《高考真题》三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编专题04导数及其应用(解答题)(原卷版)

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2023年新高考数学一轮复习4-4 导数的综合应用(真题测试)含详解

专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （） A ．12-B ．13C ．12D ．12．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值D ．点在曲线上3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x x f x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（） ABC ．1eD ．e7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（） A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b +D ．e 1a b >11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是_____. 14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =___________.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”：设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________．四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）设，证明当时，.21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a 2()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1]（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围(1)0f ()f x (0,1)a专题4.4 导数的综合应用（真题测试）一、单选题1．（2017·全国·高考真题（理））已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则=a （） A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C 【解析】【分析】【详解】因为()221111()2()1()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-，设1t x =-，则()()()21t t f x g t t a e e -==++-，因为()()g t g t =-，所以函数()g t 为偶函数，若函数()f x 有唯一零点，则函数()g t 有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当0=t 时，()0g t =才满足题意，即1x =是函数()f x 的唯一零点，所以210a -=，解得12a =.故选：C. 2．（2015·陕西·高考真题（理））对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 A ．是的零点 B ．1是的极值点 C ．3是的极值 D ．点在曲线上【答案】A 【解析】【详解】若选项A 错误时，选项B 、C 、D 正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A 错误，选项B 、C 、D 正确，故选A ．3．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数()2e 2xx f x a x =-+，若有且仅有两个正整2()f x ax bx c =++a 1-()f x ()f x ()f x (2,8)()y f x =()2f x ax b ='+1()f x 3()f x ()()10{13f f '==203a b a b c +=⎧⎨++=⎩2{3b a c a =-=+()2,8()y f x =()42238a a a +⨯-++=5a =10b =-8c =()25108f x x x =-+()()()21511018230f -=⨯--⨯-+=≠1-()f x数，使得()0f x <成立，则实数a 的取值范围是（） A ．211,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3291,5e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．391,5e 3e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．212,2e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】【分析】将()0f x <转化为2(2)exx a x +<，再分别求导分析2()e x x g x =和()(2)h x a x =+的图象，再分别求得1,1g ，()()2,2g ，()()3,3g 到()20-，的斜率，分析临界情况即可【详解】由()0f x <且0x >，得2(2)exx a x +<，设2()e x x g x =，()(2)h x a x =+， 22()exx x g x '-=，已知函数()g x 在（0，2）上单调递增，在(2,)+∞上单调递减，函数()(2)h x a x =+的图象过点(2,0)-，(1)11(2)3e g =--，2(2)12(2)e g =--，3(3)93(2)5e g =--，结合图象，因为329115e 3e e <<，所以3915e 3ea ≤<．故选：C4．（2014·全国·高考真题（文））已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】【详解】试题分析：当时，，函数和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，32()31f x ax x =-+()f x 0x 00x >a ()2,+∞()1,+∞(),2-∞-(),1-∞-0a =2()31f x x =-+()f x 0a >2()36f x ax x '=-()0f x '=0x =2x a =(,0)x ∈-∞()0f x '>2(0,)x a ∈()0f x '<2(,)x a∈+∞()0f x '>(0)0f >(,0)x ∈-∞0a <2(,)x a∈-∞；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C ．5．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））若函数()()22e e x xf x x ax a a R =+-∈有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（） A ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2110,,1e e e ⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭D ．210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】令()0f x =得20e e x xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用导数研究()e x x g x =的图像，由函数()f x 有三个零点可知，若令1e e xxt t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则可知方程20t at a +-=的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，分类讨论即可求解. 【详解】由22e e 0xxx ax a +-=得20e ex xx xa a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()e x x g x =，由()10e xxg x -'==，得1x ＝，因此函数()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，且()00g =，当0x >时，()0e x x g x =>，则()ex xg x =的图像如图所示：即函数()g x 的最大值为()11eg =，令1e e xx t t ⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭，则()20h t t at a =+-=，由二次函数的图像可知，二次方程的一根1t 必在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内，另一根21e t =或20t =或()2,0t ∈-∞上，当21e t =时，21e ea =-，则另一根111e t =-，不满足题意，当20t =时，a ＝0，则另一根10t =，不满足题意，()0f x '<2(,0)x a ∈()0f x '>(0,)x ∈+∞()0f x '<(0)0f >()f x 0x 00x >2()0f a>24a >2a <-当()2,0t ∈-∞时，由二次函数()20h t t at a =+-=的图像可知22000110e e a a a a ⎧+⋅-<⎪⎨⎛⎫+⋅->⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得210e ea <<-，则实数a 的取值范围是210,e e ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，故选：D.6．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））对任意0x >，不等式e ln()(1)0x ax a x -+-≥恒成立，则正数a 的最大值为（） ABC ．1eD ．e【答案】D 【解析】【分析】将不等式化为ln()e ln()e x ax x ax +≥+，构造()e x f x x =+有()(ln())f x f ax ≥，利用函数的单调性及参变分离法有e xa x ≤在0x >上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果.【详解】∵e ln()(1)0x ax a x -+-≥，∴ln()e ln()ln()e x ax x ax ax ax +≥+=+．令()e x f x x =+，则不等式化为()(ln())f x f ax ≥． ∵()e (0)x f x x x =+>为增函数，∴ln()x ax ≥，即e xa x≤．令e ()=x g x x ，则2(1)e ()x x g x x '-=，当01x <<时，()0g x '<，即()g x 递减；当1x >时，()0g x '>，即()g x 递增；所以()()min 1e e g x g a ⇒≤==． ∴实数a 的最大值为e ．故选：D7．（2015·全国·高考真题（理））设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a < ，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是（）A ．3,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．33,2e 4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．33,2e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,12e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，问题转化为存在唯一的整数0x 使得满足()()01g x a x <-，求导可得出函数()y g x =的极值，数形结合可得()01a g ->=-且()312g a e-=-≥-，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】设()()21xg x e x =-，()1y a x =-，由题意知，函数()y g x =在直线y ax a =-下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，()()21x g x e x '=+，当12x <-时，()0g x '<；当12x >-时，()0g x '>.所以，函数()y g x =的最小值为12122g e -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.又()01g =-，()10g e =>.直线y ax a =-恒过定点()1,0且斜率为a ，故()01a g ->=-且()31g a a e -=-≥--，解得312a e≤<，故选D.8．（2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测（理））已知函数()()e ln e (0)xf x a a a =+>，若对任意实数1x >，不等式()()ln 1f x x ≥-总成立，则实数a 的取值范围为（）A ．210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．221,e e ⎛⎤⎥⎝⎦C ．21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】将所求不等式变形为()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-，构造函数()e xg x x =+，可知该函数在R 上为增函数，由此可得出()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >，利用导数求出()()ln 1h x x x =--的最大值，即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，由()()ln 1f x x ≥-可得()ln eln 1ln 1x aa x +++≥-，即()()()ln 1ln eln 1ln 1eln 1x x ax a x x x -+++≥-+-=+-，构造函数()e xg x x =+，其中x ∈R ，则()e 10x g x '=+>，所以，函数()g x 在R 上为增函数，由()()ln 1ln eln eln 1x x ax a x -+++≥+-可得()()ln ln 1g x a g x +≥-⎡⎤⎣⎦，所以，()ln ln 1x a x +≥-，即()ln ln 1a x x ≥--，其中1x >，令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111xh x x x -'=-=--. 当12x <<时，()0h x '>，函数()h x 单调递增，当2x >时，()0h x '<，函数()h x 单调递减，所以，()()max ln 22a h x h ≥==-，21e a ∴≥. 故选：D.二、多选题9．（2022·辽宁实验中学模拟预测）我们把形如(),,0f x y y '=的方程称为微分方程，符合方程的函数()y f x =称为微分方程的解，下列函数为微分方程0xy y xy +-'=的解的是（） A ．e x y = B ．e x y x =C ．e 1x y x =+D ．e (R)x y c x c =⋅∈⋅【答案】CD 【解析】【分析】根据导数的运算求得导函数y '，代入微分方程检验即可．【详解】选项A ，e x y =，则e x y '=，e e e e 0x x x x xy y xy x x '+-=+-=≠，不是解；选项B ，e x y x =，e e x x y x '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy x x x x '+-=+--=，是方程的解；选项C ，e 1x y x =+，e e x x y x '=+，22e e 1e e 10x x x x xy y xy x x x x x x '+-=+++--=+≠，不是方程的解；选项D ，e (R)x y c x c =⋅∈⋅，e e x x y c cx '=+，22e e e e 0x x x x xy y xy cx cx cx cx '+-=+--=，是方程的解．故选：CD ．10．（2022·河北沧州·二模）已知实数,a b 满足e e e a b a b ++=，则（） A ．0ab < B ．1a b +> C ．e e 4a b + D ．e 1a b >【答案】BCD 【解析】【分析】A.由e e e a b a b ++=得到111e ea b +=判断；BC.由e e e 2e e a b a b a b ++==2b 判断；D. 由111e e a b +=，得到e e e 1e 11e 1e 1b b b ab b b b b -+-=-=--，令()e e 1,0b b f b b b =-+>，用导数法判断. 【详解】由e e e a b a b ++=得111e ea b +=，又e 0,e 0a b >>，所以e 1,e 1a b >>，所以0,0a b >>，所以0ab >，选项A 错误；因为e e e 2e e a b a b a b ++==2b ，即e e e 4a b a b ++=，所以ln41a b +>，选项B C ,正确，因为111e e a b +=，所以e e e 1b ab =-，所以e e e 1e 11e 1e 1b b b a bbb b b -+-=-=--.令()e e 1,0b b f b b b =-+>，则()e 0b f b b '=>，所以f b 在区间()0,∞+上单调递增，所以()()00f b f >=，即e e 10b b b -+>，又e 10b ->，所以e 10a b ->，即e 1a b >，选项D 正确. 故选：BCD11．（2022·湖南·模拟预测）已知1x >，1y >，且()()1e 11e y xx y ++=+，则下列结论一定正确的是（）A ．()ln 0x y ->B ．122x y +<C ．226x y +>D ．()ln ln3x y +<【答案】AC 【解析】【分析】构造函数()e xf x x=，利用导数判断函数的单调性，得出1x y >+，结合不等式以及指、对数函数的性质逐一判断即可. 【详解】令()e x f x x=，则()()2e 1e e xx x x x f x x x --'==，所以当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在()1,+∞上单调递增；由()()1e 11e yxx y ++=+得1e e 111x y x y y +=+++，即1e e 111x y x y y +-=++，∵1y >，∴11012y <<+， ∴1e e 1012x y x y +<-<+，即()()1012f x f y <-+<， ∴1x y >+，即1->x y ，∴()ln 0x y ->，A 正确；由1x y >+知12x y +>+，所以12222x y y ++>>，所以选项B 错误；由1x y >+知12222326x y y y y ++>+=⋅>，所以选项C 正确．由1x y >+，1y >知213x y y +>+>，所以()()ln ln 21ln3x y y +>+>，所以D 错误，故选：AC ．12．（2022·全国·高考真题）已知函数，则（）A ．有两个极值点B ．有三个零点C ．点是曲线的对称中心D ．直线是曲线的切线【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义3()1f x x x =-+()f x ()f x (0,1)()y f x =2y x =()y f x =()f x判断D. 【详解】由题，，令得或令得，所以在上单调递减，在，上单调递增，所以是极值点，故A 正确；因，，，所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B 错误；令，该函数的定义域为，，则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象，所以点是曲线的对称中心，故C 正确；令，可得，又，当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D 错误.故选：AC.三、填空题13．（2020·河南高三其他（理））函数()2222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为_______；当0x >时，()1fx ≥恒成立，则a 的取值范围是_____.【答案】e (],1-∞ 【解析】当0a =时，∵()222ln x f x x ex =-，∴()222222x x f x xe x xe x'=+⋅-. 当1x >时，()0f x '>恒成立，()231f x x '=-()0fx '>x >x <()0f x '<x <()f x ((,-∞)+∞x =(10f =+>10f =>()250f -=-<()f x ,⎛-∞ ⎝⎭x ≥()0f x f ≥>⎝⎭()f x ⎫∞⎪⎪⎝⎭()f x 3()h x x x =-R ()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-()h x (0,0)()h x ()h x ()f x (0,1)()y f x =()2312f x x '=-=1x =±()(1)11f f =-=(1,1)21y x =-(1,1)-23y x =+∴()f x 在[]1,2上单调递增.∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时，()1f x ≥恒成立，令 ()1xg x e x =--,()()100xg x e g ''=->=,所以()g x 在()0,∞+ 递增，()()00g x g >= 所以1x e x >+ ∴()22222ln 22ln 2ln x x x f x x e x ax e x ax +=--=--()2222ln 12ln 111x x x ax a x ≥++--=-+≥恒成立，∴1a ≤.故答案为e ；(],1-∞.14．（2022·全国·模拟预测（理））若曲线ln x y x =与212y kx =-仅有1个公共点，则k 的取值范围是___________. 【答案】(]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭##1|02k k k ⎧⎫≤=⎨⎬⎩⎭或【解析】【分析】将原问题转化为32ln 12x k x x =+只有一个解,令()()32ln 102x g x x x x =+>,利用导数求出()g x 的单调性及最值即可得答案. 【详解】由题意可得:2ln 12x kx x =-只有一个解()0x >, 即32ln 12x k x x=+只有一个解. 令()32ln 12x g x x x=+, ()0x >原问题等价于y k =与()y g x =只有一个交点. 因为()43413ln 113ln x x xg x x x x '---=-= 因为13ln y x x =--在()0,∞+上单调递减, 且在1x =处的值为0 ,所以当()0,1x ∈时, ()()0,g x g x '>单调递增,当()1,x ∈+∞时, ()()0,g x g x '<单调递减且恒为正, 所以()()max 112g x g ==, 又因为y k =与()y g x =只有一个交点, 所以(]1,02k ⎧⎫∈-∞⎨⎬⎩⎭.故答案为: (]1,02⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭.15．（2012·福建·高考真题（理））对于实数a 和b ，定义运算“*”：设f （x ）=（2x -1）*（x -1），且关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是_________________ 【答案】【解析】【详解】由定义运算“*”可知即，该函数图像如下：由，假设当关于x 的方程为f （x ）=m （m ∈R ）恰有三个互不相等的实数根时， m 的取值范围是，且满足方程，所以令则，所以令22,,a ab a ba b b ab a b ⎧-≠=⎨->⎩⎫⎪⎪⎝⎭22(21)(21)(1)0()?(1)(21)(1)0x x x x f x x x x x ⎧----=⎨---->⎩2220()0x x x f x x x x ⎧-=⎨-+>⎩1124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭1230x x x <<<10,4⎛⎫⎪⎝⎭23,x x 2-+=x x m 23=x x m 22-=x x m 1=x 123==x x x m 10,4⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭y m所以，又在递增的函数，所以，所以，所以在递减，则当时，；当时，所以.16．（2022·江苏·常州高级中学模拟预测）已知函数22()ln 2e f x x x mx =-+，若()0f x ≥的解集中恰有一个整数，则m 的取值范围为________．【答案】22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】由()0f x ≥且0x >，得出2ln 2e x x m x -+≥-，构造函数()ln =-xg x x，利用导数研究()g x 的单调性，画出()ln =-x g x x 和22e y x =-的大致图象，由图可知0m >，设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标，结合题意可知该整数为1，即012x ≤<，当直线22e y x m =-+过1,0A 和ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，即可求出求出m 的值，从而得出m 的取值范围.【详解】由题可知，22()ln 2e f x x x mx =-+，0x >，由于()0f x ≥的解集中恰有一个整数，即22ln 2e 0x x mx -+≥，即222e ln x mx x -+≥-，因为0x >，所以2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数，令()ln =-x g x x ，则()2ln 1-'=x g x x ，当1e x <<时，()0g x '<；当e x >时，()0g x '>，所以()g x 在()1,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，画出()ln xy xg x ==-和22e y x =-的大致图象，如图所示：要使得2ln 2e xx m x-+≥-，可知0m >， 114'⎛= ⎝y ()=h m 10,4⎛⎫⎪⎝⎭()()01>=h m h 0y '<=y 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭0m =0y =14m ==y 123⎫∈⎪⎪⎝⎭x x x设0x 为()ln =-xg x x和22e y x m =-+的交点的横坐标，而2ln 2e xx m x-+≥-的解集中恰有一个整数，可知该整数为1，即012x ≤<，当01x =时，得()10g =；当02x =时，得()ln 222g =-，即1,0A ，ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，当直线22e y x m =-+过点1,0A 时，得22e m =，当直线22e y x m =-+过点ln 22,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，得2ln 24e 2m =-，所以m 的取值范围为22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.故答案为：22ln 22e ,4e 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭四、解答题17．（2018·全国·高考真题（文））已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，．【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当时，,令，只需证明即可．【详解】()21x ax x f x e +-=()y f x =()0,1-1a ≥()0f x e +≥210x y --=a 1≥()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）12gx 1x e x x +=++-gx 0≥（1），．因此曲线在点处的切线方程是．（2）当时，．令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以．因此．18．（2017·全国·高考真题（理））已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减. （ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为. ()()2212xax a x f x e-++'-=()02f '=()y f x =()0,1-210x y --=1a ≥()()211x xf x e x x e e +-+≥+-+()211xg x x x e +=+-+()121x g x x e +=++'()120x g x e +''=+>1x <-()()10g x g '-'<=()g x 1x >-()()10g x g '-'>=()g x ()g x ()1=0g ≥-()0f x e +≥()()2e 2e x xf x a a x =+--()f x ()f x a (0,1)()f x a 0a ≤0a >0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x 1(ln )1ln f a a a-=-+1a =(1,)∈+∞a (0,1)a ∈(0,1)a ∈()f x (,ln )a -∞-0n 03ln(1)n a>-00000000()e (e 2)e 20n n n n f n a a n n n =+-->->->3ln(1)ln a a->-()f x (ln ,)a -+∞a (0,1)()f x (),-∞+∞()()()()2221121x x x xf x ae a e ae e =+---'=+0a ≤()0f x '<()f x (),-∞+∞0a >()0f x '=ln x a =-(),ln x a ∈-∞-()0f x '<()ln ,x a ∈-+∞()0f x '>()f x (),ln a -∞-()ln ,a -+∞0a ≤()f x 0a >ln x a =-()f x ()1ln 1ln f a a a-=-+①当时，由于，故只有一个零点； ②当时，由于，即，故没有零点； ③当时，，即. 又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点. 综上，的取值范围为.19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明. 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. （2）证明，即证，而，所以需证，设g （x ）=ln x -x +1 ，利用导数易得，即得证. 【详解】（1）的定义域为（0，+），. 若a ≥0，则当x ∈（0，+）时，，故f （x ）在（0，+）单调递增.若a ＜0，则当时，时；当x ∈时，. 故f （x ）在单调递增，在单调递减. （2）由（1）知，当a ＜0时，f （x ）在取得最大值，最大值为. 1a =()ln 0f a -=()f x ()1,a ∈+∞11ln 0a a-+>()ln 0f a ->()f x ()0,1a ∈11ln 0a a-+<()ln 0f a -<()()4222e 2e 22e 20f a a ----=+-+>-+>()f x (),ln a -∞-0n 03ln 1n a ⎛⎫>- ⎪⎝⎭()()00000000e e 2e 20n n n nf n a a n n n =+-->->->3ln 1ln a a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭()f x ()ln ,a -+∞a ()0,12()ln (21)f x x ax a x =+++()f x 0a <3()24f x a≤--(21)(1)'()(0)ax x f x x x++=>0a ≥'()0f x >()f x (0,)+∞0a <()f x 1(0,)2a -1(,)2a-+∞3()24f x a ≤--max 3()24f x a ≤--max 1()()2f x f a=-11ln()1022a a -++≤max ()(1)0g x g ==()f x ∞()()‘1211)22(1x ax f x ax a x x++=+++=∞’)(0f x ＞∞10,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()0f x '＞1()2a ∞-+，’)(0f x <’)(0f x ＞1()2a∞-+，12x a=-111()ln()1224f a a a -=---所以等价于，即. 设g （x ）=ln x -x +1，则. 当x ∈（0,1）时，；当x ∈（1，+）时，.所以g （x ）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x =1时，g （x ）取得最大值，最大值为g （1）=0.所以当x ＞0时，g （x ）≤0.从而当a ＜0时，，即. 20．（2016·全国·高考真题（文））设函数．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）证明当时，；（Ⅲ）设，证明当时，.【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）首先求出导函数，然后通过解不等式或可确定函数的单调性；（Ⅱ）左端不等式可利用（Ⅰ）的结论证明，右端将左端的换为即可证明；（Ⅲ）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理．试题解析：（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为. 所以当时，. 故当时，，，即. （Ⅲ）由题设，设，则，令，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减. 由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，. 所以当时，.3()24f x a≤--113ln()12244a a a ---≤--11ln()1022a a -++≤’1(1)g x x=-()0g x '>∞()0g x '<∞11ln()1022a a -++≤3()24f x a≤--()ln 1f x x x =-+()f x (1,)x ∈+∞11ln x x x-<<1c >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->01x <<()f x 1x >()f x ()f x '()0f x '>()0f x '<()f x x 1x()f x (0,)+∞1()1f x x=-'()0f x '=1x =01x <<()0f x '>()f x 1x >()0f x '<()f x ()f x 1x =(1)0f =1x ≠ln 1x x <-(1,)x ∈+∞ln 1x x <-11ln1x x <-11ln x x x-<<1c >()1(1)x g x c x c =+--'()1ln xg x c c c =--'()0g x =01lnln ln c c x c-=0x x <'()0g x >()g x 0x x >'()0g x <()g x 11ln c c c-<<001x <<(0)(1)0g g ==01x <<()0g x >(0,1)x ∈1(1)xc x c +->21．（2015·全国·高考真题（理））设函数．（1）证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求m 的取值范围．【答案】（1）在单调递减，在单调递增；（2）.【解析】【详解】（Ⅰ）．若，则当时，，；当时，，．若，则当时，，；当时，，．所以，在单调递减，在单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值．所以对于任意，的充要条件是：即①，设函数，则．当时，；当时，．故在单调递减，在单调递增．又，，故当时，．当时，，，即①式成立．当时，由的单调性，，即；当时，，即．综上，的取值范围是．22．（2014·四川·高考真题（理））已知函数，其中，为自然对数的底数.（Ⅰ）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；（Ⅱ）若，函数在区间内有零点，求的取值范围【答案】（Ⅰ）当时，；当时，；当时， .（Ⅱ）的范围为. 【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）易得，再对分情况确定的单调区间，根据在上的单调性即可得在上的最小值.（Ⅱ）设为在区间内的一个零点，注意到2()e mx f x x mx =+-()f x (,0)-∞(0,)+∞12,[1,1]x x ∈-12|()()|1f x f x e -≤-()f x (,0)-∞(0,)+∞[1,1]-()(1)2mx f x m e x -'=+0m ≥(,0)x ∈-∞10mx e -≤()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -≥()0f x '>0m <(,0)x ∈-∞10mx e ->()0f x '<(0,)x ∈+∞10mx e -<()0f x '>()f x (,0)-∞(0,)+∞m ()f x [1,0]-[0,1]()f x 0x =12,[1,1]x x ∈-12()()1f x f x e -≤-(1)(0)1,{(1)(0)1,f f e f f e -≤---≤-1,{1,m m e m e e m e --≤-+≤-()1t g t e t e =--+()1t g t e =-'0t <()0g t '<0t >()0g t '>()g t (,0)-∞(0,)+∞(1)0g =1(1)20g e e --=+-<[1,1]t ∈-()0g t ≤[1,1]m ∈-()0g m ≤()0g m -≤1m >()g t ()0g m >1m e m e ->-1m <-()0g m ->1m e m e -+>-m [1,1]-2()1x f x e ax bx =---,a b R ∈ 2.71828e =()g x ()f x ()g x [0,1](1)0f =()f x (0,1)a 12a ≤()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()22ln(2)g x a a a b ≥--2e a >()2g x e a b ≥--a ()2,1e -()2,()2x x g x e ax b g x e a -='=--a ()g x ()g x [0,1]()g x [0,1]0x ()f x (0,1).联系到函数的图象可知，导函数在区间内存在零点，在区间内存在零点，即在区间内至少有两个零点. 由（Ⅰ）可知，当及时，在内都不可能有两个零点.所以.此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，且必有.由得：，代入这两个不等式即可得的取值范围.试题解答：（Ⅰ）①当时，，所以.②当时，由得.若，则；若，则. 所以当时，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增，所以. 当时，在上单调递减，所以. （Ⅱ）设为在区间内的一个零点，则由可知，在区间上不可能单调递增，也不可能单调递减.则不可能恒为正，也不可能恒为负.故在区间内存在零点.同理在区间内存在零点.所以在区间内至少有两个零点.由（Ⅰ）知，当时，在上单调递增，故在内至多有一个零点. 当时，在上单调递减，故在内至多有一个零点. 所以. 此时，在上单调递减，在上单调递增，因此，必有.由得：，有(0)0,(1)0f f ==()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤2e a ≥()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=1b e a =--a ()2,()2x xg x e ax b g x e a -='=--0a ≤()20x g x e a -'=>()(0)1g x g b ≥=-0a >()20x g x e a -'=>2,ln(2)x e a x a >>12a >ln(2)0a >2e a >ln(2)1a >102a <≤()g x [0,1]()(0)1g x g b ≥=-122e a <≤()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a ()(ln 2)22ln 2g x g a a a a b ≥=--2e a >()g x [0,1]()(1)2g x g e a b ≥=--0x ()f x (0,1)0(0)()0f f x ==()f x 0(0,)x ()g x ()g x 0(0,)x 1x ()g x 0(),1x 2x ()g x (0,1)12a ≤()g x [0,1]()g x (0,1)2e a ≥()g x [0,1]()g x (0,1)122e a <<()g x [0,ln 2]a [ln 2,1]a 12(0,ln(2)],(ln(2),1)x a x a ∈∈(0)10,(1)20g b g e a b =->=-->(1)10f e a b =---=12a b e +=-<.解得.当时，在区间内有最小值.若，则，从而在区间上单调递增，这与矛盾，所以.又，故此时在和内各只有一个零点和.由此可知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.所以，，故在内有零点.综上可知，的取值范围是. (0)120,(1)210g b a e g e a b a =-=-+>=--=->21e a -<<21e a -<<()g x [0,1](ln(2))g a (ln(2))0g a ≥()0([0,1])g x x ≥∈()f x [0,1](0)(1)0f f ==(ln(2))0g a <(0)20,(1)10g a e g a =-+>=->()g x (0,ln(2))a (ln(2),1)a 1x 2x ()f x 1[0,]x 1(,x 2)x 2[,1]x 1()(0)0f x f >=2()(1)0f x f <=()f x 1(,x 2)x a (2,1)e -。

三年高考(2017-2019)高考数学真题分项汇编专题12 数列理(含解析)

专题12数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A ．【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列｛a n ｝的公比为q ,则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩，解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n ｝满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ,n *∈N ，则 A ．当101,102b a => B ．当101,104b a => C ．当102,10b a =-> D ．当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .90b -时,总存在b ≥， ()22bb b +12=时，4a 211⎫++=⎪故B 项不正确。

故本题正确答案为A 。

【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展。

2017-2019年高考真题数学(文)分项汇编_专题03 导数及其应用(选择题、填空题)

专题03导数及其应用（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为A ．10x y --π-=B ．2210x y --π-=C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【名师点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==，D ．1e a -=，1b =-【答案】D【解析】∵e ln 1,xy a x '=++∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．【名师点睛】本题求解的关键是利用导数的几何意义和点在曲线上得到含有a ，b 的等式，从而求解，属于常考题型.3．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】设函数32()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得.故选D.【名师点睛】该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4．【2017年高考浙江】函数y=f (x )的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数y=f (x )的图象可能是【答案】D【解析】原函数先减再增，再减再增，且0x =位于增区间内，因此选D ．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与x 轴的交点为0x ，且图象在0x 两侧附近连续分布于x 轴上下方，则0x 为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数()f x '的正负，得出原函数()f x 的单调区间．5．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】函数()2e e x xf x x--=的图像大致为【答案】B【解析】()()()2e e 0,,x xx f x f x f x x --≠-==-∴为奇函数，舍去A ； ()11e e 0f -=->，∴舍去D ；()()()()()243e e e e 22e 2e ,xx x x x x x xx x f x x x ---+---++=='2x ∴>时，()0f x '>，()f x 单调递增，舍去C. 因此选B.【名师点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的周期性. 6．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】函数422y x x =-++的图像大致为【答案】D【解析】函数图象过定点(0,2)，排除A ，B ；令42()2y f x x x ==-++，则32()422(21)f x x x x x '=-+=--，由()0f x '>得22(21)0x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，由()0f x '<得22(21)0x x ->，得2x >或02x -<<，此时函数单调递减，排除C. 故选D.【名师点睛】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象过的定点及由导数判断函数的单调性是解决本题的关键.7．【2017年高考山东文数】若函数e ()xf x （e 2.71828=是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是 A ．()2xf x -= B ．2()f x x = C ．()3x f x -=D ．()cos f x x =【答案】A【解析】对于A ，e e ()e 2()2x x x x f x -=⋅=在R 上单调递增，故()2xf x -=具有M 性质；对于B ，2e ()e x x f x x =⋅，令2()e x g x x =⋅，则2()e 2e e (2)xxxg x x x x x '=⋅+⋅=+，∴当2x <-或0x >时，()0g x '>，当20x -<<时，()0g x '<，∴2e ()e xxf x x =⋅在(,2)-∞-，(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减，故2()f x x =不具有M 性质；对于C ，e e ()e 3()3x x x x f x -=⋅=在R 上单调递减，故()3xf x -=不具有M 性质；对于D ，易知()cos f x x =在定义域内有增有减，故()cos f x x =不具有M 性质．故选A.【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考的动向，它考查学生的阅读理解能力，接受新思维的能力，考查学生分析问题与解决问题的能力，新定义的概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉的知识即可．8．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩．若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <–1，b <0 B ．a <–1，b >0C ．a >–1，b <0D ．a >–1，b >0【答案】C【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，2(1)y x a x =+-'，当a +1≤0，即a ≤﹣1时，y ′≥0，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在[0，+∞）上单调递增，则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点，不合题意；当a +1＞0，即a >﹣1时，令y ′＞0得x ∈(a +1，+∞），此时函数单调递增，令y ′＜0得x ∈[0，a +1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 恰有3个零点⇔函数y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 在（﹣∞，0）上有一个零点，在[0，+∞）上有2个零点，如图：∴0且，解得b ＜0，1﹣a ＞0，b （a +1）3，则a >–1，b <0. 故选C ．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b 最多有一个零点；当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣bx 3（a +1）x 2﹣b ，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解．9．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】曲线23()e xy x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________．【答案】30x y -=【解析】223(21)e 3()e 3(31)e ,xxxy x x x x x '=+++=++ 所以切线的斜率0|3x k y ='==，则曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【名师点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，而导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．10．【2019年高考天津文数】曲线cos 2xy x =-在点(0,1)处的切线方程为__________. 【答案】220x y +-=【解析】∵1sin 2y x '=--， ∴01|sin 0212x y ='=---=，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=.【名师点睛】曲线切线方程的求法：（1）以曲线上的点(x 0，f (x 0))为切点的切线方程的求解步骤： ①求出函数f (x )的导数f ′(x )； ②求切线的斜率f ′(x 0)；③写出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，并化简．（2）如果已知点(x 1，y 1)不在曲线上，则设出切点(x 0，y 0)，解方程组0010010()()y f x y y f x x x=⎧⎪-⎨'=⎪-⎩得切点(x 0，y 0)，进而确定切线方程．11．【2018年高考天津文数】已知函数f (x )=e x ln x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′（1）的值为__________．【答案】e【解析】由函数的解析式可得，则.即的值为e.【名师点睛】本题主要考查导数的运算法则，基本初等函数的导数公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．【答案】y =2x –2 【解析】由，得.则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【名师点睛】求曲线在某点处的切线方程的步骤：①求出函数在该点处的导数值即为切线斜率；②写出切线的点斜式方程；③化简整理. 13．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________．【答案】1y x =+【解析】设()y f x =，则21()2f x x x '=-，所以(1)211f '=-=，所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．【名师点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．14．【2017年高考天津文数】已知a ∈R ，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为___________．【答案】1【解析】由题可得(1)f a =，则切点为(1,)a ，因为1()f x a x'=-，所以切线l 的斜率为(1)1f a '=-，切线l 的方程为(1)(1)y a a x -=--，令0x =可得1y =，故l 在y 轴上的截距为1．【名师点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题型，函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率，切线方程为000()()y y f x x x '-=-．解题时应注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同，没切点应设出切点坐标，建立方程组进行求解．15．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4 【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0004(,)x x x +，由20411x -=-得0x =0x =， ∴曲线4(0)y x x x=+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法，利用数形结合和转化与化归思想解题.16．【2019年高考江苏】在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =ln x 上，且该曲线在点A 处的切线经过点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点A 的坐标是 ▲ . 【答案】(e, 1)【解析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方程得到横坐标的值，可得切点坐标. 设点()00,A x y ，则00ln y x =. 又1y x'=，当0x x =时，01y x '=，则曲线ln y x =在点A 处的切线为0001()y y x x x -=-，即00ln 1xy x x -=-，将点()e,1--代入，得00e1ln 1x x ---=-，即00ln e x x =，考察函数()ln H x x x =，当()0,1x ∈时，()0H x <，当()1,x ∈+∞时，()0H x >，且()ln 1H x x '=+，当1x >时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()e e H =，故00ln e x x =存在唯一的实数根0e x =，此时01y =，故点A 的坐标为()e,1.【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 17．【2018年高考江苏】若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．【答案】–3【解析】由()2620f x x ax =-='得0x =或3ax =，因为函数()f x 在()0,+∞上有且仅有一个零点且()0=1f ，所以0,033a a f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，因此32210,33a a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得3a =.从而函数()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，所以()()max 0,f x f =()()(){}()min min 1,11f x f f f =-=-，则()()max min f x f x +=()()0+114 3.f f -=-=-故答案为3-.【名师点睛】对于函数零点的个数问题，可利用函数的单调性、草图确定其中参数的取值条件．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．18．【2017年高考江苏】已知函数31()2e e x xf x x x =-+-，其中e 是自然对数的底数．若(1)f a -+2(2)0f a ≤，则实数a 的取值范围是 ▲ ．【答案】1[1,]2- 【解析】因为31()2e ()ex x f x x f x x -=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数，因为22()32e e 320x x f 'x x x -=-++≥-+≥，所以函数()f x 在R 上单调递增，又21)02()(f f a a +-≤，即2())2(1a a f f ≤-，所以221a a ≤-，即2120a a +-≤，解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2-．【名师点睛】解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数()f x 的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在函数()f x 的定义域内．。

【高考冲刺】高考数学(文)真题专项汇编卷(2017-2019)知识点3：导数及其应用

知识点3：导数及其应用1、已知曲线ln x y ae x x =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则（）A.,1a e b ==-B.,1a e b ==C.1,1a e b -==D.1,1a e b -==-2、曲线2sin cos y x x =+在点(1,)π-处的切线方程为( ) A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=3、已知函数()()ln ln 2f x x x =+-，则()A. () f x 在()0,2单调递增B. () f x 在()0,2单调递减C. ()y f x =的图像关于直线1x =对称D. ()y f x =的图象关于点()1,0对称4、已知函数()()2112x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = ( ) A. 12-B.13C.12D. 15、设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A. 2y x =- B. y x =-C. 2y x =D. y x =6、曲线cos 2xy x =-在点()0,1处的切线方程为______. 7、曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为_______. 8、曲线2ln y x =在点()1,0处的切线方程为__________.9、已知函数()ln xf x e x =，()'f x 为()f x 的导函数，则()'1f 的值为__________.10、已如R a ∈，设函数()ln f x ax x =-的图像在点()()1,1f 处的切线为l ，则直线l 在y轴上的截距为____________.11、已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： (1)()f x 存在唯一的极值点；(2)()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.12、已知函数()cos xf x e x x =-.(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；(2)求函数() f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.13、已知函数32()22f x x ax =-+. (1)讨论()f x 的单调性；(2)当03a <<时，记()f x 在区间[]0,1的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围.14、设函数 2()(31)32xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦.(1)若曲线 ()y f x =在点(2,(2))f 处的切线斜率为0，求a . (2)若 ()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围. 15、已知函数()2211,32f x x ax a R =-∈. (1)当2a =时，求曲线()y f x =在()()3,3f 处的切线方程;(2)设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：因为11x y ae n x '=++，所以1|1x y ae ='=+，所以切线方程为()()11y ae ae x -=+-，即()11y ae x =+-，与切线方程2y x b =+对照，可得121ae b +=⎧⎨=-⎩，解得11a e b -⎧=⎨=-⎩，故选D.2答案及解析：答案：C解析：当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-Q 2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．3答案及解析：答案：C解析：由题意知， ()()()2ln 2ln f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，C 正确，D 错误; 又()()()()21110222x f x x x x x x -=-<--'=<，在()0,1上单调递增，在[)1,2上单调递减，A ，B 错误，故选C.4答案及解析：答案：C解析：函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee --+=+，()()211111111x x x x x x e g x e e e e e---+----=+='-=，当()0g x '=时， 1x =，当1x <时， ()'0g x <函数()g x 单调递减，当1x >时， ()'0g x >，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =-，当1x =时，函数取得最小值1-，若0a ->，函数()h x 和()ag x 没有交点，当0a -<时， ()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点，即1212a a -⨯=-⇒=，故选C.5答案及解析：答案：D解析：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =，所以，32(),'()31,f x x x f x x =+=+，所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)(0)y f f x -=，化简可得y x =，故选D.6答案及解析：答案：220x y +-= 解析：1'sin 2y x =--，当0x =时其值为12-，故所求的切线方程为112y x -=-，即220x y +-=.7答案及解析：答案：30x y -=解析：223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e '=+++=++ 所以，0|3x k y ='==.所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．8答案及解析：答案：22y x =-解析：由 ()2ln y f x x ==，得()2'f x x=则曲线 2ln y x =在点()1,0处的切线的斜率为()'12k f ==，则所求切线方程为 ()021y x -=-，即22y x =-.9答案及解析：答案：e解析：由函数的解析式可得：11'()e ln e e (ln )x x x f x x x xx=⨯⨯⨯=+，则：11'(1)e (ln1)e 1f =⨯+=.即'(1)f 的值为e.10答案及解析：答案：1解析：()1f a =，切点为()1,a ，1()f x a x'=-，则切线的斜率为(1)1f a '=-，切线方程为:()()11y a a x -=--，令0x =得出1y =，l 在y 轴的截距为1.11答案及解析：答案：(1)()f x 的定义域为(0,)+∞.11()ln 1ln x f x x x x x-'=+-=-. 因为ln y x =单调递增，1y x=单调递减，所以()f x '单调递增，又(1)10f '=-<， 1ln 41(2)ln 2022f -'=-=>，故存在唯一0(1,2)x ∈，使得()00f x '=.又当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增.因此，()f x 存在唯一的极值点.(2)由(1)知0()(1)2f x f <=-，又22(e )e 30f =->，所以()0f x =在()0,x +∞内存在唯一根x α=.由01x α>>得011x α<<.又1111()1ln 10f f αααααα⎛⎫⎛⎫=---== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1α是()0f x =在()00,x 的唯一根. 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.12答案及解析：答案：(1)因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1,(0)0xf x x x f ''=--=.又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. (2)设()e (cos sin )1x h x x x =--，则'()e (cos sin sin cos )2e sin x x h x x x x x x =---=- 当π(0,)2x ∈时，'()0h x <所以()h x 在区间π[0,]2上单调递减所以对于任意π[0,]2x ∈有()(0)h x h <，即'()0f x < 所以函数()f x 在区间π[0,]2上单调递增因此()f x 在区间π[0,]2上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ()22f =-13答案及解析：答案：(1)2()622(3)f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0x =或3ax =.若0a >，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(,0),,3a ⎛⎫-∞+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若0a =，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若0a <，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,,(0,)3a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减. (2)当03a <<时，由1知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0，1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)=2f 或(1)=4f a -.于是 3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩所以332,02,27,2 3.27a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪-=⎨⎪≤<⎪⎩ 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，所以M m -的取值范围是8,227⎛⎫⎪⎝⎭.当23a ≤<时，327a 单调递减，所以M m -的取值范围是8[,1)27.综上，M m -的取值范围是8[,2)27.14答案及解析：答案：(1)12a =(2)()f x 在1x =处取得极小值，则1a > 解析：(1)因为2()[(31)32]e xf x ax a x a =-+++，所以2()[(1)1]e xf x ax a x '=-++2(2)(21)e f a '=-，由题设知'(2)0f =，即2(21)e 0a -=，解得12a =.(2)由(1)得2()[(1)1]e (1)(1)e x xf x ax a x ax x '=-++=--. 若1a >，则当1(,1)x a∈时， '()0f x <; 当(1,)x ∈+∞时， '()0f x >. 所以()f x 在1x =处取得极小值.若1a ≤，则当(0,1)x ∈时， 110ax x -≤-<，所以'()0f x >.所以1不是()f x 的极小值点. 综上可知， a 的取值范围是(1,)+∞.15答案及解析：答案：(1)()2'2f x x x =-∴()'33k f ==又∵()30f =∴其切线方程为()033y x -=-即390x y --=.(2)()()3211cos sin 32g x x ax x a x x =-+--，∴()()2'sin g x x ax x a x =---()()sin x a x x =--令()'0,g x =得120,x x a == ∴当0a =时， ()'0g x ≥恒成立 ∴()g x 在R 上递增，无极值∴当0a <时，令()'0g x >得， x a <或0x > 即()g x 在(),0-∞()0,+∞上递增，在()0,0递减 ∴()()31sin 6g x g a a a ==--极大，()()0g x g a ==-极小∵当0a >时， ()g x 在()(),0,,a -∞+∞上递增()0,0递减∴()()0g x g a ==-极大，()()310sin 6g x g a a ==--极小，综上所述①0a =无极值②0a <极大值为31sin 6a a --，极小值a -③0a >极大值为a ，极小值为31sin 6a a --.。

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编专题04导数及其应用解答题理(含答案及解析)

全国通用2020_2022三年高考数学真题分项汇编：04 导数及其应用（解答题）（理科专用）1．【2022年全国甲卷】已知函数f(x)=e xx−lnx+x−a．(1)若f(x)≥0，求a的取值范围；(2)证明：若f(x)有两个零点x1,x2，则环x1x2<1．【答案】(1)(−∞,e+1](2)证明见的解析【解析】【分析】（1）由导数确定函数单调性及最值，即可得解；（2）利用分析法，转化要证明条件为e xx −xe1x−2[lnx−12(x−1x)]>0，再利用导数即可得证.(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=(1x −1x2)e x−1x+1=1x(1−1x)e x+(1−1x)=x−1x(e xx+1)令f(x)=0,得x=1当x∈(0,1),f′(x)<0,f(x)单调递减当x∈(1,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增f(x)≥f(1)=e+1−a，若f(x)≥0,则e+1−a≥0,即a≤e+1所以a的取值范围为(−∞,e+1](2)由题知,f(x)一个零点小于1,一个零点大于1不妨设x1<1<x2要证x1x2<1,即证x1<1x2因为x1,1x2∈(0,1),即证f(x1)>f(1x2)因为f(x1)=f(x2),即证f(x2)>f(1x2)即证e xx −lnx+x−xe1x−lnx−1x>0,x∈(1,+∞)即证e xx −xe1x−2[lnx−12(x−1x)]>0下面证明x>1时，e xx −xe1x>0,lnx−12(x−1x)<0设g(x)=e xx−xe1x,x>1，则g′(x)=(1x −1x2)e x−(e1x+xe1x⋅(−1x2))=1x(1−1x)e x−e1x(1−1x) =(1−1x)(e xx−e1x)=x−1x(e xx−e1x)设φ(x)=e xx (x>1),φ′(x)=(1x−1x2)e x=x−1x2e x>0所以φ(x)>φ(1)=e,而e1x<e所以e xx−e1x>0,所以g′(x)>0所以g(x)在(1,+∞)单调递增即g(x)>g(1)=0,所以e xx−xe1x>0令ℎ(x)=lnx−12(x−1x),x>1ℎ′(x)=1x−12(1+1x2)=2x−x2−12x2=−(x−1)22x2<0所以ℎ(x)在(1,+∞)单调递减即ℎ(x)<ℎ(1)=0,所以lnx−12(x−1x)<0；综上, e xx −xe1x−2[lnx−12(x−1x)]>0,所以x1x2<1.【点睛】关键点点睛：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式ℎ(x)=lnx−12(x−1x)这个函数经常出现，需要掌握2．【2022年全国乙卷】已知函数f(x)=ln(1+x)+axe−x(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；(2)若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点，求a的取值范围．【答案】(1)y=2x(2)(−∞,−1)【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a分类讨论,对x分(−1,0),(0,+∞)两部分研究(1)f(x)的定义域为(−1,+∞)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+xe x ,f(0)=0,所以切点为(0,0)f′(x)=11+x+1−xe x,f′(0)=2,所以切线斜率为2所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x (2)f(x)=ln(1+x)+ax e xf′(x)=11+x+a(1−x)e x=e x+a(1−x2)(1+x)e x设g(x)=e x+a(1−x2)1°若a>0,当x∈(−1,0),g(x)=e x+a(1−x2)>0,即f′(x)>0所以f(x)在(−1,0)上单调递增,f(x)<f(0)=0故f(x)在(−1,0)上没有零点,不合题意2°若−1⩽a⩽0,当x∈(0,+∞),则g′(x)=e x−2ax>0所以g(x)在(0,+∞)上单调递增所以g(x)>g(0)=1+a⩾0,即f′(x)>0所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0故f(x)在(0,+∞)上没有零点,不合题意3°若a<−1(1)当x∈(0,+∞),则g′(x)=e x−2ax>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增g(0)=1+a<0,g(1)=e>0所以存在m∈(0,1),使得g(m)=0,即f′(m)=0当x∈(0,m),f′(x)<0,f(x)单调递减当x∈(m,+∞),f′(x)>0,f(x)单调递增所以当x∈(0,m),f(x)<f(0)=0当x→+∞,f(x)→+∞所以f(x)在(m,+∞)上有唯一零点又(0,m)没有零点,即f(x)在(0,+∞)上有唯一零点(2)当x∈(−1,0),g(x)=e x+a(1−x2)设ℎ(x)=g′(x)=e x−2axℎ′(x)=e x−2a>0所以g′(x)在(−1,0)单调递增g′(−1)=1e+2a<0,g′(0)=1>0所以存在n∈(−1,0),使得g′(n)=0当x∈(−1,n),g′(x)<0,g(x)单调递减当x∈(n,0),g′(x)>0,g(x)单调递增,g(x)<g(0)=1+a<0又g(−1)=1e>0所以存在t∈(−1,n),使得g(t)=0,即f′(t)=0当x∈(−1,t),f(x)单调递增,当x∈(t,0),f(x)单调递减有x→−1,f(x)→−∞而f(0)=0,所以当x∈(t,0),f(x)>0所以f(x)在(−1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点即f(x)在(−1,0)上有唯一零点所以a<−1,符合题意所以若f(x)在区间(−1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围为(−∞,−1)【点睛】方法点睛：本题的关键是对a的范围进行合理分类，否定和肯定并用，否定只需要说明一边不满足即可，肯定要两方面都说明.3．【2022年新高考1卷】已知函数f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值．(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．【答案】(1)a=1(2)见解析【解析】【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.（2）根据（1）可得当b>1时，e x−x=b的解的个数、x−lnx=b的解的个数均为2，构建新函数ℎ(x)=e x+lnx−2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得f(x),g(x)的大小关系，根据存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)f(x)=e x−ax的定义域为R，而f′(x)=e x−a，若a≤0，则f′(x)>0，此时f(x)无最小值，故a>0.g(x)=ax−lnx的定义域为(0,+∞)，而g′(x)=a−1x =ax−1x.当x<lna时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞,lna)上为减函数，当x>lna时，f′(x)>0，故f(x)在(lna,+∞)上为增函数，故f(x)min=f(lna)=a−alna.当0<x<1a 时，g′(x)<0，故g(x)在(0,1a)上为减函数，当x>1a 时，g′(x)>0，故g(x)在(1a,+∞)上为增函数，故g(x)min=g(1a )=1−ln1a.因为f(x)=e x−ax和g(x)=ax−lnx有相同的最小值，故1−ln1a =a−alna，整理得到a−11+a=lna，其中a>0，设g(a)=a−11+a −lna,a>0，则g′(a)=2(1+a)2−1a=−a2−1a(1+a)2≤0，故g(a)为(0,+∞)上的减函数，而g(1)=0，故g(a)=0的唯一解为a=1，故1−a1+a=lna的解为a=1.综上，a=1.(2)由（1）可得f(x)=e x−x和g(x)=x−lnx的最小值为1−ln1=1−ln11=1.当b>1时，考虑e x−x=b的解的个数、x−lnx=b的解的个数.设S(x)=e x−x−b，S′(x)=e x−1，当x<0时，S′(x)<0，当x>0时，S′(x)>0，故S(x)在(−∞,0)上为减函数，在(0,+∞)上为增函数，所以S(x)min=S(0)=1−b<0，而S(−b)=e−b>0，S(b)=e b−2b，设u(b)=e b−2b，其中b>1，则u′(b)=e b−2>0，故u(b)在(1,+∞)上为增函数，故u(b)>u(1)=e−2>0，故S(b)>0，故S(x)=e x−x−b有两个不同的零点，即e x−x=b的解的个数为2.设T(x)=x−lnx−b，T′(x)=x−1x，当0<x<1时，T′(x)<0，当x>1时，T′(x)>0，故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数，所以T(x)min=T(1)=1−b<0，而T(e−b)=e−b>0，T(e b)=e b−2b>0，T(x)=x −lnx −b 有两个不同的零点即x −lnx =b 的解的个数为2. 当b =1，由（1）讨论可得x −lnx =b 、e x −x =b 仅有一个零点，当b <1时，由（1）讨论可得x −lnx =b 、e x −x =b 均无零点，故若存在直线y =b 与曲线y =f(x)、y =g(x)有三个不同的交点，则b >1.设ℎ(x)=e x +lnx −2x ，其中x >0，故ℎ′(x)=e x +1x −2，设s(x)=e x −x −1，x >0，则s ′(x)=e x −1>0，故s(x)在(0,+∞)上为增函数，故s(x)>s(0)=0即e x >x +1，所以ℎ′(x)>x +1x−1≥2−1>0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，而ℎ(1)=e −2>0，ℎ(1e 3)=e 1e 3−3−2e 3<e −3−2e 3<0，故ℎ(x)在(0,+∞)上有且只有一个零点x 0，1e 3<x 0<1且：当0<x <x 0时，ℎ(x)<0即e x −x <x −lnx 即f(x)<g(x)，当x >x 0时，ℎ(x)>0即e x −x >x −lnx 即f(x)>g(x)，因此若存在直线y =b 与曲线y =f(x)、y =g(x)有三个不同的交点，故b =f(x 0)=g(x 0)>1，此时e x −x =b 有两个不同的零点x 1,x 0(x 1<0<x 0)，此时x −lnx =b 有两个不同的零点x 0,x 4(0<x 0<1<x 4)，故e x 1−x 1=b ，e x 0−x 0=b ，x 4−lnx 4−b =0，x 0−lnx 0−b =0 所以x 4−b =lnx 4即e x 4−b =x 4即e x 4−b −(x 4−b)−b =0，故x 4−b 为方程e x −x =b 的解，同理x 0−b 也为方程e x −x =b 的解又e x 1−x 1=b 可化为e x 1=x 1+b 即x 1−ln(x 1+b)=0即(x 1+b)−ln(x 1+b)−b =0，故x 1+b 为方程x −lnx =b 的解，同理x 0+b 也为方程x −lnx =b 的解，所以{x 1,x 0}={x 0−b,x 4−b}，而b >1，故{x 0=x 4−bx 1=x 0−b 即x 1+x 4=2x 0. 【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系. 4．【2022年新高考2卷】已知函数f(x)=xe ax −e x ． (1)当a =1时，讨论f(x)的单调性；(2)当x >0时，f(x)<−1，求a 的取值范围；(3)设n ∈N ∗，证明：√12+1√22+2+⋯√n 2+n >ln(n +1)．【答案】(1)f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞). (2)a ≤12 (3)见解析【解析】【分析】（1）求出f ′(x)，讨论其符号后可得f(x)的单调性.（2）设ℎ(x)=xe ax −e x +1，求出ℎ″(x)，先讨论a >12时题设中的不等式不成立，再就0<a ≤12结合放缩法讨论ℎ′(x)符号，最后就a ≤0结合放缩法讨论ℎ(x)的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得2lnt <t −1t 对任意的t >1恒成立，从而可得ln(n +1)−lnn <√n 2+n 对任意的n ∈N ∗恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式. (1)当a =1时，f(x)=(x −1)e x ，则f ′(x)=xe x ，当x <0时，f ′(x)<0，当x >0时，f ′(x)>0，故f(x)的减区间为(−∞,0)，增区间为(0,+∞). (2)设ℎ(x)=xe ax −e x +1，则ℎ(0)=0，又ℎ′(x)=(1+ax)e ax −e x ，设g(x)=(1+ax)e ax −e x ，则g ′(x)=(2a +a 2x)e ax −e x ，若a >12，则g ′(0)=2a −1>0，因为g ′(x)为连续不间断函数，故存在x 0∈(0,+∞)，使得∀x ∈(0,x 0)，总有g ′(x)>0，故g(x)在(0,x 0)为增函数，故g(x)>g(0)=0，故ℎ(x)在(0,x 0)为增函数，故ℎ(x)>ℎ(0)=−1，与题设矛盾. 若0<a ≤12，则ℎ′(x)=(1+ax)e ax −e x =e ax+ln(1+ax)−e x ，下证：对任意x >0，总有ln(1+x)<x 成立，证明：设S(x)=ln(1+x)−x ，故S ′(x)=11+x −1=−x1+x <0，故S(x)在(0,+∞)上为减函数，故S(x)<S(0)=0即ln(1+x)<x 成立. 由上述不等式有e ax+ln(1+ax)−e x <e ax+ax −e x =e 2ax −e x ≤0，故ℎ′(x)≤0总成立，即ℎ(x)在(0,+∞)上为减函数，所以ℎ(x)<ℎ(0)=−1.当a ≤0时，有ℎ′(x)=e ax −e x +axe ax <1−1+0=0，所以ℎ(x)在(0,+∞)上为减函数，所以ℎ(x)<ℎ(0)=−1. 综上，a ≤12. (3)取a =12，则∀x >0，总有xe 12x −e x +1<0成立，令t =e 12x ，则t >1,t 2=e x ,x =2lnt ，故2tlnt <t 2−1即2lnt <t −1t 对任意的t >1恒成立. 所以对任意的n ∈N ∗，有2ln√n+1n <√n+1n−√nn+1，整理得到：ln(n +1)−lnn <√n 2+n ，故√12+1√22+2⋯√n 2+n >ln2−ln1+ln3−ln2+⋯+ln(n +1)−lnn =ln(n +1)，故不等式成立. 【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.5．【2021年甲卷理科】已知0a >且1a ≠，函数()(0)a x x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围．【答案】（1）20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞e e .【解析】【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===', 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x-'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,+∞e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=．当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a gx g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意；当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．由于1110e1,e 1e ln 0ln aaa a g a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln aa >，即eln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1ax xa=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x ax a=，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a=有且仅有两个交点． ①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意． ②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x g x g x g x xx ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+．当0011ln y x x x =-+与ln ()x a p x a =为同一直线时有0ln 1,ln 10,a a x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<．综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x x x x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==．因为0x >，由()0f x '=得ln ax a=．当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln aa >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a <<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递减．因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa aa a aa a a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a aaaaa aa -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->．令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠．故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题，方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.6．【2021年乙卷理科】设函数()()ln f x a x =-，已知0x =是函数()y xf x =的极值点．（1）求a ；（2）设函数()()()x f x g x xf x +=．证明:()1g x <．【答案】（1）1a =；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）由题意求出'y ，由极值点处导数为0即可求解出参数a ；（2）由（1）得()()ln 1()ln 1x x g x x x +-=-，1x <且0x ≠，分类讨论()0,1x ∈和(),0x ∈-∞，可等价转化为要证()1g x <，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-在()0,1x ∈和(),0x ∈-∞上恒成立，结合导数和换元法即可求解【详解】（1）由()()()n 1'l a f x a x f x x ⇒==--，()()'ln xy a x x ay xf x ⇒=-=+-，又0x =是函数()y xf x =的极值点，所以()'0ln 0y a ==，解得1a =；（2）[方法一]：转化为有分母的函数由（Ⅰ）知，ln(1)11()ln(1)ln(1)+-==+--x x g x x x x x，其定义域为(,0)(0,1)-∞．要证()1g x <，即证111ln(1)+<-x x ，即证1111ln(1)-<-=-x x x x．（ⅰ）当(0,1)x ∈时，10ln(1)<-x ，10x x -<，即证ln(1)1->-x x x ．令()ln(1)1=---xF x x x ，因为2211()01(1)(1)--=-=>--'-x F x x x x ，所以()F x 在区间(0,1)内为增函数，所以()(0)0F x F >=．（ⅱ）当(,0)x ∈-∞时，10ln(1)>-x ，10x x ->，即证ln(1)1->-x x x ，由（ⅰ）分析知()F x 在区间(,0)-∞内为减函数，所以()(0)0F x F >=．综合（ⅰ）（ⅱ）有()1g x <．[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数由（1）得()()ln 1f x x =-，()()ln 1()()()ln 1x x x f x g x xf x x x +-+==-，1x <且0x ≠，当 ()0,1x ∈时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x >-<， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；同理，当(),0x ∈-∞时，要证()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-，()0,ln 10x x <->， ()ln 10x x ∴-<，即证()()ln 1ln 1x x x x +->-，化简得()()1ln 10x x x +-->；令()()()1ln 1h x x x x =+--，再令1t x =-，则()()0,11,t ∈+∞，1x t =-，令()1ln t t t t ϕ=-+，()1ln 1ln t t t ϕ'=-++=，当()0,1t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ单减，故()()10t ϕϕ>=；当()1,t ∈+∞时，()0t ϕ'>，()t ϕ单增，故()()10t ϕϕ>=；综上所述，()()ln 1()1ln 1x x g x x x +-=<-在()(),00,1x ∈-∞恒成立.[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明令()ln (1)ϕ=--x x x ，因为11()1x x x xϕ-'=-=，所以()ϕx 在区间(0,1)内是增函数，在区间(1,)+∞内是减函数，所以()(1)0x ϕϕ≤=，即ln 1≤-x x （当且仅当1x =时取等号）．故当1x <且0x ≠时，101x >-且111x ≠-，11ln 111<---x x ，即ln(1)1--<-x x x ，所以ln(1)1->-x x x ．（ⅰ）当(0,1)x ∈时，0ln(1)1>->-xx x ，所以1111ln(1)-<=--x x x x ，即111ln(1)+<-x x ，所以()1g x <．（ⅱ）当(,0)x ∈-∞时，ln(1)01->>-xx x ，同理可证得()1g x <．综合（ⅰ）（ⅱ）得，当1x <且0x ≠时，ln(1)1ln(1)+-<-x x x x ，即()1g x <．【整体点评】（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当(0,1)x ∈时，转化为证明ln(1)1->-x x x ，当(,0)x ∈-∞时，转化为证明ln(1)1->-xx x ，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当()0,1x ∈时，()()1ln 10x x x +-->成立和当(),0x ∈-∞时，()()1ln 10x x x +-->成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数()ln (1)ϕ=--x x x ，利用导数分析单调性，证得常见常用结论ln 1≤-x x （当且仅当1x =时取等号）．然后换元得到ln(1)1->-xx x ，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.7．【2021年新高考1卷】已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<. 【答案】（1）()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析. 【解析】【分析】(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令11,m n a b==，命题转换为证明：2m n e <+<，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论. 【详解】(1)()f x 的定义域为()0,∞+．由()()1ln f x x x =-得，()ln f x x '=-，当1x =时，()0f x '=；当()0,1x ∈时()0f x >′；当()1,x ∈+∞时，()'0f x <．故()f x 在区间(]0,1内为增函数，在区间[)1,+∞内为减函数， (2)[方法一]：等价转化由ln ln b a a b a b -=-得1111(1ln )(1ln )a a b b -=-，即11()()f f a b=．由a b ，得11a b≠．由（1）不妨设11(0,1),(1,)b a ∈∈+∞，则1()0f a >，从而1()0f b >，得1(1,)e b∈，①令()()()2g x f x f x =--，则22()(2)()ln(2)ln ln(2)ln[1(1)]g x f x f x x x x x x ''=---'=-+=-=--，当()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 在区间()0,1内为减函数，()()10g x g >=，从而()()2f x f x ->，所以111(2)()()f f f a a b->=，由（1）得112a b -<即112a b<+．① 令()()h x x f x =+，则()()'11ln h x f x x '=+=-，当()1,x e ∈时，()0h x '>，()h x 在区间()1,e 内为增函数，()()h x h e e <=，从而()x f x e +<，所以11()f e b b+<．又由1(0,1)a∈，可得11111(1ln )()()f f a a a a b<-==，所以1111()f e a b b b+<+=．②由①②得112e a b<+<． [方法二]【最优解】：ln ln b a a b a b -=-变形为ln ln 11a b a b b a-=-，所以ln 1ln 1a b a b ++=．令11,m n a b==．则上式变为()()1ln 1ln m m n n -=-，于是命题转换为证明：2m n e <+<．令()()1ln f x x x =-，则有()()f m f n =，不妨设m n <．由（1）知01,1m n e <<<<，先证2m n +>．要证：()()()222)2(m n n m f n f m f m f m +>⇔>-⇔<-⇔<-()()20f m f m ⇔--<．令()()()()2,0,1g x f x f x x =--∈，则()()()()()2ln ln 2ln 2ln10g x f x f x x x x x '='+'-=---=⎡⎤⎣≥-⎦--=， ()g x ∴在区间()0,1内单调递增，所以()()10g x g <=，即2m n +>．再证m n e +<．因为()()1ln 1ln m n n m m -=⋅->，所以()1ln n n n e m n e -+<⇒+<．令()()()1ln ,1,h x x x x x e =-+∈，所以()'1ln 0h x x =->，故()h x 在区间()1,e 内单调递增．所以()()h x h e e <=．故()h n e <，即m n e +<．综合可知112e a b<+<． [方法三]：比值代换证明112a b+>同证法2．以下证明12x x e +<．不妨设21x tx =，则211x t x =>，由1122(1ln )(1ln )x x x x -=-得1111(1ln )[1ln()]x x tx tx -=-，1ln 1n 1l t x t t=--，要证12x x e +<，只需证()11t x e +<，两边取对数得1ln(1)ln 1t x ++<，即ln(1)1ln 11t t t t++-<-，即证ln(1)1ln t t t t+<-．记ln(1)(),(0,)s g s s s ∈=+∞+，则2ln(1)1()s s s g s s '-++=. 记()ln(1)1sh s s s=-++，则211()0(1)1h s s s '=-<++，所以，()h s 在区间()0,∞+内单调递减．()()00h s h <=，则()'0g s <，所以()g s 在区间()0,∞+内单调递减．由()1,t ∈+∞得()10,t -∈+∞，所以()()1g t g t <-，即ln(1)1ln t t t t+<-． [方法四]：构造函数法由已知得ln ln 11a b a b b a-=-，令1211,x x a b ==，不妨设12x x <，所以()()12f x f x =．由（Ⅰ）知，1201x x e <<<<，只需证122x x e <+<．证明122x x +>同证法2．再证明12x x e +<．令2ln 21()(0)()(ln ,)ex h x x e h x x e x xe x '-++-=<<=--．令()ln 2(0)e x x x e x ϕ=+-<<，则221()0e x ex x x xϕ-'=-=<．所以()()()0,0x e h x ϕϕ>='>，()h x 在区间()0,e 内单调递增．因为120x x e <<<，所以122111ln ln x e x e x x --<--，即112211ln ln x x x ex e -->-- 又因为()()12f x f x =，所以12212112ln ln 1,1x x x ex x x ex x --=>--，即()()2222111212,0x ex x ex x x x x e -<--+->．因为12x x <，所以12x x e +<，即11e a b+<．综上，有112e a b<+<结论得证．【整体点评】(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.方法四：构造函数之后想办法出现关于120e x x +-<的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.8．【2021年新高考2卷】已知函数2()(1)x f x x e ax b =--+．（1）讨论()f x 的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 只有一个零点 ①21,222e a b a <≤>； ②10,22a b a <<≤．【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可； (2)由题意结合(1)中函数的单调性和函数零点存在定理即可证得题中的结论. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()()'2xf x x e a =-，当0a ≤时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；当102a <<时，若()(),ln 2x a ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()ln 2,0x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减，若()0,x ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增；当12a =时，()()'0,f x f x ≥在R 上单调递增；当12a >时，若(),0x ∈-∞，则()()'0,f x f x >单调递增，若()()0,ln 2x a ∈，则()()'0,f x f x <单调递减，若()()ln 2,x a ∈+∞，则()()'0,f x f x >单调递增； (2)若选择条件①：由于2122e a <，故212a e <≤，则()21,010b af b >>=->，而10f e b b ⎛⎛=--+< ⎝⎝，而函数在区间(),0-∞上单调递增，故函数在区间(),0-∞上有一个零点. ()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 21ln 22a a a a a >--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦，由于2122e a <，212a e <≤，故()()ln 22ln 20a a a -≥⎡⎤⎣⎦，结合函数的单调性可知函数在区间()0,∞+上没有零点.综上可得，题中的结论成立. 若选择条件②：由于102a <<，故21a <，则()01210fb a =-≤-<，当0b ≥时，24,42ea ><，()2240f e ab =-+>，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点.当0b <时，构造函数()1xH x e x =--，则()1x H x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()()0,H x H x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,H x H x '>单调递增，注意到()00H =，故()0H x ≥恒成立，从而有：1x e x ≥+，此时：()()()()22111x f x x e ax b x x ax b =---≥-+-+()()211a x b =-+-，当x >()()2110a x b -+->，取01x ，则()00f x >，即：()00,10f f ⎫<>⎪⎪⎭，而函数在区间()0,∞+上单调递增，故函数在区间()0,∞+上有一个零点. ()()()()2ln 22ln 21ln 2f a a a a a b =--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 21ln 22a a a a a ≤--+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()22ln 2ln 2a a a a =-⎡⎤⎣⎦()()ln 22ln 2a a a =-⎡⎤⎣⎦，由于102a <<，021a <<，故()()ln 22ln 20a a a -<⎡⎤⎣⎦，结合函数的单调性可知函数在区间(),0-∞上没有零点. 综上可得，题中的结论成立. 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．9．【2020年新课标1卷理科】已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围.【答案】（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围. 【详解】(1)当1a =时，()2e x f x x x =+-，()e 21xf x x ='+-，由于()''e 20xf x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥， ①.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102xh x x x x =---≥，则()e 1x h x x ='--，()''e 10xh x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102xx x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭. [方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x xf x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x ⑤式成立．⑤式()223e74244e -+++⇔≤xx x x ，令()223e7424()(0)e-+++=≥xx x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x xx x h x ()()222213e 2e 9e ⎡⎤-----⎣⎦=xx x x ()2(2)2e 9e⎡⎤--+-⎣⎦xx x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0,()h x h x '<单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，⑤式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e1(1)e 122xx x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2xg x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--2(23)42]121)2)1[e ((22x x x x x x a x a a -=--+++=----，①.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；②.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；③当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x xg x x ax x x x --=++≤-++，又由②可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21xg x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意. 综上，27e 4a -.【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！10．【2020年新课标2卷理科】已知函数f (x )=sin 2x sin2x . （1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：()f x ≤（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22nx ≤34nn .【答案】（1）当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增. （2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)[方法一]由题意将所给的式子进行变形，利用四元基本不等式即可证得题中的不等式； (3)[方法一]将所给的式子进行恒等变形，构造出(2)的形式，利用(2)的结论即可证得题中的不等式. 【详解】(1)由函数的解析式可得：()32sin cos f x x x =，则：()()224'23sin cos sin f x x x x =-()2222sin 3cos sin x x x =- ()222sin 4cos 1x x =-()()22sin 2cos 12cos 1x x x =+-，()'0f x =在()0,x π∈上的根为：122,33x x ππ==，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当2,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增. (2)[方法一]【最优解】：基本不等式法由四元均值不等式可得24262[()]sin sin 24sin cos =⋅=⋅=f x x x x x 222244sin sin sin 3cos 33⋅⋅⋅≤⋅x x x x 42222sin sin sin 3cos 27464⎛⎫+++= ⎪⎝⎭x x x x ，当且仅当22sin 3cos =x x ，即3x k ππ=-或()3x k k ππ=+∈Z 时等号成立．所以|()|f x ． [方法二]：构造新函数+齐次化方法因为()()333222222sin cos 2tan ()2sin cos sin cos tan 1===++x xxf x x x x x x ，令tan (0)=≥x t t ，则问题转化为求()3222()(0)1=≥+t g t t t的最大值．求导得()()()22222213()1+'-=+t t t g t t，令()0g t '=，得t =当∈t 时，()0g t '>，函数()g t 单调递增；当)∈+∞t 时，()0g t '<，函数()g t 单调递减．所以函数()g t的最大值为==g|()|f x ≤． [方法三]：结合函数的周期性进行证明注意到()()()()22sin sin 2sin sin 2f x x x x x f x πππ+=++==⎡⎤⎣⎦，故函数()f x 是周期为π的函数，结合(1)的结论，计算可得：()()00f f π==，23f π⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭223f π⎛⎛⎫=⨯= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，据此可得：()max f x =⎡⎤⎣⎦()minf x =⎡⎤⎣⎦ 即()f x (3)[方法一]【最优解】：利用(2)的结论由于()32223332sin sin 2sin 2sin sin 2sin 2==nn x xx x xx 23312|sin |sin sin 2sin 2sin2sin 2-=n n n x x xx x x ()12|sin |()(2)2sin 2-≤n n x f x f x f x x ()1()(2)2-n f x f x f x ，所以232223sin sin 2sin 24⎫≤=⎝⎭n n nn x xx ． [方法二]：数学归纳法+放缩当1n =时，222sin sin 2sin sin 2sin 2⋅=≤x x x x x 33244≤≤x ，显然成立；假设当n k =时原式成立，即22223sin sin 2sin 4sin 24≤kkk x x x x ．那么，当1n k =+时，有222221sin sin 2sin 4sin 2sin 2+≤kk x x x x x 2234sin 2cos 24⎛⎫⋅⋅⋅≤⎪⎝⎭kk kx x332cos22sin 2cos24sin 2⎛⎫⋅⋅≤ ⎪⎝⎭k kk kk x x x x 32cos248sin 2⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭k k k x x 11334tan 24++⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭k k kx ，即当1n k =+时不等式也成立．综上所述，不等式对所有的n *∈N 都成立．【整体点评】(2)方法一：基本不等式是证明不等式的重要工具，利用基本不等式解题时一定要注意等号成立的条件；方法二：齐次化之后切化弦是一种常用的方法，它将原问题转化为一元函数的问题，然后构造函数即可证得题中的不等式；方法三：周期性是三角函数的重要特征，结合函数的周期性和函数的最值证明不等式充分体现了三角函数有界限的应用.(3)方法一：利用(2)的结论体现了解答题的出题思路，逐问递进是解答题常见的设问方式；方法二：数学归纳法是处理与自然数有关的命题的常见策略，放缩法是不等式证明中常见的方法.11．【2020年新课标3卷理科】设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (12))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1．【答案】（1）34b =-；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义得到1()02f '=，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得2311()32()()422f x x x x '=-=+-，易知()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，采用反证法，推出矛盾即可. 【详解】（1）因为2()3f x x b '=+，由题意，1()02f '=，即：21302b ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则34b =-．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得33()4f x x x c =-+，2311()33()()422f x x x x '=-=+-，令()0f x '>，得12x >或12x <-；令()0f x '<，得1122x -<<，所以()f x 在11(,)22-上单调递减，在1(,)2-∞-，1(,)2+∞上单调递增，且111111(1),(),(),(1)424244f c f c f c f c -=--=+=-=+，若()f x 所有零点中存在一个绝对值大于1的零点0x ，则(1)0f ->或(1)0f <，即14c >或14c <-. 当14c >时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=->-=+>=->=+>，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=-++=-<，由零点存在性定理知()f x 在(4,1)c --上存在唯一一个零点0x ，即()f x 在(,1)-∞-上存在唯一一个零点，在(1,)-+∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；当14c <-时，111111(1)0,()0,()0,(1)0424244f c f c f c f c -=-<-=+<=-<=+<，又32(4)6434(116)0f c c c c c c -=++=->，由零点存在性定理知()f x 在(1,4)c -上存在唯一一个零点0'x ，即()f x 在(1,)+∞上存在唯一一个零点，在(,1)-∞上不存在零点，此时()f x 不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；综上，()f x 所有零点的绝对值都不大于1. ［方法二］【最优解】：设0x 是()f x 的一个零点，且01x ≤，则30034c x x =-+．从而()332200000333()444f x x x x x x x x x x x ⎛⎫=--+=-++- ⎪⎝⎭．令22003()4h x x x x x =++-，由判别式2220003Δ43304x x x ⎛⎫=--=-≥ ⎪⎝⎭，可知()0h x =在R 上有解，()h x 的对称轴是011,222x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦220002200031(1)104231(1)1042h x x x h x x x ⎧⎛⎫=++-=+≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=-+-=-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以()h x 在区间01,2x ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上有一根为1x ，在区间0,12x ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有一根为2x ，进而有121,1x x ≤≤，所以()f x。

《高考真题》三年(2017-2019)高考真题数学(理)分项汇编专题07平面解析几何(选择题填空题)(解析版)

专题07 平面解析几何（选择题、填空题）1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y +=D ．22154x y += 【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆222x y a +=交于P ，Q 两点．若PQ OF =，则C 的离心率为A BC ．2D 【答案】A【解析】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，∴||2c OA =，,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．e ∴=A ．【名师点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．解答本题时，准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 的关系，可求双曲线的离心率．4．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO 的面积为A ．4B ．2C ．D ．【答案】A【解析】由2,,a b c ===,P PO PF x =∴=，又P 在C 的一条渐近线上，不妨设为在b y x a =上，则P P b y x a =⋅==11224PFO P S OF y ∴=⋅==△，故选A ．【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．5．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【答案】B【解析】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B.【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和,,a b c 的关系可得满足题意的等式.6．【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C ； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是 A ．① B ．② C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】由221x y x y +=+得，221y x y x -=-，2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭厔，所以x 可取的整数有0，−1，1，从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0，1)，(0，−1)，(1，0)，(1，1)， (−1，0)，(−1，1)，共6个整点，结论①正确.由221x y x y +=+得，222212x y x y +++…，解得222x y +≤，所以曲线C 上任意一点到原点的距离. 结论②正确.如图所示，易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -，四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=四边形，很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S 四边形，即“心形”区域的面积大于3，说法③错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识､基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”.将所给方程进行等价变形确定x 的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.7．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A BC ．2D【答案】D【解析】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±，则有(1,),(1,)b b A B a a ---，∴2b AB a =，24ba=，2b a =，∴c e a a===故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB 的长度.解答时，只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率. 8．【2019年高考浙江卷】渐近线方程为x ±y =0的双曲线的离心率是A B ．1C D ．2【答案】C【解析】因为双曲线的渐近线方程为0x y ±=，所以a b =，则c ==，所以双曲线的离心率ce a==故选C. 【名师点睛】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a b =，进一步可得离心率，属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.9．【2018年高考北京卷理数】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点A （2，0），所以d 的最大值为OA +1=2+1=3,故选C.【名师点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化．10．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--,则AB =.点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==.故点P 到直线20x y ++=的距离2d 的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△. 故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.11．【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是A ．3B ．3C ．23D ．59【答案】B【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ，故选B ．【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题，其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．12．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12 C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以212||2||PF F F c ==，由AP的斜率为6可得2tan 6PAF ∠=，所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ．【名师点睛】解决椭圆的离心率的求值及范围问题的关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆的几何性质、点的坐标的范围等.13．【2017年高考全国Ⅲ理数】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A．3 B．3CD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).14．【2018年高考浙江卷】双曲线2213x y -=的焦点坐标是A ．(，0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2) 【答案】B【解析】设2213x y -=的焦点坐标为(,0)c ±，因为222314c a b =+=+=，2c =，所以焦点坐标为(2,0)±，故选B ．15．【2017年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为A ．22144x y -=B ．22188x y -=C ．22148x y -=D ．22184x y -=【答案】B【解析】由题意得2240,14,10()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--，故选B ．【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于,,a b c 的方程（组），解方程（组）求出,a b 的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b-=共渐近线的双曲线可设为2222x y a b-(0)λλ=≠，③等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠．16．【2018年高考全国Ⅱ理数】双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．y x = 【答案】A【解析】因为c e a ==，所以2222221312b c a e a a-==-=-=，所以b a =因为渐近线方程为by x a=±，所以渐近线方程为y =，故选A ． 17．【2017年高考全国Ⅱ理数】若双曲线:C 22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为A ．2 BC D 【答案】A【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线的距离为d ==，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为2bd c===2224()3c a c -=，整理可得224c a =，则双曲线的离心率2e ===．故选A ．【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．18．【2017年高考全国III 理数】已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -=B ．22145x y -=C ．22154x y -=D ．22143x y -=【答案】B【解析】双曲线C ：22221x y a b -=(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为by x a=±，在椭圆中：2212,3a b ==，2229,3c a b c ∴=-==，故双曲线C 的焦点坐标为(3,0)±，据此可得双曲线中的方程组：2223,b c c a b a ===+，解得224,5a b ==，则双曲线C 的方程为2145x y 2-=．故选B ．【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法.具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值.如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()2220x y a bλλ2-=≠，再由条件求出λ的值即可.19．【2018年高考全国III 理数】设1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1|||PF OP ，则C 的离心率为A B ．2C D【答案】C【解析】由题可知2PF b =，2OF c =，PO a ∴=，在2Rt POF △中，222cos PF bPF O OF c∠==，在12Rt PF F △中，22221212212cos 2PF F F PF b PF O PF F F c∠+-==，b c=，即223c a =，e ∴=C ．20．【2018年高考全国I 理数】设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．8【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为()223y x =+，与抛物线方程联立得()22234y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：2680y y -+=，解得()()1,2,4,4M N ，又()1,0F ，所以()()0,2,3,4FM FN ==，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=，故选D.【名师点睛】该题考查的是有关直线与抛物线相交求交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程，消元化简求解，从而确定出()()1,2,4,4M N ，之后借助于抛物线的方程求得()1,0F ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M 、N 的坐标，应用根与系数的关系得到结果.21．【2017年高考全国I 理数】已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16 B ．14 C ．12D ．10【答案】A【解析】设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 的方程为1(1)y k x =-，联立方程214(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，得2222111240k x k x x k --+=，∴21122124k x x k --+=-212124k k +=，同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++=，由抛物线定义可知2112342124||||2k AB DE x x x x p k ++=++++=+2222244k k ++=2212448k k ++≥816=，当且仅当121k k =-=（或1-）时，取等号．故选A ．【名师点睛】对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，将到定点的距离转化到准线上；另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为α，则22||sin p AB α=，则2222||πcos sin (+)2p pDE αα==，所以222221||||4(cos sin cos p p AB DE ααα+=+=+ 222222222111sin cos )4()(cos sin )4(2)4(22)16sin cos sin cos sin ααααααααα=++=++≥⨯+=． 22．【2018年高考全国I 理数】已知双曲线22:13x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则||MN = A ．32B ．3 C．D ．4【答案】B【解析】由题可知双曲线C的渐近线的斜率为，且右焦点为(2,0)F ，从而可得30FON ∠=︒，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒，可以得出直线MN 的方程为2)y x =-，分别与两条渐近线3y x =和3y x =-联立，求得M，3(,22N -，所以||3MN ==，故选B ． 23．【2018年高考天津卷理数】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -= 【答案】C【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b -=可得：2b y a=±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为：0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择C 选项.【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为()22220x y a bλλ-=≠，再由条件求出λ的值即可.解答本题时，由题意首先求得A ,B 的坐标，然后利用点到直线距离公式求得b 的值，之后求解a 的值即可确定双曲线方程.24．【2019年高考浙江卷】已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m =___________，r =___________．【答案】2-【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.25．【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x轴的上方，求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解.也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁.26．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.27．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．【答案】2 【解析】如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22,2.BF OA BF OA =∥ 由120F B F B ⋅=，得121,,F B F B OA F A ⊥∴⊥∴1OB OF =，1AOB AOF ∠=∠，又OA 与OB 都是渐近线，∴21,BOF AOF ∠=∠又21πBOF AOB AOF ∠+∠+∠=，∴2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=又渐近线OB 的斜率为tan 60b a =︒=∴该双曲线的离心率为2c e a ====．【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题．解答本题时，通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，从而可以得到1AOB AOF ∠=∠，再结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠进而得到2160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由tan 60ba=︒=. 28．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是 ▲ .【答案】y =【解析】由已知得222431b-=，解得b =b =因为0b >，所以b =因为1a =，所以双曲线的渐近线方程为y =.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的,a b 密切相关，事实上，标准方程中化1为0，即得渐近线方程.29．【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ . 【答案】4【解析】当直线x +y =0平移到与曲线4y x x=+相切位置时，切点Q 即为点P ，此时到直线x +y =0的距离最小.由2411y x '=-=-，得)x x ==，y =Q ，则切点Q 到直线x +y =04=，故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.30．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为________．【答案】3【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由0AB CD ⋅=得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =【名师点睛】以向量为载体求相关变量的取值或范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程或解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.31．【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP =2PB ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【答案】5【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=，所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤，当且仅当5m =时取最大值．【名师点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.32．【2017年高考北京卷理数】若双曲线221y x m-=，则实数m =_______________．【答案】2【解析】221,a b m ==，所以1c a ==2m =．【名师点睛】本题主要考查的是双曲线的标准方程和双曲线的简单几何性质，属于基础题．解题时要注意、、的关系，即，以及当焦点在x 轴时，哪些量表示22,a b ，否则很容易出现错误．最后根据离心率的公式计算即可.33．【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c，则其离心率的值是________________．【答案】2【解析】因为双曲线的焦点(,0)F c 到渐近线by x a =±，即0bx ay ±=bc b c ==，所以b =，因此2222223144a c b c c c =-=-=，12a c =，2e =．34．【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．1 2a b c 222c a b =+【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为ny x m=±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．35．【2017年高考山东卷理数】在平面直角坐标系中，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为_____________．【答案】2y x =±【解析】由抛物线定义可得：||||=4222A B A B p p pAF BF y y y y p ++++=⨯⇒+=, 因为22222222221202x y a y pb y a b a bx py⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=⎩,所以222A B pb y y p a a +==⇒=⇒渐近线方程为y x =. 【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：（1）掌握方程；（2）掌握其倾斜角、斜率的求法；（3）会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数. 求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都与椭圆的有关问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.2.凡涉及抛物线上的点到焦点的距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理．36．【2017年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2213x y -=的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是12,F F ，则四边形12F PF Q 的面积是_______________．【答案】xOy F ()220x px p =>,A B 4AF BF OF +=122=+By Ax 0>A 0>B B A ≠0<AB【解析】右准线方程为x==，渐近线方程为y x=，设(1010P，则(1010Q，1(F，2F，所以四边形12F PF Q的面积S==【名师点睛】（1）已知双曲线方程22221(0,0)x ya ba b-=>>求渐近线：2222x y by xa b a-=⇒=±；（2）已知渐近线y mx=可设双曲线方程为222(0)m x yλλ-=≠；（3）双曲线的焦点到渐近线的距离为b，垂足为对应准线与渐近线的交点．37．【2017年高考全国I理数】已知双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>的右顶点为A，以A为圆心，b 为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为_______________．【解析】如图所示，作AP MN⊥，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线by xa=上的点，且(,0)A a，||||AM AN b==，而AP MN⊥，所以30PAN∠=，点(,0)A a到直线by xa=的距离||AP=，在Rt PAN △中，||cos ||PA PAN NA ∠=，代入计算得223a b =，即a =，由222c a b =+得2c b =，所以3c e a ===．【名师点睛】双曲线渐近线是其独有的性质，所以有关渐近线问题备受出题者的青睐.做好这一类问题要抓住以下重点：①求解渐近线，直接把双曲线后面的1换成0即可；②双曲线的焦点到渐近线的距离是b ；③双曲线的顶点到渐近线的距离是abc. 38．【2017年高考全国II 理数】已知F 是抛物线:C 28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y轴于点N ．若M 为FN 的中点，则FN =_______________．【答案】6【解析】如图所示，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线与x 轴交于点F'，作M B l ⊥于点B ，NA l ⊥于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为2x =-，则||2,||4AN FF'==，在直角梯形ANFF'中，中位线||||||32AN FF'BM +==，由抛物线的定义有：||||3MF MB ==，结合题意，有||||3MN MF ==，故336FN FM NM =+=+=．【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．39．【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【答案】2【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以22121244y y x x -=-，所以1212124y y k x x y y -==-+. 取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，设F 为C 的焦点. 因为90AMB ︒∠=,所以()()111222MM AB AF BF AA BB ''==++'=. 因为M '为AB 中点，所以MM '平行于x 轴.因为M (−1,1)，所以01y =，则122y y +=，即2k =. 故答案为2.【名师点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线的性质，设()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法得到1212124y y k x x y y -==-+，取AB 中点()00M x y ',,分别过点A ,B 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足分别为,A B ''，由抛物线的性质得到()12MM AA BB '=''+，进而得到斜率.。

2019年高考真题和模拟题分项汇编数学(理)：专题03导数及其应用(含解析)

（ i ）当 x ( 1,0] 时，由（ 1）知， f ' ( x) 在 ( 1,0) 单调递增，而 f ' (0) 0 ，所以当 x ( 1,0) 时， f ' (x) 0 ，
故 f ( x) 在 ( 1,0) 单调递减，又 f (0)=0 ，从而 x 0 是 f ( x) 在 ( 1,0] 的唯一零点 .
上有 2 个零点，如图：
＞ ∴ ＜0 且
，＜
解得 b＜ 0， 1﹣a＞ 0， b＞（a+1） 3，
则 a>–1， b<0.
故选 C．【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用
.当 x＜ 0 时， y＝ f（ x）﹣ ax﹣ b＝x﹣ ax﹣ b＝（ 1﹣ a）x﹣ b 最多有
一个零点；当 x≥０时， y＝f （x）﹣ ax﹣ b x3 （ a+1）x2﹣ b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函
故 x0 ln x0 e 存在唯一的实数根 x0 e ，
此时 y0 1 ，
故点 A 的坐标为 e,1 .
【名师点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．
2
2
2
, 有唯一零点 . 2 （ iv ）当 x ( , ) 时， ln( x 1) 1 ，所以 f (x) <0 ，从而 f ( x) 在 ( , ) 没有零点 . 综上， f ( x) 有且仅有 2个零点 .
【名师点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题 .解决零点问题的关键一方

三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题01集合与常用逻辑用语文(含解析)

专题01集合与常用逻辑用语1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合，则{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，U B A =ðA ．B ．{}1,6{}1,7C ．D ．{}6,7{}1,6,7【答案】C【解析】由已知得，{}1,6,7U A =ð所以.U B A = ð{6,7}故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集、补集的运算，根据交集、补集的定义即可求解.2．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合，，则A ∩B =={|1}A x x >-{|2}B x x =<A ．(-1，+∞)B ．(-∞，2)C ．(-1，2)D ．∅【答案】C【解析】由题知，.(1,2)A B =- 故选C ．【名师点睛】本题主要考查交集运算，是容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．3．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合，则2{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=≤A B = A ．B ．{}1,0,1-{}0,1C ．D ．{}1,1-{}0,1,2【答案】A【解析】∵∴，∴，21,x ≤11x -≤≤{}11B x x =-≤≤又，∴.{1,0,1,2}A =-{}1,0,1A B =- 故选A ．【名师点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.4．【2019年高考北京文数】已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）【答案】C【解析】∵，{|12},{|1}A x x B x =-<<=>∴.(1,)A B =-+∞ 故选C.【名师点睛】本题考查并集的求法，属于基础题.5．【2019年高考浙江】已知全集，集合，，则={}1,0,1,2,3U =-{}0,1,2A ={}1,0,1B =-()U A B ðA ．B ．{}1-{}0,1C ．D ．{}1,2,3-{}1,0,1,3-【答案】A【解析】∵，∴.{1,3}U A =-ð(){1}U A B =- ð故选A.【名师点睛】注意理解补集、交集的运算.6．【2019年高考天津文数】设集合，则{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ()A C B = A ．B ．{}2{}2,3C ．D ．{}1,2,3-{}1,2,3,4【答案】D【解析】因为，所以.{1,2}A C = (){1,2,3,4}A C B = 故选D.【名师点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．7．【2019年高考天津文数】设，则“”是“”的x ∈R 05x <<|1|1x -<A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可得，|1|1x -<02x <<易知由推不出，05x <<02x <<由能推出，02x <<05x <<故是的必要而不充分条件，05x <<02x <<即“”是“”的必要而不充分条件.05x <<|1|1x -<故选B.【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题的关键是由所给的不等式得到的取值范围.x 8．【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是“ab ≤4”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充0, 0a >b >a b +≥4a b +≤4a b ≤+≤4ab ≤分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，=1, =4a b 4ab ≤=5>4a+b 综上所述，“”是“”的充分不必要条件.4a b +≤4ab ≤故选A.【名师点睛】易出现的错误：一是基本不等式掌握不熟练，导致判断失误；二是不能灵活地应用“赋值法”，通过取的特殊值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.,a b 9．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：内有两条相交直线都与平行是的充分条件；αβαβ∥由面面平行的性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内有两条相交直线都与αβ∥αβα平行是的必要条件.βαβ∥故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．【名师点睛】面面平行的判定问题要紧扣面面平行的判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断.10．【2019年高考北京文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，，为偶函数；0b =()cos sin cos f x x b x x =+=()f x 当为偶函数时，对任意的恒成立，()f x ()()f x f x -=x 由，得，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=-则对任意的恒成立，sin 0b x =x 从而.0b =故“”是“为偶函数”的充分必要条件.0b =()f x 故选C.【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.11．【2018年高考浙江】已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则=U A ðA ．B ．{1，3}∅C ．{2，4，5}D ．{1，2，3，4，5}【答案】C【解析】因为全集，，U ={1,2,3,4,5}A ={1,3}所以根据补集的定义得.∁U A ={2,4,5}故选C ．【名师点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解．12．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合，，则{}02A =，{}21012B =--，，，，A B = A ．B ．{}02，{}12，C ．D ．{}0{}21012--，，，，【答案】A【解析】根据集合的交集中元素的特征，可以求得.A ∩B ={0,2}故选A.【名师点睛】该题考查的是有关集合的运算问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.13．【2018年高考全国Ⅱ卷文数】已知集合，，则{}1,3,5,7A ={}2,3,4,5B =A B =A ．B ．{}3{}5C ．D ．{}3,5{}1,2,3,4,5,7【答案】C【解析】,.∵A ={1,3,5,7},B ={2,3,4,5}∴A ∩B ={3,5}故选C.【名师点睛】集合题是每年高考的必考内容，一般以客观题的形式出现，解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.14．【2018年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合，，则{|10}A x x =-≥{0,1,2}B =A B =A ．B ．{0}{1}C ．D ．{1,2}{0,1,2}【答案】C【解析】易得集合,所以.{|1}A x x =≥{}1,2A B = 故选C.【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.15．【2018年高考北京文数】已知集合A ={x ||x |<2}，B ={–2，0，1，2}，则A B =A ．{0，1}B ．{–1，0，1}C ．{–2，0，1，2}D ．{–1，0，1，2}【答案】A【解析】∵|x|<2，∴-2<x <2，因此A B =.∩(-2,2)∩{-2,0,1,2}={0,1}故选A.【名师点睛】解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.16．【2018年高考天津文数】设集合，，，则{1,2,3,4}A ={1,0,2,3}B =-{|12}C x x =∈-≤<R ()A B C =A ．B ．{1,1}-{0,1}C ．D ．{1,0,1}-{2,3,4}【答案】C【解析】由并集的定义可得：，A ∪B ={-1,0,1,2,3,4}结合交集的定义可知：.(A ∪B )∩C ={-1,0,1}故选C.【名师点睛】本题主要考查并集运算、交集运算等知识，意在考查学生的计算求解能力.17．【2018年高考浙江】已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的⊄⊂A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.m ⊄α,n ⊂α,m//n m//α由不能得出与内任一直线平行，m//αm α所以是的充分不必要条件.m//n m//α故选A.【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法：（1）定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则p q q p p q 是的充分条件．p q （2）等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是p q q p q p p q p q q p 否定式的命题，一般运用等价法．（3）集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．A B A B B A A B A B 18．【2018年高考天津文数】设，则“”是“”的x ∈R 38x >||2x >A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解不等式可得，x 3>8x >2求解绝对值不等式可得或，|x |>2x >2x <-2据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.x 3>8|x|>2故选A.【名师点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．【2018年高考北京文数】设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，不成等比数列，所以不是充分条件；a =4,b =1,c =1,d =14a,b,c,d 当成等比数列时，则，所以是必要条件.a,b,c,d ad =bc 综上所述，“”是“成等比数列”的必要不充分条件.ad =bc a,b,c,d 故选B.【名师点睛】此题主要考查充分必要条件，实质是判断命题“”以及“”的真假.判断一个命p ⇒q q ⇒p 题为真命题，要给出理论依据、推理证明；判断一个命题为假命题，只需举出反例即可，或者当一个命题正面很难判断真假时，可利用原命题与逆否命题同真同假的特点转化问题.20．【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知集合A =，B =，则{}|2x x <{}|320x x ->A ．A B =B ．A B 3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ =∅C ．A BD ．A B=R3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭【答案】A【解析】由得，320x ->32x <所以.33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=< 故选A ．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．21．【2017年高考全国Ⅱ卷文数】设集合，则{1,2,3},{2,3,4}A B ==A B =A ．B ．{}123,4，，{}123，，C ．D ．{}234，，{}134，，【答案】A【解析】由题意.{1,2,3,4}A B = 故选A.【名师点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn 图．22．【2017年高考北京文数】已知全集，集合，则U =R {|22}A x x x =<->或U A =ðA ．B ．(2,2)-(,2)(2,)-∞-+∞ C ．D ．[2,2]-(,2][2,)-∞-+∞ 【答案】C【解析】因为或，所以.{2A x x =<-2}x >{}22U A x x =-≤≤ð故选C.【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示；若集合是无限集合就用描述法表示，并注意代表元素是什么.集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理.23．【2017年高考全国Ⅲ卷文数】已知集合A ={1,2,3,4}，B ={2,4,6,8}，则中元素的个数为A B A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可得，{}2,4A B = 故中元素的个数为2.A B所以选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.24．【2017年高考天津文数】设集合，则{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===()A B C =A ．B ．{2}{1,2,4}C ．D ．{1,2,4,6}{1,2,3,4,6}【答案】B【解析】由题意可得，{}1,2,4,6A B = 所以．{}()1,2,4A B C = 故选B ．【名师点睛】集合分为有限集合和无限集合，若集合个数比较少时可以用列举法表示，若集合是无限集合就用描述法表示，注意代表元素是什么，集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图进行处理．25．【2017年高考浙江】已知集合，，那么{|11}P x x =-<<{02}Q x =<<P Q =A ．B ．(1,2)-(0,1)C ．D ．(1,0)-(1,2)【答案】A【解析】利用数轴，取中的所有元素，得．,P Q P Q = (1,2)-故选A.【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．26．【2017年高考山东文数】设集合则{}11M x x =-<，{}2N x x =<，M N = A ．B ．()1,1-()1,2-C ．D ．()0,2()1,2【答案】C【解析】由得,|1|1x -<02x <<故.={|02}{|2}{|02}M N x x x x x x <<<=<< 故选C.【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题,应先把集合化简再计算,对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化；对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到,对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn 图．27．【2017年高考浙江】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由，46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=可知当时，有，即，0d >46520S S S +->4652S S S +>反之，若，则，4652S S S +>0d >所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充分必要条件.故选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知，n 4652S S S d +-=结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“p q ⇒p q p q ⇐p q ”“”，故互为充要条件．0d >⇔46520S S S +->28．【2017年高考北京文数】设m ,n 为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的λλ=m n 0<⋅m n A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，使，则两向量反向，夹角是，0λ∃<λ=m n ,m n 180︒那么；cos1800⋅=︒=-<m n m n m n 若，那么两向量的夹角为，并不一定反向，0⋅<m n (]90,180︒︒即不一定存在负数，使得，λλ=m n 所以是充分而不必要条件.故选A.【名师点睛】本题考查平面向量的知识及充分必要条件的判断，若，则是的充分条件，若p q ⇒p q ，则是的必要条件.p q ⇐p q 29．【2017年高考山东文数】已知命题p ：;命题q ：若,则a <b .下列命题为,x ∃∈R 210x x -+≥22a b <真命题的是A ．B ．p q∧p q ∧⌝C ．D ．p q⌝∧p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】由时，成立知p 是真命题；0x =210x x -+≥由可知q 是假命题,221(2),12<->-所以是真命题.p q ∧⌝故选B.【名师点睛】判断一个命题为真命题,要给出推理与证明；判断一个命题是假命题,只需举出反例．根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假．30．【2017年高考天津文数】设，则“”是“”的x ∈R 20x -≥|1|1x -≤A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由，可得，20x -≥2x ≤由，可得，即，|1|1x -≤111x -≤-≤02x ≤≤因为，{}{}022x x x x ≤≤⊂≤所以“”是“”的必要而不充分条件.20x -≥|1|1x -≤故选B ．【名师点睛】判断充要关系的的方法：①根据定义，若，那么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，,/p q q p ⇒⇒p q q p 若，那么是的充要条件，若，那那么是的既不充分也不必要条件；p q ⇔p q ,//p q q p ⇒⇒p q②当命题是以集合的形式给出时，那就看包含关系，若，，若是的真子集，那:p x A ∈:q x B ∈A B 么是的充分而不必要条件，同时是的必要而不充分条件，若，那么是的充要条件，p q q p A B =p q 若没有包含关系，那么是的既不充分也不必要条件；p q ③命题的等价性，根据互为逆否命题的两个命题等价，将“是”的关系转化为“是”的关p q q ⌝p ⌝系进行判断．31．【2019年高考江苏】已知集合，，则▲.{1,0,1,6}A =-{|0,}B x x x =>∈R A B = 【答案】{1,6}【解析】由题意利用交集的定义求解交集即可.由题意知，.{1,6}A B = 【名师点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题.32．【2018年高考江苏】已知集合，，那么________．A ={0,1,2,8}B ={-1,1,6,8}A ∩B =【答案】{1，8}【解析】由题设和交集的定义可知：.A ∩B ={1,8}【名师点睛】本题考查交集及其运算，考查基础知识，难度较小.33．【2017年高考江苏】已知集合，，若，则实数的值为 ▲ ．{1,2}A =2{,3}B a a =+{1}A B = a 【答案】1【解析】由题意，显然，所以，1B ∈233a +≥1a =此时，满足题意.234a +=故答案为1．【名师点睛】（1）认清元素的属性．解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件．（2）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（3）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考,A B A B =∅⊆ 虑时是否成立，以防漏解．∅34．【2018年高考北京文数】能说明“若a ﹥b ，则”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________.11a b<【答案】（答案不唯一）1，-1【解析】使“若，则”为假命题，则使“若，则”为真命题即可，a >b 1a <1b a >b 1a ≥1b 只需取即可满足，a =1,b =-1所以满足条件的一组的值为（答案不唯一）.a,b 1,-1【名师点睛】此题考查不等式的运算，解决本题的关键在于对原命题与命题的否定真假关系的灵活转换，对不等式性质及其等价变形的充分理解，只要多取几组数值，解决本题并不困难.35．【2017年高考北京文数】能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a >b >c ，则a +b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为______________________________．【答案】-1，-2，-3（答案不唯一）【解析】，矛盾，()123,1233->->--+-=->-所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证，答案不唯一．。

数学(文)知识清单-专题04 导数及其应用(原卷+解析版)

ex－1 x＞0 ， 20．已知奇函数 f(x)＝ x
h x x＜0 ，
则函数 h(x)的最大值为________．
3
高考押题专练 1．曲线 f(x)＝xlnx 在点(e，f(e))(e 为自然对数的底数)处的切线方程为( ) A．y＝ex－2 B．y＝2x＋e C．y＝ex＋2 D．y＝2x－e 【解析】本题考查导数的几何意义以及直线的方程．因为 f(x)＝xlnx，故 f′(x)＝lnx＋1，故切线的斜率 k ＝f′(e)＝2，因为 f(e)＝e，故切线方程为 y－e＝2(x－e)，即 y＝2x－e，故选 D. 【答案】D
D.
【答案】D
8．已知曲线 C1：y2＝tx(y>0，t>0)在点 M
4，2 t
处的切线与曲线
C2：y＝ex＋1＋1
也相切，则
t
的值为
()
A．4e2 B．4e
C.e2 D.e
4
4
【解析】由 y＝
tx，得
y′＝ 2
t ，则切线斜率为 tx
k＝4t ，所以切线方程为
y－2＝4t
x－4 t
，即
y＝4t x＋1.
－∞，－4 3
，(0，＋∞)，故选
C.
【答案】C
7．函数 f(x)＝ex－3x－1(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )
5
【解析】由题意，知 f(0)＝0，且 f′(x)＝ex－3，当 x∈(－∞，ln3)时，f′(x)<0，当 x∈(ln3，＋∞)时，f′(x)>0，
所以函数 f(x)在(－∞，ln3)上单调递减，在(ln3，＋∞)上单调递增，结合图象知只有选项 D 符合题意，故选
3．曲线 y＝x3＋11 在点 P(1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是( ) A．75 B.75

《精品》2017-2019三年高考真题数学(理)分项汇编专题09三角函数(解析版)

专题09三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=sin x xcos x x2在[,]的图像大致为A．B．C．【答案】DD．【解析】由f(x)sin(x)(x)sin x xcos(x)(x)2cos x x2f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又πf( )2π11π( )2242ππ1,πf(π)01π2，排除B，C，故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．f(x)是奇函数，排除A，再注2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数f(x)sin| x||sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2，）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④C．①④【答案】C B．②④D．①③【解析】 f x si n x sin x si n x sin x fx ,f x为偶函数，故①正确．当π2x π时，f x2si n x ，它在区间单调递减，故②错误．2,21当0x π时，f x 2sin x，它有两个零点：0；当πx 0时，f x sinxsin x2sin x，它有一个零点：π，故 f x 在,有3个零点：0，故③错误．当x 2k,2kk N 时， f x2si nx；当x 2k ,2k2kN时，f x si nx si nx，又0fx为偶函数， fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【名师点睛】本题也可画出函数 f x si n x sin x的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|【答案】A【解析】作出因为y sin|x|B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为y cos x cos x，周期为2π，排除C；作出y cos2x图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(，)单调递增，A正确；42作出y sin2x的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(，)单调递减，排除B，42故选A．图12图 2图 3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数 ysin x ② 不是周期函数.y f ( x )的周期是函数y f ( x )周期的一半；4．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 α∈(0，2)，2sin2α=cos2α+1，则 sin α=A ．1 5B ．55C ．33D ．2 55【答案】B【解析】2sin 2α cos2 α 1，4sin α cos α 2cos 2 α .α0, ,cos α 0 ， sin α 0,2sin α cos α，又 s in 2cos211 ，5sin2 α 1,sin 2 α ，又 s in 0 5， s in55，故选 B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为 1 关系得出答案．325．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f x =sin（x5）(＞0)，已知f x 在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：①f x在（0,2）有且仅有3个极大值点②fx在（0,2）有且仅有2个极小值点③fx 在（0,10）单调递增④的取值范围是[1229，) 510其中所有正确结论的编号是A．①④C．①②③【答案】D B．②③D．①③④【解析】①若f(x)在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当πkπ=sin（）=0时，x =kπ（k∈Z），所以555，因为f(x)在[0,2π]上有5个零点，所以当k=5时，x 5ππ52ππ6π，当k=6时，5f x xxx2π1229，解得ω，514故④正确.③函数f x=si n（xπππ）的增区间为：2kπx 2kπ5252，732k π2kπ1010.取k=0，当1271时，单调递增区间为πx π，5248当2973时，单调递增区间为πx π102929，综上可得，πf x0,10单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．6．【2019年高考天津卷理数】已知函数f(x)A s in(x )(A 0,0,||)是奇函数，将y fx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g x．若g x的最小正周期为2π，且g 2，则f3A．2B．2C．2D．2【答案】C【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)A sin 0,=kπ,k Z ,k 0,0；又g(x)A sin 12πx ,T 2π,212∴2，又πg()42，∴A 2，∴f(x)2sin2xx在48，f(3π8)2.故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数5gx，再根据函数性质逐步得出A,,的值即可.7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若s in 1，则cos2 3A．89B．79C．79D．89【答案】B【解析】cos 212sin2112()3279.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 8．【2018年高考全国卷II理数】若f x cosx si n x在a,a是减函数，则a的最大值是A．C．π43π4B．D．π2π【答案】A【解析】因为f x cosx sin xπ2cos x4，所以由02kπx ππ3ππ2kπ(k Z)得2kπx 2kπ(k Z) 444，因此a,a π3ππ3πππ,,a a,a ,a ,0a ，从而a的最大值为，444444故选A.【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a的最大值.函数y A sin x B(A 0,0)的性质：(1)ymax =A+B，yminA B.(2)周期T 2.(3)由x π2kπk Z求对称轴.(4)由πππ3π2kπx 2kπk Z求增区间；由2kπx22222kπk Z 求减区间.69．【2018 年高考天津理数】将函数ysin(2 x )5的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间[3 5, ]4 4 上单调递增B ．在区间[3 4, ]上单调递减C ．在区间 [5 3, ]4 2上单调递增D ．在区间 [32, 2]上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将y sin 2 xππ y sin 2 xsin2 x 析式为 .10 5π 5π的图象向右平移个单位长度之后的解 10则函数的单调递增区间满足 2k ππ π π π2 x 2k π k Z ，即 k π x k π k Z 2 2 4 4，令 k 1 可得一个单调递增区间为函数的单调递减区间满足： 2k π3π 5π.π3π π 3π2 x 2k π k Z ，即 k π x k π2 2 4 4 k Z，令 k 1 可得一个单调递减区间为：5π 7π.故选 A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018 年高考浙江卷】函数 y = 2 xsin2x 的图象可能是 A ．B ．,4 4, 4 47C ．D ．【答案】D【解析】令fx 2xsin2 x ，因为 x R , fx 2xsin2x 2 xsin2 xfx，所以fx2x si n 2 x为奇函数，排除选项 A ，B ；因为xπ, π 时， f x 0，所以排除选项 C ，故选 D.π【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在 , π上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11．【2017 年高考全国Ⅰ理数】已知曲线 C ：y =cos x ，C ：y =sin (2x + 12 2π 3)，则下面结论正确的是πA ．把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得6到曲线 C2B ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 1到曲线 C2π12个单位长度，得 1 πC ．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得2 6到曲线 C 2D ．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 11 π 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，2 12得到曲线 C 22 2 18【答案】D【解析】因为C,C12函数名不同，所以先将C利用诱导公式转化成与C相同的函数名，则21C:y sin(2x22π2πππ1 )cos(2x )cos(2x )，则由C上各点的横坐标缩短到原来的倍变33262为y cos2x，再将曲线向左平移π12个单位长度得到C2，故选D.【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sinπcos(),cos2sin(π2)；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量12．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数f x cos(x)，则下列结论错误的是3x而言.A．f(x)的一个周期为2πB．y f(x) C．f(x π)的图象关于直线xπ的一个零点为x68π3对称D．f(x)π在(，π)单调递减2【答案】D【解析】函数f(x)的最小正周期为T 2π12π，则函数f(x)的周期为T 2kπk Z，取k1，可得函数fx的一个周期为2π，选项A正确；函数f(x)图象的对称轴为x ππkπk Z，即x kπk Z33，取k 3，可得y=f(x)的图象关8π对称，选项B正确；于直线x3ππf x πcos x πcos x33，函数f(x)ππ的零点满足x kπk Z32，即x kππ6k Z ，取k 0，可得f(x π)的一个零点为x π6，选项C正确；当x π,π2时，π5π4πx ,363，函数f(x)在该区间内不单调，选项D错误.故选D.1π【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y A sin(x )或y A cos(x)9的形式，则最小正周期为T2 π；奇偶性的判断关键是解析式是否为 y A s inx或 y A cosx b的形式.（2）求fxAsi n (x)的对称轴，只需令xk ππ 2k Z，求 x ；求 f (x )的对称中心的横坐标，只需令xk π(k Z )即可.13．【2017 年高考天津卷理数】设函数f ( x ) 2sin(x)，x R ，其中 0 ， ||．若 f (58) 2，f () 0 8，且 f ( x )的最小正周期大于 2，则A ．C ．2，3121，324B ．D ．2，3121，324【答案】A52k8【解析】由题意得11k 82，其中 k , kZ 12，所以42 (k2k )33，又T22，所以 01，所以231， 2k， 12由得12，故选 A ．【名师点睛】关于y A s in(x )的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定 A ，再根据最小正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等．14．【2019 年高考北京卷理数】函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．π【答案】2【解析】函数fx si n 22x1 cos 4 xπ ，周期为 .22【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.122 111015．【2019年高考江苏卷】已知tan tanπ23，则sin 2π4的值是▲.2【答案】10【解析】由tan tan tan 1t a n2πtan 1tan 1341tan，得3tan25tan 20，解得tan 2，或tan 1 3 .πππsin 2sin 2cos cos 2sin444222sin cos cos2sin sin 2cos 2=22sin 2 cos22=22t an 1tan 2tan212，当tan 2时，上式=2221222 =；222110当tan 13时，上式=22[112()1()331()21322]= .10π2综上，s in 2.410【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan 的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数 f x2si n x sin2x，则fx的最小值是_____________．【答案】33 2【解析】f x2cos x 2cos2x 4cos2x 2cos x 24cos x 1cos x 12，4 tan11所以当c os x11时函数单调递减，当c os x22时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为5ππππ2kπ,2kπk Z，函数的递增区间为2kπ,2kπ3333k Z ，所以当x 2kππ3,k Z时，函数fx取得最小值，此时s in x33,sin2x22，所以f xmin3333222233，故答案是.2【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.ππ17．【2018年高考北京卷理数】设函数f（x）=cos(x )(0)，若f(x)f()64则ω的最小值为__________．对任意的实数x都成立，【答案】23【解析】因为fxfπ对任意的实数x都成立，所以fπ取最大值，所以ππ22kπk Z ，8k k Z463，因为0，所以当k 0时，ω取最小值为23.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.π18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数f x cos3x 在0，π的零点个数为________．6【答案】3【解析】0x πππ19ππππ3ππ5π，3x ，由题可知3x ，3x ，或3x666626262，解π4π7π得x ,，或，故有3个零点.999【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.441219．【2018 年高考江苏卷】已知函数 y sin2x(π ππ ) 的图象关于直线 x223对称，则的值是________．【答案】π 6【解析】由题意可得s in2 3π1，所以2 πππk π， k π(k Z ) 32 6，因为π ππ，所以 k 0, . 226【名师点睛】由对称轴得 2πππk π， k π(k Z ) 326，再根据限制范围求结果.函数 y A sinxB（A >0，ω>0）的性质：(1)y maxA B , yminA B；(2)最小正周期T2 π；(3)由xπ2k π k Z求对称轴；(4)由π π π3π2k πx 2k π k Z 求增区间;由 2k π x 2k π k Z 22 22求减区间.20．【2017 年高考全国Ⅱ理数】函数 f x si n 2x 3 cos x3π( x 0,42)的最大值是.【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：313 f x1 cos x 3 cos xcos x 3 cos xcos x 1 442，由自变量的范围：πx 0,2可得：cos x 0,1，当cos x32时，函数f x取得最大值 1.【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程22 2与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.1321．【2017 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y轴对称.若sin1 3，则cos()=___________.【答案】79【解析】因为和关于轴对称，所以π 2k π, k Z，那么s i nsi n1 3，coscos2 2 2 2 （或 coscos33），所以coscoscossinsincos2sin 22sin 217 9.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称，则π 2k π, k Z ，若与的终边关于 x 轴对称，则2k π, k Z，若与的终边关于原点对称，则π 2k π, k Z.22．【2018 年高考全国Ⅱ理数】已知s in α cos β1，cos α sin β，则 sin(αβ )__________．【答案】12【解析】因为 sincos1， cossin0 ，所以1si ncos 1,所以 sin11 ,cos2 2，因此 sinsi ncoscos sin1 111 1 1cos 2 1sin 2 1 . 2 2 4 4 4 2【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.π 1 23．【2017 年高考江苏卷】若 tan( ) , 4 6 7【答案】5则 tan▲．【解析】tantan[() ]4 41 tan( ) tan 14 4 61 5 4 4 67 ．故答案为．5【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：yy2 271tan( ) tan 114①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．24．【2019年高考浙江卷】设函数f(x)sin x,x R.（1）已知[0,2),函数f(x )是偶函数，求的值；（2）求函数y [f(x )]2[f(x)]2124的值域．【答案】（1）π3π或；（2）22[133,1]22．【解析】（1）因为f(x )sin(x )是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x )sin(x )，即sin x c os cos x s in si n x cos cos x sin ，故2sin x cos 0，所以cos 0．又[0,2π)，因此π3π或．22（2）y fππππππ1cos2x 1cos2x621331cos2x sin2x22222132πcos2x3．因此，函数的值域是[133,1]22．【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.25．【2017年高考浙江卷】已知函数f(x)sin2x cos2x 23sin x cos x(x R)．（1）求f(23)的值．（2）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．22x f x sin2x sin2x12412415【答案】（1）2；（2）f(x)的最小正周期是；单调递增区间是[2k ,63k ],k Z．【解析】（1）由sin 233221，c os32，23131f()()2()223()32222．得f(23)2．（2）由cos2x cos2x sin2x与s in2x 2sin x cos x得f(x)cos 2x 3sin2x 2sin(2x )6．所以f(x)的最小正周期是．3由正弦函数的性质得2k 2x 2k ,k Z262，解得2k x k ,k Z 63，所以，f(x)的单调递增区间是[2k ,k ],k Z 63．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数y A sinx的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即y A sin u后利用三角函数的性质求解．y A sin x ，然26．【2017年高考江苏卷】已知向量a (cos x,sin x),b (3,3),x [0,π].（1）若a∥b，求x的值；（2）记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．【答案】（1）x 5π5π；（2）x 0时，f x取到最大值3；x 时，66fx取到最小值23．【解析】（1）因为a (cos x,sin x)，b (3,3)，a∥b，所以3cos x 3sin x．若cos x 0，则sin x 0，与sin2x cos2x 1矛盾，故cos x 0．3于是tan x ．3又x 0，π，所以x5π．616（2）f ( x ) a b (cos x ,sin x ) (3, 3) 3cos x 3 sin x 2 3 cos( xπ 6)．因为 x 0，π，所以x π π 7π [ , ] 66 6，从而 1cos( xπ 3) ．6 2于是，当xπ π6 6，即x时，f x取到最大值 3；当xπ5π，即 x 时， 66fx取到最小值 2 3 ． 27．【2018 年高考浙江卷】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P3 4）．（，- 5 5（1）求 sin （α+π）的值；（2）若角 β 满足 sin （α+β）=513，求 cos β 的值．456 16 【答案】（1）；（2） cos 或 c os 5 65 65.【解析】（1）由角的终边过点 3 44 P ( , ) 得 s in5 55，所以 sin(π) sin4 5.（2）由角的终边过点 3 4 3 P ( , ) 得 cos 5 5 5，由 sin()5 12 得 c os() 13 13.由()得c oscos()cossin()sin，所以cos5616或 cos. 6565【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得sin，然后利用诱导公式，计算 sin （α+π）的值;（2）根据 sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()的值，要注意该值的正负，然后根据()，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得 cos β 的值.28．【2018年高考江苏卷】已知,为锐角，tan43，cos()55．17（1）求cos2的值；（2）求tan()的值．【答案】（1）72；（2）.2511【解析】（1）因为tan4sin，tan3cos，所以sin43cos ．因为sin2cos21，所以cos2925，因此，c os 22cos21725．（2）因为,为锐角，所以(0,)．又因为cos()55，所以sin()1cos2()255，因此tan()2．因为tan42tan24，所以tan 231tan 2 7，因此，tan()tan[2()]tan 2tan()21tan 2tan()11．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．29．【2017年高考山东卷理数】设函数ππf(x)sin(x )sin(x )62，其中03.已知πf( )6.（1）求；18（2）将函数y f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y g(x)的图象，求g(x)π3π在[,]44上的最小值.【答案】（1）2；（2）最小值为32.【解析】（1）因为ππf(x)sin(x )sin(x )62，所以f(x)31sin x cos x cos x2233sin x cos22x133(sin x cos22x)π3s in(x )3.由题设知πf( )6，所以ππkπ63，k Z.故6k 2，k Z，又03，所以2.（2）由（1）得f(x)3sin2x3.所以g(x)3sin x 3sin x4312.因为x[π3π,]44，所以x 2,1233，所以当x ，即x1234时，g(x)取得最小值32.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题时，关键在于能利用三19角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.20。

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1
专题04 导数及其应用（解答题）
1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数()sinln(1)fxxx，()fx为()fx的导数．证明：
（1）()fx在区间(1,)2存在唯一极大值点；
（2）()fx有且仅有2个零点．

2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数11lnxfxxx.
（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；
（2）设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y=lnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线exy的切线
.
2

3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数32()2fxxaxb.
（1）讨论()fx的单调性；
（2）是否存在,ab，使得()fx在区间[0,1]的最小值为1且最大值为1？若存在，求出,ab的所有值；
若不存在，说明理由
.

4．【2019年高考北京理数】已知函数321()4fxxxx．
（Ⅰ）求曲线()yfx的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）当[2,4]x时，求证：6()xfxx；
（Ⅲ）设()|()()|()FxfxxaaR，记()Fx在区间[2,4]上的最大值为M（a）．当M（a）最
小时，求a的值．
3

5．【2019年高考天津理数】设函数()ecos,()xfxxgx为fx的导函数．
（Ⅰ）求fx的单调区间；

（Ⅱ）当,42x时，证明()()02fxgxx；

（Ⅲ）设nx为函数()()1uxfx在区间2,242nn内的零点，其中nN，证明
20022sincseonnnxxx





．

6．【2019年高考浙江】已知实数0a，设函数()=ln1,0.fxaxxx
（1）当34a时，求函数()fx的单调区间；

（2）对任意21[,)ex均有(),2xfxa 求a的取值范围．
注：e=2.71828…为自然对数的底数．
4

7．【2019年高考江苏】设函数()()()(),,,fxxaxbxcabcR、()f'x为f（x）的导函数．
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f（x）和()f'x的零点均在集合{3,1,3}中，求f（x）的极小值；

（3）若0,01,1abc„，且f（x）的极大值为M，求证:M≤427．

8．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数1()lnfxxaxx．
（1）讨论()fx的单调性；

（2）若()fx存在两个极值点12,xx，证明：12122fxfxaxx．
5

9．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数22ln12fxxaxxx．
（1）若0a，证明：当10x时，0fx；当0x时，0fx；
（2）若0x是fx的极大值点，求a．

10．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数2()exfxax．
（1）若1a，证明：当0x时，()1fx；
（2）若()fx在(0,)只有一个零点，求a．
6

11．【2018年高考北京理数】设函数()fx=[2(41)43axaxa]ex．
（Ⅰ）若曲线y= f（x）在点（1，(1)f）处的切线与x轴平行，求a；
（Ⅱ）若()fx在x=2处取得极小值，求a的取值范围．

12．【2018年高考天津理数】已知函数()xfxa，()logagxx，其中a>1.
（I）求函数()()lnhxfxxa的单调区间；
（II）若曲线()yfx在点11(,())xfx处的切线与曲线()ygx在点22(,())xgx 处的切线平行，证明

12
2lnln()lna
xgxa
；

（III）证明当1eea时，存在直线l，使l是曲线()yfx的切线，也是曲线()ygx的切线.
7

13．【2018年高考浙江】已知函数f(x)=x−lnx．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x
2
)>8−8ln2；

（Ⅱ）若a≤3−4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点．

14．【2018年高考江苏】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的
中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修
建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP△，要求,AB均在
线段MN上，,CD均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．
（1）用分别表示矩形ABCD和CDP△的面积，并确定sin的取值范围；
（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为
4:3
．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
8

15．【2018年高考江苏】记(),()fxgx分别为函数(),()fxgx的导函数．若存在0xR，满足
00

()()fxgx

且00()()fxgx，则称0x为函数()fx与()gx的一个“S点”．
（1）证明：函数()fxx与2()22gxxx不存在“S点”；
（2）若函数2()1fxax与()lngxx存在“S点”，求实数a的值；

（3）已知函数2()fxxa，e()xbgxx．对任意0a，判断是否存在0b，使函数()fx与
()gx
在区间(0,)内存在“S点”，并说明理由．

16．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数2()e(2)exxfxaax.
（1）讨论()fx的单调性；
（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.
9

17．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知函数2()lnfaxaxxxx，且()0fx．
（1）求a；
（2）证明：()fx存在唯一的极大值点0x，且220e()2fx．

18．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数1lnfxxax.
（1）若0fx，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n，2111111222nm，求m的最小值.
10

19．【2017年高考浙江】已知函数f(x)=（x–21x）ex（12x）．
（1）求f(x)的导函数；
（2）求f(x)在区间1[+)2，上的取值范围．

20．【2017年高考北京理数】已知函数()ecosxfxxx．
（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；
（Ⅱ）求函数()fx在区间π[0,]2上的最大值和最小值．
11

21．【2017
年高考天津理数】设aZ，已知定义在R上的函数432()2336fxxxxxa在区间

(1,2)

内有一个零点0x，()gx为()fx的导函数．
（Ⅰ）求()gx的单调区间；
（Ⅱ）设00[1,)(,2]mxx，函数0()()()()hxgxmxfm，求证：0()()0hmhx；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数,pq，且00[1,)(,2],pxxq满足

0
4

1||p
xqAq
．

22．【2017年高考山东理数】已知函数，()e(cossin22)xgxxxx，其中
e2.71828
是自然对数的底数.

（1）求曲线在点


π,πf
处的切线方程；

（2）令()()()()hxgxafxaR，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.


2
2cosfxxx


yfx


hx
12

23．【2017
年高考江苏】已知函数32()1(0,)fxxaxbxabR有极值，且导函数()fx的极值点

是()fx的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）
（1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；
（2）证明：23ba；

（3）若()fx，()fx这两个函数的所有极值之和不小于72，求a的取值范围．