035圆的有关概念与性质(14页)

- 1 - 圆的有关概念与性质 ◆课前热身 1.如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D交⊙O于E，则下列说法错误．．的是（ ）

A．AD＝BD B．∠ACB＝∠AOE C．AEBE D．OD＝DE 2.如图，⊙O的直径AB垂直弦CD于点P，且P是半径OB的中点，CD＝6cm，则直径AB的 长是（ ）

A．23cm B．32cm C．42cm D．43cm 3．如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（ ）

A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，M是弦AB上的动点，则OM不可能为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°,⊙O的半径为cm3，则弦CD的长为（ ） - 2 -

A．3cm2 B．3cm C．23cm D．9cm 【参考答案】 1. D 2. D 3. A 4. A 5. B ◆考点聚焦 1．圆的有关概念，包括圆心、半径、弦、弧等概念，这是本节的重点之一． 2．掌握并灵活运用垂径定理及推论，圆心角、弧、弦、弦心距间的关系定理以及圆周角定理及推论，这也是本书的重点，其中在运用相关定理时正确区分各定理的题设和结论是本节难点． 3．理解并掌握圆内接四边形的相关知识，而圆和三角形、•四边形等结合的题型也是中考热点． ◆备考兵法 “垂径定理”联系着圆的半径（直径）、弦长、圆心和弦心距，通常结合“勾股定理”来寻找三者之间的等量关系，同时其中还蕴含着弓形高（半径与弦心距的差或和）与这三者之间的关系．所以，在求解圆中相关线段的长度时，常引的辅助线方法是过圆心作弦的垂线段，连结半径构造直角三角形，把垂径定理和勾股定理结合起来，有直径时，常常添加辅助线构造直径上的圆周角，由此转化为直角三角形的问题． 常考题型：圆心角、圆周角定理及推论常以选择题或填空题出现；垂径定理和勾股定理结合起来常以计算题出现. ◆考点链接 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又 是 对称图形， 是它的对称中心. - 3 -

3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . ◆典例精析 例1（山西太原）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，若以点C为圆心， CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（ ）

A．53 B．5 C．52 D．6

【答案】A 【解析】本题考查圆中的有关性质，连接CD，∵∠C＝90°，D是AB中点，AB＝10，∴CD＝12AB＝5，∴BC＝5，根据勾股定理得AC＝53，故选A． 例2（黑龙江哈尔滨）如图，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为 ．

【答案】8 【解析】主要利用垂径定理求解.连接OA，根据垂径定理可知AM＝4，又OA＝5，则根据勾股定理可得：OM＝3。又OD＝5，则DM＝8. 例3（贵州贵阳）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上， 且AB=13，BC=5． （1）求sin∠BAC的值；

B C D A - 4 -

（2）如果OD⊥AC，垂足为点D，求AD的长； （3）求图中阴影部分的面积．（精确到0．1） 【答案】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°． ∴sin∠BAC= 513BCAB．

（2）在Rt△ABC中，AC= 2222135ABBC =12． 又∵OD⊥AC于点D， ∴AD=12AC=6． （3）∵S半圆=12×（2AB）2=12×1694=1698． S△ABC=12AC×BC=12×12×5=30， ∴S阴影=S半圆－S△ABC =1698－30≈36.3 点评 “直径所对的圆周角为90°”以及“垂径定理”可以将圆的有关知识和三角形有关知识结合起来．因此对这部分知识应加以重视． ◆迎考精练 一、选择题 1.（湖北孝感）如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B＝60°，则∠CAO的度数是( ) A．15° B．30° C．45° D．60°

2.（山东泰安）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O 的一条弦，且AB＝3，则弦AB所对圆周角的度数为（ ） A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°

3.（浙江嘉兴）如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP． - 5 -

若阴影部分的面积为9，则弦AB的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9

4.（天津市）如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（ ） A．28° B．56° C．60° D．62°

5.（安徽）如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

6.(浙江温州)如图，∠AOB是⊙0的圆心角，∠AOB＝80°，则弧AB所对圆周角∠ACB的度数是( ) A．40° B．45° C．50° D．80°

7.（四川遂宁）如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A＝70o，∠C＝50o， 那么sin∠AEB的值为( ) A. 21 B. 33 C.22 D. 23 - 6 -

8.（甘肃兰州）如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( )

A．5米 B．8米 C．7米 D．53米

9.（湖北十堰）如图，△ABC内接于⊙O，连结OA、OB，若∠ABO＝25°，则∠C的度数为（ ） A．55° B．60° C．65° D．70°

10.（山东青岛）一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）． A．0.4米 B．0.5米 C．0.8米 D．1米

11.（山西太原）如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OAABBO的路径运动一周．设OP为s，运动时间为t，则下列图形能大致地刻画s与t之间关系的是（ ）

二、填空题 1.（河南）如图，AB为半圆O的直径，延长AB到点P，使BP＝12AB，PC切半圆O于点C，

P A O B

s

t O s

O t

O

s t O s

t A． B． C． D． - 7 -

点D是AC上和点C不重合的一点，则D的度数为 . 2.(广东梅州)如图，在⊙O中，∠ACB＝20°，则∠AOB＝______度.

3.（山西省）如图所示，A、B、C、D是圆上的点，17040A°，°，则C 度． 4.(湖北鄂州)在⊙O中，已知⊙O的直径AB为2，弦AC长为3，弦AD长为2．则DC2＝______ 5.（福建福州）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上 ，OD∥AC，若BD＝1，则BC的长为

6.（广东中山）已知O⊙的直径8cmABC，为O⊙上的一点，30BAC°，则BC＝ _ cm．

7.(山东济南)如图，O的半径5cmOA，弦8cmAB，点P为弦AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离是 cm．

A B

C D

1 - 8 -

8.（北京市）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为BC上一点，若∠CEA＝28，则∠ABD＝ °.

DAB

CE

9.(福建宁德)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB的度数等于 ．

三、解答题 1.（广西柳州）如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若AD＝2，⊙O的半径为3，求BC的长． - 9 -

2.（广西钦州）已知：如图，⊙O1与坐标轴交于A（1，0）、B（5，0）两点，点O1的纵坐标为5．求⊙O1的半径．

B A O 图2 x

y

ABO

1O

3.（湖北宜昌）已知：如图，⊙O的直径AD＝2，BCCDDE，∠BAE＝90°． (1)求△CAD的面积； (2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P，那么点P落在四边形ABCD区域的概率是多少？

4.(湖北黄冈)如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连结BF，与直线CD交于点G．求

证：BFBGBC2.