2020新人教A版高中数学必修5同步课件:第二章 习题课(一) 求数列的通项公式


∴an=
2.
2������ -1
(2)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1).
又a1+1=2≠0,
∴数列{an+1}是首项为2,公比为3的等比数列.
∴an+1=2·3n-1.
∴an=2·3n-1-1.
=
������ (������ -1)
22 .
反思已知数列的递推公式求通项,通常有以下几种情
形:(1)an+1-an=f(n),常用累加法求通项;(2)
������������ +1 ������������
=
������(n),常用累乘法求
通项;(3)an+1=pan+q,通常构造等比数列求通项.
习题课(一) 求数列的通项公式
1.巩固等差数列与等比数列的通项公式. 2.掌握求数列通项公式的常见方法,并能用这些方法解决一些简 单的求数列通项公式的问题.
1.等差数列的通项公式
若数列{an}为等差数列,其首项为a1,公差为d,则an=a1+(n1)d=am+(n-m)d (n,m∈N*).
【做一做1】 已知数列{an}是等差数列,且a2=6,a11=24,则
给项是分数,那么先把它们统一为相同的形式,再分子、分母分别
寻找规律.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 根据下面数列的前几项,写出数列的一个通项公
式.
பைடு நூலகம்
(1)1,1,
5 7
,
7 15
,
9 31
,

;
(2)2,22,222,2 222,…;
(3)3,0,-3,0,3,….
解(1)题中数列即为
1 1
,
a2)+…+(an-an-1).
(2)当数列{an}满足
������������+1 ������������
=
������(������),
且f(1)·f(2)·…·f(n)可求时,可用累
积法求数列的通项 an.常利用恒等式 an=a1·������������21 ·������������32·…·���������������������-���1.
两边取倒数得 1
������������

1 ������������ -1
=
1,
∴数列 1 是首项为 1 = 1 , 公差为1 的等差数列.
������ ������
������1 2
11
1 2������-1
∴ ������������ = 2 + (������ − 1) = ������ − 2 = 2 .
=

2������(1������-1).
∴an=
1 2
,������
=
1,
-
1 2������(������-1)
,������

2.
反思在求解涉及与Sn有关的式子的数列问题时,通常用an=Sn-Sn-1 (n≥2)解答,但要特别注意当n=1时,上式不一定成立.
题型一 题型二 题型三
【变式训练2】 已知数列{an}的前n项和为Sn,若S1=1,S2=2,且
3 3
,
5 7
,
7 15
,
9 31
,
…,由于分子是等差数列{2n-1}的
各项,分母是数列{2n-1}的各项,故
an=
2������ -1 2������ -1
(n∈N*).
(2)题中所求数列的通项可转化为数列 9,99,999,9 999,…的通项,
即数列{10n-1}的通项,易知
an=
2 9
(10n-1)(n∈N*).
抓住其几方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变 化特征;③拆项后的特征;④各项符号特征和绝对值特征,并对此进
行归纳、化归、联想. 2.根据Sn与an的关系求通项公式
剖析由Sn与an的关系求an,可用 an= ������������1������,-���������������=���-1注,1������意, ≥验2证, a1是否符合 当n≥2时an的公式,若不符合,则要单独列出.
题型一 题型二 题型三
【变式训练 3】
(1)已知数列{an},a1=2,an=
������������-1 1+������������-1
(������≥2),求
an;
(2)已知数列{an}满足an+1=3an+2(n∈N*),a1=1,求通项公式an.
解(1)由
an=
������������ -1 1+������������ -1
题型一 题型二 题型三
观察归纳法求通项
【例1】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:
(1)
1 2
,
4 5
,
9 10
,
16 17
,

;
(2)1,−
1 3
,
1 7
,

1 15
,
1 31
,

;
(3)1,
3 2
,
1 3
,
5 4
,
1 5
,
7 6
,
….
分析观察每一项与其项数的关系规律,据此写出通项公式.
(3)题中所求数列的通项可转化为数列 1,0,-1,0,1,…的通项,这恰好
是“五点法”作三角函数的图象的值,从而有
an=3sin
������ π 2
或an=3cos
������ -1 2
π(n∈N*).
题型一 题型二 题型三
利用an与Sn的关系求通项 【例2】 (1)已知数列{an}的前n项和Sn满足log3Sn=n+2,求数列{an} 的通项公式;
即{an-t}是以
a1-t
为首项,p
为公比的等
比数列.
(4)形如 an+1=pan+qn(其中 p,q 均为常数,pq(p-1)≠0)的递推公式,可
用辅助数列法求数列的通项 an.先在递推公式两边同除以 qn+1,得
������������ +1 ������ ������ +1
=
������ ������
采用构造法来求(同(3)).
(6)形如 an=������������������������-1的递推公式,可用取对数法求数列的通项 an.将
an=������������������������-1两边同取常用对数,得到 lg an=rlg an-1+lg p,令 bn=lg an,得 bn=rbn-1+lg p,再用构造法解决(同(3)).
3.由递推公式求数列的通项公式
剖析已知数列的递推公式求通项公式,可把每相邻两项的关系列
出来,抓住它们的特点进行适当处理,有时借助拆分或取倒数等方
法构造等差数列或等比数列,转化为等差数列或等比数列的通项问
题.
(1)当数列{an}满足an+1-an=f(n),且f(1)+f(2)+…+f(n)可求时,可用 累加法求数列的通项an.常利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-
以上各式相加,得
an-a1=3[1+2+3+…+(n-1)]+2(n-1)
=3·(������-21)������
+
2������

2
=
3������2+������ 2

2.
∵a1=2,
∴an= 3������22+������.
题型一 题型二 题型三
(∴2)������∵2 =an2+1,=������32n=an2,∴2,������������������������4���+��� 1==223n, ,… , ������������
·������������������������
+
1 ������
, 引入辅助数列{bn}
其中������������
=
������������ ������ ������
, 得bn+1 =
������ ������
·bn+
1 ������
,
再用构造法解决.
(5)形如
an+1
=
������ ������ ������ ������������������ +������
an=
.
答案:2n+2
2.等比数列的通项公式
若数列{an}为等比数列,其首项为a1,公比为q,则an=a1qn-1 =am·qn-m(n,m∈N*).
【做一做2】 已知数列{an}是等比数列,且a2=3,a5=81,则
an=
.
答案:3n-1
1.由数列的前几项归纳出其通项公式 剖析根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,
又当n=1时,a1=S1=33=27不适合上式,
故 an=
27,������ = 1, 2·3������+1,������ ≥ 2.
题型一 题型二 题型三
(2)∵当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
∴Sn-Sn-1=-2Sn·Sn-1,即
1 ������������

1 ������������-1
题型一 题型二 题型三
(3)各项可看作
1=1+0,
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2.5求数列通项公式-浙江省瑞安市上海新纪元高级中学高中数学人教A版必修5课件(共28张PPT)

2.5求数列通项公式-浙江省瑞安市上海新纪元高级中学高中数学人教A版必修5课件(共28张PPT)

2an (n+2)an (n+1)an1
nan (n+1)an1
an
n+1
an1
n
再用逐商叠乘法求出数列an 的通项公式。
例4.2,已知数列an中,an 0, Sn是数列的前n项的和,

且an
:由an
1 a1n
an
2Sn , 求an
2Sn , 得an2
1
2Sn

an
,
又an Sn Sn1(n 2)
1
n
注意:累乘法与累加法有些相
似,但它是n个等式相乘所得
五、累乘法 (形如an+1 =f(n)•an型)
练习1:已知an中,a1 2,an1 3n an,求通项an.
解: an 3n1, an1
an1 3n2 , an2
an2 3n3 , an3
an3 3n4 an4
.......
a3 32 , a2 3
六、 构造法
题型2.an1 pan f (n)(q, p为常数,且p 1, q 0)
例8.
已知数列 an
中,a1
41,,an
1 3 2
an1
2n
1
n 2求an
六、 构造法
题型3.an1 pan qn (q, p为常数,且p 1, q 0) 例10.已知数列{an }满足:a1 1, an1 3an 2n1,求an
1
是以
an 1 2 2
为首项,以1为公差的等差数列.
(2)由(1)知
an 1 2n
2 (n 1)1
,所以an=(n+1)2n+1.
题型4 形取如 倒数a方n1法转pa化mna成n q为的递1 推式m,1可采m用

2020-2021学年高中数学人教A版必修5第二章数列本章小结 课件(共70张PPT)

2020-2021学年高中数学人教A版必修5第二章数列本章小结  课件(共70张PPT)

2. 通项公式与递推公式
通项公式:
用正整数 n 表示数列的第 n 项 an. an+1-an=f(n) 型, 求通项公式:
n 依次取正整数, 等式累加.
递推公式:
数列的任一项用它的前一项或前两项推出.
F1=1, 如: F2=1,
(斐波拉契数列)
Fn=Fn-1+Fn-2 (n≥3).
3. 前 n 项和
例6. 已知 {an} 是一个公差大于 0 的等差数列, 且
满足 a3a6=55, a2+a7=16.
(1) 求数列 {an} 的通项公式;
(2) 若数列 {an} 和数列 {bn} 满足等式:
an
=
b1 2
+
b2 22
+
b3 23
++
bn 2n
,
求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn.
解: (2) 由(1)得
5. 等差中项 a, A, b 成等差, A 是 a, b 的等差中项.
2an = an-k + an+k, m+n = p+q am+an = ap+aq.
6. 等差数列前 n 项和
(关于 n 的二次函数) Sk, S2k-Sk, S3k-S2k, … 成等差数列.
7. 等比数列 定义:
a2=a1·q, a3=a2·q, a4=a3·q, …, an+1=an·q. 通项公式:
+
b3 23
++
bn 2n
,
求数列 {bn} 的前 n 项和 Sn.
解: (2) 由(1)得

于是得 an-1=

2020新人教A版高中数学必修5同步课件:第二章 习题课(二) 数列求和

2020新人教A版高中数学必修5同步课件:第二章 习题课(二) 数列求和


1 3
������������
=
1
×
1 32
+
4
×
1 33
+
7
×
1 34
+
⋯+(3n-5)×
1 3������
+
(3������

2)
×
1 3������+1
,

①-②,得
题型一 题型二 题型三
2 3
������������
=
1 3
+
3
×
1 32
+
3
×
1 33
+
3
×
1 34
+
⋯+3×
1 3������
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 (1)数列{(-1)nn}的前n项和为Sn,则S2 020等于( ). A.1 010 B.-1 010 C.2 020 D.-2 020 解析:S2 020=(-1+2)+(-3+4)+…+(-2 019+2 020)=1 010. 答案:A
题型一 题型二 题型三
(2)已知数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….
①求其通项公式an;
②求这个数列的前n项和Sn.
解①an=1+2+22+…+2n-1
=
1-2������ 1-2
=
2n-1.
故这个数列的通项公式为an=2n-1.
②Sn=a1+a2+a3+…+an

2020新人教A版高中数学必修5同步课件:第二章 2.5 等比数列的前n项和

2020新人教A版高中数学必修5同步课件:第二章 2.5 等比数列的前n项和
一 题型二 题型三 题型四
【变式训练2】 一个等比数列的首项为1,项数是偶数,其奇数项
的和为85,偶数项的和为170,求出该数列的公比和项数.
解设该等比数列为{an},
∵项数是偶数,∴S偶=qS奇, ∴85q=170,∴q=2.
又Sn=85+170=255,
=
115(1-28) 1-2
=
17.
题型一 题型二 题型三 题型四
(2)设公比为
q,由通项公式及已知条件得
������1 + ������1 ������ 3
������1������2 = + ������1������5
10,
=
5 4
,
������1(1 + ������2) = 10,①

������1 ������ 3 (1

S3=
������1(1-������3) 1-������
=
2(1-������3) 1-������
=
6,
解得q=1(舍去)或q=-2.
此时,a3=a1q2=2×(-2)2=8.
综上所述,q=1,a3=2或q=-2,a3=8. 反思在使用等比数列的前n项和公式解题时,要注意对公比q是否 为1进行讨论.当q=1时,Sn=na1;当q≠1时,Sn= ������1(11--������������������).

②③÷代①入,得①,1得+1q������-n1���=��� =54
, 即qn= 64.
1 4
.


S3n=
������1(1-������3������) 1-������
=
64

2020版新学优数学同步人教A必修五课件:2.4 第1课时 等比数列的概念及通项公式

2020版新学优数学同步人教A必修五课件:2.4 第1课时 等比数列的概念及通项公式

k=(
A.2
)
B.4
C.6
D.8
解析:依题意,得2 =a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理,得 k2-2k-8=0,
解得 k=4(k=-2 舍去).
答案:B
第十七页,编辑于星期日:一点 二十八分。
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
等比数列的判断与证明
例3(1)判断下列数列是否为等比数列.
当堂检测
反思感悟 1.判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下:

(1)定义法:若当 n≥1,n∈N*时, +1 =q(q≠0,q 为常数),则数列{an}为等

比数列.
2
(2)等比中项法:若+1
=anan+2(n∈N*),则数列{an}为等比数列.
(3)通项公式法:若数列{an}的通项an=cqn(c,q≠0),则数列{an}为等比数列.
不能有例外.③每一项与前一项的比是同一个常数,且不能为0.
2
3
(2)①先对给出的等式 an= an-1+1 进行转化变形,与 bn=an-3 相结合,
得出bn与bn-1的关系,从而判断数列{bn}是否为等比数列;②由{bn}为等比
数列,先求出bn,再根据bn=an-3求出an.
第十八页,编辑于星期日:一点 二十八分。
3
第五页,编辑于星期日:一点 二十八分。
课前篇自主预习
二、等比中项
1.能否在如下的两个数之间,插入一个数,使这三个数构成等比数列?
,8;(2)-10,
,-10;(3)9,
,- 1 .

高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式人教A版必修5

高中数学第二章数列2.4.1等比数列的概念及通项公式人教A版必修5

2.等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,这三个数满足关系式 ab=G2.
思考 1 若 G2=ab,则 a,G,b 一定成等比数列吗?
提示:不一定.因为若 G=0,则 a,b 中至少有一个为 0,使 G2=ab,根据等比 数列的定义,a,G,b 不成等比数列.当 a,G,b 全不为零时,若 G2=ab,则 a,G,b 成
探究四
探究二 等比中项的应用
若 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项,此时 G=± ������������. 注意:(1)在 a,b 同号时,a,b 的等比中项有两个,异号时,没有等比中项. (2)在一个等比数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是 它的前一项与后一项的等比中项. (3)“a,G,b 成等比数列”等价于“G2=ab”(a,b 均不为 0),可以用它来判断 或证明三个数成等比数列. 同时还要注意到“a,G,b 成等比数列”与“G= ������������”不是等价的.
探究一
探究二
探究三
探究四
解:(1)∵a1=-1,an=3an-1-2n+3,∴a2=3a1-2×2+3=-4,a3=3a2-2×3+3=-15.
下面证明{an-n}是等比数列:
������������+1-(n + ������������-n
1)
=
3������������-2(n
+ 1) + ������������-n
是等比数列. (3)通项公式法:若数列{an}的通项公式为 an=a1qn-1(a1≠0,q≠0),则数列

高中数学必修5课件:第2章2-3-2等差数列前n项和习题课


第二章 数列
温故知新
等差数列{an}的前 n 项和 Sn=na1+nn-2 1d=d2n2+(a1-d2)n,令d2=A,a1-d2=B,则得 Sn=________.[答案] An2+Bn数 Nhomakorabea 必修5
第二章 数列
新课引入
用分期付款的方式购买家用电器需 11 500 元,购买当天先付 1 500 元,以后每月交付 500 元,并加付利息,月利率为 0.5%, 若从交付 1 500 元后的第 1 个月开始算分期付款的第 1 个月,问:
所以S3m=3ma1+3m3m2 -1d=210.
数学 必修5
第二章 数列
方法二:利用公式 Sn=na1+2 an,以及等差数列的性质 p
+q=m+n⇒ap+aq=am+an.
ma1+am=60,

由已知有m3ma1a+1+a2am3m==1020S,3m,
② ③
2a2m=am+a3m,

由①②③④可得 S3m=210.
【错解】 an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)- 1]=2n,又an-an-1=2n-2(n-1)=2,即数列每一项与前一项 的差是同一个常数,
∴{an}是等差数列. 【错因】 已知数列的前n项和Sn,求数列的通项an时,需 分类讨论,即分n≥2与n=1两种情况.
数学 必修5
解得a=m202, b=1m0.
所以 S3m=9am2+3bm=210.
数学 必修5
第二章 数列
等差数列前n项和的性质应用
一个等差数列的前12项的和为354,前12项中偶 数项的和与奇数项的和的比为32∶27,求该数列的公差d.
[思路点拨] 可以利用列方程组方法求解,也可以利用等 差数列前n项和的性质求解.

2020年最新人教A版高中数学必修5第二章数列2.5等比数列的前n项和课件

矿产资源开发利用方案编写内容要求及审查大纲
矿产资源开发利用方案编写内容要求及《矿产资源开发利用方案》审查大纲一、概述
㈠矿区位置、隶属关系和企业性质。

如为改扩建矿山, 应说明矿山现状、
特点及存在的主要问题。

㈡编制依据
(1简述项目前期工作进展情况及与有关方面对项目的意向性协议情况。

(2 列出开发利用方案编制所依据的主要基础性资料的名称。

如经储量管理部门认定的矿区地质勘探报告、选矿试验报告、加工利用试验报告、工程地质初评资料、矿区水文资料和供水资料等。

对改、扩建矿山应有生产实际资料, 如矿山总平面现状图、矿床开拓系统图、采场现状图和主要采选设备清单等。

二、矿产品需求现状和预测
㈠该矿产在国内需求情况和市场供应情况
1、矿产品现状及加工利用趋向。

2、国内近、远期的需求量及主要销向预测。

㈡产品价格分析
1、国内矿产品价格现状。

2、矿产品价格稳定性及变化趋势。

三、矿产资源概况
㈠矿区总体概况
1、矿区总体规划情况。

2、矿区矿产资源概况。

3、该设计与矿区总体开发的关系。

㈡该设计项目的资源概况
1、矿床地质及构造特征。

2、矿床开采技术条件及水文地质条件。

2020_2021学年高中数学第二章数列2.2.2等差数列的性质同步课件新人教A版必修5202103

22
类型三 等差数列的实际应用 【典例3】梯子的最高一级宽33 cm,最低一级宽 110 cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列, 计算中间各级的宽度. 【解题指南】可设a1=33,a12=110,n=12,求出{an}的通 项公式,进而求出各级的宽度.
【解析】用{an}表示梯子自上而下各级宽度所成的等 差数列,由已知,得a1=33,a12=110,n=12. 由通项公式,得a12=a1+(12-1)d,即110=33+11d. 解得d=7.因此,a2=33+7=40,a3=40+7=47,a4=54, a5=61,a6=68,a7=75,a8=82,a9=89,a10=96,a11=103.
2
因此原式=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=8+8+4=20.
答案:20
(2)因为a5+a6+a7=3a6=15,所以a6=5,
因此
a a
5 5
a
a
7
7 解 10得,
9
或 aa
5 7
1, 9
a
a
5 7
9, 1.
若a5=1,a7=9,则d=a 7 a 5 = 9 =1 4,
75
2
您好,谢谢观看!
【知识思维导图】
【解析】选B.由等差数列的性质,得a1+a7=a3+a5. 因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.
2.在等差数列{an}中,若a2=1,a6=-1,则a4=( )
A.-1
B.1
C.0
D. 1
2
【解析】选C.由2a4=a6+a2=-1+1=0,
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