广州市越秀区2015-2016学年九年级上学期期末数学试卷
二、填空题（本题共有 6 题，每小题 3 分，共 18 分） 11． M>2 ； 12． ； 13． 8 ； 14． ； 15． ； 16． ①③ ．
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2015 学年越秀区第一学期学业水平调研测试
九年级数学试卷
注意：1．考试时间为 120 分钟．满分 150 分． 2．试卷分为Ⅰ卷（选择题）与Ⅱ卷（非选择题）两部分． 3．可以试用规定型号的计算器． 4．所有试题答案必须写在答题卷相应的位置上，否则不给分．
第Ⅰ卷 选择题（共 30 分）
一、选择题（本题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．抛物线 y (x 2)2 3 的顶点坐标是（ A． （2，3） B． （-2，3） ） ． C.(2,-3) D.(-2,-3)
10．二次函数 y 4x 2 4x （ 4x 1 5x 1 A ．2
2
m 的图象与 x 轴交点坐标（ x 1 ,0）( x 2 ,0）且（ x 1 + x 2 ）
）
x 2 ）=8,则函数的最小值（
C．10 D．-10
B．-2
第Ⅱ卷 非选择题（共 120 分） 二、填空题（本题共有 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11． 若反比例函数 y= ， 当 x>0 时， 函数值 y 随着自变量 x 的增大而减小， 则 m 的取值范围是__________。 的图象上的概率是_____。
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24． （本小题满分 14 分） 已知：矩形 ABCD 的宽 AD=8，点 E 在边 AB 上，P 为线段 DE 上的动点 （点 P 与点 D、E 不重合） ，∠MPN=90°,M、N 分别在 AB、CD 上，过点 P 作直线 HK∥AB,作 PF⊥AB，垂足为 点 F，过点 N 作直线 NG⊥HK，垂足为点 G。 (1)求证：∠MPA=∠GPN (2)在图 1 中，将直角∠MPN 绕点 P 顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当 MF=NG 时，△MPN 是什 么特殊三角形？在图 2 中用直尺画出图形，并证明你的猜想： （3）在（2）的条件下，当∠EDC=30°时，设 EP=x，△MPN 的面积为 S,求出 S 关于 x 的解析式，并说明 S 是否存在最小值？若存在，求出此时 x 的值和△MPN 的最小值，若不存在，请说明理由。
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19．（本小题满分 10 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2，E 是 BC 的中点，以点 A 为中心，把△ABE 顺时 针旋转 90°，设点 E 的对应点为 F． （1）画出旋转后的三角形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）求点 E 经过的路径弧 EF 的长．
D. (2,−1)
9． 如图， 在平面直角坐标系中， 点 A. B 均在函数 y=
k>0,x>0)的图象上，
⊙A 与 x 轴相切，⊙B 与 y 轴相切。若点 B 的坐标为(1,6)，⊙A 的半径是 ⊙B 的半径的 2 倍，则点 A 的坐标为（ ） A. (2,2) B. (2,3) C. (3,2) D. (4, )
2．将两个全等的直角三角形纸片构成如下的四个图形，这四个图形中是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若 OA=OB=AB,则∠C 等于（ ） A．30° B．40° C．60° D．80° 4．一元二次方程 的根的情况是 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 5．在一个不透明的盒子里装有 3 个黑球和 1 个白球,每个球除颜色外都相同,从中任意摸出 2 个球,下列事 件中,不可能事件是( ) A.摸出的 2 个球有一个是白球 C.摸出的 2 个球有一个黑球 6．若点（-1， B.摸出的 2 个球都是黑球 D.摸出的 2 个球都是白球 函数的图像上，下列结论正确的是（ ）
2
bx c >0 的解集①－1<x<5，②a-b+c>0，③b2﹣4ac>0，④4a+b<0
图4
三、解答题（本大题有 9 小题，满分 102 分．解答题应写出必要的文字说明．演算步骤或证明过程） ． 17． （本小题满分 9 分）解方程 x 2 2x 5 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ．
18． （本小题满分 9 分）如图所示，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为 C，交⊙O 于点 D，点 E 在⊙O 上。 (1)若∠AOD=54°，求∠DEB 的度数； (2)若 OC=3，OA=5，求 AB 的长。
）,(2, )都在反比例
A. B. C. D. 7． 在平面直角坐标系中， 点 P(1,3)关于原点对称的 P’的坐标是 （ A．(3,1) B．(1,-3) C．(-1,-3) D．(-3.-1)
） ．
8．如图所示,边长为 2 的正三角形 ABO 的边 OB 在 x 轴上,将△ABO 绕原点 O 逆时针旋转 30°得到三角形 OA1B1,则点 A1 的坐标为（ A. ( ,1) B. ( ,−1) C. (1,− ） ）
23．（本小题满分 12 分）反比例函数 y= 在第二象限的图象如图所示,过点 A(-1,0)作 x 轴的垂线,交反比 例函数 y= 的图象于点 M，△AOM 的面积为 3. (1)求反比例函数的解析式； (2)设点 B 的坐标为(t,0),其中 t<-1.若以 AB 为一边的正方形有一个顶点在反比例函 数 y= 的图象上，求 t 的值。
20．（本小题满分 10 分）甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第 一场比赛。 (1)若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率。 (2)请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率。
21．（本小题满分 12 分）某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次(最低档次)的产品一天 能生产 95 件，每件利润 6 元。每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件。 (1)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数,且 1⩽x⩽10)，求出 y 关于 x 的函数关系 式； (2)若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元，求该产品的质量档次。 22． （本小题满分 12 分）如图所示，AB 为半圆 O 的直径，C 是半圆上一点，AD 平 分∠CAB 交半圆于点 D，过点 D 作 ED⊥AC,DE 交 AC 延长线于点 E。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线。 （2）若⊙O 的半径为 2，DE= 。求线段 AC 的长
12．从点 A(−2,4)、B(-2，-4)、C(1,−8)中任取一个点,在 y=
13．半径为 2 的圆的内接正方形的面积是__________． 2 14．将抛物线 y=x -4x-3 向右平移３个单位，那么得到的抛物线的解析式 是 ． 15．一个圆锥的侧面展开图是半径为 1 的半圆。则该圆锥的底面半径 是 。 16．二次函数 y ax2 bx c 的部分图象如图所示，在下列四个结论正确的 是__________（写出所有正确结论的答案） ． 则① ax
（3）若以 A、B、C、P 四点为顶点构成的四边形面积记作 S，则 S 取 何值时，对应的点 P 有且只有两个？
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2015 学年第一学期学业水平调研测试 九年级数学试卷答案
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 2 3 4 5 题号 1 答案 D D A A D 6 B 7 C 8 B 9 C 10 D
25． （本小题满分 14 分）如图，已知抛物线 y
1 2 x ax 4a 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 2
C 且 OB=OC,点 P 是抛物线上一动点。且点 P 位于 x 轴下方，点 P 与点 C 不重合．
（1）求该抛物线的解析式； （2）若△PAC 的面积为
1 ，求点 P 的坐标； 2
广州市越秀区2015-2016学年八年级上期末数学试题含答案解析
2015-2016学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列图形中，具有稳定性的是( )A．长方形B．梯形 C．钝角三角形D．正六边形2．下列图形中，是轴对称图形的是( )A．B．C．D．3．计算（2a2）3的结果是( )A．6a5B．6a6C．8a5D．8a64．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍5．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣66．如图，已知△AOC≌△BOD，∠A=30°，∠C=20°，则∠COD=( )A．50°B．80°C．100°D．130°7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，），B（﹣2，﹣），△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，则点C的坐标是( )A．（2，﹣）B．（﹣2，）C．（2，﹣2）D．（﹣2，2）8．已知（x+y）2=13，且（x﹣y）2=5，则xy的值是( )A．8 B．4 C．2 D．19．如图，在正五边形ABCDE中，连结AD、BD，则∠ADB的度数是( )A．18°B．36°C．54°D．72°10．如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是线段AD上的一个动点，点P是点A关于直线BE的对称点，在点E的运动过程中，使△PBC为等腰三角形的点E的位置共有( )A．1个B．2个C．3个D．无数个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.11．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=x，则x的取值范围是__________．12．若分式的值为0，则x的值是__________．13．如图，OA=OB，要使△OAC≌△OBD，则需要添加的一个条件是__________．（只需填写一个条件即可）14．计算（1+）?的结果是__________．（结果化为最简形式）15．某学校有一块长方形活动场地，宽为xm，长是宽的2倍，实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将活动场地的长和宽都增加了3m，则活动场地的面积增加了__________m2．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠C=90°，AB=5，BC=4，AC=3，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为__________．三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答须写出文字说明、推理过程和演算步骤，17．先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+y）（x﹣y）]÷2y，其中x=，y=．18．分解因式：（1）xy2﹣2xy+x；（2）a3﹣4a．19．解分式方程：﹣1=．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC的外部，∠ACD=∠B，∠ADC=90°．（1）作图，作∠BAC的平分线AO，交BC于点O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：BC=2CD．22．如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的△ABC是一个格点三角形，请你在下面四张图中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并用虚线标出它们的对称轴（要求画出的四个格点三角形互不相同）．23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N 分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的大小．24．一辆汽车开往距离出发地320km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的 1.2倍匀速行驶，并比原计划提前30min到达目的地，求前一小时的汽车行驶速度．25．如图，线段AB与CD相交于点E，AB⊥BD，垂足为B，AC⊥CD，垂足为C．（1）如图1，若AB=CD，∠BDE=30°，试探究线段DE与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB=BD，∠BDE=22.5°，试探究线段DE与AC的数量关系，并证明你的结论．2015-2016学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．下列图形中，具有稳定性的是( )A ．长方形B ．梯形C ．钝角三角形D ．正六边形【考点】三角形的稳定性．【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：具有稳定性的是三角形．故选：C ．【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容．2．下列图形中，是轴对称图形的是( )A ．B ．C ．D ．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A 、不是轴对称图形，故本选项错误；B 、不是轴对称图形，故本选项错误；C 、不是轴对称图形，故本选项错误；D 、是轴对称图形，故本选项错误．故选D ．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．计算（2a 2）3的结果是( )A ．6a 5B ．6a 6C ．8a 5D ．8a 6【考点】幂的乘方与积的乘方．【分析】根据积的乘方，即可解答．【解答】解：（2a 2）3=23?（a 2）3=8a 6．故选：D ．【点评】本题考查了幂的乘方，解决本题的关键是熟记幂的乘方法则．4．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值( )A．不变 B．扩大2倍 C．扩大4倍 D．缩小2倍【考点】分式的基本性质．【分析】依题意分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．【解答】解：由分式中的x和y都扩大2倍，得=，故选：A．【点评】本题考查了分式基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变．5．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为( )A．0.25×10﹣5B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】常规题型．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000 0025=2.5×10﹣6；故选：D．【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6．如图，已知△AOC≌△BOD，∠A=30°，∠C=20°，则∠COD=( )A．50°B．80°C．100°D．130°【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质和角的和差得到∠AOC=∠BOC，由三角形外角的性质得到∠AOD=∠BOC=∠A+∠C=50°，根据平角的定义即可得到结论．【解答】解：∵△AOC≌△BOD，∴∠AOC=∠BOC，∴∠AOD=∠BOC=∠A+∠C=50°，∴∠COD=180°﹣∠AOD﹣∠BOC=80°．故选B．【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，三角形的外角的性质，平角的定义，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，），B（﹣2，﹣），△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，则点C的坐标是( )A．（2，﹣）B．（﹣2，）C．（2，﹣2）D．（﹣2，2）【考点】等边三角形的性质；坐标与图形性质．【分析】根据等边三角形的轴对称性质得到点C与点B关于y轴对称，由此求得点C的坐标．【解答】解：∵如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∴点C与点B关于y轴对称，又∵B（﹣2，﹣），∴C（2，﹣）．故选：A．【点评】本题考查了等边三角形的性质和坐标与图形性质．熟练掌握等边三角形的轴对称性质是解题的关键．8．已知（x+y）2=13，且（x﹣y）2=5，则xy的值是( )A．8 B．4 C．2 D．1【考点】完全平方公式．【分析】先把所求式子变形为完全平方式，再把题中已知条件代入即可解答．【解答】解：因为（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy=13﹣5=8，所以xy=2，故选C【点评】本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．9．如图，在正五边形ABCDE中，连结AD、BD，则∠ADB的度数是( )A．18°B．36°C．54°D．72°【考点】多边形内角与外角；等腰三角形的性质．【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ADE≌△BCD，根据全等三角形的性质得到AD=BD，AE=DE=BC=CD，先求出∠ADE和∠BDC的度数，即可求出∠ADB的度数．【解答】解：在正五边形ABCDE中，∵AE=DE=BC=CD，∠E=∠EDC=∠C=108°，在△AED与△BCD中，，∴△ABC≌△AED，∴∠ADE=∠BDC=（180°﹣108°）=36°，∴∠ADB=108°﹣36°﹣36°=36°．故选B．【点评】本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．同时考查了多边形的内角和计算公式，及角相互间的和差关系，有一定的难度．10．如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，点E是线段AD上的一个动点，点P是点A关于直线BE的对称点，在点E的运动过程中，使△PBC为等腰三角形的点E的位置共有( )A．1个B．2个C．3个D．无数个【考点】等腰三角形的判定；轴对称的性质．【分析】分为三种情况：①以BC为底时，有两个，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA 为半径的圆的交点；②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，因为是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点．【解答】解：分为三种情况①以BC为底时，是BC的垂直平分线与以B为圆心BA为半径的圆的交点；此时的情况交点只有一个，且在BC边上，不能组成三角形．②以BP为底，C为顶点时，有两个，是以B为圆心BA为半径的圆与以C为圆心BC为半径的圆的交点；③以CP为底，B为顶点时，没有，∵是以B为圆心BA为半径的圆与以B为圆心BC为半径的圆没有交点；综上满足要求的P有2个，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，轴对称的性质等知识点，主要考查学生的理解能力和动手操作能力．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.11．在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=x，则x的取值范围是2＜x＜8．【考点】三角形三边关系．【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解．【解答】解：根据三角形的三边关系，得5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8．故答案为：2＜x＜8．【点评】考查了三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．12．若分式的值为0，则x的值是﹣1．【考点】分式的值为零的条件．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：由分式的值为0，得x+1=0且x﹣1≠0．解得x=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了分时值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．13．如图，OA=OB，要使△OAC≌△OBD，则需要添加的一个条件是OC=OD答案不唯一．（只需填写一个条件即可）【考点】全等三角形的判定．【分析】要使△OAC≌△OBD，已知OA=OB，∠AOC=∠DOB，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．【解答】解：OC=OD（或∠A=∠B或∠OCA=∠ODB）理由如下：加OC=OD，利用SAS证明；加∠A=∠B，利用ASA证明；加∠OCA=∠ODB，利用ASA或AAS证明．故答案为OC=OD，答案不唯一．【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．14．计算（1+）?的结果是3．（结果化为最简形式）【考点】分式的混合运算．【分析】先算括号里面的，再算乘法即可．【解答】解：原式=?=3．故答案为：3．【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．15．某学校有一块长方形活动场地，宽为xm，长是宽的2倍，实施“阳光体育”行动以后，学校为了扩大学生的活动场地，让学生能更好地进行体育活动，将活动场地的长和宽都增加了3m，则活动场地的面积增加了（9x+9）m2．【考点】列代数式．【专题】应用题．【分析】先求出原场地的长以及扩建后长度的长和宽，然后根据矩形的面积公式列出代数式，最后进行化简即可．【解答】解：扩建前长方形的长为2xm，扩建后长方形的长为（2x+3）m，宽为（x+3）m．活动场地增加的面积=（2x+3）（x+3）﹣2x?x=2x2+3x+6x+9﹣2x2．=9x+9．故答案为；9x+9．【点评】本题主要考查的是列代数式、多项式乘多项式，根据题意列出代数式是解题的关键．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠C=90°，AB=5，BC=4，AC=3，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，则△BDE的周长为6．【考点】角平分线的性质；勾股定理的逆定理．【分析】利用已知条件证明△ADE≌△ADC（SAS），得到ED=CD，从而BC=BD+CD=DE+BD=5，即可求得△BDE的周长．【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，在△ADE和△ADC中，，∴△ADE ≌△ADC （SAS ），∴ED=CD ，∴△BDE 的周长=BE+BD+ED=（5﹣3）+4=6．故答案为：6．【点评】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明△ADE ≌△ADC ．三、解答题（本题共9小题，满分72分，解答须写出文字说明、推理过程和演算步骤，17．先化简，再求值：[（x+3y ）2﹣（x+y ）（x ﹣y ）]÷2y ，其中x=，y=．【考点】整式的混合运算—化简求值．【分析】先算乘法，再合并同类项，算除法，最后代入求出即可．【解答】解：[（x+3y ）2﹣（x+y ）（x ﹣y ）]÷2y =[x 2+6xy+9y 2﹣x 2+y 2]÷2y =（6xy+10y 2）÷2y =3x+5y ，当x=，y=时，原式=3×+5×=2．【点评】本题考查了整式的混合运算和求值的应用，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．18．分解因式：（1）xy 2﹣2xy+x ；（2）a 3﹣4a ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题；因式分解．【分析】（1）原式提取x ，再利用完全平方公式分解即可；（2）原式提取a ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=x （y 2﹣2y+1）=x （y ﹣1）2；（2）原式=a （a 2﹣4）=a （a+2）（a ﹣2）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．19．解分式方程：﹣1=．【考点】解分式方程．【分析】首先得出最简公分母再去分母，进而解方程得出答案．【解答】解：去分母得：（x ﹣3）x ﹣（x+3）（x ﹣3）=18，整理得：﹣3x+9=18，解得：x=﹣3，检验：当x=﹣3时，（x+3）（x﹣3）=0，故此方程无实数根．【点评】此题主要考查了解分式方程，正确去分母是解题关键．20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=50°，∠C=70°，求∠EAD的度数．【考点】三角形内角和定理．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BAE，再求解即可．【解答】解：∵∠B=50°，AD是BC边上的高，∴∠BAD=90°﹣50°=40°，∵∠B=50°，∠C=70°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣70°=60°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠BAC=×60°=30°，∴∠EAD=∠BAD﹣∠BAE=40°﹣30°=10°．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，主要利用了直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键．21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在△ABC的外部，∠ACD=∠B，∠ADC=90°．（1）作图，作∠BAC的平分线AO，交BC于点O（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：BC=2CD．【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．【专题】作图题．【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AO平分∠BAC；（2）根据等腰三角形的性质可得AO⊥BC，BO=CO，则∠AOB=90°，于是可根据“AAS”判定△ABO≌△ACD，则BO=CD，所以BC=2CD．【解答】（1）解：如图，AO为所作；（2）证明：∵AB=AC，AO平分∠BAC，∴AO⊥BC，BO=CO，∴∠AOB=90°，在△ABO和△ACD中，，∴△ABO≌△ACD，∴BO=CD，∴BC=2CD．【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．也考查了全等三角形的判定与性质．22．如图，在3×3的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，如图中的△ABC是一个格点三角形，请你在下面四张图中各画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并用虚线标出它们的对称轴（要求画出的四个格点三角形互不相同）．【考点】利用轴对称设计图案．【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案．【解答】解：如图所示：．【点评】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD=CD，点E在AD上，DE=BD，M、N 分别是AB、CE的中点．（1）求证：△ADB≌△CDE；（2）求∠MDN的大小．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由垂直的定义得到∠ADB=∠ADC=90°，根据已知条件即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到∠BAD=∠DCE，根据直角三角形的性质得到AM=DM，DN=CN，由等腰三角形的性质得到∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，等量代换得到∠ADM=∠CDN，即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD与△CDE中，，∴△ABD≌△CDE；（2）解：∵△ABD≌△CDE，∴∠BAD=∠DCE，∵M、N分别是AB、CE的中点，∴AM=DM，DN=CN，∴∠MAD=∠MDA，∠NCD=∠NDC，∴∠ADM=∠CDN，∵∠CDN+∠ADN=90°，∴∠ADM+∠ADN=90°，∴∠MDN=90°．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．24．一辆汽车开往距离出发地320km的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的 1.2倍匀速行驶，并比原计划提前30min到达目的地，求前一小时的汽车行驶速度．【考点】分式方程的应用．【分析】由题意可知：加速后用的时间+30分钟+1小时=原计划用的时间，首先求得加速后行驶的路程为320千米﹣前一小时按原计划行驶的路程，进一步求得时间，建立方程求得答案即可．【解答】解：设前一个小时的平均行驶速度为x千米/时．依题意得：1++=，解得：x=80．经检验：x=80是分式方程的解．答：前一个小时的平均行驶速度为80千米/小时．【点评】此题考查分式方程的实际运用，掌握路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键．25．如图，线段AB与CD相交于点E，AB⊥BD，垂足为B，AC⊥CD，垂足为C．（1）如图1，若AB=CD，∠BDE=30°，试探究线段DE与CE的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若AB=BD，∠BDE=22.5°，试探究线段DE与AC的数量关系，并证明你的结论．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由垂直的定义得到∠B=∠C=90°，根据直角三角形的性质得到DE=2BE，根据三角形的内角和得到∠A=∠D=30°，得到AE=2CE，由AB=CD，等量代换即可得到结论；（2）连接AD，延长AC、BD交于F，根据已知条件得到∠CAE=∠BDE=22.5°，根据等腰直角三角形的性质得到∠ADB=45°，求得∠ADC=∠ADB﹣∠BDE=22.5°，推出△ACD≌△FCD，即可根据全等三角形的性质得到AC=CF，AF=DE，等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）DE=2CE，理由：∵AB⊥BD，AC⊥CD，∴∠B=∠C=90°，∵∠BDE=30°，∴DE=2BE，∵∠AEC=∠BED，∴∠A=∠D=30°，∴AE=2CE，∵AB=CD，∴AE+BE=CE+DE，∴2CE+DE=CE=DE，即DE=2CE；（2）DE=2AC，理由：连接AD，延长AC、BD交于F，∵∠ACE=∠DBE=90°，∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠BDE=22.5°，∵AB=BD，∴∠ADB=45°，∴∠ADC=∠ADB﹣∠BDE=22.5°，在△ACD与△FCD中，，∴△ACD≌△FCD，∴AC=CF，在△ABF与△DBE中，，∴△ABF≌△DBE，∴AF=DE，∵AF=2AC，∴DE=2AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．。
九年级2016--2017期末数学试卷
人教版九年级2016--2017期末数学试卷一．选择题（共12分）1．方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣12．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD=90°，则∠BCD的大小为（）A．90°B．125°C．135°D．145°4．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.45．在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．6．对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（）A．某市明天将有75%的时间下雨B．某市明天将有75%的地区下雨C．某市明天一定下雨D．某市明天下雨的可能性较大二．填空题（共24分）7．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为．8．关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为．9．二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是．10．如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为．11．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=度．12．如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是．13．关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2016=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=，b=．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为．三．解答题（共84分）15．解方程：x2+4x﹣1=0．16．如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形．（2）在图2中画△ABE（点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0（Ⅰ）求证：方程有两个不相等的实数根；（Ⅱ）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求△ABC的周长．18．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．19．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB长为2．（1）求点O到AB的距离．（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），求∠BCA的度数．20．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．21．两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．22．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C （0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线CM的解析式；（3）求△MCB的面积．23．把一张边长为40cm的正方形硬纸板进行裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．（1）若剪掉的正方形的边长为9cm时，长方体盒子的底面边长为cm，高为cm．（2）要使折成的长方体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形边长为多少？（3）折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．24．已知，如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A、B、D三点．（1）求证：AB是⊙O的直径；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．25．如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．（1）求证：四边形OECF为正方形；（2）求⊙O的半径；（3）求AB的长．26．已知一次函数y=﹣x+1与抛物线y=x2+bx+c交于A（0，1），B两点，B点纵坐标为10，抛物线的顶点为C．（1）求b，c的值；（2）判断△ABC的形状并说明理由；（3）点D、E分别为线段AB、BC上任意一点，连接CD，取CD的中点F，连接AF，EF．当四边形ADEF为平行四边形时，求平行四边形ADEF的周长．九年级2016--2017期末数学试卷一．选择题（共6小题）1．（2016秋•南京期中）方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1【解答】解：x2=x，x2﹣x=0，x（x﹣1）=0，x=0，x﹣1=0，x1=0，x2=1，故选C．2．（2016•哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．故选：D．3．（2016•长春模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD=90°，则∠BCD 的大小为（）A．90°B．125°C．135°D．145°【解答】解：∵∠BOD=90°，∴∠A=∠BOD=45°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°，∴∠BCD=135°，故选：C．4．（2016•抚顺）某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（）A．10（1+x）2=36.4 B．10+10（1+x）2=36.4C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4【解答】解：设二、三月份的月增长率是x，依题意有10+10（1+x）+10（1+x）2=36.4，故选D．5．（2016•张家界）在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故不合题意，图形错误；B、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＜0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，对称轴x=＜0，应在y轴的左侧，故不合题意，图形错误；C、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，图象开口向上，对称轴x=＞0，应在y轴的右侧，故符合题意；D、对于直线y=ax+b来说，由图象可以判断，a＞0，b＞0；而对于抛物线y=ax2﹣bx来说，图象开口向下，a＜0，故不合题意，图形错误；故选：C．6．（2016•三明）对“某市明天下雨的概率是75%”这句话，理解正确的是（）A．某市明天将有75%的时间下雨B．某市明天将有75%的地区下雨C．某市明天一定下雨D．某市明天下雨的可能性较大【解答】解：“某市明天下雨的概率是75%”说明某市明天下雨的可能性较大，故选：D．二．填空题（共8小题）7．（2016•临夏州）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为12．【解答】解：x2﹣13x+40=0，（x﹣5）（x﹣8）=0，所以x1=5，x2=8，而三角形的两边长分别是3和4，所以三角形第三边的长为5，所以三角形的周长为3+4+5=12．故答案为12．8．（2016•本溪）关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为1．【解答】解：∵关于x的方程kx2﹣4x﹣4=0有两个不相等的实数根，∴k≠0且b2﹣4ac＞0，即，解得k＞﹣1且k≠0，∴k的最小整数值为：1．故答案为：1．9．（2016•兰州）二次函数y=x2+4x﹣3的最小值是﹣7．【解答】解：∵y=x2+4x﹣3=（x+2）2﹣7，∵a=1＞0，∴x=﹣2时，y有最小值=﹣7．故答案为﹣7．10．（2016•黔东南州）如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为π．【解答】解：∵，∴S 阴影==πAB2=π．故答案为：π．11．（2016•牡丹江）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，若AB=6，BC=3，则∠BDC=30度．【解答】解：连接AC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵AB=6，BC=3，∴sin∠CAB===，∴∠CAB=30°，∴∠BDC=30°，故答案为：30．12．（2016•聊城）如图，随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是．【解答】解：∵随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个共有10种可能，能够使灯泡L1，L2同时发光有2种可能（S1，S2，S4或S1，S2，S5）．∴随机地闭合开关S1，S2，S3，S4，S5中的三个，能够使灯泡L1，L2同时发光的概率是=．故答案为．13．（2016春•延庆县期末）关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2016=0有一个根为x=1，写出一组满足条件的实数a，b的值：a=1，b=2015．【解答】解：把x=1代入ax2+bx﹣2016=0得a+b﹣2016=0，当a=1时，b=2015．故答案为：1，2015．14．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S△BCD=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，∵﹣＜0，∴S△BCD有最大值，最大值为15，故答案为15．三．解答题（共12小题）15．（2016•淄博）解方程：x2+4x﹣1=0．【解答】解：∵x2+4x﹣1=0∴x2+4x=1∴x2+4x+4=1+4∴（x+2）2=5∴x=﹣2±∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．16．（2015•香坊区三模）如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画△ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形．（2）在图2中画△ABE（点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．【解答】解：（1）如图1所示：（2）如图2所示：四边形ACBE的面积为：2×4=8．17．（2016春•南开区期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2=0 （Ⅰ）求证：方程有两个不相等的实数根；（Ⅱ）若△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求△ABC的周长．【解答】（1）证明：∵△=（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=1，∴△＞0，∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；（2﹚解：∵△ABC是等腰三角形；∴当AB=AC时，△=b2﹣4ac=0，∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）=0，解得k不存在；当AB=BC时，即AB=5，∴5+AC=2k+3，5AC=k2+3k+2，解得k=3或4，∴AC=4或6．∴△ABC的周长为14或16．18．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．19．（2015秋•玄武区期末）如图，在半径为2的⊙O中，弦AB长为2．（1）求点O到AB的距离．（2）若点C为⊙O上一点（不与点A，B重合），求∠BCA的度数．【解答】解：（1）过点O作OD⊥AB于点D，连接AO，BO．如图1所示：∵OD⊥AB且过圆心，AB=2，∴AD=AB=1，∠ADO=90°，在Rt△ADO中，∠ADO=90°，AO=2，AD=1，∴OD==．即点O到AB的距离为．（2）如图2所示：∵AO=BO=2，AB=2，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°．若点C在优弧上，则∠BCA=30°；若点C在劣弧上，则∠BCA=（360°﹣∠AOB）=150°；综上所述：∠BCA的度数为30°或150°．20．（2015•宁波）一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为．（1）布袋里红球有多少个？（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表法或画树状图等方法求出两次摸到的球都是白球的概率．【解答】解：（1）设红球的个数为x，由题意可得：，解得：x=1，经检验x=1是方程的根，即红球的个数为1个；（2）画树状图如下：∴P（摸得两白）==．21．（2014•黔南州）两个长为2cm，宽为1cm的长方形，摆放在直线l上（如图①），CE=2cm，将长方形ABCD绕着点C顺时针旋转α角，将长方形EFGH绕着点E逆时针旋转相同的角度．（1）当旋转到顶点D、H重合时，连接AE、CG，求证：△AED≌△GCD（如图②）．（2）当α=45°时（如图③），求证：四边形MHND为正方形．【解答】证明：（1）如图②，∵由题意知，AD=GD，ED=CD，∠ADC=∠GDE=90°，∴∠ADC+∠CDE=∠GDE+∠CDE，即∠ADE=∠GDC，在△AED与△GCD中，，∴△AED≌△GCD（SAS）；（2）如图③，∵α=45°，BC∥EH，∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，∴∠CNE=90°，∴∠DNH=90°，∵∠D=∠H=90°，∴四边形MHND是矩形，∵CN=NE，∴DN=NH，∴矩形MHND是正方形．22．（2016春•荣成市校级月考）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其中点A（﹣1，0），点C（0，5），点D（1，8）都在抛物线上，M为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）求直线CM的解析式；（3）求△MCB的面积．【解答】解：（1）根据题意得，解得，所以二次函数解析式为y=﹣x2+4x+5；（2）y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，则M点坐标为（2，9），设直线MC的解析式为y=mx+n，把M（2，9）和C（0，5）代入得，解得，所以直线CM的解析式为y=2x+5；（3）把y=0代入y=2x+5得2x+5=0，解得x=﹣，则E点坐标为（﹣，0），把y=0代入y=﹣x2+4x+5得﹣x2+4x+5=0，解得x1=﹣1，x2=5，所以S△MCB=S△MBE﹣S△CBE=××9﹣××5=15．23．（2016秋•孝感校级月考）把一张边长为40cm的正方形硬纸板进行裁剪，折成一个长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．如图，若在正方形硬纸板的四角各剪掉一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．（1）若剪掉的正方形的边长为9cm时，长方体盒子的底面边长为22cm，高为9cm．（2）要使折成的长方体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形边长为多少？（3）折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．【解答】解：（1）如图所示，由已知得：BC=9cm，AB=40﹣2×9=22cm，故答案为：22，9；（2）设剪掉的正方形的边长为x cm，则（40﹣2x）2=484，即40﹣2x=±22，解得x1=31（不合题意，舍去），x2=9；答：剪掉的正方形边长为9cm；③折成的长方体盒子的侧面积有最大值，设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x的函数关系式为y=4（40﹣2x）x，即y=﹣8x2+160x，y=﹣8（x﹣10）2+800，∵﹣8＜0，∴y有最大值，∴当x=10时，y最大=800；答：折成的长方体盒子的侧面积有最大值，这个最大值是800cm2，此时剪掉的正方形的边长是10cm．24．（2016春•合肥校级月考）已知，如图，△ABC中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A、B、D三点．（1）求证：AB是⊙O的直径；（2）求证：DE为⊙O的切线；（3）若⊙O的半径为3，∠BAC=60°，求DE的长．【解答】（1）证明：如图1，连接AD，∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴AB是⊙O的直径；（2）证明：如图2，连接OD，∵AO=BO，BD=DC，∴DO是△BAC的中位线，∴DO∥AC，∴DO⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（3）解：如图3，∵AO=3，∴AB=6，又∵AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AD=3，∵AC×DE=CD×AD，∴6×DE=3×3，解得：DE=．25．（2015•南丹县一模）如图，∠C=90°，⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，连接OE，OF．AO的延长线交BC于点D，AC=6，CD=2．（1）求证：四边形OECF为正方形；（2）求⊙O的半径；（3）求AB的长．【解答】（1）证明：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，分别切BC，AC，AB于点E，F，G，∴∠C=∠CFO=∠CEO=90°，∴四边形CFOE是矩形，∵OF=OE，∴四边形OECF为正方形；（2）解：由题意可得：EO∥AC，∴△DEO∽△DCA，∴=，设⊙O的半径为x，则=，解得：x=1.5，故⊙O的半径为1.5；（3）解：∵⊙O的半径为1.5，AC=6，∴CF=1.5，AF=4.5∴AG=4.5，设BG=BE=y，∴在Rt△ACB中AC2+BC2=AB2，∴62+（y+1.5）2=（4.5+y）2，解得：y=3，∴AB=AG+BG=4.5+3=7.5．26．（2016•亭湖区一模）已知一次函数y=﹣x+1与抛物线y=x2+bx+c交于A（0，1），B两点，B点纵坐标为10，抛物线的顶点为C．（1）求b，c的值；（2）判断△ABC的形状并说明理由；（3）点D、E分别为线段AB、BC上任意一点，连接CD，取CD的中点F，连接AF，EF．当四边形ADEF为平行四边形时，求平行四边形ADEF的周长．【解答】解：（1）把A（0，1），代入y=x2+bx+c，解得c=1，将y=10代入y=﹣x+1，得x=﹣9，∴B点坐标为（﹣9，10），将B （﹣9，10），代入y=x2+bx+c得b=2；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵y=x2+2x+1=（x+3）2﹣2，∴点C的坐标为（﹣3，﹣2），分别作BG垂直于y轴，CH垂直于y轴∵BG=AG=9，∴∠BAG=45°，同理∠CAH=45°，∴∠CAB=90°∴△ABC是直角三角形；（3）∵BG=AG=9，∴AB=9，∵CH=AH=3，∴AC=3，∵四边形ADEF为平行四边形，∴AD∥EF，又∵F为CD中点，∴CE=BE，即EF为△DBC的中位线，EF∴EF=AD=BD，∵AB=9，∴EF=AD=3在Rt△ACD中，AD=3，AC=3，∴CD=6，∴AF=3，∴平行四边形ADEF周长为6+6．第21页（共21页）。
2015-2016年广东省佛山市初三上学期期末数学试卷及参考答案
2015-2016学年广东省佛山市初三上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．（3分）下列选项中一元二次方程的是（）A．x=2y﹣3B．2（x+1）=3C．2x2+x﹣4D．5x2+3x﹣4=0 2．（3分）如图所示的正三棱柱的主视图是（）A．B．C．D．3．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：16B．1：9C．1：4D．1：24．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（）A．B．C．D．5．（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（）A．B．2C．D．26．（3分）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越大，梯子越陡B．cosA的值越大，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关7．（3分）一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根8．（3分）如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（）A．y=（x＞0）B．y=（x＞0）C．y=（x＜0）D．y=（x＜0）9．（3分）下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形10．（3分）反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一个根，则它的另一个根为．12．（4分）某学校共有学生3000人，为了解学生的课外阅读情况，随机调查了200名同学，其中120人有阅读课外书的习惯，则该学校大约人有阅读课外书的习惯．13．（4分）如图，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AC=4，则AB=．14．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是度．15．（4分）某网店一种玩具原价为100元，“双十一”期间，经过两次降价，售价变成了81元，假设两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为．16．（4分）如图，已知矩形ABCD的长和宽分别为16cm和12cm，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形l1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形l2；…如此操作下去，则l4的面积是cm2．三、解答题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．17．（6分）解方程：x（2x﹣3）=3﹣2x．18．（6分）计算：cos230°+2sin60°﹣tan45°．19．（6分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．四、解答题：本大题共3小题，每小题7分，共21分．20．（7分）如图，AB表示路灯，当身高为1.6米的小名站在离路灯1.6的D处时，他测得自己在路灯下的影长DE与身高CD相等，当小明继续沿直线BD 往前走到E点时，画出此时小明的影子，并计算此时小明的影长．21．（7分）两枚正四面体骰子的各面上分别标有数字1，2，3，4，现在同时投掷这两枚骰子，并分别记录着地的面所得的点数为a、b．（1）假设两枚正四面体都是质地均匀，各面着地的可能性相同，请你在下面表格内列举出所有情形（例如（1，2），表示a=1，b=2），并求出两次着地的面点数相同的概率．b1234a1（1，2）234（2）为了验证试验用的正四面体质地是否均匀，小明和他的同学取一枚正四面体进行投掷试验．试验中标号为1的面着地的数据如下：试验总次数50100150200250500“标号1”的面着地的次数1526344863125“标号1”的面着地的频率0.30.260.230.24请完成表格（数字精确到0.01），并根据表格中的数据估计“标号1的面着地”的概率是多少？22．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形；（2）证明：DE=BC．五、解答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分．23．（9分）已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是（2，3）．（1）求出这两个函数的表达式；（2）作出两个函数的草图，利用你所作的图形，猜想并验证这两个函数图象的另一个交点的坐标；（3）直接写出使反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围．24．（9分）如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC 与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE 与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E 到地面的距离EF的长度．25．（9分）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C 出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．（1）几秒后P、Q两点相距25cm？（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？（3）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．2015-2016学年广东省佛山市初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．1．（3分）下列选项中一元二次方程的是（）A．x=2y﹣3B．2（x+1）=3C．2x2+x﹣4D．5x2+3x﹣4=0【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项错误；B、是一元一次方程，故此选项错误；C、不是方程，故此选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；故选：D．2．（3分）如图所示的正三棱柱的主视图是（）A．B．C．D．【分析】主视图是分别从物体正面看所得到的图形．【解答】解：从几何体的正面看所得到的形状是矩形，中间有一道竖直的虚线，故选：D．3．（3分）如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的中点，连接DE，那么△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：16B．1：9C．1：4D．1：2【分析】由于D，E分别是AB，AC边上的中点，利用三角形中位线定理可知DE∥BC，=，再利用平行线分线段成比例定理的推论易证△ADE∽△ABC，再利用相似三角形面积比等于相似比的平方可求两个三角形面积比．【解答】解：∵D，E分别是AB，AC边上的中点，∴DE∥BC，=，∴△ADE∽△ABC，∴S△ADE ：S△ABC=（）2=．故选：C．4．（3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，则sinA的值是（）A．B．C．D．【分析】先由勾股定理求出斜边c的长，再根据锐角三角函数的定义直接解答即可．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，b=3，∴c==5，∴sinA==．故选：A．5．（3分）如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB=2，∠B=60°时，AC等于（）A．B．2C．D．2【分析】首先连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB=2，∠B=60°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：连接AC，∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2．故选：B．6．（3分）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A．sinA的值越大，梯子越陡B．cosA的值越大，梯子越陡C．tanA的值越小，梯子越陡D．陡缓程度与∠A的函数值无关【分析】锐角三角函数值的变化规律：正弦值和正切值都是随着角的增大而增大，余弦值和余切值都是随着角的增大而减小．【解答】解：根据锐角三角函数的变化规律，知sinA的值越大，∠A越大，梯子越陡．故选：A．7．（3分）一元二次方程x2+x﹣2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣2）=9，∵9＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．故选：A．8．（3分）如图，某个反比例函数的图象经过点P，则它的解析式为（）A．y=（x＞0）B．y=（x＞0）C．y=（x＜0）D．y=（x＜0）【分析】先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：设反比例函数的解析式为（k≠0）由图象可知，函数经过点P（﹣1，1）得k=﹣1∴反比例函数解析式为y=（x＜0）．故选：D．9．（3分）下列命题中正确的是（）A．有一组邻边相等的四边形是菱形B．有一个角是直角的平行四边形是矩形C．对角线垂直的平行四边形是正方形D．一组对边平行的四边形是平行四边形【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；B、正确；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．故选：B．10．（3分）反比例函数y=﹣和一次函数y=kx﹣k在同一直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答．【解答】解：当k＜0时，﹣k＞0，反比例函数y=﹣的图象在一，三象限，一次函数y=kx﹣k的图象过一、二、四象限，选项B符合；当k＞0时，﹣k＜0，反比例函数y=﹣的图象在二、四象限，一次函数y=kx﹣k 的图象过一、三、四象限，无符合选项．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）已知x=﹣1是方程x2﹣ax+6=0的一个根，则它的另一个根为﹣6．【分析】此题直接根据根与系数的关系中的两根之积就可以求出另一个根．【解答】解：∵x2﹣ax+6=0的一个根为﹣1，∴另一个根x=6÷（﹣1）=﹣6．故答案为：﹣6．12．（4分）某学校共有学生3000人，为了解学生的课外阅读情况，随机调查了200名同学，其中120人有阅读课外书的习惯，则该学校大约1800人有阅读课外书的习惯．【分析】先求出阅读课外书的习惯的人数所占的百分比，再乘以全校的总人数即可得出答案．【解答】解：根据题意得：3000×=1800（人），答：学校大约1800人有阅读课外书的习惯；故答案为：1800．13．（4分）如图，点C为线段AB的黄金分割点（AC＞BC），已知AC=4，则AB= 2+2．【分析】根据黄金比值是列出算式，计算即可．【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点，∴AC=AB，又AC=4，∴AB=2+2，故答案为：2+2．14．（4分）如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数是22.5度．【分析】根据正方形的性质，易知∠CAE=∠ACB=45°；等腰△CAE中，根据三角形内角和定理可求得∠ACE的度数，进而可由∠BCE=∠ACE﹣∠ACB得出∠BCE 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠CAB=∠BCA=45°；△ACE中，AC=AE，则：∠ACE=∠AEC=（180°﹣∠CAE）=67.5°；∴∠BCE=∠ACE﹣∠ACB=22.5°．故答案为22.5．15．（4分）某网店一种玩具原价为100元，“双十一”期间，经过两次降价，售价变成了81元，假设两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为10%．【分析】设每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1﹣降价百分率）2=售价，据此列方程求解．【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得，100×（1﹣x）2=81，解得：x=0.1=10%．故答案为：10%．16．（4分）如图，已知矩形ABCD的长和宽分别为16cm和12cm，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形l1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形l2；…如此操作下去，则l4的面积是cm2．【分析】根据题意和菱形的面积公式求出菱形l1的面积，根据中点的性质进行计算即可求出菱形l4的面积．【解答】解：∵矩形ABCD的长和宽分别为16cm和12cm，∴EF=8cm，AE=6cm，∴菱形l1的面积=×8×6=24cm2，同理，菱形l2的面积=×4×3=6cm2，则菱形l3的面积=×2×=cm2，∴菱形l4的面积=×1×=cm2，故答案为：．三、解答题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．17．（6分）解方程：x（2x﹣3）=3﹣2x．【分析】首先移项得到x（2x﹣3）+（2x﹣3）=0，然后提取公因式（2x﹣3），最后解两个一元一次方程即可．【解答】解：∵x（2x﹣3）=3﹣2x，∴x（2x﹣3）+（2x﹣3）=0，∴（2x﹣3）（x+1）=0，∴2x﹣3=0或x+1=0，∴x1=﹣1，x2=．18．（6分）计算：cos230°+2sin60°﹣tan45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=（）2+2×﹣1=+﹣1=﹣．19．（6分）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且△ACP∽△PDB，求∠APB的度数．【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=60°，根据相似三角形的判定定理证明△ACP∽△ABP，根据相似三角形的性质得到答案．【解答】解：∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD=60°，∴∠ACP=120°，∵△ACP∽△PDB，∴∠APC=∠B，又∠A=∠A，∴△ACP∽△ABP，∴∠APB=∠ACP=120°．四、解答题：本大题共3小题，每小题7分，共21分．20．（7分）如图，AB表示路灯，当身高为1.6米的小名站在离路灯1.6的D处时，他测得自己在路灯下的影长DE与身高CD相等，当小明继续沿直线BD 往前走到E点时，画出此时小明的影子，并计算此时小明的影长．【分析】画出图形，根据题意得出BD=CD=DE=EF=1.6米，AB∥CD，得出BE=3.2米，△CDE∽△ABE，由相似三角形的性质得出比例式求出AB，同理：△FEG ∽△ABG，得出，即可得出EG的长．【解答】解：如图所示：线段EG表示小明此时的影子；根据题意得：BD=CD=DE=EF=1.6米，AB∥CD，∴BE=3.2米，△CDE∽△ABE，∴，即，解得：AB=3.2米，同理：△FEG∽△ABG，∴，即，解得：EG=3.2米；答：此时小明的影长为3.2米．21．（7分）两枚正四面体骰子的各面上分别标有数字1，2，3，4，现在同时投掷这两枚骰子，并分别记录着地的面所得的点数为a、b．（1）假设两枚正四面体都是质地均匀，各面着地的可能性相同，请你在下面表格内列举出所有情形（例如（1，2），表示a=1，b=2），并求出两次着地的面点数相同的概率．1234ba1（1，2）234（2）为了验证试验用的正四面体质地是否均匀，小明和他的同学取一枚正四面体进行投掷试验．试验中标号为1的面着地的数据如下：50100150200250500试验总次数1526344863125“标号1”的面着地的次数0.30.260.230.24“标号1”的面着地的频率请完成表格（数字精确到0.01），并根据表格中的数据估计“标号1的面着地”的概率是多少？【分析】（1）根据题意先在表格内列举出所有情形，再用两次着地的面点数相同的情况数除以总情况数即可；（2）用“标号1”的面着地的次数除以试验总次数得到“标号1”的面着地的频率，再利用频率估计概率即可估计“标号1的面着地”的概率．【解答】解：（1）填表如下：1234ba1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）从图表可知，共有16种等可能的情况，其中两次着地的面点数相同的情况有4种，分别是（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），所以，两次着地的面点数相同的概率为=；（2）填表如下：50100150200250500试验总次数1526344863125“标号1”的面着地的次数0.30.260.230.240.25 0.25 “标号1”的面着地的频率由各组实验的频率可估计“标号1的面着地”的概率是0.25．22．（7分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．（1）证明：四边形ADCE为菱形；（2）证明：DE=BC．【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；（2）由菱形的性质得出AC⊥DE，证出DE∥BC，再由CE∥AB，证出四边形BCED 是平行四边形，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=AD，∴四边形ADCE为菱形；（2）证明：∵四边形ADCE为菱形，∴AC⊥DE，∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，∴DE∥BC，又∵CE∥AB，∴四边形BCED是平行四边形，∴DE=BC．五、解答题：本大题共3小题，每小题9分，共27分．23．（9分）已知正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是（2，3）．（1）求出这两个函数的表达式；（2）作出两个函数的草图，利用你所作的图形，猜想并验证这两个函数图象的另一个交点的坐标；（3）直接写出使反比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据函数解析式确定出图象所经过的点的坐标，再画出图象即可．（3）根据图象和交点坐标即可求得．【解答】解：（1）由正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点是（2，3），得3=2k1，3=．解得k1=，k2=6．正比例函数y=x；反比例函数y=；（2）画出函数的图象如图：两个函数图象的一个交点的坐标（2，3），猜想另一个交点的坐标（﹣2，﹣3），把（﹣2，﹣3）代入y=成立；（3）由图象可知：比例函数值大于正比例函数值的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．24．（9分）如图是某地下商业街的入口，数学课外兴趣小组的同学打算运用所学的知识测量侧面支架的最高点E到地面的距离EF．经测量，支架的立柱BC与地面垂直，即∠BCA=90°，且BC=1.5m，点F、A、C在同一条水平线上，斜杆AB与水平线AC的夹角∠BAC=30°，支撑杆DE⊥AB于点D，该支架的边BE 与AB的夹角∠EBD=60°，又测得AD=1m．请你求出该支架的边BE及顶端E 到地面的距离EF的长度．【分析】过B作BH⊥EF于点H，在Rt△ABC中，根据∠BAC=30°，BC=1.5，可求得AB的长度，又AD=1m，可求得BD的长度，在Rt△EBD中解直角三角形求得EB的长度，然后根据BH⊥EF，求得∠EBH=30°，继而可求得EH的长度，易得EF=EH+HF的值．【解答】解：过B作BH⊥EF于点H，∴四边形BCFH为矩形，BC=HF=1.5m，∠HBA=∠BAC=30°，在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，BC=1.5m，∴AB=3m，∵AD=1m，∴BD=2m，在Rt△EDB中，∵∠EBD=60°，∴∠BED=90°﹣60°=30°，∴EB=2BD=2×2=4m，又∵∠HBA=∠BAC=30°，∴∠EBH=∠EBD﹣∠HBD=30°，∴EH=EB=2m，∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5（m）．答：该支架的边BE为4m，顶端E到地面的距离EF的长度为3.5m．25．（9分）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=30cm，BC=25cm，动点P从点C 出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s，动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s．（1）几秒后P、Q两点相距25cm？（2）几秒后△PCQ与△ABC相似？（3）设△CPQ的面积为S1，△ABC的面积为S2，在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S1：S2=2：5？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由．【分析】（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，用x表示出CP、CQ，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）分△PCQ∽△ACB和△PCQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出关系式，解方程即可；（3）用t分别表示出CP、CQ，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）设x秒后P、Q两点相距25cm，则CP=2xcm，CQ=（25﹣x）cm，由题意得，（2x）2+（25﹣x）2=252，解得，x1=10，x2=0（舍去），则10秒后P、Q两点相距25cm；（2）设y秒后△PCQ与△ABC相似，当△PCQ∽△ACB时，=，即=，解得，y=，当△PCQ∽△BCA时，=，即=，解得，y=，故秒或秒后△PCQ与△ABC相似；（3）△CPQ的面积为S1=×CQ×CP=×2t×（25﹣t）=﹣t2+25t，△ABC的面积为S2=×AC×BC=375，由题意得，5（﹣t2+25t）=375×2，解得，t1=10，t2=15，故运动10秒或15秒时，S1：S2=2：5．。
2015-2016年广东省深圳高级中学高二(上)期末数学试卷(理科)及答案
2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）若，集合，则（）A．B∈a B．a⊈B C．{a}∈B D．a∈B2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）若△ABC的三边长分别为，2，，则△ABC的形状是（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥α的一个充分条件是（）A．m∥n，n∥β，α⊥βB．n∥β，α∥β C．m∥n，n⊥β，α∥βD．m⊥n，n⊥β，α⊥β5．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．6．（5分）若实数x，y满足条件则|x﹣3y|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．37．（5分）椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）8．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（﹣1）的值是．9．（5分）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是．三．解答题（本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10．（10分）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．11．（12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．12．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求AP的值．13．（12分）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长20米，宽6米，高2.58米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？四．选择题：共5小题，每小题5分，共25分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.14．（5分）由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有（）A．10个B．14个C．16个D．18个15．（5分）记a=1.82016+0.22016，b=22016，则它们的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．以上均有可能16．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣4=0的实根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．317．（5分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则当k≥1，均有f（k）≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k）≥k2成立C．若f（7）＜49成立，则当k≥8，均有f（k）≥k2成立D．若f（4）=25成立，则当k≥4，均有f（k）≥k2成立18．（5分）路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（）A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s五.填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）19．（5分）某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m∈N*），编号分别为1、2、3、…、m；有n台（n∈N*）织布机，编号分别为1、2、3、…、n．定义记号a ij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定a ij=1；否则，若第i名工人没有操作第j 号织布机，规定a ij=0．则等式a41+a42+a43+…+a4n=5的实际意义是：第名工人共操作了台织布机．20．（5分）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为；f′（x）=0的解是．六．解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）计算下列积分：（1）；（2）．22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2015-2016学年广东省深圳高级中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：共7小题，每小题5分，共35分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.1．（5分）若，集合，则（）A．B∈a B．a⊈B C．{a}∈B D．a∈B【解答】解：∵＞0，a6=8，，故，即，故a∈B，故选：D．2．（5分）如图在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，则复数的值是（）A．﹣1+2i B．﹣2﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，结合所给的图形可得z1=﹣2﹣i，z2=i，则复数==﹣1+2i，故选：A．3．（5分）若△ABC的三边长分别为，2，，则△ABC的形状是（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【解答】解：设最大边对应的角为θ，则θ为△ABC的最大内角，由余弦定理可得cosθ==＞0，可得θ为锐角，故△ABC为锐角三角形，故选：A．4．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则m⊥α的一个充分条件是（）A．m∥n，n∥β，α⊥βB．n∥β，α∥β C．m∥n，n⊥β，α∥βD．m⊥n，n⊥β，α⊥β【解答】解：∵n∥β，α⊥β，n与α的位置关系不定，∵m∥n，∴m与α的位置关系不定，故A×；B选项与直线m无关，∴B错误；C选项，∵α∥β，n⊥β，∴n⊥α，∵m∥n，∴m⊥α，故C正确；D选项，∵n⊥β，α⊥β，∴n∥α或n⊂α，m⊥n，m与α的位置关系不确定，故D错误；故选：C．5．（5分）若点P（x，y）坐标满足ln||=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，x=1时，y=1，故排除C，D；令x=2，则y=，排除A．故选：B．6．（5分）若实数x，y满足条件则|x﹣3y|的最大值为（）A．6 B．5 C．4 D．3【解答】解：不等式表示的平面区域，如图所示先求的最大值，即求区域内的点到直线的距离的最大值．由，可得x=1，y=2由图可知，（1，2）到直线x﹣3y=0的距离最大为=∴|x﹣3y|的最大值为5故选：B．7．（5分）椭圆（a＞b＞0）的两焦点分别为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：依题意，以F1F2为底的正三角形的两腰中点在椭圆上∵|F1F2|=2c，以F1F2为底的正三角形的两腰上的高为c，∴椭圆离心率e===﹣1故选：C．二．填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）8．（5分）已知f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+4，g（1）=2，则f（﹣1）的值是2．【解答】解：由g（1）=2得，g（1）=f（1）+4，解得f（1）=﹣2，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=2，故答案为：2．9．（5分）经过双曲线的左顶点、虚轴上端点、右焦点的圆的方程是x2+y2﹣2x+y﹣15=0．【解答】解：双曲线的左顶点A（﹣3，0）、虚轴上端点B（0，4）、右焦点F（5，0），设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，得D=﹣2，E=，F=﹣15，即圆的一般方程为x2+y2﹣2x+y﹣15=0，故答案为：x2+y2﹣2x+y﹣15=0三．解答题（本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）10．（10分）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．【解答】解：（Ⅰ）∵x1=3，∴2p+q=3，①又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，∴3+25p+5q=25p+8q，②联立①②求得p=1，q=1（Ⅱ）由（1）可知x n=2n+n∴S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=．11．（12分）已知函数f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x∈[0，]时，求y=g（x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=（sin2x+cos2x）2﹣2sin22x=sin4x+cos4x=，…（6分）所以函数f（x）的最小正周期为．…（8分）（Ⅱ）依题意，y=g（x）=[]+1=．…（10分）因为，所以．…（11分）当，即时，g（x）取最大值；当，即x=0时，g（x）取最小值0．…（13分）12．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=．（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若二面角A﹣PC﹣D的大小为60°，求AP的值．【解答】（Ⅰ）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得CE==1，DE==3，所以BE=DE，从而得∠DBC=∠BCA=45°，所以∠BOC=90°，即AC⊥BD．由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，因为AC∩PA=A，所以BD⊥平面PAC．…（7分）（Ⅱ）解：方法一：作OH⊥PC于点H，连接DH．由（Ⅰ）知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．故∠DHO是二面角A﹣PC﹣D的平面角，所以∠DHO=60°．在Rt△DOH中，由DO=，得OH=．在Rt△PAC中，=．设PA=x，可得=．解得x=，即AP=．…（15分）方法二：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A（0，﹣，0），B（，0，0），C（0，，0），D（﹣，0，0）．由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P（0，﹣，t）（t＞0）．设=（x，y，z）为平面PDC的法向量，由=（﹣，﹣，0），=（﹣，，﹣t）知取y=1，得=（﹣2，1，）．又平面PAC的法向量为=（1，0，0），于是|cos＜，＞|===．解得t=，即AP=．…（15分）13．（12分）如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长20米，宽6米，高2.58米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？【解答】解：以O为原点，过O垂直于AB的直线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系：设抛物线方程为x2=my，根据题意知点B（5，﹣4）在抛物线上；∴25=﹣4m；∴；∴；可设C（3，﹣4），过C作AB的垂线，交抛物线于D（3，y0），则；∴；∴；∴货箱不能顺利通过该桥．四．选择题：共5小题，每小题5分，共25分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.14．（5分）由数字2，3，4，5，6所组成的没有重复数字的四位数中5，6相邻的奇数共有（）A．10个B．14个C．16个D．18个【解答】解：奇数的最后一位只能是3.5；必须含有5、6，因5、6必须相邻，则把5.6看成一个数，分2种情况讨论：①、3在末位，在2、4中任取一个，与5、6整体进行全排列，有2×2×2=8种情况，②、5在末位，则6在十位，前2位数字有A32=6种情况，∴没有重复的四位数中5，6相邻的奇数8+6=14个；故选：B．15．（5分）记a=1.82016+0.22016，b=22016，则它们的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．以上均有可能【解答】解：∵a=1.82016+0.22016，b=22016，∴b=22016=（1.8+0.2）2016=C201601.82016+C201611.820150.2+…+C201620161.800.22016＞1.82016+0.22016=a，故选：B．16．（5分）方程x3﹣6x2+9x﹣4=0的实根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：令f（x）=x3﹣6x2+9x﹣4，则f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）．由f′（x）＞0得x＞3或x＜1，由f′（x）＜0得1＜x＜3．∴f（x）的单调增区间为（3，+∞），（﹣∞，1），单调减区间为（1，3），∴f（x）在x=1处取极大值，在x=3处取极小值，又∵f（1）=0，f（3）=﹣4＜0，∴函数f（x）的图象与x轴有两个交点，即方程x3﹣6x2+9x﹣4=0有两个实根．故选：C．17．（5分）设f（x）是定义在正整数集上的函数，且f（x）满足：“f（k）≥k2成立时，总可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命题总成立的是（）A．若f（3）≥9成立，则当k≥1，均有f（k）≥k2成立B．若f（5）≥25成立，则当k≤5时，均有f（k）≥k2成立C．若f（7）＜49成立，则当k≥8，均有f（k）≥k2成立D．若f（4）=25成立，则当k≥4，均有f（k）≥k2成立【解答】解：对A，当k=1或2时，不一定有f（k）≥k2成立；对B，只能得出：对于任意的k≥5，均有f（k）≥k2成立，不能得出：任意的k ≤5，均有f（k）≤k2成立；对于C，若f（7）＜49成立不能推出任何结论；对D，∵f（4）=25≥16，∴对于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立．故选：D．18．（5分）路灯距离地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度从路灯在地面上的射影点O沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为（）A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s【解答】解：如图：设人的高度AB，则AB=1.6，人的影子长AC=h，由直角三角形相似得=，解得h=21t （m/min）=21t×（m/s）=t m/s，∴h′=m/s，故选：D．五.填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.把答案填在答卷卡的相应位置上）19．（5分）某纺织厂的一个车间有技术工人m名（m∈N*），编号分别为1、2、3、…、m；有n台（n∈N*）织布机，编号分别为1、2、3、…、n．定义记号a ij：若第i名工人操作了第j号织布机，规定a ij=1；否则，若第i名工人没有操作第j 号织布机，规定a ij=0．则等式a41+a42+a43+…+a4n=5的实际意义是：第4名工人共操作了5台织布机．【解答】解：a41+a42+a43+…+a4n=5中的第一下标4的意义是第四名工人，第二下标1，2，…，n表示第1号织布机，第2号织布机，…，第n号织布机，∵a ij=1；否则，若第i名工人没有操作第j号织布机，规定a ij=0．∴根据规定可知这名工人操作了5台织布机．故答案为：4，5．20．（5分）如图，线段AB=8，点C在线段AB上，且AC=2，P为线段CB上一动点，点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D．设CP=x，△CPD的面积为f（x）．则f（x）的定义域为（2，4）；f′（x）=0的解是3．【解答】解：由题意，DC=2，CP=x，DP=6﹣x∵△CPD，∴，解得x∈（2，4）如图，三角形的周长是一个定值8，故其面积可用海伦公式表示出来即f（x）==，∴f′（x）=，令f′（x）=0，解得x=3，故答案为：（2，4），3．六．解答题（本大题共2小题，共24分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21．（10分）计算下列积分：（1）；（2）．【解答】解：（1）=（1﹣x）dx+（x﹣1）dx=（x﹣x2）|+（﹣x+x2）|=2+=，（2）表示以原点为圆心以1为半径的圆的面积的四分之一，∴=．22．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+x2+b，g（x）=alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）=，对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．【解答】解：（1）由f（x）=﹣x3+x2+b，得f′（x）=﹣3x2+2x=﹣x（3x﹣2），令f′（x）=0，得x=0或．列表如下：∵，，∴，即最大值为，∴b=0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）=t（1）=﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y=F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）=0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，化简得t4﹣t2+1=0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）=0，即，设h（t）=（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h（1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y=F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）。
广东省韶关市曲江县2015-2016学年九年级数学上学期期末考试试题(含解析)新人教版
∴△ ABG≌△ DBG，∴∠ AGB=∠DGB=90°，∴BO⊥AD．【点评】此题综合考察全等三角形、等腰三角形和旋转的有关知识．注意对三角形全等知识的综合应用．25．如图，一次函数的图象与x 轴交于点A，与 y 轴交于点B；二次函数y= x2+bx+c 的图象与一次函数y= x+1 的图象交于 B， C 两点，与 x 轴交于 D，E 两点，且D 点坐标为〔 1，0〕．（1〕求二次函数的解析式；（2〕求线段 BC的长及四边形 BDEC的面积 S；〔3〕在坐标轴上是否存在点 P，使得△ PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？假设存在，求出所有的点 P；假设不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】计算题．【分析】〔 1〕求出 B 的坐标，把 B、 D的坐标代入二次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；〔2〕求出直线与二次函数的交点坐标，求出 C 的坐标，求出 E 的坐标，过 C 作 CN⊥x轴于N，根据图象分别求出梯形BOEC、△ BOD、△ CNE 的面积，即可求出答案；〔3〕分为两种情况：①P 在 x 轴上时，设P 的坐标是〔 x，0〕，根据勾股定理求出22 PB，PC，2222222 BC，根据 PC+PB=BC，求出 x 即可；②P在 y 轴上时，设 P 点的坐标是〔 0，y〕，根据 PC+PB=BC，得出方程〔 1﹣ y〕2+42+〔 3﹣ y〕2=20，求出 y 即可．【解答】解：〔 1〕∵把 x=0 代入 y= x+1得： y=1，∴B〔 0， 1〕，∵把 B、 D的坐标代入二次函数的解析式得：，解得： b=﹣，c=1，∴二次函数的解析式是y= x2﹣x+1．〔2〕解方程组得：，，∵B〔 0， 1〕，∴C〔 4， 3〕，把 y=0 代入 y= x2﹣x+1 得：x 2﹣x+1=0，解得： x1=1，x2=2，即 D〔 1， 0〕， E〔 2， 0〕，∵由勾股定理得：BC==2，过 C 作 CN⊥x轴于 N，则CN=3， NE=4﹣ 2=2， OD=OB=1，∴四边形BDEC的面积是 S=S梯形BONC﹣S△BOD﹣ S△CNE= ×〔 1+3〕× 4﹣×1×1﹣×2×3= 4，答：线段BC的长是 2，四边形BDEC的面积S是4．〔3〕存在 P 点，理由是：①P 在 x 轴上时，设P 的坐标是〔 x， 0〕，∵B〔 0， 1〕， C〔 4，3〕，222222222∴由勾股定理得：PB=x +1 ， PC=3 +〔 4﹣ x〕，BC =4 +〔 3﹣ 1〕 =20，∵P为直角顶点，222∴PC+PB=BC，22+22∴x+1 3 +〔4﹣ x〕 =20，解得： x1=1，x2=3，∴P〔 1， 0〕或〔 3，0〕；②P在 y 轴上时，设 P 的坐标是〔 0， y〕，∵B〔 0， 1〕， C〔 4，3〕，22222222∴由勾股定理得： PB=〔1﹣ y〕， PC=4 +〔 3﹣y〕， BC=4 +〔3﹣ 1〕 =20，∵P为直角顶点，∴PC2+PB2=BC2，∴〔 1﹣ y〕2+42+〔 3﹣ y〕2=20，...解得： y1=1，y2=3，∵B〔 0， 1〕，∴y1=1〔舍去〕，∴P〔 0， 3〕，即存在 P 点，使得△ PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形， P 的坐标是〔 1，0〕或〔 3， 0〕或〔 0， 3〕．【点评】此题考察的知识点有用待定系数法求出二次函数的解析式，勾股定理，解一元二次方程，三角形的面积，主要考察学生综合运用这些性质进展计算和推理的能力，综合性比拟强，有一定的难度．21...。
广州市越秀区2015-2016学年八年级上期末数学试题含答案解析
A．
B．
C．
D．
3．计算（2a2）3 的结果是(
)
A．6a5 B．6a6 C．8a5 D．8a6
4．如果把分式 中的 x 和 y 都扩大 2 倍，那么分式的值(
)
A．不变 B．扩大 2 倍 C．扩大 4 倍 D．缩小 2 倍
5．PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m 的颗粒物，将 0.0000025 用科学记数法
（2）如图 2，若 AB=BD，∠BDE=22.5°，试探究线段 DE 与 AC 的数量关系，并证明你的 结论．
表示为(
)
A．0.25×10﹣ 5 B．0.2×5 1﹣0 6 C．2×.5 1﹣0 5 D．2.5×10﹣ 6
6．如图，已知△AOC≌△BOD，∠A=30°，∠C=20°，则∠COD=( )
A．50° B．80° C．100° D．130°
7．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（0， ），B（﹣ 2，﹣ ），△ABC 是等边三角 形，AD 是 BC 边上的高，则点 C 的坐标是( )
2015-2016 学年广东省广州市越秀区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求的）
1．下列图形中，具有稳定性的是(
)
A．长方形 B．梯形 C．钝角三角形 D．正六边形
2．下列图形中，是轴对称图形的是(
)
24．一辆汽车开往距离出发地 320km 的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行 驶，一小时后以原来速度的 1.2 倍匀速行驶，并比原计划提前 30min 到达目的地，求前一 小时的汽车行驶速度． 25．如图，线段 AB 与 CD 相交于点 E，AB⊥BD，垂足为 B，AC⊥CD，垂足为 C． （1）如图 1，若 AB=CD，∠BDE=30°，试探究线段 DE 与 CE 的数量关系，并证明你的结 论；
2015-2016年广东省肇庆市怀集县初三上学期期末数学试卷及参考答案
2015-2016学年广东省肇庆市怀集县初三上学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）方程3x2﹣7x=0中，常数项是（）A．3B．﹣7C．7D．02．（3分）配方法解方程x2+8x+7=0，则方程可化为（）A．（x﹣4）2=9B．（x+4）2=9C．（x﹣8）2=16D．（x+8）2=16 3．（3分）方程x（x﹣1）=x的两个根分别是（）A．x1=x2=1B．x1=0，x2=1C．x1=0，x2=﹣2D．x1=0，x2=2 4．（3分）如果一个正多边形绕它的中心旋转60°才和原来的图形重合，那么这个正多边形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形5．（3分）在圆、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个6．（3分）从3个白球、2个红球中任意摸一个，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．7．（3分）如图，已知圆心角∠BOC=80°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．160°B．80°C．40°D．20°8．（3分）已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CBA=30°，则∠CAB的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．（3分）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A．是正方形B．是长方形C．是菱形D．以上答案都不对10．（3分）下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）抛一枚骰子，6点朝上的概率为．12．（4分）方程x2﹣3x+1=0的根的判别式△=．13．（4分）如果点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于原点的对称点，那么a等于．14．（4分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为cm2．15．（4分）如图，⊙A、⊙B、⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形的面积的和为（结果保留π）．16．（4分）圆内接正六边形的边心距与半径之比是．三、解答题（共9小题，满分66分）17．（6分）解方程：（2x﹣1）2=9．18．（6分）二次函数y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为多少？19．（6分）如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O于点C，且CD=4cm，求弦AB的长．20．（7分）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy．△ABC的三个顶点都在格点上，A（4，4）、B（1，2）、C（3，2）．将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A1B1C1，在图中画出旋转后的△A1B1C1．21．（7分）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为2；（2）点数为奇数；（3）点数大于2且小于6．22．（7分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，求∠BCD 的度数？23．（9分）据某市车管部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变．（1）求2009年底该市汽车拥有量；（2）如果不加控制，该市2012年底汽车拥有量将达多少万辆？24．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．25．（9分）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；（2）若OB=BG=2，求CD的长．2015-2016学年广东省肇庆市怀集县初三上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）方程3x2﹣7x=0中，常数项是（）A．3B．﹣7C．7D．0【分析】一元二次方程的一般系数是：ax2+bx+c=0（a≠0），其中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，根据以上知识点得出即可．【解答】解：方程3x2﹣7x=0中，常数项是0，故选：D．2．（3分）配方法解方程x2+8x+7=0，则方程可化为（）A．（x﹣4）2=9B．（x+4）2=9C．（x﹣8）2=16D．（x+8）2=16【分析】方程常数项移到右边，两边加上16变形即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2+8x=﹣7，配方得：x2+8x+16=9，即（x+4）2=9．故选：B．3．（3分）方程x（x﹣1）=x的两个根分别是（）A．x1=x2=1B．x1=0，x2=1C．x1=0，x2=﹣2D．x1=0，x2=2【分析】先移项，再把方程左边分解得到x（x﹣1﹣1）=0，原方程化为x=0或x ﹣1﹣1=0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：∵x（x﹣1）﹣x=0，∴x（x﹣1﹣1）=0，∴x=0或x﹣1﹣1=0，∴x1=0，x2=2．故选：D．4．（3分）如果一个正多边形绕它的中心旋转60°才和原来的图形重合，那么这个正多边形是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．正六边形【分析】计算出每种图形的中心角，再根据旋转对称图形的概念即可解答．【解答】解：A、正三角形绕它的中心旋转能和原来的图形的最小的度数是120度；B、正方形绕它的中心旋转能和原来的图形的最小的度数是90度；C、正五边形绕它的中心旋转能和原来的图形的最小的度数是72度；D、正六边形绕它的中心旋转能和原来的图形的最小的度数是60度．故选：D．5．（3分）在圆、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：圆、正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，共2个．故选：C．6．（3分）从3个白球、2个红球中任意摸一个，摸到红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】由从3个白球、2个红球中任意摸一个，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵从3个白球、2个红球中任意摸一个，∴摸到红球的概率是：=．故选：A．7．（3分）如图，已知圆心角∠BOC=80°，则圆周角∠BAC的度数是（）A．160°B．80°C．40°D．20°【分析】由圆心角∠BOC=80°，根据圆周角的性质，即可求得圆周角∠BAC的度数．【解答】解：∵圆心角∠BOC=80°，∴圆周角∠BAC=∠BOC=40°．故选：C．8．（3分）已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CBA=30°，则∠CAB的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】直接利用已知画出图形，进而利用圆周角定理得出∠A的度数．【解答】解：如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=30°，∴∠CAB=60°．故选：C．9．（3分）如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（）A．是正方形B．是长方形C．是菱形D．以上答案都不对【分析】根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．【解答】解：由垂径定理知，OC垂直平分AB，即OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．故选：C．10．（3分）下列哪一个函数，其图象与x轴有两个交点（）A．B．C．D．【分析】由题意得，令y=0，看是否解出x值，对A，B，C，D，一一验证从而得出答案．【解答】解：A、令y=0得，，移项得，，方程无实根；B、令y=0得，，移项得，，方程无实根；C、令y=0得，，移项得，，方程无实根；D、令y=0得，，移项得，，方程有两个实根．故选D．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）11．（4分）抛一枚骰子，6点朝上的概率为．【分析】由抛一枚骰子，共有6种等可能的结果，分别为1，2，3，4，5，6，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵抛一枚骰子，共有6种等可能的结果，分别为1，2，3，4，5，6，∴抛一枚骰子，6点朝上的概率为：．12．（4分）方程x2﹣3x+1=0的根的判别式△=5．【分析】根据方程x2﹣3x+1=0，可以求得根的判别式，从而可以解答本题．【解答】解：∵方程x2﹣3x+1=0，∴△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×1=9﹣4=5．故答案为：5．13．（4分）如果点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于原点的对称点，那么a等于4．【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．【解答】解：∵点A（﹣3，a）是点B（3，﹣4）关于原点的对称点，∴a=4．14．（4分）已知圆锥的底面半径是2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为6πcm2．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径是2cm，则底面周长=4πcm，圆锥的侧面积=×4π×3=6πcm2．15．（4分）如图，⊙A、⊙B、⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形的面积的和为（结果保留π）2π．【分析】根据三角形的内角和是180°和扇形的面积公式进行计算．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴阴影部分的面积==2π．故答案为：2π．16．（4分）圆内接正六边形的边心距与半径之比是：2．【分析】设正六边形的边长为2，欲求半径、边心距之比，我们画出图形，通过构造直角三角形，解直角三角形即可得出．【解答】解：如右图所示，设边长AB=2；连接OA、OB，作OG⊥AB于G，∵多边形为正六边形，∴∠AOB==60°，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=2，在Rt△BOG中，BG=AB=1，∴OG=，∴边心距与半径之比为：2．故答案为：：2．三、解答题（共9小题，满分66分）17．（6分）解方程：（2x﹣1）2=9．【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．【解答】解：∵（2x﹣1）2=9，∴2x﹣1=±3，解得：x1=2，x2=﹣1．18．（6分）二次函数y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，则b的值为多少？【分析】根据对称轴方程，列出关于b的方程即可解答．【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣bx+3的对称轴是直线x=1，∴x=﹣=1，∴b=4．则b的值为4．19．（6分）如图，⊙O的半径为10cm，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于D，交⊙O 于点C，且CD=4cm，求弦AB的长．【分析】连接OA，求出OD，根据勾股定理求出AD，根据垂径定理得出AB=2AD，代入求出即可，【解答】解：连接OA，∵OA=OC=10cm，CD=4cm，∴OD=10﹣4=6cm，在Rt△OAD中，有勾股定理得：AD==8cm，∵OC⊥AB，OC过O，∴AB=2AD=16cm．20．（7分）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xoy．△ABC的三个顶点都在格点上，A（4，4）、B（1，2）、C（3，2）．将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A1B1C1，在图中画出旋转后的△A1B1C1．【分析】利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1即可得到△A1B1C1．【解答】解：如图，△A1B1C1为所作．21．（7分）掷一个质地均匀的骰子，观察向下的一面的点数，求下列事件的概率：（1）点数为2；（2）点数为奇数；（3）点数大于2且小于6．【分析】根据概率的求法，找准两点：1、全部情况的总数；2、符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）P（点数为2）=；（2）点数为奇数的有3种可能，即点数为1，3，5，则P（点数为奇数）==；（3）点数大于2且小于6的有3种可能，即点数为3，4，5，则P（点数大于2且小于6）==．22．（7分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，求∠BCD 的度数？【分析】连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据互余计算出∠A 的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．【解答】解：连结AD，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55°，∴∠A=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠A=35°．23．（9分）据某市车管部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变．（1）求2009年底该市汽车拥有量；（2）如果不加控制，该市2012年底汽车拥有量将达多少万辆？【分析】（1）假设出平均增长率为x，可以得出2009年该市汽车拥有量为150（1+x），2010年为150（1+x）（1+x）=216，即150（1+x）2=216，进而求出具体的值；（2）结合上面的数据2012应该在2010年的基础上增长，而且增长率相同，同理，即为216（1+20%）2．【解答】解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意，得150（1+x）2=216．解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．150（1+20%）=180（万辆）．答：2009年底该市汽车拥有量为180万辆．（2）216（1+20%）2=311.04（万辆）．答：如果不加控制，该市2012年底汽车拥有量将达311.04万辆．24．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设交点式为y=a（x﹣1）（x﹣4），然后把C点坐标代入求出a=，于是得到抛物线解析式为y=x2﹣x+3；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，利用对称性得到PA=PB，所以PA+PC=PC+PB=BC，根据两点之间线段最短得到PC+PA最短，于是可判断此时四边形PAOC的周长最小，然后计算出BC=5，再计算OC+OA+BC即可．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）（x﹣4），把C（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）=3，解得a=，所以抛物线解析式为y=（x﹣1）（x﹣4），即y=x2﹣x+3；（2）存在．因为A（1，0）、B（4，0），所以抛物线的对称轴为直线x=，连结BC交直线x=于点P，如图，则PA=PB，PA+PC=PC+PB=BC，此时PC+PA最短，所以此时四边形PAOC的周长最小，因为BC==5，所以四边形PAOC周长的最小值为3+1+5=9．25．（9分）如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．（1）直线FC与⊙O有何位置关系？并说明理由；（2）若OB=BG=2，求CD的长．【分析】（1）相切．连接OC，证OC⊥FG即可．根据题意AF⊥FG，证∠FAC=∠ACO可得OC∥AF，从而OC⊥FG，得证；（2）根据垂径定理可求CE后求解．在Rt△OCG中，根据三角函数可得∠COG=60°．结合OC=2求CE，从而得解．【解答】解：（1）直线FC与⊙O相切．理由如下：连接OC．∵OA=OC，∴∠1=∠2．由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．∴∠2=∠3，∴OC∥AF．∴∠OCG=∠F=90°．∴直线FC与⊙O相切．（2）在Rt△OCG中，，∴∠COG=60°．在Rt△OCE中，．∵直径AB垂直于弦CD，∴．。
2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷一、单选题（30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）不解方程，判断方程2x2﹣6x＝7的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定3．（3分）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．相切B．圆外C．圆上D．圆内4．（3分）将二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1 5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9 6．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜57．（3分）设A（2，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y28．（3分）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°9．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，DE＝2CE，连接AE交BD于点F，则DF：BD＝（）A．2：1B．2：3C．2：5D．1：310．（3分）如图，抛物线y＝﹣x（x+6）与x轴负半轴交于点A，点B为线段OA上一动点，点D的坐标为（﹣3，﹣6），连接BD，以BD为底边向右侧作等腰直角△DCB，若点C恰好在抛物线上，则AB长为（）A．4B．4.5C．5D．5.5二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）已知点A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函数上，则m＝．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则ab＝．13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是．14．（3分）已知圆锥的底面半径为cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为．15．（3分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为米．（结果可带根号）16．（3分）如图，矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形AEFG 绕点A旋转，给出下列结论：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③当∠BAG＝60°时，4S△ABG ＝3S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正确的结论．三、解答题17．（4分）解方程：x2﹣10x+9＝0．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转180°后的△A1B1C1．（2）求线段OC在旋转过程中所扫过的图形面积．19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…（1）求该二次函数的表达式；（2）根据二次函数y＝ax2+bx+c图象，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围．20．（6分）某校准备从2名男生（A、B）和3名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生E被选中的概率是（直接填写答案）；（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．22．（10分）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC 上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F．（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：CA与⊙O相切；（3）当BD＝2，∠ABD＝30°时，求劣弧BD的长．24．（12分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为（填序号即可）；①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形．（2）如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC．①连接AD，当n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求AC的长度．25．（12分）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．2022-2023学年广东省广州市越秀区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题（30分）1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．【解答】解：A．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．故选：A．2．（3分）不解方程，判断方程2x2﹣6x＝7的根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac进行求解并判断即可．【解答】解：∵2x2﹣6x＝7，∴2x2﹣6x﹣7＝0，原方程中，a＝2，b＝﹣6，c＝﹣7，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣7）＝36+56＝92＞0，∴原方程有两个不相等的实数根，故选：B．3．（3分）已知⊙O半径为10cm，圆心O到点A的距离为10cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．相切B．圆外C．圆上D．圆内【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d ＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，点A到圆心O的距离为10cm，∴d＝r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆上，故选：C．4．（3分）将二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（）A．y＝（x+3）2+5B．y＝（x+5）2﹣5C．y＝（x﹣5）2+5D．y＝（x﹣5）2﹣1【分析】根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可．【解答】解：将二次函数y＝（x﹣2）2+2的图象向下平移3个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y＝（x﹣2﹣3）2+2﹣3，即y＝（x﹣5）2﹣1，故选：D．5．（3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5＝0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2＝6B．（x+2）2＝9C．（x﹣1）2＝6D．（x﹣2）2＝9【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝5+1，（x﹣1）2＝6，故选：C．6．（3分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是（）A．m≥5B．m＞5C．m≤5D．m＜5【分析】根据反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内，可解的答案．【解答】解：∵图象在第一、三象限，∴m﹣5＞0，解得m＞5．故选：B．7．（3分）设A（2，y1），B（﹣2，y2）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的两点，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【分析】先根据已知条件求出二次函数的图象开口方向和对称轴，再根据点A、B的横坐标的大小即可判断出y1与y2的大小关系．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+a，∴抛物线的开口向下，的对称轴是直线x＝﹣1，∴离对称轴越近越大，∵2﹣（﹣1）＞﹣1﹣（﹣2），∴y1＜y2．故选：A．8．（3分）如图，△ABC的内切圆圆O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，若∠DEF ＝53°，则∠A的度数是（）A．36°B．53°C．74°D．128°【分析】连接OD、OF，由切线的性质得∠ODA＝∠OF A＝90°，再根据圆周角定理求得∠DOF＝2∠DEF＝106°，则∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OF A﹣∠DOF＝74°，于是得到问题的答案．【解答】解：连接OD、OF，∵⊙O分别与AB、AC相切于点D、点F，∴AB⊥OD，AC⊥OF，∴∠ODA＝∠OF A＝90°，∵∠DEF＝53°，∵∠DOF＝2∠DEF＝2×53°＝106°，∴∠A＝360°﹣∠ODA﹣∠OF A﹣∠DOF＝360°﹣90°﹣90°﹣106°＝74°，故选：C．9．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，DE＝2CE，连接AE交BD于点F，则DF：BD＝（）A．2：1B．2：3C．2：5D．1：3【分析】由△DFE∽△BF A得到DF：BF＝DE：AB，由DE＝2CE得出DE：AB＝2：3，从而可以解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△DFE∽△BF A∴DF：BF＝DE：AB，∵DE＝2CE，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴DF：BF＝2：3，∴DF：BD＝2：5，故选：C．10．（3分）如图，抛物线y＝﹣x（x+6）与x轴负半轴交于点A，点B为线段OA上一动点，点D的坐标为（﹣3，﹣6），连接BD，以BD为底边向右侧作等腰直角△DCB，若点C恰好在抛物线上，则AB长为（）A．4B．4.5C．5D．5.5【分析】过点C作CE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥EC，交EC延长线于点F，设点，然后证明△CBE≌△DCF，则CE＝DF，BE＝CF，即可求出点C的坐标，再求出点B的坐标，从而求出AB的长度．【解答】解：∵，令y＝0，则x1＝0，x2＝﹣6，∴点A的坐标为：（﹣6，0），过点C作CE⊥x轴，垂足为E，过点D作DF⊥EC，交EC延长线于点F，设点，如图：∵△DCB是等腰直角三角形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵CE⊥x轴，DF⊥EC∴∠BEC＝∠F＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝∠BCE+∠DCF＝90°，∴∠CBE＝∠DCF，∴△CBE≌△DCF，∴CE＝DF，BE＝CF，∵，D（﹣3，﹣6），∴，∴，解得：，x2＝1；∵x＞﹣3，∴x＝1，∴点C的坐标为（1，﹣4），∴BE＝CF＝﹣4﹣（﹣6）＝2，∴点B的横坐标为1﹣2＝﹣1，∴AB的长度为﹣1﹣（﹣6）＝5；故选：C．二、填空题（每题3分，共18分）11．（3分）已知点A（﹣2，3），B（3，m）在反比例函数上，则m＝﹣2．【分析】利用待定系数法求出k的值，代入点B的横坐标计算即可．【解答】解：∵点A（﹣2，3）在反比例函数上，∴k＝﹣2×3＝﹣6，则反比例函数的解析式为：y＝，∴当x＝3时，m＝＝﹣2，故答案为：﹣2．12．（3分）在平面直角坐标系中，已知点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则ab＝﹣6．【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：∵点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，∴a＝﹣2，b＝3，则ab＝﹣2×3＝﹣6．故答案为：﹣6．13．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A'OB'，若∠AOB＝15°，则∠AOB'的度数是35°．【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于60°，从而可以得到∠BOB′的度数，由∠AOB＝15°可以得到∠AOB′的度数．【解答】解：∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△A′OB′，∴∠BOB′＝50°．∵∠AOB＝15°，∴∠AOB′＝∠BOB′﹣∠AOB＝50°﹣15°＝35°．故答案为：35°．14．（3分）已知圆锥的底面半径为cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为6πcm2．【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2．【解答】解：底面半径是cm，则底面周长＝2πcm，圆锥的侧面积＝×2π×3＝6π（cm2）．故答案为：6πcm2．15．（3分）如图，一抛物线形拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位上升0.5米后，水面的宽度为2米．（结果可带根号）【分析】根据题意设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线解析式为y＝ax2+c，把（2，0）和（2，0）代入得，，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2，把y＝0.5代入得：x＝±，则水面的宽度是2米．故答案为：2．16．（3分）如图，矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，矩形AEFG 绕点A旋转，给出下列结论：①3BE＝DG；②BE⊥DG；③当∠BAG＝60°时，4S△ABG ＝3S△ADG；④DE2+BG2＝315，其中正确的结论②③．【分析】通过证明△ADG∽△ABE，由相似三角形的性质可求4BE＝3DG，可以判断①错误；由相似三角形的性质可得∠AEB＝∠AGD，由余角的性质可证BE⊥DG，可以判断②正确；由勾股定理可求BG2+DE2＝325，可以判断④错误；分别求出S△ABG，S△ADG，即可判断③，即可求解．【解答】解：∵矩形ABCD和矩形AEFG，AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，∴∠DAB＝∠GAE＝90°，＝，＝，∴∠DAG＝∠BAE，＝，∴△ADG∽△ABE，∴＝＝，∴4BE＝3DG，故①错误；如图：设BE与DG交于点H，∵△ADG∽△ABE，∴∠AEB＝∠AGD，又∵∠AOE＝∠GOH，∴∠EAO＝∠GHO＝90°，∴BE⊥DG，故②正确；如图，连接BD，GE，DE，BG，∵AD＝12，AB＝9，AG＝8，AE＝6，∴BD2＝AB2+AD2＝81+144＝225，GE2＝AE2+AG2＝100，∵BE⊥DG，∴BH2+DH2＝BD2，BH2+HG2＝BG2，HG2+HE2＝GE2，DH2+HE2＝DE2，∴BD2+GE2＝BG2+DE2，∴BG2+DE2＝325，故④错误；如图，过点G作GN⊥AB于N，GP⊥直线AD于P，∵∠BAP＝90°，∴四边形APGN是矩形，∴AN＝GP，NG＝AP，∵∠BAG＝60°，∴∠GAP＝30°，∴GP＝AG＝4，AP＝PG＝4，∴S△ABG＝×AB•NG＝×9×4＝18，S△ADG＝×AD•GP＝×12×4＝24，∴4S△ABG＝3S△ADG．故③正确；综上所述：正确的结论是②③．故答案为：②③．三、解答题17．（4分）解方程：x2﹣10x+9＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣10x+9＝0，（x﹣1）（x﹣9）＝0，x﹣1＝0或x﹣9＝0，x1＝1，x2＝9．18．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）画出△ABC绕原点O顺时针旋转180°后的△A1B1C1．（2）求线段OC在旋转过程中所扫过的图形面积．【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点，连线组成三角形即可；（2）根据扇形面积公式可得答案．【解答】解：（1）如图：△A1B1C1即为所求三角形；（2）∵OC2＝52+32＝34，∴线段OC在旋转过程中所扫过的图形面积为＝＝17π．19．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…50﹣3﹣4﹣3…（1）求该二次函数的表达式；（2）根据二次函数y＝ax2+bx+c图象，直接写出不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）根据函数的图象和性质求x的取值范围即可．【解答】解：（1）由表格可知抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，∵抛物线过点（﹣1，0），∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣4，∴a＝1，∴二次函数的表达式为y＝（x﹣1）2﹣4（或y＝x2﹣2x+3）；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，∴点（﹣1，0）的对称点为（3，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的x的取值范围是x＞3或x＜﹣1．20．（6分）某校准备从2名男生（A、B）和3名女生（C、D、E）五人中选拔学生，代表学校参加区中学生“党史知识竞赛”．（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生E被选中的概率是（直接填写答案）；（2）如果确定只需要两名学生参加，请用画树状图或列表法求恰好选中2名女生的概率．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好选中2名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）如果确定只需要一名女生参加，则女生E被选中的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中恰好选中2名女生的结果有6种，∴恰好选中2名女生的概率为＝．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个实数根．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x1x2+x1+x2＝m2+6，求m的值．【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案；（2）先将足x1x2+x1+x2＝m2+6转化成﹣2m+5+4＝m2+6，再运用根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，∴；（2）∵x1，x2是该方程的两个根，∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，∵x1x2+x1+x2＝m2+6，∴﹣2m+5+4＝m2+6，∴m＝﹣3或1．22．（10分）（1）据统计，三月份的全天包车数为36次，在租金不变的基础上，四、五月的全天包车数持续走高，五月份的全天包车数达到81次．若从三月份到五月份的全天包车数月平均增长率不变，求全天包车数的月平均增长率；（2）一段时间后，当全天包车的租金为每辆120元时，每月的全天包车数为60次，该公司决定降低租金，经调查发现，租金每降价1元，平均每月全天包车数增加2次，尽可能的减少租车次数．当租金降价多少元时，公司每月获得的租金总额为8800元？【分析】（1）设全天包车数的月平均增长率为x，利用五月份的全天包车数＝三月份的全天包车数×（1+全天包车数的月平均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）当租金降价y元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，根据公司每月获得的租金总额为8800元，可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽可能的减少租车次数，即可得出租金需降价10元．【解答】解：（1）设全天包车数的月平均增长率为x，根据题意得：36（1+x）2＝81，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不符合题意，舍去）．答：全天包车数的月平均增长率为50%；（2）当租金降价y元时，全天包车的租金为每辆（120﹣y）元，每月的全天包车数为（60+2y）次，根据题意得：（120﹣y）（60+2y）＝8800，整理得：y2﹣90y+800＝0，解得：y1＝10，y2＝80，又∵要尽可能的减少租车次数，∴y＝10．答：当租金降价10元时，公司每月获得的租金总额为8800元．23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC交CA于D点，O是BC 上一点，经过B、D两点的⊙O分别交BC、BA于点E、F．（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；（2）求证：CA与⊙O相切；（3）当BD＝2，∠ABD＝30°时，求劣弧BD的长．【分析】（1）线段BD的垂直平分线与BC的交点即为圆心O；（2）连接OD，根据角平分线的定义，可得∠BDO＝∠ABD，从而证明AB∥OD，得到OD⊥AC，即可CA与⊙O相切；（3）求出∠BOD＝120°，设BD的中点为G，则OG⊥BD，在Rt△BOG中求出BO＝4，即可求劣弧BD的长＝＝．【解答】（1）解：如图：（2）证明：连接OD，∴OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠DBO，∴∠BDO＝∠ABD，∴AB∥OD，∵∠BAC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥AC，∵D点在圆O上，∴CA与⊙O相切；（3）解：∵∠ABD＝30°，由（2）可知∠BDO＝∠DBO＝30°，∴∠BOD＝120°，∵BD＝2，∴BD＝4，设BD的中点为G，则OG⊥BD，在Rt△BOG中，BG＝2，∠GBO＝30°，∴BO＝4，∴劣弧BD的长＝＝．24．（12分）给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形．（1）以下四边形中，是勾股四边形的为②③（填序号即可）；①平行四边形；②矩形；③有一个角为直角的任意凸四边形；④有一个角为60°的菱形．（2）如图1，将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转n°得到△EDC．①连接AD，当n＝60，∠BAD＝30°时，求证：四边形ABCD是勾股四边形．②如图2，将DE绕点E顺时针方向旋转得到EF，连接BF，BF与AE交于点P，连接CP，若∠DEF＝（180﹣n）°，CP＝2，AE＝8，求AC的长度．【分析】（1）由勾股四边形的定义得出至少有一个内角是直角四边形必是勾股四边形，即可得出答案；（2）①只要证明△DAE是直角三角形，再利用勾股定理/旋转的性质即可解决问题．②如图2中，延长BC交FE的延长线于H．由△FPE≌△BP A，推出PE＝P A＝5，由CA ＝CE，推出CP⊥AE，推出∠APC＝90°，根据AC＝计算即可．【解答】（1）解：∵一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，∴此四边形的内角中至少有一个角为直角，①∵平行四边形的内角不一定有直角，∴平行四边形不一定是勾股四边形；②∵矩形的四个角都为直角，∴矩形是勾股四边形；③∵有一个角为直角的任意凸四边形，∴此四边形为勾股四边形；④∵有一个角为60°的菱形，∴菱形的四个内角分别为60°，120°，60°，120°，∴有一个角为60°的菱形不是勾股四边形，故答案为：②③；（2）①证明：如图1中，连接AE．∵△ABC绕点C顺时针旋转了60°到△DCE，∴AC＝BC，∠ACE＝60°，∴△ACE是等边三角形．∴AE＝AC，∠ACE＝60°，∵∠DCB＝60°，∠BAD＝30°∴∠ABC+∠ADC＝270°，∴∠ADC+∠CDE＝170°，∴∠ADE＝90°，在Rt△DAE中，AD2+DE2＝AE2，∵DE＝AB，AC＝AE，∴AD2+AB2＝AC2，∴四边形ABCD是勾股四边形；②解：如图2中，延长BC交FE的延长线于H．∵∠DCH＝180°﹣n°＝（180﹣n）°，∠DEF＝（180﹣n）°，∴∠DEF＝∠DCH，∵∠DEF+∠DEH＝180°，∴∠DEH+∠DCH＝180°，∴∠CDE+∠H＝180°，∵∠ABC＝∠CDE，∴∠ABC+∠H＝180°，∴AB∥FH，∴∠F＝∠ABP，∵DE＝EF＝AB，∠EPF＝∠APB，∴△FPE≌△BP A（AAS），∴PE＝P A，∵AE＝PE+P A＝8，∴PE＝P A＝4，∵CA＝CE，∴CP⊥AE，∴∠APC＝90°，∴AC＝＝＝2．25．（12分）已知：抛物线y＝ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6（a＞0）．（1）求证：抛物线与x轴有两个交点．（2）设抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2（其中x1＞x2）．若t是关于a的函数、且t＝ax2﹣x1，求这个函数的表达式；（3）若a＝1，将抛物线向上平移一个单位后与x轴交于点A、B．平移后如图所示，过A作直线AC，分别交y的正半轴于点P和抛物线于点C，且OP＝1．M是线段AC上一动点，求2MB+MC的最小值．【分析】（1）可求出根的判别式的值，由根的判别式的值直接判断；（2）令y＝0，求出含a的两个交点的横坐标，代入t＝ax2﹣x1即可；（3）求出平移后抛物线的解析式及A，B的坐标，求出直线AC的解析式及点C的坐标，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，证△AOP∽△CGM，推出＝，2MB+MC＝2（MB+GM），而MB+GM的最小值即B到CN最小距离CH，即可写出2MB+MC的最小值．【解答】（1）证明：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣3（a﹣1）]2﹣4a（2a﹣6）＝a2+6a+9＝（a+3）2，∵a＞0，∴（a+3）2＞0，∴抛物线与x轴有两个交点；（2）解：令y＝0，则ax2﹣3（a﹣1）x+2a﹣6＝0，∴或，∵a＞0，∴且x1＞x2，∴x1＝2，，∴，∴t＝a﹣5；（3）解：当a＝1时，则y＝x2﹣4，向上平移一个单位得y＝x2﹣3，令y＝0，则x2﹣3＝0，得，∴，，∵OP＝1，∴直线，联立：，解得，，，即，，∴AO＝，在Rt△AOP中，AP＝＝2，过C作CN⊥y轴，过M作MG⊥CN于G，过C作CH⊥x轴于H，∵CN∥x轴，∴∠GCM＝∠P AO，又∵∠AOP＝∠CGM＝90°，∴△AOP∽△CGM，∴＝＝，∴，∵B到CN最小距离为CH，∴MB+GM的最小值为CH的长度，∴2MB+MC的最小值为．。
2015-2016年江阴市初三上学期期末考试卷(有答案)
江阴市2015-2016学年第一学期九年级期末调研考试数学试卷（本试卷满分130分，考试时间：120分钟）一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内） 1．2cos60°的值是 （ ）A ．12B ． 3C ． 2D ． 12．一枚硬币抛向空中，落地时正面朝上的概率是 （ ）A ．0B ．1C ．12D ． 143．已知点（－2，y 1），（－3，y 2）均在抛物线y =x 2－1上，则 y 1、 y 2的大小关系为 （ ）A ． y 1＜ y 2B ． y 1＞ y 2C ．y 1 ≤ y 2D ． y 1 ≥ y 24．下列说法错误的是 （ ） A ．直径是圆中最长的弦 B ．长度相等的两条弧是等弧 C ．面积相等的两个圆是等圆D ．半径相等的两个半圆是等弧5．一个扇形的圆心角是120°，面积为3πcm 2，那么这个扇形的半径是 （ ） A ． 3 cm B. 3cm C. 6 cm D. 9 cm 6．如图，圆心角∠AOB =120°，P 是 ⌒AB 上任一点（不与A ，B 重合），点C 在AP 的延长线上，则∠BPC 等于 （ ） A ．45° B ．60° C ．75° D ．85°7．如图，在直角坐标系中，△OAB 和△OCD 是位似图形，O 为位似中心，若A （1，1），B （2，1），C （3，3），那么点D 的坐标是 （ ）A ．（4，2）B ．（6，3）C ．（8，4）D ．（8，3）8．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图像，由图像可知不等式20ax bx c ++<的解集是 （ ）A ．15x -<<B ．5x >x ＜－1 或5x >（第6题）（第9题）9．如图．在等边△ABC 中，AC ＝4，点D 、E 、F 分别在三边AB 、BC 、AC 上，且AF ＝1，FD ⊥DE ，∠DFE ＝60°，则AD 的长为 ( )A ．0.5B ．1C ．1.5D ．2 10．某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利润8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元，用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，提高一个档次将减少3件，如果获利 润最大的产品是第R 档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么R 等于 ( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 10二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在题中的横线上）11．如果关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0的一根为3，则m 的值为____________． 12．把抛物线y =2x 2向下平移1个单位，所得的新抛物线的函数表达式为 . 13．在△ABC 中，若AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则sin B ＝ ．14．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB =10，水面宽AB =16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是 .15．如图，若△ADE ∽△ACB ，AB =4，BC =3，AE =2，则DE = ．16．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r =2 cm ，扇形的圆心角 =120°，则该圆锥的母线长l 为 .17．如图，半径为1的⊙O 与正五边形ABCDE 的边AB 、AE 分别相切于点M 、N ，则劣弧 ⌒MN的长度 为 .18． 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是边长为8的正方形，M (8，s )、N (t ，8)分别是边AB 、BC 上的两个动点，且OM ⊥MN ，当ON 最小时，s ＋t = .（第15题）（第16题）（第14题）A（第17题）三、解答题（本大题共10小题，共84分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．化简：（本题满分8分）（1） ︒+-45sin 1821（2） 145tan 230tan 3-20．（本题满分8分）（1）如图，点A (t ，4)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，sin α＝23，求t 的值.（2）八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制）：①甲队成绩的中位数是 分，乙队成绩的众数是 分； ②计算乙队的平均成绩和方差.21．（本题满分8分）小亮、小芳和两个陌生人甲、乙同在如图所示的地下车库等电梯，已知两个陌生人在1至3层的任意一层出电梯.（1）请用画树状图或列表的方法，求出甲、乙二人在同一楼层出电梯的概率； （2）小亮和小芳打赌说：“若甲、乙二人在相邻楼层出电梯，则小亮胜，否则小芳胜”．该游戏是否公平？请说明理由．1层 2层 3层 车库22．（本题满分7分）如图，防洪大堤的横断面是梯形ABCD，其中AD∥BC，坡角α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的坡长为AE，背水面坡角β＝45°．若原坡长AB＝16m，求改造后的坡长AE（结果保留根号）．23．（本题满分6分）如图，已知cos∠ABM＝45，AB＝20，C是射线BM上一点．（1）求点A到BM的距离；（2）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是（填写所有符合条件的序号），①AC＝13；② tan∠ACB＝125；③连接AC，△ABC的面积为126.MABAB CDEαβ24．（本题满分9分）如图，AD 是⊙O 的直径，AB 为⊙O 的弦，BC 与⊙O 相切，B 为切点，OP 与AB的延长线交于点P ．点C 在OP 上，且BC ＝PC ． （1）求证：OP ⊥AD ；（2）若OA ＝3，AB ＝2，求BP 的长．25．（本题满分8分）如图所示，在一矩形空地ABCD 内建筑一个小的矩形花坛AMPN ，要求P 在BD上，M 、N 分别在AB 、AD 上．已知AB =160米，AD =100米，设AN =x （米）． （1）设AM =y ，求y 与x 之间的函数表达式；（2）当AM ，AN 的长度分别是多少时，花坛AMPN 的面积最大？并求出最大面积.MA BCD NP26．（本题满分10分）如图在平面直角坐标系中，四边形OABC 是菱形，点C 的坐标为(3，4)，平行于 对角线AC 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m 与菱形 OABC 的两边分别交于点M 、N ，直线m 运动的时间为t （秒）. （1）求点B 的坐标 ； （2）当MN =21AC 时，求t 的值； （3）设△OMN 的面积为S ，求S 与t 的函数表达式，并确定S 的最大值.27．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的函数表达式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）点Q为线段AC上一点，若四边形OCPQ为平行四边形，求点Q的坐标.28．（本题满分10分）在平面直角坐标系中，直线y =－125x +5与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，P 是射线AB 上一动点，设AP ＝a ，以AP 为直径作⊙C . （1）求cos ∠ABO 的值；（2）当a 为何值时，⊙C 与坐标轴恰有3个公共点；（3）过P 作PM ⊥x 轴于M ，与⊙C 交于点D ，连接OD 交AB 于点N ，若∠ABO =∠D ，求a 的值.江阴市2015-2016学年第一学期九年级期末调研考试数学评分标准一、选择题(本大题共有10小题，每小题3分，共30分)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 DCABABBDCC二．填空题（本大题有8小题，每空2分，共16分）11．2- 12．122-=x y 13．53 14．6 15．23 16．6cm 17．π52 18． 10 三、解答题19. （本题满分8分）⑴原式＝222322+－…………3分 ⑵原式＝112333－⨯⨯…………………3分＝22－ ………… ………4分 ＝1 ………………4分20．（本题满分8分）（1）过A 作AB ⊥x 轴于B . ∴OAAB=αsin . …………………………………………………1分 ∵ 32sin =α，∴32=OA AB . …………………………………………………………2分 ∵ A (t ，4)，∴4=AB ，∴OA =6， ……………………………………………………………3分 ∴ 52=t . ……………………………………………………………………………………4分 （2）① 9.5， 10. ………………………………………………………………………………2分② 平均成绩：9分，方差：1 (4)分21. （本题满分8分）（1）画树状图共有9种等可能结果，其中甲、乙两人在同一楼层出电梯的可能有3种，所以概率为31. …5分 （2）不公平. 因为甲、乙二人在相邻楼层出电梯的概率为94，否则概率为95. . …………8分 22．（本题满分7分）过A 作AH ⊥BC 于H . ∵ABAH=αsin ，∴αsin ⋅=AB AH . ∵︒=60α，m AB 16=，∴38=AH .…………………3分 ∵AE AH =βsin ，∴βsin AHAE =. ∵︒=45β，∴68=AE .…………………………………………………………7分23. （本题满分6分）（1）:过A 作AH ⊥BC 于H . ∴ABBHABM =∠cos . ∵54cos =∠ABM ，∴54=AB BH . ∵ AB =20，∴ BH =16，∴ AH =12. ………………4分 （2）②③ ……………………………………………6分24. （本题满分9分） （1）证明：连接OB .∵BC 切⊙O 于B ，∴OB ⊥BC ，∴︒=∠90OBC ，∴︒=∠+∠901OBA .∵BC =PC ，∴P ∠=∠1. ……………………………………………………………………2分 HM11∴OP ⊥AD . …………………………………………………………………………4分 （2）过O 作OH ⊥AB 于H. ∵AB =2, AB BH AH 21==，∴AH =1. .5分 ∵︒=∠=∠90AOP AHO ，A A ∠=∠，∴AOH ∆∽APO ∆.…7分 ∴AOAHAP AO =，∴AH AP AO ⋅=2. ∵AO =3，∴AP =9，∴BP =7. …………………9分25. （本题满分8分）（1）∵ 四边形AMPN 是矩形，∴PN ∥AB ，PN =AM ，∴△DNP ∽△DAB .∴ABNPDA DN =. ……………………………………………………………2分 ∵AB =160，AD =100，AN =x ，AM =y ，∴160100100yx =-. ∴16058+-=x y . …………………………………………………………………4分 （2）设花坛AMPN 的面积为S ，则()40005058)16058(2+--=+-==x x x xy S .……………6分 ∵058<-，∴当50=x 时，S 有最大值, 4000=最大值S . ∴当AM =80，AN =50时，花坛AMPN 的最大面积为4000m 2 ……………………………………8分26. （本题满分10分）（1）过点C 作CH ⊥OA 于H .∵C (3，4)，∴CH =4，OH =3，∴OC =5， ∴CB =5，∴(8，4)；（2）如图1，当50≤≤t 时∵ 四边形OABC 是菱形，∴OA=AB =BC =OC =5，OC ∥∵ MN ∥AC ，∴△OMN ∽△OAC ，∴OAOMAC MN =. ∵AC MN 21=，∴OA OM 21=.12∴25=OM ，∴25=t . ………………………4分 如图2, 当105≤≤t 时，设直线MN 与OA 交于点E .，同图1可得AM =25. ∵OC ∥AB ， MN ∥AC ，∴MEA CAO MAE COA ∠=∠∠=∠,，∴△AEM ∽△OAC . ∴OCAMOA AE =. ∵OC =OA ，∴AM =AE ，∴215=OE ，∴215=t .综上所述: 25=t 或215=t .……………………………6分（3）当50≤≤t 时（如图1）, 1021=⋅=∆CH OA S OAC. ∵△OMN ∽△OAC ，∴2⎪⎭⎫⎝⎛=∆∆OA OM S S OAC OMN .∴252t S =.()50≤≤t ………………7分 当105≤≤t 时（如图3）.，过点M 作MT ⊥x 轴于T ， 由△BMN ∽△AME 可知，MT =54（t －5）， ……8分 OME ONE OMN S S S ∆∆∆-= ()105522+--=t …9分 综上所述：S =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+--≤≤105,10)5(52505222t t t t∴ 当5=t 时, 10=最大值S . .…………………………………………10分27. （本题满分10分）（1）∵ C (0，4)， ∴OC =4.∵ OA =OC =4OB ，∴OA =4，OB =1. ∴ A (4，0)，B (－1，0) .…………………………2分13设()()41-+=x x a y ，∴a 44-=，∴1-=a .∴432++-=x x y . .………………………………4分 （2）若△ACP 是以AC 为底的等腰三角形，则点P 在AC 的垂直平分线上，∵OA =OC ，∴AC 的垂直平分线OP 即为∠AOC 的平分线，设P （m ，－m 2+3m +4），则可得：m =－m 2+3m +4 ∴m 1=5+1，m 2=1－5 ∴存在点P 1（5+1，5+1），P 2（1－5，1－5），使得△ACP 是以AC 为底边的等腰三角形 …………………………………………………… …6分 （3）设()0:≠+=k b kx y l AC ，∵过A (4，0)， C (0，4)，∴ 4:+-=x y l AC .∵四边形OCPQ 为平行四边形，∴PQ ∥OC ，PQ =OC ，设()43,2++-t t t P ，()4,+-t t Q ， ………………………………………8分()44432=+--++-t t t .∴221==t t ，∴点Q （2，2） ………………………………………………………10分28．（本题满分10分） （1）∵直线y =－125x +5与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， ∴A (0，5)，B (12，0)，∴AO =5，BO =12. ∵AO ⊥BO ， ∴AB =13，∴1312cos ==∠AB BO ABO . . …………………………………2分 （2）⊙C 与坐标轴恰有3个公共点时，⊙C 过原点O 或⊙C 与OB 相切， ……………………3分①⊙C 过原点O ，∴13==AB a . ……………………………………………4分 ②⊙C 与OB 相切，设切点为H ，连接CH ，则CH ⊥OB , ∵AO ⊥OB ，∴△BCH ∽△BAO ，∴AOCHBA BC =， ………………………………5分 ∴521132113aa =-，∴965=a . 综上所述: 13=a 或965=a .. . ………………………6分x14（3）连接AD ，∵AP 是直径，∴︒=∠90ADP∵PM ⊥x 轴,，∴︒=∠90DMB .∵∠ABO =∠ODM ，∠NPD =∠BPM ，∴∠DNP =∠BMP =90°， ∴∠ABO=90°－∠DOM=∠AOD ， ∴AOD ∠tan =125tan ==∠BO AO ABO ，. …………………8分 PM ⊥x 轴，AO ⊥x 轴， ︒=∠90ADP ，∴ ︒=∠90OAD ， 在Rt △ADO 中，AOD ∠tan =AO AD =125， ∴ AD =125×5=1225， …………………………………9分又∵∠DAP =∠ABO ， 在Rt △ADO 中，COS ∠DAP =APAD， ∴AP =ABO ADDAP AD ∠=∠cos cos =1225×1213=144325， ∴ 144325==AP a . ………………………………………………………………10分。
广东省广州市越秀区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年广东省广州市越秀区九年级上学期期末考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解即可，轴对称图形：沿某一直线折叠后直线两旁的部分互相重合；中心对称图形：将一个图形绕着中心点旋转180°后能与自身重合的图形叫做中心对称图形；【详解】A 、此图形既是中心对称图形，也是轴对称图形故此选项正确；B 、此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形故此选项不正确；C 、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形故此选项不正确；D 、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形故此选项不正确；故选：A ．【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，正确理解它们的概念是解题的关键；2. 用配方法解一元二次方程2450x x --=，此方程可变形为（ ）A. ()229x -=B. ()229x +=C. ()221x +=D. ()221x -= 【答案】A【解析】【分析】先把常数项移到等式右边，再两边同时加上4，等式左边可以凑成完全平方的形式．【详解】解：2450x x --=24454x x -+=+ ()229x -=．故选：A ．【点睛】本题考查配方法，解题的关键是掌握配方法的方法．3. 若将抛物线y=5x 2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（ ）A. y=5（x ﹣2）2+1B. y=5（x+2）2+1C. y=5（x ﹣2）2﹣1D. y=5（x+2）2﹣1【答案】A【解析】 试题解析：将抛物线25y x =向右平移2个单位，再向上平移1个单位,得到的抛物线的解析式是()252 1.y x =-+故选A . 点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.4. 已知A 1122(,)(,)x y B x y 、为二次函数()21y x k =--+图象上两点，且1x <2x <1，则下列说法正确的是（ ） A. 120y y +> B. 120y y +< C. 12 0y y -> D. 12 0y y -<【答案】D【解析】【分析】 根据二次函数解析式得到函数图象的性质，开口向下，在对称轴左边，y 随着x 的增大而增大，从而得到因变量的大小关系．【详解】解：二次函数()21y x k =--+的对称轴是直线1x =，且开口向下，在对称轴左边，y 随着x 的增大而增大，∵1x <2x <1，∴12y y <，即120y y -<．故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是根据顶点式得出函数图象的性质．5. 下列事件为必然事件的是（ ）A. 掷一枚硬币，正面朝上B. 弦是直径C. 等边三角形的中心角是120︒D. 位似的两个三角形的对应边互相平行【答案】C【解析】【分析】根据必然事件的定义判断出正确选项．【详解】A是随机事件，抛一枚硬币不一定正面朝上；B是随机事件，弦不一定是直径；C是必然事件；D是随机事件，位似三角形的对应边也可能重合．故选：C．【点睛】本题考查必然事件的定义，解题的关键是掌握必然事件的定义．6. 如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）A. 7B. 7.5C. 8D. 8.5【答案】B【解析】【分析】由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BDCE DF=，又由AC=4，CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．【详解】解：∵a∥b∥c，∴AC BD CE DF=，∵AC=4，CE=6，BD=3，∴436DF =，解得：DF=92，∴937.52BF BD DF=+=+=．故选B．考点：平行线分线段成比例．7. 如图，在△ABC中，CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上的中线，则DEFBCFSS=（）A.25B.12C.13D.14【答案】D【解析】【分析】根据中位线定理得到//DE BC和12DE BC=，再利用DEF CBF△△的性质得到它们的面积比．【详解】解：∵CD，BE分别是边AB，AC上的中线，∴//DE BC，12DE BC=，∴DEF CBF△△，∴214DEFBCFS DES CB⎛⎫==⎪⎝⎭．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定．8. 如图，AB、AC为O的两条切线，50BAC∠=︒，点D是BC上一点，则BDC∠的大小是（）A. 100︒B. 110︒C. 115︒D. 125︒【答案】C【解析】【分析】连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，首先求出∠BOC，再根据∠BD′C=12∠BOC，∠BDC+∠BD′C=180°，即可解决问题．【详解】解：连接OB、OC，作出优弧BC对应的一个圆周角∠BD′C，如图，∵AB、AC是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠ABO=∠ACO=90°，∵∠BAC=50°，∴∠BOC=360°-90°-90°-50°=130°，∴∠BD′C=12∠BOC=65°，∴∠BDC=180°-65°=115°，故选：C．【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理，圆内接四边形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．9. 《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就．它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用．书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（ED=1寸），锯道长1尺（AB=1尺=10寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？”如图所示，请根据所学知识计算：圆形木材的直径AC是（）A. 13寸B. 20寸C. 26寸D. 28寸【答案】C【解析】分析：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解方程即可.详解：设⊙O的半径为r．在Rt△ADO中，AD=5，OD=r-1，OA=r，则有r2=52+（r-1）2，解得r=13，∴⊙O的直径为26寸，故选C．点睛：本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题10. 如图，BD为矩形ABCD的对角线，将△BCD沿BD翻折得到BC D'△，BC'与边AD交于点E．若AB＝x1，BC＝2x2，DE＝3，其中x1、x2是关于x的方程x2﹣4x+m＝0的两个实根，则m的值是（）A. 165B.125C. 3D. 2【答案】A 【解析】分析】利用根与系数的关系得到x1＋x2＝4，x1x2＝m，AB＋12BC＝4，m＝AB×12BC，再利用折叠的性质和平行线的性质得到∠EBD＝∠EDB，则EB＝ED＝3，所以AE＝AD−DE＝5−2AB，利用勾股定理得到AB2＋（5−2AB）2＝32，解得AB＝10255-或AB＝1055+，则BC＝20455+，然后计算m的值．【详解】∵x1、x2是关于x的方程x2−4x＋m＝0的两个实根，∴x1＋x2＝4，x1x2＝m，即AB＋12BC＝4，m＝AB×12BC，∵△BCD沿BD翻折得到△BC′D，BC′与边AD交于点E，∴∠CBD ＝∠EBD ，∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠EDB ，∴∠EBD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ＝3，在Rt △ABE 中，AE ＝AD−DE ＝BC −3＝8−2AB−3＝5−2AB ，∴AB 2＋（5−2AB ）2＝32，解得AB 或AB （舍去），∴BC ＝8−2AB ，∴m ＝12×105-×205+＝165． 故选：A ．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的两根时，x 1＋x 2＝−b a ，x 1x 2＝c a．也考查了矩形的性质和折叠的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 关于x 的方程()21210m x mx +++=是一元二次方程，则m 的取值范围是_____． 【答案】1m ≠-【解析】【分析】根据定义，一元二次方程的二次项系数不能是0，求出m 的取值范围．【详解】解：∵方程()21210m x mx +++=是一元二次方程， ∴10m +≠，即1m ≠-．故答案是：1m ≠-．【点睛】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是掌握一元二次方程的定义．12. 在平面直角坐标系中，有两点A （1，2），B （3，1），以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的3倍，得到OA B ''△，则点A 的对应点A '的坐标是_______．【答案】()3,6或()3,6--【解析】根据位似图形的定义，以原点O 为位似中心，将原三角形放大3倍，则对应点坐标也变为原来的3倍．【详解】解：以原点O 为位似中心，将△OAB 放大为原来的3倍，则点A 的横纵坐标都变为原来的3倍，对应的点A '()3,6或()3,6--．故答案是：()3,6或()3,6--．【点睛】本题考查位似图形，解题的关键是掌握位似图形的定义．13. 一个袋中装有m 个红球，10个黄球，n 个白球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同，那么m 与n 的关系是________．【答案】m +n ＝10．【解析】【分析】直接利用概率相同的频数相同进而得出答案．【详解】∵一个袋中装有m 个红球，10个黄球，n 个白球，摸到黄球的概率与不是黄球的概率相同， ∴m 与n 的关系是：m +n ＝10．故答案为m +n ＝10．【点睛】此题主要考查了概率公式，正确理解概率求法是解题关键．14. 若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120︒的扇形，则该圆锥的母线长是________．【答案】6【解析】【分析】先根据圆锥的底面半径求出底面圆周长，也就是侧面图扇形的弧长，再利用弧长公式求出扇形半径，也就是圆锥的母线．【详解】解：∵圆锥的底面半径是2，∴底面圆周长是4π，即展开后的扇形弧长是4π， 根据弧长公式：180n r l =︒π， 得1204180r ππ︒=︒，解得6r =，即该圆锥的母线长是6． 故答案是：6．【点睛】本题考查扇形和圆锥的有关计算，解题的关键是掌握扇形的弧长公式，以及圆锥和侧面展开的扇15. 如图，已知点B （3，3）、C （0，6）是抛物线24y ax x c =-+ (0a ≠)上两点，A 是抛物线的顶点，P 点是x 轴上一动点，当PA+PB 最小时，P 点的坐标是_____．【答案】(2.4，0)【解析】【分析】根据点B （3，3）、C （0，6）是抛物线24y ax x c =-+（a≠0）上两点，可以求得该抛物线的解析式，从而可以求得顶点A 的坐标，然后即可得到点A 关于x 轴的对称点的坐标，则点A 关于x 轴的对称点的坐标与点B 所连直线与x 轴的交点即为所求的点P 的坐标．【详解】解：∵点B (3，3)、C (0，6)是抛物线24y ax x c =-+ (a ≠0)上两点， ∴91236a c c -+=⎧⎨=⎩，得16a c =⎧⎨=⎩ ， ∴抛物线解析式为2246(22)y x x x =-+=-+，∴点A 的坐标为(2,2)，点A 关于x 轴的对称点的坐标为(2,−2)，则点(2,−2)与点B (3,3)所连直线与x 轴的交点即为所求的点P ，此时P A +PB 最小，设过点(2,−2)与点B (3,3)的直线解析式为y =kx +b ， 2233k b k b +=-⎧⎨+=⎩，得512k b =⎧⎨=-⎩ ， 即过点(2，−2)与点B (3，3)的直线解析式为y =5x −12，当y =0时，0=5x −12，得x =2.4，∴点P 的坐标为(2.4,0)，故答案为：(2.4，0)．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数上点的坐标特征、对称轴最短路径问题，解本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合思想解答．16. 如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AD=CD ，AB+BC=8，则四边形ABCD 的面积是_________．【答案】16【解析】【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意B D 90∠∠==︒，可知：求出Rt ABC 与Rt ADC 的面积，即为四边形ABCD 的面积．【详解】连接AC ，∵B D 90∠∠==︒，∴222AB BC AC +=，222AD DC AC +=， ∴11=22ABC ADC ABCD S S S BC AB CD AD +=⋅+⋅四边形21122BC AB AD =⋅+ ()2221111=2224BC AB CD AB BC AB BC ⋅+=⋅++， ∵AB+BC=8，∴222=64AB BC BC AB ++⨯，∴4464ABC ADC S S +=，∴=16ABC ADC ABCD S S S +=四边形故答案为：16．【点睛】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．三、解答题（本大题共9题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 解方程：22320x x --= 【答案】12x =，212x =- 【解析】 【分析】利用公式法求出24b ac =-△，继而求一元二次方程的解； 【详解】∵2a =，3b =-，2c =-， ∴()()224342225b ac -=--⨯⨯-=，∴32522x ±=⨯，∴12x =，212x =-． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的方法，公式法：先求出24b ac =-△，继而用b x -±=△求出解即可，是基础性考点；18. 在平面直角坐标系中， OAB △的位置如图所示，且点A （-3，4），B （2，1），将 OAB △绕点O 顺时针旋转90︒后得到 OA B ''△． （1）在图中画出 OA B ''△；（2）求点A 在旋转过程中所走过的路线长．【答案】（1）见解析；（2）52π【解析】 【分析】（1）将点A 绕着点O 顺时针旋转90︒得到点A '，用同样的方法得到点B '，就可以画出OA B ''△； （2）先算出AO 的长度，再利用弧长公式求出路线长． 【详解】解：（1）如图所示：（2）22345AO =+=，90551802l ππ︒⨯==︒．【点睛】本题考查图形的旋转和弧长公式，解题的关键是掌握画旋转图形的方法和弧长公式的运用． 19. 已知抛物线2y x 2x 3=-++． （1）该抛物线的对称轴是_____；（2）选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象：x…………y …… ……（3）根据函数的图象，直接写出不等式2230x x -++>的解．【答案】（1）1x =；（2）见解析；（2）13x【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式求出抛物线的对称轴； （2）利用5点作图法列出表格并画出图象；（3）不等式的解表示：函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围，根据图象得出解集． 【详解】解：（1）2122bx a ， 对称轴是直线1x =， 故答案是：1x =；（2）令1x =-，则1230y =--+=， 令0x =，则3y =，令1x =，则1234y =-++=， 令2x =，则4433y =-++=， 令3x =，则9630y =-++=，x …… -1 0 1 2 3 …… y……343……图象如图所示：（3）不等式2230x x -++>的解表示：函数图象在x 轴上方时，x 的取值范围， 根据图象得不等式的解是：13x．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象的画法，以及利用函数图象去解不等式．20. 如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，ADE 60∠=︒． （1）求证：BAD CDE ∠=∠；（2）若BD=4，CE=2，求△ABC 的边长．【答案】（1）见解析；（2）8 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到60B ADE ∠=∠=︒，再根据外角和定理证明结论； （2）根据（1）的结论证明ABD DCE △△，利用相似三角形对应边成比例列式求出CD 的长，就可以得到三角形ABC 的边长．【详解】解：（1）∵ABC 是等边三角形， ∴60B ∠=︒， ∵60ADE ∠=︒， ∴B ADE ∠=∠，∵BAD B ADC ADE CDE ∠+∠=∠=∠+∠， ∴BAD CDE ∠=∠；（2）∵BAD CDE ∠=∠，60B C ∠=∠=︒， ∴ABD DCE △△，∴AB BDDC CE=， 设DC x =，则4AB BC x ==+， ∴442x x +=，解得4x =， ∴448BC =+=，即△ABC 的边长是8．【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定定理． 21. 有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字-1，0，1，2；B 布袋中有二个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1．小明先从A 布袋中随机取出一个小球，用m 表示取出的球上标有的数字 ，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字． （1）若用（m n ，）表示小明取球时m n 与的对应值，请用树状图或列表法表示()m n ，的所有取值； （2）求关于x 的一元二次方程2102x mx n -+=有实数根的概率． 【答案】（1）见解析；（2）58【解析】 【分析】（1）用列表的方法或树状图去表示所有可能性；（2）利用根的判别式算出m 和n 的关系式，找到符合条件的组合． 【详解】解：（1）如图：（2）要使一元二次方程202x mx n -+=有实数根，则0∆≥，即220m n -≥， 满足条件的组合有：()1,0-，()0,0，()1,0，()2,0，()2,1，∴概率是58．【点睛】本题考查概率求解，解题的关键是掌握通过画树状图或列表求解概率的方法．22. 有一批图形计算器，原售价为每台800元，在甲、乙两家公司销售．在甲公司用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台每台都为760元，依此类推，即每多买一台，则所买各台单价均再减20元；乙公司一律按原售价75%促销．某单位需购买一批图形计算器：（1）若此单位需购买4台图形计算器，应去哪家公司购买花费较少？（2）若该单位计划购买m台图形计算器，经过对比发现，在两家公司购买相差480元，试求m的值．【答案】（1）去乙公司购买花费少；（2）4或6或12【解析】【分析】（1）把数量4分别代入甲乙两家公司的计算即可求出到哪家公司购买花费较少；（2）把数量m分别代入甲乙两家公司计算，费用用含m表示，然后讨论①当去甲公司花费比乙公司多480元时；②当去甲公司花费比乙公司少480元时，分别列等式求出m的值即可．【详解】（1）去甲公司购买花费：（800-4×20）×4=2880（元），去乙公司购买花费：800×4×75%=2400（元），∵2880>2400，∴去乙公司购买花费少（2）去甲公司购买花费：m(800-20m)=800m-20m2，去乙公司购买花费：800×75%m=600m，∴在两家公司购买相差480元，∴当去甲公司花费较多时，800m-20m2=600m+480 整理得：m2-10m+24=0 解得：m1=4，m2=6 当去甲公司花费较少时，800m-20m2=600m-480 整理得：m2-10m-24=0，解得：m1=12，m2=-2（舍去）综上m的值为4或6或12．【点睛】本题考查了利用方程思想解决生活中的数学问题．只要把握住总花费=单价×数量这一等量关系，注意分情况讨论“两家公司购买相差480元”是解答此题的易漏点 ． 23. 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6．（1）动手操作：利用尺规作以BC 为直径的圆O ，并标出圆O 与AB 的交点D ，与AC 的交点E ，连接DE （保留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的圆中， ①求证：DE//BC ； ②求线段DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②4225DE = 【解析】 【分析】（1）作BC 的垂直平分线得到BC 的中点O ，以O 为圆心，BO 的长为半径画圆，得到圆O ； （2）①根据等腰三角形的性质即可证明结论；②根据三角形的面积和勾股定理即可求出线段DE 的长． 【详解】解：（1）如图所示：（2）①在ABC 中，AB AC =， ∴A ABC CB =∠∠， ∴DEC EDB =， ∴EC DB =，∴DEB CBE ∠=∠， ∴//DE BC ； ②∵//DE BC ， ∴ADE ABC ，∴AE DEAC BC=， ∵5AB AC ==，6BC =， ∴3OB OC OE ===， ∴4AO =， 连接BE ， ∵BC 是O 的直径，∴90BEC ∠=︒， ∴1122ABCSBC AO AC BE =⋅=⋅， ∴245BE =， 在Rt AEB 中，根据勾股定理，得222AE EB AB +=，即2222455AE ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得75AE =， ∴7556DE =，解得4225DE =．【点睛】本题考查了尺规作图，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些几何性质进行证明求解．24. 如图，抛物线y =ax 2+(4a ﹣1)x ﹣4与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，且OC =2OB ，点D 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，过点D 作矩形DEFH ，点H 、F 在抛物线上，点E 在x 轴上． （1）求抛物线解析式；（2）当矩形DEFH 的周长最大时，求矩形DEFH 的面积；（3）在（2）的条件下，矩形DEFH 不动，将抛物线沿着x 轴向左平移m 个单位，抛物线与矩形DEFH 的边交于点M 、N ，连接M 、N ．若MN 恰好平分矩形DEFH 的面积，求m 的值．【答案】（1）y=12x2+x﹣4；（2）10；（3）m的值为52．【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，由OC＝2OB，可推出点B坐标，将点B坐标代入y＝ax2＋（4a﹣1）x﹣4可求出a的值，即可写出抛物线的解析式；（2）设点D坐标为（x，0），用含x的代数式表示出矩形DEFH的周长，用函数的思想求出取其最大值时x 的值，即求出点D的坐标，进一步可求出矩形DEFH的面积；（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，依次求出直线BH，MN的解析式，再求出点M的坐标，即可得出m的值．【详解】解：（1）在抛物线y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4中，当x＝0时，y＝﹣4，∴C(0，﹣4)，∴OC＝4．∵OC＝2OB，∴OB＝2，∴B(2，0)，将B(2，0)代入y＝ax2＋(4a﹣1)x﹣4，得：a＝12，∴抛物线的解析式为y＝12x2＋x﹣4；（2）设点D坐标为(x，0)．∵四边形DEFH为矩形，∴H(x，12x2＋x﹣4)．∵y＝12x2＋x﹣4＝12(x＋1)2﹣92，∴抛物线对称轴为x＝﹣1，∴点H到对称轴的距离为x＋1，由对称性可知DE＝FH＝2x＋2，∴矩形DEFH的周长C＝2(2x＋2)＋2(﹣1 2 x2﹣x＋4)＝﹣x2＋2x＋12＝﹣(x﹣1)2＋13，∴当x＝1时，矩形DEFH周长取最大值13，∴此时H(1，﹣52)，∴HF＝2x＋2＝4，DH＝52，∴S矩形DEFH＝HF•DH＝4×52＝10；（3）如图，连接BH，EH，DF，设EH与DF交于点G，过点G作BH的平行线，交ED于M，交HF于点N，则直线MN将矩形DEFH的面积分成相等的两半，由（2）知，抛物线对称轴为x＝﹣1，H(1，﹣52)，∴G(﹣1，﹣54)，设直线BH的解析式为y＝kx＋b，将点B(2，0)，H(1，﹣52)代入，得：2052k bk b+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩，解得：525kb⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴直线BH的解析式为y＝52x﹣5，∴可设直线MN解析式为y＝52x＋n，将点(﹣1，﹣54)代入，得n＝54，∴直线MN的解析式为y＝52x＋54，当y＝0时，x＝﹣12，∴M(﹣12，0)．∵B(2，0)，∴将抛物线沿着x轴向左平移52个单位，抛物线与矩形DEFH的边交于点M、N，连接M、N，则MN恰好平分矩形DEFH的面积，∴m的值为52．【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的性质，函数思想求最大值，平移规律等，解题关键是知道过矩形对角线交点的直线可将矩形的面积分成相等的两半．25. 如图，四边形ABCD为平行四边形，AD＝1，AB＝3，∠DAB＝60°，点E为边CD上一动点，过点C 作AE的垂线交AE的延长线于点F．（1）求∠D的度数；（2）若点E为CD的中点，求EF的值；（3）当点E在线段CD上运动时，AFAE是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠ADC＝120°；（2）EF＝1919，（3）有最大值，最大值为：1392【解析】【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得AB∥CB，进而即可得到答案；（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H，由在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，得A 3DH＝12，结合勾股定理得AE＝192，易证△AEH∽△CEF，得EH AEEF EC，进而即可求解；（3）作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的延长线于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于N，作NQ⊥CD于Q．易得P A的值最大时，AFAE的值最大，P A的值最大＝AN的长，根据勾股定理和三角函数的定义得DN12-，从而得AN＝AD+DN＝132+，进而即可得到答案．【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CB，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠DAB＝60°，∴∠ADC＝120°．（2）作AH⊥CD交CD的延长线于H，如图1，∵在Rt△ADH中，∠H＝90°，∠ADH＝60°，AD＝2，∴AH＝AD•sin60DH＝AD•cos60°＝12，∵DE＝EC＝32，∴EH＝DH+DE＝2，∴AE2==，∵CF⊥AF，∴∠F＝∠H＝90°，∵∠AEH＝∠CEF，∴△AEH∽△CEF，∴EH AEEF=，∴2232EF=，∴EF＝19．（3）如图2中，作△AFC的外接圆⊙O，作AH⊥CD交CD的延长线于H，作OK⊥CD于K，交⊙O于M，作FP∥CD交AD的延长线于P，作MN∥CD交AD的延长线于N，作NQ⊥CD于Q．∵DE∥PF，∴AF AP AE AD=，∵AD是定值，∴P A的值最大时，AFAE的值最大，观察图形可知，当点F与点M重合时，P A的值最大，最大值＝AN的长，由（2）可知，AHCH＝72，∠H＝90°，∴AC==∴OM＝12AC，∵OK∥AH，AO＝OC，∴KH＝KC，∴OK＝12 AH∴MK＝NQ＝2﹣4，在Rt△NDQ中，DN＝1 sin6022NQ==-︒，∴AN＝AD+DN＝132+，∴AFAE的最大值＝ANAD＝12【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质定理，圆的性质，添加辅助线，构造圆与相似三角形，是解题的关键．。