2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册 3.1 函数的概念及其表示 教案
3.1.2 函数的表示法 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第2课时，本节课主要学习函数的三种表示方法及其简单应用，进一步加深对函数概念的理解。
课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：解析法，图象法，列表法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．
课程目标 学科素养 A.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（解析式法、图象法、列表法）表示函数；
B.了解简单的分段函数，并能简单地应用；
1.数学抽象：函数解析法及能由条件求函数的解析式； 2.逻辑推理：求函数的解析式； 3.数学运算：由函数解析式求值和函数解析式得计算； 4.直观想象：由函数的图象表示函数； 5.数学模型：由实际问题构造合理的函数模型。
1.教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念； 2.教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象。
多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、复习回顾，温故知新 1. 初中学过哪几种表示函数的方法? 【答案】表示函数的方法，常用的有解析法、列表法和图象法三种. ⑴解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 如,s=60t2，A=r2，S=2,y=ax2+bx+c(a≠0),y=x+2等等都是用解析式表示函数关系的.3.1.1的问题1、2. （2）图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题3. （3）列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系.如3.1.1的问题4. 二、探索新知 例1 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈｛1,2,3,4,5｝)个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x). 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}. 用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x∈｛1,2,3,4,5｝。 用列表法可将y=f(x)表示为 笔记本数x 1 2 3 4 5
通过复习初中所学函数的表示方法，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。
通过例题让学生进一步理解函数的三种表示方法，并分析三种表示方法的不同，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 钱数y 5 10 15 20 25 用图象法可将y=f(x)表示为 思考1：比较三种表示法，它们各自的特点是什么？ 【答案】解析法：①函数关系清楚、精确； ②容易从自变量的值求出其对应的函数值；③便于研究函数的性质. 解析法是中学研究函数的主要表达方法. 图象法：能形象直观的表示出函数的变化趋势，是今后利用数形结合思想解题的基础.
列表法：不必通过计算就知道当自变量取某些值时函数的对应值，当自变量的值的个数较少时使用.
列表法在实际生产和生活中有广泛的应用。 思考2：所有的函数都能用解析法表示吗？
通过思考，总结函数的三种表示方法的特点，提高学生分析问题、概括能力。 【答案】不是所有的函数都能用解析法表示.例如,某天24整点的整点数与这一刻的气温的关系.
例2.画出函数y=|x| 的图象.
解: 由绝对值的概念,我们有0,0,||xxxxxy。 所以，函数y=|x| 的图象如图所示。
我们把这样的函数称为分段函数。 例3.给定函数.)1()(,1)(2Rxxxgxxf， （1）在同一直角坐标系中画出函数)(),(xgxf 的图象； （2）,Rx 用M(x)表示)(),(xgxf中的较大者，记为)}(),(max{)(xgxfxM， 试分别用图象法和解析法表示函数
M(x).
解：（1） 在同一直角坐标系中画出函数)(),(xgxf的图象，如图。
通过例题讲解，让学生明白怎样把函数的解析式中绝对值号去掉，教给学生分段函数的定义。
通过例题练习分段函数图象的画法及其表示，提高学生解决问题的能力。 （2）解：由（1）中函数图象中函数取值的情况，结合函数M(x)的定义，可得函数M(x)的图象，如图 结合函数的图象，可得函数M(x)的解析式为
0,)1(01,11,)1()(22xxxxxxxM
例4: 下表是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.
对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 解：从表中可以知道每位同学在每次测试中的成绩，但是不容易看出每位同学的成绩的变化情况.可以将“成绩”与“测试序号”之间的关系用函数图像表示出来，如图1，那么就能比较直观地看到成绩变化的情况. 通过例题进一
步比较列表法、图象法，让学生进一步理解这两种表示方法的优缺点，提高学生的观察、概括能力。 为了更容易的看出学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，如图2。
在图2中看到，王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且比较优秀.张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且幅度较大.赵磊同学的数学成绩低于平均水平，但是他的成绩呈曲线上升的趋势，从而表明他的数学成绩在稳步提高.
例5 依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应按照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）。2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为
个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数 ①。 应纳税所得额的计算公式为：应纳税所得额=综合所得收入额－基本减除费用－专项扣除－专项附加扣除－依法确定的其他扣除 ②。
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60000元。税率与速算扣除数见下表。 （1） 设全年应纳税所得额为t,应缴纳个税税额为y，求)(tfy ，并画出图象。
（2）小王全年综合所得收入额为189600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52800元，依法确定其他扣除是4560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
解：（1） 根据上表，可得函数)(tfy的解析式为
函数图象如图所示
提高对性质的证明，进一步理解与掌握性质。 （2）根据公式②，小王全年应缴纳所得额为 t=189600－60000－189600(8%+2%+1%+9%)－52800－4560 =0.8×189600－117360 =34320 将t的值代入③，得y=0.03×34320=1029.6 所以，小王应缴纳的综合所得个税税额为1029.6元。
通过例题的讲解，让学生进一步理解分段函数的解析式得写法、求法，分段函数的图象的画法以及分段函数的求值，提高学生解决与分析问题的能力。
三、达标检测 1．下列表示函数y＝f(x)，则f(11)＝( ) x 05≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5
A．2 B．3 C．4 D．5 【解析】 由表可知f(11)＝4. 【答案】 C
2.设f(x)＝ x＋2，x≥01，x<0，则f[f(－1)]＝( ) A．3 B．1 C．0 D．－1 【解析】 ∵f(x)＝ x＋2，x≥01，x<0，∴f[f(－1)]＝f(1)＝1＋2＝3.故选A. 【答案】 A 3．f(x)＝|x－1|的图象是( )
【解析】 ∵f(x)＝|x－1|＝ x－1，x≥1，1－x，x<1，当x＝1时，f(1)＝0，可排除A、C.又x＝－1时，f(－1)＝2，排除D. 【答案】 B
4．已知函数y＝ x2＋1x≤0－2xx>0，使函数值为5的x的值是( ) A．－2 B．2或－52 C．2或－2 D．2或－2或－52
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 【解析】 由题意，当x≤0时，f(x)＝x2＋1＝5，得x＝±2，又x≤0，所以x＝－2；
当x＞0时，f(x)＝－2x＝5，得x＝－52，舍去．故选A. 【答案】 A
5．已知函数f(x)＝ x＋4，x≤0x2－2x，04. (1)求f{f[f(5)]}的值； (2)画出函数的图象． 【解】 (1)∵5>4，∴f(5)＝－5＋2＝－3. ∵－3<0，∴f[f(5)]＝f(－3)＝－3＋4＝1. ∵0<1<4，∴f{f[f(5)]}＝f(1)＝12－2×1＝－1， 即f{f[f(5)]}＝－1. (2)图象如图所示．
四、小结 1. 理解函数的三种表示方法； 2.在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数； 3.注意分段函数的表示方法及其图象的画法;
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
【中职专用】(高教版2021十四五基础模块上册)数学3.1 函数的概念 (1) 教案
一个国家平均家庭生活质量的情况．恩格尔通过研究得出规律：一个家庭收入越少，恩格尔系数就越大，反之家庭收入越多，恩格尔系数就会越小．表3-1 中为近8 年来全国居民恩格尔系数情况，请问恩格尔系数r 与年份x 之间有什么关系呢？解决：由表3-1 可知，恩格尔系数r 是年份x 的函数，对于数集D ={2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019}中的每一个年份x ，按照表3-1 所示，恩格尔系数r 都有唯一确定的值和它对应．例如，当x = 2017 时，有r = 29.3 和它对应，即2017 年我国恩格尔系数为29.3．情境与问题（3）下图为某地某天的气温变化图．请观察气温f与时间f之间有什么关系呢？解决：气温f是时间t 的函数．对于数集f＝{f|0 ≤f≤ 24}中的每一个时刻f，气温f都有唯一确定的值和它对应．例如，当f= 14时，有f = 32°C 和它对应，即14 时的气温为32°C．归纳：对于数集f中的每一个f，按照某个确定的对应法则f，都有唯一确定的值f和它对应．必须f— 3 ≤ 0，即f≤ 3．所以定义域为使学生掌[3, +∞)．求解握定义域例 2 判断下列函数是否为同一个函数，并说提问的基本求明理由．法、判断（1）f(f) = f+ 1与f(f) = f+ 1；（2）函数是否f(f) = f与f(f) = s2．为同一函s解（1）虽然函数f(f)=f+ 1与函数f(f)=f+强调观察数及求函1中表示自变量的字母不同，但它们的定义域同一数值的方和对应法则都是相同的，所以它们表示的是同函数思考法．一个函数；的要（2）因为函数f(f) = f的定义域为f，函求判断数f(f)=s 2的定义域为{x|x≠0}，它们的定义域s不同，因此它们表示的不是同一个函数．例 3 设函数f(f) = 2f2 — 5，求提问观察f(0), f(f), f(—f)．解将数f(f) = 2f2 — 5中的数f分别用0，思考a，−f代入，得分析f(0) = 2 × 02 — 5 = —5；理解f(f) = 2 × f2 — 5 = 2f2 —5；f(−f)=2(−f)2−5=2f2−5．练习 3.11．求下列函数的定义域：（1）f(f) = f2 — 2f— 1；（2）f(f) = 1；s2–4（3）f(f) = √1 —f；（4）f=ƒ|f| — 3．2．圆的面积f与直径f之间的关系是f=提问思考通过练习及时掌握学生的知巩固识掌握情练习巡视况，查漏补缺动手求解nd 2．试求函数f 的定义域；当直径f = 2√54时，求圆的面积S (f = 3.14)． 3．判断下列各组函数是否为同一个函数，并说明理由．（1）y f = f x 2+ 5f 与f = f (f + 5)； （2）f (f ) = f— 1与f (f ) = s(s –1) ； s（3）f (f ) = s2–4与f (f ) = f — 2．s+24．设函数f (f ) = f 2 + 2f ，x ∈R ． 求f (2)，f (—2)，f (f )，f (—f )． 5．设函数f (f ) = 1–s ，求f (— 1).1+s3指导交流培养学生引导 反思 总结学习归纳 总结总结 交流 爱过程能力1.书面作业：完成课后习题和学习与训练；巩 固 提布置 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回高，查漏 作业 顾； 说明 记录 补缺3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容．。
新教材高中数学人教A版(2019)必修第一册第三章第一节函数的概念课件
对于任一时刻t，都有唯一确定的路程S和它对应.
A1 {t 0 t 0.5}
自变量的集合
S=350t 对应关系
B1 {S 0 S 175}
函数值的集合
对于 数集A1中 任一时刻t， 按照对应关系S 3，50t 在数集B1中都有唯一确定的路程S和它对应
问题2 某电器维修公司要求工人每周工作至 少1天，至多不超过6天，公司确定工资标准 是每人每天350元，而且每周付一次工资
3
⑶当a 0时，求 f (a), f (a 1)的值。
例2下列哪个函数与 y = x 是同一函数？
⑴ y ( x)2;
⑵ y 3 x3;
⑶ y x2;
x2 ⑷ y .
x
当定义域、对应法则和值域完全一
致时，两个函数才相同.
牛刀小试：下列各组中的两个函数是否为 相同的函数？
⑴
y1
(
x
3)( x
（4）问题1和问题2中函数的对应关系相同，你 认为它们是同一个函数吗？你认为影响函数的要 素有哪些？
对于 数集A2中 任一个工作天数d， 按照对应关系W 3，50d 在数集B2中都有唯一确定的工资w和它对应
自变量 的集合
对应关系
函数值的 集合
问题3 图3.1-1是北京市2016年11月23日空 气质量指数变化图，如何根据改图确定这一 天内任一时刻t h的空气指数的值I
年份y
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013
恩格尔系数r 36.69 36.81 38.17 35.69 32.15 33.53 33.87 29.89
2014
29.35
2015
28.57
表3.1-1某城镇居民恩格尔系数变化情况
函数的概念和函数的表示法教案-人教版数学高一上必修1第一章1.2.1-1.2.2
第一章集合与函数概念1.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念和函数的表示法1 教学目标1.1 知识与技能：[1]理解函数的概念,了解构成函数的三要素．[2]会判断给出的两个函数是否是同一函数.[3]能正确使用区间表示数集.[4]函数的三种表示方法，并会求简单函数的定义域和值域.[5]通过实例体会分段函数的概念.[6]了解映射的概念及表示方法，并会判断一个对应关系是否是映射.1.2过程与方法：[1]通过具体实例，体会函数的概念和函数三要素，会求简单函数的定义域和值域。
[2]通过观察、画图等具体动手，体会分段函数的概念。
[3]通过具体习题，了解映射的概念，并会判断一个对应关系是否是映射.1.3 情感态度与价值观：[1]通过学习函数的概念及其表示法以及相关练习，培养学生逻辑思维。
[2]通过细致作图，培养学生的动手能力和识图能力。
2 教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]函数的三种表示方法。
[2]分段函数的概念。
2.2 教学难点[1]根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．[2]会求函数的定义域和值域。
3 专家建议此节为高中数学函数的第一节内容，一定要让学生充分理解函数的概念，结合具体习题提升学生的逻辑思维和数学素养。
4 教学方法实例探究——归纳总结，提炼概念——补充讲解——练习提高5 教学用具多媒体，教学用直尺、三角板。
6 教学过程6.1 引入新课【师】同学们好。
初中的时候我们就接触过函数，并掌握了一次函数，二次函数和反比例函数。
这节课我们来继续进一步学习和函数有关的内容。
【板书】第一章集合与函数概念 1.2 函数及其表示6.2 新知介绍[1]函数的概念【师】下面请同学们看三个实例，看有什么不同点和相同点。
【板演/PPT】PPT演示三个实例。
【师】那我们现在可以发现不同点是三个实例分别用解析式，图像和表格刻画变量之间的对应关系。
相同点是都有两个非空数集，并且两个数集之间都有一种确定的对应关系。
2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件：3.1 3.1.1 函数的概念
第十五页，编辑于星期日：点 二十九分。
[方法技巧] 1．判断对应关系是否为函数的 2 个条件 (1)A，B 必须是非空数集． (2)A 中任意一元素在 B 中有且只有一个元素与之对应． 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系， “一对多”的不是函数关系． 2．根据图形判断对应是否为函数的方法 (1)任取一条垂直于 x 轴的直线 l. (2)在定义域内平行移动直线 l. (3)若 l 与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内 没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．
x＋10
所以函数 y＝
的定义域为{x|x＞－2 且 x≠－1}．
x＋2
5－x≥0， (3)要使函数有意义，自变量 x 的取值必须满足
|x|－3≠0，
5－x
解得 x≤5，且 x≠±3，所以函数 y＝
的定义域为{x|x≤5 且 x≠±3}．
|x|－3
x＋1≥0， (4)要使函数 f(x)有意义，则
－x2－3x＋4>0，
④A＝{(x，y)|x∈R ，y∈R }，B＝R ，对应关系 f：(x，y)→s＝
x＋y；
⑤A＝{x|－1≤x≤1，x∈R }，B＝{0}，对应关系 f：x→y＝0.
A．①④⑤ C．②③⑤
B．②③④ D．①②④
第十四页，编辑于星期日：点 二十九分。
[解析] ①中，在对应关系 f 下，A 中不能被 3 整除的数在 B 中没有元素与之对应，故①不是；②中，在对应关系 f 下，A 中的数在 B 中有两个数与之对应，所以②不是；④中，A 不是 数集，所以④不是，③⑤显然满足函数的特征，故③⑤是．
{x|x≤b}
_(_－__∞__，__b_]_
{x|x＜b}
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第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
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第一章集合与函数概念一. 课标要求：本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力.函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识.1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号.2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力.4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义.5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力.6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法.9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象.10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形.12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法.13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例.二. 编写意图与教学建议1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算.教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学.2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，并注意运用Venn图表达集合的关系及运算，帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中，要充分体现这种直观的数学思想，发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。
高中数学人教A版(2019)必修第一册3.1.1 函数的概念(1)课件
2.2016年11月2日8时至次日八时，北京的温度走势如图 所示。 （1）求对应关系为图中曲线的函数的定义域与值域 （2）根据图像求，这一天中，12时所对应的温度
解（1）设从今日八点起24小时内经过时间t的温度为 y0C，则定义域为{t|0≤t≤24},值域为{y|2≤y≤12}. (2）由图知12时的温度约为9.70C
（3)你认为如何表述s与t的对应关系才是更为精确的？
列车行进的路程s与运行时间t的对应关系是s=350t①，其 中t的变化范围是数集A1={t|0≤t≤0.5},S的变化范围是数 集B1={S|0≤S≤175}, 对于数集A1中的任意时刻t,按照对应关系①在数集B1中都 有唯一确定的路程s和它对应
问题2：某电器维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6
你认为它们是同一函数吗？为什么？
问题3：图中是北京市2016年11月23日的空气质量指数
（Air Quality Index，简称AQI）变化图。
（1）如何根据该图确定这一天内任意时刻t的空气质量指数（AQI） 的值I？ （2）你认为这里的I是t的函数吗？如果是你能仿照前面的方法描 述I与t的对应关系吗？
可见，构成函数的要素为：定义域，对应关系和值域。因为值 域是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义 域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函 数值相同，那么这两个函数是同一个函数．
• 对函数概念的五点说明 • (1)对数集的要求：集合A，B为非空数集． • (2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，
民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高，表中是我国某省城镇居 民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高
（1）你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？为 什么? (2)如果是,你能仿照前面的方法给出精确刻画吗？ (3)三如果我们引入集合B4={r|0≤r≤1},将对应关系表示为对于任何任意一 个年份y都有B4中唯一确定的r与之对应，你认为有道理吗？
高一数学1.3.1《函数的单调性》教案（新人教A版必修1）
⾼⼀数学1.3.1《函数的单调性》教案（新⼈教A版必修1）§1.3.1函数的单调性⼀、三维⽬标1、知识与技能：（1）建⽴增（减）函数的概念通过观察⼀些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函数值的⼤⼩⽐较，认识函数值随⾃变量的增⼤（减⼩）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握⽤定义证明函数单调性的步骤。
（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学⽣通过⾃主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。
2、过程与⽅法（1）通过已学过的函数特别是⼆次函数，理解函数的单调性及其⼏何意义；（2）学会运⽤函数图象理解和研究函数的性质；（3）能够熟练应⽤定义判断与证明函数在某区间上的单调性．3、情态与价值，使学⽣感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学习函数的紧迫感. ⼆、教学重点与难点重点：函数的单调性及其⼏何意义．难点：利⽤函数的单调性定义判断、证明函数的单调性．三、学法与教学⽤具1、从观察具体函数图象引⼊，直观认识增减函数，利⽤这定义证明函数单调性。
通过练习、交流反馈，巩固从⽽完成本节课的三维⽬标。
2、教学⽤具：投影仪、计算机. 四、教学思路：（⼀）创设情景，揭⽰课题1．观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：○1 随x 的增⼤，y 的值有什么变化？○2 能否看出函数的最⼤、最⼩值？○3 函数图象是否具有某种对称性？ 2．画出下列函数的图象，观察其变化规律：（1）f(x) = x○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______? ○2 在区间 ____________ 上，随着x 的增⼤，f(x)的值随着 ________ ．（2）f(x) = -x+2○1 从左⾄右图象上升还是下降 ______?⼤，f(x)的值随着________ ．（3）f(x) = x2○1在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．○2在区间____________ 上，f(x)的值随着x的增⼤⽽________ ．3、从上⾯的观察分析，能得出什么结论？学⽣回答后教师归纳：从上⾯的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同⼀函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的⼀个重要性质——函数的单调性（引出课题）。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性》（21张PPT）教案
3.2.1函数的单调性教材：普通高中教科书《数学》必修第一册（人民教育出版社）教学目标：【知识与技能】1、通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；2、能够运用函数图象理解和研究函数的性质；3、能够熟练应用定义法证明函数在某区间上的单调性.【过程与方法】通过观察函数图象的升降，形成增(减)函数的直观认识.再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大(减小)的规律，由此得出增(减)函数的定义，进而掌握利用定义法证明函数单调性的基本方法和步骤.【情感、态度与价值观】函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解增函数、减函数、单调区间概念的过程.在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力.教学重难点：【教学重点】形成增(减)函数的形式化定义，利用定义法证明函数的单调性.【教学难点】形成增(减)函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；利用定义法证明函数的单调性.教学准备：【教师准备】多媒体课件和几何画板课件，用于展示问题，引导讨论，展示答案.【学生准备】整式的因式分解、分式的加减运算和一次函数、反比例函数、二次函数的基本性质.教学过程：准备活动：情境引入这是纪录片《航拍中国》的一个瞬间，作为中国地理文化的象征，泰山以其拔地通天之势屹立在齐鲁大地之上，泰山的美在于它的起伏变化.类似的，作为高中数学的核心，函数的魅力也是如此.今天我们一起来探究函数的单调性.活动一：探究概念问题1：这是某市一天24小时的气温变化图，请问气温在哪段时间内是逐渐升高的，在哪段时间内是逐渐下降的?教师活动：请学生直接描述气温的升高、下降规律.学生活动：分别从[4,14]和[0,4]，[14,24]三个时间段描述气温的变化情况.【设计意图】通过生活中熟悉的实例，让学生从“形”的角度逐步形成对函数单调性的直观认识.问题2：(1)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1时,y=1,当x=2时,y=3,那么y是否随着x的增大而增大？(2)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1,2,3,4时,对应地y=1,2,3,5,那么y是否随着x 的增大而增大？(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1<x2<x3<……<x n时,对应地y1<y2<y3<……<y n,那么y是否随着x的增大而增大？(4)若x取无数个值呢？x应该取区间D内的任意实数，x的任意性.教师活动：引导学生先从函数值的角度思考问题，再从图象的角度进行对比，进而引出自变量x的任意性.学生活动：学生通过比较函数值的大小，猜想函数的增减变化趋势.再通过函数图象进行强烈的对比，从而意识到自己思维认知的漏洞，逐渐产生严谨规范地概括概念的欲望.【设计意图】通过问题串层层引入，引导学生从“数形结合”的角度深入思考，通过对“数”和“形”的认知困惑，激发学生的思维碰撞，让学生意识到即使无数个函数值的大小比较，仍不能推出函数的增减变化趋势，进而体验数学的严谨性.活动二：概括概念问题1：在平面直角坐标系中，画出二次函数2xy=的图象，只考虑当0x的情形.从图≥形上看，图象从左到右是怎么变化的？y随着x的增大而怎么变化？刚才从“形”的角度直观感受了函数的变化趋势，接下来，我们从“数”的角度来精确描述和刻画这种性质？当x依次取0,1,2,3时，对应的函数值f(x)依次是多少？当x取x1,x2时，对应的f(x1),f(x2)有什么大小关系？任何结论都是有前提条件的.要求x1,x2的任意性；只考虑0x的情形，所以必须保证x1,x2≥在同一个区间上；为了便于比较大小，我们通常约定x1<x2.教师活动：借助于课件动态地演示抛物线y=x2(0x)，引导学生观察图形、计算数值、≥比较大小，从图形语言、文字语言逐渐过渡到数学符号语言，为精确刻画函数的单调性做准备.学生活动：学生观察图象、仔细分析、深入思考，逐步学会用规范的数学符号语言去精确地描述与刻画函数的性质.【设计意图】分别从图形语言、文字语言、数学符号语言三个角度探究问题，从直观认知逐渐过渡到精确刻画函数的单调性，为概括函数单调性的定义做铺垫，进而培养学生的认知能力和优化学生的思维品质.问题2：回想刚才的探究过程，谁能用规范严谨的数学符号语言概括出单调递增的定义呢？注意增函数与单调递增的区别，增函数是在整个定义域上单调递增，而单调递增的区间可能是整个定义域，也可能是整个定义域的一部分，是它的真子集.改变定义中的条件和结论，谁能类比地归纳出单调递减和减函数的定义呢？区间D 叫做单调区间.教师活动：引导学生结合刚才的探究过程，抽象地概括出单调递增的定义，并指出增函数与单调递增的细微差别.然后引导学生类比归纳出单调递减和减函数的定义，指出单调区间的定义.学生活动：学生思考刚才的探究过程，着重从数学符号语言的角度尝试着归纳出单调递增的定义，细心体会增函数与单调递增的细微差别.改变部分条件和结论，类比归纳出单调递减和减函数的定义.【设计意图】通过让学生亲自经历抽象出数学概念的过程，感受知识发生发展的生成过程，有助于对函数单调性的深化理解，更有助于培养学生的数学抽象概括能力.问题3：借助于几何画板探究函数()x x f 1=的单调性，对自变量x 有什么要求吗？函数是不是在整个定义域上一直单调递减？教师活动：动态演示函数f(x)随自变量x的变化而变化的情形，引导学生通过比较数值的大小，得出函数分别在(-∞,0)，(0,+∞)上单调递减，但不能说函数在整个定义域上一直单调递减.所以在说明函数的单调性时，应该分区间描述，不能笼统地一概而论.在表示单调区间时，一般不能取并集，应该用“和”或“,”连接.学生活动：观察几何画板中自变量x、函数值f(x)的数据，准确感受函数的变化趋势.着重考虑分母0x的要求，把定义域分成两个区间(-∞,0)，(0,+∞)，在每个区间内函数都是单调递减，但在整个定义域上却不是一直单调递减.【设计意图】充分发挥几何画板的动态演示和定量刻画的功能，这种视觉上的直观效果，是用语言文字描述所无法比拟的.在描述函数的单调性时，要优先考虑函数的定义域.单调区间是连续的，函数增减也可能是变化的，所以应该分区间描述函数的单调性，而不能笼统地一概而论.而且单调性的表示要注意格式规范.活动三：深化应用问题：从单调递增的定义，经过移项变形，我们能得到什么结论？这其实就是不等式证明中的作差法.交换x1,x2的大小位置，式子x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号有什么变化？因为x1-x2与f(x1)-f(x2)始终同号，所以可以得出单调递增的等价定义.类似地，单调递减时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号，也可以得出单调递减的等价定义.教师活动：着重引导学生从代数式的符号思考问题，为作差法和定义法中的“作差”“变形”“定号”做好坚实的铺垫.交换x1,x2的大小位置，引出单调递增(减)的等价定义，培养学生思维的灵活性.学生活动：通过式子变形、改变大小、改变符号等一系列活动，逐渐寻找到证明函数单调性的方法和思路.【设计意图】从定义中直接引出作差法，为知识应用激发出思路灵感，顺便引出等价定义从而更为灵活地刻画函数的单调性，避免学生的思维被定义束缚固化住.对概念的认知和理解，不能只局限于x1<x2，不能浮于表面化，要深入数学的本质.例1.改编自课本第78页例1，将0k和0<k两种情况.>k的情形分类成0≠教师活动：教师投影例1，引导学生用作差法和定义法证明函数的单调性.让学生独立完成后，再小组交流，如有困难可以求助课本、同学，也可以求助老师.在讲解时，引导学生梳理总结证明过程的几个步骤，重点分析“因式分解”的作用是什么？然后改变题目的条件，把0k，修改证明过程，分类讨论得出一次函数的单调性.<k改为0>学生活动：学生重点完成“变形”“定号”两个环节，独立解决后，可与同伴交流.然后积极思考，改变条件后，题目的证明过程和结论会有什么变化？【设计意图】通过例题的教学，加深对函数单调性的理解，加强解题过程的规范性和严谨性，培养学生的语言组织表达能力.通过讨论“因式分解”的作用，即为了更好地判断每个因式的符号，培养学生思考的条理性和思路的明确性，同时培养学生的应用意识和逻辑推理能力.例2.课本第78页例2.教师活动：教师投影例2，引导学生分析k为正的不变的常数，例1是一次函数模型，例2是反比例函数模型，体积V是自变量，p是V的反比例函数.请学生代表仿照例1，到黑板上板演证明过程.在分析例2的解题过程中，引导学生根据实际问题的意义，优先考虑函数的定义域，重点突出“分式通分”“因式分解”，然后根据题目条件判断每个因式的符号.学生活动：学生阅读题目，完成证明过程，重点思考“分式通分”“因式分解”，注重解题的规范性.【设计意图】通过例题的教学，继续培养学生解题的规范性，突破重难点“分式通分”“因式分解”，渗透学科核心素养“数学抽象”“数学建模”“数学运算”.例3.课本第79页例3.教师活动：教师投影例3，引导学生集中突破“变形”的环节，让学生独立完成后，再小组交流，最后由学生口述证明过程.重点分析21x x -与2112x x x x -不同号，加起来仍无法确定符号，所以必须继续因式分解，进行提公因式.及时归纳常用的变形技巧，尤其是分离常数法.学生活动：学生独立完成“变形”“定号”，思考为什么211221x x x x x x -+-不能确定符号，为什么仍要继续因式分解，怎么继续因式分解？思考怎么分离常数以及为什么要分离常数？【设计意图】通过例题的教学，再次集中突破重难点“分式通分”“因式分解”，让学生感悟“彻底因式分解”的必要性.及时总结常用的变形技巧，体会分离常数法在简化数学运算中的重要作用.活动四：拓展延伸变式训练：一题多解、一题多变、多题一解、多题归一【设计意图】通过变式训练的层层深入，即一题多解、一题多变、多题一解、多题归一，培养学生思维的发散性和灵活性.不断地改变题目中的条件和结论，数形结合深化认知.活动五：巩固提升教师活动：教师让学生独立思考，小组交流，回答问题.教师巡视指导，纠错点评.学生活动：学生独立完成练习后，集体交流评价.【设计意图】巩固对单调区间概念的理解，在表述单调区间时一般不能取并集，应该用“和”或“,”连接.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，对于单独的某个点，其函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题.故函数在端点处有意义的前提下，单调区间可以写成开区间，也可以写成闭区间.【设计意图】巩固单调递增(减)的等价定义，题目没有约定x1,x2的大小，所以不能比较f(x1),f(x2)的大小，但可以确定x1-x2与f(x1)-f(x2)是否同号.活动六：课堂小结你能说一说这节课的收获和体验，让大家与你分享吗？让学生小组讨论后，选取小组代表分享自己的成果和感受.活动七：作业布置1.课本第79页练习的第2、3题；2.利用几何画板探究对勾函数的图象与性质.板书设计：教学反思：本节课是一节概念课，函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学符号语言来刻画是本节课的难点之一.另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达.一、围绕以上两个难点，在本节课的处理上，着重注意了以下几个问题1、重视学生的亲身体验.具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系.如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大(减小)”的理解；②运用新知识尝试解决新问题.如：对函数在定义域上的单调性的讨论.2、重视学生探究问题的过程.如：充分暴露学生将函数图象(形)的特征转化为函数值(数)的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程.3、重视学生的动手实践过程.通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践应用定义.4、重视课堂问题的设计.通过对问题串的层层设计，引导学生更好地解决问题.二、没有对比就没有差距，没有反思就没有进步从教的角度评析这节课很到位，但从学的视角去评价就会发现：教师为了营造轻松愉快的课堂气氛，注重了学生学习兴趣的培养，但过于心切，总想尽快地“直奔主题”把主要内容教授给学生后进行习题训练；而让学生经历实践，然后通过探究等得出概念的过程却在师生间的简单问答中滑过，学生的思维情绪始终处于压抑状态，使得教学无法向纵深发展，知识目标的完成受到影响，学生必要的能力得不到良好训练，学习情感得不到有效激发.由此，教学设计很有必要从以下几个方面进行改进：在新授课上，应从学生的已有知识和生活经验出发，围绕知识目标展开新知识出现的情境，适当推迟新知识得出时间，丰富学生的情感体验，在知识目标得到有效落实的同时，达成能力目标.在习题课上，应以能力培养为核心，注重在知识网络的交汇点设计问题，突出基础知识的应用和基本技能的运用，强化知识目标，广泛建立知识之间的联系，培养学生学习数学的情感.在知识应用课上，应强调数学走向生活，解决具有现实意义的生活问题，培养学生的数学建模能力.。