高考数学一轮复习专题9.6 双曲线(测)

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高三数学一轮复习精品学案3：§9.6 双曲线

§9.6 双曲线考纲展示1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2.了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3.理解数形结合的思想．考点1 双曲线的定义第1步回顾基础一、自读自填双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________，两焦点间的距离叫做________．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当________时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当________时，P 点不存在．二、连接教材(1)已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．双曲线上一点P 到F 1，F 2距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________．(2)双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________．三、易错问题双曲线的定义：关注定义中的条件．(1)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之差的绝对值等于4，则动点P 的轨迹是________． (2)动点P 到点A (－4,0)的距离比到点B (4,0)的距离多6，则动点P 的轨迹是________．第2步自主练透典题1 (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________．点石成金双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系．考点2 双曲线的标准方程与性质第1步回顾基础一、自读自填双曲线的标准方程和几何性质x ≤－a 或 y ≤－a 或 (1)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等(2)设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为________．三、易错问题双曲线的标准方程：关注实轴的位置．双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，虚轴长为23，则双曲线方程为________．四、通性通法求双曲线的标准方程：待定系数法．对称轴为坐标轴，经过点P (3,2)，Q (－6,7)的双曲线是________．第2步多角探明考情聚焦双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点，尤其是渐近线与离心率问题，考查的力度比较大．主要有以下几个命题角度：角度一求双曲线的标准方程典题2 (1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 (2)设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．点石成金求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程，并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值．角度二已知离心率求渐近线方程典题3 若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±2xC.y ＝±12xD.y ＝±22x 角度三已知渐近线求离心率典题4 已知双曲线的一条渐近线方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．角度四由离心率或渐近线方程求双曲线方程典题5 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝1角度五利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围典题6 已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1，5)B.(1， 5 』C.(5，＋∞)D.『5，＋∞)点石成金解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝ab 讨论．(2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．考点3 直线与双曲线的位置关系第1步师生共研典题7 若双曲线E ：x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC ＝m (OA ＋OB )，求k ，m 的值．点石成金研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. 第2步跟踪训练已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，求双曲线E 的方程．第3步课堂归纳方法技巧1.双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n ＝1(mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便； (2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．3.双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b 2a.5.过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.易错防范1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支．2.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .3.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．4.要牢记在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，离心率e >1这两点是不同于椭圆的．——★ 参考答案 ★——考点1 双曲线的定义第1步回顾基础一、自读自填『答案』距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距 (1)a <c (2)a ＝c (3)a >c二、连接教材 (1)『答案』x 29－y 216＝1『解析』由已知可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，∴b ＝4，故所求方程为x 29－y 216＝1.(2)『答案』⎝⎛⎭⎫62，0『解析』将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝⎛⎭⎫62，0. 三、易错问题 (1)『答案』两条射线『解析』因为||P A |－|PB ||＝4＝|AB |，所以动点P 的轨迹是以A ，B 为端点，且没有交点的两条射线． (2)『答案』双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)『解析』依题意有|P A |－|PB |＝6<8＝|AB |，所以动点P 的轨迹是双曲线，但由|P A |－|PB |＝6知，动点P 的轨迹是双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)．第2步自主练透典题1(1)『答案』x 2－y 28＝1(x ≤－1) 『解析』如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8. 故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． (2)『答案』9 『解析』如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4，则|PF |＋|P A |＝4＋|PE |＋|P A |.由图可得，当A ，P ，E 三点共线时， (|PE |＋|P A |)min ＝|AE |＝5，从而|PF |＋|P A |的最小值为9. 考点2 双曲线的标准方程与性质第1步回顾基础一、自读自填『答案』坐标轴原点 (－a,0) (a,0) (0，－a ) (0，a ) a 2＋b 2 2a 2b 二、连接教材 (1) 『答案』A『解析』由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，故选A. (2)『答案』a『解析』双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较可得a ＝2.三、易错问题『答案』x 2－y 23＝1或y 29－x 23＝1 『解析』当实轴在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知可知ba＝3，b ＝3，所以a 2＝1，即所求方程为x 2－y 23＝1.当实轴在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)．由已知可得b ＝3，ab ＝3，所以a 2＝9，即所求方程为y 29－x 23＝1. 四、通性通法『答案』5x 233－y 211＝1『解析』由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)． ∵所求双曲线经过P (3,2)，Q (－6,7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，36A ＋49B ＝1，解得A ＝533，B ＝－111.故所求双曲线方程为5x 233－y 211＝1.第2步多角探明角度一典题2 (1)『答案』A『解析』由双曲线方程知右顶点为(a,0)，设其中一条渐近线方程为y ＝ba x ，可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.(2)『答案』y 24－x 25＝1『解析』解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据定义知2a ＝|(15－0)2＋(4－3)2－(15－0)2＋(4＋3)2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5，故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)，由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1，解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)．故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.角度二典题3 『答案』B『解析』在双曲线中离心率e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 ＝3，可得ba＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x . 角度三典题4 『答案』5或52『解析』根据双曲线的渐近线方程知b a ＝2或ab ＝2.则e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝5或52. 角度四典题5 『答案』C『解析』由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A ，B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C. 角度五利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围典题6 『答案』C『解析』∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a＞2， ∴e ＝c a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2 ＞1＋4＝ 5.即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．考点3 直线与双曲线的位置关系第1步师生共研典题7 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝(2k )2－4(1－k 2)×(－2)>0，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，∴1＜k ＜ 2.故k 的取值范围为(1，2)．(2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2(1＋k 2)(2－k 2)(k 2－1)2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54. 又1＜k ＜2，∴k ＝52， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8. 设C (x 3，y 3)，由OC ＝m (OA ＋OB )，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )．∵点C 是双曲线上一点， ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. 第2步跟踪训练解：设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线E 的标准方程是x 24－y 25＝1.。

高考理科数学(人教A版)一轮复习课件96双曲线

2
2
件,列出参数 a,b,c 的方程并求出 a,b,c 的值.与双曲线 2 − 2 =1 有相
同渐近线时,可设所求双曲线方程为
2
2
−
2
2
=λ(λ≠0).
2.定义法:依定义得出距离之差的等量关系式,求出a的值,由定点
位置确定c的值.
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考点1
考点2
考点3
考点4
2
2
对点训练 2(2019 天津南开模拟,9)已知双曲线 2 − 2 =1(a>0,b>0)
知识梳理
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的
轨迹是双曲线.
( × )
(2)双曲线方程
2

2
2
−
2
2
=λ(m>0,n>0,λ≠0)的渐近线方程是
2
2
(3)关于 x,y 的方程
π
设|AF1|=r1,|AF2|=r2,则 4c2=12 + 22 -2r1r2cos 3 ,又|r1-r2|=2a,故
1
π
2
3
r1r2=4b2,又△1 2 = r1r2sin =2√3,所以 b2=2,则该双曲线的虚轴
长为 2√2.
方法二设双曲线 C 的左焦点为 F1,连接 AF1,BF1,由对称性可知四
3
的离心率为2,过右焦点 F 作渐近线的垂线,垂足为 M,若△FOM 的面
积为√5,其中 O 为坐标原点,则双曲线的标准方程为( C )
2
2 4

2020版高考数学(福建专用)一轮复习课件：9.6 双曲线

9.6 双曲线
知识梳理
-2-
知识梳理双基自测
123
1.双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ,两双焦曲点线间的焦距点离叫做 .
注 :若双点曲M线满的足焦||M距F1|-|MF2||=2a,|F1F2|=2c,其中a,c为常数,且
知识梳理
-7-
知识梳理双基自测
12345
(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√
关闭
答案
知识梳理
-8-
知识梳理双基自测
12345
关闭
关闭
解析答案
知识梳理
-9-
知识梳理双基自测
12345
关闭
关闭
解析答案
知识梳理
-10-
知识梳理双基自测
12345
关闭
关闭
解析答案
知识梳理
-11-
.
答案: (1)B (2)44
-17-
考点1
考点2
考点3
解析: (1)由题意知a=1,b=1,c=2,
故|F1F2|=22. 在△PF1F2中,由余弦定理得 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 60° =|F1F2|2=8,
即|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=8,①
-34-
考点1
考点2
考点3
-35-考点1ຫໍສະໝຸດ 考点2考点3-14-
考点1
考点2
考点3
△APF周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|PF|+2,由双曲线的定义可得|PF|-|PF'|=2a=2,即有|PA|+|PF|=|PA|+|PF'|+2,当P在左支上运动到A,P,F'共线时,|PA|+|PF'|取得最小值|AF'|=2,则有△APF周长的最小值为2+2+2=6.

9.6双曲线2022届高三数学(新高考)一轮复习PPT(34张)

程为 y＝34x，焦点到渐近线的距离为 6，则此双曲线的标准方程为
() A.1x62 －y92＝1 B.x92－1y62 ＝1 C.6x42 －3y62 ＝1 D.3x62 －6y4曲线的一条渐近线方程为
y＝34x，所以ba＝34，又
|3c| 25
＝6，∴c＝10，∴a2＝64，b2＝36，故所求双曲线的标准方程为6x42 －
答案：2 3 解析：不妨设点 P 在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝2 2，在△F1PF2 中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝|PF1|22＋|P|PFF1|·2||P2－F2|F| 1F2|2＝ 12，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴ S F1PF2 ＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2 3.
cos1250°＝cos150°，故选 D.
6．[2019·全国Ⅲ卷]设 F 为双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C．2 D. 5
（3）初步了解故事情节，特别注意对烛之武这个中心人物的把握。根据学生回答总结:戴望舒生于杭州,望舒是他给自己起的笔名,出自屈原的《离骚》:”前望舒使先驱兮,后飞廉使奔属。”望舒是神话传说中替月亮驾车的天神,纯洁而温柔,多情又潇洒。
题型二双曲线的标准方程[师生共研] [例 1] (1)已知以原点为中心，实轴在 x 轴上的双曲线的一条渐近线方
第6节双曲线
【教材回扣】
1．双曲线定义平面内与两个定点 F1，F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0.

高考数学总复习9.6双曲线市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件

(2)中心在坐标原点,焦点在 y
2
2
轴上的双曲线的标准方程为2 −
2 =1(a>0,b>0).

4/35
-5知识梳理
考点自测
3.双曲线的性质
标准方程
x2
a2
y2
− b 2 =1(a>0,b>0)
y2
a2
x2
− b 2 =1(a>0,b>0)
图形
5/35
-6知识梳理
考点自测
标准方程
范围
对称性
( D )
1
1
2
3
A.
B.
C.
D.
3
2
3
2
解析:由 c2=a2+b2=4,得 c=2,
所以点 F 的坐标为(2,0).
将 x=2 代入
2

2
x-
3
=1,得 y=±3,所以 PF=3.
1
3
又点 A 的坐标是(1,3),故△APF 的面积为2×3×(2-1)=2,故选 D.
11/35
-12知识梳理
考点自测
解析:由题意知 a=1,b=√,m>0,c=√2 + 2 = √1 + ,则离心

率 e= = √1 + = √3,解得 m=2.
12/35
-13考点一
考点二
考点三
2
2
x - =1(x≤-1)
8
3
4
2
4
2
− =1
2
4(1+√2)
13/35
-14考点一
考点二
考点三

数学一轮复习第九章解析几何9.6双曲线学案理

9。

6双曲线必备知识预案自诊知识梳理1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的等于非零常数(小于|F1F2｜）的点的轨迹叫作双曲线。

这两个定点叫作,两焦点间的距离叫作.集合P=｛M|||MF1｜-｜MF2||=2a},|F1F2｜=2c，其中a〉0,c>0,且a,c为常数.（1）若a c，则点M的轨迹是双曲线；(2）若a c，则点M的轨迹是两条射线;（3）若a c，则点M不存在.2.标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1（a>0,b〉0);(2）中心在坐标原点,焦点在y轴上的双曲线的标准方程为x2 x2−x2x2=1(a>0，b>0）。

3。

双曲线的性质标准方程x2a2−y2b2=1（a〉0，b〉0)y2a2−x2b2=1(a〉0,b〉0）图形续表标准方程x2a2−y2b2=1（a>0，b〉0)y2a2−x2b2=1（a>0，b〉0)性质范围x≥a或x≤-a，y∈Ry≤—a或y≥a,x∈R 对称性对称轴：,对称中心:顶点A1，A2A1,A2渐近线y=±xxx y=±xxx离心率e=xx,e∈(1，+∞）a,b，c的关系c2=实虚轴线段A1A2叫作双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫作双曲线的虚轴，它的长|B1B2｜=；a叫作双曲线的实半轴长,b叫作双曲线的虚半轴长1.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0，b〉0）上一点M(x0，y0）的切线方程为x0xa2−y0yb2=1.2.双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P（x0，y0）为双曲线上任意一点,且不与点F1，F2共线,∠F1PF2=θ，则△F1PF2的面积为b2xxxθ2。

3。

若点P（x0,y0）在双曲线x2a2−y2b2=1(a〉0,b〉0)内，则被点P所平分的中点弦的方程为x0xa2−y0yb2=x02a2−y02b2。

高三数学一轮复习基础过关9.6双曲线PPT课件

y2 b2

1(b2

a2 ).
利用上述结论求关于双曲线的标准方程，可简化
解题过程，提高解题速度.
知能迁移2 根据下列条件，求双曲线的标准方程.
（1）与双曲线 x2 y2 1有共同的渐近线，且过点 9 16
（-3，2 3 ）；（2）与双曲线 x2 y2 1 有公共焦点，且过点
可设双曲线方程为 x2 y2 1 （mn＞0）. mn
∵双曲线过点P（ 6 ，2），∴m＜0,n＜0.
又渐近线斜率k =± 2 , 3
m6 nn4 m

1 ,
2 3
解得nm343,
故所求双曲线方程为 3 y2 1 x2 1. 43
（2）设双曲线方程为
16 4 （3 2 ，2）.
解（1）设所求双曲线方程为 x2 y2 ( 0),
9 16
将点（-3,2 3 ）代入得 1 ,
4
所以双曲线方程为 x2 y2 1 ,
9 16 4
即4x2 y2 1.
94 (2)设双曲线方程为
x2 a2

y2 b2
1.
由题意易求c=2 5 .
又双曲线过点（3
2 ，2）,∴
(3 2)2 a2

4 b2
1.
又∵a2+b2=（2 5）2，∴a2=12，b2=8.
故所求双曲线的方程为 x2 y2 1. 12 8
题型三双曲线的性质【例3】中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一
双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|=213 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. （1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一个交点,求cos∠F 1PF 2 的值.

第06讲双曲线及其性质(十大题型)(课件)-2025年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)

x≤－a
x≥a
对称性
y≤－a或y≥a，x∈R
对称轴：_______；对称中心：_____
坐标轴
原点
顶点
性质
轴
离心率
渐近线
a，b，c的关系
A1(－a，0)，A2(a，0)
____________________
A1(0，－a)，A2(0，a)
____________________
A1A2
实轴：线段_____，长：___；虚轴：线段B
5
故周长为3 + 6 + 2 10 = 9 + 2 10.
【解析】因为1 ⋅ 2 = 2，
【解题方法总结】
5
所以 1 ⋅ 2 cos∠1 2 = 2.
设 2 = ， 1 = 2 2 = 2，
5
5
因为1 ⋅ 2 = 2，所以 1 ⋅ 2 cos∠1 2 = 2.
62
对于点， 2

−
2
2
2
=1
，
（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双
曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程．
题型二：双曲线方程的充要条件
2
【例2】（2023·全国·高三对口高考）若曲线3+
A． −3,2
B． −∞, −3 ∪ 2, +∞
【答案】B
2
【解析】曲线
3+
【答案】C
所以 = 1 2 = 2 = 10，
【解析】直线 = 与双曲线交于，两点，
所以 1
若 = 1 2 ，则四边形1 2 为矩形，
又 1 − 1 = 1 − 2 = 2 = 8，
所以1 ⊥ 1 ， 1 = 2 ，

2020版高考数学新增分大一轮新高考专用讲义：第九章 9.6 双曲线含解析

§9.6　双曲线最新考纲　了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质．1．双曲线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当2a <|F 1F 2|时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是两条射线；(3)当2a >|F 1F 2|时，P 点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1x 2a 2y 2b 2(a >0，b >0)－＝1y 2a 2x 2b 2(a >0，b >0)图形范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R x ∈R ，y ≤－a 或y ≥a性质对称性对称轴：坐标轴　对称中心：原点顶点A 1(－a ,0)，A 2(a ,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±xb ay ＝±xa b离心率e ＝，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝caa 2＋b 2实虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ，线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2 (c >a >0，c >b >0)概念方法微思考1．平面内与两定点F 1，F 2的距离之差的绝对值等于常数2a 的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？提示　不一定．当2a ＝|F 1F 2|时，动点的轨迹是两条射线；当2a >|F 1F 2|时，动点的轨迹不存在；当2a ＝0时，动点的轨迹是线段F 1F 2的中垂线．2．方程Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是什么？提示　若A >0，B <0，表示焦点在x 轴上的双曲线；若A <0，B >0，表示焦点在y 轴上的双曲线．所以Ax 2＋By 2＝1表示双曲线的充要条件是AB <0.3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a ，b 只限制a >0，b >0，二者没有大小要求，若a >b >0，a ＝b >0,0<a <b ，双曲线哪些性质受影响？提示　离心率受到影响．∵e ＝＝，故当a >b >0时，1<e <，当a ＝b >0时，e ＝ca1＋(b a )22(亦称等轴双曲线)，当0<a <b 时，e >.22题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)(2)方程－＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．(　×　)x 2m y 2n(3)双曲线方程－＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)x 2m 2y 2n 2x 2m 2y 2n 2x m yn (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)2(5)若双曲线－＝1(a >0，b >0)与－＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则＋＝x 2a 2y 2b 2x 2b 2y 2a 21e 211e 21(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．(　√　)题组二　教材改编2．若双曲线－＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率x 2a 2y 2b 2为( )A. B ．55C. D ．22答案　A解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx ±ay ＝0，x a yb ∴2a ＝＝b .又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.bca 2＋b2∴e 2＝＝5，∴e ＝.c 2a 253．已知a >b >0，椭圆C 1的方程为＋＝1，双曲线C 2的方程为－＝1，C 1与C 2的离心x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b2率之积为，则C 2的渐近线方程为( )32A ．x ±y ＝0 B.x ±y ＝022C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案　A解析　椭圆C 1的离心率为，双曲线C 2的离心率为，所以·＝，a 2－b 2a a 2＋b 2a a 2－b 2a a 2＋b 2a 32即a 4＝4b 4，所以a ＝b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±x ，即x ±y ＝0.21224．经过点A (4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．答案　－＝1x 215y 215解析　设双曲线的方程为－＝±1(a >0)，x 2a 2y 2a 2把点A (4,1)代入，得a 2＝15(舍负)，故所求方程为－＝1.x 215y 215题组三　易错自纠5．(2016·全国Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，x 2m 2＋n y 23m 2－n 则n 的取值范围是( )A ．(－1,3) B ．(－1，)3C ．(0,3) D ．(0，)3答案　A解析　∵方程－＝1表示双曲线，x 2m 2＋n y 23m 2－n ∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.6．若双曲线－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )x 2a 2y 2b 2A.B. 7354C.D.4353答案　D解析　由条件知y ＝－x 过点(3，－4)，∴＝4，b a 3ba 即3b ＝4a ，∴9b 2＝16a 2，∴9c 2－9a 2＝16a 2，∴25a 2＝9c 2，∴e ＝.故选D.537．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y ＝±x ，则该双曲线的标准方程为312________________．答案　－y 2＝1x 24解析　由双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，可设该双曲线的标准方程为－y 2＝λ(λ≠0)，已知12x 24该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y 2＝1.34243x 24题型一　双曲线的定义例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆 B ．双曲线C ．抛物线 D ．圆答案　B解析　如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，∴|MF 2|＝2.∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|，∴||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM ||＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，∴由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝________.答案　34解析　∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ＝2，2∴|PF 1|＝2|PF 2|＝4，2则cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝＝.(42)2＋(22)2－422×42×2234引申探究1．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解　不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，2在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝＝，|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|12∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴＝|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2.12F PF S 1232．本例(2)中，若将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“·＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？PF 1→ PF 2→解　不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，2∵·＝0，∴⊥，PF 1→ PF 2→ PF 1→ PF 2→∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴＝|PF 1|·|PF 2|＝2.12F PF S 12思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1 设双曲线x 2－＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2y 23为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________．答案　(2，8)7解析　如图，由已知可得a ＝1，b ＝，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上，3设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足Error!解得－1＋<m <3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2，7∴2<2m ＋2<8.7题型二　双曲线的标准方程例2 (1)(2018·大连调研)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________．答案　x 2－＝1(x ≤－1)y 28解析　如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |，因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|，即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 2，C 1的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－＝1(x ≤－1)．y 28(2)根据下列条件，求双曲线的标准方程：①虚轴长为12，离心率为；54②焦距为26，且经过点M (0,12)；③经过两点P (－3,2)和Q (－6，－7)．72解　①设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a >0，b >0)．x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2由题意知，2b ＝12，e ＝＝，c a 54∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.x 264y 236y 264x 236②∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12.又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25.∴双曲线的标准方程为－＝1.y 2144x 225③设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴Error!解得Error!∴双曲线的标准方程为－＝1.y 225x 275思维升华求双曲线标准方程的方法(1)定义法(2)待定系数法①焦点位置不确定时，设Ax 2＋By 2＝1(AB <0)；②与－＝1共渐近线的设为－＝λ(λ≠0)；x 2a 2y 2b 2x 2a 2y 2b2③与－＝1共焦点的设为－＝1(－b 2<k <a 2)．x 2a 2y 2b 2x 2a 2－k y 2b 2＋k跟踪训练2　(1)(2018·天津河西区模拟)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的虚轴长为8，x 2a 2y 2b2右顶点(a ,0)到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线C 的方程为( )125A.－＝1 B.－＝1x 29y 216x 216y 29C.－＝1 D.－＝1x 225y 216x 216y 225答案　A解析　由虚轴长为8，可得b ＝4，∵右顶点A (a,0)到双曲线C 的一条渐近线bx －ay ＝0的距离为，∴＝，解得a ＝3，125ab a 2＋b 2125∴则双曲线C 的方程为－＝1，故选A.x 29y 216(2)(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝x ，且与椭x 2a 2y 2b 252圆＋＝1有公共焦点，则C 的方程为( )x 212y 23A.－＝1 B.－＝1x 28y 210x 24y 25C.－＝1 D.－＝1x 25y 24x 24y 23答案　B解析　由y ＝x ，可得＝. ①52ba 52由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，x 212y 23可得a 2＋b 2＝9. ②由①②可得a 2＝4，b 2＝5.所以C 的方程为－＝1.故选B.x 24y 25题型三　双曲线的几何性质命题点1　与渐近线有关的问题例3　已知F 1，F 2是双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝x 2a 2y 2b 26a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.x ±y ＝0 B ．x ±y ＝022C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0答案　A解析　由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a .在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以有|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2·2c ·4a cos 30°，得c ＝a ，所以b ＝＝a .所以双曲线的渐3c 2－a 22近线方程为y ＝±x ＝±x ，即x ±y ＝0.ba 22命题点2　求离心率的值(或范围)例4 (2018·天津河东区模拟)双曲线方程为－y 2＝1，其中a >0，双曲线的渐近线与圆(x －2)2＋x 2a 2y 2＝1相切，则双曲线的离心率为( )A.B. C. D.2333232答案　A解析　根据题意，可以求得双曲线的渐近线的方程为x ±ay ＝0，而圆(x －2)2＋y 2＝1的圆心为(2,0)，半径为1，结合题意有＝1，结合a >0的条件，求得a ＝，所以c ＝＝2，|2±0|1＋a233＋1所以有e ＝＝，故选A.23233思维升华　1.求双曲线的渐近线的方法求双曲线－＝1(a >0，b >0)或－＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等x 2a 2y 2b 2y 2a 2x 2b 2于0，即令－＝0，得y ＝±x ；或令－＝0，得y ＝±x .反之，已知渐近线方程为y ＝±x ，x 2a 2y 2b 2b a y 2a 2x 2b 2a b ba可设双曲线方程为－＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．x 2a 2y 2b 22．求双曲线的离心率(1)求双曲线的离心率或其范围的方法①求a ，b ，c 的值，由＝＝1＋直接求e .c 2a 2a 2＋b 2a 2b 2a2②列出含有a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，借助于b 2＝c 2－a 2消去b ，然后转化成关于e 的方程(或不等式)求解．(2)双曲线的渐近线的斜率k 与离心率e 的关系：k ＝＝＝＝.ba c 2－a 2ac 2a 2－1e 2－1跟踪训练3　(2018·茂名模拟)已知F 1，F 2是双曲线－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1x 2a 2y 2b 2的直线l 与双曲线的左右两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A. B ．4 C. D.72333答案　A解析　因为△ABF 2为等边三角形，所以不妨设|AB |＝|BF 2|＝|AF 2|＝m ，因为A 为双曲线右支上一点，所以|F 1A |－|F 2A |＝|F 1A |－|AB |＝|F 1B |＝2a ，因为B 为双曲线左支上一点，所以|BF 2|－|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，由∠ABF 2＝60°，得∠F 1BF 2＝120°，在△F 1BF 2中，由余弦定理得4c 2＝4a 2＋16a 2－2·2a ·4a ·cos 120°，得c 2＝7a 2，则e 2＝7，又e >1，所以e ＝.故选A.7高考中离心率问题离心率是椭圆与双曲线的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆与双曲线的离心率问题难点的根本方法．例1 已知椭圆E ：＋＝1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0x 2a 2y 2b 2交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于，则椭圆E 的离心率45的取值范围是( )A. B.(0，32](0，34]C.D.[32，1)[34，1)答案　A解析　设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则M 到直线l 的距离d ＝≥，4b 545∴1≤b <2.离心率e ＝＝＝＝ ∈，c a c 2a 2a 2－b 2a 24－b 24(0，32]故选A.例2 已知F 1，F 2为双曲线的焦点，过F 2作垂直于实轴的直线交双曲线于A ，B 两点，BF 1交y 轴于点C ，若AC ⊥BF 1，则双曲线的离心率为( )A. B.23C ．2 D ．223答案　B解析　不妨设双曲线方程为－＝1(a >0，b >0)，x 2a 2y 2b2由已知，取A 点坐标为，取B 点坐标为，则C 点坐标为且F 1(－(c ，b 2a )(c ，－b 2a )(0，－b 22a)c ,0)．由AC ⊥BF 1知·＝0，又＝，＝，可得2c 2－＝0，AC → BF 1→ AC → (－c ，－3b 22a )BF 1→ (－2c ，b 2a )3b 42a 2又b 2＝c 2－a 2，可得3c 4－10c 2a 2＋3a 4＝0，则有3e 4－10e 2＋3＝0，可得e 2＝3或，又e >1，13所以e ＝.故选B.31．(2018·云南民族中学月考)已知双曲线－＝1(a >0，b >0)，点(4，－2)在它的一条渐近线y 2a 2x 2b 2上，则离心率等于( )A. B. C. D.656252答案　B解析　渐近线方程为y ＝－x ，故(4，－2)满足方程－2＝－×4，所以＝，所以e ＝＝a b a b a b 12ca＝＝，故选B.a 2＋b 2a 21＋b 2a 252．(2018·海淀模拟)设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2－＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”y 24的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案　A解析　若C 的方程为x 2－＝1，则a ＝1，b ＝2，渐近线方程为y ＝±x ，即为y ＝±2x ，充分y 24b a性成立；若渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线方程为x 2－＝λ(λ≠0)，y 24∴“C 的方程为x 2－＝1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的充分不必要条件，故选A.y 243．(2018·辽宁省五校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的x 2a 2y 2b2离心率为，从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线，垂足为A ，若△AFO 的面积为1，则5双曲线C 的方程为( )A.－＝1 B.－y 2＝1x 22y 28x 24C.－＝1 D ．x 2－＝1x 24y 216y 24答案　D解析　因为双曲线C 的右焦点F 到渐近线的距离|FA |＝b ，|OA |＝a ，所以ab ＝2，又双曲线C 的离心率为，所以＝，即b 2＝4a 2，解得a 2＝1，b 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 2－51＋b 2a25＝1，故选D.y 244．(2018·金华模拟)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1|·|PF 2|等于( )A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案　B解析　由双曲线的方程，得a ＝1，c ＝，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝2.2在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1|·|PF 2|＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|＝22＋|PF 1|·|PF 2|＝(2)2，2解得|PF 1|·|PF 2|＝4.故选B.5．已知双曲线x 2－＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的离心率为e ，若双曲线上存y 23在一点P 使＝e ，则·的值为( )sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2F2P → F 2F 1→ A ．3 B ．2 C ．－3 D ．－2答案　B解析　由题意及正弦定理得＝＝e ＝2，sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2|PF 1||PF 2|∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2|·|F 1F 2|＝＝，4＋16－162×2×414∴·＝||·||·cos ∠PF 2F 1F 2P → F 2F 1→ F 2P → F 2F 1→＝2×4×＝2.故选B.146．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线－＝1的右焦点为F ，P 为双曲线左支上一点，x 24y 22点A (0，)，则△APF 周长的最小值为( )2A ．4＋ B ．4(1＋)22C ．2(＋) D.＋32662答案　B解析　由题意知F (，0)，设左焦点为F 0，则F 0(－，0)，由题意可知△APF 的周长l 为|PA |＋66|PF |＋|AF |，而|PF |＝2a ＋|PF 0|，∴l ＝|PA |＋|PF 0|＋2a ＋|AF |≥|AF 0|＋|AF |＋2a ＝＋＋2×2＝4＋4＝4(＋1)，当且仅当A ，F 0，P 三(0＋6)2＋(2－0)2(6－0)2＋(0－2)222点共线时取得“＝”，故选B.7．已知离心率为的双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，M 是双52x 2a 2y 2b 2曲线C 的一条渐近线上的点，且OM ⊥MF 2，O 为坐标原点，若＝16，则双曲线的实2OMF S 轴长是( )A ．32B ．16C ．84D ．4答案　B解析　由题意知F 2(c,0)，不妨令点M 在渐近线y ＝x 上，由题意可知|F 2M |＝＝b ，所b a bca 2＋b 2以|OM |＝＝a .由＝16，可得ab ＝16，即ab ＝32，又a 2＋b 2＝c 2，＝，所以a ＝c 2－b 22OMF S 12c a 528，b ＝4，c ＝4，所以双曲线C 的实轴长为16.故选B.58．(2018·泰安联考)已知双曲线C 1：－＝1(a >0，b >0)，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝0，若x 2a 2y 2b 234双曲线C 1的一条渐近线与圆C 2有两个不同的交点，则双曲线C 1的离心率的取值范围是( )A. B.(1，233)(233，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)答案　A解析　由双曲线方程可得其渐近线方程为y ＝±x ，即bx ±ay ＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax ＋a 2＝0b a 34可化为(x －a )2＋y 2＝a 2，圆心C 2的坐标为(a,0)，半径r ＝a ，由双曲线C 1的一条渐近线与圆C 21412有两个不同的交点，得<a ，即c >2b ，即c 2>4b 2，又知b 2＝c 2－a 2，所以c 2>4(c 2－a 2)，|ab |a 2＋b 212即c 2<a 2，所以e ＝<，又知e >1，所以双曲线C 1的离心率的取值范围为，故选A.43c a 233(1，233)9．(2016·北京)已知双曲线－＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(，0)，x 2a 2y 2b 25则a ＝________；b ＝________.答案　1　2解析　由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以＝2.ba又c ＝，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.510．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2－＝1(b >0)的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，y 2b 2若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2＝45°，延长AF 2交双曲线的右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于________．答案　4解析　由题意知a ＝1，由双曲线定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，∴|AF 1|＝2＋|AF 2|＝4，|BF 1|＝2＋|BF 2|.由题意知|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|，∴|BA |＝|BF 1|，∵△BAF 1为等腰三角形，∵∠F 1AF 2＝45°，∴∠ABF 1＝90°，∴△BAF 1为等腰直角三角形．∴|BA |＝|BF 1|＝|AF 1|＝×4＝2，22222∴＝|BA |·|BF 1|＝×2×2＝4.1F AB S 12122211．(2018·安阳模拟)已知焦点在x 轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离x 28－m y 24－m 的取值范围是__________．答案　(0,2)解析　对于焦点在x 轴上的双曲线－＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0x 2a 2y 2b 2的距离为＝b .双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x 轴上，则Error!|bc |b 2＋a 2x 28－m y 24－m x 28－m y 2m －4解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝∈(0,2)．m －412．若点P 在双曲线x 2－＝1上，则点P 到双曲线渐近线的距离的取值范围是________．y 29答案　(0，31010]解析　双曲线的一条渐近线方程是3x －y ＝0，由渐近线的性质，知当点P 是双曲线的一个顶点时，点P 到渐近线的距离最大，双曲线的顶点坐标是(±1,0)，所以点P 到渐近线的最大距离为＝.又双曲线与渐近线没有交点，所以点P 到双曲线渐近线的距离的取值范|±3－0|1031010围是.(0，31010]13．(2018·南昌调研)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为x 2a 2y 2b2双曲线C 上第二象限内一点，若直线y ＝x 恰为线段PF 2的垂直平分线，则双曲线C 的离心b a率为( )A.B.23C.D.56答案　C解析　如图，直线PF 2的方程为y ＝－(x －c )，设直线PF 2与直线y ＝x 的交点为N ，易知N .又线a b b a (a 2c ，ab c )段PF 2的中点为N ，所以P .因为点P 在双曲线C 上，所以－＝1，(2a 2－c 2c ，2ab c )(2a 2－c 2)2a 2c 24a 2b 2c 2b 2即5a 2＝c 2，所以e ＝＝.故选C.c a 514．(2018·福建六校联考)已知双曲线C ：－＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A ，x 2a 2y 2b2以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则双曲线C 的离心率为________．答案　43解析　设左焦点为F 1，由于双曲线和圆都关于x 轴对称，又△APQ 的一个内角为60°，∴∠PAF ＝30°，∠PFA ＝120°，|AF |＝|PF |＝c ＋a ，∴|PF 1|＝3a ＋c ，在△PFF 1中，由余弦定理得，|PF 1|2＝|PF |2＋|F 1F |2－2|PF ||F 1F |cos ∠F 1FP ，即3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，∴e ＝(舍负)．4315．已知双曲线E ：－＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|＝8，P 是E 右x 2a 2y 2b 2支上的一点，PF 1与y 轴交于点A ，△PAF 2的内切圆与边AF 2的切点为Q .若|AQ |＝，求E 3的离心率．解　如图所示，设PF 1，PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于M ，N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|,2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝2，3故a ＝，从而e ＝＝＝.3c a 4343316．已知双曲线－＝1 (a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，x 2a 2y 2b2且|PF 1|＝6|PF 2|，求此双曲线的离心率e 的最大值．解析　由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a .又|PF 1|＝6|PF 2|，∴|PF 1|＝a ，|PF 2|＝a .12525当P ，F 1，F 2三点不共线时，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22·|PF 1|·|PF 2|＝＝－e 2，14425a 2＋425a 2－4c 22·125a ·25a 37122512即e 2＝－cos ∠F 1PF 2.37251225∵cos ∠F 1PF 2∈(－1,1)，∴e ∈.(1，75)当P ，F 1，F 2三点共线时，∵|PF 1|＝6|PF 2|，∴e ＝＝，c a 75综上，e 的最大值为.75。

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专题9.6 双曲线
一、填空题
1．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 2
9
＝1的________相等．
【解析】由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等．
2．已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±2x ，且经过点(2,2)，则C 的方程为________．
【解析】由题意，设双曲线C 的方程为y 2
4－x 2
＝λ(λ≠0)，因为双曲线C 过点(2,2)，则22
4
－22
＝λ，解得
λ＝－3，所以双曲线C 的方程为y 2
4－x 2
＝－3，即x 23－y 2
12
＝1. 3．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2＝90°且|AF 1|＝
3|AF 2|，则双曲线的离心率为________．
【解析】因为∠F 1AF 2＝90°，故|AF 1|2
＋|AF 2|2
＝|F 1F 2|2
＝4c 2
，又|AF 1|＝3|AF 2|，且|AF 1|－|AF 2|＝2a ，所以
|AF 1|＝3a ，|AF 2|＝a ，则10a 2
＝4c 2
，即c 2a 2＝52，故e ＝c a ＝102
(负值舍去)．
4．设双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交
于B, C 两点．若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为________．
5． (2017·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 2
4＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2分别是C
的左、右焦点，若1PF ·2PF ＝0，则点P 到x 轴的距离为________．
【解析】由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由1PF ·2PF ＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 2
0－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.
6．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为________．
【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a ＞2，∴e ＝c a
＝ 1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫b a
2＞1＋4＝ 5.即双
曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．
7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为y ＝
±2x ，则双曲线C 的方程为________________．【答案】x 2
－y 2
4
＝1
【解析】易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)，∴⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋
b 2
＝5，b
a
＝2，∴a 2＝1，b 2
＝4，∴双曲线C 的方程
为x 2
－y 2
4
＝1.
8．过双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F 1作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分
别为A ，B ，若v 1F A ＝AB ，则双曲线的渐近线方程为____________．【答案】3x ±y ＝0
9．设F 1，F 2分别是双曲线x 2
－y 2
b
2＝1的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若|AF 2|＝2且∠F 1AF 2
＝45°，延长AF 2交双曲线右支于点B ，则△F 1AB 的面积等于______．【答案】4
【解析】由题意可得|AF 2|＝2，|AF 1|＝4，则|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝2＋|BF 2|＝|BF 1|.又∠F 1AF 2＝45°，所以△ABF 1是以AF 1为斜边的等腰直角三角形，则|AB |＝|BF 1|＝22，所以其面积为1
2
×22×22＝4.
10．已知双曲线E ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦
点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．
【答案】2
二、解答题
11．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M (3，m )在双曲线上． (1)求双曲线的方程； (2)求证：1MF ·2MF ＝0； (3)求△F 1MF 2的面积．解：(1)∵e ＝2，
∴双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x 2
－y 2
＝λ. ∵双曲线过点(4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 26－y 2
6
＝1.
(2)证明：不妨设F 1，F 2分别为左、右焦点，则1MF ＝(－23－3，－m )，
2MF ＝(23－3，－m )．
∴1MF ·2MF ＝(3＋23)×(3－23)＋m 2
＝－3＋m 2
，
∵M 点在双曲线上， ∴9－m 2
＝6，即m 2
－3＝0， ∴1MF ·2MF ＝0.
(3)△F 1MF 2的底|F 1F 2|＝4 3. 由(2)知m ＝± 3.
∴△F 1MF 2的高h ＝|m |＝3， ∴S △F 1MF 2＝1
2
×43×3＝6.
12．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求椭圆和双曲线的方程；
(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos ∠F 1PF 2的值．。