数值如表：x…﹣10245…y1…01356…y2…0﹣1059…21的取值范围是．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点C为y轴正半轴上的一个动点，过点C的直线与二次函数y=x2的图象交于A、B两点，且CB=3AC，P为CB的中点，设点P的坐标为P(x，y)(x>0)，写出y关于x的函数表达式为：.18．直线y=x+2与抛物线y=x2的交点坐标是.三、综合题19．随着互联网的普及，某手机厂商采用先网络预定，然后根据订单量生产手机的方式销售，2015年该厂商将推出一款新手机，根据相关统计数据预测，定价为2200元，日预订量为20000台，若定价每减少100元，则日预订量增加10000台．（1）设定价减少x元，预订量为y台，写出y与x的函数关系式；（2）若每台手机的成本是1200元，求所获的利润w（元）与x（元）的函数关系式，并说明当定价为多少时所获利润最大；（3）若手机加工成每天最多加工50000台，且每批手机会有5%的故障率，通过计算说明每天最多接受的预订量为多少？按最大量接受预订时，每台售价多少元？20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+2过B（﹣2，6），C（2，2）两点．（1）试求抛物线的解析式；（2）记抛物线顶点为D，求△BCD的面积；（3）若直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点，求b的取值范围．21．如图，已知抛物线 y =−12x 2+bx +c 经过A （2，0）、B （0，-6）两点，其对称轴与轴交于点C（1）求该抛物线和直线BC 的解析式；（2）设抛物线与直线BC 相交于点D ，连结AB 、AD ，求△ABD 的面积.22．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量 y （万件）与售价 x （元/件）的函数关系式为 y ={−2x +140，(40≤x <60)−x +80.(60≤x ≤70)（1）当售价为60元/件时，年销售量为 万件；（2）当售价为多少时，销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？ （3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出 x 的取值范围.23．抛物线y ＝ax 2与直线y ＝2x －3交于点A(1，b)．（1）求a ，b 的值；（2）求抛物线y ＝ax 2与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； （3）求△OBC 的面积．24．如图，平面直角坐标系中，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A(−1,0) ， B(3,0) 两点，与 y 轴交于点 C(0,−3) ，点 D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的解析式；（2）设P(m,n)为对称轴上一点，若∠PCD为钝角，求n的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】B 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】D 13．【答案】a >3.5 14．【答案】③④15．【答案】﹣1，4，4+2 √5 ，4﹣2 √5 16．【答案】x ＜﹣1或x ＞4 17．【答案】y =83x 218．【答案】（-1，1）和（2，4）19．【答案】（1）解：根据题意：y ＝20000+ x 100 ×10000＝100x+20000（2）解：设所获的利润w （元） 则W ＝（2200﹣1200﹣x ）（100x+20000） ＝﹣100（x ﹣400）2+36000000；所以当降价400元，即定价为2200﹣400＝1800元时，所获利润最大 （3）解：根据题意每天最多接受50000（1﹣0.05）＝47500台 此时47500＝100x+20000 解得：x ＝275．所以最大量接受预订时，每台定价2200﹣275＝1925元．20．【答案】（1）解：由题意 {4a −2b +2=64b +2b +2=2 解得 {a =12b =−1∴抛物线解析式为y= 12x 2﹣x+2．（2）解：∵y= 12 x 2﹣x+2= 12 （x ﹣1）2+ 32．∴顶点坐标（1，3 2）∵直线BC为y=﹣x+4，∴对称轴与BC的交点H（1，3）∴S△BDC=S△BDH+S△DHC= 12×32•3+ 12×32•1=3．（3）解：由{y=−12x+by=12x2−x+2消去y得到x2﹣x+4﹣2b=0当△=0时，直线与抛物线相切，1﹣4（4﹣2b）=0∴b= 15 8当直线y=﹣12x+b经过点C时，b=3当直线y=﹣12x+b经过点B时，b=5∵直线y=﹣12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC（包括端点B、C）部分有两个交点∴158＜b≤3．21．【答案】（1）解：将A（2，0）、B（0，-6）代入y=−12x2+bx+c中可得{−12×22+2b+c=0c=−6解得：b=4；c=-6∴该抛物线的解析式为y=−12x2+4x−6∴抛物线对称轴为x=−42×(−12)=4∴C(4,0)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)将B（0，-6），C(4，0)代入得解得：k=32,b=−6∴直线BC 的解析式为 y =32x −6（2）解：连立方程组可得 {y =32x −6y =−12x 2+4x −6解得 {x =5y =32∴D(5， 32)∴△ABD 的面积为 12×2×(23+6)=15222．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为 W 万元当 40≤x <60 时， W =(x −30)(−2x +140)=−2(x −50)2+800 . ∵－2<0 ∴当 x =50 时 当 60≤x ≤70 时 ∵−1<0 ∴当 x =60 时 ∵800>600 ∴当 x =50 时∴当售价为50元/件时，年销售利润最大，最大为800万元. （3）解： 45≤x ≤55 理由如下：由题意得(x −30)(−2x +140)≥750解得 45≤x ≤5523．【答案】（1）解：∵点 A(1，b) 在直线 y =2x −3 上∴b =−1∴点 A 坐标 (1，−1)把点 A(1，−1) 代入 y =ax 2 得到 a =−1∴a =b =−1.（2）解：由 {y =−x 2y =−2 解得 {x =√2y =−2 或 {x =−√2y =−2 ∴点 C 坐标 (−√2，−2)， 点 B 坐标 (√2，−2). （3）解： S △BOC =12×2√2×2=2√2.24．【答案】（1）解：由已知，设 y =a(x +1)(x −3)把C(0,−3)代入，得−3a=−3∴y=(x+1)(x−3)即y=x2−2x−3.（2）解：由y=x2−2x−3，得y=(x−1)2−4∴顶点D(1,−4).过点D作DH⊥y轴于点H，连结BC交对称轴于点E，连结DC.∵B(3,0)，C(0,−3)∴OB=OC=3∴∠BCO=∠DCH=45°∴∠DCE=90°设BC函数表达式为y=kx+b把B(3,0)，C(0,−3)两点代入y=kx+b得{k=1b=−3即BC函数表达式为y=x−3∵点E在对称轴上∴点E横坐标为1，代入y=x−3得E(1,−2)由∠PCD为钝角，则点P在点E上方即n>−2.第11页共11页。
北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—二次函数综合压轴题(含解析)
北京市海淀区【中考数学】2022-2023学年专题提升训练—二次函数综合压轴题1．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝1，交x轴于点E．（1）求该抛物线的表达式；（2）点D为此抛物线的顶点，证明：∠CDB＝∠CAB；（3）在x轴上是否存在一点M，以及抛物线上一点N，使得以M、N、B、C四点构成的四边形为平行四边形？如果有，请直接写出点M的坐标；如果没有，请说明理由．2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4ax+8a的顶点为P，且不论a为何值，图象都经过定点Q．（1）请直接写出定点Q的坐标；（2）若tan∠OQP＝3，求点P的坐标；（3）若当x≥a时，抛物线与坐标轴有两个不同的交点，求a的取值范围．3．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，二次函数y＝ax2+bx﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧）两点，与y轴交于点C，已知点B（3，0），P点为抛物线的顶点，连接PC，作直线BC．（1）点A的坐标为 ；（2）若射线CB平分∠PCO，求二次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，如果点D（m，0）是线段AB（含A、B）上一个动点，过点D作x轴的垂线，分别交直线BC和抛物线于E、F两点，当m为何值时，△CEF为直角三角形？4．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3a与x轴负半轴交于点A（﹣1，0），与x轴的另一交点为B，与y轴正半轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，与x轴交于点G．（1）求抛物线的解析式及对称轴；（2）如图①，点P为抛物线在第一象限内的一个动点，连接MP，当∠PMB＝90°时，求点P的坐标；（3）如图②，抛物线的对称轴与抛物线相交于点E，连接EB，探究抛物线在直线BC下方部分是否存在点Q，使得S△QMB＝S△EMB？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点G是抛物线上第一象限内的一点，连接AG、CG、BG，AG与BC交于点H，当△BHG与△AHC的面积差为1时，求点G的坐标；（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．6．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l交直线BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形；（3）点P在线段AB上运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．7．抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A（﹣2，0），B（4，0）两点交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D在线段BC上，把点D绕点A逆时针方向旋转90°，恰好落在y轴正半轴的点E处，求点E的坐标；（3）如图2，若点P在第四象限的抛物线上，过A，B，P作⊙O1，作PQ⊥x轴于Q，交⊙O1于点H，HQ的值是否为定值？若是，请求值；若不是，请说明理由．8．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B（3，0）两点，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线解析式及A点坐标；（2）将抛物线y＝x2+bx+c向上平移3个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，若新抛物线的顶点在△ABC内，求m的取值范围；（3）点P为抛物线上一个动点，若∠ACB＝∠BAP，直接写出点P的坐标．9．如图，抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，已知B（3，0）．（1）求m的值和直线BC对应的函数表达式；（2）点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，过点P作BC的垂线垂足为点G，求线段PG的最大值；（3）Q为抛物线上一点，若∠ACQ＝45°，请求出点Q的坐标．10．抛物线y＝ax2+2x+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C（0，6），点D（m，0）是x轴上一点，过点D作直线DF⊥x轴，交直线BC于点E，交抛物线于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，连接BF，当tan∠FBC＝时，求出点E的坐标；（3）当△CEF是等腰三角形时，请直接写出点F的坐标．11．直线：l：y＝x﹣3与抛物线L：y＝ax2﹣4ax相交于点A，B，与y轴相交于点C，点P（m，n）在L上且位于点A，B之间，PQ⊥x轴交l于点Q．（1）小静得出结论：l与L有一个公共点在x轴上，请判断小静的结论是否正确，并说明理由．（2）若a＝﹣1，如图．①当n＝3时，求点Q的坐标；②当m为何值时，△PBC的面积最大？并求出这个最大值．（3）若n随m的增大而增大，直接写出a的取值范围．12．如图，抛物线y＝m（x+1）2+n（m≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C（0，4）．以OA、OC为边作矩形OADC交抛物线于点M．（1）求抛物线的关系式；（2）现有一条垂直于x轴的直线x＝a在A、O两点间（不包括A、O两点）平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点P，交抛物线于点Q，请用含a的代数式表示QP的长；（3）在（2）的条件下，连结QC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点Q，使得以Q、C、F为顶点的三角形和△AEP相似？若存在，求出此时a的值，并直接判断△QCP 的形状；若不存在，请说明理由．13．在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点．抛物线y＝ax2+bx﹣8分别交x轴于点A（﹣4，0）、点B（8，0），交y轴于点C．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为抛物线第二象限上的点，连接BP交y轴于点D，设点P的横坐标为t，CD的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，点F、N分别在BD、OA上，连接NF，且NF＝OD，点E在OC上，连接NE、FE，∠FNO+2∠BNE＝180°，点K在FN上，且EK＝FK．当∠FNO＝2∠KFE，BD＝2EK时，求点P坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式；（2）连接BC，在x轴上求作一点D，使DB+CD有最小值，求出此时∠BCD的度数和点D的坐标；（3）M为线段BC中点，E为抛物线上一点，将点E绕着点M旋转180°后得点N，当四边形BECN为菱形时，求N点坐标．15．如图1，抛物线y＝x2与直线y＝m（m是常数）交于A，B两点（点A在点B的左边），且△OAB是直角三角形．（1）求m的值；（2）如图2，将抛物线y＝x2向下平移，得到抛物线y＝x2﹣k，若抛物线y＝x2﹣k 与直线y＝4交于C，D两点（点C在点D的左边），与x轴正半轴交于点E．求证：△CDE是直角三角形；（3）如图3，若抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4（a＞0）与直线y＝5交于M，N两点（点M在点N的左边），点K在抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4上，当△MNK是直角三角形时，直接写出点K的坐标．（用含a，h的代数式表示）16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝2x2+bx+c与直线交于A、B两点，抛物线与y轴交于点C，直线y＝（x+1）与x轴交于点D，与y轴交于点E，且∠DCB＝90°，CB＝CD．（1）求抛物线的解析式．（2）在BD上是否存在点F，使得以C、D、F为顶点的三角形与△BCE相似？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．17．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0）和B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求该二次函数的表达式．（2）如图1，连接BC，动点D以每秒1个单位长度的速度由A向B运动，同时动点E以每秒个单位长度的速度由B向C运动，连接DE，当点E到达点C的位置时，D、E同时停止运动，设运动时间为t秒．当△BDE为直角三角形时，求t的值．（3）如图2，在抛物线对称轴上是否存在一点Q，使得点Q到x轴的距离与到直线AC的距离相等，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．（Ⅰ）求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标；（Ⅱ）点P是直线BC上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点P′，当四边形POP'C为菱形时，求点P的坐标；（Ⅲ）点P是抛物线上任意一点，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，过点P作PQ∥x轴，与抛物线交于点Q，若PQ＝PD，求点P的坐标．19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A，点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上一动点，连接AD，交BC于点E，若AE＝2ED，求点D的坐标；（3）直线y＝kx﹣2k+1与抛物线交于M，N两点，取点P（2，0），连接PM，PN，求△PMN面积的最小值．20．如图，以AB为直径的⊙D与抛物线y＝ax2bx+c交于点A、B、C，与y轴交于点E，点A、C的坐标分别是（﹣3，0）、（0，﹣3），过点B作y轴的垂线垂足为F（0，﹣4）．（1）求线段CE的长；（2）求抛物线的函数表达式；（3）抛物线对称轴上是否存在点P，使⊙P与直线AB和x轴都相切？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．答案1．（1）解：设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，3），且对称轴为直线x＝1，∴，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；（2）证明令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4），∴CD＝＝，BD＝＝2，CB＝＝3，∵BC2+CD2＝（3）2+（）2＝20，BD2＝（2）2＝20，∴BC2+CD2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴∠tan∠CDB＝＝＝3，∵tan∠CAB＝＝3，∴∠CDB＝∠CAB；（3）解：①当BM∥CN时，如图：∵对称轴为直线x＝1，C（0，3），∴N（2.3），CN＝2，∵B（3，0），∴CN＝BM，∴BM＝2，当M点在B点左侧时，M1（1，0），当M点在B点右侧时，M2（5，0），∴M1（1，0）或M2（5，0）；②当CM∥BN时，如图：CN与BM互相平分，N点和C点纵坐标互为相反数，可得N点纵坐标为﹣3，把y＝﹣3代入解析式得：﹣x2+2x+3﹣3，解得：x1＝+1，x2＝﹣+1，所以N1的横坐标为+1．，N2的横坐标为﹣+1，由平行四边形对角线互相平分可得﹣+1+0＝3+x M或+1+0＝3+x M，解得x N＝﹣﹣2或x N＝﹣2，所以M3（﹣2，0）或M4（﹣﹣2，0）．综上所述：M1（1，0）或M2（5，0）或M3（﹣2，0）或M4（﹣﹣2，0）．2．解：（1）∵y＝x2﹣4ax+8a＝x2﹣4a（x﹣2），∴当x＝2时，y＝4，∴定点Q的坐标为（2，4）；（2）∵y＝x2﹣4ax+8a＝（x﹣2a）2﹣4a2+8a，∴顶点P（2a，﹣4a2+8a），过Q点作QA⊥OA交于点A，过点Q作BQ⊥OB于点B，使tan∠OQA＝tan∠OQB＝3，∵Q（2，4），∴OQ＝2，∵tan∠OQA＝3，∴＝3，∴AO＝3，AQ＝，设A（x，y），∴，解得或（舍），∴A（3，3）；同理可求B，∵tan∠OQP＝3，∴P点位于直线AQ或直线BQ上，当P点位于直线AQ上时，设直线AQ的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+6，把点P（2a，﹣4a2+8a）代入，﹣4a2+8a＝﹣2a+6，解得a＝1或a＝，∴P点坐标为（2，4）（舍）或（3，3），同理当点P位于直线BQ上时，a＝1或a＝，∴P点的坐标为（2，4）（舍）或；综上所述：P点坐标为（3，3）或；（3）当a＝0时，y＝x2，此时抛物线的图象与坐标轴有一个不同的交点，不符合题意；当a＞0时，抛物线的对称轴为直线x＝2a＞a＞0，∵当x＝0时，y＝8a＞0，且x≥a，∴抛物线与y轴没有交点，∵抛物线与坐标轴有两个交点，∴Δ＞0，即16a2﹣32a＞0，∴a＞2或a＜0，又∵当x＝a时，y≥0，∴a2﹣4a2+8a≥0，∴0≤a≤，∴2＜a≤；当a＜0时，抛物线的对称轴为直线x＝2a＜a＜0，∵x≥2a，∴抛物线与x轴有一个交点，与y轴有一个交点，符合题意；综上所述：a的取值范围为2＜a≤或a＜0．3．解：（1）把B（3，0）代入入y＝ax2+bx﹣3a，得0＝9a+3b﹣3a，∴b＝﹣2a，∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，当y＝0时，ax2﹣2ax﹣3a＝0，∵a＜0，∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．∴A（﹣1，0），故（﹣1，0）；（2）由（1）知，b＝﹣2a，∴对称轴为直线x＝1．设对称轴与BC交于点G，∵y＝ax2+bx﹣3a＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴P（1，﹣4a），当x＝0时，y＝ax2+bx﹣3a＝﹣3a，∴C（0．﹣3a），设直线BC的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴y＝ax﹣3a，当x＝1时，y＝ax﹣3a＝﹣2a，∴G（1，﹣2a）．∵CB平分∠PCO，∴∠PCG＝∠OCG，∵CO∥PG，∴∠OCG＝∠CGP，∴∠PCG＝∠CGP，∴PC＝PG，∵P（1，﹣4a），C（0，﹣3a），G（1，﹣2a）．∴PC2＝PG2，即1+a2＝4a2，∴a＝±，∵a＜0，∴a＝﹣，∴y＝﹣x2+x+；（3）∵DE⊥x轴，∴∠EDB＝90°，∠DEB＜90°，∵∠CEF＝∠DEB，∴∠CEF≠90°，①当∠CFE＝90°时，CF∥OB，∵对称轴为直线x＝1，∴此时m＝2；②当∠ECF＝90°时，设直线CF交x轴于点H，当x＝0时，y＝﹣x2+x+＝，∴C（0，），∵B（3，0），∴tan∠OCB＝，∴∠OCB＝60，∴∠HCO＝30°．∵tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝30°，∴H与A重合，∴此时m＝﹣1；综上，当m＝2或﹣1时，△CEF为直角三角形．4．解：（1）将A（﹣1，0），C（0，3）分别代入y＝ax2+bx﹣3a得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，∴对称轴为：直线；（2）如图1，过点P作PN⊥对称轴于点N，设P（m，﹣m2+2m+3），则N（1，﹣m2+2m+3），PN＝m﹣1，令y＝0，得﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝OC，∠ABC＝45°，∴△MGB、△PNM为等腰直角三角形，∴PN＝MN，设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，∴M（1，2），∴MN＝﹣m2+2m+1，∴m﹣1＝﹣m2+2m+1，解得m1＝2，m2＝﹣1（舍去），∴P（2，3）；（3）存在，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴E（1，4），∵M（1，2）∴EM＝2，在BC下方抛物线对称轴上取点G，使MG＝EM＝2，过点G作QG∥BC交抛物线于点Q，此时，S△QMB＝S△EMB，G（1，0），如图2所示，由（2）可知，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，∵QG∥BC，∴设直线QG的解析式为y＝﹣x+p，将G（1，0）代入得：p＝1，∴直线QG的解析式为y＝﹣x+1，∴直线QG与抛物线的交点Q，∴，解得：，∴点Q的坐标为或．5．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，∴．解得：．∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；（2）设G（x，﹣x2+3x+4），∵S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，∵A（﹣1，0）、B（4，0），∴AB＝5，①当S△BHG﹣S△AHC＝1时，S△BHG﹣S△AHC＝S△ABG﹣S△ABH﹣S△ABC+S△ABH＝S△ABG﹣S△ABC＝1，∴×5×（﹣x2+3x+4）﹣×5×4＝1，∴x＝，∴点G的坐标为或；②当S△AHC﹣S△BHG＝1时，S△AHC﹣S△BHG＝S△ABC﹣S△ABH﹣S△ABG+S△ABH＝S△ABC﹣S△ABG＝1，∴×5×4﹣×5×（﹣x2+3x+4）＝1，∴x＝或（负值不合题意，舍去），∴点G的坐标为；综上，点G的坐标为或或；（3）∵y＝﹣x2+3x+4，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝，，点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，∴∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEN＝90°，∵△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形，∴∠CED＝90°，∴∠CEM+∠MED＝∠DEN+∠MED＝90°，CE＝DE，∴∠CEM＝∠DEN，∴△EMC≌△END（AAS），∴CM＝DN，设E（m，﹣m2+3m+4）（m＞），∴4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，∴m＝或（不合题意，舍去），∴点E的横坐标为．6．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），把点C（0，2）的坐标代入，得：2＝a×（0+1）×（0﹣4），解得：a＝﹣，∴抛物线的解析式为，即y＝﹣x2+x+2；（2）∵点D与点C（0，2）关于x轴对称，∴点D（0，﹣2），CD＝4，设直线BD的函数表达式为y＝kx+b，把D（0，﹣2），B（4，0）代入得，解得，∴直线BD的函数表达式为y＝x﹣2，设M（m，），Q（m，），∴QM＝，∴QM∥CD，∴当QM＝CD时，四边形CQMD为平行四边形，∴，解得m1＝2，m2＝0（不符合题意，舍去），故当m＝2时，四边形CQMD是平行四边形；（3）在Rt△BOD中，OD＝2，OB＝4，∠BOD＝90°，∴OB＝2OD，当以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似时，分三种情况：①若∠MBQ＝90°时，△QPB∽△QBM，如图1所示，当△QBM∽△BOD时，△QPB∽△BOD，∴＝即＝＝2，∴QP＝2PB，∵P（m，0），∴QP＝，PB＝4﹣m，∴，解得，m1＝3，m2＝4（不符合题意舍去），∴m＝3，∴OP＝3，PB＝4﹣3＝1，∴PQ＝2PB＝2，∴点Q的坐标为（3，2）；②若∠MQB＝90°时，如图2所示，此时点P、Q与点A重合，∴Q（﹣1，0）；③由于点M在直线BD上，因此∠QMB≠90°，这种情况不存在，综上所述，点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）．7．解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入解析式y＝ax2+bx﹣4，，解得，，∴y＝x2﹣x﹣4；（2）如图，作DF⊥AB于F．∵∠EAF+∠DAF＝90°，∠DAF+∠ADF＝90°，∴∠EAF＝∠ADF，∵AE＝AD，∠AOE＝∠AFD＝90°，∴△AOE≌△DFA（AAS），∴AO＝DF＝2，∵抛物线y＝x2﹣x﹣4交y轴于点C．∴C（0，﹣4），∵B（4，0），∴OB＝OC，AF＝OE，∴∠ABC＝45°，∵DF⊥AB，∴∠BDF＝∠ABC＝45°，∵BF＝DF＝2，∴OF＝2，∴AF＝4＝OE，∴E（0，4）；（3）如图，连接PA，BH．设P（m，m2﹣m﹣4）．∵PQ⊥AB，∴Q（m，0），∴QA＝m+2，BQ＝4﹣m，PQ＝﹣m2+m+4，∵∠AQP＝∠BQH，∠PAQ＝∠PHB，∴△AQP∽△HQB，∴，∴，∴HQ＝＝2．∴HQ的值是定值，HQ＝2．8．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过B（3，0），C（0，3）两点，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，令y＝0，得x2﹣4x+3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴A（1，0）；（2）∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线y＝x2﹣4x+3向上平移3个单位长度，再向左平移m（m＞0）个单位长度，所得新抛物线为y＝（x+m﹣2）2+2，∴新抛物线的顶点坐标为D（2﹣m，2），设直线AC的解析式为y＝k1x+d1，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣3x+3，同理可得：直线BC的解析式为y＝﹣x+3，当点D（2﹣m，2）在直线AC上时，2＝﹣3（2﹣m）+3，解得：m＝；当点D（2﹣m，2）在直线BC上时，2＝﹣（2﹣m）+3，解得：m＝1；∵新抛物线的顶点D（2﹣m，2）在△ABC内，∴m的取值范围为1＜m＜；（3）如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点P作PF⊥x轴于点F，则∠AEC＝∠PFA＝90°∵∠ACB＝∠BAP，∴△ACE∽△PAF，∴＝，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠OBC＝BCO＝45°，BC＝OB＝3，∵AB＝OB﹣OA＝3﹣1＝2，∠AEB＝90°，∠ABE＝45°，∴AE＝BE＝，∴CE＝BC﹣BE＝2，设点P（t，t2﹣4t+3），当点P在x轴上方时，∵＝，∴＝，解得：t1＝1，t2＝，∴P；当点P在x轴下方时，∵＝，∴＝，解得：t1＝1，t2＝，∴P（，﹣）；综上所述，点P的坐标为或（，﹣）．9．解：（1）∵抛物线y＝mx2+（m2+3）x﹣（6m+9）经过点B（3，0），∴9m+3（m2+3）﹣6m﹣9＝0，解得：m＝0（舍去）或m＝﹣1，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，则，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，故m的值为﹣1，直线BC对应的函数表达式为y＝x﹣3；（2）如图1，过点P作PH∥y轴交BC于点H，设P（t，﹣t2+4t﹣3），则H（t，t﹣3），∴PH＝﹣t2+4t﹣3﹣（t﹣3）＝﹣t2+3t，∵OB＝OC＝3，∴∠BCO＝∠CBO＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHG＝∠BCO＝45°，∵PG⊥BC，∴∠PGH＝90°，∴PG＝PH•sin∠PHG＝（﹣t2+3t）×sin45°＝﹣（t﹣）2+，∵＜0，∴当t＝时，PG的最大值为；（3）如图2，在CB下方作∠BCE＝∠OCA，过点B作BE⊥CB，交射线CE于点E，过点E作EF⊥x轴于点F，连接CE交抛物线于点Q，则∠BFE＝∠CBE＝90°，∵∠CBO＝45°，∴∠EBF＝180°﹣∠CBE﹣∠CBO＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴BF＝EF＝BE，∵∠COA＝∠CBE＝90°，∠BCE＝∠OCA，∴tan∠BCE＝tan∠OCA，∴＝，在抛物线y＝﹣x2+4x﹣3中，令y＝0，得﹣x2+4x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝3，∴A（1，0），∴OA＝1，∵OC＝CB•cos∠BCO＝CB•cos45°＝CB，∴CB＝OC＝3，∴＝，∴BE＝，∴BF＝EF＝×＝1，∴OF＝OB+BF＝3+1＝4，∴E（4，﹣1），设直线CE的解析式为y＝ex+f，则，解得：，∴直线CE的解析式为y＝x﹣3，联立方程组得，解得：，，∴点Q的坐标为（，﹣）．10．解：（1）抛物线经y＝ax2+2x+c过点A（﹣2，0）和点C（0，6），代入得：，解得：，∴抛物线的解析的析式是y＝﹣x2+2x+6；（2）令y＝0 代入y＝﹣x+2x+6中，解得x＝﹣2或x＝6，∴B（6，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，将C（0，6）B（6，0）代入得，，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+6，∵D（m，0），∴F（m，﹣m2+2m+6），E（m，﹣m+6），∴EF＝|（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m+6）|＝|﹣m2+3m|，DE＝﹣m+6，∵OB＝OC＝6，∠BOC＝90°，∴∠DBE＝45°，∴∠DEB＝45°＝∠GEF，点F1在直线BC上方的抛物线上时，直线D1F1与BC交于点E1，过点F1作F1G1⊥BC，垂足为点G1，在Rt△D1E1B和Rt△G1E1F1中，E1B＝，D1E1＝（﹣m+6），F1G1＝E1G1＝E1F1＝（﹣m2+3m），∴BG1＝BE1+G1F1＝（﹣m+6）+（﹣m2+3m）＝﹣m2+m+6，当tan∠F1BC＝时，tan∠F1BC＝＝，即，解得m1＝4 或m2＝6（舍去），∴E1（4，2）；F2在直线BC下方的抛物线上时，直线D2F2与BC交于点E2，过点F2作F2G2⊥BC，垂足为点G2，∴在Rt△D2E2B和Rt△G2E2F2中，E2B＝D2E2＝（﹣m+6），F2G2＝E2G2＝E2F2＝（m2﹣3），∴BG2＝BE2﹣G2F2＝（﹣m+6）﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+m+6，当tan∠F2BC＝时，tan∠F2BC＝＝，即＝，解得m1＝﹣或m2＝6（舍去），∴E2（﹣，），综上可知，点E坐标是E1（4，2）或E2（﹣，）；（3）由（2）得，F（m，﹣+2m+6），E（m，﹣m+6），EF＝|（﹣m2+2m+6）﹣（﹣m+6）|＝|﹣m2+3m|，当CE＝EF时，即（﹣m2+3m|＝，解得：m＝6+2或m＝6﹣2，此时F（6﹣2，8﹣4）或（6+2，﹣8﹣4）；当CE＝CF时，由题意得，＝6，解得：m＝2，此时F（2，8）；当EF＝CF时，|﹣m2+3m|＝，解得：m＝4，此时F（4，6），综上所得，F1（2，8）或F2（6﹣2，8﹣4）或F3（4，6）或F4（6+2，﹣8﹣4）．11．解：（1）正确．理由：∵直线：l：y＝x﹣3，令y＝0，则x＝4，∴l与x轴交于点（4，0）．当x＝4时，y＝a×42﹣4a×4＝0，即L也过点（4，0）．∵点（4，0）在x轴上，∴l与L有一个公共点在x轴上．∴小静的结论正确；（2）若a＝﹣1，则L：y＝﹣x2+4x．①∵点P（m，n），当n＝3时，即3＝﹣m2+4m，解得m1＝1，m2＝3．当m＝1时，；当m＝3时，．∴点Q的坐标为或；②∵点P（m，n）在L上，∴点P（m，﹣m2+4m），∵PQ⊥x轴交l于点Q．∴Q（m，m﹣3），∴PQ＝﹣m2+4m﹣（m﹣3）＝﹣m2+m+3，∴S△PBC＝S△PQC+S△PQB＝×OB×PQ＝×4×（﹣m2+m+3）＝﹣2m2+m+6，＝．∵﹣2＜0，∴当时，S△PBC取得最大值；（3）∵L：y＝ax2﹣4ax过点（4，0）．当x＝0时，y＝0，∴L经过原点，对称轴为直线x＝2，与l的一个公共点（4，0）在对称轴右侧．①若a＜0，L开口向下，点A，B在对称轴两侧，不能使n随m的增大而增大．②若a＞0，L开口向上，当点A，B重合时，有两个相等的实数根．化为4ax2﹣（16a+3）x+12＝0，由Δ＝（16a+3）2﹣192a＝0，解得．当L的顶点（2，﹣4a）在l上时，，解得．若，则点A，B都在对称轴右侧，n随m的增大而增大；若，则点A，B都在对称轴右侧（或左侧点在对称轴上），n随m的增大而增大．∴a的取值范围是或．12．解：（1）∵抛物线y＝m（x+1）2+n（m≠0）经过点A（﹣3，0），点C（0，4），∴，解得：，∴抛物线的关系式为y＝﹣（x+1）2+＝﹣x2﹣x+4；（2）设直线AC的解析式为y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，4），∴，解得：，∴设直线AC的解析式为y＝x+4，由题意得，Q（a，﹣a2﹣a+4），P（a，a+4），则QP＝﹣a2﹣a+4﹣（a+4）＝﹣a2﹣4a；（3）存在．理由如下；在（2）的条件下，AE＝3+a，EP＝a+4，CF＝﹣a，QF＝﹣a2﹣a+4﹣4＝﹣a2﹣a，①若△CFQ∽△PEA，则，即＝，整理得：16a2+71a+69＝0，解得：a＝﹣或a＝﹣3（不是原方程的根，舍去）．∵△CFQ∽△PEA，∴∠QCF＝∠APE，又∵∠APE＝∠CPF，∴∠QCF＝∠CPF，∵∠CQF+∠QCF＝90°，∴∠CQF+∠CPF＝90°，∴∠QCP＝90°，∴△QCP为直角三角形；②若△QFC∽△PEA，则，即＝，整理得：a2+4a+3＝0，解得：a＝﹣1或a＝﹣3（不是原方程的根，舍去），∴△QFC与△PEA不是相似三角形，综上，当a＝﹣或﹣1时，以Q、C、F为顶点的三角形和△AEP相似，此时△QCP为直角三角形．13．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8分别交x轴于点A（﹣4，0）、点B（8，0），∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣8；（2）过点P作PM⊥x轴于点M，如图，∵点B（8，0），∴OB＝8．令x＝0，则y＝﹣8，∴C（0，﹣8）．∴OC＝8．∵PM⊥x轴，∴∠PMB＝90°＝∠BOD，∴PM∥OD，∴△BOD∽△BMP，∴，设P（t，t2﹣t﹣8），则PM＝t2﹣t﹣8，OM＝﹣t，则BM＝8﹣t，∴，∴OD＝﹣2t﹣8，∴d＝CD＝OD+OC＝﹣2t﹣8+8＝﹣2t，∴d与t的函数关系式为d＝﹣2t；（3）如图2，在BN上取点Q，使NQ＝EQ，则∠QNE＝∠QEN，设BN与KE交于点T，设∠KFE＝α，∵EK＝FK．∴∠KEF＝∠KFE＝α，∴∠NKE＝∠KFE+∠KEF＝2α，∴∠FNO＝2∠KFE＝2α，∴∠FNO＝∠NKE＝2α，∴TN＝TK，∵∠FNO+2∠BNE＝180°，∠QNE＝∠QEN，∠QNE+∠QEN+∠NQE＝180°，∴∠FNO＝∠NQE＝2α，∴EQ∥FK，∴∠KEQ＝∠NKE＝2α，∠KFE＝∠QEF＝α，∴∠QET＝∠QEF+∠KEF＝2α＝∠NQE，∴QT＝TE，∵TN＝TK，∴QN＝EK＝KF，∴KF＝QE．在△KFE和△QFE中，，∴△KFE≌△QFE（SAS），∴KE＝QF．∴EQ＝FQ＝EK＝FK＝QN，∴四边形KEQF是菱形．如图3，延长FQ到M，使QM＝FQ，连接NM，EB，∴FQ＝QM＝NQ，∴∠QFN＝∠QNF，∠M＝∠QNM，∴∠FNQ+∠QNM＝90°，∴∠FKM＝90°．∵FM＝2FQ＝2EK，BD＝2EK，∴FM＝BD．在Rt△BOD和Rt△MNF中，，∴Rt△BOD≌Rt△MNF（HL），∴∠BDO＝∠MFN＝2α，∴∠FNB＝2α＝∠BDO．在△BOD和△BFN中，，∴△BOD≌△BFN（AAS），∴BD＝BN＝2EK＝2NQ，∠BFN＝∠BOD＝90°，∴Q是BN的中点．∴QF＝QE＝QB＝QN．∴点F，N，E，B四点在以点Q为圆心，QB为半径的圆上．∴∠NBE＝∠NFE＝α，∵BN⊥DE，∴∠DEB＝90°﹣α．∵∠BFN＝90°，∴∠FBN＝90°﹣∠FNB＝90°﹣2α．∴∠DBE＝∠FBN+∠EBN＝90°﹣α．∴∠DEB＝∠DBE．∴DE＝DB．∴DE＝DB＝NB．设以点Q为圆心，QB为半径的圆的半径为r，OD＝x，则DE＝DB＝NB＝2r，OE＝2r﹣x，ON＝BN﹣OB＝2r﹣8．∵OD2+OB2＝BD2，∴x2+82＝（2r）2．①∵BN是直径，∴NE⊥BE，∵EO⊥BN．∴△ONE∽△OEB．∴．∴OE2＝ON•OB．∴（2r﹣x）2＝8（2r﹣8）．②将①②联立组成方程组，解得：r＝5，x＝6．∴D（0，6）．设直线BD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：．∴直线BD的解析式为y＝x+6．∴．解得：，．∴点P（﹣7，）．14．解：（1）令y＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），∵函数图象与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，∴y＝﹣（x﹣1）（x+3）＝﹣x2﹣x+；（2）如图，过点B作∠ABE＝45°，交y轴负半轴于点E，过点C作CM⊥BE于点M，交x轴于点D，在Rt△BDM中，∠ABE＝45°，∴DM＝DB，∴CD+DB＝CD+DM，当M，D，C三点共线时，CD+DM有最小值，即CD+DB有最小值．在Rt△BOC中，CO＝，BO＝3，∴tan∠CBO＝＝，∴∠CBO＝30°，∵∠DBM＝45°，∴∠CBM＝75°，在Rt△BCM中，∠BCD＝90°﹣∠CBM＝15°，∵∠ABE＝45°，∴直线BE的解析式为：y＝﹣x﹣3，∵CM⊥BE，且C（0，），∴CM的解析式为：y＝x+，当y＝0时，x＝﹣，∴D（﹣，0）；（3）∵B（﹣3，0），D（﹣，0），∴线段BC的中点M坐标为（﹣，），∵四边形BECN为菱形时，EN⊥BC且直线EN过点P，∴直线EN的表达式为：y＝﹣x﹣，令﹣x﹣＝﹣x2﹣x+，解得x＝3或x＝﹣2，∴点E的坐标为（3，﹣4）或（﹣2，）；由中点坐标公式可得N（﹣6，5）或（﹣1，0）．15．（1）解：如图1中，由题意m＞0，设AB与y轴的交点为P．令x2＝m，则x1＝2，x2＝﹣2，∴A（﹣2，m），B（2，m），P（0，m），∵△OAB为直角三角形，∴∠AOB＝90°，OP＝PB，∴m＝2，∴m＝4．（2）证明：如图2中，由题意k＞0，设CD与y轴的交点为P，连接PE，DE．令x2﹣k＝4，则x1＝2，x2＝﹣2，∴C（﹣2，4），D（2，4），P（0，4），令x2﹣k＝0，则x3＝2，x4＝﹣2，∴E（2，0），∴PE＝＝2，PC＝PD＝2，∴PC＝PD＝PE，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，∴∠1+∠3＝90°，∴△CDE是直角三角形；（3）解：如图3中，设MN的中点为P，连接．∵△MNK是直角三角形，∴∠MKN＝90°，＝PM＝PN，令a（x﹣h）2﹣4＝5，则x＝h±，∴M（h﹣，5），N（h+，5），P（h，5），设K（n，a（n﹣h）2﹣4），则2＝（n﹣h）2+[a（n﹣h）2﹣4﹣5]2，PN2＝（h+﹣h）2＝，∴（n﹣h）2+[a（n﹣h）2﹣4﹣5]2＝，令（n﹣h）2≥0，则t+（at﹣9）2＝，∴（at﹣9）2＝，∴9﹣at＝或9﹣at＝0，∴t＝≥0，∴a≥（舍弃t＝，此时k的纵坐标a（n﹣h）2﹣4＝at﹣4＝5，△MNK不存在），∴（n﹣h）2＝t＝，∴n﹣h＝±，∴n＝h±，∴a（n﹣h）2﹣4＝a×﹣4＝5﹣，∴k（h+，5﹣）或（h﹣，5﹣），其中a≥．16．解：（1）∵直线y＝（x+1）＝x+，与x轴交于点D，与y轴交于点E，∴点D（﹣1，0），E（0，），∵抛物线y＝2x2+bx+c与y轴交于点C，∴C（0，c），过点B作BM⊥y轴于M，∴∠CMB＝∠DOC＝90°，∠MCB+∠CBM＝90°，∵∠DCB＝90°，CB＝CD．∴∠MCB+∠DCO＝90°，∴∠CBM＝∠DCO，∴△COD≌△BMC（AAS），∴CM＝DO＝1，BM＝OC＝c，∴OM＝c﹣1，过点B作BN⊥x轴于N，∴BN＝CM，ON＝BM＝c，DN＝c+1，BN∥OC，∴△EOD∽△BND，∴，∴BN＝DN＝，∵BN＝OM，∴c﹣1＝，解得c＝3，∴BN＝2，ON＝3，∴B（3，2），代入抛物线y＝2x2+bx+3得2＝18+3b+3，解得b＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣x+3；（2）∵∠DCB＝90°，CB＝CD，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，①∠DCF＝∠BCE时，△DCF∽△BCE，∴，∵CB＝CD，∴CF＝CE，∵E（0，），C（0，3），∴EC＝3﹣＝，∴CF＝，设F（a，），∴a2+（3﹣﹣）2＝（）2，解得a＝2或0（不合题意，舍去），∴点F的坐标为（2，）；②∠DCF＝∠BEC时，△DCF∽△BEC，∴，∵D（﹣1，0），E（0，），B（3，2），C（0，3），∴CD＝＝，EB＝＝，EC＝3﹣＝，∴，∴CF＝，设F（n，），∴n2+（3﹣﹣）2＝（）2，解得n＝或（不合题意，舍去），∴点F的坐标为．综上，存在，点F的坐标为（2，）或．17．解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A（1，0）和B（﹣3，0），∴，解得：，∴该二次函数的表达式为y＝x2+2x﹣3．（2）∵抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴交于点C，∴C（0，﹣3），由题意得：AD＝t，BE＝t，∴BD＝4﹣t，∵OB＝OC＝3，∠BOC＝90°，∴∠CBO＝∠BCO＝45°，BC＝OB＝3，∵3÷＝3，∴0＜t≤3，∵△BDE为直角三角形，∠DBE＝45°，如图1，∴∠BED＝90°或∠BDE＝90°，当∠BED＝90°时，＝cos∠DBE＝cos45°＝，∴BD＝BE，∴4﹣t＝×t，解得：t＝；当∠BDE＝90°时，＝cos∠DBE＝cos45°＝，∴BE＝BD，∴t＝（4﹣t），解得：t＝2；综上所述，当△BDE为直角三角形时，t的值为或2．（3）存在．设直线AC的解析式为y＝kx+d，把A（1，0），C（0，﹣3）代入，得：，解得：，。
中考数学—二次函数的综合压轴题专题复习附答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编〔难题易错题〕1 .童装店销售某款童装,每件售价为60元,每星期可卖100件,为了促销该店决定降价销售, 经市场调查发现：每降价1元,每星期可多卖10件,该款童装每件本钱30元,设降价后该款童装每件售价工元,每星期的销售量为〕'件.⑴降价后,当某一星期的销售量是未降价前一星期销售量的3倍时,求这一星期中每件童装降价多少元？⑵当每件售价定为多少元时,一星期的销售利润最大,最大利润是多少？【答案】〔1〕这一星期中每件童装降价20元；〔2〕每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【解析】【分析】〔1〕根据售量与售价x 〔元/件〕之间的关系列方程即可得到结论.〔2〕设每星期利润为W元,构建二次函数利用二次函数性质解决问题.【详解】解：〔1〕根据题意得,〔60-x〕 xl0+100=3xl00,解得：x=40,60 - 40 = 20 元,答：这一星期中每件童装降价20元：〔2〕设利润为w,根据题意得,w= 〔x- 30〕 [ 〔60-X〕xl0+100]= - 10x2+1000x - 21000=-10 〔x- 50〕 2+4000,答：每件售价定为50元时,一星期的销售利润最大,最大利润4000元.【点睛】此题考查二次函数的应用,一元二次不等式,解题的关键是构建二次函数解决最值问题, 利用图象法解一元二次不等式,属于中考常考题型.2 .阅读：我们约定,在平面直角坐标系中,经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线,叫该点的“特征线〞.例如,点M 〔1, 3〕的特征线有：x=l, y=3,备用图问题与探究：如图,在平面直角坐标系中有正方形0A8C,点8在第一象限,A、C分别在x轴和y轴上,抛物线＞ =；*一〃?〕2+〃经过8、C两点,顶点.在正方形内部.〔1〕直接写出点.〔m, n〕所有的特征线：〔2〕假设点.有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式：〔3〕点P是48边上除点八外的任意一点,连接0P,将AOAP沿着0P折登,点4落在点々的位置,当点4在平行于坐标轴的.点的特征线上时,满足〔2〕中条件的抛物线向下平移多少距离,其顶点落在0P上？【答案】〔1〕 x=m, y=n, y=x+n - m, y= - x+m+n；〔2〕 y = - 〔x-2〕2 + 3 ；〔3〕抛物4线向下平移上二正或W距离,其顶点落在OP上. 3 12【解析】试题分析：〔1〕根据特征线直接求出点.的特征线：〔2〕由点.的一条特征线和正方形的性质求出点.的坐标,从而求出抛物线解析式；〔2〕分平行于x轴和y轴两种情况,由折卷的性质计算即可.试题解析：解：〔1〕・二点D 〔m,.〕,,••点.〔m, n〕的特征线是x=m, y=n, y=x+n - m,y= - x+m+n；〔2〕点.有一条特征线是y=x+l, .•.〃=m+l. •.•抛物线解析式为了 = !〔工一"?了+〃,.•.y = =〔x—〃?〕2+〃? + 1, ,四边形OA8C是正方形,且.点为正方4 4形的对称轴,.〔m, /?〕,「. 8 〔2m, 2m〕 ,y = —〔2m — m〕2 + n = 2m 9将c=m+l 带4入得到m=2, n=3；・・・.〔2, 3〕,・•・抛物线解析式为y = !〔x-2〕2+3.〔3〕①如图,当点A在平行于y轴的.点的特征线时：根据题意可得,D (2, 3),・ .0A=0A=4, 0M=2,N AOM=60°,「・N AOP=N AOP=30°,:MN笺空,抛物线需要向下平移的距离=3—李亨•②如图,当点4在平行于X轴的.点的特征线时,设A〔P,3 〕,那么OA=OA=4, OE=3,EA 二“2.32 =a,,AF=4-a,设P(4, c) (c>0),,在RS AFP 中,(4-V7)2+ (3-c) 2=c2, .•“」6T立,「.p (4, .16 —4" ) ,直线OP解析式为3 3y=匕Lx, ：.N (2, l") •.抛物线需要向下平移的距离=3-3 38-2>/7 _1 + 2>/7-3-- -3综上所述：抛物线向下平移) - 2琳或1 + 2"距离,其顶点落在0P上. 3 3点睛：此题是二次函数综合题,主要考查了折叠的性质,正方形的性质,解答此题的关键是用正方形的性质求出点.的坐标.3.在直角坐标系中,我们不妨将横坐标,纵坐标均为整数的点称之为〃中国结〃.〔1〕求函数y=/x+2的图像上所有“中国结〞的坐标：〔2〕求函数y=±〔HO, k为常数〕的图像上有且只有两个“中国结〃,试求出常数k的值X与相应“中国结〞的坐标；〔3〕假设二次函数丫=〔公一3攵+2〕/+〔2攵2-4%+ 1〕%+公一% 〔k为常数〕的图像与x轴相交得到两个不同的"中国结",试问该函数的图像与x轴所围成的平而图形中〔含边界〕,一共包含有多少个“中国结〞？【答案】〔1〕〔0,2〕 : 〔2〕当k=l时,对应"中国结〞为〔1,1〕〔一1, -D ;当k=-l 时,对应"中国结"为〔1, 一1〕, 〔一1,1〕 ; 〔3〕 6个.【解析】试题分析：〔1〕由于X是整数,XHO时,JJx是一个无理数,所以XHO时,JJx+2不是整数,所以x=o, y=2,据此求出函数y=J^x+2的图象上所有“中国结〃的坐标即可.k〔2〕首先判断出当k=l时,函数/一〔k/0, k为常数〕的图象上有且只有两个〃中国xk结〃：〔1, 1〕、〔-1、-1〕：然后判断出当代1时,函数度一〔kHO, k为常数〕的图X象上最少有4个〃中国结〃,据此求出常数k的值与相应〃中国结〃的坐标即可.(3)首先令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k-1)]=0,求出X】、X2的值是多少；然后根据X】、X2的值是整数,求出k的值是多少：最后根据横坐标,纵坐标均为整数的点称之为"中国结",判断出该函数的图象与x轴所用成的平面图形中(含边界),一共包含有多少个“中国结〞即可.试题解析：(l);x是整数,XHO时,、^x是一个无理数,xHO时,JJx+2不是整数,x=0> y=2,即函数y=Cx+2的图象上"中国结〞的坐标是(0, 2).(2)①当k=l时,函数度勺(k#0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：x (1, 1)、(-1、-1)：②当匕-1时,函数丫=&(HO, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结〃：X(1, -1)、( -1, 1).③当修±1时,函数尸& (HO, k为常数)的图象上最少有4个〃中国结JX(I, k)、( - 1, - k)、(k, 1)、( - k, - 1),这与函数度土(kxo, k 为常数)的x图象上有且只有两个“中国结"矛盾,k综上可得,k=l时,函数y=— (k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, x 1)、( - 1、- 1)；k=-l时,函数y=七(k/0, k为常数)的图象上有且只有两个“中国结J (1, -1)、x (-1、1).(3)令(k2-3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k=0,那么[(k- 1) x+k][ (k-2) x+ (k- 1) ]=0, kx.= ---------.•・{ ik-\f x 2x) +1• k =——=-=——. x1 +1 x2 +1 整理,可得XlX2+2X2+l=0t/. xz (xi+2) = T,•••X】、X2都是整数,X)= 1 x, =—1｛- 或｛-玉+2 = _「^+2 = 1匹=T ②当｛X、= —1k ,,/ ------- = -1 ,l — kk=k-l,无解；练上,可得.3K=—, XF-3, x2=l t2y= (k2- 3k+2) x2+ (2k2-4k+l) x+k2 - k3 3 3 3 3 3=[(-)2-3X-+21X2+[2X ( - ) 2-4x-+l]x+ (- ) 2--2 2 2 2 2 2①当x=-2时,1 13 1 1 3y= - - x2- — x+ — = " - x ( - 2) 2 - -x ( - 2) + —4 2 4 4 2 4_3~4②当X=-1时,=13③当x=0时,y=-,另外,该函数的图象与X轴所闱成的平面图形中x轴上的“中国结〞有3个: 〔-2, 0〕、〔 -1、0〕、〔0, 0〕.综上,可得假设二次函数y= 〔k2-3k+2〕 x2+ 〔2k2-4k+l〕 x+l?-k 〔k为常数〕的图象与x轴相交得到两个不同的"中国结〞,该函数的图象与x轴所围成的平面图形中〔含边界〕,一共包含有6个“中国结〞：〔-3, 0〕、〔-2, 0〕、〔 - 1, 0〕〔-1, 1〕、〔0, 0〕、〔1, 0〕.考点：反比例函数综合题4.如图,抛物线〕,= 公+ C的顶点为A〔4,3〕,与轴相交于点3〔0,—5〕,对称轴为直线/,点"是线段A8的中点.〔1〕求抛物线的表达式：〔2〕写出点M的坐标并求直线A3的表达式；〔3〕设动点尸,.分别在抛物线和对称轴I上,当以A,P,Q,例为顶点的四边形是平行四边形时,求.,.两点的坐标.【答案】〔1〕y = --x2+4x-5t〔2〕 A/〔2,-1〕, y = 2x-5：〔3〕点夕、.的坐 2标分别为〔6,1〕或〔2,1〕、〔4,—3〕或〔4』〕.【解析】【分析】〔1〕函数表达式为：〕,= a〔x = 4『+3,将点3坐标代入上式,即可求解：〔2〕 A〔4,3〕、B〔0-5〕,那么点加〔2,-1〕,设直线A8的表达式为：y = ^-5,将点4坐标代入上式,即可求解；〔3〕分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况,分别求解即可. 【详解】解：〔1〕函数表达式为：y = a〔x = 4〕2+3,将点4坐标代入上式并解得：.=2故抛物线的表达式为：y = -l x2+4x-5:乙(2) 4(4,3)、B(0,-5),那么点M(2,-1),设直线A8的表达式为：y = /oc-5,将点A坐标代入上式得：3 =必一5,解得：k = 2,故直线A8的表达式为：y = 2x-5：( i \(3)设点.(4,s)、点P m,——nr +4/H —5 ,①当AM是平行四边形的一条边时,点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M,同样点P；"?,-：〃,+4机一5)向左平移2个单位、向下平移4个单位得到0(4,s),即：团一2 = 4, —nr +4m-5-4 = s , 2解得：m = 6 ♦ s = —3,故点P、.的坐标分别为(6,1)、(4,-3)：②当AM是平行四边形的对角线时,由中点定理得：4+2 = 〃z+4, 3-1 = --//r +4w-5 + 5,2解得：〞1 = 2, 5 = 1 >故点尸、.的坐标分别为(2/)、(4,1)；故点尸、.的坐标分别为(6,1), (4,一3)或(2,1)、(分-3), (2,1)或(4,1).【点睛】此题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的面积计算等,其中(3),要主要分类求解,防止遗漏.5.如图,某足球运发动站在点0处练习射门,将足球从离地面0.5m的A处正对球门踢出 (点A在y轴上),足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y= at2 + 5t+c,足球飞行0.8s时,离地面的高度为3.5m.⑴足球飞行的时间是多少时,足球离地而最高？最大高度是多少？⑵假设足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x = 10t,己知球门的高度为2.44m,如果该运发动正对球门射门时,离球门的水平距离为28m,他能否将球直接射入球门？8【答案】(1)足球飞行的时间是一s时,足球离地而最高,最大高度是4.5m： (2)能.5【解析】(2)把 x=28 代入 x=10t 得 t=2.8,251・•・当 t=2.8 时,y=-a2・8?+5乂2・8令2・25 V2/4, •L . 乙^ 他能将球直接射入球门. 考点：二次函数的应用.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax?+2x+c 与x 轴交于A ( - 1, 0) B (3, 0)两 点,与y 轴交于点C,点D 是该抛物线的顶点.(1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；(2)请在y 轴上找一点M,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P,使以点A, P, C 为顶点,AC 为直角边的三角形 是直角三角形？假设存在,请求出符合条件的点P 的坐标：假设不存在,请说明理由.试题分析：(1)由题意得：函数y=atz+5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 35),于是得0. 5二.到 n,求得抛物线的解析式为:3. 5=0.8 4+5X0. 8+c 、 y=-衰2+514,当t=|时,y 破大=4.5；1(2)把x=28代入x=10t 得t=2.8,当t=2.8时,y=- 竿2.82+5、2.8哈2・25V2.44,于是得 16 2到他能将球直接射入球门.解：(1)由题意得：函数y=a&5t+c 的图象经过(0, 0.5) (0.8, 3.5),"0. 5二c• «, 、3. 5=0. 8 &2+5 X 0. g+c '3=解得：_ 251612・•・抛物线的解析式为：y=・•,y【答案】(1)抛物线解析式为y=-x2+2x+3；直线AC 的解析式为丫=3x+3； (2)点M 的 坐标为(0, 3)：7 20 1013〔3〕符合条件的点P 的坐标为〔或,2〕或〔“,-"〕, 3 93 9【解析】分析：〔1〕设交点式y=a 〔x+1〕 〔x-3〕,展开得到-2a=2,然后求出a 即可得到抛物线解 析式：再确定C 〔0, 3 〕,然后利用待定系数法求直线AC 的解析式：〔2〕利用二次函数的性质确定D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点W,连接DB 咬y 轴于M,如图1,那么B ,〔-3, 0〕,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD 的值最小,那么此时△ BDM 的周长最小,然后求出直线DB ,的解析式即可得到点M 的坐标：〔3〕过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC 的解析式为y=-lx +b,把C 点坐标代入求出b 得到直线PC 的解析式为再解方程组, 1得此时P 点坐标；当过点A 作AC 的垂线交抛物y=--x + 3 I 3线于另一点P 时,利用同样的方法可求出此时P 点坐标. 详解：〔1〕设抛物线解析式为y=a 〔x+1〕〔x-3〕, KP y=ax 2 - 2ax - 3a,,2a=2,解得 a=- 1,・•・抛物线解析式为y= - X 2+2X +3： 当 x=0 时,y= - x 2+2x+3=3,那么 C (0, 3), 设直线AC 的解析式为y=px+q.q = 0把 A ( - 1, 0) , C (0, 3)代入得〈q = 3直线AC 的解析式为y=3x+3；〔2〕 •/ y= - X 2+2X +3= - 〔x- 1〕 2+4, •1•顶点D 的坐标为〔1, 4〕,作B 点关于y 轴的对称点B",连接DB ,交y 轴于M,如图1,那么夕〔-3, 0〕,MB=MB',/. MB+MD=MB /+MD=DB /,此时 MB+MD 的值最小, 而BD 的值不变,・•,此时△ BDM 的周长最小,y=-x 2 +2x + 31 y=- -x+3, 3易得直线DB ,的解析式为y=x+3, 当 x=0 时,y=x+3=3> ・ ・•点M 的坐标为〔0, 3〕；〔3〕存在.过点C 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,如图2,把C 〔0, 3 〕代入得b=3,・ ,・直线PC 的解析式为y=- -x+3,过点A 作AC 的垂线交抛物线于另一点P,直线PC 的解析式可设为y=-点+b, 把A ( -1, 0)代入得1+b=0,解得b=- L 3 3・ •・直线PC 的解析式为y=- ：x- 1点睛：此题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数 的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解 方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短 路径问题：会运用分类讨论的思想解决数学问题.直线PC 的解析式可设为y=- —x+b,3解方程组?y=-x 2+2x + 31 ,解得?y=——x + 33x = 0)=3或,7x =一3 7 20 ,那么此时P 点坐标为〔一,—〕：2.39y =解方程组?y=-x 2+2x + 31 1 y=——x ——33x = -ly = 010x =—3 13那么此时P 点坐标为〔—, 3综上所述,符合条件的点p 的坐标为〔N, 310 T-?>•直线AC 的解析式为y=3x+3.7.如图,直线A8与抛物线C ：),=⑪2+21+.相交于人(—1,0)和点8(2,3)两点.⑴求抛物线.的函数表达式；⑵假设点M 是位于直线A3上方抛物线上的一动点,以M4、/W8为相邻两边作平行四边形 M4N8,当平行四边形M4N8的而积最大时,求此时四边形M4N8的而积S 及点M 的 坐标： ⑶在抛物线C 的对称轴上是否存在定点尸,使抛物线.上任意一点夕到点尸的距离等于到 直线y ="的距离,假设存在,求出定点厂的坐标：假设不存在,请说明理由.41 27 【答案】〔1〕 y =—厂 + 2x + 3 ：〔2〕当 〃 =—,S ZMANB = 2S △ ABM =—,此时2 415 \ :⑶存在.当/A — 时,无论％取任何实数,均有= 理由见解析. \ 4 )【解析】【分析】 (1)利用待定系数法,将A, B 的坐标代入y=ax2+2x+c 即可求得二次函数的解析式； (2)过点M 作MH_Lx 轴于H,交直线AB 于K,求出直线AB 的解析式,设点M (a,- a?+2a+3),那么K (a, a+1),利用函数思想求出MK 的最大值,再求出△ AMB 面积的最大 值,可推出此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标：17(3)如图2,分别过点B, C 作直线y=—的垂线,垂足为N. H,设抛物线对称轴上存在 4点F,使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线y=—的距离,其中F (1, a), 4 连接BF, CF,那么可根据BF=BN, CF=CN 两组等量关系列出关于a 的方程组,解方程组即 可.【详解】(1)由题意把点(-1, 0)、(2, 3)代入 y=ax2+2x+c, .- 2 + c = 0得, ,4a + 4 + c = 3 解得 a=-l, c=3,,此抛物线c 函数表达式为：y=*2+2x+3：〔2〕如图1,过点M 作MHLx 轴于H,交直线AB 于K,MH4 〕>>将点〔・1, 0〕、〔2, 3〕代入y=kx+b中, 一k+b=0得,2y 解得,k=l, b=l,/.Y AB=X+1,设点M (a, -a2+2a+3),那么K (a, a+1), 贝lj MK=-a2+2a+3- (a+1)=-(a- - ) 2+—, 2 41 9根据二次函数的性质可知,当合二彳时,MK有最大长度丁, 2 4S A AMB以大=S A AMK+S A BMK=—MK*AH+ —MK> (x B-x H)2 2=—MK e (XB-XA)21 9=x — x32 4_27-—,8以MA、MB为相邻的两边作平行四边形MANB,当平行四边形MANB的面积最大时,27 27 1 15s 餐大=2S A AMB 4U=2X —=—,M (-, —).(3)存在点F,•/ y=-x2+2x+3=-(x-1) 2+4,「・对称轴为直线x=l.当y=0 时,xi=-l, X2=3,,抛物线与点x轴正半轴交于点C (3, 0),17如图2,分别过点B, C作直线y:一的垂线,垂足为N, H, 4抛物线对称轴上存在点F,使抛物线C上任意一点P到点F的距离等于到直线y=—的距4离,设 F (1, a ),连接BF, CF,IT1 17 5 17那么BF=BN二一-3二一,CF=CH=—, 4 4 4(5、(2-1)2+3—3)2 =由题意可列:(3 — 1)2+/=阴【点睛】此题考查了待定系数法求解析式,还考查了用函数思想求极值等,解题关键是能够判断出当平行四边形MANB的面积最大时,aABM的面积最大,且此时线段MK的长度也最大.8.如图,己知二次函数%=a' + "过(-2, 4) , ( - 4. 4)两点.〔1〕求二次函数力的解析式：〔2〕将为沿x轴翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线及,直线y=m 〔m>0〕交及于M、N 两点,求线段MN的长度〔用含m的代数式表示〕：〔3〕在〔2〕的条件下,力、及交于A、B两点,如果直线y=m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于C、D两点〔C在左侧〕,直线y=-m与力、刃的图象形成的封闭曲线交于E、F两点〔E在左侧〕,求证：四边形CEFD是平行四边形.1yi =_/2_3%【答案】〔1〕2【解析】〔2〕 5 +范〔3〕证实见解析.试题分析：〔1〕根据待定系数法即可解决问题.〔2〕先求出抛物线yz的顶点坐标,再求出其解析式,利用方程组以及根与系数关系即可求出MN.〔3〕用类似〔2〕的方法,分别求出CD、EF即可解决问题.试题解析：⑴・•・二次函数月=°/ + "过〔-2, 4〕 , 〔-4, 4〕两点,4a - 2b = 416a -4b = 4解得:1a=~2=_1 2_ -「.二次函数力的解析式为一寸3X2-3% -# + 3)2 +9,二顶点坐标〔-3, >〕 , ,「将力沿x釉翻折,再向右平移2个单位,得到抛物线〞,9.・・抛物线y2的顶点坐标〔-1, -、〕,•,・抛物线均为1 9y=#+i)2_] 消去y整理得到/ + 2x_8_2m = 0,设打,也是它的两个根,那么"21A〔q+ x2〕-似/2=、阳而千J5：〔3〕由y = my =一/2-3欠,消去y整理得到x +6%+2m = 0,设两个根为打,0那么y =-m1 9______ y =—〔x --CD」"I一亚15〔修+ OF - 4町2«36 -所,由2 2,消去丫得到x2 + 2x-8 + 2m = 0,设两个根为勺,％2,那么EF」X1 - "zlK,dl + 工2〕2 - 4XI%2=«36 - 8m, ... EF=CD, EFII CD,四边形CEFD 是平行四考点：二次函数综合题.9 .抛物避= a/ + M + c,假设a, b, c满足b=a+c,那么称抛物线,=.壮+必+ c为“恒定〞抛物线. 〔1〕求证："恒定"抛物线'=°/ +丘+,必过*轴上的一个定点人；〔2〕"恒定〃抛物线y = -于的顶点为P,与X轴另一个交点为B,是否存在以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形？假设存在,求出抛物线解析式：假设不存在,请说明理由.【答案】〔1〕证实见试题解析：〔2〕 y = \/^2 + 4v-^x + 3-V3 那么=- v取2 + y3.【解析】试题分析：〔1〕由"恒定〞抛物线的定义,即可得出抛物线恒过定点〔-1, 0〕:〔2〕求出抛物线F = W"一小的顶点坐标和B的坐标,由题意得出PAII CQ, PA=CQ：存在两种情况：①作QMXAC于M,那么QM=0P=\3,证实RtA QM〔^ RtA POA. MC=OA=1,得出点Q的坐标,设抛物线的解析式为,=矶" + 2〕2-\/3,把点A坐标代入求出a的值即可：②顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合：证实△0QS4 0PA,得出OQ=OP=\B,得出点Q坐标,设抛物线的解析式为' =以2+«3,把点C坐标代入求出a的值即可.试题解析：〔1〕由“恒定〃抛物线,二仙2 +%+ 4得：b=a+c,即a-b+c=0,二•抛物线y = ax2 + bx + c t当x=-l时,y=0, 恒定〞抛物线,=必+八+〔；必过乂轴上的一个定点 A 〔 - 1, 0〕：〔2〕存在：理由如下：：“恒定"抛物线卜"*丫一道,当尸0时,\8/-、6=0,解得：x=±l, V A ( - 1, 0) , /. B (1, 0):.・x=O 时,y=一\'3,顶点P 的坐标为(0, 一\3),以PA, CQ为边的平行四边形,PA、CQ是对边,「.PAII CQ, PA=CQ, .,.存在两种情况：①如图1所示：作QM_LAC 于M,那么QM=0P=y3, Z QMC=90°=Z POA,在RtA QMC 和RtA POA 中,: CQ=PA, QM=OP,J RtA QMC合RtA POA (HL) , /. MC=OA=1, OM=2, 丁点 A 和点C 是抛物线上的对称点,AM=MC=1, .,.点Q的坐标为(-2, 一\3),设以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a(% + 2)2-«3,把点A(-l, 0)代入得：aS% .•.抛物线的解析式为：丫 = \乃(% + 2)273,即,=\访2 + 4、%+3日②如图2所示：顶点Q在y轴上,此时点C与点B重合,.•.点C坐标为(1, 0),CQII PA, /. Z OQC=Z OPA,在^ OQC 和4 OPA 中,: Z OQC=Z OPA, Z COQ=Z AOP,CQ=PA,OQC2△ OPA (AAS) ,「・0Q=0P=、3,「•点Q 坐标为(0, \§),设以Q为顶点,与X轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线的解析式为y = a%2 + g3,把点C(l, 0)代入得：a=-W, .•.抛物线的解析式为：?=一臼2 + 口；综上所述：存在以Q为顶点,与x轴另一个交点为C的“恒定〞抛物线,使得以PA, CQ为边的四边形是平行四边形,抛物线的解析式为：«3/ + 4\,做+3\3,或y =-%即 + 0考点：1.二次函数综合题：2.压轴题：3.新定义：4.存在型：5.分类讨论.3 910 .二次函数y=—-x2+bx+c的图象经过A (0, 3) , B ( - 4,--)两点.(1)求b, c的值.3(2)二次函数y= -「xZ+bx+c的图象与x轴是否有公共点,求公共点的坐标：假设没有,请16说明情况.【答案】⑴j 8 : 〔2〕公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕. c = 3【解析】【分析】〔1〕把点A、B的坐标分别代入函数解析式求得b、c的值；〔2〕利用根的判别式进行判断该函数图象是否与x轴有交点,由题意得到方程-3 o—X2+-X+3=0,通过解该方程求得x的值即为抛物线与x轴交点横坐标.16 89 3【详解】(1)把 A (0, 3) , B ( - 4,--)分别代入y=- - x2+bx+c,2 16c = 3得4 39------ x l6-4〃 + c =——16 26 = ?解得彳8 ；[c = 33 9〔2〕由〔1〕可得,该抛物线解析式为：y=- -x2+-x+3, 1 o 83 225-4x ( - -- ) x3= >0»16 6483所以二次函数y=- - x2+bx+c的图象与x轴有公共点, 163 9.「- -x2+-x+3=0 的解为：x产・2, X2=8,16 8公共点的坐标是〔-2, 0〕或〔8, 0〕.【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征.注意抛物线解析式与一元二次方程间的转化关系.。
2020北京中考数学二次函数综合样题库
2020北京中考数学二次函数综合样题库01.在平面直角坐标系 $xOy$ 中，给定抛物线 $y=x^2-4x+3$，它与 $x$ 轴交于点 $A$、$B$（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$。
1）求直线 $BC$ 的表达式；2）设垂直于 $y$ 轴的直线 $l$ 与抛物线交于点$P(x_1,y_1)$、$Q(x_2,y_2)$，与直线 $BC$ 交于点$N(x_3,y_3)$，且 $x_1<x_2<x_3$，结合函数的图像，求$x_1+x_2+x_3$ 的取值范围。
02.在平面直角坐标系 $xOy$ 中，给定抛物线 $y=x^2-2x+a-3$，当 $a=3$ 时，抛物线与 $y$ 轴交于点 $A$，将点$A$ 向右平移 $4$ 个单位长度，得到点 $B$。
1）求点 $B$ 的坐标；2）将抛物线在直线 $y=a$ 上方的部分沿直线 $y=a$ 翻折，图像的其他部分保持不变，得到一个新的图像，记为图形$M$，若图形 $M$ 与线段 $AB$ 恰有两个公共点，结合函数的图像，求 $a$ 的取值范围。
03.在平面直角坐标系 $xOy$ 中，给定抛物线 $y=ax^2-4ax+m$ （$a\neq 0$），它与 $x$ 轴的交点为 $A$、$B$，（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），且 $AB=2$。
1）求抛物线的对称轴及 $m$ 的值（用含字母 $a$ 的代数式表示）；2）若抛物线 $y=ax^2-4ax+m$ （$a\neq 0$）与 $y$ 轴的交点在 $(-1,-1)$ 和 $(1,1)$ 之间，求 $a$ 的取值范围；3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点。
若抛物线在点$A$、$B$ 之间的部分与线段 $AB$ 所围成的区域内（包括边界）恰有 $5$ 个整点，结合函数的图像，直接写出 $a$ 的取值范围。
04.在平面直角坐标系 $xOy$ 中，给定抛物线 $y=x^2+2x-a+1$，它与 $y$ 轴交于点 $C$，与 $x$ 轴交于 $A$、$B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 左侧），且点 $A$ 的横坐标为 $-1$。
中考数学专题复习二次函数综合(四)
中考数学专题复习二次函数综合（四）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分 一、解答题1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:C y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．点B 的坐标为()3,0，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后，恰好经过B 、C 两点．（1）求k 的值和点C 的坐标；（2）求抛物线1C 的表达式及顶点D 的坐标；（3）已知点E 是点D 关于原点的对称点，若抛物线22:2(0)C y ax a =-≠与线段AE 恰有一个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax ax a =-≠与x 轴交于点,A B （A 在B 的左侧）．（1）求点,A B 的坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点(2,2),(22,5)P Q a a +，若抛物线与线段PQ 有公共点，请结合函数图象，求a 的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,4)，点B 的坐标为(6,4)，抛物线252y x x a =-+-的顶点为C ．（1）若抛物线经过点B 时，求顶点C 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围；（3）若满足不等式2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，直接写出实数a 的值．4．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y ax ax c =++与x 轴交于点,A B ，且4AB =．抛物线与y 轴交于点C ，将点C 向上移动1个单位得到点D ．（1）求抛物线对称轴；（2）求点D 纵坐标（用含有a 的代数式表示）；5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A．(1)求点A的坐标（用含a的式子表示）；(2)求抛物线与x轴的交点坐标；(3)已知点P(a，0)，Q(0，a﹣2)，如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．y x与抛6．在平面直角坐标系xOy中，抛物线22y x ax a的顶点为A，直线32=-+物线交于点,B C(点B在点C的左侧)．（1）求点A坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段BC及抛物线在,B C两点之间的部分围成的封闭区域(不含边界)记为W．①当0a=时，结合函数图象，直接写出区域W内的整点个数；①如果区域W内有2个整点，请求出a的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线221(0)y mx mx m =-->与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴交于C ．（1）求抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．拋物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域为图形W （不含边界）．①当1m =时，求图形W 内的整点个数；①若图形W 内有2个整数点，求m 的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,，与y 轴交于点B ，将其图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ．（1）求点B 的坐标及该函数的表达式；（2）若二次函数22y x x a =++的图象与F 只有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．9．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线()()231210y mx m x m m =--+-≠．(1)当m =3时，求抛物线的顶点坐标；(2)已知点A (1，2)．试说明抛物线总经过点A ；(3)已知点B (0，2)，将点B 向右平移3个单位长度，得到点C ，若抛物线与线段BC 只有一个公共点，求m 的取值范围．10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax a x c =++与y 轴交于点(0,2)．（1）求c 的值；（2）当2a =时，求抛物线顶点的坐标；（3）已知点(2,0),(1,0)A B -，若抛物线22y ax a x c =++与线段AB 有两个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．11．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2+=+y x bx c 与x 轴交于点A ，B （A 在B 的左侧），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，且OB=2OD ．（1）当2b =时，①写出抛物线的对称轴；①求抛物线的表达式；（2）存在垂直于x 轴的直线分别与直线l ：22b y x +=+和抛物线交于点P ，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，结合函数图象，求b 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23(0)y ax bx a a =++≠与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）．直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(,1)D m ．（1）求抛物线的对称轴；（2）直接写出点C 的坐标；（3）点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，过点M 作x 轴的垂线l 与直线AC 交于点N ，若4MN ≥，结合函数图象，求a 的取值范围．13．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y x mx =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 左侧），（1）若抛物线的对称轴是直线x =1，求出点A 和点B 的坐标，并画出此时函数的图象； （2）当已知点P （m ，2），Q (－m ，2m －1)．若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向左平移b 个单位，再向上平移23b -个单位，得到点B ．（1）求点B 的坐标（用含b 的式子表示）；（2）当抛物线经过点()0,2，且0b >时，求抛物线的表达式；（3）若抛物线与线段AB 恰有一个公共点，结合图象，直接写出b 的取值范围．参考答案：1．（1）1k =-，(0,3)C ；（2）243y x x =-+，()2,1-；（3）342a ≤< 【解析】【分析】（1）将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，并且经过点()3,0B ，代入求得k 值，且C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，3y kx =+也经过C 点，代入可求出C 点坐标；（2）已知B 、C 两点的坐标，根据待定系数法即可求出抛物线1C 的解析式，再根据顶点式则可求出顶点坐标；（3）将A 、E 两点的坐标分别代入抛物线2C 的解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可求出抛物线2C 与线段AE 有一个公共点时a 的范围．【详解】（1）解：将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后得到3y kx =+，①直线3y kx =+经过点()3,0B ，①330k +=，则1k =-．C 点为抛物线1C 与y 轴交点，则C 点坐标为()0,c ，且3y x =-+经过点(0,)C c ，代入得：3c =，则C 点坐标为()0,3．（2）解：抛物线2y x bx c =++经过点()3,0B 和点()0,3C ，①23y x bx =++，①9330b ++=， 4b =-，①抛物线1C 的函数表达式为243y x x =-+，①2(2)1y x =--，①顶点D 的坐标为()2,1-．（3）解：①点E 是点D 关于原点的对称点，①点E 的坐标为()2,1-．当22y ax =-经过点()2,1E -时，34a =，则2324y x =-， 当22y ax =-经过点1,0A 时，2a =，则222y x =-，结合下面图象可知a 的取值范围是342a ≤<．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的解析式和图像等知识点，熟练掌握函数的性质、图象及公式是解题的关键．2．（1）(0,0),(4,0)A B ，2x =；（2）32a ≥，或102a -≤<，或32a ≤- 【解析】【分析】（1）与x 轴的交点纵坐标为0，然后计算0y =时的x 值即可求出坐标;根据抛物线的对称轴为2b x a =-求解即可； （2）由抛物线的顶点坐标(2,4)a -和抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a -．分a ＞0，a ＜0两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）24(4)y ax ax ax x =-=-，当y=0时，(4)=0-ax x①120,4x x ==①抛物线与x 轴交于点(0,0),(4,0)A B ．抛物线24y ax ax=-对称轴为直线：422axa-=-=．（2）()22244(2)4y ax ax a x x a x a=-=-=--，抛物线的顶点坐标为：(2,4)a-．令5y a=，得245=0--ax ax a，(5)(1)0a x x-+=，解得1x=-，或5x=，①当5y a=时，抛物线上两点(1,5),(5,5)M a N a-．①当0a>时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，且(22,5)Q a a+位于点P的右侧，如图1，当点N位于点Q左侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时225+≥a，解得32a≥．①当0a<时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，点(22,5)Q a a+位于点P的左侧，（i）如图2，当顶点位于点P下方时，抛物线与线段PQ有公共点，此时42-≤a，解得12a≥-．（ii）如图3，当顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧时，抛物线与线段PQ有公共点，此时221+≤-a，解得32a≤-．综上，a的取值范围是32a≥，或12a-≤<，或32a≤-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．3．（1）533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）a 的取值范围是06a <或a=494；（3）8a =． 【解析】【分析】（1）将B 点坐标代入抛物线即可求出a 的值，从而求出抛物线的解析式，再根据顶点坐标公式即可求出顶点坐标；（2）讲A 点和B 点的坐标分别代入抛物线解析式即可求出相应的a 值，通过观察图象，上下移动图象即可知道抛物线与线段AB 有交点时a 的范围；（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，252=0x x a -+-，代入即可求出a 的值．【详解】解：（1）依据题意，将得点B 的坐标(6,4)代入抛物线得：436302a =-+-，解得0a =．此时，252y x x =--．所以顶点C 的坐标为533,24⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）当抛物线过(0,4)A 时，6a =，此时，254y x x =-+．当抛物线过(6,4)B 时，0a =，此时，252y x x =--．当抛物线顶点在线段AB 上时，a=494 .结合下面图象可知，a 的取值范围是06a <或a=494．（3）抛物线252y x x a =-+-的对称轴为5=2x ，抛物线开口向上，当52x >时，y 越来越大，则2520x x a -+-≤的x 的最大值为3，可知，当=3x 时，不等式有最大值且最大值为0，则 252=0x x a -+-，代入得23532=0a -⨯+-，解得8a =．则实数a 的值为8．【点睛】 本题考查了二次函数的解析式、图象及二次函数与一元二次不等式的相关知识点，熟练掌握公式以及灵活观察图象是解题的关键．4．（1）对称轴1x =-；（2）31D y a =-+；（3）当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点．【解析】【分析】（1）直接根据二次函数的对称轴2b x a =-计算即可； （2）根据4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B ，把(1,0)代入22y ax ax c =++得20a a c ++=，则有3c a =-，可得C 点坐标为(0,3)a -，再根据平移，可得D 纵坐标； （3）分两种情况：当0a >和当0a <对抛物线的图像进行讨论即可．【详解】（1）抛物线22y ax ax c =++的对称轴为：2122b a x a a=-=-=-（2）4AB =，对称轴1x =-可得(3,0)A -，(1,0)B把(1,0)代入22y axax c =++得：20a a c ++=① 3c a =-①C 点坐标为(0,3)a -，(0,31)D a ∴-+，31D y a =-+（3）如图示，①当0a >时 将点(4,4)P -代入抛物线223y ax ax a =+-得：41683a a a =--，45a = ∴结合函数图象，可得当45a ≥时，抛物线与线段PD 只有一个交点； ①如下图示，当0a <时，抛物线的顶点为(1,4)a --，结合函数图象，可得当44a -=时，抛物线与线段PD 只有一个交点，①1a =- ，综上所述，当45a ≥或1a =-时，抛物线与线段PD 只有一个交点． 【点睛】 此题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的对称轴，平移和二次函数图像的性质，熟悉相关性质是解题得关键．5．(1)A 的坐标为(0，3a )(2)抛物线与x 轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)(3)﹣1≤a ＜0或1≤a ＜3【解析】【分析】（1）计算x =0时，y =3a ，即可得到点A 的坐标；（2）令y ＝0得ax 2﹣4ax +3a ＝0，解方程即可；（3）分别令抛物线过点Q（0，a﹣2），抛物线过点P（a，0）讨论抛物线与线段PQ恰有一个公共点的情况，得到a的取值范围．(1)解：①抛物线y＝ax2﹣4ax+3a与y轴交于点A，当x=0时，y=3a，①A的坐标为（0，3a）；(2)解：当y＝0时．即ax2﹣4ax+3a＝0，①a（x-1）（x-3）=0，解得：x1＝1，x2＝3，①抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）；(3)解：当抛物线过点Q（0，a﹣2）时，a＝﹣1，①P（﹣1，0），此时，抛物线与线段PQ有一个公共点．当抛物线过点P（a，0）时，a＝1或a＝3（不合题意舍去），此时，Q（0，﹣1），抛物线与线段PQ有一个公共点；综上所述，当﹣1≤a＜0或1≤a＜3时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．【点睛】此题考查了抛物线的性质，求抛物线与坐标轴的交点坐标，解一元二次方程，图象交点问题，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键．6．（1）A（a，0）；（2）①4；①21a-<<-【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点坐标求法求解即可；（2）①画出图像，根据图像以及整点的概念求解即可；①由①推出a＜0，分别求出有2个整点和3个整点时a的取值，再得出取值范围.【详解】解：（1）①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a=-+=-，①可得顶点坐标为：A（a，0）；（2）①①a=0，①抛物线表达式为：2y x，令23x x=+，解得：x1=1132-，x2=1132+，①113212--<<-，113232+<<，①区域W内的整点有（0，1），（0，2），（1，2），（1，3）共4个整点；①由①可知当a=0时有4个整点，当a＞0时，对称轴在y轴右侧，此时有更多整点，①a＜0，①抛物线的解析式为：()2222y x ax a x a =-+=-，①抛物线的顶点在x 轴，开口向上，当抛物线在直线y=x+3左侧且两者相切时，没有整点，当抛物线向右平移时，第一个整点为（-1，1），代入抛物线，()211a =--， 解得：a=-2或0（舍），第二个整点为（0，2），代入抛物线，()220a =-， 解得：a=2（舍）或2-，第三个整点为（0，1），代入抛物线，()210a =-， 解得：a=1（舍）或-1，综上：a 的取值范围是：21a -<<-.【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．7．（1）抛物线的对称轴为1x =，(0,1)C -；（2）①1个；①12m <≤．【解析】【分析】（1）先根据二次函数的对称轴2b x a =-可得其对称轴，再令0x =，求出y 的值，从而可得出点C 坐标；（2）①先得出抛物线的解析式，再画出图象，结合图象和整点的定义即可得；①先将二次函数的解析式化为顶点式，求出其顶点坐标，再结合图象，找出两个临界位置，分别求出m 的值，由此即可得出答案．【详解】（1）抛物线221y mx mx =--的对称轴为212m x m-=-= 令0x =得：1y =-则点C 坐标为(0,1)C -；（2）①当1m =时2221(1)2y x x x =--=--，画出其图象如下所示：结合图象和整点的定义可得：图形W内的整点只有1个，即点(1,1)-；①将抛物线221y mx mx =--化为顶点式2(1)1y m x m =---则抛物线的顶点坐标为(1,1)m --，且图象经过定点(0,1)C -结合图象可知，若图形W 内的整点有2个，则这两个整点只能是(1,1),(1,2)--因此有两个临界点：抛物线顶点为()1,2-和抛物线顶点为()1,3-当抛物线顶点为()1,2-时，12m --=-，解得1m = 当抛物线顶点为()1,3-时，13m --=-，解得2m =则m 的取值范围为12m <≤．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，较难的是题（2）①，掌握图象法，正确找出两个临界位置是解题关键．8．（1）点B 的坐标为()0,3． 223y x x =--+． （2）33a -≤<或5a =．【解析】【分析】（1）令x=0可求出y 的值，从而得到点B 的坐标；把点A 坐标代入223y mx mx =++求出m 的值即可得到结论；（2）画出函数图象，再利用图象确定a 的取值范围即可.【详解】（1）①223y mx mx =++的图象与y 轴交于点B ，①点B 的坐标为()0,3．①223y mx mx =++的图象与x 轴交于点()30A -,， ①将()30A -,代入223y mx mx =++可得9630m m -+=． ①1m =-．①该函数的表达式为223y x x =--+．（2）①将二次函数223y mx mx =++的图象在点A ，B 之间的部分（含A ，B 两点）记为F ，①F 的端点为A ，B ，并经过抛物线223y mx mx =++的顶点C （其中C 点坐标为()1,4-）． ①可画F 如图1所示．①二次函数22y x x a=++的图象的对称轴为1x=-，且与F只有一个公共点，①可分别把A，B，C的坐标代入解析式22y x x a=++中．①可得三个a值分别为3-，3，5．画示意图如图2所示．①结合函数图象可知：二次函数22y x x a=++的图象与F只有一个公共点时，a的取值范围是33a-≤<或5a=．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，其中（2）是本题的难点，主要通过作图的方式，通过数形结合的方法即可解决问题．9．(1)(1，2)；(2)详见解析；(3)m =3或0<m <32或-3<m <0． 【解析】【分析】(1)把m =3代入解析式，化成顶点式，即可求得抛物线的顶点坐标；(2)把x =1代入解析式，y 总等于2，与m 无关，即可判断抛物线总经过点A (1，2)；(3)根据题意可以得到点C 的坐标，分顶点在线段BC 上、抛物线过点B (0，2)、抛物线过点C (3，2)时三种情况讨论，画出抛物线的图象，然后根据图象和题意，即可得到a 的取值范围．【详解】(1)把m =3代入()23121y mx m x m =--+-中，得：223653(1)2y x x x =-+=-+，①抛物线的顶点坐标是(1，2)； (2)当x =1时，3(1)2133212y m m m m m m =--+-=-++-=，①点A (1，2)，①抛物线总经过点A ；(3)①点B (0，2)，由平移得C (3，2)．① 当顶点在线段BC 上，抛物线与线段BC 只有一个公共点．由(1)知，抛物线的顶点A (1，2)在线段BC 上，此时，m =3；① 当抛物线过点B (0，2)时，将点B (0，2)代入抛物线表达式，得：212m -=，①m =32>0， 此时抛物线开口向上(如图1)，①当0<m<32时，抛物线与线段BC只有一个公共点；①当抛物线过点C(3，2)时，将点C(3，2)代入抛物线表达式，得：()991212m m m--+-=，①30m=-<，此时抛物线开口向下(如图2)，①当30m-<<时，抛物线与线段BC只有一个公共点，综上，m的取值范围是m=3或0<m<32或-3<m<0．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、坐标与图形变换-平移，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．10．（1）2；（2）顶点坐标为(1,0)-；（3）212a<+【分析】（1）把(0,2)代入解析式可得答案；（2）把2a=代入解析式，利用顶点坐标公式可得答案；（3）分情况讨论，由（2）知：抛物线与线段只有一个交点，再计算当抛物线过(2,0)-时a的值，从而根据图像可得结论．【详解】解：（1）抛物线22y ax a x c=++与y轴交于点(0,2)，2c∴=．（2）当2a=时，抛物线为2242y x x=++．∴顶点坐标为(1,0)-．（3）当0a>时，①当2a=时，如图1，抛物线与线段AB只有一个公共点．①当12a=+时，如图2，抛物线与线段AB有两个公共点．结合函数图象可得212a<+．当0a<时，抛物线与线段AB只有一个或没有公共点．综上所述，a的取值范围是212a<+．【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，根据交点的情况判断系数的取值范围，掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．11．（1）①1x=-；①228=+-y x x；（2）2b<-或23b>．【解析】（1）①由二次函数的对称轴方程可得出答案；①根据题意求出B 点坐标为（2，0），代入抛物线解析式2+=+y x bx c 可得出答案；（2）求出E （-b 22+，0），点D 的坐标为（-2b ，0）．①当b ＞0时，得出点A 的坐标为（-2b ，0），点B 的坐标为（b ，0），则-2b ＜-b 22+，解不等式即可；①当b ＜0时，点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（-b ，0），则0＜-b 22+，解出b ＜-2． 【详解】解：（1）当2b =时，2y x bx c =++化为22y x x c =++．①21221b x a =-=-=-⨯． ①①抛物线的对称轴为直线1x =-，①点D 的坐标为（-1，0），OD=1．①OB=2OD ，① OB=2．①点A ，点B 关于直线1x =-对称，①点B 在点D 的右侧．① 点B 的坐标为（2，0）．①抛物线22y x x c =++与x 轴交于点B （2，0），① 440c ++=．解得8c =-．①抛物线的表达式为228=+-y x x ．（2）设直线22b y x +=+与x 轴交点为点E ， 当y=0时，202+=+b x ① 2=-2+b x ① E （22b +-，0）． 抛物线的对称轴为2b x =-，①点D的坐标为（2b-，0）．①当0b>时，2bOD=．①OB=2OD，① OB=b．① 点A的坐标为（2b-，0），点B的坐标为（b，0）．当2b-<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q，且点P，Q均在x轴下方，解得23b>．①当0b<时，0b->．①2bOD=-．①OB=2OD，① OB=-b．①抛物线2+=+y x bx c与x轴交于点A，B，且A在B的左侧，① 点A的坐标为（0，0），点B的坐标为（-b，0）．当0<22b+-时，存在垂直于x轴的直线分别与直线l：22by x+=+和抛物线交于点P，Q ，且点P ，Q 均在x 轴下方，解得b<-2．综上，b 的取值范围是2b <-或23b >． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质及数形结合思想是解题的关键．12．（1）抛物线的对称轴为直线2x =；（2）点C 的坐标为()3,0；（3）a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【解析】【分析】（1）将点(,1)D m 代入3y x =-+，求得m ，即为对称轴；（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =-，代入23(0)y ax bx a a =++≠，令0y =，可解得C 点坐标； （3）表示出点A ，点M 的坐标，根据//MN y 轴，得EN EG OA OC=，表示出EN ，进而得MN 长度表示，用4MN ≥，解出a 的取值范围即可．【详解】 （1）直线3y x =-+与抛物线的对称轴交于点(),1D m ，2m ∴=．∴抛物线的对称轴为直线2x =．（2）由（1）知对称轴2m =，即22b a-=，得4b a =- ①243(0)y ax ax a a =-+≠，令0y =，则2430ax ax a -+=，即(3)(1)0a x x --=解得123,1x x ==由于点B 在点C 左侧①点C 的坐标为()3,0．（3）抛物线23y ax bx a =++与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为()0,3a ．点M 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点M 的坐标为()4,3a ．①当0a >时，如图1．//MN y 轴，EN EG OA OC ∴=，即133EN a =． EN a ∴=．①34MN a a a =+=若4MN ≥，即44a ≥，得1a ≥．①当0a <时，如图2．同理可得|3|||4MN a a a =+=-若4MN ≥，即44a -≥，得1a ≤-．综上所述，a 的取值范围是1a ≥或1a ≤-．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，熟练掌握对称轴的表示与计算，函数图象与x 轴交点的计算，及平行于y 轴的线段长度的表示，及一元一次不等式的计算是解题的关键． 13．（1）点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，图像见解析；（2）m ≤－2 或m ≥1【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线x =1可得2(1)m --＝1，求出m=2，得2y x 2x 3=-++，求出与x 轴的交点坐标，根据点A 在点B 左侧即可求得点A ，点B 的坐标；（2）根据点Q 在点D 上方或与点D 重合时，抛物线与线段PQ 恰有一个公共点得22123m m -≥-+，结合图象求解即可．【详解】（1）①抛物线的对称轴为：x ＝2b a-＝2(1)m --＝1 ①m ＝2①抛物线为：2y x 2x 3=-++将y ＝0代入，得2023x x =-++解得：1x ＝－1，2x ＝3，①点A 在点B 左侧①点A 坐标为(－1，0)，点B 坐标为(3，0)，（2）m ≤－2 或m ≥1将x m =代入23y x mx =-++，得3y =①抛物线过定点C （m ，3）①点P （m ，2）①点P 在点C 下方，如图，将x m=-代入23y x mx=-++，得223y m=-+，则2(23)D m m--+，①点Q在点D上方或与点D重合时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点①22123m m-≥-+整理得220m m+-≥设22y m m=+-，画图象如图：当y=0时，22=0m m+-，解得，1=2m-，2=1m，①抛物线22y m m=+-与x轴的交点坐标为（-2，0），（1，0）①当2m≤-或m1≥时，220m m+-≥所以，抛物线与线段PQ恰有一个公共点，m的取值范围是2m≤-或m1≥．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．14．（1）(0，3-b 2)；（2）222y x x =-++；（3）-1≤b≤1【解析】【分析】（1）先求出点A 坐标，再根据平移规律即可求出点B 坐标；（2）把（0，2）代入2221y x bx b =-+++，结合b>0即可求出b ，问题得解；（3）把B 坐标代入抛物线解析式，求出b ，分b ＞1，b=1，-1＜b ＜1，b=-1，b ＜-1，画出函数图象，即可求解．【详解】解：(1)由题意得抛物线2221y x bx b =-+++的对称轴为22b x b =-=-， ①点A 坐标为（b ，0），①点B 坐标为（0，3-b 2）(2)把（0，2）代入2221y x bx b =-+++中，解得b=±1.①b>0，①b=1.①抛物线的表达式：222y x x =-++；(3)当抛物线过点B 时，抛物线AB 有一个公共点，①221=3b b +-①=1b ±，如图：当b ＞1时，抛物线与线段AB 无交点；当b=1时，抛物线与线段AB 有一个交点；当-1＜b＜1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b=-1时，抛物线与线段AB有一个交点；当b＜-1时，抛物线与线段AB无交点．①若抛物线与线段AB恰有一个公共点，则-1≤b≤1．【点睛】本题考查了含参数的函数解析式，难度较大，解第（3）步关键是根据题意确定关键点取值，再结合图象分类讨论．答案第24页，共24页。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题-附带答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题-附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知函数y ={(x −1)2−1(x ≤3)(x −5)2−(x >3)，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为A ．0B ．1C ．2D ．33．已知二次函数y =ax 2−4ax −5a +1(a >0)下列结论正确是( )①已知点M(4，y 1)，点N(−2，y 2)在二次函数的图象上，则y 1>y 2；②该图象一定过定点(5，1)和(−1，1)；③直线y =x −1与抛物线y =ax 2−4ax −5a +1一定存在两个交点；④当−3≤x ≤1时y 的最小值是a ，则a =110； A ．①④B ．②③C ．②④D ．①②③④4．如图，二次函数 y =ax 2+bx +c 的最大值为3，一元二次方程 ax 2+bx +c −m =0 有实数根，则 m 的取值范围是（ ）A ．m≥3B ．m≥-3C ．m≤3D ．m≤-35．二次函数y =−(x −b)2+4b +1图象与一次函数y =−x +5(−1≤x ≤5)只有一交点，则b的值为（）A．b=0.75B．b=2或b=12或b=0.75 C．2<b≤12D．2<b≤12或b=0.756．在平面直角坐标系中直线y=mx+n与x轴、y轴分别交于A(−10，0)、B(0，5)，已知抛物线y=ax2+bx经过点A，且顶点C在直线y=mx+n的上方，则a的取值范围是（）．A．a<−0.1B．a>−0.1且a≠0C．a<−0.1且a≠0D．a>0.17．函数y=mx+m和函数y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．8．反比例函数y=k x(k≠0)与二次函数y=2x2+kx-k的图象可能是() A．B．C．D．9．如图，点A是二次函数y=√3x2图象上的一点，且位于第一象限，点B是直线y=−√32x上一点，点B′与点B关于原点对称，连结AB，AB′，若△ABB′为等边三角形，则点A的坐标是（）A．( 13，19√3)B．( 23，49√3)C．(1，√3)D．( 43，169√3)10．两位同学在足球场上玩游戏，两人的运动路线如图1所示，其中AC＝DB，小王从点A出发沿线段AB运动到点B，小林从点C出发，以相同的速度沿△O逆时针运动一周回到点C，两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点C 的距离y与时间x（单位：秒）的对应关系如图2所示，结合图象分析以下结论：①小王的运动路程比小林的长②两人分别在1.09秒和7.49秒的时刻相遇③当小王运动到点D的时候，小林已经过了点D④在4.84秒时两人的距离正好等于△O的半径上述说法正确的个数的是（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．若y＝kx2﹣（2k﹣3）x+k﹣1是y关于x的二次函数，且函数值恒大于0，则k的取值范围是（）A．k＞0B．k＞89C．k＞98D．0＜k＜9812．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+n与C1、C2共有3个不同的交点，则n的取值范围是（）A．−2＜n＜18B．−3＜n＜−74C．−3＜n＜−2D．−3＜n＜−158二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(−1，p)，B(2，q)两点，则不等式ax2+mx+c>n的解集是．14．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2,4)，B(1,1)，则关于x的方程ax2−bx−c=0的解为.15．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y= 12x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是．16．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−2，4)，B(1，1)，则方程ax2=bx+c的解是．17．如图，在平面直角坐标系中抛物线y= 12x−212x与直线y=12x+32交于A、B，直线AB交于y轴于点C，点P为线段OB上一个动点（不与点O、B重合），当△OPC为等腰三角形时点P的坐标：．18．如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(−3,4)，B(2,1)，则方程ax2=bx+c的解是.三、综合题(共6题；共68分)19．抛物线y=ax2与直线y=2x−3交于点A(1，b)．（1）求a，b的值；（2）求抛物线y=ax2与直线y=−2的两个交点B，C的坐标（点B在点C右侧）．=−25x2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）20．如图，二次函数y1和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数y2=mx+n的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D.（1）求二次函数的解析式y1和一次函数的解析式y2；（2）求点D的坐标；（3）结合图象，请直接写出y1≤y2时x的取值范围：. 21．2020年，新型冠状病毒肆虐，给人们的生活带来许多不便，网络销售成为这个时期最重要的一种销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店，销售当地农产品.其中一种当地特产在网上试销售，其成本为每千克2元.公司在试销售期间，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中2＜x≤10）.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）销售单价x为多少元时每天的销售利润最大？最大利润是多少元？22．已知关于x的二次函数y=x2−2ax+a2+2a．（1）当a=1时求已知二次函数对应的抛物线的顶点和对称轴；（2）当a=2时直线y=2x与该抛物线相交，求抛物线在这条直线上所截线段的长度；（3）若抛物线y=x2−2ax+a2+2a与直线x=4交于点A，求点A到x轴的最小值．23．设a，b是任意两个实数，用min{a，b}表示a，b两数中较小者，例如：min{-1，-1}=-1，min{1，2}=1，min{4，-3}=-3，参照上面的材料，解答下列问题：（1）min{-3，2}=，min{-1，-2}=；（2）若min{3x+1，-x+2}=-x+2，求x的取值范围；（3）求函数y=-x2-2x+4与y=-x-2的图象的交点坐标，函数y=-x2-2x+4的图象如图所示，请你在图中作出直线y=-x-2，并根据图象直接写出min{-x2-2x+4，-x-2}的最大值。
北师大中考数学总复习《二次函数与几何综合类存在性问题》课件
二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综合在
一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把“数”与 “形”结合起来，互相渗透．存在探索型问题是指在给定条件 下，判断某种数学现象是否存在、某个结论是否出现的问 题．解决这类问题的一般思路是先假设结论的某一方面存在，
2
(3)过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 Q，交 OB 于点 F，设 P(x， x2－2x－3)．由 x2－2x－3＝0 得点 A 的坐标为(－1，0)．∵B 点的坐 标为(3，0)，C 点的坐标为(0，－3)，∴直线 BC 的解析式为：y＝x－ 2 3，∴Q 点的坐标为(x，x－3)，∴AB＝4，CO＝3，BO＝3，PQ＝－x ＋ 1 1 1 1 3x.∴S 四边形 ABPC＝S△ABC＋S△BPQ＋S△CPQ＝ AB² CO＋ PQ² BF＋ PQ² FO＝ AB² CO 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 ＋ PQ²(BF＋FO)＝ AB²CO＋ PQ²BO＝ ³4³3＋ (－x ＋3x)³3＝ 2 2 2 2 2 3 3 2 9 3 2 75 － x ＋ x＋6＝－ x－ ＋ . 2 2 2 2 8 3 ∴当 x ＝ 时，四边形 ABPC 的面积最大．此时 P 点的推出矛盾，即可否定假设；
若推出合理结论，则可肯定假设．
探究一
二次函数与三角形的结合
例1 [2013²重庆] 如图42－1，对称轴为直线x＝－1的抛 物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A 的坐标为(－3，0)． (1)求点B的坐标； (2)已知a＝1，C为抛物线与y轴的交点． ①若点P在抛物线上，且S△POC＝4S△BOC， 求点P的坐标； ②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x 轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值． 图42－1
北京中考数学二次函数综合题难题压轴题解析汇总
北京中考数学----二次函数综合题24、（2007•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过P（，5），A（0，2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标．考点：二次函数综合题。
专题：代数综合题。
分析：（1）把P，A坐标代入抛物线解析式即可．（2）先设出平移后的直线l的解析式，然后根据（1）的抛物线的解析式求出C点的坐标，然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式．（3）本题关键是找出所求点的位置，根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等，因此这类点应该有4个，均在△OBC的内角平分线上（△OBC外有3个，三条角平分线的交点是一个），可据此来求此点的坐标．解答：解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为：．（2）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），依题意，可得C（，﹣1），且直线过原点，设直线的解析式为y=kx，则，解得，所以直线l的解析式为．（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC为等边三角形．易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点，作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点，反向延长线交x轴于M4点，可得点M1，M2，M3，M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点．可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：①OM1==×2=，所以点M1的坐标为（，0）．②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0，2），③点M3与点A关于x轴对称，所以点M3的坐标为（0，﹣2），④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，M4N=，且ON=M4N，所以点M4的坐标为（，0）综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：M1（，0）、M2（0，2）、M3（0，﹣2）、M4（，0）．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，一次函数的平移以及角平分线定理的应用等知识点．综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法24、（2008•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．考点：二次函数综合题。
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案
中考数学总复习《二次函数与一次函数的综合应用》练习题附带答案一、单选题(共12题；共24分)1．如图是二次函数 y 1=ax 2+bx +c(a ≠0) 和一次函数 y 2=mx +n(m ≠0) 的图象.则下列结论正确的是（ ）A ．若点 M(−2，d 1)，N(12，d 2)，P(2，d 3) 在二次函数图象上，则 d 1<d 2<d 3B ．当 x <−12或 x >3 时C ．2a −b =0D ．当 x =k 2+2 （ k 为实数）时2．在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线的图象如图所示，当y 1≠y 2时，则取y 1，y 2中的较大值记为N ；当y 1=y 2时，则N=y 1=y 2．则下列说法：①当0＜x ＜2时，则N=y 1；②N 随x 的增大而增大的取值范围是x ＜0；③取y 1，y 2中的较小值记为M ，则使得M 大于4的x 值不存在；④若N=2，则x=2﹣√2或x=1．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．已知抛物线y 1= 14（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）交x 轴于A （x 1，0）B （x 2，0）两点，且点A 在点B 的左边，直线y 2=2x+t 经过点A ．若函数y=y 1+y 2的图象与x 轴只有一个公共点时，则则线段AB 的长为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．无法确定4．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 和直线y ＝kx +b 都经过点（﹣1，0），抛物线的对称轴为x ＝1，那么下列说法正确的是（ ）A ．ac ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．k ＝2a +cD ．x ＝4是ax 2+（b ﹣k ）x +c ＜b 的解5．直线y=ax ﹣6与抛物线y=x 2﹣4x+3只有一个交点，则a 的值为（ ）A ．a=2B ．a=10C ．a=2或a=﹣10D ．a=2或a=106．如图是函数y ＝x 2+bx+c 与y ＝x 的图象，有下列结论：（1）b 2﹣4c ＞0；（2）b+c+1＝0；（3）方程x 2+（b ﹣1）x+c ＝0的解为x 1＝1，x 2＝3；（4）当1＜x ＜3时，则x 2+（b ﹣1）x+c ＜0.其中正确结论的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．在直角坐标系中，直线y=x+2和抛物线y=x 2-x+1的若干组函数值如下表所示：x … 1 1.5 2 2.5 3 … y=x+2 … 3 3.5 4 4.5 6 … y=x 2-x+1…11.7534.7513…A ．1<x<1.5B ．1.5<Xx2C ．2<x<2.5D ．2.5<x<38．割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率．请你也用这个方法求出二次函数 y=14(x −4)2的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是（ ）A ．5B ．225C ．4D ．17﹣4π9．如图，“心”形是由抛物线 y =−x 2+6和它绕着原点O ，顺时针旋转60°的图形经过取舍而成的，其中顶点C 的对应点为D ，点A ，B 是两条抛物线的两个交点，直线AB 为“心”形对称轴，点E ，F ，G 是抛物线与坐标轴的交点，则AB=（ ）A ．6√3B ．8C ．10D ．10√310．已知一次函数y=ax+c 与二次函数y=ax 2+bx+c ，它们在同一坐标系内的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．11．如图，抛物线y ＝﹣x 2+4x ﹣3与x 轴交于点A 、B ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记作C 1，将C 1向右平移得到C 2，C 2与x 轴交于B 、D 两点．若直线y ＝kx ﹣k 与C 1、C 2共有3个不同的交点，则k 的最大值是（ ）A ．12B ．2 √5 ﹣6C ．6+4 √2D ．6﹣4 √212．在平面直角坐标系中，已知点 A(−1,4) ， B(2,1) 直线 AB 与 x 轴和 y 轴分别交于点 M ，N 若抛物线 y =x 2−bx +2 与直线 AB 有两个不同的交点，其中一个交点在线段 AN 上（包含 A ， N 两个端点），另一个交点在线段 BM 上（包含 B ， M 两个端点），则 b 的取值范围是（ ）A．1≤b≤52B．b≤1或b≥52C．52≤b≤113D．b≤52或b≥113二、填空题(共6题；共6分)13．如图，抛物线y=ax2﹣2与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y=﹣12 x2于点B，C，则S△BOC= ．14．在平面直角坐标系xOy中，函数y1＝x（x＜m）的图象与函数y2＝x2（x≥m）的图象组成图形G．对于任意实数n，过点P（0，n）且与x轴平行的直线总与图形G有公共点，写出一个满足条件的实数m的值为（写出一个即可）．15．如图，抛物线y=ax2+bx+1的顶点在直线y=kx+1上，对称轴为直线x=1，以下四个结论：①ab<0；②b<13；③a=−k；④当0<x<1其中正确的是．（填序号）16．如图，抛物线y=x2﹣2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．若抛物线y=x2﹣2x+k上有点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，则点Q的坐标为．17．已知抛物线p ：y=ax 2+bx+c 的顶点为C ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），点C 关于x轴的对称点为C ′，我们称以A 为顶点且过点C ′，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC ′为抛物线p 的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x 2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为 ．18．如图，抛物线y=13x 2﹣4√33x+3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点M 的坐标为（2√3，1）．以M 为圆心，2为半径作⊙M ．则下列说法正确的是 （填序号）． ①tan ∠OAC=√3； ②直线AC 是⊙M 的切线； ③⊙M 过抛物线的顶点； ④点C 到⊙M 的最远距离为6；⑤连接MC ，MA ，则△AOC 与△AMC 关于直线AC 对称．三、综合题(共6题；共73分)19．在平面直角坐标系中，已知A ，B 是抛物线y=ax 2（a ＞0）上两个不同的点，其中A 在第二象限，B 在第一象限．（1）如图1所示，当直线AB 与x 轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，则求此抛物线的解析式和A ，B 两点的横坐标的乘积；（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB 与x 轴不平行，∠AOB 仍为90°时，则求证：A、B两点横坐标的乘积是一个定值；（3）在（2）的条件下，如果直线AB与x轴、y轴分别交于点P、D，且点B的横坐标为1 2．那么在x轴上是否存在一点Q，使△QDP为等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．某公司成功开发出一种产品，正式投产后，生产成本为5元/件.公司按订单生产该产品（销售量=产量），年销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足如图1所示的函数关系，公司规定产品售价不超过15元/件，受产能限制，年销售量不超过30万件；为了提高该产品竞争力，投入研发费用P 万元（P万元计入成本），P与x之间的函数关系式如图2所示，当10≤x≤15时可看成抛物线P= 14x2−4x+m.（1）求y与x之间的函数关系式.（2）求这种产品年利润W（万元）与售价x（元/件）满足的函数关系式.（3）当售价x为多少元时，则年利润W最大，并求出这个最大值.21．如图，抛物线y＝ax2＋32 x＋c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，其中A(－1，0)，与y轴交于点C(0，2)．（1）求抛物线的表达式及点B坐标；（2）点E是线段BC上的任意一点（点E与B、C不重合），过点E作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G．①设点E的横坐标为m，用含有m的代数式表示线段EF的长；②线段EF长的最大值是．22．已经二次函数y=ax2+bx+1 .（1）如图，其图象与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1 .①求二次函数解析式；②F为线段BC上一点，过F分别作x轴，y轴垂线，垂足分别为E、F，当四边形OEFG为正方形时，则求点F坐标；（2）其图象上仅有一个点的横坐标、纵坐标互为相反数，且二次函数y=ax2+bx+1函数值存在负数，求b的取值范围.23．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时，则min{a，b}=b；当a＜b时，则min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1．（1）求min{x2﹣1，﹣2}；（2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求实数k的取值范围；（3）已知当﹣2≤x≤3时，则min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接写出实数m的取值范围．24．某企业研发了一种新产品，已知这种产品的成本为30元/件，且年销售量y（万件）与售价x（元/件）的函数关系式为y={−2x+140，(40≤x<60)−x+80.(60≤x≤70)（1）当售价为60元/件时，则年销售量为万件；（2）当售价为多少时，则销售该产品的年利润最大？最大利润是多少？（3）若销售该产品的年利润不少于750万元，直接写出x的取值范围.参考答案1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】D 5．【答案】C 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】C 11．【答案】C 12．【答案】C 13．【答案】414．【答案】1（答案不唯一） 15．【答案】①③④16．【答案】（1，﹣4）和（﹣2，5） 17．【答案】y=x 2﹣2x ﹣3 18．【答案】①②③④ 19．【答案】（1）解：如图1作BE ⊥x 轴∴△AOB 是等腰直角三角形 ∴BE=OE= 12AB=1∴A （﹣1，1），B （1，1）∴A ，B 两点的横坐标的乘积为﹣1×1=﹣1∵抛物线y=ax 2（a ＞0）过A ，B ∴a=1 ∴抛物线y=x 2 （2）解：如图2作BN ⊥x 轴，作AM ⊥x 轴 ∴∠AOB=AMO=∠BNO=90° ∴∠MAO=∠BON ∴△AMO ∽△ONB ∴AM ON =OM BN ∴AM ×BN=OM ×ON设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线上 ∴AM=y 1=x 12，BN=y 2=x 22，OM=﹣x 1，ON=x 2 ∴x 12×x 22=﹣x 1×x 2 ∴x 1×x 2=﹣1∴A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值；（3）解：由（2）得，A ，B 两点横坐标的乘积是一个定值为﹣1，∵点B 的横坐标为 12，∴点A 的横坐标为﹣2，∵A ，B 在抛物线上，∴A （﹣2，4），B （ 12 ， 14 ），∴直线AB 解析式为y=﹣ 32x+1，∴P （ 23 ，0），D （0，1）设Q （n ，0），∴DP 2= 139 ，PQ 2=（n ﹣ 23）2，DQ 2=n 2+1∵△QDP 为等腰三角形∴①DP=PQ ，∴DP 2=PQ 2，∴139 =（n ﹣ 23 ）2，∴n= 2±√133 ，∴Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（ 2−√133 ，0）②DP=DQ ，∴DP 2=DQ 2，∴139 =n 2+1，∴n= 23 （舍）或n=﹣ 23 ，Q 3（﹣ 23 ，0）③PQ=DQ ，∴PQ 2=DQ 2，∴（n ﹣ 23 ）2=n 2+1∴n=﹣ 512 ，∴Q4（﹣ 512 ，0），∴存在点Q 坐标为Q 1（ 2+√133 ，0），Q 2（2−√133 ，0），Q 3（﹣ 23 ，0），Q4（﹣ 512 ，0）20．【答案】（1）解：设y 与x 的函数关系式为：y=kx+b将点（5，30），（15，10）代入可得：{30=5k +b 10=15k +b解得：{b =40k =−2∴y 与x 的函数关系式为：y=-2x+40（5≤x ≤15）； （2）解：当5≤x ≤10时，则根据图像可得：P=60 ∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-60=-2x 2+50x-260；当10≤x ≤15时，则P =14x 2−4x +m由图可得经过点（10，60），将其代入可得：60=14×102−4×10+m 解得：m=75∴P =14x 2−4x +75；∴W=(x-5)y-P=(x-5)(-2x+40)-(14x 2−4x +75)=−94x 2+54x −275；综上：W ={−2x 2+50x −260(5≤x ≤10)−94x 2+54x −275(10≤x ≤15)；（3）解：由（2）可得：当5≤x ≤10时W=-2x 2+50x-260=-2(x −252)2+1052∴x =252不在5≤x <10，由于开口向下在5≤x <10内随x 增大而增大 在x=10时，则取得最大值为W=40； 当10≤x ≤15时W=−94x 2+54x −275对称轴为x=−b2a=12 由于函数开口向下 ∴当x=12时，则W=49∴当x=12时，则W 取得最大值为49；综上可得：当售价为12元时，则年利润最大，最大为49万元.21．【答案】（1）解：将A(－1，0)、 C(0，2)代入y ＝ax 2＋ 32x ＋c （a ≠0）得：a ＝－ 12， c ＝2y ＝－ 12 x 2＋ 32x ＋2 当y ＝0时，则x 1＝－1，x 2＝4，故B(4，0)（2）解：设直线BC 的函数表达式为y ＝kx ＋b ，将B(4，0)、 C(0，2)代入 得：y ＝－ x ＋2，EF ＝FG －GE ＝－ m 2＋ m ＋2－(－ m ＋2) ＝－ m 2＋2m ；2 22．【答案】（1）解：①由题： {a −b +1=0−b 2a =1 解得 {a =−13b =23∴ 二次函数解析式为： y =−13x 2+23x +1 ； ②设BC 解析式为： y =kx +b 对称轴为直线 x =1 .∵ 图象与x 轴交于点 A(−1,0) 和点B ，对称轴为直线 x =1 .∴ 点 B(3,0)将 B(3,0) ， C(0,1) 代入得： {3k +b =0b =1解得： {a =−13b =1∴BC 解析式为： y =−13x +1 设点 F(m,−13m +1) ∵ 四边形 OEFG 是正方形∴EF =GF∴m =−13m +1解得 m =34∴F(34,34) （2）解：二次函数的图象其有且只有一个点横、纵坐标之和互为相反数∴−x =ax 2+bx +1 有两相等实根，即 ax 2+(b +1)x +1=0 有两相等实根 ∴{a ≠0(b +1)2−4a =0解得： a =(b+1)24>0 ，且 b ≠−1 ∵y =ax 2+bx +1 存在负值∴b 2−4a =b 2−(b +1)2>0 ，解得 b <−12综上： b <−12且 b ≠−123．【答案】（1）解：∵x2≥0∴x2﹣1≥﹣1∴x2﹣1＞﹣2．∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2（2）解：∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3∴k﹣1≥﹣3．∴k≥﹣2（3）解：对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，则y=﹣7当x=3时，则y=﹣12由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，﹣12）所以m的范围是：﹣3≤m≤7．24．【答案】（1）20（2）解：设销售该产品的年利润为W万元当40≤x<60时W=(x−30)(−2x+140)=−2(x−50)2+800 .∵－2<0∴当x=50时W最大=800当60≤x≤70时W=(x−30)(−x+80)=−(x−55)2+625∵−1<0∴当x=60时W最大=600∵800>600∴当x=50时W最大=800∴当售价为50元/件时，则年销售利润最大，最大为800万元.（3）解：45≤x≤55理由如下：由题意得(x−30)(−2x+140)≥750解得45≤x≤55。