【高三数学专题复习】空间向量与立体几何(含详解)
专题3 空间向量与立体几何解释
1、【2019年高考全国Ⅰ卷】如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角1AMAN的正弦值.
解答：
（1）连结,ME和1,BC，∵,ME分别是1BB和BC的中点，∴1//MEBC且112MEBC，
又N是1AD，∴//MEDN，且MEDN，∴四边形MNDE是平行四边形，
∴//MNDE，又DE平面1CDE，MN平面1CDE，∴//MN平面1CDE.
（2）以D为原点建立如图坐标系，由题(0,0,0)D，(2,0,0)A，1(2,0,4)A，(1,3,2)M
1(0,0,4)AA，1(1,3,2)AM，1(2,0,4)AD，设平面1AAM的法向量为1111(,,)nxyz，平面1DAM的法向量为2222(,,)nxyz，
由111100nAAnAM得111140320zxyz，令13x得1(3,1,0)n，
由212100nADnAM得22222240320xzxyz，令22x得2(2,0,1)n， ∴12121215cos,5nnnnnn，∴二面角1AMAN的正弦值为105.
2、【2019年高考全国Ⅱ卷】如图，长方体ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，
点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若EAAE1，求二面角1CECB的正弦值.
解析：
（1）证明：∵11CB平面1ABB，BE平面1ABB，
∴BECB11，又1ECBE，1111CCBEC，
∴BE平面11CEB.
（2）设底面边长为1，高为x2，∴122xBE，1221xEB，
∵BE平面11CEB，∴901BEB即21212BBEBBE，∴22422xx解得1x.
∵BC平面11ABBA，∴EBBC1，又BEEB1，∴EB1平面BCE，故EB1为平面BCE的一个法向量.
∵平面CEC1与平面11ACCA为同一平面，故11DB为平面CEC1的一个法向量，
在EDB11中，∵21111EBEDDB故EB1与11DB成60角，
∴二面角1CECB的正弦值为2360sin.
3、【2019年高考全国Ⅲ卷】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角的大小.
证明：（1）由题意知，，，又，平面，又平面，平面平面.
(2)分别取，的中点为，，连结，，则，
四边形为棱形，且60，
， 又平面，
，即平面，
以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
，
，
，
设平面的一个法向量为,
，令，则,
得到，
平面的一个法向量为，
,故二面角的大小为.
4、【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABCABC，平面11AACC平面ABC，90ABC，1130,,,BACAAACACEF分别是AC，A1B1的中点.
（1）证明：EFBC；
（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.
【解析】方法一：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC．
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
所以，A1E⊥平面ABC，则A1E⊥BC．
又因为A1F∥AB，∠ABC=90°，故BC⊥A1F．
所以BC⊥平面A1EF．
因此EF⊥BC． （2）取BC中点G，连接EG，GF，则EGFA1是平行四边形．
由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，所以平行四边形EGFA1为矩形．
由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，
所以EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上．
连接A1G交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成的角（或其补角）．
不妨设AC=4，则在Rt△A1EG中，A1E=23，EG=3.
由于O为A1G的中点，故11522AGEOOG，
所以2223cos25EOOGEGEOGEOOG．
因此，直线EF与平面A1BC所成角的余弦值是35．
方法二：
（1）连接A1E，因为A1A=A1C，E是AC的中点，所以A1E⊥AC.
又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，
平面A1ACC1∩平面ABC=AC，所以，A1E⊥平面ABC．如图，以点E为原点，分别以射线EC，EA1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系E–xyz．
不妨设AC=4，则
A1（0，0，23），B（3，1，0），1(3,3,23)B，33(,,23)22F，C(0，2，0)．
因此，33(,,23)22EF，(3,1,0)BC．
由0EFBC得EFBC．
（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ．
由（1）可得1=(310)=(0223)BCAC，，，，，．
设平面A1BC的法向量为n()xyz，，，
由100BCACnn，得3030xyyz，
取n(131)，，，故||4sin|cos|=5|||EFEFEF，nnn|，
因此，直线EF与平面A1BC所成的角的余弦值为35．
本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查空间想象能力和运算求解能力.
5、【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
【解析】方法一：（1）由11112,4,2,,ABAABBAAABBBAB得11122ABAB，
所以2221111ABABAA.
故111ABAB.
由2BC，112,1,BBCC11,BBBCCCBC得115BC，
由2,120ABBCABC得23AC，
由1CCAC，得113AC，所以2221111ABBCAC，故111ABBC.
因此1AB平面111ABC.
（2）如图，过点1C作111CDAB，交直线11AB于点D，连结AD.
由1AB平面111ABC得平面111ABC平面1ABB，
由111CDAB得1CD平面1ABB，
所以1CAD是1AC与平面1ABB所成的角.
由1111115,22,21BCABAC得11111161cos,sin77CABCAB，
所以13CD，
故11139sin13CDCADAC.
因此，直线1AC与平面1ABB所成的角的正弦值是3913.
方法二：（1）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz. 由题意知各点坐标如下：
111(0,3,0),(1,0,0),(0,3,4),(1,0,2),(0,3,1),ABABC
因此11111(1,3,2),(1,3,2),(0,23,3),ABABAC
由1110ABAB得111ABAB.
由1110ABAC得111ABAC.
所以1AB平面111ABC.
（2）设直线1AC与平面1ABB所成的角为.
由（1）可知11(0,23,1),(1,3,0),(0,0,2),ACABBB
设平面1ABB的法向量(,,)xyzn.
由10,0,ABBBnn即30,20,xyz可取(3,1,0)n.
所以111|39sin|cos,|13|||ACACACn|nn|.
因此，直线1AC与平面1ABB所成的角的正弦值是3913.
.6、【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值. 【解析】
（2）
由题设及（1）知，,,OAOBOC两两垂直，以O为坐标原点，OA的方向为x轴正方向，OA为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则1,0,0,0,3,0,1,0,0,0,0,1ABCD
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，即E为DB的中点，得310,,22E.故
高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编及解析
数学《空间向量与立体几何》试卷含答案
一、选择题
1．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=12．则下列结论中正确的个数为
①AC⊥BE；
②EF∥平面ABCD；
③三棱锥A﹣BEF的体积为定值；
④AEF的面积与BEF的面积相等，
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
试题分析：①中AC⊥BE，由题意及图形知，AC⊥面DD1B1B，故可得出AC⊥BE，此命题正确；②EF∥平面ABCD，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上，故EF与平面ABCD无公共点，故有EF∥平面ABCD，此命题正确；③三棱锥A-BEF的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故可得三棱锥A-BEF的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确
考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质
2．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为332厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移32厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）
A．2颗 B．3颗 C．4颗 D．5颗
【答案】C
【解析】
【分析】
利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可.
【详解】
如图，9,3,33ABcmEFGHcmLOcm
所以60A，原水位线直径6CDcm，投入石子后，水位线直径5IJcm
2020年高考数学(理)重难点专练03 空间向量与立体几何(解析版)
2020年高考数学（理）
重难点03 空间向量与立体几何
【高考考试趋势】
立体几何在高考数学是一个必考知识点，一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，理科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题.前面的重点专题已经对立体几何进行了一系列详细的说明，本专题继续加强对高考中立体几何出现的习题以及对应的题目类型进行必要的加强.本专题包含了高考中几乎所有题型，学完本专题以后，对以后所有的立体几何你将有一个更加清晰的认识.
【知识点分析以及满分技巧】
基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角
有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.
内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.
求点到平面的距离问题：采用等体积法.
求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.
对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求.但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标.
【常见题型限时检测】（建议用时：35分钟）
一、单选题
1．（2019·遵义航天高级中学高考模拟（理））一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．83 B．163 C．203 D．8 【答案】B
【解析】
由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：
∴该几何体的体积1168233V
故选B
【点睛】：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.
(浙江专用)高考数学总复习 第八章 立体几何与空间向量 第7讲 立体几何中的向量方法(一)—证明平行
第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
最新考纲 1.理解直线的方向向量及平面的法向量；2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.
知 识 梳 理
1.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量.
2.空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2 n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥α n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m α∥β n∥m⇔n＝λm
α⊥β n⊥m⇔n·m＝0
诊 断 自 测
1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )
(2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )
(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合.( )
(4)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(选修2－1P104练习2改编)已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2，3，5)，n2＝(－3，1，－4)，则( )
A.α∥β B.α⊥β
C.α，β相交但不垂直 D.以上均不对
解析 ∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β不平行，也不垂直. 答案 C
3.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是( )
A.(－1，1，1) B.(1，－1，1)
高三立体几何大题专题（用空间向量解决立体几何类问题）
1
【知识梳理】
一、空间向量的概念及相关运算
1、空间向量基本定理、空间向量基本定理
如果三个向量,,abcrrr
不共面，那么对空间任一向量pxaybzc
urrrr
,,abcrrr
称为基向量。称为基向量。
2、空间直角坐标系的建立、空间直角坐标系的建立
分别以互相垂直的三个基向量kji
,,
的方向为正方向建立三条数轴：x轴，y轴和z轴。则轴。则
axiyjzk
rr
r
r
（x,y,z）称为空间直角坐标。）称为空间直角坐标。
注：假如没有三条互相垂直的向量，需要添加辅助线构造，在题目中找出互相垂直的两个面，通过做垂线等方法来
建立即可。建立即可。
3、空间向量运算的坐标表示、空间向量运算的坐标表示
(1)若
111222,,,,,axyzbxyz
rr
，则：
121212,,abxxyyzz
rr
111,,axyz
r
121212abxxyyzz
rr
错误!未找到引用源。
121212//,,ababxxyyzz
rr
rr
222
111aaaxyz
rrr
．
ab
rr
=
ar
cos,bab
rrr
．cos,ab
ab
ab
r
r
r
r
rr
121212
222222
111222cos,xxyyzzab
ab
ab
xyzxyz
r
r
r
r
rr
(2)(2)设设
111222,,,,,AxyzBxyz
则
212121,,ABOBOAxxyyzz
uuur
rr
(3)
111,,xyz
，
222,,xyz
，则
222
212121dxxyyzz
uuur
二、应用：
平面的法向量的求法：
1、建立恰当的直角坐标系、建立恰当的直角坐标系 2、设平面法向量n=（x，y，z） 3、在平面内找出两个不共线的向量，记为
a=（a1，a2, a3） b=（b1，b2，b3） 4、根据法向量的定义建立方程组①n*a=0 ②n*b=0 5、解方程组，
高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编及解析
【最新】数学《空间向量与立体几何》专题解析(1)
一、选择题
1．已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为，SE与平面ABCD所成的角为β，二面角S-AB-C的平面角为，则（ ）
A． B． C．a D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意，分别求出SE与BC所成的角、SE与平面ABCD所成的角β、二面角S-AB-C的平面角的正切值，由正四棱锥的线段大小关系即可比较大小.
【详解】
四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，
所以四棱锥为正四棱锥，
（1）过E作//EFBC，交CD于F，过底面中心O作ONEF交EF于N，连接SN，取AB中点M，连接OM，如下图（1）所示：则tanSNSNNEOM==；
（2）连接,OE 如下图（2）所示，则tanSOOE=;
（3）连接OM，则tanSOOM ，如下图（3）所示：
因为,,SNSOOEOM
所以tantantan，
而,,均为锐角，
所以,
故选：C.
【点睛】
本题考查了异面直线夹角、直线与平面夹角、平面与平面夹角的求法，属于中档题.
2．《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍（音meng，底面为矩形的屋脊状的几何体），下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何.已知该刍甍的三视图如图所示，则此刍甍的体积等于( )
A．3 B．5 C．6 D．12
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由三视图还原几何体，再将刍甍分为三部分求解体积，最后计算求得刍甍的体积.
【详解】
由三视图换元为如图所示的几何体，该几何体分为三部分，中间一部分是直棱柱，两侧是相同的三棱锥，
并且三棱锥的体积113113，
中间棱柱的体积131232V ,
所以该刍甍的体积是1235.
高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编及答案解析
新数学《空间向量与立体几何》试卷含答案
一、选择题
1．以下说法正确的有几个（ ）
①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数.
【详解】
①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B.
【点睛】
本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.
2．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，且ABC为等边三角形，2APAB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（ ）
A．272 B．283 C．263 D．252
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出ABC的外接圆半径r，利用公式222PARr可得出外接球的半径，进而可得出三棱锥PABC的外接球的表面积.
【详解】
ABC的外接圆半径为2332sin3ABr，
PAQ底面ABC，所以，三棱锥PABC的外接球半径为222223211233PARr，
因此，三棱锥PABC的外接球的表面积为2221284433R. 故选：B.
【点睛】
本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，选择合适的公式计算外接球的半径，考查计算能力，属于中等题.
3．已知一个几何体的三视图如图所示（正方形边长为1），则该几何体的体积为（ ）
A．34
B．78
C．1516 D．2324
【答案】B
【解析】
【分析】
备战高考数学复习考点知识与题型讲解56---空间向量与立体几何
1 / 25 备战高考数学复习考点知识与题型讲解
第56讲 空间向量与立体几何
考向预测
核心素养
考查利用空间向量证明线面关系、求空间角及距离，主要以解答题的形式出现，难度较大. 数学运算、数学抽象
一、知识梳理
1．直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
2．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2⇔u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2⇔u1·u2＝0
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n l∥α u⊥n⇔u·n＝0
l⊥α u∥n⇔u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2⇔n1·n2＝0
3.空间距离
2 / 25 (1)点到直线的距离：已知直线l的单位方向向量为u，设AP→＝a，则向量AP→在直线l上的投影向量AQ→＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理得PQ＝|AP→|2－|AQ→|2＝a2－（a·u）2.
(2)点到平面的距离：设P为平面α内的一点，n为平面α的法向量，A为平面α外一点，点A到平面α的距离d＝|PA→·n||n|.
4．空间角
(1)两条异面直线所成的角的向量求法
设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，
则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝u·v|u||v|＝|u·v||u||v|.
(2)直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是90°；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°；范围：0，π2．
②向量求法：直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝u·n|u||n|＝|u·n||u||n|．
(整理)高中数学知识点总结大全空间向量与立体几何
高中数学知识点总结 空间向量与立体几何
一、考点概要：
1、空间向量及其运算
（1）空间向量的基本知识：
①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线段表示空间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
②空间向量基本定理：
ⅰ定理：如果三个向量不共面，那么对于空间任一向量，存在唯一的有序实数组x、y、z，使。且把叫做空间的一个基底，都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用表示。
ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点P，都存在唯一的有序实数组x、y、z，使。
③共线向量（平行向量）：
ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线；
ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量平行的充要条件是：存在实数λ，使。
④共面向量：
ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量；空间
的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α内，则说向量平行于平面α，记作。平行于同一平面的向量，也是共面向量。
ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：存在实数对x、y，使。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也是、、所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线所确定的平面内。
高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》难题汇编含解析
新数学《空间向量与立体几何》高考知识点
一、选择题
1．以下说法正确的有几个（ ）
①四边形确定一个平面；②如果一条直线在平面外，那么这条直线与该平面没有公共点；③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】
【分析】
对四个说法逐一分析，由此得出正确的个数.
【详解】
①错误，如空间四边形确定一个三棱锥. ②错误，直线可能和平面相交. ③正确，根据公理二可判断③正确. ④错误，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能相交，也可能异面，也可能平行.综上所述，正确的说法有1个，故选B.
【点睛】
本小题主要考查空间有关命题真假性的判断，属于基础题.
2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )
A．132 B．7 C．152 D．8
【答案】B
【解析】
【分析】
画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．
【详解】
由题意可知：几何体是一个圆柱与一个14的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，
可得：该几何体的表面积为：22141212274．
故选：B．
【点睛】
思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
3．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ）
A．23 B．13 C．12 D．34
高考数学(理)之立体几何与空间向量 专题06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质(解析版)
立体几何与空间向量
06 平面与平面的平行、垂直的判定与性质
一、具体目标：
1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；
2.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理；
3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
二、知识概述：
1.面面平行的判定与性质
判定 性质
定义 定理
图形
条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b α∥β，a⊂β
结论 α∥β α∥β a∥b a∥α
2.两个平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；
(3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.
3．两个平面平行的性质定理
(1)α∥β，aα⇒a∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.
3.平面与平面垂直的判定与性质
(1)平面与平面垂直的判定方法
①定义法.②利用判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的性质：
如果两平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
4.定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
5.定理： 【考点讲解】
文字语言 图形语言 符号语言
判
定
定
理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. ABβAB⊥α⇒β⊥α
性
质
定
理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. α⊥βα∩β＝MNABβAB⊥MN⇒AB⊥α
1.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）