高一升高二暑假数学补课专题三

高一升高二暑假数学补

课专题三

文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]

专题三、函数的单调性与最值

一、基础知识

1、单调函数的定义

增函数减函数

定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2

当x1

那么就说函数f(x)在区间D上

是增函数

当x1

有，那么就说函

数f(x)在区间D上是减函数

图

像

描

述

自左向右看图像是的自左向右看图像是的

若函数y＝f(x)在区间D上是或，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫作函数y＝f(x)的单调区间。

3、函数的最值

前

提

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足

条件(1)对于任意x∈I，都有

f(x)≤M；

(2)存在x0∈I，使得f(x0)

＝M.

(3)对于任意x∈I，都

有；

(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝

M.

结

论

M为最大值M为最小值

4、注意事项：

（1）函数的单调性是局部性质

函数的单调性，从定义上看，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的

特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

（2）函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；

如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

（3）单调区间的表示

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．二、典例讲解

题型一函数单调性的判断

例1 试讨论函数f(x)＝

ax

x－1

(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

探究提高证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．

变式1：(1)已知a>0，函数f(x)＝x＋a

x

(x>0)，证明函数f(x)在

(0，a]上是减函数，在[a，＋∞)上是增函数；

(2)求函数y＝x2＋x－6的单调区间．题型二利用函数单调性求参数

例2若函数f(x)＝ax－1

x＋1

在(－∞，－1)上是减函数，求实数a的取

值范围．

思维启迪：利用函数的单调性求参数的取值范围，解题思路为视参数为已知数，依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参．

探究提高已知函数的单调性确定参数的值或范围，可以通过解不等式或转化为不等式恒成立问题求解；需注意的是，若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

变式2：(1)若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则a的取值范围为____________．

(2)函数y＝

x－5

x－a－2

在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是

( )

A．a＝－3 B．a<3

C ．a ≤－3

D ．a ≥－3

题型三 利用函数的单调性求最值

例3 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2

3

.

(1)求证：f (x )在R 上是减函数； (2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．

思维启迪：问题(1)对于抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值，证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证．问题(2)用函数的单调性即可求最值．

探究提高 对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－

f (x 2)与0的大小，或

fx 1

fx 2

与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形：如x 1＝x 2·x 1x 2

或x 1＝x 2＋x 1－x 2等；利用函数单调性可以求函数最值．

变式3：已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ? ??

??

x 1x 2＝f (x 1)－

f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0. (1)求f (1)的值； (2)判断f (x )的

单调性； (3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 典例4：求函数y ＝log 13

(x 2

－3x )的单调区间．

温馨提醒函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．如果是复合函数，应该根据复合函数单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，根据同增异减的法则求解函数的单调区间．由于思维定势的原因，容易忽视定义域。

典例5：函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1. (1)求证：f(x)在R上是增函数； (2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.

审题视角(1)对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点．要构造出f(M)

解函数不等式问题的一般步骤：

第一步：确定函数f(x)在给定区间上的单调性；

第二步：将函数不等式转化为f(M)

第三步：运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，

转化成一般的不等式或不等式组； 第四步：解不等式或不等式组确定解集；

第五步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．

温馨提醒 本题对函数的单调性的判断是一个关键点．不会运用条件

x >0时，f (x )>1.构造不出f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1的形式，找不

到问题的突破口．第二个关键应该是将不等式化为f (M )

A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． 下列函数中，在(－∞，0)上为增函数的是

( )

A ．y ＝1－x 2

B ．y ＝x 2＋2x

C ．y ＝

1

1＋x

D ．y ＝

x x －1

2． 已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )

3． 已知f (x )＝???

a x

x >1，

?

?

?

??

4－a 2x ＋2 x ≤1

是R 上的单调递增函数，则

实数a 的取值范围为( )

A ．(1，＋∞)

B ．[4,8)

C ．(4,8)

D ．(1,8) 4． 给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 1

2

(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其

中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是 ( ) A ．①②

B ．②③

C ．③④

D ．①④

二、填空题(每小题5分，共15分)

5． f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为__________；f (x )max ＝________.

6． 函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是__________．

7． 若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a 、b 的取值范围是_________． 三、解答题(共22分)

8．(10分)已知函数f (x )＝1a －1

x

(a >0，x >0)，

(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是单调递增函数；

(2)若f (x )在??????12，2上的值域是????

??

12，2，求a 的值．

9．(12分)已知函数f (x )＝x 2

＋a

x

(x ≠0，a ∈R )．

(1)判断函数f (x )的奇偶性；

(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．

B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1． 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数

g (x )＝fx

x

在区间(1，＋∞)上一定

( )

A ．有最小值

B ．有最大值

C ．是减函数

D ．是增函数

2． 已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，

x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的

值

( )

A ．一定大于0

B ．一定小于0

C ．等于0

D ．正负都有可能

3． 已知函数f (x )＝???

x 2

＋4x ， x ≥0，

4x －x 2

， x <0，

若f (2－a 2)>f (a )，则实数a

的取值范围是( )

A ．(－1,2)

B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

C ．(－2,1)

D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

二、填空题(每小题5分，共15分)

4． 设函数f (x )＝ax ＋1

x ＋2a

在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值

范围是__________．

5． 已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ? ??

??

??????1x

是______________．

6． 设x 1，x 2为y ＝f (x )的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：

①(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0；②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③

fx 1－fx 2x 1－x 2>0；④fx 1－fx 2

x 1－x 2

<0.

其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________．(填序号)三、解答题

7． (13分)已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，

b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有fa＋fb

a＋b

>0成立．

(1)判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；

(2)解不等式：f(x＋1

2

)

1

x－1

)；

(3)若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．