第八章 B样条曲线曲面(Ⅱ)
第八章 B样条曲线曲面
（Ⅱ）
第一节 反算B样条插值曲线
的控制顶点
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问题：
设计一条 设计一条k k 次 次B B 样条曲线，插值给定的数据点， 如何确定 如何确定节点矢量、控制顶点的个数和位置 节点矢量、控制顶点的个数和位置？ 解决方案：
一般地，将曲线的首末端点分别与首末数据点对 应起来，为实现这一目的，需要将首末节点都取作 应起来，为实现这一目的，需要将首末节点都取作k ＋ ＋1
1重。另外，将曲线的分段连接点和内数据点（除 首末数据点以外的数据点依次对应，根据上一章节点 矢量的确定方法，曲线分段连接点和定义域内的内部 节点也一一对应起来，所以：
节点也一一对应起来，所以：
分 分
段 段
连 连接 接
点
定
定
义
义
域
域
内
内
节
节
点
内数据点
建立了这种对应关系后，曲线的
段数以及节点矢量的大小就可以
确定了。
确定了。
n,0,1,,
i
p i n
=
r
L
设有个待插值的数据点
k1
首节点为 ＋重，即：
01 k
u u u
===
L
p
r
它们与第一个待插值点 对应。
4
5
内部数据点与定义域内的节点一一对应，所以：
,0,1, i k i p u i n + = r
L 与节点值 一一对应。
[ ]
, k n k u u + 这样，插值曲线的定义域就是 [ ]
1 m 1k B , k m u u + 因为，一般情况下，对于 ＋个控制顶点的 次 样条曲线，它的定义域为： 所以，插值曲线应有n＋k个控制顶点，记作：
011
,, n k d d d +- r r r L
6
012 0112 U [,,,], 0?1 n k k n k n k n k u u u u u u u u u + ++++ ==== L L L 这样，节点矢量就确定为： ＝ 一般 情况下，取： ＝ ＝ 规范 。 定 累积 义域内的 弦长参数 节点矢量可以利用 化等 方法确定。
至此，插值曲线的控制顶点个数、节点矢量已经确定， 下面列出如下的插值方程：
1 , 0
()()0,1,, n k k i j j k k i i j p u d N u p i n
+- ++ = =
== ? r r
r
L
显然，上述方程组共有n＋1个方程，但共有n＋k个未 知数，需要补充k－1个根据边界条件确定的方程才能 求解。
7
8
二、三次B样条插值曲线
1、节点矢量的确定
B k 3 ,0,1,,n 3
,0,1,,2 i i p i n d i n = =+ r
L r
L 根据此前的分析可知，对于三次 样条曲线（ ＝）
若插值数据点为： 。控制顶点应为 ＋ 个，设为 。
[ ] [ ] 016 01233456 33 ,,,, 0?1, , n n n n n n
U u u u u u u u u u u u u u u + ++++ + = ======== ? L 节点矢量为： 其中： 定义域为
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二、三次B样条插值曲线
2、反算控制顶点
插值条件确定的方程为：
23 3,33,33 0
()()() n i i j j i j j i i j j i
p u d N u d N u p
++ +++ == === ?? r r r r
[ ] [ ] ,33433 3
()(),,,0,1,, i
j j i i n j i p u d N u u u u u u i n
+++ =- =
?ì= ? r
r L
10 二、三次B样条插值曲线
⑴ 闭曲线
0 ,0,1,2
n n i i p p d d i + == r r r r 2
为了使封闭曲线(=)达到C 连续，要求 。 这时，插值方程
为：
1 1,332,330,33 0 1,342,343,34 21 2,311,31,31
2 1
1,321,32,32 1 ()()() ()()() ()()() ()()() n n n n n n n n n n n n n n n n d N u N u N u p N u N u N u d p N u N u N u p d N u N u N u p d -+-+ - - ++-++ - éù éù éù êú êú êú êú êú êú êú êú êú = êú êú êú
êú êú ê êú êú ê ?? ??êú ??
r r r r O O O M M r r r r ＋ 0 n p p
ú ú = r r
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二、三次B样条插值曲线
( )
2
1 123
i i i i i c + +++ D =
D +D +D 计算上述矩阵中各元素的值，可
得： 其
中：
( )
2
2 12
i i i i i a + ++ D =
D +D +D 1 1111 22222 1111 1 n n n n n n n n n n d b c a e a b c d e a b c e d c a b e d ---- - éù éùéù êú êúêú êú êúêú êú êúêú = êú êúêú
êú êúêú
êú êúêú ???? êú ?? r r r r O O O
M M r r r r
12 二、三次B样条插值曲线
21123 12123
()() i i i i i i i i i i i i i b +++++ +++++ D D +D D D +D =+
D +D +D D +D +D 121 ()1,2,, i i i i e p i n
++- =D +D = r r
L ⑵ 开曲线
下面需要根据各种边界条件，添加两个方程才能求
解。 常见的边界条件有：“切矢条件”、“自由端点条件”、 “虚节点条件”、“抛物线条件”、“非节点条件”等。不
同的边界条件补充的两个方程是不同的。
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二、三次B样条插值曲线
0310 3
321 2
3 ()() 3 ()()
n n n n n p p u d d p p u d d +++ + ￠￠ ==- D ￠￠ ==- D r r r r r
r r r 以切矢条件为例，它确定的补充方程为： 002 n n
d p d p + == r r r r 这时方程组 为： 1 1 22 222 1 1 1 1 n n n n n
n n d e d
e a b c e a b c d e d + + éù éù éù êú êú êú êú êú êú êú êú êú = êú êú êú êú êú êú êú êú êú ?? ?? êú ??
r r r r M M O O O r r r r
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二、三次B样条插值曲线
32 1001 ,,,2,3,, 33
i i i i n n n n a b c e i n e p p e p p + + = D D ￠￠ =+=- r
L r r r r r r
其中的 和 与封闭曲线方程中的值 完全相同，不同之处在于：
对于其它边界条件下的方程，详见课本p258～p259
第一节
束结 束
第二节 插入节点
插入节点
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1、插入节点的作用
?能简单证明B样条曲线的变差缩减性；
?进一步改善B样条曲线的局部性质，增加修形的灵 活性；
?可以计算出B样条曲线上的一点；
?可以生成每段曲线的Bezier点；
?可以实现对曲线的分割；
?在生成张量积B样条曲面时，可以统一不同的节点 矢量。
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2、问题
[ ] [ ] [ ]
, 0
0111 1 k B ()(), ,,,,, ,, n j j k j n k k n i i p u d N u U u u u u u u u u = +++ + = = ? r r
L 已知 次 样条曲线： 其节点矢量为
在定义域 中的某个节点区间 内插入一个节点 这时新的节点矢量为： [ ]
1211 ,,,,,,, i i n k U u u u u u u +++ = L L 1
11111 0
1
1
2
2
[,,,,,,,]
i
i i n k U u u u u u u
++++ = L L 将其重新编号后为：
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一、插入节点
1
1
i u u + = 显然，新旧节点之间的关系为：
1 0,1,, j
j
u u j i == L 1
1 2
,3,,2 j
j u u j i i n k - ==++++ L 这时，建立在新节点矢量上的B样条基函数记 为：
原曲线在新节点上的表达式为： , (),0,1,1
i k N u i n =+ L 1 , 0
()()
n j j k j p u d N u + = = ? r r
问题：如何计算
新的控制顶点？
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3、算法（Boehm 1980）
1 1 0,1,, (1)1,, 1,,1 j j j j j j j j j j k j j j d j i k d d d j i k i r u u d u u d d j i r n a a a - + - ì =- ? ? =-+=-+- ?
- = í
= ? - ? ? ==-++ ?
r
L r r r L r r
r L 其中： 其中：r表示所插入的节点u在旧节点矢量U中的重复
度。
1 , i i u u u u r
+ << 若 为一个全新的节点，即： 则 =0。
B样条和贝塞尔曲线曲面的拼接
实验二曲线曲面的拼接贝塞尔曲线的拼接 P=[-1 2 3.5 4 4.5 6 7;7 5 6 6.5 7 3 9;2 6 4 4.5 5 11 9]; plot3(P(1,1:4),P(2,1:4),P(3,1:4),'o') hold on plot3(P(1,4:7),P(2,4:7),P(3,4:7),'+'); hold on B=[-1 3 -3 1;3 -6 3 0;-3 3 0 0;1 0 0 0]; for t=0:0.05:1 T=[t^3 t^2 t 1]; P1=T*B*P(1,1:4)'; P2=T*B*P(2,1:4)'; P3=T*B*P(3,1:4)'; plot3(P1,P2,P3,'r.') hold on Q1=T*B*P(1,4:7)'; Q2=T*B*P(2,4:7)'; Q3=T*B*P(3,4:7)'; plot3(Q1,Q2,Q3,'b*') end title('贝塞尔曲线的拼接'); xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
B样条曲线的拼接 P=[1 2 3 4 5;1.5 7 6 6.5 7;3 1.5 3.5 5.5 4.5]; plot3(P(1,1:4),P(2,1:4),P(3,1:4),'o') hold on plot3(P(1,2:5),P(2,2:5),P(3,2:5),'+') hold on B=[-1 3 -3 1;3 -6 3 0;-3 0 3 0;1 4 1 0]; for t=0:0.05:1 T=[t^3 t^2 t 1]; P1=1/6*T*B*P(1,1:4)'; P2=1/6*T*B*P(2,1:4)'; P3=1/6*T*B*P(3,1:4)'; plot3(P1,P2,P3,'r.') hold on Q1=1/6*T*B*P(1,2:5)'; Q2=1/6*T*B*P(2,2:5)'; Q3=1/6*T*B*P(3,2:5)'; plot3(Q1,Q2,Q3,'b*'); end title('B样条曲线的拼接'); xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
自由曲线曲面的基本原理(上)
自由曲线曲面的基本原理（上） 浙江黄岩华日（集团）公司梁建国 浙江大学单岩 1 前言 曲面造型是三维造型中的高级技术，也是逆向造型（三坐标点测绘）的基础。作为一个高水平的三维造型工程师，有必要了解一些自由曲线和曲面的基本常识，主要是因为：（1）可以帮助了解CAD/CAM软件中曲面造型功能选项的意义，以便正确选择使用；（2）可以帮助处理在曲面造型中遇到的一些问题。由于自由曲线和自由曲面涉及的较强的几何知识背景，因此一般造型人员往往无法了解其内在的原理，在使用软件中的曲（线）面造型功能时常常是知其然不知其所以然。从而难以有效提高技术水平。 针对这一问题，本文以直观形象的方式向读者介绍自由曲线（面）的基本原理，并在此基础上对CAD/CAM软件中若干曲面造型功能的使用作一简单说明，使读者初步体会到背景知识对造型技术的促进作用。 2 曲线（面）的参数化表达 一般情况下，我们表达曲线(面)的方式有以下三种： （1）显式表达 曲线的显式表达为y=f(x)，其中x坐标为自变量，y坐标是x坐标的函数。曲面的显式表达为z=f(x,y)。在显式表达中，各个坐标之间的关系非常直观明了。如在曲线表达中，只要确定了自变量x，则y的值可立即得到。如图1所示的直线和正弦曲线的表达式就是显式的。
曲线的隐式表达为f(x,y)=0，曲面的隐式表达为f(x,y,z)=0。显然，这里各个坐标之间的关系并不十分直观。如在曲线的隐式表达中确定其中一个坐标（如x ）的值并不一定能轻易地得到另外一个（如y ）的值。图2所示的圆和椭圆曲线的表达式就是隐式的。 图2 （3） 参数化表达 曲线的参数表达为x=f(t);y=g(t)。曲面的参数表达为x=f(u,v);y=g(u,v);z=g(u,v)。这时各个坐标变量之间的关系更不明显了，它们是通过一个（t ）或几个（u,v ）中间变量来间接地确定其间的关系。这些中间变量就称为参数，它们的取值范围就叫参数域。 显然，所有的显式表达都可以转化为参数表达，如在图1所示的直线表达式中令x=t 则立即可有y=t 。于是完成了显式表达到参数化表达的转换。由此，我 y 2 x 2/a
B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面C语言算法源程序
学习小结：前面学习了Bezier 曲线，B 样条基函数和B 样条曲线的一些基础知识。掌握关键问题是一条B 样条曲线间的多段曲线的光滑连接。因为现在是用多段Bezier 曲线来描绘一条B 样条曲线，所以问题变为两段Bezier 曲线间光滑连接。两段Bezier 曲线段（3次）B1和B2光滑连接的条件： （1）.要求B1和B2有共同的连接点，即G 0 连续。 （2）.要求B1和B2在连接点处有成比例的一阶导数，即G 1 连续。由端点处的一阶导数 )(3)0(2),(3)1(10123Q Q B P P B -='-=',为实现G 1连续，则有： )1(1)0(2B B '=' 即：2301P P Q Q -=- 这也表明，1032),(,Q Q P P 三点共线。如下图表示了一条3次B 样条曲线的所有控制多边形： 1 ) P 2 P 3 P 4 (P 11 12 ) P 5 P 10 0 P 6 P 9 7 P 8 图5.3次B 样条曲线和所有控制多边形 图5中，P0至P6为原始3次B 样条曲线控制多边形顶点，P 0至P 12 是计算后最终形成B 样条曲线控制多边形顶点。 图6.双二次（2x2）B 样条曲面 6.B 样条曲线曲面和NURBS 曲线曲面的C 语言实现算法源程序 #ifndef _mynurbs_h #ifndef _MYNURBS_H
#include "gl\gl.h" #include "math.h" //*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* B样条基函数计算部分 *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* //确定参数u所在的节点区间下标 //n=m-p-1 //m为节点矢量U[]的最大下标 //p为B样条函数次数 int FindSource(int n,int p,float u,float U[]) { int low,high,mid; if(u==U[n+1])//特殊情况 return n; //进行二分搜索 low=p; high=n+1; mid=(int)(low+high)/2; while(u 四、B 样条曲线与曲面 Bezier 曲线具有很多优越性，但有二点不足： 1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n 较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱； 2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。 1972年Gordon 等用B 样条基代替Bernstein 基函数，从而改进上述缺点。 Ｂ样条曲线的数学表达式为： ∑=+?= n k n k k i n i u N P u P 0 ,,) ()( 在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m 所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段 n 次的参数曲线。 在以上表达式中： N k,n (u) 为 n 次B 样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。其表达式为： ∑ -=+--+??-=k n j n j n j n k j k n u C n u N 0 1,)()1(!1)( 式中：0 ≤ u ≤1 k = 0, 1, 2, …, n 1．均匀B 样条曲线 1 一次均匀B 样条曲线的矩阵表示 空间n+1个顶点 i P （i = 0，1，…，n ）定义n 段一次（k ＝0,1，n=1）均匀B 样条曲线，即每 相邻两个点可构造一曲线段P i （u ），其定义表达为： []10 ;,...,1 0111 1)(1≤≤=??? ?????????-=-u n i u u P i i i P P ＝（1－u ）P i －1 ＋ u P i ＝ N 0，1（u ）P i －1 ＋ N 1，1（u ）P i 第i 段曲线端点位置矢量：i i i i P P P P ==-)1(,)0(1，且一次均匀B 样条曲线就是控制多边 形。 CAD/CAM CAD/CAM B样条曲线曲面的性质及其生成算法的研究 XXX （XXX学院数学与信息科学学院05级信本（2）班） 摘要 从B样条曲线曲面的定义入手，阐述了B样条曲线曲面的性质，在生成算法中提出了一个扩展B样条曲线曲面的新方法.扩展B样条曲线曲面的关键是为新增加的点确定节点值.生成算法的基本思想是:首先，B样条曲线和扩展部分在连接点处满足2 GC连续，用能量极小化方法确定扩展部分的曲线形状，通过对曲线重新参数化使两部分曲线满足2 C连续，进而确定新增加点的节点值.文章还讨论了运用该方法进行B样条曲面扩展，且以实例对新方法与其它方法进行了比较. 关键词：B样条曲线; B样条曲面;参数化;曲线扩展 Research On The Nature Of B-spline Curves And Surfaces And Their Generation Algorithm Yongning Zhang College of Mathematics and Information Science , Xianyang Normal University , Information Class 05(2) Abstract First, the definitions of B-spline curves and surfaces are introduced, and then the nature of B-spline curves and surfaces are studied. On the final, a new generation algorithm on expansion of B-spline curves and surfaces is proposed. The key thought of expansion of B-spline curves and surfaces is to determine the value of the new points. The basic idea of generation algorithm is: First of all, B-spline curve and the extension of the connecting points in a row to meet with the energy minimization method to determine the extension of the curve shape of the curve through re-parameterized so that the two parts meet the continuous curve, and then determine the new value of the node points. The article also discussed the use of the method of B-spline surfaces expansion, and compared an example of the new method with other methods. Keywords: B-spline curve; B-spline surfaces; parameter; curve extension 第二章轨迹与方程 学习目标 1．进一步理解曲线和方程的关系，会写出平面曲线的矢量式（坐标式）参数方程，能将曲线的参数方程与普通方程进行互化，认识一些常见平面曲线的方程及形状。 2．理解曲面方程的概念，能根据曲面上点的特征性质来导出曲面的方程。3．初步理解柱面的概念，知道母线平行于坐标轴的柱面方程。 4．理解空间曲线的一般方程、参数方程的概念，会求一些简单的空间曲线的一般方程和参数方程。 A：掌握 1：基本概念：平面曲线的矢量式参数方程，曲面的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式），空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）。 母线平行于坐标轴的柱面，空间曲线对坐标面的射影柱面及空间曲线在三坐标面上的射影。 2：基本方法 ①根据轨迹条件用矢量方法求平面曲线和空间曲线（圆柱螺旋线、圆锥螺旋 线）的参数方程。 ②根据轨迹条件求曲面的一般方程和用矢量方法求曲面（球面、圆柱面）的 参数方程。 ③将曲线、曲面的参数方程化为一般方程。 ④二次柱面简图的画法。 ⑤求空间曲线对坐标面的射影柱面和它在三坐标面上的射影。 3：基本理论 ①三元二次方程表示球面（包括点球面、虚球面）的充要条件的证明及球心、 半径的求法 ②母线平行于坐标轴的柱面方程的特征及证明 B：理解 将平面曲线和空间曲线的一般方程化为参数方程的常规方法。 教材分析 本章的学习重点是曲面及空间曲线的一般方程和参数方程（坐标式和矢量式）的定义，以及根据轨迹条件建立曲面的一般方程和参数方程、建立空间曲线的参数方程。 本章的学习难点是用矢量方法建立曲线和曲面的矢量式的参数方程。 在本章的学习中建议注意以下几个问题： 1：在学习轨迹与方程的对应关系时，必须弄清楚为什么要满足两个条件。 2：学习空间曲面的一般方程时应指出F（x,y,z）=0未必表示一个曲面，它可以表示多个曲面、空间曲线、空间点虚曲面，例如方程xyz=0表示三个坐标面， 方程表示一直线 方程表示一点（1，-1，2） 方程表示虚曲面 B样条曲面的算法生成及研究 本文由天空乐园大学生旅游网整理分享 摘要 本文主要介绍B样条曲面的性质、算法、以及应用，让我们对B样条曲面有一个全面的了解。Ｂ样条曲面不仅在保留了Bézier曲面的优点的同时克服了由于整体表示带来的不具有局部性质的特点，而且成功地解决了样条函数的局部控制问题，轻而易举地在参数连续性上解决了贝奇尔方法的连接问题，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。B样条曲面中均匀双三次B样条曲面又是各种B 样条曲面中应用最多的一种之一，它避免了B 样条递推定义的繁琐算法，只要给出的空间型值点大致均匀，即可生成空间任何形状的曲面。而非均匀有理B样条曲面( NU RBS ) 是曲面构造的常用工具, 是目前工业界曲面曲线表示的数学标准。B-样条曲面是一种特殊NU RBS , 在实际应用中是首选形式。在本文中我们主要介绍了均匀双三次B样条曲面。 关键词：B样条曲面非均匀B样条曲面双三次均匀B样条曲面 B样条基函数 1 引言 计算机运用技术的不断发展使得CAD/CAM技术日益提高和完善,为实现工业生产过程自动化展示了光明的前景。目前,利用程序系统对某一产品实现机辅设计和数控加工的自动化过程已经开始。然而在实际生产中,数控机床的使用还很不普遍,大部分数控机床仍靠手工编程来实现单一加工。这除了数控设备价格昂贵之外,控制程序系统的设计难度较大也是重要原因之一。譬如,对数控铣削加工控制程序系统的设计,尤其是在数控铣床上加工任意形状曲面的程序系统设计, 目前还处于探讨摸索之中。随着汽车、船舶、航空工业的发展，对于工业产品的形状描述也就提出了越来越高的要求。工业产品的形状大致可以分为两类：一类是仅有初等解析曲面，例如平面、圆柱面、圆锥面、球面以及它们组合而成的规则曲面；另一类是不能由任何解析表达的自由型曲面。汽车、船舶、飞机的外部零件基本上都是自由曲面。而自由曲面不能由画法几何与机械制图表达清楚，成为摆在工程师面前首要解决的问题。De Boor（德布尔）与1971年给出了关于B 样条的一套标准算法。美国通用公司的戈登和里森费尔德于1974年将B样条理论应用于形状描述，提出了B样条曲线曲面。它将成功地解决了样条函数的局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性上解决了贝奇尔方法的连接问题，是最广泛流行的形状数学描述的主流方法之一。该算法能显著提高效率。现在提出了B 样条曲面等测投影的建立方法，讨论用高性能的动态数组和Excel 软件存储任意数量控制点的实现方法等关键技术。采用Visual C++6.0 为编程工具开发软件系统，实现了任意数量控制点的双三次B 样条曲面生成。B 样条曲面在保留了Bezier 曲面的优点的同时，又克服了由于整体表示带来的不具有局部性质的特点，是目前工程中应用最多的一种曲面，有人甚至称之为“统一当代的B 样条曲面”。而均匀双三次B 样条曲面又是各种B 样条曲面中应用最多的一种之一，它避免了B 样条递推定义的繁琐算法，只要给出的空间型值点大致均匀，即可生成空间任何形状的曲面。随着B 样条方法，NURBS，的产生和发展,曲面的样条表示形式逐渐被引入到曲面设计中，较早的有Bloor 等使用B 样条作为双调和方程的解. 后来, Terzopoulos 等[提出了一种动态NURBS方法,其用一个二阶微分方 程来决定DNURBS 的演化,但该方程不是几何内蕴的,且无法获得NURBS片的 G1光滑拼接.最近,徐国良[12 ] 提出一种新的方法,通过整合B样条曲面和一般形 实验四：B 样条曲面 一.实验目的 用多个B 样条曲线画出一个曲面，并能实现鼠标球滚动。 二.算法思想 B 样条曲面是B 样条曲线的拓广。一块m ?n 次B 样条曲面片的数学表示式：)()(),(,,00 w F u F P w u P n j m i m i n j ij ∑∑=== w u , ∈［０，１］ 式中，ij P （i =0,1,2，…..,m; j =0,1,2,…..n ）是定义此曲面片的顶点位置向量矩阵，共计（m+1） （n+1）个顶点。)()(,,w F u F n j m i 为B 样条基底函数，w u ,为参数。显然，m 与n 不一定相等，如m=n=3,则由4?4个顶点构成特征多面体，其相应的B 样条曲面片称为双三次 B 样条曲面片。其中： m i m i m k k m i k i m u c m u F )()1(!1 )(10 ,--+-= +-=∑ )! 1(!)!1(1i m i m C i m -++= +其中： 展开三次B 样条曲面数学表达式并写成矩阵 ()()( ) () T T s T s W M w w w w F w F w F w F UM u u u u F u F u F u F w F w F w F w F p p p p p p p p p p p p p p p p u F u F u F u F w u Q =?????? ? ??????????????----= =????? ???????----=????????????????????? ???=100 1 13334063133161)() ()() (01 4 1 03030 3631331611 )() ()() ()()()()()() ()() (),(2343212 3 432143213332 31 30 2322212013121110 030201004321其中： 三.程序主要代码 #include 图6.双二次（2x2）B 样条曲面 6.B 样条曲线曲面和 NURBS 曲线曲面的C 语言实现算法源程序 #ifndef _mynu rbs_h #ifndef MYNURBS H 学习小结：前面学习了 Bezier 曲线，B 样条基函数和 B 样条曲线的一些基础知识。掌握关 键问题是一条B 样条曲线间的多段曲线的光滑连接。因为现在是用多段 Bezier 曲线来描绘 一条B 样条曲线，所以问题变为两段 Bezier 曲线间光滑连接。两段 Bezier 曲线段（3次） B1和B2光滑连接的条件： （1） .要求B1和B2有共同的连接点，即 &连续。 （2） .要求B1和B2在连接点处有成比例的一阶导数，即 G 连续。由端点处的一阶导数 1 B1(1) 3(F 3 P 2), B 2(0) 3(Q i Q 。) ，为实现 G 连续，则有: B 2(0) B1(1) 即: Q 1 Q o R P 2 这也表明，P 2, B （Q o ）,Q 三点共线。如下图表示了一条 3次B 样条曲线的所有控制多边形: E(P 1) P2 (P / P 用P 0 10 P4 图5.3次B 样条曲线和所有控制多边形 图5中，P0至P6为原始3次B 样条曲线控制多边形顶点， P 0至P 12是计算后最终形成 样条曲线控制多边形顶 点。 #include "gl\gl.h" #include "math.h" //* ************* B样条基函数计算部分************** // 确定参数u 所在的节点区间下标 //n=m-p-1 //m 为节点矢量U[] 的最大下标 //p 为B 样条函数次数 int FindSource(int n,int p,float u,float U[]) { int low,high,mid; if(u==U[n+1])// 特殊情况return n; // 进行二分搜索 low=p; high=n+1; mid=(int)(low+high)/2; while(u 第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示， 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。 一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参 数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ， ?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。 二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程， 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点， ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示； 写成分量表示为 v b u a x x 110++=， v b u a y y 220++=， v b u a z z 330++=， 第八章 B样条曲线曲面 （Ⅱ） 第一节 反算B样条插值曲线 的控制顶点 2 3 问题： 设计一条 设计一条k k 次 次B B 样条曲线，插值给定的数据点， 如何确定 如何确定节点矢量、控制顶点的个数和位置 节点矢量、控制顶点的个数和位置？ 解决方案： 一般地，将曲线的首末端点分别与首末数据点对 应起来，为实现这一目的，需要将首末节点都取作 应起来，为实现这一目的，需要将首末节点都取作k ＋ ＋1 1重。另外，将曲线的分段连接点和内数据点（除 首末数据点以外的数据点依次对应，根据上一章节点 矢量的确定方法，曲线分段连接点和定义域内的内部 节点也一一对应起来，所以： 节点也一一对应起来，所以： 分 分 段 段 连 连接 接 点 定 定 义 义 域 域 内 内 节 节 点 内数据点 建立了这种对应关系后，曲线的 段数以及节点矢量的大小就可以 确定了。 确定了。 n,0,1,, i p i n = r L 设有个待插值的数据点 k1 首节点为 ＋重，即： 01 k u u u === L p r 它们与第一个待插值点 对应。 4 5 内部数据点与定义域内的节点一一对应，所以： ,0,1, i k i p u i n + = r L 与节点值 一一对应。 [ ] , k n k u u + 这样，插值曲线的定义域就是 [ ] 1 m 1k B , k m u u + 因为，一般情况下，对于 ＋个控制顶点的 次 样条曲线，它的定义域为： 所以，插值曲线应有n＋k个控制顶点，记作： 011 ,, n k d d d +- r r r L 最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 学习小结：前面学习了Bezier 曲线，B 样条基函数和B 样条曲线的一些基础知识。掌握关键问题是一条B 样条曲线间的多段曲线的光滑连接。因为现在是用多段Bezier 曲线来描绘一条B 样条曲线，所以问题变为两段Bezier 曲线间光滑连接。两段Bezier 曲线段（3次）B1和B2光滑连接的条件： （1）.要求B1和B2有共同的连接点，即G 0 连续。 （2）.要求B1和B2在连接点处有成比例的一阶导数，即G 1 连续。由端点处的一阶导数)(3)0(2),(3)1(10123Q Q B P P B -='-=',为实现G 1 连续，则有： )1(1)0(2B B '=' 即：2301P P Q Q -=- 这也表明，1032),(,Q Q P P 三点共线。如下图表示了一条3次B 样条曲线的所有控制多边形： 1) P 2 P 3 P 4 (P 1112) P 5 P 10 0 P 6 P 9 7 P 8 图5.3次B 样条曲线和所有控制多边形 图5中，P0至P6为原始3次B 样条曲线控制多边形顶点，P 0至P 12 是计算后最终形成B 样条曲线控制多边形顶点。 图6.双二次（2x2）B样条曲面 6.B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面的C语言实现算法源程序 #ifndef _mynurbs_h #ifndef _MYNURBS_H #include "gl\gl.h" #include "math.h" //*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* B样条基函数计算部分 *-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-* //确定参数u所在的节点区间下标 //n=m-p-1 //m为节点矢量U[]的最大下标 B样条曲线与曲面 四、B样条曲线与曲面 Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足： 1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱； 2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。 1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。 Ｂ样条曲线的数学表达式为： ?Skip Record If...? 在上式中，0 ≤ u ≤ 1； i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义 m+1 段n 次的参数曲线。 在以上表达式中： (u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。其表达式为：N k,n ?Skip Record If...? 式中：0 ≤ u ≤1 k = 0, 1, 2, …, n 1．均匀B样条曲线 1一次均匀B样条曲线的矩阵表示 空间n+1个顶点?Skip Record If...?（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段P i（u），其定义表达为：?Skip Record If...? ＝（1－u）P i－1＋ u P i ＝ N0，1（u）P i－1＋ N1，1（u）P i 第i段曲线端点位置矢量：?Skip Record If...?，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。 2二次均匀B样条曲线的 空间n+1个顶点的位置矢量?Skip Record If...?（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段P i（u） （i=1，…，n－1），其定义表达为： ?Skip Record If...? ＝?Skip Record If...?（1 － 2 u ＋ u 2）P i－1＋?Skip Record If...?（1 ＋ 2 u － 2u2）P i＋?Skip Record If...?u 2P i＋1 ＝ N0，2（u）P i－1＋ N1，2（u）P i＋ N2，2（u）P i＋1 端点位置矢量：?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形P i-1P i和P i P i+1的中点。若?Skip Record If...?、?Skip Record If...?、?Skip Record If...?三个顶点位于同一条直线上，?Skip Record If...?蜕化成?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...?直线边上的一段直线。 端点一阶导数矢量：?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。 二阶导数矢量：?Skip Record If...?，即曲线段内任何点处二阶导数相等，且相邻两曲线段在节点处二阶导数不连续。 第二章曲面的表示与曲面论 第一节曲面的显式方程和 隐式方程 一、由显式方程表示的曲面 设2R D?是有界闭区域，函数 :连续。我们称函数f的图 f→ D R 像 z y R z f x f ∈ = G∈= x : ,( } y ),, ),(), y x (3D {( ) 为一张曲面，它展布在D上，称这 个曲面是由显式方程 , =) z∈ (), , ( y f D y x x 所确定的。 ∑表示一个曲面。 通常用 二、几种常见的曲面 例1 在空间直角坐标系中，中心 a、在xy平面 在坐标原点、半径为 上方的那个半球面（称为上半球面），它的显式方程为 222y x a z --=，D y x ∈),(， 其中 }:),{(222a y x y x D ≤+=，即D 是xy 平面上以原点为中心、半径为a 的圆盘。 显然，下半球面的方程为 222y x a z ---=，D y x ∈),(； 同样可给出左半球面、右半球面的方程式。 例2 点集 }1,0,,:),,{(=++≥z y x z y x z y x 是3R 中的一块等边三角形。这块曲面有显式表达 y x z --=1，D y x ∈),(， 其中}1,0,:),{(≤+≥=y x y x y x D 。 例 3 由方程axy z =，2),(R y x ∈， （常数0>a ），所确定的曲面称为双曲抛物面。 由于这曲面在在xy 平面的上的，第一、第三象限中，在xy 平面的上 方，而在第二、第四象限中是在xy 平面的下方，因此在原点)0,0,0(的近旁，曲面呈鞍的形状，俗称马鞍面。 例4 旋转曲面的方程 1设想在xz 平面上有一条显式曲线)0(),(b x a x f z ≤≤≤=。 如果固定z 轴不动，让xz 平面绕着z 轴旋转 360，那么这一条曲线就扫出一张曲面，称之为旋转曲面∑。 设∑∈),,(z y x ，它在过点),0,0(z 平行于xy 平面的平面上，以),0,0(z 为中心，半径为r 的圆周上（)(r f z =）， 222r y x =+， 于是得这个旋转曲面∑的方程为):(),(222222b y x a D y x f z ≤+≤+=。B样条曲线与曲面
第4章 自由曲线与曲面建模
CAD/CAM
典型机械零件
CAD/CAM技术基础 —第4章 自由曲线与自由曲面建模
天津大学机械工程学院 产品设计与制造技术研究所 陈永亮
曲线曲面
1
曲线曲面
2
CAD/CAM
典型机构
CAD/CAM
圆柱齿轮
曲线曲面
3
曲线曲面
4
CAD/CAM
蜗轮蜗杆
CAD/CAM
锥齿轮
弧齿锥齿轮
摆线锥齿轮
曲线曲面
5
面齿轮
曲线曲面
6
1
? ? ? ? 齿轮类零件 涡轮类零件 凸轮类零件 叶轮叶片类零件
离心压缩机叶轮
CAD/CAM
曲线曲面
7
曲线曲面
8
CAD/CAM
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
圆的参数方程
? ? ? ? ? ? ? ?
曲线曲面
9
CAD/CAM
渐开线的参数方程
例1：圆 参数方程文件：Rel.ptd /* 为笛卡儿坐标系输入参数方程 /*根据t (将从0变到1) 对x, y和z /* 例如:对在 x-y平面的一个圆，中心在原点 /* 半径 = 50，参数方程将是: db=100 rb=db/2 x = rb * cos ( t * 360 ) y = rb* sin ( t * 360 ) z=0
例2：渐开线 1）采用直角坐标系 db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
曲线曲面 10
CAD/CAM
渐开线的参数方程
CAD/CAM
渐开线的参数方程
rb-基圆半径 u=45t t-参数 ,[0,1]
曲线曲面 11
db=100 rb=db/2 u =t* 45 x=rb*cos(u)+rb* sin(u)*u* pi/180 y=rb* sin(u)-rb*cos(u)* u* pi/180 z=0
曲线曲面 12
2B样条曲线曲面的性质及其生成算法的研究
第二章轨迹与方程
b样条曲面
b样条曲面
B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面C语言算法源程序
第二章第二节曲面的参数方程
第八章 B样条曲线曲面(Ⅱ)
B样条曲线曲面和NURBS曲线曲面C语言算法源程序(优选.)
最新B样条曲线与曲面汇总
第二章第一节曲面的概念显式方程和隐式方程表示