§1.2 标量场及其梯度
电动力学常用数学公式
垐,,AA AAA A A A===（单位矢量）在坐标系中 31i ii A Ae ==∑ 直角系 z yz A A i Aj A k =++方向余弦：cos ,cos cos cos cos x y z Ax Ay Az Ae e e A Aβγαβγ===++321(A A =+二．矢量运算加法： A B B A +=+ 交换律 ()()A B C A B C ++=++ 结合律 31()iiii A B A B e =+=+∑ 满足平行四边形法则标量积：31cos i ii A B A BAB θ=⋅==∑A B B A ⋅=⋅ 交换律()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅ 分配律123123123sin n e e e A B AB e A A A B B B θ⨯== ()A B C A B A C ⨯+=⨯+⨯ 分配律A B B A ⨯=-⨯ 不满足交换律 123123123()()()A A A A B C B C A C A B B B B C C C ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯=3乘2，点2乘3）()()A B C A B C ⨯⨯≠⨯⨯三．矢量微分ˆˆdA dA dAA A dt dt dt=+ ()A B dB dAA B dt dt dt ⋅=⋅+⋅ ()A B dB dAA B dt dt dt⨯=⨯+⨯ 四．并矢与张量并矢： AB (一般 AB BA ≠)，有九个分量。
若某个量有九个分量，它被称为张量33,1,i i ijij i ji j i jT AB A B e e T e e====∑∑ i j e e 为单位并矢，矢量与张量的矩阵表示：123,i iA A Ae A A A ⎛ == ⎝∑1211223(,B AB A A A B A B A B ⎛⎫==++T AB = T T T T ⎛ = ⎝单位张量：31i j i e e ==∑0100 = ⎝,i j()()()()AB C A B C A C B AC BC B A C BAB C A B CA⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅()()()C AB C A B B C A B A C BA C ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅与矢量叉乘：()()AB C A B C C AB C A B ⎧⨯=⨯⎪⎨⨯=⨯⎪⎩并矢并矢两并矢点乘：()()()AB CD A B C D A B C AD CD AB ⋅=⋅=⋅≠⋅ (并矢) 两并矢二次点乘： ()():AB CD B C A D =⋅⋅ 标量与单位张量点乘：C C C ⋅=⋅=AB AB AB ⋅=⋅=:AB A B =⋅15-20分钟）)()A B A B +⨯- ()()2B A =⨯ ()()M b a c a b c =⋅-⋅与矢量C 垂直。
光信息物理基础 第1章 数学基础 第3讲
旋度
Az Ay A A Ay Az R ex ( ) ey ( x z ) ez ( ) y z z x x y
梯度的方向就是标量场变化 率最大的方向，其模就是变 化率的最大值。 在给定点，梯度沿任意方向 的投影就是沿这个方向的标 量场的方向导数。
n lim
A dl S
L 0
lim S 0 S
为矢量场在点M 处沿方向 n的环量面密度。 特点：其值与点M 处的方向 n有关。
环量面密度的计算公式
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
C 0
（C 是常矢量）
(uC ) u C （u 是标量场） (uF ) u F u F （F 是矢量场） (F G) F G ( F G ) G F F G （矢量场的旋度的散度 恒为零） ( F ) 0 ( u ) 0
10
利用积分中值定理：
Ax Az Az Ay [( ) cos(n , x) ( ) cos( n , y ) y z z x Ax ( ) cos(n , z )] S x y M
因此环量面密度为：
Ay
Ax Az Az Ay n ( ) cos(n , x) ( ) cos(n , y ) y z z x Ay Az ( ) cos(n , z ) x y
（1）矢量场的环量 矢量场A沿任一闭合曲线L的积分,称为环量。
矢量场和梯度算子ppt课件
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什么是场？
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场在空间某个方向上的变化率
φ在 方向上的变化率 方向导数
在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律
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梯度算子
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场在空间某个方向上的变化率(续)
是一个矢量场的三个分量
梯度算子
φ在 方向上的方向导数
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梯度算子
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梯度算子
梯度算子▽是一个矢量算子 梯度算子是一个矢量微分算符：
(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得
证毕
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梯度算子
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场随空间的二阶变化
矢量场散度
是标量场：
①
矢量场旋度
是矢量场：
②
③
标量场梯度
是矢量场：
④
⑤
④
Laplace(标量)算符
是一个矢量场，其分量为
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梯度算子
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场随空间的二阶变化
矢量场散度
是标量场：
①
矢量场旋度
是矢量场：
➢ 作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则 ➢ 作为算符，需作用于表达式中的所有对象
标量场梯度是一个矢量场：
矢量场散度是一个标量场：
矢量场旋度是一个矢量场：
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梯度算子
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与位置有关的矢量微分公式
证明：
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梯度算子
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与梯度算子有关的一些矢量恒等式
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(2) 视 ∇A 矢和 ∇B 为“矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：
(3) 代回原式并舍去矢量算符的下标得
电动力学 矢量分析
式中div 是英文字母 divergence 的缩写， V 为闭合面 S 包围的体 积。上式表明，散度是一个标量，它可理解为通过包围单位体积 闭合面的通量。
直角坐标系中散度可表示为
divA Ax Ay Az x y z
因此散度可用算符 表示为
divA A
高斯定理
V divA dV S A dS
通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源
的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。
散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的 通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该 点的散度，以 div A 表示，即
divA lim S AdS ΔV 0 ΔV
此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者 说，任何梯度场一定是无旋场。
5. 格林定理
设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，
如下图示。
那么，可以
V (
2 )dV
S
n
dS
式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量
n
场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏
在直角坐标系中，标量场 的梯度可表示为
grad
ex
x
ey
y
ez
z
式中grad 是英文字母 gradient 的缩写。
若引入算符，它在直角坐标系中可表示为
ex
x
ey
y
ez
z
则梯度可表示为
grad
2. 矢量场的通量与散度
通量： 矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 A 通过该有向曲
式中
(r) 1 F (r) dV
第1章 - 1 矢量坐标系梯度
12
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .1 正交坐标系
任意矢量A：
A A
Au21 Au22 Au23
任意矢量B：
（1-22） （1-23） （1-24）
（1-25） （1-26）
13
第一章 矢 量 分 析
e e e u1
u2
u3
A B Au1 Au2 Au3
B B B u1
u2
u3
（1-27）
d , d, dz
拉梅系数：
r
h1 1, h2 , h3 1 （1-58）
位置矢量为： r = e + ez z
线元微分元为： dr = d (e + ez z)
e d de ezdz zdez e d e de ezdz
（1-59） （1-60）
26
第一章 矢 量 分 析
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .3 圆柱坐标系
ez
e
e
(u1，u2，u3 ) (,, z)
（1-48）
ez P(ρ0 ,φ0 , z0 )
e e
0 0 2
z
e e ez
e ez e
（1-49）
图 1 -6 柱坐标系
ez e e
21
第一章 矢 量 分 析
ez ez
ex e cos e sin ， ey e sin e cos ， ez ez
（1-51-2）
22
第一章 矢 量 分 析
园柱坐标系中矢量：
A e A e A ez Az
直角坐标系中：
A ex Ax ey Ay ez Az
坐标变换矩阵为：
Ax cos
大学物理+补充-矢量分析简介
A , A 0 , 即 0
A 0 , A A 0 , 2 0
3、谐和场 若一矢量场在空间某一范围内，即无散又无旋，称谐和场 无旋： 无散：
——拉普拉斯方程
即：谐和场的位函数满足拉普拉斯方程。
2、矢量场的旋度（是个矢量场） curlA (或 rotA , 或 A ) A dl A ( A) n lim lim L S S 0 S S 0
i j k Az Ay Ax Az Ay Ax A ( )i ( )j ( )k x y z y z z x x y Ax Ay Az
任何矢量场的旋度永远是无散场：
B A
B 0
即 ( A) 0
2、有旋场和无旋场
A dl 0 或 A 0
L
若一矢量场在空间某一范围内
称“无旋场”或“有势场”或“位场” 否则称“有旋场”
任何标量场的梯度永远是个无旋场：
以电磁场为例： 非恒定情况下，电场既有散度又有旋度。
E E势 E旋 麦克斯韦方程组： D e 0 D dS q0 B B E dS E dl t t B 0 B dS 0 D D H dl I 0 t dS H j0 t
研究任何矢量场时，常引入“场线”概念，如电场线，磁场线。
二、标量场的梯度 grad
(或 )
标量场的梯度定义为这样一个矢量，它的方向沿方向 微商最大的方向，数值上等于这个最大的方向微商：
ˆ n n
i j k x y z
《电磁场理论》1.1 标量场和矢量场
7
二、标量场与矢量场
1．标量场和矢量场的概念
“场”概念的引入：物理量（如温度、电场、磁场） 在空间以某种形式分布，若每一时刻每个物理量都有 一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。
场的分类： 按物理量的性质分： 1）标量场：描述场的物理量为标量（温度场，电位场）。 2）矢量场：描述场的物理量为矢量（电场，磁场）。 按物理量变化特性分： 1）静态场：物理量不随时间发生变化的场。 2）时变场（动态场）：物理量随时间的变化而变化 01:50 的场。
R r r
R ( x x)e x ( y y)e y ( z z)e z
R2 [( x x)2 ( y y)2 ( z z)2 ]
01:50 4
4.矢量的代数运算
A Ax e x Ay e y Az e z C C x e x C y e y Cz e z B B x e x B y e y Bz e z
| A |
2 2 Ax Ay Az2
设矢量 A与三个坐标轴x、y、z的夹角分别为α、β、γ， 则
Ax A cos Az A cos
z
Ay A cos
P(x,y,z)
A
Ax x O Ay
Az y
任一方向的单位矢量为
e e x cos e y cos e z cos
P r dr
A (r)
d r// A
于是有 即
dr A 0
dx dy dz Ax Ay Az
O
01:50
11
01:50
3
3.位置矢量
矢量 r :点P的位置矢量。
r xe x ye y z e z
工程电磁场基础[整理版]
工程电磁场基础目录引言一、电磁学发展简史二、电磁场理论课程的特点第一章自由空间中的电磁场定律1.1基本定义1.1.1电荷密度一、体电荷密度ρ二、面电荷密度η三、线电荷密度λ四、点电荷q1.1.2电流密度一、体电流密度J二、面电流密度K三、线电流I1.1.3基本场量一、洛仑兹力公式二、电场强度E三、磁场强度H1.2自由空间中的电磁场定律1.2.1场定律中符号的意义1.2.2各电磁场定律的数学物理意义一、法拉第电磁感应定律的意义二、修正的安培环路定律的意义三、电场高斯定律的意义四、磁场高斯定律的意义五、电荷守恒定律的意义1.2.3电磁场定律整体的物理意义1.3积分形式场定律的应用习题第二章矢量分析2.1标量场的梯度2.1.1标量场的等值面2.1.2标量场的梯度一、位移的方向余弦和单位矢量二、方向导数三、标量场的梯度2.1.3梯度的性质2.1.4标量场梯度的物理意义2.1.5例题2.2矢量场的散度和高斯定理2.2.1矢量场的场流图2.2.2矢量场的散度一、散度的定义二、散度的数学计算式2.2.3矢量场散度的性质2.2.4矢量场散度的物理意义2.2.5高斯定理一、高斯定理二、高斯定理的证明2.2.6自由空间中微分形式场定律的散度关系式2.2.7拉普拉斯运算符2.2.8例题2.3矢量场的旋度和斯托克斯定理2.3.1保守场和非保守场2.3.2矢量场的旋度一、旋度的定义二、旋度的数学计算式2.3.3矢量场的旋度的性质2.3.4矢量场旋度的物理意义2.3.5斯托克斯定理一、斯托克斯定理二、定理证明三、保守场的判据2.3.6自由空间微分场定律中的旋度关系式2.3.7例题习题第三章自由空间的微分场定律3.1微分场定律3.1.1微分场定律的数学物理意义一、法拉第电磁感应定律的意义二、修正的安培定律的意义三、电场高斯定律的意义四、磁场高斯定律的意义五、电荷守恒定律的意义3.1.2微分场定律整体的意义3.1.3例题3.2边界条件3.2.1电磁场中的不连续界面3.2.2边界条件一、边界法线方向上的关系式（法向边界条件）二、边界切线方向上的关系式（切向边界条件）3.2.3边界条件的物理意义一、电场强度切向边界条件的意义二、磁场强度切向边界条件的意义三、电场法向边界条件的意义四、磁场法向边界条件的意义五、电场和磁场边界条件的物理解释六、电流边界条件的意义七、边界条件所含的方向关系3.2.4微分场定律与边界条件的形式对应关系3.3微分场定律（含边界条件）的应用3.3.1已知场分布求源分布3.3.2已知源分布求场分布习题第四章静电场的标量位4.1静电场的标量位4.1.1静电场标量位的引入一、在原点的点电荷电场的标量位二、在空间某点的点电荷电场的标量位三、点电荷系电场的标量位四、分布在有限区域的带电系统的标量位4.1.2标量位（电位）的物理意义4.1.3电偶极子的电场和电位一、直接计算电场二、使用标量位计算电场4.1.4标量位的微分方程和边界条件一、微分方程二、一般边界条件三、边界为偶极层时的条件四、导体表面的边界条件4.1.5泊松方程的解4.2标量位的性质4.2.1极值定理4.2.2平均值定理一、格林定理二、平均值定理的证明三、平均值定理的应用4.2.3唯一性定理一、定理内容二、唯一性定理的证明4.3唯一性定理的应用4.3.1静电镜象法一、在无限大接地导体平板上方放置一个点电荷的系统二、接地导体角域内放置点电荷的系统三、接地导体球外放置一个点电荷的系统四、不接地不带电的导体球外放置一个点电荷的系统五、不接地、带电量为Q的导体球外放置一个点电荷的系统六、在一个接地的无限大导电平面上方放置一个偶极子的系统4.3.2电轴法一、两根相互平行且带等量异号电荷的无限长直导线的场二、两个等截面导体圆柱系统三、两个截面不相等的导体圆柱系统4.4复变函数在静电场问题中的应用4.4.1复电位（复位函数）4.4.2保角变换（保角映射）4.4.3许瓦兹－克瑞斯托弗尔变换4.5静电场示意场图的画法4.5.1静电场示意场图的作用4.5.2绘制静电场示意场图的基本法则4.5.3静电场示意场图实例一、在球形接地导体空腔内有一个点电荷二、两个不等量的异号电荷三、接地导体上的矩形空气槽四、矩形空气域五、两个同轴圆柱面间的空气域习题第五章静电场的分离变量法求解5.1拉普拉斯方程的变量可分离解5.1.1在直角坐标系中一、平凡解（明显解）二、一般解5.1.2在柱坐标系中一、平凡解二、与z变量无关的二维一般解三、柱坐标中拉普拉斯方程解的物理意义5.1.3在球坐标系中一、平凡解二、一般解三、球坐标中拉普拉斯方程解的物理意义5.2静电场问题求解实例5.2.1边界电位值已知的静电系统例1（上下为导体板，左右为源的矩形二维空气域）例2（扇形域）例3（锥面间域）例4（导体块上的空气槽）例5（有导体角的矩形域，迭加原理）例6（立方域）5.2.2带有自然边界条件的静电系统例1（导体上的半无界缝）例2（已知电位分布的圆柱面）例3（已知电位分布的球面）5.2.3带有电位导数边界条件的静电系统例1（平板电容器）例2（长方体形电阻器）例3（矩形导体片）例4（内有面电荷的二维矩形空腔）例5（带面电荷的圆柱面）例6（带面电荷的球面）例7（两种导体构成的半圆形电阻）5.2.4带有趋势性边界条件的静电系统例1（中心放置电偶极子的导体球壳）例2（中心放置点电荷的导体球壳）例3（上下异号的线电荷）例4（均匀电流场中的导体球）例5（均匀电场中的导体圆柱）5.3柱坐标系中三维拉普拉斯方程的分离变量解习题第六章静磁场与位函数的远区多极子展开式6.1静磁场的矢量位6.1.1毕奥－沙瓦定律一、电流元产生的磁场二、闭合电流线产生的磁场三、分布电流产生的磁场6.1.2磁场的矢量位一、静磁场方程二、磁场的矢量位三、磁矢位的方程四、磁矢位方程的解五、磁矢位的物理意义六、边界条件6.1.3例题6.2静磁场的标量位6.2.1磁标位一、磁标位的定义二、一个电流环的磁标位三、磁标位的方程和方程解族四、边界条件6.2.2例题6.3位函数在远区的多极子展开式6.3.1静电标量位Φ（r）的多极子展开式一、1/RQP的级数展开式二、Φ（r）的展开式三、电位Φ（r）多极子展开式的物理意义四、多极子展开式的应用6.3.2磁矢位A（r）的远区多极子展开式习题第七章有物质存在时的宏观场定律7.1物质极化的宏观模型7.1.1极化的概念7.1.2极化强度P7.1.3极化电荷与电场高斯定律一、极化电荷二、宏观极化模型下的电场高斯定律7.1.4极化电流与修正的安培定律一、极化电流二、宏观极化模型下的修正安培定律7.2极化问题举例7.2.1永久极化物体一、永久极化板二、永久极化球7.2.2非永久极化物体一、均匀电场中的电介质球二、填充均匀∈材料的平行板电容器三、填充非均匀∈材料的电容器四、空心介质球心放置一个电偶极子7.3物质磁化的安培电流模型7.3.1物质磁化的机理7.3.2磁化强度M7.3.3磁化电流密度7.3.4安培电流模型下的场定律7.3.5永久磁化圆柱的磁场7.4物质磁化的磁荷模型7.4.1物质磁化的机理7.4.2磁荷模型下的磁化强度7.4.3物质中的磁场高斯定律7.4.4物质中的法拉第电磁感应定律7.4.5永久磁化圆柱的磁场7.4.6有均匀磁介质的磁场系统一、均匀磁场中的磁介质球二、空心磁介质球心放置一个磁偶极子7.5物质中的场量组成关系和场定律7.5.1物质中的场量组成关系一、单值关系二、多值关系三、各向同性和各向异性7.5.2物质中的电磁场定律一、B－D形式的场定律二、E－H形式的场定律三、对称形式的场定律习题第八章电磁场的能量和功率8.1静电场和静磁场的能量8.1.1静电场的能量8.1.2静电场能计算举例8.1.3静磁场能量8.1.4静磁场能计算举例8.2坡印廷定理8.2.1电磁场供给运动电磁荷的功率一、电磁场对运动电磁荷的电磁力二、电磁场供给运动电磁荷的功率8.2.2坡印廷定理一、微分形式的坡印廷定理二、积分形式的坡印廷定理8.2.3坡印廷定理的量纲单位分析8.2.4坡印廷定理的物理解释一、对微分形式坡印廷定理的物理解释二、对积分形式坡印廷定理的物理解释三、在解释坡印廷定理上的假说性8.2.5对S和w的补充规定8.2.6坡印廷定理在物质中的应用8.3静态功率流与损耗8.4物质中的极化能和磁化能8.4.1极化能和电能8.4.2磁化能和磁能8.4.3磁能计算举例8.4.4物质宏观模型与坡印廷定理的关系8.5小结习题第九章时变场的低频特性9.1平行板系统中的交变电磁场9.1.1交变电磁场的严格解9.1.2平行板系统的低频响应9.2时变场的幂级数解法9.3低频系统中的场9.3.1平行板系统一、参考点的选取二、零阶场三、一阶场四、高阶场五、场分布和等效电路9.3.2单匝电感器一、系统的参考点二、零级近似场三、一级近似场四、二级近似场五、高阶场9.3.3多匝线圈一、不考虑线圈存在时的一阶电场二、放入线圈后的一阶电场三、计算a、b两点间的端电压9.4电路理论与电磁场理论的关系习题第十章平面电磁波10.1自由空间中均匀平面波的时域解10.1.1均匀平面波的电场和磁场时域解10.1.2均匀平面波的传播特性10.2正弦律时变场10.2.1复矢量10.2.2复数形式的场定律10.2.3复矢量乘积的物理意义10.3正弦律均匀平面波10.3.1均匀平面波的频域解10.3.2复数形式的坡印廷定理10.3.3复数坡印廷定理与微波网络的关系10.4平面波在有耗媒质中的传播10.4.1有耗媒质中的均匀平面波解10.4.2半导电媒质中均匀平面波的传播10.4.3良导体的趋肤效应10.4.4相速、群速和色散10.5电磁波的极化状态10.5.1电场极化状态的概念10.5.2极化方向的工程判断法一、瞬时场极化方向的判断二、复数场极化方向的判断10.5.3波的分解与合成一、线极化波的分解二、椭圆极化波的分解三、圆极化波的分解10.6沿任意方向传播的均匀平面波10.6.1波的数学表达式一、一般形式二、在直角坐标系中的表达式三、在柱坐标系和球坐标系中的表达式10.6.2波的特性10.7无耗媒质中的非均匀平面波10.8频率极高时媒质中的波10.8.1电介质中的波10.8.2金属中的波10.8.3电离层和等离子体中的波习题第十一章平面波的反射与折射11.1在自由空间与理想导体分界面处的反射现象11.1.1正入射11.1.2斜入射一、垂直极化二、平行极化11.2在两种介质分界面处的反射和折射现象11.2.1垂直极化一、入射角θi＝0二、入射角θi＞011.2.2平行极化11.3导电媒质表面的反射和折射11.3.1导电媒质中的实数折射角一、媒质Ⅱ是良导体二、媒质Ⅱ是不良导体11.3.2良导体中的透射功率11.3.3导电表面的反射一、媒质Ⅱ是良导体二、媒质Ⅱ是不良导体11.4透波和吸波现象11.4.1透波现象一、电磁波正入射二、电磁波斜入射三、多层介质板的透波现象11.4.2吸波现象一、干涉型吸收材料二、宽带吸收材料习题第十二章电磁波的辐射12.1时变场的位函数12.1.1标量位和矢量位12.1.2赫兹电矢量Ⅱ12.2时变场位函数方程的解12.2.1克希荷夫积分12.2.2达朗贝尔公式12.3交变电偶极子的辐射12.3.1交变电偶极子的电磁场量一、矢量位二、磁场强度三、电场强度12.3.2交变电偶极子场的分析一、近区场二、远区场三、辐射场的方向性四、辐射功率五、辐射电阻12.4交变磁偶极子的辐射12.4.1通过复数矢量位求电磁场12.4.2使用电磁对偶原理求电磁场12.5缝隙元的辐射12.6半波天线12.7天线阵12.8线天线电磁场的精确计算12.9天线的输入功率和输入阻抗习题第十三章电磁场的基本定理13.1格林定理13.1.1标量格林定理13.1.2广义格林定理13.1.3矢量格林定理13.2亥姆霍尔兹定理13.3静态场的几个定理13.3.1标量位Φ的唯一性定理13.3.2平均值定理13.3.3无极值定理13.3.4汤姆生定理13.3.5恩绍定理13.3.6矢量位A的唯一性定理13.4坡印廷定理13.5电磁力的定理――麦克斯韦定理13.6时变场的唯一性定理13.7相似原理13.8二重性原理和电磁对偶原理13.9等效原理13.10感应定理13.11互易定理13.12天线远场定理13.13克希荷夫－惠更斯原理13.14费马原理附录A 矢量的代数运算附录B 坐标系的有关概念附录C 立体角的有关概念。
电磁场与电磁波—矢量分析
两个矢量的点积：写成
A B
其值为： A B AB cos
A
点积的性质：
θ
交换律 分配律 按乘数比例
A B C A B A C k A B kA B A kB
A B B A
若该物理量为矢量，则称矢量场, 可用矢性函数表示F(x,y,z)； F(x,y,z,t) f(x,y,z,t)
若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。
第一章
矢量分析
笛卡尔坐标系
我们的标量函数（标量场）通常用笛卡 尔坐标系表示，我们的矢性函数也可以 用笛卡尔坐标系来表示 根据矢量的运算规则，多个矢量可以进 行矢量相加，反过来，一个矢量以可以 分解为多个矢量的和
B
第一章
矢量分析
两个矢量的叉积：写成 r F M 其值为： r F rF sin e n
M
r
F
第一章
矢量分析
叉积的性质：
不服从交换律 但服从分配 按乘数比例
A B C A B A C kA B k A B A kB
0
第一章
矢量分析
△z
z
若函数φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可 微， cosα 、 cosβ 、 cosγ 为 l 方向的方向余弦， 则函数 φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存 在，且为
γ M0 α
△x
ρ
β
M
电磁波与电磁场——第一章
• 令
为矢量G的三个坐标分量，即
• 矢量l的单位矢量 • 标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导数 定义为
• 矢量G称为标量场Φ的梯度
• • • •
标量场Φ的梯度是一个矢量场 由 可知，当 的方向与梯度方向 一致时，方向导数 取最大值。 标量场在某点梯度的大小等于该点的最大 方向导数，梯度的方向为该点具有最大方 向导数的方向。
1-2 矢量的代数运算
• • • • 矢量A=B：矢量A、B的大小及方向均相同时 矢量加法：平行四边形法则 矢量减法：三角形法则 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：
• 矢量的加法运算，结合律和交换率 • 结合律：（A+B）+C=A+（B+C） • 交换律：A+B=B+A
1-3 矢量的标积和矢积
• 标积（点积或内积），以点号“•”表示
直角坐标系下散度表达式的推导
• 不失一般性，令包围P点的微体积V 为一 直平行六面体，如图所示。则
由此可知，穿出前、后两侧面
的净通量值为
• 同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并 合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量 为
• 根据定义，则得到直角坐标系中的散 度 表式为
• 散度运算规则
例： 已知点电荷q所产生的电场强度
• 标量场的等值线（面）
• 等值面的特点： • 常数C 取一系列不同的值，就得到一系列 不同的等值面，形成等值面族； • 标量场的等值面充满场所在的整个空间； • 标量场的等值面互不相交。
• 方向导数:标量场在某点的方向导数表示标 量场自该点沿某一方向上的变化率
• 例如标量场 在 P 点沿 l 方向上的方向导 数 定义为
——拉普拉斯算符
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1、标量场定义及图示
对于区域V 内的任意一点r，若有
某种物理量的一个确定的数值或标量
函数ƒ(r)与之对应，我们就称这个标
量函数ƒ(r)是定义于V 内的标量场。
o
r
f (r)
V
标量场有两种：
与时间无关的恒稳标量场，用ƒ(r) 表示；
与时间有关的时变标量场，用ƒ(r,t )表示。
§1.2标量场及其梯度
等值线
标量场的图示--等值线(面)。
constzyxf)( ,,
在某一高度上沿什么方向高度变化最快？
作图原则：
1）等值线(面)不能相交，
2）相邻等值线（面）差值为常数。
2、梯度
点位移导致ƒ的改变
(x,y,z)
(x+dx,y+dy,z+dz)
ƒ+dƒ
ƒ
dl
y
z
x
o
线元矢量：
dl=dxex+dyey+dze
z
(1)梯度的导出
右图中，由(x,y,z) 点到邻近的(x+dx,y+dy,z+dz)点的微
分位移dl 将导致场函数有一微分增量d f
标量场的相应微增量dƒ则为：
zzfyyfxxffdddd
leeed)(dzyxzfyfxff
)(zyxzfyfxffgradfeee
标量场ƒ(x,y,z)在(x,y,z)点的梯度(gradient) 定义为：
lddff
因此
)(dzyxzfyfx
f
feee
（dxex+dyey+dzez）
(x,y,z)
(x+dx,y+dy,z+dz)
ƒ+dƒ
ƒ
dl
梯度定义式
（梯度定义式）
(2)方向导数与梯度的关系
偏导数、、分别叫做ƒ 在x、y、z 方向
上的方向导数，用梯度表示为
xf
yf
zf
zzyyxxffzfffyfffxfeee)(
)(
)(
推广到ƒ(x,y,z)在某点沿任意矢量l方向的方
向导数，则应表为
ll
fflfe)(
式中，el是l 的单位矢量。
（3）梯度的物理意义
•标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标的函数；
•梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等
值线（面）相垂直的方向，它指向函数的增加方向.
•梯度的大小为该点标量函数f的最大变化率，
即该点最大方向导数；
例1 电位场的梯度
•与过该点的等位线垂直；
•指向电位减少的方向。
•数值等于该点的最大方向导数；
电位场的梯度
（4）哈密顿算子▽（读作del或nabla）
直角坐标系中的具体形式为
zyxzyx
eee
使用算符时注意几点：
•单独存在没有任何意义；
•算符虽然不是一个真实矢量，但在运算中，必
须视为矢量，并令它具有矢量的一般特性，
即，。
•在不同坐标系中，算符有不同的表达形式。
2
0
（5）梯度的基本运算公式
0c
（c为常数）
fccf)(
gfgf)(
gffggf)(
2
)(ggffggf
uufuf)()(
（6）梯度运算的几个基本关系式
•相对坐标标量函数f (rr)
ff
证明：在直角坐标系中f(rr) =f(xx，yy，zz)
)(zyxzyxzfyfxfzfyfxfeeeeee
zfzfyfyfxfxf
,,
令xx=X，yy=Y，zz=Z，应用复合函数求导法则可得
;X)(XXX
fxxxfxfx
f
X)(XXXfxxxfxfx
f
即有
xfxf
上式重写为
等式若成立，则应有
同理可得
zfzfyfyf
,
证毕。
ff
•相对位置矢量R=r r 的模R=rr
R
R
ReR
23
1RRRReR
在直角坐标中
zyx
zzyyxxeeeR)()()(
••
1/2222
])()()[(zzyyxxR
RxxRxxzzyyxxxzzyyxxxR)()(22
1])()()[(])()()[(2221/222221
则
同理有
于是
,RyyyR)(
RzzzR)(
Rzyx
zyx
RzzyyxxR
zRyRxRReReeeeee
])()()[(
1
根据算符的微分特性可得
222
111RRRRRRReR
（R0）
23
1RRRReR
例2求f= 4e 2xy+ z在点P1（1，1，1）处的由该点指向
P2（3，5，6）方向上的方向导数。
)(24e)(24e)(e4)(4e 2222zyxzx-yzx-yzx-yzx-yzyxfeee
)4(2)(24e 1121zyxzyx--Pfeeeeee
9
74481744]744)[(1)(6)1(5)13(1/2222121212zyxzyxzyxReeeeeeeeeRe
解：
于是，f在P1 处沿R12 方向上的方向导数为：
920714)1()4(29
4
9744)(24 121211zyxzyxPPfR
f
eee
eeee
例3应用标量场的梯度与该标量场的等值面处处正交的概念，
求两曲面x2 +y2+z2=9 和x2+y2=z+3在P(2,-1,2)处相交的锐角。
S1S
2
f1(2,-1,2)
f2(2,-1,2)
解：将这两个曲面分别看作是两个标量场的等值面，对应的
两个标量场函数为：
f1= x2 + y2 + z2 f2 = x2+y2-z
求P点处的梯度
P
zyxxzyxfeeeeee424222pzyp1
zyxxyxfeeeeee124122pzyp2
6364242221f
211242222f
cos2121ffff
cos2121ffff
2138216
441621624424cos12121
zyxzyxffffeeeeee
213
8
cos1-