山东省德州市2015届高三数学二模(4月)试题 理
2015年高考冲刺压轴山东卷数学(理卷三)(附答案解析)
2015年高考冲刺压轴卷·山东数学（理卷三）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 共 4页．满分150分，考试时间120分钟． 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回．第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．3．第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1． （2015·山东潍坊市二模·1)设全集R U =，集合}1|||{≤=x x A ，}1log |{2≤=x x B ，则B A U等于（ ）A ．]1,0(B ．]1,1[-C ．]2,1(D ．]2,1[)1,( --∞2．（2015·山东德州市二模·2)如图，复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 到原点的距离都相等，若复数z 所对应的点为1Z ，则复数z i ⋅（i 是虚数单位）的共轭复数所对应的点为（ ）A ．1ZB ．2ZC ．3ZD ．4Z3．（2015·山东济宁市二模·3)4．（2015·山东聊城市二模·４)已知两条不同的直线,l m 和两个不同的平面,αβ，有如下命题：①若,,//,////l m l m ααββαβ⊂⊂，则； ②若,//,//l l m l m αβαβ⊂⋂=，则；③若,//l l αββα⊥⊥，则，其中正确命题的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05． （2015·山东临沂市二模·8)已知函数()()()()()()22,log ,ln =0，若xf x xg x x xh x x x f a g b h c =+=+=+==则（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a b c <<D. a c b <<6．（2015·山东淄博市二模·8)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）A ．4B ．2C D ．3π7．（2015·山东菏泽市二模·4)已知数列{}111,n n n a a a a n +==+中,，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）A ．8?n ≤B ．9?n ≤C ．10?n ≤D ．11?n ≤8．（2015·山东日照市高三校际联合检测·8)变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点()0,2取得最小值，则k 的取值范围是（ ）A ． 3k <-B ． 1k >C ． 31k -<<D ． 11k -<<9．（2015·山东潍坊市二模·9)某公司新招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一部门；另三名电脑编程人员不能都分给同一个部门， 则不同的分配方案种数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．3610. （2015·山东青岛市二模·10) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 作斜率为1-的直线交双曲线的渐近线于点P ，点P 在第一象限，O 为坐标原点，若OFP ∆的面积为228a b +，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． 11．（2015·山东济宁市二模·13)12．（2015·山东潍坊市二模·11)某校对高三年级1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知样本中女生比男生少10人，则该校高三年级的女生人数是 ；13．（2015·山东临沂市二模·11)已知向量a 与b 满足()2,a b a b b ==-⊥，则a与b 的夹角为_________.14．（2015·山东淄博市二模·12)二项式5的展开式中常数项为___________．15．（2015·山东菏泽市二模·12)在各项为正数的等比数列{}n a 中，若6542a a a =+，则公比q =三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．（2015·山东日照市高三校际联合检测·16)（本小题满分12分）在ABC ∆中，已知()111sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭．（I ）求sinA 与角B 的值；（II ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值．17．（2015·山东青岛市二模·17)（本小题满分12分）为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度.不超过22公里的地铁票价如下表：现有甲、乙两位乘客，他们乘坐的里程都不超过22公里.已知甲、乙乘车不超过6公里 的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. （Ⅰ）求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．18．（2015·山东潍坊市二模·17)（本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直，其中AB ∥CD ，AB ⊥BC ，DC=BC=21AB=1，点M 在线段EC 上。
山东省德州市届高三下学期4月二模考试数学(文)试题Word版含答案
山东省德州市2017届高三下学期4月二模考试高三数学（文科）试题第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{}2|20M x x x =+->，11|()22x N x -⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则()U M N =ð（ ） A ．[]2,0-B ．[]2,1-C ．[]0,1D ．[]0,22.若复数(1)(3)mi i ++（i 是虚数单位，m R ∈）是纯虚数，则复数31m ii+-的模等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43.已知平面向量a 和b 的夹角为60︒，(2,0)a =，||1b =，则|2|a b +=（ ） A ．20B ．12C．D．4.已知3cos 5α=，cos()10αβ-=，且02πβα<<<，那么β=（ ）A ．12πB ．6π C ．4π D ．3π 5.设3log 6a =，4log 8b =，5log 10c =，则（ ） A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．b a c >>6.某产品的广告费用x 万元与销售额y 万元的统计数据如表：根据上表可得回归方程9.4y x a =+，据此模型预测，广告费用为6万元时的销售额为（ ）万元 A ．63.6B ．65.5C ．72D ．67.77.下列说法正确的是（ ）A ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，210x x ++>”B ．命题“若2320x x -+=，则1x =或2x =”的否命题是：“若2320x x -+=，则1x ≠或2x ≠”C ．直线1l ：210ax y ++=，2l ：220x ay ++=，12//l l 的充要条件是12a = D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题是真命题8.已知双曲线22221x y a b-=（a >，0b >）的两条渐进线与抛物线24y x =的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AOB S ∆=e =（ ）A ．32B ．2C ．2D 9.已知某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．403B ．343C ．103+D ．63+10.已知函数|ln |,0,()(2),2,x x e f x f e x e x e <≤⎧=⎨-<<⎩设方程()2xf x b -=+（b R ∈）的四个实根从小到大依次为1x ，2x ，3x ，4x ，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定成立的是（ ） A ．122x x +=B ．2234(21)e x x e <<-C ．340(2)(2)1e x e x <--<D ．2121x x e <<第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.已知函数221,1,()log (1),1,x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩则7(())3f f = ．12.在长为5的线段AB 上任取一点P ，以AP 为边长作等边三角形，则此三角形的面积介的概率为 ．13.设x ，y 满足约束条件360,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则22x y +的最大值为 ．14.执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ．15.若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 到函数()h x 在区间D 上的“任性函数”．已知函数()f x kx =，2()2g x x x =-，()(1)(ln 1)h x x x =++，且()f x 是()g x 到()h x 在区间[]1,e 上的“任性函数”，则实数k 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本，并称出它们的重量（单位：克），重量值落在[495,510)内的产品为合格品，否则为不合格品，统计结果如表：（Ⅰ）求甲流水线样本合格的频率；（Ⅱ）从乙流水线上重量值落在[]505,515内的产品中任取2个产品，求这2件产品中恰好只有一件合格的概率．17.已知函数()4sin cos()3f x x x π=+0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长a ，b 分别为函数()f x 的最小值与最大值，且ABC ∆的外接圆半径为4，求ABC ∆的面积． 18.如图，在四棱锥S ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，E 为SA 的中点，2SB =，3BC =，SC =．（Ⅰ）求证：//SC 平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面ABCD ⊥平面SAB ．19.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且163n n S a +=+（a N +∈）．（Ⅰ）求a 的值及数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++，求{}n b 的前n 项和n T ． 20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点，左右焦点分别为1F 、2F ，圆222x y +=与直线0x y b ++=相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆C 上不在x 轴上的一个动点，Q 为坐标原点，过点2F 作OQ 的平行线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，求||||MN OQ 的取值范围． 21.已知函数21()2ln (2)2f x x a x a x =-+-，a R ∈． （Ⅰ）当1a =-时，求函数()f x 的极值； （Ⅱ）当0a <时，讨论函数()f x 单调性；（Ⅲ）是否存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()f m f n a m n->-恒成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．高三数学（文科）试题答案一、选择题1-5:ACDCA 6-10:BDDBB二、填空题11.13 12.2513.52 14.8 15.[]2,2e - 三、解答题16.解：（Ⅰ）由表知甲流水线样本中合格品数为814830++=， 故甲流水线样本中合格品的频率为300.7540=． （Ⅱ）乙流水线上重量值落在[]505,515内的合格产品件数为0.025404⨯⨯=， 不合格产品件数为0.015402⨯⨯=．设合格产品的编号为a ，b ，c ，d ，不合格产品的编号为e ，f ．抽取2件产品的基本事件空间为{(,)a b Ω=，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)a f ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c d ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，(,)d f ，}(,)e f 共15个．用A 表示“２件产品恰好只有一件合格”这一基本事件，则{(,)A a e =，(,)a f ，(,)b e ，(,)b f ，(,)c e ，(,)c f ，(,)d e ，}(,)d f 共8个，故所求概率815P =．17.解：（Ⅰ）1()4sin (cos )22f x x x x =⋅-+22sin cos x x x =-+sin 22x x =2sin(2)3x π=+，∵06x π≤≤，∴22333x πππ≤+≤，sin(2)13x π≤+≤，∴函数()f x的值域为2⎤⎦．（Ⅱ）依题意a =2b =，ABC ∆的外接圆半径r =，sin 23a A r ===，sin 232b B r ===，cos 3A =，1cos 3B =，sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=， ∴11sin 2223ABC S ab C ∆==⨯=． 18.证明：（Ⅰ）连接AC 交BD 于F ，则F 为AC 中点，连接EF ， ∵E 为SA 的中点，F 为AC 中点， ∴//EF SC ，又EF ⊂面BDE ，SC ⊄面BDE ， ∴//SC 平面BDE ．（Ⅱ）∵2SB =，3BC =，SC =， ∴222SB BC SC +=，∴BC SB ⊥， 又四边形ABCD 为矩形，∴BC AB ⊥，又AB 、SB 在平面SAB 内且相交， ∴BC ⊥平面SAB ， 又BC ⊂平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面SAB ．19.解：（Ⅰ）∵等比数列{}n a 满足163n n S a +=+（a N +∈），1n =时，169a a =+；2n ≥时，1166()3(3)23n n n n n n a S S a a +-=-=+-+=⨯.∴13n n a -=，1n =时也成立，∴169a ⨯=+，解得3a =-， ∴13n n a -=.（Ⅱ）122233(1)(221)(log 2)(log 1)n n n n n n b a a --++=++1222(1)(221)(1)n n n n n --++=+12211(1)(1)n n n -⎡⎤=-+⎢⎥+⎣⎦. 当n 为奇数时，22222221111111()()11223(1)(1)n T n n n ⎡⎤=+-++++=+⎢⎥++⎣⎦…； 当n 为偶数时，n T =22222221111111()()11223(1)(1)n n n ⎡⎤+-++-+=-⎢⎥++⎣⎦…. 综上，1211(1)(1)n n T n -=+-+．20.解：（Ⅰ）由已知可得：圆心到直线0x y b ++=的距离为1，1=，所以b =， 又椭圆C经过点(1,3，所以221413a b+=，得到a = 所以椭圆C 的标准方程为22132x y +=． （Ⅱ）设00(,)Q x y ，11(,)M x y ，22(,)N x y ，OQ 的方程为x my =，则MN 的方程为1x my =+.由22,1,32x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得222226,236,23m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩即22022026,236.23m x m y m ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩所以0||||OQ y ==由221,1,32x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(23)440m y my ++-=，所以122423m y y m +=-+，122423y y m =-+，12||||MN y y =-==222)2323m m m +==++，所以||||MN OQ ====， 因为211m +≥，所以21011m <≤+，即212231m <+≤+，即211113221m≤<++，||2||MN OQ ≤<，即||||MN OQ的取值范围为[,2)3． 21.解：（Ⅰ）当1a =-时，21()2ln 32f x x x x =+-，2232(1)(2)'()3x x x x f x x x x x -+--=+-==． 当01x <<或2x >时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当12x <<时，'()f x <，()f x 单调递减，所以1x =时，5()(1)2f x f ==-极大值； 2x =时，()(2)2ln 24f x f ==-极小值．（Ⅱ）当0a <时，2'()(2)af x x a x =-+-2(2)2x a x a x +--=(2)()x x a x-+=， ①当2a ->，即2a <-时，由'()0f x >可得02x <<或x a >-，此时()f x 单调递增；由'()0f x <可得2x a <<-，此时()f x 单调递减；②当2a -=，即2a =-时，'()0f x ≥在(0,)+∞上恒成立，此时()f x 单调递增； ③当2a -<，即20a -<<时，由'()0f x >可得0x a <<-或2x >，此时()f x 单调递增；由'()0f x <可得2a x -<<，此时()f x 单调递减．综上：当2a <-时，()f x 增区间为(0,2)，(,)a -+∞，减区间为(2,)a -； 当2a =-时，()f x 增区间为(0,)+∞，无减区间；当20a -<<时，()f x 增区间为(0,)a -，(2,)+∞，减区间为(,2)a -． （Ⅲ）假设存在实数a ，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成立，不妨设0m n >>，则由()()1f m f n a m ->-恒成立可得：()()f m am f n an ->-恒成立，令()()g x f x ax =-，则()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以'()0g x ≥恒成立， 即'()0f x a -≥恒成立，∴2(2)0ax a a x-+--≥，即2220x x a x --≥恒成立，又0x >， ∴2220x x a --≥在0x >时恒成立，∴2min11(2)22a x x ⎡⎤≤-=-⎢⎥⎣⎦，∴当12a ≤-时，对任意的m ，(0,)n ∈+∞，且m n ≠，有()()1f m f n a m ->-恒成立.。
山东省济宁市微山县第二中学2015届高三第四次月考数学(理)试题及答案
大小关系是
．
三、解答题 :本大题共 5 小题，共计 70 分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤
17．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 2 3 sin( x （ 1）求常数 a 的值；
)cos( x 4
) sin 2x a 的最大值为 1． 4
（ 2）求函数 f ( x) 的单调递增区间；
（ 1）求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值； （ 2）求二面角 A－ A1C1－B1 的正弦值； （ 3）设 N 为棱 B1C1 的中点，点 M 在平面 AA1B1B 内，且 MN⊥平面 A1B1C1，求线段 BM 的长． 21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f ( x) x ln x （ e为无理数， e 2.718 ）
在 直角坐标 系中，以 原点 为极点, x 轴的正 半轴 为极轴建 坐标系,已知 曲线
A． e
B． e2
C． e
第Ⅱ卷
e
D．
2
本卷包括必考题和选考题两部分． 第 13 题～第 21 题为必考题， 每个试题考生都必须做答． 第 22 题～
第 24 题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 原平面图形的面积是 ___________．
（ 3）若将 f ( x) 的图象向左平移
的最大值和最小值．
个单位， 得到函数 g( x) 的图象， 求函数 g (x) 在区间 [0, ] 上
6
2
18．（本小题满分 12 分）
如图所示， PA⊥平面 ABC，点 C 在以 AB 为直径的⊙ O 上，∠ CBA＝ 30°， PA＝ AB＝ 2，点 E 为
2015德州二模 山东省德州市2015届高三4月二模理综化学试题 Word版含答案
2015年德州市第二次模拟考试理科综合试题（化学）2015.4 可能用到的相对原子量：H：1 O：16 Na：23 Si：287．化学在人类生活中扮演着重要角色，下列叙述正确的是A．氯处理饮用水时，在夏季的杀菌效果比在冬季好B．利用化学反应可实现12C到14C的转化C．“血液透析”利用了胶体的性质D．气象环境报告中新增的“PM2.5”是对一种新分子的描述8．下列有关化学概念或原理的论述中正确的是A．由SO2通入Ba(NO3)2溶液产生白色沉淀可知，BaSO3不溶于硝酸B．电解精炼铜，电解结束后电解质溶液浓度不变C．海水中Na+、Cl一结晶成NaCl的过程，形成了化学键D．任何可逆反应，其平衡常数越大，反应速率、反应物的转化率就越大9．某一不饱和酯类化合物(如图)在药物、涂料等领域应用广泛，下列有关说法不正确的是A．能使KMnO4溶液褪色B．1mol的该化合物和足量的钠反应生成1molH2C．能与溴发生取代反应和加成反应D．1mol该化合物最多与2molNaOH反应10．第三周期元素，最高价氧化物对应水化物(浓度均为0.01mol·L-1)的pH值与原子半径的关系如图所示，则下列说法正确的是A．气态氢化物的稳定性：N>RB．Z的最高价氧化物对应的水化物能溶于稀氨水C．Y的单质是制造汽车、飞机、火箭的重要材料D．R的单质没有同素异形体11．下列图示与对应的叙述不相符的是A ．图1的目的是检验装置的气密性B ．图2中分液漏斗振荡静置后，上层液体颜色变浅C ．图3中电流计的指针不发生偏转D ．图4液态水分解的热化学方程式为：2H 2O(1)=2H 2(g)+O 2(g) △H=+571.6KJ ／mol12．下列叙述正确的是A ．含4N A 个离子的固体Na 2O 溶于水配成1 L 溶液，所得溶液中Na +的物质的量浓度为2 mol ·L —1B ．Na 2S 在空气中长期放置变浑浊的离子方程式为：2S 2一+O 2+2H 2O=2S ↓+4OH —C ．可以用澄清石灰水鉴别Na 2CO 3和NaHCO 3D ．滴加KSCN 显红色的溶液中存在：NH 4+、K +、C1一、I 一13．下列说法正确的是A ．pH=5的H 2S 溶液中，c(H +)=c(HS 一)=1×10—5mol ·L -1 B ．含有AgCl 和AgI 固体的悬浊液中，()()()1c Ag c C c I +-->= C ．在新制氯水中加入氯化钠固体，水的电离平衡不移动D ．若R 为Zn ，则右图采用了牺牲阳极的阴极保护法29．(18分)化学反应原理在生产和科研中有着重要的应用，请利用相关知识回答下列问题。
山东省德州市2015届高三上学期2月期末统考数学(理)试题 Word版含答案
数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟， 注意事项：选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第I 卷（共50分） ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上． 1．设 1z i =-，则22z z+= A ．-1-i B ．-l+i C ．1-i D ．l+i 2．满足条件 {}{}1,21,2,3,4,5B =的所有集合B 的个数为A ．8B ．4C ．3D ．23． 22log (4)y x =-的定义域是 A. ()2,0(1,2)- B ．(]2,0(1,2)-C. ()[)2,01,2- D. [][]2,01,2-4．下列叙述中正确的是A.若 ()p q ∧⌝为假，则一定是p 假q 真B ．命题“ 2,0x R x ∀∈≥”的否定是“ 2,0x R x ∃∈≥” C ．若a ，b ，c ∈R ，则“ 22ab >cb ”的充分不必要条件是“a>c ” D ．设α是一平面，a ，b 是两条不同的直线，若 a ,b αα⊥⊥，则a//b5．不等式 136x x -++≤的解集为 A ．[-4，2] B ． [)2,+∞ C ． (],4-∞- D ． (][),42,-∞-+∞6．如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在[35，40）的频 A. 0. 04 B. 0. 06 C. 0. 2 D. 0. 37．当 102x <≤时， 1()log 4xa x <，则a 的取值范围是 A ． 1(0,)4 B ． 1(,1)4C ． (1,4)D ．8．由不等式组 0,0,20x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为 1Ω，不等式组12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区域记为 2Ω，则 1Ω与 2Ω公共部分的面积为 A ．154B ． 32C ． 34D ． 749．如图所示，由函数 ()sin f x x =与函数 ()cos g x x =在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象所围成的封闭图形的面积为 A ．1 B ．2 C ．D ．10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 1,F F ，且两条曲线在第 一象限的交点为P ， 12PF F ∆是以 1PF 为底边的等腰三角形，若 110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为 12,e e ，则 21e e -的取值范围是 A ． 2(,)3+∞ B ． 4(,)3+∞C ． 2(0,)3D ． 24(,)33第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.已知实数 []2,30x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小 于103的概率是________．12．已知 1(2a OA a b =-=-，若△OAB 是以O 为 直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是_______. 13.若 9290129(2)(1)(1)(1)x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++且229028139()()3a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值是 _________．14.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120 的 等腰三角形，则该三棱锥的四个表面中，面积的最大值为_______.15.已知定义在R 上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数 ()t t R ∈， 使得 ()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称f(x)是回旋函数． 给出下列四个命题：①常值函数 ()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是t= -1; ②若 (01)xy a a =<<为回旋函数，则t>l; ③函数 2()f x x =不是回旋函数；④若f(x)是t=2的回旋函数，则f(x)在[0,4030]上至少有2015个零点．其中为真命题的是_________（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数 ()2sin()cos()sin(23)33f x x x x ππ=+⋅+-+．(I)求 ()f x 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若将 ()f x 的图象向左平移4π个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值， 17.（本小题满分12分）某单位为了丰富职工的业余生活，迎接“春节文艺汇演”，组织了10人参加“生活小百科” 知识竞赛，每人回答2个问题，答对题目的个数及对应人数统计结果如下表根据以上信息解答以下问题：(I)从10人中任选3人，求3人答对题目个数和为4的概率；(Ⅱ)从10人中任选2人，用X 表示2人答对题目个数之和，求随机变量X 的分布列及数学期望E(X)． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PC 上底面ABCD ，底面 ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2AD= 2CD=2，PE-=2BE ．(I)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(Ⅱ)若二面角P-AC-E 的余弦值为 3PA 与 平面EAC 所成角的正弦值． 19.（本小题满分12分） 数列 {}n a 中 112a =，前n 项和 22(1),.n n S n a n n n N *=--∈． (I)证明数列 1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (Ⅱ)设 21(21)n n b S n n =-，数列 {}n b 的前 n 项和为 n T ，试证明： 1n T <·20.（本小题满分13分）如图已知抛物线 2:2(0)C y px p =>的准线为 l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切，过原点作倾斜角为3π的直线t ，交 l 于点A ，交圆M 于点B ，且 AO OB ==2.(I)求圆M 和抛物线C 的方程；(Ⅱ)已知点N(4，0)，设G ，H 是抛物线上异于原点O 的两个 不同点，且N ，G ，H 三点共线，证明： OG OH ⊥并求△GOH 面 积的最小值．21.（本小题满分14分）已知函数 ()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数，a 为常数． (I)若函数f(x)存在极小值，且极小值为0，求a 的值； (Ⅱ)若对任意 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式 ()2(1sin )xf x ax e x -≥-恒成立，求a 的取值范围．。
2015年山东省德州市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（50分）1．（5分）设复数z的共轭复数为，若（2+i）z＝3﹣i，则的值为（）A．1B．2C．D．42．（5分）设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{l，3}，B＝{3，5}，则（∁U A）∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{0，2，4}D．{0，2，4，6} 3．（5分）“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入数据n＝5，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，则输出的结果为（）A．1B．2C．3D．45．（5分）若函数f（x）＝a2x﹣4，g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2）•g （2）＜0，则函数f（x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）已知抛物线y2＝8x与双曲线﹣y2＝1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x±3y＝0B．3x±5y＝0C．4x±5y＝0D．5x±4y＝0 7．（5分）棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4D．38．（5分）已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2+y2＝4与D 围成的区域面积为（）A．B．C．πD．9．（5分）设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（）A．﹣13B．6C．79D．3710．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x ＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A．2015＜2014＜f（1）B．2015＜f（1）＜2014C．f（1）＜2015＜2014D．f（1）＜2014＜2015二、填空题（25分）11．（5分）某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是人．12．（5分）（2x+）dx＝．13．（5分）若不等式|x+1|+|2x﹣1|＞a恒成立，则a的取值范围是．14．（5分）将函数f（x）＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为．15．（5分）设函数f（x）、g（x）的定义域分别为D J，D E，且D J⊆D E．若对于任意x⊆D J，都有g（x）＝f（x），则称函数g（x）为f（x）在D E上的一个延拓函数．设f（x）＝e x（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题：①当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1）；②函数g（x）有5个零点；③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；④函数g（x）的极大值为1，极小值为﹣1；⑤∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2其中正确的命题是（填上所有正确的命题序号）三、解答题（75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足．（1）求角A的大小；（2）求sin A•sin B•sin C的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．17．（12分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值．18．（12分）某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为．（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；（2）该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖）．且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列及数学期望．19．（12分）单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n＝a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足a n+1+log2b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．20．（13分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围．21．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2015年山东省德州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（50分）1．（5分）设复数z的共轭复数为，若（2+i）z＝3﹣i，则的值为（）A．1B．2C．D．4【解答】解：由（2+i）z＝3﹣i，得，∴＝．故选：B．2．（5分）设全集U＝{x∈N|x＜6}，集合A＝{l，3}，B＝{3，5}，则（∁U A）∩（∁U B）＝（）A．{2，4}B．{2，4，6}C．{0，2，4}D．{0，2，4，6}【解答】解：∵全集U＝{x∈N|x＜6}＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{l，3}，B ＝{3，5}，∴∁U A＝{0，2，4，5}，∁U B＝{0，1，2，4}，则（∁U A）∩（∁U B）＝{0，2，4}．故选：C．3．（5分）“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若￢p为假命题，则p为真命题．若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，故“¬p为假命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入数据n＝5，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，则输出的结果为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：模拟执行程序，可得输入数据n＝5，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，a5＝5，S＝0，k＝1S＝1，k＝2不满足条件k＞5，S＝，k＝3不满足条件k＞5，S＝2，k＝4不满足条件k＞5，S＝，k＝5不满足条件k＞5，S＝3，k＝6满足条件k＞5，退出循环，输出S的值为3．故选：C．5．（5分）若函数f（x）＝a2x﹣4，g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1），且f（2）•g （2）＜0，则函数f（x），g（x）在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意f（x）＝a2x﹣4是指数型的，g（x）＝log a|x|是对数型的且是一个偶函数，由f（2）•g（2）＜0，可得出g（2）＜0，故log a2＜0，故0＜a＜1，由此特征可以确定C、D两选项不正确，且f（x）＝a2x﹣4是一个减函数，由此知A不对，B选项是正确答案故选：B．6．（5分）已知抛物线y2＝8x与双曲线﹣y2＝1的一个交点为M，F为抛物线的焦点，若|MF|＝5，则该双曲线的渐近线方程为（）A．5x±3y＝0B．3x±5y＝0C．4x±5y＝0D．5x±4y＝0【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，设M（m，n），则由抛物线的定义可得|MF|＝m+2＝5，解得m＝3，由n2＝24，可得n＝±2．将M（3，）代入双曲线﹣y2＝1，可得﹣24＝1，解得a＝，即有双曲线的渐近线方程为y＝±x．即为5x±3y＝0．故选：A．7．（5分）棱长为2的正方体被一平面截得的几何体的三视图如图所示，那么被截去的几何体的体积是（）A．B．C．4D．3【解答】解：该几何体为正方体沿体对角线截成，其分成两部分的几何体的体积相等，而正方体的体积V＝23＝8，故被截去的几何体的体积是＝4，故选：C．8．（5分）已知D是不等式组所确定的平面区域，则圆x2+y2＝4与D 围成的区域面积为（）A．B．C．πD．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，则公共区域如图：则直线x﹣2y＝0的斜率k＝，直线x+3y＝0的斜率k＝，则两直线的夹角θ满足tanθ＝||＝1，则θ＝，则阴影部分对应的面积之和S＝＝，故选：A．9．（5分）设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（）A．﹣13B．6C．79D．37【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为•（﹣2）+•（﹣5）＝﹣16，可得2m+5n＝16 ①．再根据m、n为正整数，可得m＝3、n＝2，故含x2项的系数是•（﹣2）2+•（﹣5）2＝37，故选：D．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），当x ＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则f（1），2014，2015在大小关系为（）A．2015＜2014＜f（1）B．2015＜f（1）＜2014C．f（1）＜2015＜2014D．f（1）＜2014＜2015【解答】解：已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其导函数为f′（x），则：设函数g（x）＝x2f（x）则：g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝g′（x）＝x（2f（x）+xf′（x））当x＜0时，2f（x）+xf′（x）＜0恒成立，则：函数g′（x）＞0所以函数在x＜0时，函数g（x）为单调递增函数．由于函数f（x）是定义在R上的奇函数，则：函数g（x）＝x2f（x）为奇函数．所以：在x＞0时，函数g（x）为单调递增函数．所以：g（）即：故选：D．二、填空题（25分）11．（5分）某校对全校1600名男女学生的视力状况进行调查，现用分层抽样的方法抽取一个容量是200的样本，已知女生比男生少抽10人，则该校的女生人数是760人．【解答】解：根据题意，设样本中女生人数为x，则（x+10）+x＝200，解得x＝95，所以该校的女生人数是人，故答案为：760．12．（5分）（2x+）dx＝e2．【解答】解：∵（lnx）′＝，（x2）′＝2x，∴＝x2|1e+lnx|1e＝e2﹣1+lne﹣ln1＝e2故答案为：e213．（5分）若不等式|x+1|+|2x﹣1|＞a恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，）．【解答】解：设f（x）＝|x+1|+|2x﹣1|＝，由于函数f（x）在（﹣∞，﹣1]、（﹣1，）上都是减函数，在[，+∞）上是增函数，故当x＝时，函数f（x）取得最小值为f（）＝．再根据题意可得＞a，故答案为：（﹣∞，）．14．（5分）将函数f（x）＝2sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，若y＝g（x）在[0，]上为增函数，则ω的最大值为2．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）＝2sinωx，y＝g（x）在上为增函数，所以，即：ω≤2，所以ω的最大值为：2．故答案为：2．15．（5分）设函数f（x）、g（x）的定义域分别为D J，D E，且D J⊆D E．若对于任意x⊆D J，都有g（x）＝f（x），则称函数g（x）为f（x）在D E上的一个延拓函数．设f（x）＝e x（x+1）（x＜0），g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，给出以下命题：①当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1）；②函数g（x）有5个零点；③g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）；④函数g（x）的极大值为1，极小值为﹣1；⑤∀x1，x2∈R，都有|g（x1）﹣g（x2）|＜2其中正确的命题是①③⑤（填上所有正确的命题序号）【解答】解：①由题意得，若x＞0时，则﹣x＜0，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是奇函数，则g（x）＝f（x）＝e x（x+1）（x＜0），∴g（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1）＝﹣g（x），∴g（x）＝e﹣x（x﹣1），（x＞0），故①正确；②∵g（x）＝e x（x+1）（x＜0），此时g′（x）＝e x（x+2），令其等于0，解得x＝﹣2，且当x∈（﹣∞，﹣2）上导数小于0，函数单调递减；当x∈（﹣2，0）上导数大于0，函数单调递增，x＝﹣2处为极小值点，且g（﹣2）＞﹣1，且在x＝﹣1处函数值为0，且当x＜﹣1是函数值为负．又∵奇函数的图象关于原点中心对称，故函数f（x）的图象应如图所示：由图象可知：函数g（x）有3个零点，故②错误；③由②知函数g（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞），故③正确，；④由②知函数在x＝﹣2处取得极小值，极小值为g（﹣2）＝e﹣2（﹣2+1）＝﹣e﹣2，根据奇函数的对称性可知在x＝2处取得极大值，极大值为g（2）＝e﹣2，故④错误；⑤当x＜0时，g（x）＝e x（x+1），则当x→0时，g（x）→1，当x＞0时，g（x）＝e﹣x（x﹣1），则当x→0时，g（x）→﹣1，即当x＜0时，﹣1＜﹣e﹣2＜g（x）＜1，即当x＞0时，﹣1＜g（x）＜e﹣2＜1，故有对∀x1，x2∈R，|g（x2）﹣g（x1）|＜2恒成立，即⑤正确．故正确的命题是①③⑤，故答案为：①③⑤三、解答题（75分）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，满足．（1）求角A的大小；（2）求sin A•sin B•sin C的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．【解答】解：（1）∵＝cb cos A，．∴2bc cos A＝a2﹣（b+c）2，展开为：2bc cos A＝a2﹣b2﹣c2﹣2bc，∴2bc cos A＝﹣2bc cos A﹣2bc，化为cos A＝﹣，∵A∈（0，π）．∴．（2）∵，∴，．∴sin A•sin B•sin C＝＝＝﹣＝＝﹣＝﹣，∵．∴，当＝时，即时，sin A•sin B•sin C取得最大值，此时B＝C＝．17．（12分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为4，D为的CC1中点．（1）求证：AB1⊥平面A1BD；（2）求二面角A﹣A1D﹣B的余弦值．【解答】（1）证明：取BC中点O，连接AO，∵△ABC为正三角形，∴AO⊥BC，∵在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1，取B1C1中点为O1，以O为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则．∴，，．∵，．∴，，∴AB1⊥面A1BD．AD的法向量为，（2）设平面A．，∴，∴，⇒，令z＝1，得为平面A 1AD的一个法向量，由（1）知AB1⊥面A1BD，∴为平面A1AD的法向量，，由图可以看出：二面角A﹣A1D﹣B是锐角．∴二面角A﹣A1D﹣B的余弦值为．18．（12分）某科技公司组织技术人员进行新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验A，B，C，若A，B，C实验成功的概率分别为．（1）对A，B，C实验各进行一次，求至少有一次实验成功的概率；（2）该项目要求实验A，B各做两次，实验C做3次，如果A实验两次都成功则进行实验B并获奖励10000元，两次B实验都成功则进行实验C并获奖励30000元，3次C实验只要有两次成功，则项目研发成功并获奖励60000元（不重复得奖）．且每次实验相互独立，用X表示技术人员所获奖励的数值，写出X的分布列及数学期望．【解答】解：（1）设A，B，C实验成功分别记为事件A，B，C，且相互独立．记事件至少有一次实验成功为D，则P（D）＝1﹣＝1﹣＝1﹣＝．（II）X的取值分别为，0，10000，30000，60000．则P（X＝0）＝+＝，P（X＝10000）＝×＝，P（X＝30000）＝＝，P（X＝60000）＝×＝，X分布列为：X的数学期望E（X）＝+++＝21600元．19．（12分）单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n＝a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足a n+1+log2b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵4S n＝a n2+4n．∴当n＝1时，4a1＝+4，解得a1＝2；当n≥2时，+4（n﹣1），∴4a n＝4S n﹣4S n﹣1＝a n2+4n﹣，化为，变为（a n﹣2+a n﹣1）（a n﹣2﹣a n﹣1）＝0，∴a n+a n﹣1＝2或a n﹣a n﹣1＝2．∵数列{a n}是单调递增数列，a n+a n﹣1＝2应该舍去，∴a n﹣a n﹣1＝2．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为2，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．（2）∵数列{b n}满足，∴＝，∴＝．∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+，＝+…+，∴＝++…+＝﹣＝，∴．20．（13分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+（a∈R）（1）求f（x）的单调区间；（2）若在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝x﹣alnx+（a∈R），∴f′（x）＝1﹣﹣＝＝，①当1+a≤0时，即a≤﹣1时，在x∈（0，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a+1＞0时，即a＞﹣1时，在（0，1+a）上f′（x）＜0，在（1+a，+∞）上，f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，1+a）上单调递减，在（1+a，+∞）上单调递增，（2）在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立，∴函数f（x）＝x﹣alnx+在[1，e]的最小值小于或等于0，由（1）知，当a≤﹣1时，在[1，e]上为增函数，f（x）min＝f（1）＝1+1+a≤0，解得a≤﹣2，当a＞﹣1时①当1+a≥e时，即a≥e﹣1时，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）min＝f（e）＝e+﹣a≤0，解得a≥，∵＞e﹣1，∴a≥；②当1+a≤1，即a≤0，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝1+1+a≤0，解得a≤﹣2，与a＞﹣1矛盾；③当1＜1+a＜e，即0＜a＜e﹣1时，f（x）min＝f（1+a），∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴f（1+a）＝a+2﹣aln（1+a）＞2，此时f（1+a）≤0不成立，综上所述若在[1，e]（e＝2.71828…）上任取一点x0，使得f（x0）≤0成立a的范围为a≥，或a≤﹣221．（14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（2，），Q（2，﹣）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．（i）若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；（ii）当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【解答】解：（1）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝﹣2上，∴﹣b＝﹣2，解得b＝2．又，a2＝b2+c2，∴a＝4，，可得椭圆C的标准方程为．（2））（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y＝，联立，化为﹣12＝0，由△＞0，解得，∴，x 1x2＝3t2﹣12，∴|x1﹣x2|＝＝．四边形APBQ面积S＝＝，当t＝0时，S max＝12．（ii）∵∠APQ＝∠BPQ，则P A，PB的斜率互为相反数，可设直线P A的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线P A的方程为：＝k（x﹣2），联立，化为+4﹣16＝0，∴x1+2＝，同理可得：x2+2＝＝，∴x1+x2＝，x1﹣x2＝，k AB＝＝＝．∴直线AB的斜率为定值．。
山东省德州市2015届高三上学期2月期末统考数学(理)试题Word版含答案
数学（理科）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第1卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟，注意事项：选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第I 卷（共50分） ．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．把正确答案涂在答题卡上．1．设 1z i =-，则 22z z+= A ．-1-i B ．-l+iC ．1-iD ．l+i2．满足条件 {}{}1,21,2,3,4,5B =的所有集合B 的个数为A ．8B ．4C ．3D ．23． 22log (4)y x =-的定义域是 A. ()2,0(1,2)- B ．(]2,0(1,2)- C. ()[)2,01,2- D. [][]2,01,2-4．下列叙述中正确的是A.若 ()p q ∧⌝为假，则一定是p 假q 真B ．命题“ 2,0x R x ∀∈≥”的否定是“ 2,0x R x ∃∈≥”C ．若a ，b ，c ∈R ，则“ 22ab >cb ”的充分不必要条件是“a>c ”D ．设 α是一平面，a ，b 是两条不同的直线，若 a ,b αα⊥⊥，则a//b5．不等式 136x x -++≤的解集为A ．[-4，2]B ． [)2,+∞C ． (],4-∞-D ． (][),42,-∞-+∞6．如图是某居民小区年龄在20岁到45岁的居民上网情况的频率分布直方图，现已知年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]的上网人数呈现递减的等差数列，则年龄在[35，40）的频A. 0. 04B. 0. 06C. 0. 2D. 0. 37．当 102x <≤时， 1()log 4x a x <，则a 的取值范围是 A ． 1(0,)4 B ． 1(,1)4 C ． (1,4) D ．8．由不等式组 0,0,20x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪--≤⎩确定的平面区域记为 1Ω，不等式组12x y x y +≤⎧⎨+≥-⎩确定的平面区域记为 2Ω，则 1Ω与 2Ω公共部分的面积为A ． 154B ． 32C ． 34D ． 749．如图所示，由函数 ()sin f x x =与函数 ()cos g x x =在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象所围成的封闭图形的面积为 A ．1-B ．2-C ．D ．10.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为 1,F F ，且两条曲线在第 一象限的交点为P ， 12PF F ∆是以 1PF 为底边的等腰三角形，若 110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为 12,e e ，则 21e e -的取值范围是A ． 2(,)3+∞ B ． 4(,)3+∞ C ． 2(0,)3 D ． 24(,)33第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．11.已知实数 []2,30x ∈，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率是________．12．已知 1(2a OA a b =-=-，若△OAB 是以O 为 直角顶点的等腰直角三角形，则△AOB 的面积是_______.13.若 9290129(2)(1)(1)(1)x m a a x a x a x ++=+++++⋅⋅⋅++且229028139()()3a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+=，则实数m 的值是 _________．14.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120 的等腰三角形，则该三棱锥的四个表面中，面积的最大值为_______.15.已知定义在R 上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数 ()t t R ∈，使得 ()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称f(x)是回旋函数．给出下列四个命题：①常值函数 ()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是t= -1;②若 (01)xy a a =<<为回旋函数，则t>l;③函数 2()f x x =不是回旋函数；④若f(x)是t=2的回旋函数，则f(x)在[0,4030]上至少有2015个零点．其中为真命题的是_________（写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）已知函数 ()2sin()cos()sin(23)33f x x x x ππ=+⋅+-+． (I)求 ()f x 的最小正周期及单调递增区间;(Ⅱ)若将 ()f x 的图象向左平移 4π个单位，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值， 17.（本小题满分12分）某单位为了丰富职工的业余生活，迎接“春节文艺汇演”，组织了10人参加“生活小百科” 知识竞赛，每人回答2个问题，答对题目的个数及对应人数统计结果如下表根据以上信息解答以下问题：(I)从10人中任选3人，求3人答对题目个数和为4的概率；(Ⅱ)从10人中任选2人，用X 表示2人答对题目个数之和，求随机变量X 的分布列及数学期望E(X)．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P - ABCD 中，PC 上底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB=2AD=2CD=2，PE-=2BE ．(I)求证：平面EAC ⊥平面PBC ；(Ⅱ)若二面角P-AC-E 的余弦值为PA 与 平面EAC 所成角的正弦值．19.（本小题满分12分）数列 {}n a 中 112a =，前n 项和 22(1),.n n S n a n n n N *=--∈． (I)证明数列 1n n S n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； (Ⅱ)设 21(21)n n b S n n =-，数列 {}n b 的前 n 项和为 n T ，试证明： 1n T <· 20.（本小题满分13分）如图已知抛物线 2:2(0)C y px p =>的准线为 l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，且与y 轴相切，过原点作倾斜角为 3π的直线t ，交 l 于点A ，交圆M 于点B ，且 AO OB ==2.(I)求圆M 和抛物线C 的方程；(Ⅱ)已知点N(4，0)，设G ，H 是抛物线上异于原点O 的两个不同点，且N ，G ，H 三点共线，证明： OG OH ⊥并求△GOH 面 积的最小值．21.（本小题满分14分）已知函数 ()x f x e ax =+，其中e 为自然对数的底数，a 为常数． (I)若函数f(x)存在极小值，且极小值为0，求a 的值；(Ⅱ)若对任意 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式 ()2(1sin )x f x ax e x -≥-恒成立，求a 的取值范围．。
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- 1 -
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第II卷3-5页，共
150分，测试时间120分钟.
注意事项：
选择题为四选一题目，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.
第I卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.把正确答案涂在答题卡上.
1.已知集合1,3,4,5A集合2450BxZxx，则AB的子集个数为
A.2 B.4 C.8 D.16
2.如图，复平面上的点1234,,,ZZZZ到原点的距离都相等，若复数
z所
对应的点为1Z，则复数zi（i是虚数单位）的共轭复数所对应的
点为
A. 1Z B. 2Z
C. 3Z D. 4Z
3.给出下列两个命题，命题:p“3x”是“5x”的充分不必要条件；命题q：函数
2
2
log1yxx
是奇函数，则下列命题是真命题的是
A. pq B. pq
C. pq D. pq
4.若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示如图，其中茎为十位数，叶为个位
数，则这组数据的平均数和方差分别是
A.91 5.5 B.91 5
C.92 5.5 D.92 5
5.已知关于x的不等式18xxa的解集不是空集，则a的取值范围是
A. 9a B. 7a
C. 97a D. 97aa或
6.已知变量,xy满足： 220230,20xyxyxyzx则的最大值为
- 2 -
A. 2 B. 22
C.2 D.4
7.执行如图所示的程序框图，输出的结果是
A.5
B.6
C.7
D.8
8.指数函数xbya与二次函数22,yaxbxaRbR在同一坐标系中的图象可能的
是
9. 622axx展开式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线
2yx和圆22
xyax及
轴围成的封闭图形，则封闭图形的面
积为
A. 146 B. 146 C. 4 D. 16
10.已知函数sin1,02=01log,0axxfxaaxx，且的图象上关于y轴对称的点至少有
5对，则实数a的取值范围是
A. 50,5 B. 5,15 C. 7,17 D. 70,7
第II卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
11.某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩2~100,XNa（0a，试卷
满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的35，则
此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人.
- 3 -
12.一个几何体的三视图如图所示，该几何体体积为
____________.
13.已知向量ABAC与uuuruuur的夹角为60，且
==2ABAC
uuuruuuur
，若,APABACAPBC且uuuruuuruuuruuuruuur，
则
实数的值为___________.
14.已知双曲线222210,0xyabab的半焦距为c，
过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线24ycx的准线被双曲线截
得的弦长是2223be（e为双曲线的离心率），则e的值为___________.
15.已知函数2ln1fxaxx在区间1,2内任取两个实数,,pqpq且，不等式
111fpfqpq
恒成立，则实数a的取值范围为___________.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分12分）
已知33sin2,cos,sin,cos,2mxxnxxfxmn.
（I）求yfx的单调递增区间和对称中心；
（II）在ABC中，角A、B、C所对应的边分别为abc、、，若有1,72fBb，
133
sinsin14ACABC，求
.
17. （本小题满分12分）
如图，已知四棱锥PABCD的底面为菱形，
=1202,2BCDABPCAPBP，
.
（1）求证：ABPC;
（II）求二面角BPCD的余弦值.
18. （本小题满分12分）
- 4 -
交通指数是拥堵的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念，记为T.其范围为010，，分别
有五个级别：02T，畅通；24T，基本畅通；T4，6轻度拥堵；6T，8中度
拥堵；8T，10严重拥堵.在晚高峰时段2T，从某市指挥中心选取了市区20个路段，
依据其数据绘制的频率分布直方图如图所示.
（I）在这20个路段中，随机选取了两个路段，求
这两个路段至少有一个未出现严重拥堵的概率；
（II）从这20个路段中随机抽取3个路段，用X
表示抽取的中度拥堵的路段的个数，求X的分布
列及期望.
19. （本小题满分12分）
数列na的前n项和为,2nnnSSn，等差数列nb的各项为正实数，其前n项和为
3112233,15,,,1n
TTababab且又
成等比数列.
（I）求数列,nnab的通项公式；
（II）若2nnncabn，当时求数列nc的前n项和nA.
20.（本小题满分13分）
如图，已知椭圆：2214xy，点A，B是它的两个顶点，过原点且斜率为k的直线l与线段
AB相交于点D，且与椭圆相交于E、F两点.
（I）若6EDDFk，求uuuruuur的值；
（II）求四边形AEBF面积的最大值.
21. （本小题满分14分）
已知函数2lnfxxax.
（I）求fx的单调区间；
（II）设1,gxfxxal是曲线ygx的一条切线，证明：曲线ygx上
的任意一点都不能在直线l的上方；
（III）当1a时，方程2212mxfxmx有唯一实数解，求正数m的值.
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