福州大学数值分析课件
数值分析原理课件第二章
11 第二章 非线性方程数值解法
在科学计算中常需要求解非线性方程
()0fx (2.1)
即求函数()fx的零点．非线性方程求解没有通用的解析方法，常采用数值求解算法．数值解法的基本思想是从给定的一个或几个初始近似值出发，按某种规律产生一个收敛的迭代序列0{}kkx，使它逐步逼近于方程(2.1)的某个解．本章介绍非线性方程实根的数值求解算法：二分法、简单迭代法、Newton迭代法及其变形，并讨论它们的收敛性、收敛速度等．
§2.1 二分法
一、实根的隔离
定义2.1 设非线性方程(2.1)中的()fx是连续函数．如果有*x使*()0fx，则称*x为方程(2.1)的根，或称为函数()fx的零点；如果有*()()()mfxxxgx，且()gx在*x邻域内连续，*()0gx，m为正整数，则称*x为方程(2.1)的m重根．当1m时，称*x为方程的单根．
非线性方程根的数值求解过程包含以下两步
(1) 用某种方法确定有根区间．称仅存在一个实根的有根区间为非线性方程的隔根区间，在有根区间或隔根区间上任意值为根的初始近似值；
(2) 选用某种数值方法逐步提高根的精度，使之满足给定的精度要求．
对于第(1)步有时可以从问题的物理背景或其它信息判断出根的所在位置，特别是对于连续函数()fx，也可以从两个端点函数值符号确定出有根区间．
当函数()fx连续时，区间搜索法是一种有效的确定较小有根区间的实用方法，其具体做法如下
设[,]ab是方程(2.1)的一个较大有根区间，选择合适的步长()/hban，kxakh，(0,1,,)kn．由左向右逐个计算()kfx，如果有1()()0kkfxfx，则区间1[,]kkxx就是方程的一个较小的有根区间．
数值分析方法讲义
第十章 数值分析方法
在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，数值分析中的插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍。
§1 数据插值方法及应用
在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据),(,),,(),,(1100nnyxyxyx精度较高，要求确定一个初等函数)(xPy（一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即nixPyii,,1,0,)(，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。
1、分段线性插值
这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果
bxxxan10
那么分段线性插值公式为
nixxxyxxxxyxxxxxPiiiiiiiiii,,2,1,,)(11111
可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。
例1、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为x轴，由南向北方向为y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标y1和y2，这样就得到下表的数据（单位：mm）。
x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0
y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34
y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110
《数值分析》课程教案
《数值分析》课程教案
数值分析课程教案
一、课程介绍
本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。
二、教学目标
- 了解数值分析的基本概念和发展历程
- 掌握数值计算的基本方法和技巧
- 理解数值算法的稳定性和收敛性
- 能够利用数值分析方法解决实际问题
三、教学内容
1. 数值计算的基本概念和方法
- 数值计算的历史和发展
- 数值计算的误差与精度 - 数值计算的舍入误差与截断误差
- 数值计算的有效数字和有效位数
2. 插值与逼近
- 插值多项式和插值方法
- 最小二乘逼近和曲线拟合
3. 数值微积分
- 数值积分的基本原理和方法
- 数值求解常微分方程的方法
4. 线性方程组的数值解法
- 直接解法和迭代解法
- 线性方程组的稳定性和收敛性
5. 非线性方程的数值解法
- 迭代法和牛顿法
- 非线性方程的稳定性和收敛性
6. 数值特征值问题
- 特征值和特征向量的基本概念
- 幂迭代法和QR方法
7. 数值积分与数值微分
- 数值积分的基本原理和方法
- 数值微分的基本原理和方法
四、教学方法
1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。
2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。
3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。
五、考核方式
1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。
2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。
3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。
六、参考教材
1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。
2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。
数值分析5-2
1 §5.4 数值微分（Numerical Differentiation）
一、问题的提出
在微积分里，求函数)(xf的导数)(xf一般来说是容易办到的，但有时)(xf比)(xf复杂的多.
而当函数)(xf仅由表格形式给出时，要求出)(xf就不那么容易了.根据函数在一些离散点上的函数值来推算它在某点处的导数的近似值的方法称为数值微分.
最简单的数值微分公式是用前向差商近似替代导数，即
)(0xfhxfhxf)()(00
类似地，也可用后向差商近似替代导数，即
)(0xfhhxfxf)()(00 A C
或者用中心差商近似替代导数，即 B
)(0xfhhxfhxf2)()(00
在几何上这3种差商分别表示弦AC，AB，BC hx0 0x hx0
的斜率.将这3条弦同过A点的切线相比较，一般来说，弦BC的斜率更接近于过A的切线的斜率)(0xf.因此，就精度而言用中心差商替代导数更为可取.故称
)(hD=hhxfhxf2)()(00
为求)(0xf的中点公式.
一般地，不同的数值微分公式导出不同的差分方程，因此如何构造数值微分公式及研究它们的性质是很有意义的.这一节主要介绍构造数值微分法的原理，即Taylor展开原理、插值原理和三次样条原理.
二、Taylor展开法
在这里我们将用Taylor公式推导上面的差商、中点公式，给出)(xf二阶导数的显式数值微分公式，并建立)(xf一阶、二阶导数的具有4h精度隐式数值微分公式.
由Taylor公式，将)(0hxf，)(0hxf在点0x展开成5次Taylor公式，则
福州大学数值分析考试复习题
4.设432()542fxxxxx和节点/2,0,1kxkk则014[,]fxxx 。
5.当1,1,2x时，()0,3,4fx,则()fx的二次插值多项式为 。(0,1,2,3,4)ixi为互异结点，则440()iiixlx ()ilx为拉格朗日插值基函数。
6.设3Rx，123()3fxxxx是否为向量范数?(填是或否) 。
7.1000()()fxdxAfx当0A= ,0x= 时该求积公式具有尽可能高的代数精度。
8.(3,0,4,12)Tx,则2x ,1123A,则A ，()A 。
9.解线性方程组AX=b的迭代公式fBXXkk)()1(，对任意给定的初值)0(x都收敛的充要条件是 _______ __
10.当恒有()1gx时，迭代法1()kkxgx的敛散性为
11.牛顿法求重根是 阶收敛的,求解317的牛顿法迭代公式是： 。
12.在常微分方程初值问题中，改进的欧拉方法具有 阶的精度。其整体截断误差为 。
1. 给定点集的多项式插值是唯一的，则其多项式表达式也是唯一的。--------------------------------- 【 】
2. 代数精确度是衡量算法稳定性的一个重要指标。 【 】
3. 只要矩阵是对称的，则1AA------ ----- 【 】
4. 非线性方程求根的牛顿迭代法有可能发散。-------------------- 【 】
5. 显式方法的优点是计算简单且稳定性好。-----------------------【 】
1. 有效数*0.0490y的有效位数为 绝对误差限:
数值分析
1 第五章 插值与最小二乘法
5.1 插值问题与插值多项式
实际问题中若给定函数是区间上的一个列表函数，如果,且f(x)在区间上是连续的，要求用一个简单的，便于计算的解析表达式在区间上近似f(x)，使
(5.1.1)
就称为的插值函数，点称为插值节点，包含插值节点的区间称为插值区间.
通常，其中是一组在上线性无关的函数族，表示组成的函数空间表示为
(5.1.2)
这里是(n+1)个待定常数，它可根据条件(5.1.1)确定.当时，表示次数不超过n次的多项式集合，，此时
(5.1.3)
称为插值多项式，如果为三角函数，则为三角插值，同理还有分段多项式插值，有理插值等等.由于计算机上只能使用+、-、×、÷运算，故常用的就是多项式、分段多项式或有理分式，本章着重讨论多项式插值及分段多项式插值，其他插值问题不讨论.
从几何上看，插值问题就是求过n+1个点的曲线，使它近似于已给函数，如图5-1所示. 2 插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践.早在一千多年前，我国科学家在研究历法时就应用了线性插值与二次插值，但它的基本理论却是在微积分产生以后才逐步完善的，其应用也日益广泛.特别是由于计算机的使用和航空、造船、精密机械加工等实际问题的需要，使插值法在理论上和实践上得到进一步发展.尤其是近几十年发展起来的样条(Spline)插值，获得了极为广泛的应用，并成为计算机图形学的基础.
本章主要讨论如何求插值多项式、分段插值函数、三次样条插值、插值多项式的存在唯一性及误差估计等.此外，还讨论列表函数的最小二乘曲线拟合问题与正交多项式.
讲解：
插值多项式就是根据给定n+1个点 ，求一个n次多项式：
使
即
这里是n+1个待定系数，根据n+1个条件得到的方程组是关于参数的线性方程组。当节点互异时由于系数行列式
所以解是存在唯一的。但直接求解较复杂，也得不到统一的表达式。所以通常求插值多项式不用这种方法，而使用下节给出的基函数方法。
数值分析期末复习-福大研究生版
数值分析期末复习
题型：一、填空 二、判断 三、解答（计算） 四、证明
第一章 误差与有效数字
一、 有效数字
1、 定义：若近似值x*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n位，就说x*有n位有效数字。
2、 两点理解：
（1） 四舍五入的一定是有效数字
（2） 绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg.
3、 定理1（P6）：若x*具有n位有效数字，则其相对误差限为
4、 考点：
（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1（P7例题3）
二、 避免误差危害原则
1、 原则：
（1） 避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：x1*x2= c / a）
（2） 避免相近数相减（方法：有理化）eg.
或
（3） 减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14
三、 数值运算的误差估计
1、 公式：
（1） 一元函数：|ε*( f (x*))| | f ’(x*)|·|ε*(x)|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f (x*)） eg.P19习题1、2、5
（2） 多元函数（P8）eg. P8例4，P19习题4
第二章 插值法
一、 插值条件
1、 定义：在区间[a,b]上，给定n+1个点，a≤x0＜x1＜…＜xn≤b的函数值
yi=f(xi)，求次数不超过n的多项式P(x)，使
2、 定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数≤n的P(x)存在且唯一
二、 拉格朗日插值及其余项
1、 n次插值基函数表达式（P26（2.8））
2、 插值多项式表达式（P26（2.9））
3、 插值余项（P26（2.12））：用于误差估计 *(1)11102nra;xεxεxεx;1lnlnlnxεxεxxcos12sin22xniyxPiin,,2,1,0)(4、 插值基函数性质（P27（2.17及2.18））eg.P28例1
数值分析(00002)
数值分析书本答案
2 习题一
1、取3.14,3.15，722，113355作为的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
解：14.31x
312110211021x
所以，1x有三位有效数字
绝对误差：14.3e，相对误差：14.3re
绝对误差限：21021，相对误差限：213106110321r
21122105.0105.01084074.000840174.015.315.3x
所以，2x有两位有效数字
绝对误差：15.3e，相对误差：15.3re
绝对误差限：11021，相对误差限：11061r
31222105.0105.01012645.00012645.0722722x
所以，3x有三位有效数字
绝对误差：722e，相对误差：722re
绝对误差限：21021，相对误差限：21061r
1133551x
7166105.0105.01032.000000032.0113355
所以，4x有七位有效数字
绝对误差：113355e，相对误差：113355re
3 绝对误差限：61021，相对误差限：61061r
3、下列各数都是对准确数四舍五入后得到的近似数，试分别指出它们的绝对误差限和相对误差限，有效数字的位数。
5000,50.31,3015.0,0315.04321xxxx
解：0315.01x
m=-1
3141*10211021xx
所以，n=3，1x有三位有效数字
绝对误差限：41021，相对误差：2110611021nra
3015.02x
m=0
4042*10211021xx 所以，n=4，1x有四位有效数字
数值分析 2
2013-2014 数值分析
第 1 页 共 23 页 数值分析
第一章 绪论 ................................................................................................................................... 1
第二章 函数插值 ............................................................................................................................. 2
第三章 函数逼近 ............................................................................................................................. 5
第四章 数值积分与数值微分 ....................................................................................................... 11
第五章 解线性方程组的直接解法 ............................................................................................... 13
第六章 解线性方程组的迭代解法 ............................................................................................... 17
第七章 非线性方程求根 ............................................................................................................... 20
数值分析课件2015xin王兵团_数值分析整理
数值分析
1. 数值分析的病态性是指因初始数据的微小变化，导致计算结果的剧烈变化。
病态问题：因初始数据微小变化，导致计算结果剧烈变化的问题
良态问题：初始数据微小变化，只引起计算结果微小变化的计算问题。
数值不稳定算法：指算法进行计算的初始数据有谋差，而计算过程中产生的舍入误差不断增长。例r
2. 误差的来源：①模型误差：在数学建模时，由于忽略了某些次要因素而产生的误差：②观测谋差：在采集原始数
据时，由仪器的精度或其他客观因素产生的误差；③截断谋差：对产与计算的数学公式做简化处理后所产生的误差：④ 舍入误差：计算机因数系不全，由接受和运算数据的舍入引起的误差。
科学计算中值得注盘的地方：①避免两个相近的数相减；②合理安扌丨丨：量级相差很大的数之间的运算次序，防上人数吃 小数；③避免绝对值很小的数做分母：④简化运算步骤，减少运算次数。
3. 用计算机做科学计算时的溢出错误。
机器数系是有限的离散集，机器数系中有绝对值最人和最小的非零数M和m,若•个非零实数的绝对值人于M,则计算机产 生上溢错谋，若其绝对值小于m,则计算机产生下溢错谋。上溢错谋时，计算机中断程序处理：下溢 错误时，计算机将此 数用零农示并继续执行程序。
4. 解非线性方程单根的牛顿法具有二阶收敛。简单迭代法具有•阶收敛性。当且有2阶导数时，Ne、vton迭代法才有二阶
敛速。
5. 对@十1)个节点的Newton-cotes求积公式，在时，Cotes系数人于0,而在时，考虑到公式的稳定性不实用该公式。
6. 当系数矩阵A是严格对角占优矩阵，Jacobi格式、Seidel格式都收敛。
7. 用高斯消元法求解线性方程组，•般使用选主元的技术是因为要减少舍入误差。
8•解非线性方程组迭代法的整体收敛和局部收敛的主要区别是局部收敛在较小邻域取初值，有初值限制。
9. 二分法是全部收敛，简单迭代法是局部收敛。
10. 四种插值方法：Lagrange插值、Xewton插值、Hennite插值、分段多项式插值。