山西省太原市2020年高三年级模拟试题(一)文科数学试题
太原市2020年高三年级模拟试题（一）
数学试卷（文科）
（考试时间：下午3：00——5：00）
注意事项：
1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1至4页，第Ⅱ
卷5至8页。
2．回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.若全集，集合，，则=（ ）
A. B. C. D.
2.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取
值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.已知等差数列中，前5项和，则（ ）
A.16 B.17 C.18 D.19
4.已知平面向量，若与垂直，则（ ）
A. B.2 C. D.1
5.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正
方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，
其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，
故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取
4,3,2,1,0U3,2,1A
4,2BACB
U
4,2,04,3,14,3,2
4,3,2,0
imm)2(1
)1,()21(，),2()1,(),2(
na3,2525aS9
a
)3,1(),2,4(babab
21
自阴影部分的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.某程序框图如图所示，若,则该程序运行后输出的结果是（ ）
A. B. C. D.
7.函数的图象大致为（ ）
8.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为（ ）
A.3 B.5 C.8 D.11
165321116732
13
4a
47596117
13
x
xxf1
)(
2
1236x
yx
yx
yxz2
9.设，若对任意实数x都有，则满足条件的有序
实数对的个数为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
10．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如
图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（ ）
A. B. C. D.
11.过抛物线上点作三条斜率分别为的直线，与抛物线
分别交于不同与P的点A，B，C.若，则下列结论正确的是（ ）
A.直线AB过定点 B.直线AB斜率一定 C.直线BC斜率一定 D.直线AC斜率一定
12.函数的定义域为为其导函数.若且
，则的解集为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须
作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.双曲线的实轴长是 .
14.已知函数是偶函数，则=
)2,0[,bRa
)sin()33sin(baxx
),(ba
33234
xy42)2,1(P321kkk、、321lll、、
1-0
3221
kkkk，
)(xf)(),2,(xfxexxfxfx1)()()2(
0)0(f0)(xf
)0,()1,0()2,1()2,0(
82
22
yx
)()14(log)(4Rkkxxf
x
k
15.在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，
活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是 .
16.我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列中，
.用表示它的前n项和，若已知，那么
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考
题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题；共60分．
17．（本小题满分12分）
手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），
绘制出如下频率分布直方图：
（Ⅰ）求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；
（Ⅱ）若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法
选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间的
概率.
n
a
)(,1,1*1221NnaaaaannnnSmS
2020
2020
a
]170,150(
18.（本小题满分12分）
已知△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，
.
（Ⅰ）求C；
（Ⅱ）若的面积为，求的值.
19.（本小题满分12分）
如图（1），在等腰直角△ABC中，，点D为AB中点，将△ADC
沿DC折叠得到三棱锥，如图（2），其中，点M，N，G分别为
的中点.
（Ⅰ）求证：MN⊥平面DCG；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
20.（本小题满分12分）
已知函数
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
21cos)6sin(3
2
cos2CcC
ABCc,3
233ba
11
4,90ABACB
BCDA160
1
DBA
BABCCA
11
、、
DCAG
1
xexfxcos)(
)(xfy))0(,0(f
（Ⅱ）证明：在上有且仅有2个零点.
21.（本小题满分12分）
椭圆E的焦点为和，过的直线交E于A，B两点，过A作与y轴
垂直的直线，又知点，直线BH记为，与交于点C.设，已知
当时，.
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求证：无论如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值.
（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的
第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），已知点Q
（6，0），点P是曲线上任意一点，点M满足，以坐标原点为极点，x轴正
半轴为极轴建立极坐标系．
（I）求点M的轨迹的极坐标方程；
（Ⅱ）已知直线与曲线交于A，B两点，若，求k的值
23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲]
已知函数.
（I）若的最小值为1，求实数a的值；
)(xf
),2(
)0,1(1F)0,1(2F2F1l
2l)0,2(H3l2l3lBFAF22
2
1
BFAB
1
C
sin3cos3y
x
1
C
MQPM2
2C2
C
kxyl:
2
C
ABOA4
1)(,2)(xxgaxxf
)(2)(xgxf
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+g（x）<1的解集包含，求实数a的取值范围.
]1,
2
1
[
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试试题三文科数学含解析.docx
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试试题三 文科数学【含解析】第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的.1.已知集合 A = |x|x 2 -x-2<0j , 3 = {x|2x-l>0},则 A\JB=（ ）A. （一1, + 3）B. g'l] C ・[扑]g+S【答案】A 【解析】【分析】 确定出集合A, 3中的元素后，由并集定义计算. 【详解】由题意a = {x\-\<x<2}, B = {x\x>^}, A A|JB = {X |X >-1）. 故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键.2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件.为了解它们的产品质 量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为〃的样本进行调查，其中从乙车间的产品中抽取 了 4 件，贝!]〃=（）故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了运算求解能力，牢记分层抽样的性质是解题关键，属于基础 题.3.设复数z 满足|z-l| = |z-i| （i 为虚数单位），z 在复平面内对应的点为（X, V ）,则（）C. (x-l)2+(y-l)2 =1D.(x + 1)- +(y+ 1)~ = 1【答案】B 【解析】 【分析】A. 9【答案】D【解析】B. 10C. 12D. 13【分析】由题意结合分层抽样的性质可得 -------------120 + 80 + 60 480 即可得解.【详解】由题意n120 + 80 + 60 4 —,解得 n — 13. 80 A . y = -x^z = x+yi(x,yeR),代入已知等式化简即可.^z = x+yi(x,yeR), ■: |z-l| = |z-i|, \x+yi-]\ = \x+yi-i\,即(x-1)2 + ^=亍+(1)2,化简得y = x.故选：B.【点睛】本题考查复数模的运算，直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得.也可由模的几何意义求解.4.已知等差数列｛弓｝的前〃项和为S R,且a2 = -2, tz8 = 10 ,则S9 =( )A. 45B. 42C. 25D. 36【答案】D【解析】【分析】由等差数列的性质可知％ +% =。
山西省太原市2020届高三高考模拟考试试题二 数学文【含解析】
山西省太原市2020届高三高考模拟考试试题二 数学文【含解析】一、选择题1.已知集合()(){}210A x x x =-+<，{}11B x x =-≤≤，则AB =（ ） A. {}11x x -<≤ B. {}11x x -≤≤ C. {}12x x -<≤ D. {}12x x -≤≤ 【答案】A【解析】【分析】计算集合A ，根据交集的定义，与集合B 进行交集运算即可. 【详解】{}{}(2)(1)012A x x x x x =-+<=-<<,{}11B x x =-≤≤ {}11A B x x ⋂=-<≤故选：A【点睛】本题考查集合的运算，涉及一元二次不等式的解及集合交集的计算，考查计算能力，属于基础题2.设复数z 满足()1i z i -⋅=，则z =（ ） 22 C. 2 D. 12【答案】B【解析】【分析】 先求出复数z ，然后利用复数模的计算公式求复数的模.【详解】由()1i z i -⋅=，有()()()111112i i i i z i i i ⋅+-+===--+ 所以22112222z ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】本题考查了复数的运算性质和复数模的计算，在求解z 时，用到分母实数化，这是本题计算的关键步骤，要熟练掌握，属于基础题型.3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22S =，36S =-，则5S =（ ）A. 18B. 10C. -14D. -22 【答案】D【解析】【分析】由求和公式可得关于1a 和q 的值，再代入求和公式可得.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，显然1q ≠，由求和公式可得()212121a q S q -==-①，()313161a q S q -==--②②①可得3221163112q q q q q -++-===--+，解得2q =-， 代回①可得12a =-，()()()5515212122112a qS q ⎡⎤----⎣⎦∴===---- 故选D ．【点睛】本题考查等比数列的求和公式，属基础题 ．4.已知5log 2a =，0.25b =，0.20.5c =，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】B【解析】【分析】先将a ，b ，c 的大小与比较，得到1,1,1b a c ><<，再对a ，c 进行变形，判断a ，c 之间的大小即可.【详解】因为55log 2log 51a =<=，0.20551=>=b ，0.200.50.51=<=c ， 而522111log 2log 5log 42==<=a ，150.25110.5222⎛⎫===> ⎪⎝⎭c ， 所以a c <，所以a c b <<.故选：B【点睛】本题主要考查指、对、幂比较大小，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.5.下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.()modm n N ≡表示正整数n 除以正整数m 的余数为N ，例如()104mod6≡.执行该程序框图，则输出的n 等于（ ）A. 11B. 13C. 14D. 17【答案】D【解析】【分析】 根据程序框图依次执行循环，直至跳出循环，输出结果.【详解】()()11,112mod3,113mod4n =≡≡继续执行循环：()12,120mod3,n =≡继续执行循环：()13,131mod3,n =≡继续执行循环：()()14,142mod3,142mod4n =≡≡继续执行循环：()15,150mod3,n =≡继续执行循环：()16,161mod3,n =≡继续执行循环：()()17,172mod3,171mod4n =≡≡跳出循环，输出17n =故选：D【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.6.已知sin （π4x -）14=，则sin2x 的值为（ ） A. 58 B. 68 C. 78 D. 38【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式以及二倍角余弦公式求解.【详解】设4x y π-=,则1sin 4y =，217sin2sin2212124168x y cos y sin y π⎛⎫=-==-=-⨯= ⎪⎝⎭,选C. 【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析判断能力，属基础题.7.函数()()1ln 1f x x x =-+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设()1ln ,0=-->f x x x x ，用导数法可得ln 1x x <-，从而有()ln 1,1+<>-x x x ，可得()0f x >确定选项【详解】设()1ln ,0=-->f x x x x ，所以()11f x x'=-， 当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()()10f x f >=，所以ln 1x x <-，所以()ln 1,1+<>-x x x ，所以()()10ln 1=>-+f x x x ，排除B ，C ，D. 故选A【点睛】本题主要考查由函数的解析式识别函数图象，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.8.圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生N 人，让每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，再统计出a ，b ，1能构造锐角三角形的人数M ，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是( ) A. 4M N B. ()4N M N - C. 2M N N + D. 42M N N+ 【答案】B【解析】【分析】首先求出0＜a ＜1，0＜b ＜1，构成的区域面积，然后利用余弦定理求出满足是锐角三角形所构成的区域，然后利用几何概型—面积比即可求解.【详解】学校共有学生N 人，每人随机写出一对小于1的正实数a ，b ，得到N 个实数对（a ，b ），因为0＜a ＜1，0＜b ＜1，所以N 个实数对（a ，b ）都在边长为1的正方形AOBC 内，如图所示：若a ，b ，1能构造锐角三角形，因为1是最长边，所以1所对的角为锐角，所以1a b +>，22102a b ab+-＞，即a 2+b 2＞1，1a b +> 所以N 对实数对落在单位圆x 2+y 2=1外的有M 对， 由几何概率的概率公式可得：21111411M N π⨯-⨯==⨯114π-， 所以π()4N M N -=，故选：B .【点睛】本题考查了几何概型—面积比，几何概型的应用，解题的关键是求出满足条件的事件所构成的区域面积，属于基础题.9.已知,a b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +⊥-，且2a b a b +=-，则cos θ=（ ）A. 12B. 35C. 12-D. 3 【答案】B【解析】【分析】由()()a b a b +⊥-可得a b =，再由2a b a b +=-两边平方可得235a b a ⋅=，代入公式cos a b a b θ⋅=⋅可得答案.【详解】由()()a b a b +⊥-，得()()0a b a b +⋅-=，可得220a b -=，即a b =. 由2a b a b +=-，可得224a b a b +=-，即()2222+242a a b b a a b b ⋅+=-⋅+整理得235a b a ⋅=22335cos 5a a b a ab θ⋅===⋅ 故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.10.过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB 的面积为42|AB |=( )A. 2B. 4C. 23D. 8 【答案】D【解析】【分析】设直线l 的方程为x =ty +1，将直线与抛物线联立，利用韦达定理以及弦长公式表示出|AB |，根据三角形的面积求出|y 1﹣y 22.【详解】抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0），可设直线l 的方程为x =ty +1，代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |21t =+y 1﹣y 2|21t =+221212 ()41y y y y t +-=+21616t +△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 22 21616t +=2t =±1，则|AB |11=+ 1616+=8，故选：D .【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系、弦长公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.11.对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B【解析】【分析】根据题意，先得到()cosx sinx cosx f x sinx sinx cosx ≥⎧=⎨<⎩，，，作出函数的图像，结合函数图像，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx ≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为21,2⎡-⎢⎣⎦，①错误； 函数()f x 的最小正周期是2π，③错误；当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数与余弦函数的图像和性质即可，属于常考题型.12.三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，△PAC 为等边三角形，二面角P AC B --的余弦值为6-三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为8π.则三棱锥体积的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 12D. 13【答案】D【解析】【分析】由已知作出图象，找出二面角P AC B --的平面角，设出AB BC AC ，，的长，即可求出三棱锥P ABC -的高，然后利用基本不等式即可确定三棱锥体积的最大值（用含有AC 长度的字母表示），再设出球心O ，由球的表面积求得半径，根据球的几何性质，利用球心距，半径，底面半径之间的关系求得AC 的长度，则三棱锥体积的最大值可求. 【详解】如图所示，过点P 作PE ⊥面ABC ，垂足为E ，过点E 作ED AC ⊥交AC 于点D ，连接PD ， 则PDE ∠为二面角P AC B -的平面角的补角，即有63cos PDE ， 易知AC ⊥面PDE ，则AC PD ⊥，而△PAC 为等边三角形，∴D 为AC 中点， 设22AB a BC b AC a b c ，，，则3PE PDsin PDE =∠=c 32c =， 故三棱锥P ABC -的体积为：1132V ab =⨯2231121212224c a b c abc c +⨯=≤⨯=， 当且仅当2a b ==时，体积最大，此时B D E 、、共线. 设三棱锥P ABC -的外接球的球心为O ，半径为R ，由已知，248R ππ=，得2R =.过点O 作OF PE ⊥于F ，则四边形ODEF 为矩形， 则22()2c OD EF ==- 362ED OF PDcos PDE ==∠==，2c PE =， 在Rt △PFO 中22222()()(2())2222c c c =+-，解得2c = ∴三棱锥P ABC -的体积的最大值为：332124243c ==. 故选：D.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的求法与三棱锥外接球的表面积的求法，涉及二面角的运用，基本不等式的应用，以及球的几何性质的应用，属于难题.二、填空题13.若曲线()x f x mxe n =+在()()1,1f 处的切线方程为y ex =，则m n +=__________ 【答案】12e + 【解析】【分析】先将1x =代入切线方程求出切点坐标，然后代入曲线方程得m ，n 的一个方程①，然后求出曲线在1x =处的导数，令其等于e ，得另一个关于m ，n 的一个方程②，联立①②求解即可.【详解】解：将1x =代入y ex =，得切点为()1,e ，∴e me n =+①，又()()1x f x me x '=+，∴()12f me e '==，12m =②. 联立①②解得：12m =，2e n =， 故11222e e m n ++=+=. 故答案为：12e +. 【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.14.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 是双曲线上一点，若12PF F △为等腰三角形，12120PF F ∠=︒，则双曲线的离心率为______. 13+【解析】 【分析】在12PF F △中利用余弦定理可得2||PF ，再利用双曲线的定义可得,a c 关系，即可得到答案； 【详解】12PF F △为等腰三角形，12120PF F ∠=︒，∴2222221||(2)(2)2(2)(2)()12||232PF c c c c c PF c =+-⋅⋅⋅-=⇒=，∴223113223c c c a e a ⇒===--=， 故答案为：13+【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.15.已知ABC 中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，6a c +=，sin sin 1cos 3cos B AB A=+-，则ABC面积的最大值是______. 【答案】22【解析】 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出b 的值，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式及基本关系式的应用求出结果. 【详解】解：因为sin sin 1cos 3cos B AB A=+-，所以sin (3cos )sin (1cos )B A A B -=+， 整理得3sin sin cos sin sin cos B B A A A B -=+,所以3sin sin cos sin sin cos sin()sin sin sin B B A A A B A B A A C =++=++=+，由正弦定理得，3b a c =+， 因为 6a c +=，所以2b =，因为6a c +=，所以6a c =+≥2ac ，整理得ac ≤9，（当且仅当3a c ==时等号成立），所以2222()2416cos 22a c b a c ac ac B ac ac ac+-+---===， 所以24sin 1cos 216B B ac ac=-=- 所以1421622162ABCSac ac ac ac=⨯-=-2291622⨯-= 当且仅当3a c ==时等号成立， 所以ABC 面积的最大值为22 故答案为：22【点睛】此题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理和三角形的面积公式的应用，基本不等式的应用，考查运算能力和转换能力，属于中档题.16.中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分6场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为()*,,,,,a b c a b c a b c N >>∈，选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都为11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：①每场比赛第一名得分4a =分； ②甲可能有一场比赛获得第二名； ③乙有四场比赛获得第三名； ④丙可能有一场比赛获得第一名. 则以上说法中正确的序号是______. 【答案】③ 【解析】 【分析】根据总分得到8a b c ++=，根据甲得分得到5a ≥，计算5a =，2b =，1c =，得到每个选手的得分情况，得到答案.【详解】根据题意：()626111148a b c ++=++=，故8a b c ++=，88215a c b =--≤--=，甲不是全部得到第一，故626a >，故133a >，即5a ≥，故5a =，2b =，1c =. 故甲有5个第一，0个第二，1个第三；乙有1个第一，1个第二，4个第三；丙有0个第一，5个第二，1个第三.对比选项知：③正确. 故答案为：③.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的推理能力. 三、解答题17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足332n n S a n =+-.（1）求证：数列{}1n a -是等比数列；（2）若()()()31323log 1log 1...log 1n n b a a a =-+-++-，1=n nc b .求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】（1）证明见解析；（2）21n nT n =+ 【解析】 【分析】（1）由已知条件可得132n n a a -=-，给等式两边同时减1得，1311n n a a ，从而可证得数列{}1n a -是以3为公比，3为首项的等比数列；（2）由（1）可求得13nn a -=，从而可求出(1)2n n n b +=，所以()211211n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后利用裂项求和的方法可求得n T .【详解】解：（1）当1n =时，1113132S a a ==+-，得14a =， 当2n ≥时，()113132n n S a n --=+--， 则1133122n n n n n a S S a a --=-=-+，即132n n a a -=-，∴1311n na a ，∴数列{}1n a -是以113a -=为首项，公比为3的等比数列. （2）由（Ⅰ）得13nn a -=，∴()()()()313231log 1log 1...log 1123 (2)n n n n b a a a n +=-+-++-=++++=， ∴()1211211n n c b n n n n ⎛⎫===- ⎪++⎝⎭， ∴111111221 (2233411)n n T n n ⎛⎫=-+-+-++-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】此题考查了由递推式证明等比数列，裂项求和的方法，属于中档题.18.按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径d 的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位：mm ）：d[18,20)[20,22) [22,24) [24,26) [26,28)等级 三级品 二级品一级品 特级品特级品 频数 1m 29n7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个. （1）估计这批水果中特级品的比例；（2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案：方案A ：以6.5元/斤收购；方案B ：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋.用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.【答案】（1）这批水果中特级品的比例为58%；（2）方案B 种植户的收益更高，详见解析. 【解析】 分析】（1）由题意结合分层抽样的特征可得1+297100762292m n n +++=⎧⎪+-⎨=⎪⎩，解方程求得n =51后，即可得解；（2）分别计算出选择两个方案的的收益，比较大小即可得解.【详解】（1）由题意1+297100762292m n n +++=⎧⎪+-⎨=⎪⎩，解得m =12，n =51，所以特级品的频率为51+7=0.58100， 所以可估计这批水果中特级品的比例为58%；（2）选用方案A ，种植户的收益为20000 6.5130000⨯=（元）； 选用方案B ，由题意可得种植户的收益为：1112295820000203+4+5+820100100100100⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭132000=； 由132000130000>可得选择B 方案种植户的收益更高.【点睛】本题考查了分层抽样性质的应用，考查了利用频率估计样本总体的应用，关键是对于题意的理解，属于基础题.19.如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ，2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 的中点，点F 在AB 上，且4AB AF =.（1）求证：EF CD ⊥；（2）求点F 到平面ADE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（23【解析】 【分析】（1）过E 作EH DC ⊥于H ，连结FH ，根据2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 的中点，利用平面几何的知识，得到12DH =，再结合4AB AF =，即12AF =，得到FH DC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到DC ⊥面EFH 即可.（2）由（1）知，//FH 平面ADE ，将点F 到平面ADE 的距离转化为点H 到平面ADE 的距离，根据侧面PCD ⊥底面ABCD ，得到AD ⊥侧面PDC ，设点H 到平面ADE 的距离为d ，利用等体积法由H ADE A DEH V V --=求解.【详解】（1）如图所示：过E 作EH DC ⊥于H ，连结FH ，因为2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 的中点， 所以33,cos302===CE CH CE ， 所以12DH =， ∵底面ABCD 是正方形，4AB AF =，即12AF =， ∴AFHD 是矩形， ∴FH DC ⊥， 又EH DC ⊥，EH FH H =，∴DC ⊥面EFH ， 又∵EF ⊂面EFH ， ∴DC EF ⊥.（2）由（1）知，//FH 平面ADE ，∴点F 到平面ADE 的距离等于点H 到平面ADE 的距离， ∵底面ABCD 是正方形，侧面PCD ⊥底面ABCD ， ∴AD ⊥侧面PDC ， ∴AD DE ⊥，在三棱锥H ADE -中，设点H 到平面ADE 的距离为d ， 由于H ADE A DEH V V --=， ∴1133DEH ADE S AD S d ⋅⋅=⋅⋅， 在侧面PCD 中，2PD DC ==，120PDC ∠=︒，E 是PC 中点， ∴1DE =，3EH =11113232∴⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅DH EH AD AD DE d ∴111311221322232⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯d ， ∴3d =， 即点F 到平面ADE 3【点睛】本题主要考查线面垂直与线线垂直的转化，点到面的距离以及等体积法的应用，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>3一个顶点为()0,1M ，直线l 交椭圆于,A B 两点，且M A M B ⊥.（1）求椭圆C 的方程； （2）证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的离心率以及性质，列出方程组，求解即可；（2）设出直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理，将M A M B ⊥转化为数量积为0，求出m 的值，即可证明直线l 过定点.【详解】解：（1）由题意得222222341c a b e a a b ⎧-===⎪⎨⎪=⎩解得24a =，21b =所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）依题意，直线l 斜率存在，设方程为y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y由22,1,4y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()222148440k x kmx m +++-= 得122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+所以()12122y y k x x m +=++，()22121212y y k x x mk x x m =+++∵M A M B ⊥，∴0MA MB ⋅=，即()()1212110x x y y +--=代入整理得222222444210141414m m k mk k k --+-+=+++即25230m m --=，解得35m =-，1m =（舍） 所以直线l 过定点30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了求椭圆的方程以及椭圆中直线过定点问题，属于中档题. 21.已知()2ln 1af x x x=++. （1）若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；（2）证明：当1a =时，对任意满足()()1221f x f x m ==+的正实数1x ，()212x x x <，都有121x x +>.【答案】（1）320,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由()f x 求导得到()2222a x af x x x x-'=-=，再分0a ≤和0a >两种情况结合零点存在定理讨论求解.（2）当1a =时，由()()1221f x f x m ==+，得到112212ln 121,12ln 121,x m x x m x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，然后两式相减解得1212112ln x x x x x -=，2122112ln x x x x x -=，令()211x t t x =>，则1212ln t t x x t-+=，然后构造函数()12ln h t t t t =--，用导数法证明()0h t >即可.【详解】（1）()f x 的定义域是0x >，()2222a x af x x x x -'=-=. ①当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点； ②当0a >时，由()220x a f x x -'==，得02a x =>， 当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在定义域上单调递减；当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 的定义域上单调递增； ∴2ax =时，()f x 取得极小值. 因为()f x 有两个零点，所以02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，解得3202a e -<<， ∵()30a f e e =+>，∴()f x 在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一实数根： 取2022a ax e =<，设()21ln 2a g a a a -=-，()()2222111022a a g a a a a -+'=-=-<， 所以()g a 在()0,1上递减， 所以()()10g a g >=，即21ln 2a a a->，则()22222012324ln 34302e a e a e a f x a a a a a-+--=-+>⋅-+=>，∴()f x 在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭有唯一实数根. 综上，a 的取值范围是320,2e -⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）当1a =时，由()()1221f x f x m ==+，得112212ln 121,12ln 121,x m x x m x ⎧++=+⎪⎪⎨⎪++=+⎪⎩，两式相减得：()1221122ln ln 0x x x x x x --+=， 则1212112ln x x x x x -=，2122112lnx x x x x -=，令()211x t t x =>，则1212ln t t x x t-+=， 设()12ln h t t t t=--，()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，∴()h t 在()1,+∞上为增函数，()()10h t h >=， 又()2ln 01t t >>，∴112ln t t t ->， 即121x x +>.【点睛】本题主要考查导数与函数的零点，导数与不等式的证明以及零点存在定理，还考查了分类讨论的思想和转化求解问题的能力，属于难题.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩（t 为参数），曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）射线1(0)2πθββ=<<与曲线C 2交于O ，P 两点，射线22πθβ=+与曲线C 1交于点Q ，若△OPQ 的面积为1，求|OP |的值.【答案】（Ⅰ）10x y -+=，4cos ρθ=；（Ⅱ）22【解析】【分析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程消去参数t ，即得曲线C 1的普通方程. 由曲线C 2的参数方程消去参数α，得曲线C 2的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，即得曲线C 2的极坐标方程； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ.曲线C 1的普通方程化为极坐标方程得cos sin 10ρθρθ-+=，则点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭.由112POQ S OP OQ =⨯⨯=，求出β，即求OP 的值. 【详解】（Ⅰ）曲线C 1的参数方程为1211t x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，（t 为参数），消去参数t ，得曲线C 1直角坐标方程为：10x y -+=.曲线C 2的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），消去参数α， 得直角坐标方程为2240x y x +-=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=. （Ⅱ）由曲线C 2的极坐标方程为4cos ρθ=，设点()4cos ,P ββ.由于直线C 1的极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，可得点1,cos sin 2Q πβββ⎛⎫+⎪+⎝⎭， 114cos 12cos sin POQ S βββ∴=⨯⨯=+， cos sin ,4πβββ∴=∴=. ∴|OP |＝4cos 22β=【点睛】本题考查参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，属于中档题.23.已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1. （Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）每个式子通分后把1用a b c ++代换后分子应用基本不等式可证结论； （Ⅱ）变形111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，三个分式中分子a b c ++提取出来并变为()()()12b c a c a b ⎡⎤+++++⎣⎦，即原不等式左边 ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭，再用柯西不等式可证得结论． 【详解】证明：（Ⅰ）1111112221118a b c b c a c a b bc ac ab a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⋅⋅=⋅⋅≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当“a=b=c ”时取等号； （Ⅱ）111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭ 22113(333222b c a c a b b c a c a b≥+++-=⨯-=+++，当且仅当“a =b =c ”时取等号.【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题．。
山西省太原2020年高三年级模拟试题(一)理科数学(含答案)
山西太原市2020年高三模拟试题（一）数学试卷（理科）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。
2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N =（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.3213 4．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=a D.6=a 7.73)13(x x +展开式中的常数项是（ ）A.189B.63C.42D.218．刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）A.π3B.π3C.23π D.π34 9．已知变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-+102306x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最小值为2，则b a 31+的最小值为（ ）A ．32+B ．625+C ．158+D ．3210．已知椭圆)0,0(12222>>=+b a by a x C ：的右焦点为F ，过点F 作圆222b y x =+的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ） A.21 B.22 C.32 D.361l ．设10=AB ，若平面内点P 满足对任意的R ∈λ，都有82≥-AB ，则下列结论一定正确的是（ ） 5≥PA 10≥PB PA C.9-≥⋅ D.ο90≤∠APB12．定义在R 上的连续奇函数f （x ）的导函数为)(x f '，已知f （1）≠0，且当x>0时有)()(ln x f x f x x -<'⋅成立，则使0)()4(2>-x f x 成立的x 的取值范围是（ ）A ．)2,0()0,2(Y -B ．),2()2,(+∞--∞YC ．),2()0,2(+∞-YD ．)2,0()2,(Y --∞ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 3=，若其右顶点到这条渐近线的距离为3，则双曲线方程为 .14．已知函数)0)(6sin()(>-=ωπωx x f 在)34,0(π单调递增，在)234(ππ，单调递减，则=ω . 15．在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是 .16．某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用a （i ，j ）表示第i 行从左数第j 个数，如a （5，2）=11，则a （41，18）= .三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（本小题满分12分）已知△ABC 外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若2R （sin 2B-sin 2A ）=（a +c ）sinC．（I）求角B；（Ⅱ）若b=7，c=2，求sinA的值．18．（本小题满分12分）如图，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE=1．（I）求证：平面ABCD⊥平面ABE；（Ⅱ）线段AD上是否存在一点F，使二而角A-BF-E等于45°？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则雷检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =． （I ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（本小题满分12分）已知椭圆E 的焦点为F 1（-1，0）和F 2（1，0），过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线x=3于点C ．设22AF F B λ=u u u u r u u u u u r ，已知当2λ=时，|AB |=|BF 1|．（I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．2L ．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=． （1）判断函数f （x ）在区间（0．一）上零点的个数；（Ⅱ）设函数g （x ）在区间（0，+∞）上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n ．证明：（1）g （x 1）+g （x 2）<0；（2）对一切n ∈N *，g （x 1）+g （x 2）+g （x 3）+…+g （x n ）<0成立．·7·（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．22．（本小题满分10分）[选修4-4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x （θ为参数），已知点Q （6，0），点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求点M 的轨迹2C 2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线kx y l =:与曲线2C 交于A ，B 两点，若AB 4=，求k 的值23．（本小题满分10分）[选修4-5:不等式选讲] 已知函数1)(,2)(-=-=x x g a x x f .（I ）若)(2)(x g x f +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）+g （x ）<1的解集包含]1,21[，求实数a 的取值范围.·8··9··10·。
【精准解析】山西省太原市2020届高三下学期模拟测试(三)数学(文)试题
（考试时间：下午 3：00——5：00） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 1 至 4 页，第Ⅱ卷 5 至 8
页. 2.回答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 4.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
A. y x
B. y x
C. x 12 y 12 1 D.
x 12 y 12 1
【答案】B 【解析】 【分析】
设 z x yi(x, y R) ，代入已知等式化简即可．
【详解】设 z x yi(x, y R) ，∵ z 1 z i ，∴ x yi 1 x yi i ，
【答案】A
B.
1 2
，1
C.
1 2
，2
D.
1 ， 2
【解析】
【分析】
确定出集合 A, B 中的元素后，由并集定义计算． 【详解】由题意 a {x | 1 x 2} ， B {x | x 1} ，∴ A B {x | x 1} ．
2
故选：A.
【点睛】本题考查集合的并集运算，确定集合中的元素是解题关键．
C. 25
【答案】D
【解析】
【分析】
） D. 36
由等差数列的性质可知 a1 + a9 = a2 + a8 ,进而代入等差数列的前 n 项和的公式即可.
【详解】由题,
S9
9(a1 2
a9 )
9(a2 2
太原市2020-2021学年第一学期高三年级期末 数学(文)试题 含答案
3n n n n 2020-2021学年第一学期高三年级期末考试数学（文）试题参考答案及评分建议一．选择题：1.B2.D3.A4.C5.A6.B7.B8.C9.A 10.D 11.D 12.A 二．填空题：13.714.315.5416.1925三．解答题：17.解：（1）设d ,q 分别是等差数列{a n }和等比数列{b n }的公差和公比，⎧1+d =q ,由题意得⎨⎩3+3d =q 2,∴q =3或q =0（舍去），∴d =2，.......................................4分∴a =2n -1(n ∈N *)，b =3n -1(n ∈N *)；...................................................................6分（2）由（1）可得c n =a n ⋅b n =(2n -1)⋅3n -1(n ∈N *)，................................................7分∴S n =c 1+c 2+c 3+ +c n -1+c n =1⨯1+3⨯3+5⨯32+ +(2n -3)⨯3n -2+(2n -1)⨯3n -1，①3S =1⨯3+3⨯32+5⨯33+ +(2n -3)⨯3n -1+(2n -1)⨯3n ，②..............................9分①-②，整理得S =(n -1)⨯3n +1(n ∈N *)...............................................................12分18．解：（1） a 2+b 2-c 2-ab =0，∴a 2+b 2-c 2=ab ，由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab=ab 2ab =1， 0︒<C <180︒，∴C =60︒，................2分2 sin (A -B )+sin C =sin A cos B -cos A sin B +sin(A +B )=sin A cos B -cos A sin B +sin A cos B +cos A sin B =2sin A cos B ，∴2sin A cos B =2cos A cos B ，∴(sin A -cos A )cos B =0，.................................................4分 ∆ABC 是锐角三角形，∴cos B >0，∴sin A -cos A =0，∴A =45︒，B =75︒；……6分（2）由（1）得A =45︒，B =75︒， a =2，由正弦定理得2sin 45︒=b sin 75︒，∴b =2sin 75︒=+1，..............................................10分sin 45︒∴S ∆ABC =1ab sin C =3+223．..............................................................................................12分19.解：（1）由题意得3月4日新增病例中有12名男性，8名女性，按性别从中分层抽取5人，其中有3名男性，分别记为A ,B ,C ；2名女性，分别记为d ,e ，..........................1分∴从这5人中随机抽取2人作流行病学分析的结果为(A ,B )，(A ,C )，(A ,d )，(A ,e )，(B ,C )，(B ,d )，(B ,e )，(C ,d )，(C ,e )，(d ,e )，共有10种等可能出现的结果，2∑∑∑(x -x )2其中至少有1名女性的结果为(A ,d )，(A ,e )，(B ,d )，(B ,e ),(C ,d )，(C ,e )，(d ,e )，共有7种，∴这2人至少有1名女性的概率为7=0.7；..............................................................4分10（2）由题意得x =(1+2+3+4+5)⨯1=3，y =(32+25+27+20+16)⨯1=24，555(x i -x )(y i -y )5x iy i -5xy ∴b ˆ=i =1=i =1=-3.7，a ˆ=y -b ˆx =24+3.7⨯3=35.1，52i i =15∑x i i =1-5x2∴y 关于x 的线性回归方程为y ˆ=-3.7x +35.1；........................................................8分（3）由（2）得y ˆ=-3.7x +35.1，当y ˆ=0时，x =35.1=918，......................10分3.737该地可以解除疫情的最早日期为4月7日....................................................................12分20.（1）（文）证明：连接CD ， PA =PB =，AB =2，D 为AB 的中点，∴PD ⊥AB ，PD =1，....................................................2分同理可得CD ⊥AB ，CD =2， PC 2=PD 2+CD 2=5，∴PD ⊥CD ,…………4分BAB CD =D ,∴PD ⊥平面ABC ；........................6分(2) V =V =V =1V …………8分P -AEF C -AEF E -ACF 2P -ACF =1⨯1V =1S ⋅PD =1=,............................................11分21+λP -ABC 6(1+λ)∆ABC 3(1+λ)9∴λ=1.............................................................................................................12分221.解：（1）由题意得f '(x )=-(x +2)(ae x -2)，x ∈R ，........................................2分①当a <0时，令f '(x )<0，则x <-2，∴f (x )在(-∞,-2)上递减；令f '(x )>0，则x >-2，∴f (x )在(-2,+∞)上递增；②当0<a <2e 2时，则ln 2>-2，a 令f '(x )<0，则x <-2或x >ln 2，∴f (x )在(-∞,-2)和(ln 2,+∞)上递减；a a 221)⎩⎩令f '(x )>0，则-2<x <ln2，∴f (x )在(-a 2,ln 2)上递增；a ③当a =2e 2时，则f '(x )=-2(x +2)(ex +2-1)≤0，∴f (x )在(-∞,+∞)上递减；④当a >2e 2时，则ln 2<-2，a 令f '(x )<0，则x <ln 2或x >-2，∴f (x )在(-∞a ,ln 2)和(-2,+∞)上递减；a 令f '(x )>0，则ln 2<x <-2，∴f (x )在(ln 2,-2)上递增；....................................6分a a （2）当m ∈(-1,0)时，g '(x )=1-m >0在[1,+∞)恒成立，x∴g (x )在[1,+∞)上递增，∴g (x )≥g (1)=1，∴f (m )=m 2+4m -ae m (m +1)<1恒成立，即a >m 2+4m -1e m (m +1)恒成立，..................9分令h (m )=m 2+4m -1e m (m +1)，m ∈(-1,0)，则h '(m )=-(m +3)(m +2)(m -1)e m (m +1)2>0，∴h (m )在(-1,0)上递增，∴a >h (0)=-1，∴a ≥-1，且a ≠0，∴实数a 的取值范围为(-1,0) (0,+∞)....................................................................12分⎧x =t 2+1-2,⎪22.解：（1）将⎨⎪⎩t 2y =t -1t 的参数t 消去得曲线C的普通方程为y 2=x ，……3分 ρcos(θ+π=，∴ρcos θ-ρsin θ-2=0，4由⎧x =ρcos θ,可得曲线C 的直角坐标方程为x -y -2=0；..........................................5分⎨y =ρsin θ2（2）将曲线C 与C 的方程联立得⎧x -y -2=0,⎧x =4,12⎧x =1,⎨y 2=x ,解得⎨y =2或⎨y =-1,∴P 的直角坐标为(1,-1)或(4,2)；..........................................7分⎩⎩设所求圆的圆心坐标为(a ,0)(a >0)，则其方程为x 2-2ax +y 2=0，当P 的坐标为(4,2)时，∴a =5，则所求圆的极坐标方程为ρ=5cos θ；2当P 的坐标为(1,-1)时，∴a =1，则所求圆的极坐标方程为ρ=2cos θ10分23.证明：（1）由题意得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，………3分 a,b,c是三个不全相等的实数，∴上述三个不等式的等号不全成立，∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ca)，即a2+b2+c2>ab+bc+ca；....................5分（2）由（1）得a2+b2+c2>ab+bc+ca，∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)…………7分<3(a2+b2+c2)=3，3∴a+b+c<.…………10分注：以上各题其它解法，请酌情给分.。
太原市2020年高三三模试题数学文科答案
太原市2020年高三年级模拟试题（三）数学试题（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分）13. 8 14. 18 15. 112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭16. 13(,)2-∞-, 132- 三、解答题（共70分） 17. （本小题满分12分）（1）甲小区分数集中于60~90之间，乙小区分数集中于80~100之间，所以乙小区的平均分高. ………………3分 （2）记分数为87的家庭为A 、B ，其他不低于80的家庭为C,D,E,F, 则从甲小区不低于80分的家庭中随机抽取两户的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ），（C,D ），（C,E ），（C,F ），（D,E ），（D,F ），（E,F ）共15个.“分数为87的家庭至少有一户被抽中的”所组成的基本事件有：（A,B ），（A,C ），（A,D ），（A,E ），（A,F ），（B,C ），（B,D ），（B,E ），（B,F ）共9个， 故所求概率. ………………8分（3）因此可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关 .………………12分2240(3101710)20201327K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 5.584 5.204≈>.18．(本小题满分12分)解：（1）因为a ＝b cos C ＋c sin B ，由a sin A ＝b sin B ＝csin C，得sin A ＝sin B cos C ＋sin C sin B ． ····································· 2分 又因为sin A ＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin B cos C ＋sin C sin B ，即cos B sin C ＝sin C sin B ．·········································································· 4分 因为0＜C ＜π，所以sin C ≠0，所以sin B ＝cos B ．又0＜B ＜π，所以B ＝π4． ...................................................................................6分（2）因为AD 是∠BAC 的平分线，设∠BAD ＝θ，所以A ＝2θ， 所以cos2θ＝cos A ＝－725，即2cos 2θ－1＝－725，所以cos 2θ＝925，因为0＜A ＜π，所以0＜θ＜π2，所以cos θ＝35，sin θ＝ 1－cos 2θ＝45．在△ABD 中，sin ∠ADB ＝sin(B ＋θ)＝sin(π4＋θ)＝sin π4cos θ＋cos π4sin θ＝22×(35＋45)＝7210． ············································· 7分 由AD sin B ＝AB sin ∠ADB ，得AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝177×7 210× 2＝175． ······················· 8分 在△ABC 中，sin A ＝ 1－cos 2A ＝2425，所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×(2425－725)＝17250． ·············· 10分由b sin B ＝c sin C ，所以b ＝c ·sin B sin C ＝175×2217250＝5． ············································· 12分 19(本小题满分12分)解（1）如图，连结1AC 交1AC 于点E ，连结DE ，....................................................1分 因为四边形11AAC C 是矩形, 所以 点E 是1AC 的中点，........................................... 2分 因为D 是11B C 的中点，所以 DE ∥1AB ，...............................................................3分因为1AB ⊄平面1ACD ，DE ⊂平面1ACD ，所以 1AB ∥平面1ACD ., ...................................................4分 （2）因为棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，所以 111AA AC ⊥，因为1111111A B AC A A A B ⊥=，，所以 111AC B C =，.................................................................................................. 5分 因为1AB 和BC，所以11cos AB C ∠=，........... 6分 因为1111112A A A B A A A B ==⊥，，所以1AB .......................................7分 在11AB C ∆中，222111111111=2cos AC B C AB B C AB AB C +-⋅⋅∠可得11B C ，................................................................................................ 8分 因为111111=2A B AC A B ⊥，，所以11=3AC ， 因为11111111111,,C A A B C A A A A A A B A ⊥⊥⋂=，所以111C A A B⊥平面，同理111A B AC ⊥平面，.............................................................................................. 10分所以 11111=A B DCA D A AB D AA CV V V --+，113112223132232=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯2= ， 所以 几何体11A B DCA 的体积为2. .................................................................12分 20．(本小题满分12分)解（1）因为椭圆C 的焦距为2，所以221a b -=， ..................................................1分因为椭圆C 过点 (1，32)，所以221914a b+=． ..................................................2分 解得24a =，23b =，.............................................................4分故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1． ........................................................................5分（2）设B (m ，n )，记线段MN 中点为D ．因为O 为△BMN 的重心，所以→BO ＝2→OD ，则点D 的坐标为(－m 2，－n 2)． ········ 6分EB 1C 1A 1DCBA若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直， 故原点O 到直线MN 的距离为|m2|，即为1．若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－m ，y 1＋y 2＝－n ．又x 124＋y 123＝1，x 224＋y 223＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)3＝0， 可得k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－3m4n ． ......................................8分故直线MN 的方程为y ＝－3m 4n (x ＋m 2)－n2，即6mx ＋8ny ＋3m 2＋4n 2＝0，则点O 到直线MN 的距离为d ＝|3m 2＋4n 2|36m 2＋64n 2．将m 24＋n 23＝1，代入得d ＝3n 2＋9． ..................................10分 因为0＜n 2≤3，所以d min ＝32． 又32＜1，故原点O 到直线MN 距离的最小值为32． ...................................12分 21．(本小题满分12分)解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞， 当1k =-时，1()ln ,()1f x x x f x x'=-=-， ………………1分 令()0f x '=，得1x =，当()0,01;()0,1f x x f x x ''><<<>， ………………3分 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()f x 有极大值点1x =，无极小值点． ………………6分（2）当0k =时，()ln b bf x a x a x x+-=+-． 若()0,(,)b f x a a b R x +-∈恒成立，则ln 0(,)bx a a b R x+-∈恒成立，所以ln ba x x +恒成立， ………………7分令ln b y x x =+，则2x by x-'=，由题意0b >，函数在(0,)b 上单调递减，在(,)b +∞上单调递增， ………………9分 所以ln 1a b +，所以1ln a b - ………………10分 所以1a e b -，111a e b --+， ………………11分故当且仅当1a e b -=时，11a e b --+的最大值为1． ………………12分 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解（1）因为6cos ρθ=，所以26cos ρρθ=，所以226x y x +=，即曲线C 的直角坐标方程为22(3)9x y -+=， …………2分直线l 的参数方程3πcos ,43π2sin4x t y t ⎧⎪==⎨+⎪⎪⎪⎩(t 为参数)，即,2x y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数)， ………………………………5分（2）设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得22329⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得240t +=+，所以1212·4t t t t ⎧+=-=⎪⎨⎪⎩ ……………………7分1212120,0,0,0t t t t t t <><⋅∴+<，所以12MA MB t t +=+12()t t =-+=, MA MB ⋅||21t t ==4,所以11MA MB +=M M M A MB A B +⋅4=. ………………………10分 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解（1）当1=a 时，4|2||1|4)(<-++⇒<x x x f ，化为⎩⎨⎧->-<321x x 或⎩⎨⎧<≤≤-4321x 或⎩⎨⎧<->4122x x , ……………………………3分解得123-<<-x 或21≤≤-x 或252<<x ， 2523<<-∴x .即不等式()4f x <的解集为)25,23(-. ……………………5分（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.33)1(4222≥+-=+-m m m ，又由于|12||2||1|)(+≥-++=a a x x x f ，)(x f ∴的值域为)|,12[|+∞+a ，……………………………………8分故3|12|≤+a ，12≤≤-∴a .即实数a 的取值范围为]1,2[-. ……………10分注：以上各题其他正确解法相应得分。
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试 (三)数学(文)试题 (PDF版含答案)
因为 D 是 B1C1 的中点，所以 DE ∥ AB1 ， ...............................................................3 分
有关 .
………………12 分
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5
18．(本小题满分 12 分)
解：（1）因为 a＝bcosC＋csinB， 由sianA＝sibnB＝sincC，得 sinA＝sinBcosC＋sinCsinB．·····································2 分 又因为 sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，
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6
因为 AB1 平面 A1CD ， DE 平面 A1CD ，
所以 AB1 ∥平面 A1CD ., ...................................................4 分
C1
D
A1
E
B1
（2）因为棱柱 ABC A1B1C1 是直三棱柱，所以 AA1 A1C1 ，
由sAinDB＝sin∠ABADB，得 AB＝AD·ssinin∠BADB＝177×7102× 2＝157． ·······················8 分 在△ABC 中，sinA＝ 1－cos2A＝2254， 所以 sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ 22×(2254－275)＝1750 2． ··············10 分
1
2
2020年山西太原高三一模理科数学试卷-学生用卷
2020年山西太原高三一模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第1题5分已知集合M={x||x|<3}，N={x|y=√6+x−x2}，则M∩N=（）．A. {x|−2<x<3}B. {x|−2⩽x<3}C. {x|−2<x⩽3}D. {x|−3<x⩽3}2、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第2题5分2019~2020学年陕西西安雁塔区西安电子科技大学附属中学高二下学期期末理科第2题5分设复数z满足z⋅(2+i)=5，则|z−i|=（）．A. 2√2B. √2C. 2D. 43、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第3题5分2019~2020学年6月湖北武汉高三下学期月考文科供题（二）第7题5分2020年山西太原高三一模文科第5题5分七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）．A. 516B. 1132C. 716D. 13324、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第4题5分2018~2019学年11月山西太原万柏林区太原市外国语学校高二上学期月考理科第9题5分2019~2020学年10月浙江高三上学期月考（浙江教育绿色评价联盟）第3题4分等比数列{a n}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第5题5分2020年山西太原高三一模文科第7题5分函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（）．A. B.C.D.6、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第6题5分，则（）．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95A. a=3B. a=4C. a=5D. a=67、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第7题5分2020年四川宜宾高三一模理科第4题5分(3x3+√x )7展开式中的常数项是（）．A. 189B. 63C. 42D. 218、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第8题5分刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（）．A. √3πB. 3πC. √3π2D. 4√3π9、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第9题5分已知变量x，y满足约束条件{x+y−6⩽0x−3y+2⩽0x⩾1，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最小值为2，则1a +3b的最小值为（）．A. 2+√3B. 5+2√6C. 8+√15D. 2√310、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第10题5分2019~2020学年11月重庆九龙坡区重庆市实验外国语学校高二上学期周测C卷第6题已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ，过点F 作圆x 2+y 2=b 2的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C 的离心率为（ ）．A. 12B. √22C. √23D. √6311、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第11题5分设|AB |=10，若平面内点P 满足对任意的λ∈R ，都有|2AP →−λAB →|⩾8，则下列结论一定正确的是（ ）．A. |PA →|⩾5B. |PA →+PB →|⩾10C. PA →⋅PB →⩾−9D. ∠APB ⩽90°12、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第12题5分定义在R 上的连续奇函数f (x )的导函数为f ′(x )，已知f (1)≠0，且当x >0时有xlnx ⋅f ′(x )<−f (x )成立，则使(x 2−4)f (x )>0成立的x 的取值范围是（ ）．A. (−2,0)∪(0,2)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−2,0)∪(2,+∞)D. (−∞,−2)∪(0,2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第13题5分已知双曲线x 2a2−y2b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线方程为y=√3x，若其右顶点到这条渐近线的距离为√3，则双曲线方程为．14、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第14题5分已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)在(0,4π3)单调递增，在(4π3,2π)单调递减，则ω=．15、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第15题5分2020年山西太原高三一模文科第15题5分在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是．16、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第16题5分某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用a(i,j)表示第i行从左数第j个数，如a(5,2)=11，则a(41,18)=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第17题12分已知△ABC外接圆的半径为R，其内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若2R(sin2B−sin2A)= (a+c)sinC．(1) 求角B．(2) 若b=√7，c=2，求sinA的值．18、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第18题12分2020~2021学年8月广东广州越秀区广东实验中学越秀学校高三上学期月考B卷第19题12分如图，ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面BCE，且AE=1．(1) 求证：平面ABCD⊥平面ABE．(2) 线段AD上是否存在一点F，使二面角A−BF−E等于45°？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．19、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第19题12分新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性．对于n份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k份血液样本分别取样混合在一起．若检验结果为阴性，那么这k份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k份血液检验的次数总共为k+1次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为p=2√2．3(1) 求把2份血液样本混合检验，结果为阳性的概率．(2) 若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第20题12分已知椭圆E 的焦点为F 1(−1,0)和F 2(1.0)，过F 2的直线交E 于A ，B 两点，过A 作y 轴垂直的直线交直线x =3于点C ．设AF 2→=λF 2B →，已知当λ=2时，|AB |=|BF 1|．(1) 求椭圆E 的方程．(2) 求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．21、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第21题12分2020~2021学年四川成都锦江区四川师范大学附属中学高三上学期期中理科第21题12分 已知函数f (x )=xsinx +cosx ，g (x )=cos x x ． (1) 判断函数f (x )在区间(0,5π2)上零点的个数． (2) 设函数g (x )在区间(0,+∞)上的极值点从小到大分别为x 1，x 2，x 3，x 4，⋯，x n ．证明： ① g (x 1)+g (x 2)<0．② 对一切n ∈N ∗，g (x 1)+g (x 2)+g (x 3)+⋯+g (x n )<0成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第22题10分2020年山西太原高三一模文科第22题10分在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3cosθy =3sinθ（θ为参数)，已知点Q (6,0)，点P 是曲线C 1上任意一点，点M 满足PM →=2MQ →，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求点M 的轨迹C 2的极坐标方程．(2) 已知直线l:y=kx与曲线C2交于A，B两点，若OA→=4AB→，求k的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西太原高三一模理科第23题10分2020年山西太原高三一模文科第23题10分已知函数f(x)=|2x−a|，g(x)=|x−1|．(1) 若f(x)+2g(x)的最小值为1，求实数a的值．(2) 若关于x的不等式f(x)+g(x)<1的解集包含[12,1]，求实数a的取值范围．1 、【答案】 B;2 、【答案】 A;3 、【答案】 C;4 、【答案】 A;5 、【答案】 D;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 D;11 、【答案】 C;12 、【答案】 D;13 、【答案】x24−y212=1;14 、【答案】12;15 、【答案】√33.;16 、【答案】835;17 、【答案】 (1) B=2π3．;(2) √2114．;18 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 存在点F当AF=√2时，二面角A−BF−E所成角为45°．;19 、【答案】 (1) 19．;(2) 选择方案三最“优”．证明见解析．;20 、【答案】 (1) x23+y22=1．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) f(x)在(0,5π2)上有两个零点．;(2)①证明见解析．②证明见解析．;22 、【答案】 (1) ρ2−8ρcosθ+15=0．;(2) k=±√3927．;23 、【答案】 (1) a=1或a=3．;)．(2) (1,32;第11页，共11页。
2021年山西省太原市高考数学(一模)模拟试卷(文科) (解析版)
2021年山西省太原市高考数学模拟试卷（文科）（一）（一模）一、选择题（每小题5分）.1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁U B）＝（）A．{2，3，4}B．{2}C．{1，5}D．{1，3，4，5} 2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（）A．B．2C．D．44．函数y＝cos（sin x）的图象大致是（）A．B．C．D．5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（）A．B．C．D．6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（）A．B．C．D．27．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，且{S n}是等差数列，则下列结论错误的是（）A．{a n+S n}是等差数列B．{a n•S n}是等比数列C．{a n2}是等差数列D．{}是等比数列8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪（2，4]B．[1，2）∪（2，4]C．[1，2）∪[4，+∞）D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）A．B．3πC．D．11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f （）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．φ＝B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增二、填空题（每小题5分）.13．函数f（x）＝（x﹣1）e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为．14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为．15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3c sin A＝4b sin C，cos C＝，点D在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝，CD＝．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l 与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b n＝a n+a n+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（Ⅰ）证明：{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nb n}的前n项和T n．条件①：a1＝，4S n+2a n+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，a n+2＝a n+2×3n（n∈N*）．18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意121184156一般2164412不满意116232（Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．20．已知函数f（x）＝cos x+x sin x．（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，则A∪（∁U B）＝（）A．{2，3，4}B．{2}C．{1，5}D．{1，3，4，5}解：全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3，5}，所以∁U B＝{2，4}，所以A∪（∁U B）＝{2，3，4}．故选：A．2．已知复数z满足z•（1﹣i）＝2i（其中i为虚数单位），则z的值为（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i解：∵复数z满足z•（1﹣i）＝2i，∴z＝＝＝＝﹣1+i，故选：B．3．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a＝2sin18°，若a2+b＝4，则＝（）A．B．2C．D．4解：∵a＝2sin18°，若a2+b＝4，∴b＝4﹣a2＝4﹣4sin218°＝4（1﹣sin218°）＝4cos218°，∴＝＝＝2．故选：B．4．函数y＝cos（sin x）的图象大致是（）A．B．C．D．解：∵f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（sin x）＝f（x），∴函数f（x）为偶函数，∵﹣1≤sin x≤1，∴﹣+2kπ≤x≤+2kπ，∴y＝cos（sin x）在x＝2kπ时有最大值，且y＞0，故选：B．5．在区间[﹣1，1]上任取一个实数k，则使得直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点的概率是（）A．B．C．D．解：圆（x﹣2）2+y2＝1的圆心为（2，0），半径为1．要使直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点，则圆心到直线y＝kx的距离≤1，解得：﹣≤k≤．在区间[﹣1，1]中随机取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x﹣2）2+y2＝1有公共点”发生的概率为：＝．故选：C．6．已知，为单位向量，且满足|﹣|＝，则|2+|＝（）A．B．C．D．2解：，为单位向量，且满足|﹣|＝，可得＝2，解得＝0，所以|2+|＝＝．故选：C．7．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为S n，且{S n}是等差数列，则下列结论错误的是（）A．{a n+S n}是等差数列B．{a n•S n}是等比数列C．{a n2}是等差数列D．{}是等比数列解：由{S n}是等差数列，可得：2（a1+a2）＝a1+a1+a2+a3，∴a2＝a3，∵{a n}是各项均为正数的等比数列，∴a2＝a2q，可得q＝1．∴a n＝a1＞0，∴a n+S n＝（n+1）a1，∴数列{a n+S n}是等差数列，因此A正确．＝，∴{a n2}是常数列，为等差数列，因此C正确．＝a1＞0，∴{}是等比数列，因此D正确．a n S n＝n，∴{a n•S n}不是等比数列，因此B不正确．故选：B．8．已知实数x，y满足，则z＝的取值范围是（）A．（﹣∞，1]∪（2，4]B．[1，2）∪（2，4]C．[1，2）∪[4，+∞）D．（﹣∞，1]∪[4，+∞）解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，1），由图可知，B（1，0），z＝＝2+，其几何意义为可行域内的动点与定点（2，﹣1）连线的斜率加2．由图可知，，，∴z＝的取值范围是（﹣∞，1]∪[4，+∞）．故选：D．9．已知a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，则下列结论正确的是（）A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c解：∵a＝4ln3π，b＝3ln4π，c＝4lnπ3，∴＝，＝，＝，设f（x）＝（x＞0），则f′（x）＝，令f′（x）＝0，则x＝e，当x∈（0，e），f（x）在（0，e）上递增，当x∈（e，+∞），f（x）在（e，+∞）递减，∵4＞π＞3＞e，∴f（4）＜f（π）＜f（3），即＜＜，∴a＞c＞b．故选：A．10．已知正四面体ABCD的棱长为4，点E在棱AB上，且BE＝3AE，过E作四面体ABCD 外接球的截面，则所作截面面积的最小值为（）A．B．3πC．D．解：如图，正四面体ABCD的棱长为4，则正方体的棱长为，正四面体ABCD的外接球即正方体的外接球，其半径为2R＝，R＝，cos∠OAB＝，∵OA＝R＝，AE＝AB＝，∴＝3，则截面圆的半径r＝，∴截面面积的最小值为S＝πr2＝3π．故选：B．11．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（）的直线与该抛物线相交于A，B两点，若△AOF的面积与△BOF（O为坐标原点）的面积之比是2，则|AB|＝（）A．B．C．D．解：由焦点的坐标可得＝，所以p＝1，所以抛物线的方程为：y2＝2x，设直线AB的方程为：x＝my+，设A（x1，y1），B（x2，y2），设A在x轴上方，设m ＞0，联立整理可得：y2﹣2my﹣1＝0，y1+y2＝2m①，y1y2＝﹣1②，由题意＝＝2，可得y1＝﹣2y2，代入①②可得：8m2＝1，解得：m＝，将m的值代入①可得y1+y2＝，x1+x2＝m（y1+y2）+1＝，由抛物线的性质可得|AB|＝x1+x2+p＝+1＝，故选：A．12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，且f （）＝0，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则下列结论正确的是（）A．φ＝B．若g（x）是奇函数，则ω的最小值为1C．若f（x）在[]上单调递增，则ω∈（0，]D．若g（x）是周期最大的偶函数，则f（x）在[0，]上单调递增解：由于函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于x＝﹣对称，∴ω×（﹣）+φ＝kπ+，k∈Z，①．∵f（）＝0，∴ω×+φ＝kπ，k∈Z，②．将代入①②，无解，故A错，将f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）＝sin（ωx﹣+φ）的图象，则g（x）的图象关于y轴对称，故g（x）为偶函数，故B错；∵由题意，﹣（﹣）＝（）T，k1＝0，1，2，…，∴ω＝1+2k1，则ω≥1，C选项错，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．试题中包含两空的，答对第一空的给3分，全部答对的给5分．13．函数f（x）＝（x﹣1）e x的图象在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣1．解：由题意可得f'（x）＝xe x，则f'（0）＝0．因为f（0）＝﹣1，所以所求切线方程为y+1＝0，即y＝﹣1．故答案为：y＝﹣1．14．某公司初级、中级和高级职称的职工人数恰好组成一个公比为q的等比数列，现采用分层抽样从全体职工中随机抽取130人进行一项活动，已知被抽取的高级职工人数为10，则被抽取的初级职工的人数为90．解：根据题意知，抽取的样本中初级、中级和高级职称的人数也组成一个公比为q的等比数列，且a3＝10，S3＝130，所以，消去a1，解得q＝，或q＝﹣（不合题意，舍去），当q＝时，a1＝90，即被抽取的初级职工的人数为90．故答案为：90．15．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，3c sin A＝4b sin C，cos C＝，点D在线段AB上，且BD＝2DA，若△ABC的面积为2，则a＝4，CD＝．解：由正弦定理及3c sin A＝4b sin C得3ac＝4bc，故a＝，由余弦定理得cos C＝＝＝，整理得b＝c，因为cos C＝，所以sin C＝，因为△ABC的面积S＝＝＝2，所以b＝3，c＝3，a＝4，因为BD＝2DA，所以，即，整理得，＝＝4+＝，故CD＝．故答案为：4，．16．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左焦点是点F，过原点倾斜角为的直线l 与椭圆C相交于M，N两点，若∠MFN＝，则椭圆C的离心率是．解：设右焦点为F'，由题意可得直线l的方程为：y＝，设M（x0，y0），N（﹣x0，﹣y0），连接MF'，NF'，因为∠MFN＝，所以四边形FMF'N为平行四边形，则∠FMF'＝，而S△MFF'＝b2tan＝b2＝•cy0，（焦三角形面积公式S＝b2tan，θ为焦顶角），所以可得y0＝，代入直线l的方程可得：x0＝，将M的坐标代入椭圆的方程可得：+＝1，整理可得：4a4﹣14a2c2+c4＝0，即e4﹣14e2+4＝0，解得：e2＝7±3，由椭圆的离心率e∈（0，1），所以e＝＝，故答案为：．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，毎个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，数列{b n}满足b n＝a n+a n+1（n∈N*），再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题：（Ⅰ）证明：{b n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{nb n}的前n项和T n．条件①：a1＝，4S n+2a n+1＝3n+1（n∈N*）；条件②：a1＝a2＝，a n+2＝a n+2×3n（n∈N*）．解：选条件①：a1＝，4S n+2a n+1＝3n+1（n∈N*）；（Ⅰ）证明：当n＝1时，4S1+2a2＝32，因为S1＝a1＝，所以a2＝，所以b1＝a1+a2＝3，当n≥1时，4S n+2a n+1＝3n+1，①4S n+1+2a n+2＝3n+2，②②﹣①可得a n+2+a n+1＝3n+1，即b n＝a n+a n+1＝3n（n∈N*），则{b n}是首项、公比均为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n＝3n（n∈N*），所以T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，两式相减可得﹣2T n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得T n＝[（2n﹣1）•3n+1]．选条件②：a1＝a2＝，a n+2＝a n+2×3n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：由a n+2＝a n+2×3n（n∈N*），可得a n+2+a n+1＝a n+a n+1+2×3n，因为b n＝a n+a n+1，所以b n+1＝b n+2×3n，则b n+1﹣3n+1＝b n﹣3n，所以b n﹣3n＝b1﹣3＝a1+a2﹣3＝0，所以b n＝3n（n∈N*），则{b n}是首项、公比均为3的等比数列；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n＝3n（n∈N*），所以T n＝1•3+2•32+3•33+…+n•3n，3T n＝1•32+2•33+3•34+…+n•3n+1，两式相减可得﹣2T n＝3+32+33+…+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，化简可得T n＝[（2n﹣1）•3n+1]．18．某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平．为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的100位游客的满意度调查表．满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意121184156一般2164412不满意116232（Ⅰ）由表中的数据分析，老年人、中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（Ⅱ）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取2人征集改造建议，求这2人中有老年人的概率．（Ⅲ）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？解：（Ⅰ）由表中数据可得老年人、中年人和青年人选择报团游的频率分别为：P1＝＝，P2＝，P3＝，∵P1＞P2＞P3，∴老年人更倾向于选择报团游．（Ⅱ）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有1人，记为a，中年人有2人，记为b，c，青年人有2人，记为d，e，从中随机先取2人，基本事件共10个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），其中这2人中有老年人包含的基本事件有4个，分别为：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），∴这2人中有老年人的概率为P＝＝．（Ⅲ）根据表中的数据，得到：报团游的满意率为P4＝＝，自助游的满意率为P5＝＝，∵P4＞P5，∴建议他选择报团游．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAB是正三角形，G是△PAB的重心，D，E，H分别是PA，BC，PC的中点，点F在BC上，且BF＝3FC．（Ⅰ）求证：平面DFH∥平面PGE；（Ⅱ）若PB⊥AC，AB＝AC＝2，BC＝2，求三棱锥P﹣DEG的体积．解：（Ⅰ）证明：连结BG，由题意可得BG与GD共线，且BG＝2GD，∵E是BC的中点，BF＝3FC，∴F是CE的中点，∴，∴GE∥DF，GE⊂平面PGE；DF⊄平面PGE；∴DF∥平面PGE，∵H是PC的中点，∴FH∥PE，PE⊂平面PGE，FH⊄平面PGE；∴FH∥平面PGE，∵DF∩FH＝F，DF⊂平面DEF，FH⊂平面DEF，∴平面DFH∥平面PGE；（Ⅱ）∵AB＝AC＝2，BC＝，∴AB2+AC2＝8＝BC2，∴AB⊥AC，∵PB⊥AC，AB∩PB＝B，∴AC⊥平面PAB，∵△PAB是正三角形，∴S△PAB＝＝，∴V P﹣DEG＝V E﹣PDG＝＝＝＝＝.20．已知函数f（x）＝cos x+x sin x．（Ⅰ）讨论f（x）在[﹣2π，2π]上的单调性；（Ⅱ）求函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣1零点的个数．解：（Ⅰ）因为f（﹣x）＝cos（﹣x）﹣x sin（﹣x）＝cos x+x sin x＝f（x），x∈R，所以f（x）是R上的偶函数，也是[﹣2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，2π]时，f′（x）＝x cos x，令f′（x）≥0，则0≤x≤或≤x≤2π，令f′（x）＜0，则＜x＜，所以f（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，因为f（x）是偶函数，所以f（x）在[﹣2π，﹣]和[﹣，0]上单调递减，在（﹣，﹣）上单调递增．综上所述，f（x）在[﹣2π，﹣]、[﹣，0]和（，）上单调递减，在（﹣，﹣）、[0，]和[，2π]上单调递增．（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（﹣x）＝f（﹣x）﹣（﹣x）2﹣1＝g（x），所以g（x）是R上的偶函数，（1）当x∈[0，2π]时，g′（x）＝x（cos x﹣），令g′（x）＞0，则0＜x＜或＜x＜2π，令g′（x）＜0，则＜x＜，所以g（x）在[0，]和[，2π]上单调递增，在（，）上单调递减，因为g（）＞g（0）＝0，g（）＝×（﹣）﹣（）2﹣＜0，g（2π）＝﹣π2＜0，所以g（x）在（0，）上有一个零点，所以g（x）在[0，2π]上有两个零点；（2）当x∈（2π，+∞）时，g（x）＝cos x+x sin x﹣x2﹣1≤x﹣x2＜0，所以g（x）在（2π，+∞）上没有零点．由（1）（2）及g（x）是偶函数可得g（x）在R上有三个零点．21．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，其离心率e＝，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2内切圆面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线PF1，PF2与椭圆C分别相交于点A，B，求证：+为定值．解：（Ⅰ）设△PF1F2内切圆的半径为r，则，∴r＝＝，∴当△PF1F2的面积最大时，△PF1F2内切圆的半径r最大，显然当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，△PF1F2的面积最大，最大值为＝bc，∴r的最大值为，即＝，由，解得：，∴椭圆C的标准方程为：．（Ⅱ）设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），①当y0≠0时，设直线PF1，PF2的直线方程分别为x＝m1y﹣1，x＝m2y+1，由得：，∴，∵x0＝m1y0﹣1，∴，∴，同理，由可得，∴＝﹣﹣＝，②当y0＝0时，直线PF1，PF2与x轴重合，易得：＝3+＝，综上所述，+为定值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点P（3，），曲线C1与C2相交于A，B两个不同点，求||PA|﹣|PB||的值．解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），整理得，转换为普通方程为；曲线C2的极坐标方程为cos（）＝0，根据，转换为直角坐标方程为；（Ⅱ）把直线转换为（t为参数），代入，得到：，所以，，所以＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+|+|x﹣m|（m＞0）．（Ⅰ）当m＝1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若存在x∈（0，1），使得不等式f（x）≤3成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）当m＝1时，f（x）＝|x+2|+|x﹣1|，∵|x+2|+|x﹣1|≥|（x+2）﹣（x﹣1）|＝3，故当且仅当（x+2）（x﹣1）≤0，即当﹣2≤x≤1时，f（x）取最小值3；（Ⅱ）由题意得存在x∈（0，1）使得x++|x﹣m|≤3，（1）当m≥1时，x++|x﹣m|≤3等价于+m≤3，解得：1≤m≤2；（2）当0＜m＜1时，令g（x）＝x++|x﹣m|，0＜x＜m时，g（x）＝+m，m≤x＜1时，g（x）＝2x+﹣m，故g（x）min＝+m，故+m≤3，故1≤m≤2，与0＜m＜1矛盾，此时m无解，综上：实数m的取值范围是[1，2]．。
2020届山西省太原市高三模拟(二)数学(文)试题(wd无答案)
2020届山西省太原市高三模拟（二）数学（文）试题一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．C．D．(★) 2. 设复数满足，则（）A．B．C．D．(★) 3. 等比数列的前项和为，若，，则（）A．18B．10C．-14D．-22(★★★) 4. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 下边程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》. 表示正整数除以正整数的余数为，例如.执行该程序框图，则输出的等于（）A．B．C．D．(★★) 6. 已知sin（），则sin2x的值为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 函数的图象大致为（）A．B．C．D．(★★) 8. 圆周率π是数学中一个非常重要的数，历史上许多中外数学家利用各种办法对π进行了估算.现利用下列实验我们也可对圆周率进行估算.假设某校共有学生 N人，让每人随机写出一对小于1的正实数 a， b，再统计出 a， b，1能构造锐角三角形的人数 M，利用所学的有关知识，则可估计出π的值是( )A．B．C．D．(★★★) 9. 已知是两个非零向量，其夹角为，若，且，则（）A．B．C．D．(★★) 10. 过抛物线 y 2=4 x的焦点的直线 l与抛物线交于 A， B两点，设点 M（3，0）.若△ MAB的面积为，则| AB|=( )A．2B．4C．D．8(★★) 11. 对于函数.有下列说法：① 的值城为；②当且仅当时，函数取得最大值；③函数的最小正周期是；④当且仅当时, .其中正确结论的个数是( )A．1B．2C．3D．4(★★★★★) 12. 三棱锥中，，△ 为等边三角形，二面角的余弦值为，当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为.则三棱锥体积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题(★) 13. 若曲线在处的切线方程为，则__________(★★★) 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线上一点，若为等腰三角形，，则双曲线的离心率为______.(★★★) 15. 已知中，、、分别是内角、、的对边，，，则面积的最大值是______.(★★★) 16. 中国古代教育要求学生掌握“六艺”，即“礼、乐、射、御、书、数”．某校为弘扬中国传统文化，举行有关“六艺”的知识竞赛．甲、乙、丙三位同学进行了决赛．决赛规则：决赛共分场，每场比赛的第一名、第二名、第三名的得分分别为，选手最后得分为各场得分之和，决赛结果是甲最后得分为分，乙和丙最后得分都为分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，现有下列说法：①每场比赛第一名得分分；②甲可能有一场比赛获得第二名；③乙有四场比赛获得第三名；④丙可能有一场比赛获得第一名.则以上说法中正确的序号是______.三、解答题(★★★) 17. 已知数列的前 项和为 ，且满足 .（1）求证：数列 是等比数列；（2）若， .求数列 的前 项和 .(★★) 18. 按照水果市场的需要等因素，水果种植户把某种成熟后的水果按其直径 的大小分为不同等级.某商家计划从该种植户那里购进一批这种水果销售.为了了解这种水果的质量等级情况，现随机抽取了100个这种水果，统计得到如下直径分布表（单位： mm ）：d等级三级品二级品一级品特级品特级品频数1m29n7用分层抽样的方法从其中的一级品和特级品共抽取6个，其中一级品2个.（1）估计这批水果中特级品的比例； （2）已知样本中这批水果不按等级混装的话20个约1斤，该种植户有20000斤这种水果待售，商家提出两种收购方案： 方案A ：以 6.5元/斤收购； 方案 B ：以级别分装收购，每袋20个，特级品8元/袋，一级品5元/袋，二级品4元/袋，三级品3元/袋. 用样本的频率分布估计总体分布，问哪个方案种植户的收益更高？并说明理由.(★★★) 19. 如图，已知四棱锥中，底面 是正方形，侧面 底面 ，，， 是的中点，点在 上，且.（1）求证： ；（2）求点到平面的距离.(★★★) 20. 已知椭圆的离心率为，一个顶点为，直线 交椭圆于两点，且.（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线过定点.(★★★★) 21. 已知.（1）若函数有两个零点，求的取值范围；（2）证明：当时，对任意满足的正实数，，都有.(★★★) 22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；（2）射线与曲线交于，两点，射线与曲线交于点，若的面积为1，求的值.(★★★) 23. 已知 a， b， c为正实数，且 a+b+c =1.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）证明：.。