第五章 微分方程建模
微分方程的建模与解析解法
微分方程的建模与解析解法一、引言微分方程是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域的建模与分析问题中。
本文将介绍微分方程的建模过程，以及常见的解析解法。
二、微分方程的建模微分方程的建模通过描述问题中的变量与变量之间的关系来进行。
具体步骤如下：1. 了解问题：详细了解问题的背景和要解决的具体内容。
2. 确定变量：确定与问题相关的变量，归纳出关键变量和依赖变量。
3. 建立关系：根据问题的特点和变量之间的关系，建立微分方程。
4. 添加初始条件：在微分方程中添加相关的初始条件，这些条件旨在确定方程的具体解。
三、常见的微分方程解析解法微分方程的解析解是通过数学方法求出的解，可以明确地表示出问题的解决方案。
以下是常见的解析解法：1. 可分离变量法：对于形如dy/dx=f(x)g(y)的一阶微分方程，可以将x和y分离到方程的两边，然后分别进行积分求解。
2. 齐次方程法：对于形如dy/dx=f(x/y)的一阶微分方程，可以进行变量代换将其化为可分离变量形式的方程。
3. 线性微分方程法：对于形如dy/dx+p(x)y=q(x)的一阶线性微分方程，可以利用积分因子法求解。
4. 变量替换法：对于一些复杂的微分方程，通过适当的变量替换，可以将其化简为已知解法形式的微分方程来求解。
5. 求和法和积分法：对于高阶线性微分方程，可以通过求和法和积分法来求解特解，然后利用线性微分方程的叠加原理求得整个方程的解。
四、举例与实践为了更好地理解微分方程的建模与解析解法，我们来看一个具体的例子。
假设有一水槽中的水高度随时间变化的问题，可以建立如下微分方程：dh/dt = -k * sqrt(h)其中，h是水槽中的水高度，t是时间，k是一个常数。
使用可分离变量法，我们可以将此微分方程分离变量并进行求解：(1/√h)dh = -kdt对两边同时进行积分，得到：2√h = -kt + C1其中C1是积分常数。
通过一系列代数变换，我们可以求出水槽中水的高度h关于时间t的解析解：h = ((-kt + C1)/2)^2这个解析解可以明确地描述出水槽中水的高度随时间变化的规律。
微分方程模型的建立与求解
微分方程模型的建立与求解微分方程是自然界中许多现象的数学描述，通过建立微分方程模型可以更好地理解和预测各种现象。
本文将介绍微分方程模型的建立与求解方法。
一、微分方程模型的建立微分方程通常用来描述系统内部的变化规律，要建立微分方程模型，首先需要根据具体问题分析系统的特点，确定影响系统变化的因素，并建立相关的数学表达式。
以一个简单的弹簧振子系统为例，假设弹簧的位移为x(t)，弹簧的弹性系数为k，质量为m，外力为f(t)，则可以建立微分方程模型：$$ m\\frac{{d^2x}}{{dt^2}} + kx = f(t) $$二、微分方程模型的求解1. 解析解法对于一些简单的微分方程，可以通过解析的方法求解。
例如，对于一阶线性微分方程：$$ \\frac{{dy}}{{dx}} + P(x)y = Q(x) $$可以通过积分因子的方法求解。
2. 数值解法对于复杂的微分方程或无法求得解析解的情况，可以借助数值方法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉方法、龙格-库塔法等，通过逐步迭代逼近真实解。
3. 计算机模拟借助计算机编程，可以通过数值方法对微分方程进行求解，这在实际工程和科学研究中非常常见。
利用计算机程序，可以模拟出系统的运行状态，观察系统的响应特性。
三、实例分析以简单的振动系统为例，通过建立微分方程模型并利用数值方法进行求解，可以分析系统的振动特性。
通过调节参数值，可以观察到系统振动的变化规律，为系统设计和控制提供重要参考。
结论微分方程模型的建立与求解是数学建模中的重要一环，通过适当的模型建立和求解方法，可以更好地了解和预测系统的行为。
在实际应用中，需要综合运用解析方法、数值方法和计算机模拟，以全面分析和解决问题。
以上是关于微分方程模型的建立与求解的介绍，希望对读者有所帮助。
第五讲 微分方程模型
问 题
1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓 度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。 2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设 计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。
分 析
• 实验：对血药浓 度数据作拟合，符 合负指数变化规律 • 理论：用一室模型研 究血药浓度变化规律
c c2
问题分析
要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间 变化的规律。从实验和理论两方面着手： 在实验方面,对某人用快速静脉注射方式一次注入 该药物300mg后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得 血药浓度c(ug/ml)如下表:
t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
三、给药方案的设计
一种静脉注射的新药用于临床之前，必须设 计给药方案，即确定每次注射剂量和注射间 隔时间。
知识准备
药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不 断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在 血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称 为血药浓度。 一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室， 室内血药浓度是均匀的。快速静脉注射后，浓度立 即上升；然后迅速下降。当浓度太低时，达不到预 期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒 或副作用太强。临床上，每种药物有一个最小有效 浓度c1和一个最大有效浓度c2。设计给药方案时，要 使血药浓度保持在c1至c2之间。
第五讲
微分方程模型
一、冷却问题 二、减肥问题 三、给药方案的设计
一、冷却问题
将温度为T0=1500C物体放在温度为240C的空气 中冷却，经10min后，物体温度降为1000C问 t=20min时，物体的温度是多少？
微分方程建模方法
建立微分方程模型的方过实验检验的规律等来建立微分方程模型。
（2）微元分析法
利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系 式，与第一种方法不同的是对微元而不是直 接对函数及其导数应用规律。
（3）模拟近似法
在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象 的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复 杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现 象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从 数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再 去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模 拟某些实际现象。
动态 模型
• 描述对象特征随时间(空间)的演变过程. • 分析对象特征的变化规律. • 预报对象特征的未来性态. • 研究控制对象特征的手段.
微分 方程 建模
• 根据函数及其变化率之间的关系确定函数. • 根据建模目的和问题分析作出简化假设. • 按照内在规律或用类比法建立微分方程.
微分方程建模
在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化 率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分 方模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关 系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。
微分方程建模方法
微分方程建模方法微分方程建模是数学建模中的一个重要分支。
它通过建立描述现象的微分方程模型，利用数学工具和方法来研究和解决与该现象相关的问题。
微分方程建模的步骤包括确定问题、建立模型、求解模型和验证模型。
本文将详细介绍微分方程建模的方法。
经验模型法是一种基于已有经验和实验数据的建模方法。
它根据实验数据的分析和总结，通过适当的函数拟合和参数调整，建立与实际问题相吻合的微分方程模型。
经验模型法的优点是简单直观，适用于较为简单和复杂程度较低的问题。
例如，考虑一个物体在空气中的自由下落问题。
经验发现，物体受到的空气阻力与速度成正比，可以建立微分方程模型：$$\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=g-\frac{{kv^2}}{{m}}$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$v$为物体的速度，$k$为与物体形状和空气性质有关的常数，$g$为重力加速度。
这个模型可以进一步求解，得到物体的速度和位移随时间的变化规律。
理论模型法是一种基于物理规律和数学原理的建模方法。
它通过对问题的深入理解，运用物理学原理、工程学原理和其他学科的知识，建立与实际问题相对应的微分方程模型。
理论模型法的优点是准确性高，适用于复杂和精密度较高的问题。
例如，考虑一个物体在弹簧中的振动问题。
根据胡克定律，在弹簧恢复力和物体质量、加速度之间建立微分方程模型：$$m\frac{{d^2x}}{{dt^2}}=-kx$$其中，$x$为物体的位移，$t$为时间，$m$为物体的质量，$k$为弹簧的劲度系数。
这个模型可以求解得到物体的振动规律。
解析解法是指通过数学方法求解微分方程模型的解。
对于一些简单和常见的微分方程，可以通过积分、分离变量、变量替换等方法求得其解析解。
解析解法的优点是求解结果准确、精确，可以提供深入理解问题的信息。
但对于复杂和非线性的微分方程，往往难以求得解析解，需要借助数值方法。
数值解法是指通过数学计算机计算求解微分方程模型的解。
微分方程建模理论概要课件
04
CATALOGUE
微分方程稳定性分析
稳定性定义与分类
稳定性定义
01
对于一个微分方程的解，如果其导数在所有时间上都为非正，
则该解被称为稳定。
局部稳定性
02
如果存在一个有限的初始时间，当时间超过此初始时间时，解
的导数恒为非正，则该解被称为局部稳定。
全局稳定性
03
如果对于所有时间，解的导数都恒为非正，则该解被称为全局
电磁学中的微分方程
电场和磁场
描述电荷在电场和磁场中的运动和相互作用， 可以通过微分方程求解电场和磁场的变化规 律。
电磁波
电磁波的传播和反射等现象可以通过微分方 程描述，进而研究电磁波的特性和应用。
热力学中的微分方程
要点一
热传导
描述热量在物体中的传播和变化，可以通过微分方程求解 温度随时间和空间的变化规律。
有广泛的应用。
线性常微分方程
定义
线性常微分方程是指导数与变量之间为线性关系的常 微分方程。
解法
线性常微分方程的解法通常采用分离变量法、积分因 子法等。
应用
线性常微分方程在描述物理、工程和社会科学等领域 的问题时具有广泛的应用。
03
CATALOGUE
偏微分方程模型
一阶偏微分方程
01
定义
一阶偏微分方程是一阶微分方程或常微分方程的统称，它 的一般形式为F(x,y,y',…,y^(n)) = 0，其中F为给定的函数， x,y,y',…,y^(n)为未知函数及其各阶导数。
稳定。
线性稳定性分析
线性化
通过将非线性微分方程线性化来分析稳定性，即将非线性微分方程的解的线性 部分视为新的微分方程。
第5讲 微分方程建模
0
1-1/
1 i
i0
0
1 , 1 1 i ( ) 1 0,
t
0
t
接触数 =1 ~ 阈值
1
1 i (t )
感染期内有效接触感染的 i0小 健康者人数不超过病人数 模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例
i (t )按S形曲线增长
Logistic 模型
1 1 t 1 i 1 e 0
1
t
t=tm, di/dt 最大
tm~传染病高潮到来时刻
1 t m ln i 1 0 t i 1 ?
病人可以治愈！
(日接触率) tm
模型3
增加假设
故有公式：
y i 1 y i hf ( xi , y i ) i 0,1,2, , n - 1 y y ( x ) 0 0
此即欧拉法。
2、使用数值积分 对方程y’=f(x,y), 两边由xi到xi+1积分，并利用梯形公式，有：
y ( xi 1 ) y( xi )
x(t ) x0 e
rt
模型检验
• • • • 与早期欧洲一些地区人口统计数据吻合 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据,人口增长率r不是常数(逐渐下降)
模型2 阻滞增长模型(Logistic模型)
人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(x)
三、微分方程的解析解
求微分方程（组）的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘方程2’,…‘方程n’, ‘初始条件’, ‘自变量’)
微分方程建模.ppt
d2x dy 2
dy dt
(H
感y谢)你的dd观yx看
dy dt
ve
dx dt
22
即有
d2x dy 2
dy dt
(H
y)
ve
把式(3.1)写为 dy dt
vw
代入上式,就得到轨迹方程.这是一个二阶非
dy dx
2
1
线性微分方程,加上初值条件,则初值问题
轴指向正北方。
2019年8月21
感谢你的观看
20
当 t=0 时，导弹位于点O，敌艇位于点 A(0,H)， 其中H=120（km）。
设导弹在t时刻的位置为 P(x(t),y(t))，由题意,
2019年8月21
dx dt
2
dy dt
2
v2
感谢你的观看
(3.1)
21
2019年8月21
感谢你的观看
12
6、模型求解
• 使用各种数学方法或软件包求解数学模型。此部分应包 括求解过程的公式推导、算法步骤及计算结果。为求解 而编写的计算机程序应放在附录部分。有时需要对求解 结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、模型对数 据的稳定性或灵敏度分析等。
2019年8月21
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dt
dt
vet
x
方程(3.1),(3.3)连同初值条件
(3.2)
(3.3)
x(0) 0, y(0) 0
(3.4)
构成了一个关于时间变量t的一阶微分方程组的初值问题。
为了寻求x与y的关系,要设法消去变量t, 由式(3.2)得
微分方程模型
房室具有以下特征：它由考察对象均匀分 布而成，房室中考察对象的数量或浓度（密 度）的变化率与外部环境有关，这种关系被 称为“交换”且交换满足着总量守衡。在本 节中，我们将用房室系统的方法来研究药物 在体内的分布。在下一节中，我们将用多房 室系统的方法来研究另一问题。
单房室系统
交换 环境
内部
均匀分布
，i(t)单 s0 增。但在i(t)增加的同时，伴随地有s(t)单减。当 s(t)减少到小于等于 时， i(t)开始减小，直 至此疾病在该地区消失。
(2)如果
则： s(t ) s
r (t )
1
o
e
di ，则开始时 dt 0
五．稳定性问题
在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并 非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展 趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了 解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最 终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之 免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分 方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将 研究几个与稳定性有关的问题。
容器损失的水量为:
[ R ( R r ) ]dh
2 2
由质量守恒
[ R ( R r ) ]dh sv(t )dt
2 2
其中
v(t ) 0.6 2gh(t)
从而建立方程:
0.6s 2 gh dh 2 2 dt [R (R r) ]
解得
0.6s 2 gh 14 R T dh 2 2 R [R (R r) ] 9s 2 g
微分方程 模型
• 微分方程建模
对于某种现象或提出的问题,通过建立微分方程 来解释或解决.通常可分为两大类:
05 第五节 数学建模—微分方程的应用举例
第十节 数学建模—微分方程的应用举例微分方程在几何、力学和物理等实际问题中具有广泛的应用，本节我们将集中讨论微分方程在实际应用中的几个实例. 读者可从中感受到应用数学建模的理论和方法解决实际问题的魅力.分布图示衰变问题★ 例1 ★ 例2 ★ 逻辑斯谛方程★ 环境污染的数学模型 ★ 例3 ★ 自由落体问题内容要点一、 衰变问题二、 逻辑斯谛方程三、 环境污染的数学模型 四、 自由落体问题例题选讲衰变问题例1（E01）镭、铀等放射性元素因不断放射出各种射线而逐渐减少其质量，这种现象称为放射性物质的衰变. 根据实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t 的质量.解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的质量，则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度，依题意得.kx dtdx-= (1) 它就是放射性元素衰变的数学模型，其中0>k 是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异.方程右端的负号表示当时间t 增加时，质量x 减少.易求出方程(1)的通解为.ktCex -=若已知当0t t =时，,0x x =代入通解kt Ce x -=中可得,00kt ex C =则可得到特解,)(00t t k e x x --=它反映了某种放射性元素衰变的规律.注：物理学中，我们称放射性物质从最初的质量到衰变为该质量自身的一半所花费的时间为半衰期，不同物质的半衰期差别极大.如铀的普通同位素)(238U 的半衰期约为50亿年；通常的镭)(226Ra 的半衰期为1600年，而镭的另一同位素Ra 230的半衰期仅为1小时.半衰期是上述放射性物质的特征，然而半衰期却不依赖于该物质的初始质量，一克Ra 226衰变成半克所需要的时间与一吨Ra 226衰变成半吨所需要的时间同样都是1600年，正是这种事实才构成了确定考古发现日期时使用的著名的碳－14测验的基础.例2 (E02) 碳14(C 14)是放射性物质，随时间而衰减，碳12是非放射性物质.活性人体因吸纳食物和空气，恰好补偿碳14衰减损失量而保持碳14和碳12含量不变，因而所含碳14与碳12之比为常数.已测知一古墓中遗体所含碳14的数量为原有碳14数量的80％，试求遗体的死亡年代.解 放射性物质的衰减速度与该物质的含量成比例，它符合指数函数的变化规律.设遗体当初死亡时C 14的含量为0p ,t 时的含量为),(t f p =于是，C 14含量的函数模型为,)(0kt e p t f p ==其中),0(0f p =k 是一常数.常数k 可以这样确定：由化学知识可知，C 14的半衰期为5730年，即C 14经过5730年后其含量衰减一半，故有,2573000k e p p = 即.215730k e =两边取自然对数，得,69315.021ln5730-≈=k 即.0001209.0-≈k 于是，C 14含量的函数模型为.)(0001209.00t e p t f p -==由题设条件可知，遗体中C 14的含量为原含量0p 的80％，故有 ,8.00001209.000t e p p -= 即.8.00001209.0te -=两边取自然对数，得,0001209.08.0ln t -= 于是 .184********.022314.00001209.08.0ln ≈--≈-=t由此可知，遗体大约已死亡1846年.二、 逻辑斯谛方程:逻辑斯谛方程是一种在许多领域有着广泛应用的数学模型, 下面我们借助树的增长来建立该模型.一棵小树刚栽下去的时候长得比较慢, 渐渐地, 小树长高了而且长得越来越快, 几年不见, 绿荫底下已经可乘凉了; 但长到某一高度后, 它的生长速度趋于稳定, 然后再慢慢降下来. 这一现象很具有普遍性. 现在我们来建立这种现象的数学模型.如果假设树的生长速度与它目前的高度成正比, 则显然不符合两头尤其是后期的生长情形, 因为树不可能越长越快; 但如果假设树的生长速度正比于最大高度与目前高度的差, 则又明显不符合中间一段的生长过程. 折衷一下, 我们假定它的生长速度既与目前的高度,又与最大高度与目前高度之差成正比.设树生长的最大高度为H (m), 在t (年)时的高度为h (t ), 则有)]()[()(t h H t kh dtt dh -= (8.2) 其中0>k 是比例常数. 这个方程为Logistic 方程. 它是可分离变量的一阶常数微分方程.下面来求解方程(8.2). 分离变量得,)(kdt h H h dh=-两边积分,)(⎰⎰=-kdt h H h dh得 ,)]ln([ln 11C kt h H h H+=-- 或,21k H t H C k H t e C e hH h==-+ 故所求通解为,11)(22kHtkHt kHt CeH e C He C t h -+=+= 其中的⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>==-0112HC e C C C 是正常数. 函数)(t h 的图象称为Logistic 曲线. 图8-8-1所示的是一条典型的Logistic 曲线, 由于它的形状, 一般也称为S 曲线. 可以看到, 它基本符合我们描述的树的生长情形. 另外还可以算得.)(lim H t h t =+∞→这说明树的生长有一个限制, 因此也称为限制性增长模式.注: Logistic 的中文音译名是“逻辑斯谛”. “逻辑”在字典中的解释是“客观事物发展的规律性”, 因此许多现象本质上都符合这种S 规律. 除了生物种群的繁殖外, 还有信息的传播、新技术的推广、传染病的扩散以及某些商品的销售等. 例如流感的传染、在任其自然发展(例如初期未引起人们注意)的阶段, 可以设想它的速度既正比于得病的人数又正比于未传染到的人数. 开始时患病的人不多因而传染速度较慢; 但随着健康人与患者接触, 受传染的人越来越多, 传染的速度也越来越快; 最后, 传染速度自然而然地渐渐降低, 因为已经没有多少人可被传染了.下面举两个例子说明逻辑斯谛的应用.人口阻滞增长模型 1837年, 荷兰生物学家V erhulst 提出一个人口模型00)(),(y t y by k y dtdy=-= (8.3)其中b k ,的称为生命系数.我们不详细讨论这个模型, 只提应用它预测世界人口数的两个有趣的结果.有生态学家估计k 的自然值是0.029. 利用本世纪60年代世界人口年平均增长率为2%以及1965年人口总数33.4亿这两个数据, 计算得,2=b 从而估计得:(1)世界人口总数将趋于极限107.6亿. (2)到2000年时世界人口总数为59.6亿.后一个数字很接近2000年时的实际人口数, 世界人口在1999年刚进入60亿. 新产品的推广模型 设有某种新产品要推向市场, t 时刻的销量为),(t x 由于产品性能良好, 每个产品都是一个宣传品, 因此, t 时刻产品销售的增长率,dtdx与)(t x 成正比, 同时, 考虑到产品销售存在一定的市场容量N , 统计表明dtdx与尚未购买该产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比, 于是有)(x N kx dtdx-=(8.4)其中k 为比例系数. 分离变量积分, 可以解得kNtCeNt x -+=1)( (8.5)由,)1()1(,)1(2322222kNt kNt kNt kNt kNt Ce Ce e N Ck dt x d Ce ke CN dt dx -----+-=+= 当N t x <)(*时, 则有,0>dt dx 即销量)(t x 单调增加. 当2)(*N t x =时, ;022=dt x d 当2)(*N t x >时, ;022<dtxd 当2)(*N t x <时, 即当销量达到最大需求量N 的一半时, 产品最为畅销, 当销量不足N 一半时, 销售速度不断增大, 当销量超过一半时, 销售速度逐渐减少.国内外许多经济学家调查表明. 许多产品的销售曲线与公式(8.5)的曲线(逻辑斯谛曲线)十分接近. 根据对曲线性状的分析, 许多分析家认为, 在新产品推出的初期, 应采用小批量生产并加强广告宣传, 而在产品用户达到20%到80%期间, 产品应大批量生产; 在产品用户超过80%时, 应适时转产, 可以达到最大的经济效益.三、环境污染的数学模型随着人类文明的发展,环境污染问题已越来越成为公众所关注的焦点.我们将建立一个模型,来分析一个已受到污染的水域,在不再增加污染的情况下,需要经过多长的时间才能将其污染程度减少到一定标准之内.记()t Q Q =为体积为V 的某一湖泊在时刻t 所含的污染物的总量.假设洁净的水以不变的流速r 流入湖中,并且湖水也以同样的流速流出湖外,同时假设污染物是均匀地分布在整个湖中,并且流入湖中洁净的水立刻就与原来湖中的水相混合.注意到Q 的变化率= — 污染物的流出速度,等式右端的负号表示Q 是减少的,而在时刻t ,污染物的浓度为VQ.于是 污染物的流出速度=污水外流的速度⨯浓度=VQr ⋅.这样,得微分方程 Q Vrdt dQ -= 又设当0=t 时,()00Q Q =,解得该问题的特解为Vrte Q Q -=0.污染量Q 随时间t 的变化如下图t Q 0Q 0（污染量）Q =Q 0e -rt/V例3（E03） 若有一已受污染的湖泊,其体积为6109.4⨯m 3,洁净的水以每年3310158m⨯的流速流入湖中,污水也以同样的流速流出.问经过多长时间,可使湖中的污染物排出90%?若要排出99%,又需要多长时间?解:因为03225.0109.41015833≈⨯⨯=V r t e Q Q 03225.00-=所以,当有90%的污染物被排出时,还有10%的污染物留在湖中, 即01.0Q Q =,代入上式,得 te Q Q 03225.0001.0-=解得 ()7203225.01.0ln ≈-=t (年) 当有99%的污染物被排出时,剩余的001.0Q Q =,于是t e Q Q 03225.00001.0-=,解得()14303225.001.0ln ≈-=t (年).自由落体问题例4（E04）一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由静止开始落向地面. 求它落到地面时的速度和所需的时间(不计空气阻力).解 取连结地球中心与该物体的直线为y 轴，其方向铅直向上，取地球的中心为原点O (如图).设地球的半径为,R 物体的质量为,m 物体开始下落时与地球中心的距离为),(R l l >在时刻t 物体所在位置为),(t y y =于是速度为.)(dtdyt v =由万有引力定律得微分方程 ,222y kmM dt y d m -= 即 ,222y kMdt y d -=其中M 为地球的质量，k 为引力常数.因为当R y =时，g dtyd -=22 (取负号是因此时加速度的方向与y 轴的方向相反).,,22gR kM RkM g ==代入得到,2222ygR dt y d -=初始条件为 ,0l y t ==.00='=t y 先求物体到达地面时的速度.由,v dtdy=得 ,22dydvv dt dy dy dv dt dv dty d =⋅== 代入并分离变量得 dy ygR vdv 22-= .2122C y gR v += 把初始条件代入上式，得 ,221gR C -=于是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=l y gR v 11222 .112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=l y g R v 式中令,R y =就得到物体到达地面时得速度为.)(2lR l gR v --= 再求物体落到地面所需的时间.,112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==l y g R v dt dy,0l y t == 分离变量得 .21dy yl yg l R dt --=由条件,0l y t ==得.02=C.a r c c o s 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l y l y ly g l R t 在上式中令,R y =便得到物体到达地面所需得时间为.arccos 212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=l R l R lR g l R t。
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1 第五章 微分方程建模(动态模型) 当我们描述实际对象的某些特性随时间(或空间)而演变的过程，分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立对象的动态模型。建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，求出方程的解并将结果翻译回实际对象，就可以进行描述、分析或预测了。我们在第二章第一节建立的人口指数增长模型和阻滞增长模型，大致就是这个过程。 事实上在微分方程课程中，解所谓应用题时我们已经遇到简单的建立动态模型问题，例如“一质量为m的物体自高h处自由下落，初速是零，设阻力与下落速度的平方成正比，比例系数为k，求下落速度随时间的变化规律。”又如“容器内有100公升盐水，内含10千克盐，今以每分钟3公升的速度从一水管放进净水，以每分钟2公升的速度从另一管抽出盐水，设容器内盐水浓度始终是均匀的，求容器内含盐量随时间变化的规律。”本章讨论的动态模型与这些问题的主要区别是，所谓微分方程应用题大多是物理或几何方面的典型问题，假设条件已经给出，只须用数学符号将已知规律表示出来，即可列出方程，求解的结果就是问题的答案，答案是唯一的，已经确定的。而本章的模型主要是非物理领域的实际问题，要分析具体情况或进行类比才能给出假设条件。作出不同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。 2
第一节 传染病模型 随着卫生设施的改善、医疗水平的提高以及人类文明的不断发展，诸如霍乱、天花等曾经肆虐全球的传染性疾病已经得到有效的控制。但是在世界的某些地区，特别是贫穷的发展中国家，还不时出现传染病流行的情况。与此同时，一种更为险恶的传染病—爱滋病，则跨国越界在既包括发达国家也包括发展中国家的更大范围内蔓延。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。 人们不可能去做传染病传播的试验以获取数据，从医疗卫生部门得到的资料也是不完全和不充分的，所以通常主要是依据机理分析的方法建立模型。不同类型传染病的传播过程有其各自不同的特点，弄清这些特点需要相当多的病理知识，这里不可能从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建立几种模型。 为简单起见本节假定，在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，既不考虑生死，也不考虑迁移。并且时间以天为计量单位。 模型(S模型) 假设条件为 1.人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类(取两个词的第1个字母，称之为S模型)．以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占的比例分别记作)(ts和)(ti。 2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称日接触率。当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人。 根据假设，每个病人每天可使)(ts个健康者变为病人，因为病人数为)(tiN，所以每天共有)()(titsN个健康者被感染，于是Nsi就是病人数
Ni的增加率，即有
Nsidt
diN (1)
又因为 1)()(tits (2) 再记初始时刻)0(t病人的比例为0
i，则
0)0()1(iiiidtdi (3) 方程(3)是1.4节中出现过的Logistic模型。它的解为 3
teiti)11(11)(0 (4) )(ti～t和
dt
di～i的图形如图5-1所示。
1. )(ti～t的曲线 2. dtdi～i曲线 图5-1
由(3)、(4)式及图5-1可知，第一，当21i时dtdi达到最大值mdt
di)(，这个时
刻为
)11ln(01itm
(5)
这时病人增加得最快，预示着传染病高潮的到来。是医疗卫生部门关注的时刻。m
t与成反比，因为日接触率表示运地区的卫生水平，越小卫生水
平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来。第二，当t时1i，即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况．其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。 为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设，下面一个模型中我们讨论病人可以治愈的情况。 模型( SS模型) 有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，所以这个模型称SS模型． SS模型的假设条件1、2与S模型相同，增加的条件为 3.病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率。病人治愈后成为仍可被感染的健康者。显然1是这种传染病的平均传染期。 4
不难看出，考虑到假设3，S模型的(1)式应修正为
iNisNdt
diN (6)
(2)式不变，于是(3)式应改为
0)0()1(iiiiidtdi (7) 方程(7)的解可表为
101)(0)1])1([)(iteitit（ (8) 定义 (9)
注意到和1的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称接触数。由(8)、(9)式容易得到，当t时
10111
)(i (10)
根据(8) ～(10)式可以画出)(ti～t的图形(图5-2)
1.1时的)(ti～t曲线 2. 1时的)(ti～t曲线
图5-2 5
接触数1是一个阈值。当1时病人比例)(ti越来越小，最终趋于零。这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变成的病人数不超过原来病人数的缘故；当1时)(ti的增减性取决于0
i的大小(见图5-2)，但其极限值
11)(i随的增加而增加(试从的含义给以解释)。
S模型可视为本模型的特例。(请读者考虑它相当于本模型中或取何
值的情况。) 6 第二节 经济增长模型 发展经济、增加生产有两个重要因素，一是增加投资(扩大厂房、购买设备、技术革新等)，二是雇佣更多的工人，恰当调节投资增长和劳动力增长的关系，使增加的产量不致被劳动力的增长抵消，劳动生产率才能不断提高。本节通过介绍一个描述生产量、劳动力和投资之间变化规律的模型，来讨论这些问题。 1.道格拉斯(Douglas)生产函数 用)(tQ、)(tL和)(tK分别表示某一地区、部门或企业在时刻t的产量、劳动力和资金，时间以年为单位。因为人们关心的是它们的增长量不是绝对量，所以定义
)0()()(QtQtiQ，)0()()(LtLtiL，)0()()(KtKtiK (1)
分别为产量指数、劳动力指数和投资指数。它们的初始值)0(t为1。在正常的经济发展过程中这3个指数都是随时间增长的，而)(tiQ的增长又取决于)(tiL和)(tiK的增长速度。但是它们之间的关系难以从机理分析得到，只能
求助于统计数据。表5-1是美国马萨诸塞州从1890年到1926年上述3个指数的数据(以1899年为0t)。 表5-1 美国马萨诸塞州1890～1926年Ki，Li，Qi的数据 t )(tiK )(tiL )(tiQ t )(tiK )(ti
L )(ti
Q
-9 0.95 0.78 0.72 10 2.05 1.43 1.60 -8 0.96 0.81 0.78 11 2.51 1.58 1.69 -7 0.99 0.85 0.84 12 2.63 1.59 1.81 -6 0.96 0.77 0.73 13 2.74 1.66 1.93 -5 0.93 0.72 0.72 14 2.82 1.68 1.95 -4 0.86 0.84 0.83 15 3.24 1.65 2.01 -3 0.82 0.81 0.81 16 3.24 1.62 2.00 -2 0.92 0.89 0.93 17 3.61 1.86 2.09 -1 0.92 0.91 0.96 18 4.10 1.93 1.96 0 1.00 1.00 1.00 19 4.36 1.96 2.20 1 1.04 1.05 1.05 20 4.77 1.95 2.12 2 1.06 1.08 1.18 21 4.75 1.90 2.16 3 1.16 1.18 1.29 22 4.54 1.58 2.08 4 1.22 1.22 1.30 23 4.54 1.67 2.24 5 1.27 1.17 1.30 24 4.58 1.82 2.56 6 1.37 1.30 1.42 25 4.58 1.60 2.34 7 1.44 1.39 1.50 26 4.58 1.61 2.45 8 1.53 1.47 1.52 27 4.54 1.64 2.58 9 1.57 1.31 1.46
为了从数量关系上分析这些数据，定义新变量