2020届山西省太原市一模数学(理科)试卷及答案
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，2{|6}N x y x x ==+-，则(M N = )A ．{|23}x x -<<B ．{|23}x x -< C ．{|23}x x -< D ．{|33}x x -< 2．（5分）设复数z 满足(2)5z i +=，则||(z i -=)A ．2B ．2C ．22D ．43．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．13324．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B．C．D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()A．6a=B．5a=C．4a=D．7a=7．（5分）37 1(3)xx+展开式中的常数项是()A．189B．63C．42D．218．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A3πB3C．3πD．4π9．（5分）已知变量x，y满足约束条件6321x yx yx+⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为()A．23+B．526+C．815+D．310．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B．22C．23D．6311．（5分）设||10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有|2|8AP AB λ-，则一定正确的是()A ．||5PA B ．||10PA PB +C ．9PA PB -D ．90APB ∠︒12．（5分）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是()A ．(2-，0)(0⋃，2)B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到，则双曲线方程为．14．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用(,)a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如(5,2)11a =，则(41,18)a =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，2c =，求sin A 的值．18．（12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --等于45︒？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1k +次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为P =．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．20．（12分）已知椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线交直线3x =于点C ．设22AF F B λ=，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．21．（12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()xg x x=．（Ⅰ）判断函数()f x 在区间5(0,)2π上零点的个数；（Ⅱ）设函数()g x 在区间(0,)+∞上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，3x ，4x ，⋯，n x ．证明：（1）12()()0g x g x +<；（2）对一切*n N ∈，123()()()()0n g x g x g x g x +++⋯+<成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ =，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB =，求k 的值[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．2020年山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，2{|6}N x y x x ==+-，则(M N = )A ．{|23}x x -<<B ．{|23}x x -< C ．{|23}x x -< D ．{|33}x x -< 【解答】解：{|33}M x x =-<<，{|23}N x x =- ，{|23}M N x x ∴=-< ．故选：B ．2．（5分）设复数z 满足(2)5z i +=，则||(z i -=)A ．2B ．2C ．22D ．4【解答】解：由(2)5z i +=，得55(2)22(2)(2)i z i i i i -===-++-，22|||2||22|2(2)22z i i i i ∴-=--=-=+-=．故选：C ．3．（5分）七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清)陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为()A ．516B ．1132C ．716D ．1332【解答】解：设大正方形的边长为4，则面积4416⨯=，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为221222242⨯=，另外一部分为梯形，上底为32=，故概率716P =．故选：C ．4．（5分）在等比数列{}n a 中，10a >，则“14a a <”是“35a a <”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在等比数列中，若14a a <，即311a a q <，10a > ，31q ∴<，即1q >，则2531a q a =>，即35a a <成立，若等比数列1，2-，4，8-，16，满足35a a <，但14a a <不成立，故“14a a <”是“35a a <”的充分不必要条件，故选：A ．5．（5分）函数21()||x f x x -=的图象大致为()A ．B．C．D．【解答】解：22()11()()||||x xf x f xx x----===-，则()f x为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当0x>时，211()xf x xx x-==-为增函数，排除A，故选：D．6．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95，则()A ．6a =B ．5a =C ．4a =D ．7a =【解答】解：执行程序框图，有1S =，1k =不满足条件k a >，有1112S =+⨯，2k =；不满足条件k a >，有1111223S =++⨯⨯，3k =；不满足条件k a >，有1111122334S =+++⨯⨯⨯，4k =；不满足条件k a >，有111191122334455S =++++=⨯⨯⨯⨯，5k =；此时，应该满足条件k a >，退出循环输出S 的值为95．故a 的值应为4．故选：C ．7．（5分）37(3x+展开式中的常数项是()A ．189B ．63C ．42D ．21【解答】解：37(3x+展开式的通项公式为：7213772177(3)3r rrr r rr T C x C x---+== ，令72102r-=，解得6r =；所以展开式中的常数项是677321T C == ．故选：D ．8．（5分）刘徽注《九章算术 商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为()A 3πB ．32C ．3πD ．4π【解答】解：由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1，1，1，∴3，∴外接球的半径为32，∴外接球的体积为3433(322V π==．故选：B ．9．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件6321x y x y x +⎧⎪--⎨⎪⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最小值为2，则13a b+的最小值为()A ．23+B ．526+C ．815+D ．3【解答】解：约束条件对应的区域如图：目标函数(0,0)z ax by a b=+>>经过C时取最小值为2，所以2a b+=，则1311313()()(4)22b aa ba b a b a b +=++=++22=+b=，并且2a b+=时等号成立；故选：A．10．（5分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的右焦点为F，过点F作圆222x y b+=的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆C的离心率为()A．12B C D 【解答】解：如图，c =，则222b c =，即2222()a c c -=，则2223a c =，∴2223c a =，即3c e a ==．故选：D ．11．（5分）设||10AB =，若平面上点P 满足对任意的R λ∈，恒有|2|8AP AB λ- ，则一定正确的是()A ．||5PA B ．||10PA PB +C ．9PA PB -D ．90APB ∠︒【解答】解：以线段AB 的中点为原点，以AB 所在的直线为x 轴，以其中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则(5,0)A -、(5,0)B 、设点(,)P x y ，则(5,)AP x y =+ ，(10,0)AB =，则2(21010,2)AP AB x y λλ-=+-，即有22(21010)464x y λ+-+ ，整理为以λ为元的一元二次不等式，即222100(20040)4404360x x x y λλ-+++++ ，由于上述不等式对任意R λ∈恒成立，则△0 必然成立，△222(20040)4100(440436)0x x x y =+-⨯⨯+++ ，解得||4y ，即4y 或者4y - ，动点P 位于直线4y =上或其上方部分，或者直线4y =-上或者其下方的区域内，用动态的观点看问题，我们让点P 位于点(5,4)-处，则||4PA =，故A 错误；让点P 位于点(0,4)处，则|||2|8PA PB PO +==，故B 错误；此时||||PA PB ==，||10AB =，用余弦定理计算4141100cos 02||||APB PA PB +-∠=<，90APB ∠>︒故D 错误；我们进一步确定C 选项的正确性，(5,)PA x y =--- ，(5,)PB x y =--，则2225PA PB x y =+-，其中x R ∈，216y ，故2222516259x y x +-+-- ，即9PA PB -，故C 正确．故选：C ．12．（5分）设函数()f x '是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，则使得2(4)()0x f x ->成立的x 的取值范围是()A ．(2-，0)(0⋃，2)B ．(-∞，2)(2-⋃，)+∞C ．(2-，0)(2⋃，)+∞D ．(-∞，2)(0-⋃，2)【解答】解：根据题意，设()()g x lnx f x = ，(0)x >，其导数1()()()()()()g x lnx f x lnxf x f x lnxf x x'='+'=+'，又由当0x >时，()()xlnx f x f x '<- ，即1()()lnx f x f x x'<- ，则有1()()()0g x f x lnxf x x'=+'<，即函数()g x 在(0,)+∞上为减函数，又由g （1）1()0ln f x == ，则在区间(0,1)上，()()0g x lnx f x => ，又由0lnx <，则()0f x <，在区间(1,)+∞上，()()0g x lnx f x =< ，又由0lnx >，则()0f x <，则()f x 在(0,1)和(1,)+∞上，()0f x <，而1x =时，g （1）1()0ln f x == ，故()f x 也可小于0，又由()f x 为奇函数，则在区间(1,0)-和(,1)-∞-上，都有()0f x >，2240(4)()0()0x x f x f x ⎧->->⇒⎨>⎩或240()0x f x ⎧-<⎨<⎩，解可得：2x <-或02x <<，则x 的取值范围是(-∞，2)(0-⋃，2)；故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为y =，若其右顶点到，则双曲线方程为221412x y -=．【解答】解：根据题意，双曲线渐近线方程为y =，顶点坐标(,0)a ，顶点到渐近线的距离为：2=，解得2a =，根据渐近线方程的斜率ba=，可得b =所以双曲线的方程为：221412x y -=；故答案为：221412x y -=．14．（5分）已知函数()sin()(0)6f x x πωω=->在4(0,3π单调增加，在4(,2)3ππ单调减少，则ω=12．【解答】解：由题意44431()sin()12,33636222f k k k Zπππππωπωπω=-=⇒-=+⇒=+∈又0ω>，令0k =得12ω=．（由已知2T π>．如0k >，则2ω ，T π 与已知矛盾）．15．（5分）在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC ，BF 上移动，则MN 长度的最小值是3．【解答】解：法一：如图，以A 为坐标原点，分别以AF ，AB ，AD 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(0B ，1，0)，(1F ，0，0)，(0C ，1，1)，设(0,,)AM AC λλλ== ，(,,0)BN BF μμμ==-，01λ ，01μ ．(0MN AB AM BN =-+=，1，0)(0-，λ，)(λμ+，μ-，0)(μ=，1λμ--，)λ-．∴||MN ==λμ=时等号成立）．令(02)t t λμ+=，则||MN ．∴当23t =，即13λμ==时，||min MN ==．MN ∴长度的最小值是3．法二：(0AC = ，1，1)，(1BF =，1-，0)，设与AC ，BF都垂直的一个法向量为(n x = ，y ，)z ，00n AC y z n BF x y ⎧=+=⎪⎨=-=⎪⎩，取1y =，得(1n = ，1，1)-，又(0AB =，1，0)，MN ∴长度的最小值是||||AB n n ==．16．（5分）某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用(,)a i j 表示第i 行从左数第j 个数，如(5,2)11a =，则(41,18)a =835．【解答】解：由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，且第n 行有n 个数，因为(41,18)a 对应的数字为奇数，则前面奇数行共有：(139)20135394002+⨯+++⋯+==个奇数，故(41,18)a 为第418个奇数，由24181835⨯-=，可得(41,18)835a =，故答案为：835．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．17．（12分）已知ABC ∆外接圆的半径为R ，其内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，若222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．（Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =，2c =，求sin A 的值．【解答】解：（1）因为222(sin sin )()sin R B A a c C -=+．所以2222(sin sin )2()sin R R B A R a c C -=+ ．集222b a ac c -=+，由余弦定理可得，2221cos 22a cb B ac +-==-，0B π<< ，23B π∴=；（2）b = ，2c =，由正弦定理可得，sin sin b cB C=，所以21sin 7C =，因为b c >，故C 为锐角，cos 7C =，所以1sin sin()sin cos sin cos 272714A B C B C C B =+=+=⨯18．（12分）如图，ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥平面BCE ，且1AE =．（Ⅰ）求证：平面ABCD ⊥平面ABE ；（Ⅱ）线段AD 上是否存在一点F ，使二面角A BF E --等于45︒？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）因为AE ⊥平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ．所以AE BE ⊥，AE BC ⊥．又因为BC AB ⊥，AE AB A = ，所以BC ⊥平面ABE ．又BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABE ．（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系A xyz -，因为1AE =，2AB =，AE BE ⊥．所以BE =，所以(0B ，2，0)，1,0)2E ，设线段AD 上存在一点F 满足题意，设(0F ，0，)h ，(0)h >，易知平面ABF 的一个法向量为(1,0,0)m =，设平面BEF 的一个法向量为(,,)n x y z =，易知3,0)2BE =- ，(0,2,)BF h =- ．所以00n BE n BF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即302220x y y hz -=⎨⎪-+=⎩，令1y =，可得2)n h = ．由cos ,||||m n m n m n <>===，解得h =．所以存在点F，当AF =A BF E --所成角为45︒．19．（12分）新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性，对于a 份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验n 次．二是混合检验，将其中k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结果为阴性，那么这k 份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时k 份血液检验的次数总共为1k +次．某定点医院现取得4份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为3P =．（Ⅰ）求把2份血液样本混合检验结果为阳性的概率；（Ⅱ）若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）该混合样本阴性的概率是28(39=，根据对立事件原理，阳性的概率为81199-=．（Ⅱ）方案一：逐个检验，检验次数为4，方案二：由（Ⅰ）知，每组2个样本检验时，若阴性则检测次数为1，概率为89，若阳性，则检测次数为3，概率为19，设方案二的检验次数记为ξ，则ξ的可能取值为2，4，6，其分布列为：ξ246P648116811816416122()2468181819E ξ∴=⨯+⨯+⨯=，方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为η，η的可能取值为1，5，其分布列为：η15P648117816417149()15818181E η=⨯+⨯=，()()4E E ηξ<< ，故选择方案三最“优”．20．（12分）已知椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，过2F 的直线交E 于A ，B 两点，过A作与y 轴垂直的直线交直线3x =于点C ．设22AF F B λ= ，已知当2λ=时，1||||AB BF =．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）求证：无论λ如何变化，直线BC 过定点．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，连接1F A ， 222AF F B = ，∴不妨令2||F B m =，则2||2AF m =，1||||3BF AB m ==．由椭圆的定义知，12||||2BF F B a +=，32m m a ∴+=即2a m =，21||||AF a AF ∴==，则点A 为椭圆E 的上顶点或下顶点．令2OAF θ∠=，则1sin a θ=，222cos 2121sin aθθ=-=-①，而在等腰1ABF ∆中，由余弦定理得，22233()()122cos 23322a a a a a θ+-==⨯⨯②，由①②解得，23a =．椭圆E 的焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ，1c ∴=，22b ∴=，∴椭圆E 的方程为22132x y +=．（Ⅱ）证明：由题可知，直线AB 的斜率一定存在，不妨设其方程为(1)y k x =-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则1(3,)C y ，22AF F B λ= ，1(1x ∴-，12)(1y x λ-=-，2)y ，即12121x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩，而直线BC 的方程为2112(3)3y y y y x x --=--，∴2122()(1)(3)3k x x y k x x x λ-+-=--，∴222(1)(1)(1)(3)3k x y k x x x λλ+-+-=--，∴222223()(1)(3)(1)[](1)33x x x x y k x k x x x λλλ-+-+-=--=-⨯--，当21x x ==时，无论λ如何变化，0y =恒成立，即直线BC 过定点(1,0)．故命题得证．21．（12分）已知函数()sin cos f x x x x =+，cos ()x g x x=．（Ⅰ）判断函数()f x 在区间5(0,)2π上零点的个数；（Ⅱ）设函数()g x 在区间(0,)+∞上的极值点从小到大分别为1x ，2x ，3x ，4x ，⋯，n x ．证明：（1）12()()0g x g x +<；（2）对一切*n N ∈，123()()()()0n g x g x g x g x +++⋯+<成立．【解答】解：（1）()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=，①当(0,)2x π∈时，cos 0x > ，()0f x ∴'>，()(0)1f x f >=，()f x 无零点；②当(2x π∈，32π，cos 0x < ，()0f x ∴'<，(022f ππ=>，33()022f ππ=-<，()f x 有唯一零点；③当3(2x π∈，5)2π，cos 0x > ，()0f x ∴'>，而55()022f ππ=>，()f x 有唯一零点；综上，()f x 在5(0,)2π，有两个零点．（2）证明：①22sin cos ()()x x x f x g x x x +'=-=-，由（1）可知，()g x 在(0,)2π无极值点；(2x π∈，3)2π有极小值点，即为1x ，在3(2x π∈，5)2π有极大值点，即为2x ，而(022f ππ=>，()10f π=-<，33()022f ππ=-<，(2)10f π=>可知1(2x π∈，)π，23(2x π∈，5)2π，同理在5(2π，3)π有极小值点，⋯，在(21)(2n π-，)n π有极值点n x ．由sin cos 0n n n x x x +=，得cos sin n n n x x x =-，1tan n nx x =-，12x x < ，1211x x ∴-<-，112tan()tan tan x x x π+=<，则13(2x ππ+∈，2)π，23(,2)2x ππ∈，故有12x x π+<1212121212cos cos ()()sin sin sin()sin x x g x g x x x x x x x π+=+=--+-sin y x = 在3(,2)2ππ是增函数，12sin()sin 0x x π+-<即12()()0g x g x +<；②，同理，2143(,(21))2k k x k ππ--∈-，241(,2)2k k x k ππ-∈，2124122k k k x x πππ--<+<<，由sin y x =在41(,2)2k ππ-递增得当n 为偶数时，不妨设2n k =，从1()g x 开始相邻两项配对，每组均为负值，即1234212[()()][()()][()()]0k k g x g x g x g x g x g x -++++⋯++<，结论成立；当n 为奇数时，设21n k =+，2141(2k k x π++∈ ，(21))k π+，2121()sin 0k k g x x ++=-<从1()f x 开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也为负值，即即123421221[()()][()()][()()]()0k k k g x g x g x g x g x g x g x -+++++⋯+++<，结论成立；综上，对于一切*n N ∈，12()()()0n g x g x g x ++⋯+<成立．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），已知点(6,0)Q ，点P 是曲线1C 上任意一点，点M 满足2PM MQ = ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M 的轨迹2C 的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线:l y kx =与曲线2C 交于A ，B 两点，若4OA AB = ，求k 的值【解答】解：（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为3cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），设(3cos ,3sin )P θθ，由于点M 满足2PM MQ = ，所以4cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数），转换为直角坐标方程为22(4)1x y -+=．转换为极坐标方程为28cos 150ρρθ-+=（Ⅱ）直线:l y kx =转换为极坐标方程为θα=，设1(A ρ，)α，2(B ρ，)α，由于4OA AB = ，所以54OA OB = ，即1254ρρ=，由于28cos 150ρρθ-+=，所以1212128cos 1554ρρθρρρρ+=⎧⎪=⎨⎪=⎩，解得cos θ=．所以222113tan 1cos 243k θθ==-=，解得tan 27k θ==±．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．（Ⅰ）若()2()f x g x +的最小值为1，求实数a 的值；（Ⅱ）若关于x 的不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，求实数a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数()|2|f x x a =+，()|1|g x x =-．()2()|2|2|1|f xg x x a x +=++-|2||22||2(22)|x a x x a x =++-+-- |2|1a =+=，解得1a =-或3a =-；（Ⅱ）1[2x ∈，1]时，不等式()()1f x g x +<，即：|2||1|1x a x ++-<，可得：|2|11x a x ++-<，|2|x a x ∴+<．3a x a ∴-<<-，不等式()()1f x g x +<的解集包含1[2，1]，即：132a -<且1a ->，∴312a -<<-．实数a 的取值范围：3(2-，1)-．。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科) (含答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1,2,3,4,5},若集合A={1,2,3,5}，B={2,3,4}则(C U A)∪B为()．A. {1,2,4}B. {4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2.已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则x的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,0)C. (−∞,0)D. (0,1)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13=26，a11=10，则a20=()A. 26B. 28C. 30D. 324.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=()A. 1B. 2C. 3D. 45.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.6.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是()A. 101102B. 100101C. 99100D. 98997.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.设变量x，y满足约束条件{2x+y≤2x+2y≤2x≥0 y≥0，则目标函数z=−2x+y的最大值是()A. 4B. 2C. 1D. −239.若对任意x∈R，都有cos(2x−5π6)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω,φ)的对数为A. 0B. 1C. 2D. 310.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，已知某“堑堵”和“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 5√36B. 7√36C. √36D. 3√3611.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=√3(x−1)，l与C交于A，B两点，若|AB|=163，则p=()A. 8B. 4C. 2D. 112.函数f(x)是定义域在R的可导函数，满足：f(x)<f′(x)且f(0)=2，则f(x)e x>2的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x24−y23=1的渐近线方程是______，实轴长为______．14.已知函数f(x)=ax−log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数，则a=________________．15.如图，四边形ABCD和ABEF均是边长为1的正方形，且平面ABCD⊥平面ABEF.M，N分别为对角线AC，BF上两点，则MN的最小值为________．16.已知首项为1的数列{a n}，满足a n+1=11+a n(n∈N∗)，则a3=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．等级不及格及格良好优秀得分[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频数6a24b(Ⅰ)求a、b、c的值；(Ⅱ)试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；(Ⅲ)已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现在再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中恰有1人为“优秀”的概率．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若sin(A+π)=2cos A，求A的值；6(2)若cos A=1，b=3c，求sin C的值.319.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D−BCG的体积．20. 已知函数f(x)=(x −a −1)e x−1，a >0．(1)当a =1时，求y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)+alnx −x ，求g(x)的极值点．21. 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4√2y 的焦点，离心率等于√63.椭圆E 的左焦点为F ，过点M(−3,0)任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)求△MBC 面积的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x −1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，且2a +b =m(a >0,b >0)，求2a +1b 的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B即可．解：全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={1,2，3，5}，B={2,3，4}，则∁U A={0,3，4}，所以(∁U A)∪B={0,2，3，4}．故选D．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．由题意，可得1+x<0，即可得解．解：∵复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x<0，解得x<−1，∴x的取值范围是(−∞,−1)．故选A．3.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．利用等差数列的性质求解即可．=13a7=26，所以a7=2，解：S13=13(a1+a13)2所以4d=a11−a7=8，解得d=2，所以a20=a11+9d=10+9×2=28．故选B．4.答案：B解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．6.答案：B解析：本题考查的知识要点：程序框图在数列中的应用，利用裂项相消法求数列的和的应用．属于基础题型．直接利用程序框图的循环结构，数列的求和和利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．解：根据程序框图：S=S+1i −1i+1，执行第一次循环时：S=0+1−12=12，执行第二次循环时，S =1−12+12−13=23，当n =100时，输出结果为：S =1−12+12−13+⋯−1101=1−1101=100101．故选：B ． 7.答案：B解析：本题主要考查函数图像的识别，考查学生思考推理的过程．解：因为f(−1)=|2−1−2|2−1+2=35，f(1)=|21−2|21+2=0，所以f (−1)≠f (1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ，又f (0)=13，排除D ．故选B ． 8.答案：C解析：本题考查利用简单线性规划求最值.由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z =y −2x 的最大值的位置，即可求出其最值．解：由题意，作出可行域，如图所示：由{x +2y =2x =0，得A(0,1)，由z=−2x+y得y=2x+z，平行移动直线y=2x+z，当直线过点A时，截距最大，则z的值最大，∴目标函数z=−2x+y的最大值是1.故选C．9.答案：C解析：本题考查诱导公式及三角函数的性质，属于中档题．由诱导公式可得，cos (2x−5π6)=sin (2x−π3)，即可得ω=±2，从而可得ω=2时φ=−π3；ω=−2时，φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，即可得结果．解：cos(2x−5π6)=cos(2x−π3−π2)=sin(2x−π3)，由条件知ω=±2，若ω=2，由φ=−π3+2kπ(k∈Z)且|φ|<π，得φ=−π3；若ω=−2，sin(−2x+φ)=sin(2x+π−φ)，则π−φ=−π3+2kπ(k∈Z)，所以φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，又|φ|<π，则φ=−2π3．故选C．10.答案：A解析：解：由三视图知：几何体右边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和√3，高为1，其体积V1=13×√3×1=√33左边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是√3和1的直角三角形，高为1，其体积V2=12×1×√3=√32∴该几何体的体积V=V1+V2=√33+√32=5√36．故选：A．由已知中的三视图，可知该几何体右边是四棱锥，即“阳马”，左边是直三棱柱，即“堑堵”，该几何体的体积只需把“阳马”，和“堑堵”体积分别计算相加即可．本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：直线l：y=√3(x−1)与抛物线y2=2px联立，可得3x2+(−6−2p)x+3=0，Δ=(6+2p)2−36>0，x1+x2=6+2p3,x1x2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=2|x1−x2|，∴2√(6+2p3)2−4=163，∴p=2，故选：C．直线与抛物线联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求出p．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：设F(x)=f(x)e x，则F′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵f(x)<f′(x)，∴F′(x)>0，即函数F(x)在定义域上单调递增；∵f(0)=2，∴不等式f(x)e x>2等价为F(x)>F(0)，解得x>0，所求不等式的解集为(0,+∞)．故选：B．根据条件构造函数F(x)=f(x)e x，求函数F(x)的导数，利用函数的单调性即可求出不等式的解集．本题主要考查了函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．13.答案：√3x±2y=0 4解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可．解：双曲线x24−y23=1，可得a=2，b=√3，所以双曲线的渐近线方程是：√3x±2y=0，实轴长为：4．故答案为：√3x±2y=0；4．14.答案：12解析：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．根据偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，即可得−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+ 1)+cos x，整理即可求得a．解：因为f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，即−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cos x，∴2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=log22x+12−x+1=x，由x的任意性2a=1，可得a=12．故答案为12．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33． 16.答案：23解析：本题主要考查数列项的求解，属于基础题，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据数列的递推关系即可得到结论．解：∵首项为1，满足a n+1=11+a n ∴a 2=11+1=12，a 3=11+12=23，故答案为：2317.答案：解：(Ⅰ)由频率和为1，得(0.005+c +0.02+0.01)×20=1，解得c =0.015，由a 6=0.0150.005，解得a =18，由b 6=0.010.005，解得b =12；(Ⅱ)该校安全意识测试评定为“优秀”的频率是0.01×20=0.2，估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数为3000×0.2=600；(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人，抽取比例为12：24=1：2；“优秀”人数选2人，记为A、B，“良好”人数选4人，记为C、D、E、F，现再从这6人中任选2人，基本事件数是AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种，选取的2人中有1人为“优秀”的基本事件数是AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF共8种，故所求的概率为P=815．解析：本题考查了列举法计算基本事件数和发生的概率，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．利用列举法写出基本事件数，求出对应的概率值．(Ⅰ)由频率和为1求出c的值，根据频率与频数的比例关系求出a、b的值；(Ⅱ)计算评定为“优秀”的频率，求出对应的频数即可；(Ⅲ)采用分层抽样法，抽取优秀和良好的学生分别为2人和4人，18.答案：解：(1)由题意知sin Acosπ6+cos Asinπ6=2cos A，即sin A=√3cos A，且cos A≠0，所以tan A=√3，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由cos A=13，b=3c，及a2=b2+c2−2bccos A，可得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，所以sin C=cos A=13．解析：本题考查三角形的余弦定理、考查两角和的正弦公式，属于基础题．(1)利用两角和的正弦公式，即可求出角A的正弦，从而求出角A;(2)利用余弦定理得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，即可求解．19.答案：证明：(1)∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG=G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF//AD，∴EF⊥平面BCG．解：(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO=AB⋅sin60°=2√3，∴三棱锥D−BCG的体积：V D−BCG=V G−BCD=13×12×BD×BC×sin120°×√3=4．解析：(1)推导出△ABC≌△DBC，CG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面BGC，推导出EF//AD，由此能证明EF⊥平面BCG．(2)作AO⊥BC，交CB的延长线于O，推导出AO⊥平面BDC，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，三棱锥D−BCG的体积V D−BCG=V G−BCD．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=(x−2)e x−1，∴f′(x)=(x−1)e x−1，∴k=f′(2)=e，∵f(2)=0，∴y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=e(x−2)；(2)g(x)=f(x)+alnx−x=(x−a−1)e x−1+alnx−x，x>0，∴g′(x)=(x−a)e x−1+ax−1，x>0，由g′(x)=(x−a)e x−1−x−ax=(x −a)(e x−1−1x )=0，可得x =1或x =a ，当0<a <1时，可得g(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得g(x)在x =a 处取得极大值，在x =1处取得极小值；当a =1处，g(x)单调递增，无极值；当a >1时，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，可得g(x)在x =1处取得极大值，在x =a 处取得极小值．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的极值，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；(2)求得g(x)的解析式，求得导数，令g ′(x)=0，解方程可得x =1，x =a ，讨论0<a <1，a =1，a >1，可得单调性，即可得到极值点．21.答案：解：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，抛物线x 2=4√2y 的焦点为(0,√2)，由题意可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2， 解得a =√6，b =√2，c =2，∴椭圆E 的方程为x 26+y 22=1；(Ⅱ)证明：点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3)，联立{y =k(x +3)x 2+3y 2=6得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6=0， △=(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k ，x 1x 2=27k 2−61+3k ，y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)，∵F(−2,0)，C(x 1,−y 1).∴FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)， ∵(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)=(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)=k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[2⋅27k 2−61+3k 2+5⋅(−18k 21+3k 2)+12]=0，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：k 2<23，由题意可知：S =12|MF||y 1|+12|MF||y 2|=12|MF||y 1+y 2|=12|k(x 1+x 2)+6k|=3|k|1+3k 2=31|k|+3|k|≤2√3=√32． 当且仅当k 2=13<23，“=”成立，∴k 2=13时，△MBC 面积S 取得最大值√32．解析：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题意可知可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2，解方程即可得到所求；(Ⅱ)点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3).设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F(−2,0)，C(x 1,−y 1)，FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)，利用向量共线定理即可判断出； (Ⅲ)利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2,因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1),解得：x无解或1≤x≤2或2<x≤4，故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]；(2)由(1)可知f(x)在(−∞,2]时单调递增，在[2,+∞)时单调递减，则f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13(2√2ab·2ba+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以2a +1b的最小值为3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)f(x)≥13(x−1)转化为{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，先求出每个不等式组的解集，再求它们的并集即可；(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，再由基本不等式即可求出．。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)(有答案解析)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集1，2，3，，集合2，，，则为A. 2，B. 3，C. 2，3，D. 2，2.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是A. B.C. D.3.已知等差数列中，前5项和，，则A. 16B. 17C. 18D. 194.已知平面向量，若与垂直，则A. B. 2 C. D. 15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A. B. C. D.6.某程序框图如图所示，若，则该程序运行后输出的结果是A.B.C.D.7.函数的图象大致为A.B.C.D.8.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为A. 3B. 5C. 8D. 119.设，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对的对数为A. 1B. 2C. 3D. 410.刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为A. B. 3 C. D. 411.过抛物线上点作三条斜率分别为、、的直线、、，与抛物线分别交于不同与P的点A，B，若，，则下列结论正确的是A. 直线AB过定点B. 直线AB斜率一定C. 直线BC斜率一定D. 直线AC斜率一定12.函数的定义域为，为其导函数．若且，则的解集为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的实轴长是______ ．14.已知函数是偶函数，则k的值为______ ．15.在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是______．16.我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列中，，，用表示它的前n项和，若已知，那么______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数单位：百步，绘制出如下频率分布直方图：Ⅰ求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；Ⅱ若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；Ⅲ在Ⅱ的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间的概率．18.已知中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．Ⅰ求C；Ⅱ若，的面积为，求的值．19.如图在等腰直角三角形ABC中，，，点D为AB中点，将沿DC折叠得到三棱锥，如图，其中，点M，N，G分别为，BC，的中点．Ⅰ求证：平面DCG；Ⅱ求三棱锥的体积．20.已知函数．求在点处的切线方程；求证：在上仅有2个零点．21.椭圆E的焦点为和，过的直线交E于A，B两点，过A作与y轴垂直的直线，又知点，直线BH记为，与交于点设，已知当时，Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求证：无论如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，已知点，点P是曲线上任意一点，点M满足，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点M的轨迹的极坐标方程；Ⅱ已知直线l：与曲线交于A，B两点，若，求k的值23.已知函数，．Ⅰ若的最小值为1，求实数a的值；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．由题意，集合，从而求得2，．【解答】解：，2，；故选D．2.答案：A解析：解：复数在复平面内对应的点在第二象限，，解得．实数m的取值范围是．故选：A．由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3.答案：B解析：解：，，，则，则公差，，则．故选：B．根据等差中项求出，然后求出和d，求出本题考查等差数列性质，属于基础题．4.答案：C解析：解：平面向量，若与垂直，，求得，故选：C．由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得的值．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．5.答案：C解析：解：设大正方形的边长为4，则面积，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，面积，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，面积，故概率．故选：C．先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题．6.答案：B解析：解：由题意知，该程序计算的是数列前四项的和再加上1．，．故选：B．分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列前四项的和再加上利用裂项法求和可求解．本题考查了直到型循环结构求数列前n项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分好当型循环结构与直到型循环结构．7.答案：D解析：解：，则为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当时，为增函数，排除A，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当时的单调性，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：作出可行域如图，由知，，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由得．结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值．故选：D．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z 最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.答案：B解析：解：对于任意实数x都有，则函数的周期相同，若，此时，，此时，若，则方程等价为，，则，则，综上满足条件的有序实数组为，，共有2组，故选：B．根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：，可得设的斜率为k，则，的斜率分别为：，，设直线的方程为：，则的方程为，的方程为，设，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，所以，所以，代入直线中可得，即；联立直线与抛物线的方程可得，整理可得所以，可得，代入中可得，即；联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，代入抛物线的方程可得，可得；所以为定值；故选：B．由，，可设直线的方程，可得，的方程，分别于抛物线联立可得A，B，C 的坐标，进而可得直线AB的斜率为定值．本题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法．属于中档题．12.答案：D解析：解：令，，由题意可得，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，又，时，，由可得即，结合函数图象可知，．故选：D．结合已知构造函数，，结合已知可知的单调性，结合其函数的特征可求解不等式．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．13.答案：4解析：解：双曲线化为标准方程为即双曲线的实轴长是4故答案为：4双曲线化为标准方程为，即可求得实轴长．本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．14.答案：解析：解：由函数是偶函数，可知即，对一切恒成立，故答案为．利用函数为偶函数的定义寻找关于k的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用．本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注意学生的运算整理变形的等价性．15.答案：解析：解：如图，以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，1，，0，，1，，设，，，．1，，，，，．当且仅当时等号成立．令，则．当，即时，．长度的最小值是．故答案为：．以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，可得，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与基本不等式求最值，属难题．16.答案：解析：解：，，，，，，，，以上累加得：，，，故答案为：．根据条件，利用累加法得到，从而，．本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意得：，解得，设中位数是，则，解得，中位数是125．Ⅱ由，估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数，这两人均来自区间包含的基本事件个数，这两人均来自区间的概率．解析：Ⅰ由频率分布直方图列出方程，能求出a和中位数．Ⅱ由频率分布直方图求出一天行走步数不大于130百步的人数的频率，由此能估计一天行走步数不大于130百步的人数．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，由此能求出从6人中选取2人担任领队，这两人均来自区间的概率．本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：Ⅰ，，，，，而C为三角形的内角，；Ⅱ的面积为，及，得，化简可得，又，由余弦定理，得，化简得，，解析：Ⅰ根据三角函数的化简即可求出C的值，Ⅱ根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出．本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意知，在图中，，，在三棱锥中，，，是的中点，，，，平面DGC，点M，N，分别为，BC的中点．，平面DCG．Ⅱ解：由图知，，，平面，又，是等边三角形，，，，，，三棱锥的体积：．解析：Ⅰ推导出，，从而，，进而平面DGC，推导出，由此能证明平面DCG．Ⅱ由，，，得平面，推导出是等边三角形，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：切点为．．，在点处的切线方程为：，化为：．证明：．时，，，函数在上单调递增，而，函数在上只有一个零点0．时，．函数在上单调递增，而，，存在唯一实数，使得，且函数在上单调递减，上单调递增．又，，．函数在上存在唯一零点，而在上无零点．综上可得：在上仅有2个零点．解析：切点为可得，利用点斜式即可得出切线方程．分类讨论：时，利用导数研究其单调性可得，函数在上只有一个零点时，可得函数在上单调递增，进而得出零点的个数．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：Ⅰ设椭圆方程为，其中，由已知当时，不妨设，则，，，由椭圆定义得，从而，故此时点A在y轴上，不妨设，从而由已知条件可得，代入椭圆方程，解得，所以，故所求椭圆方程为：；Ⅱ证明：如图所示：，设点，，设直线AB的方程为：，代入椭圆中，得：，，，，由题设知，直线BH斜率，直线BH的方程为：，而直线方程为：，代入，得，故点C的横坐标是定值3．解析：设椭圆方程为，其中，利用椭圆的定义和已知条件可得，代入椭圆方程解得a，b，c的值，从而得到椭圆方程；设点，，设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，进而得到直线BH斜率，再得到直线BH的方程与直线方程联立即可得到点C的横坐标是定值3．本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，设，由于点M满足，所以为参数，转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为Ⅱ直线l：转换为极坐标方程为，设，，由于，所以，即，由于，所以，解得．所以，解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：函数，．，解得或；时，不等式，即：，可得：，．，不等式的解集包含，即：且，．实数a的取值范围：．解析：Ⅰ化简的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为1，即可求解实数a的值；Ⅱ化简不等式的解集，通过解集包含，列出不等式，然后求实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，难度较高．。
2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)
2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1. 已知全集U ={0, 1, 2, 3, 4}，集合A ={1, 2, 3}，B ={2, 4}，则(∁U A)∪B 为( ) A.{2, 3, 4} B.{1, 2, 4} C.{0, 2, 3, 4} D.{0, 2, 4}2. 已知i 是虚数单位，复数m +1+(2−m)i 在复平面内对应的点在第二象限，则实数m 的取值范围是（ ） A.(−1, 2) B.(−∞, −1)C.(2, +∞)D.(−∞, −1)∪(2, +∞)3. 已知等差数列{a n }中，前5项和S 5＝25，a 2＝3，则a 9＝（ ） A.17 B.16 C.18 D.194. 已知平面向量a →=(4,−2),b →=(1,−3)，若a →+λb →与b →垂直，则λ＝（ ） A.2 B.−2C.−1D.15. 七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.1132 B.516C.716D.13326. 某程序框图如图所示，若a ＝4，则该程序运行后输出的结果是（ ）A.95 B.74C.116D.1377. 函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ）A.B.C. D.8. 已知变量x，y满足约束条件{x+y≤6x−3y≤−2x≥1，若目标函数z＝x+2y的最大值为（）A.5B.3C.8D.119. 设a∈R，b∈[0, 2π)，若对任意实数x都有sin(3x−π3)=sin(ax+b)，则满足条件的有序实数对(a, b)的对数为( )A.2B.1C.4D.310. 刘徽注《九章算术•商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）A.3 B.√3 C.√32D.411. 过抛物线y2＝4x上点P(1, 2)作三条斜率分别为k1、k2、k3的直线l1、l2、l3，与抛物线分别交于不同与P 的点A，B，C．若k1+k2＝0，k2⋅k3＝−1，则下列结论正确的是（）A.直线AB斜率一定B.直线AB过定点C.直线BC斜率一定D.直线AC斜率一定12. 函数f(x)的定义域为(−∞, 2)，f′(x)为其导函数．若(x−2)f′(x)+f(x)=1−xe且f(0)＝0，则f(x)<0的解集为（）A.(0, 1)B.(−∞, 0)C.(1, 2)D.(0, 2)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．双曲线2x2−y2=8的实轴长是________．已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数，则k的值为________．在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是________．我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a n+2＝a n+1+a n (n ∈N ∗)．用S n 表示它的前n 项和，若已知S 2020＝m ，那么a 2022＝________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：(Ⅰ)求直方图中a 的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数； (Ⅱ)若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间(150, 170]的概率．已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2cos 2π3sin (π6+C)+cos C =−12．(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若c ＝3，△ABC 的面积为3√32，求1a+1b 的值．如图(1)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90∘，AB ＝4，点D 为AB 中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1−BCD ，如图(2)，其中∠A 1DB ＝60∘，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点． (Ⅰ)求证：MN ⊥平面DCG ； (Ⅱ)求三棱锥G −A 1DC 的体积．已知函数f(x)＝e x −cos x ．（1）求f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；（2）求证：f(x)在(−π2, +∞)上仅有两个零点．椭圆E 的焦点为F 1(−1, 0)和F 2(1, 0)，过F 2的直线l 1交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线l 2，又知点H(2, 0)，直线BH 记为l 3，l 2与l 3交于点C ．设AF 2→=λF 2B →，已知当λ＝2时，|AB|＝|BF 1|． (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：无论λ如何变化，点C 的横坐标是定值，并求出这个定值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]已知函数f (x )=|x +1|−a|x −1|．(1)当a =−2时，解不等式f (x )>5；(2)若f (x )≤a|x +3|，求a 的最小值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知函数f(x)＝|2x +a|，g(x)＝|x −1|．(Ⅰ)若f(x)+2g(x)的最小值为1，求实数a 的值；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)+g(x)<1的解集包含[12, 1]，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（文科）（考试时间：120分值）1.【答案】此题暂无答案【考点】交常并陆和集工混合运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】复数射代开表波法及酸几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】等差数常的占n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】此题暂无答案【考点】几何概表计声（集长样、角度奇附积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】程正然图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】函来锰略也与图象的变换【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】简单因性规斯【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】此题暂无答案【考点】三角于数的深期两及其牛法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】此题暂无答案【考点】由三都问求体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】此题暂无答案【考点】直三与臂容在的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】此题暂无答案【考点】利用验我研究务能的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．【答案】此题暂无答案【考点】双曲线根标准方仅【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数都北算性质函数奇明性研性质偶函数【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】点于虫、练板的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】数于术推式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题；共60分．【答案】此题暂无答案【考点】古典因顿二其比率计算公式频率都着直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】两角和与射的三题函数余于视理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】棱使、求族非棱台的体积直线验周面垂直【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】利用三数定究曲纵上迹点切线方程利来恰切研费函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】椭圆较标准划程直线与椭常画位置关系椭明的钾用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】此题暂无答案【考点】参数较严与普码方脂的互化圆的较坐标停程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）【答案】此题暂无答案【考点】函根的萄送木其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
山西省太原市2020届高三一模考试文科数学(含答案)
太原市2020年高三年级模拟试题(一)数学试卷(文科）(考试时间:下午3 ： 00——5 ： 00)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分，第I 卷1至4页，第n 卷5至8页。
2.回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答第I 卷时，选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。
4.回答第n 卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的.1.若全集[/ = {0,1,2,3，4}，集合/1={1,2,3}』={2，4}，则511(^=A.{0,2,4} B.{1,3，4}C.{ 2,3,4}D.{0，2，3,4}2.已知i 是虚数单位，复数m + 1 + (2 - m ) i 在复平面内对应的点在第二象限,则实数m 的取值范围是A.(-«, -1) B.(-l,2)C.(2,+oo)D.(-oo,-l)U(2,+oo)3.已知等差数列faj 中，前5项和S5 =25,o 2 = 3,则a,=A. 16 B. 17C.18D.19高三数学(文）第1页（共8页）m鄭酿餘4.已知平面向量a = (4，-2)，b = (l，-3)，若a+ A6与6垂直,则A =A. -2B. 2C.-lD. 15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.（清)陆以 渐《冷庐杂识》卷中写道:近又有七巧图,其式五，其数七，其变化之式多 至千余，体物肖形，随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂，故世俗皆喜 为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为C.1616113213325.某程序框图如图所示,若a = 4，则程序运行后输出的结果是A.B.D.11 137.函数/00:太2W -的图象大致为/ 输$s/A B D高三数学(文)第2页（共8页)已知变量l y满足约束条件A.C.+ J^6,-3;^-2，则目标函数2:B. 5D. 112y的最大值为9•设a eif, 6 e[0，277")，若对任意实数x都有sin(3* - y)= s i n(a»: + 6),则满足条件的有序实 数对(a, 6)的个数为A. 1B.2C. 3D.410.刘徽注《九章算术•商功》中,将底面为矩形’一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马.如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为A. V3B. 3正视图V2-侧视图C.V3_D. 4 俯视图11.过抛物线；r2= 4*上点P(l，2)作三条斜率分别为h,fc2，A3的直线，与抛物线分别交于不同于P的点束B,C.若幻+k2= 0,k2.k3 = -1，则以下结论正确的是A.直线/IB过定点B.直线斜率一定C.直线SC斜率一定D.直线斜率一定12.函数/(幻的定义域为（-»，2)，/'00为其导函数，若（*-2)/'(*)+/(*):e*.且/(0) = 0，则/(*.)< 0的解集为A. (-00, 0) C.(l,2)B.(0, 1)D.(0,2)高三数学(文）第3页（共8页)高三数学(文）第4页（共8页)太原市2020年高三年级模拟试题(一)m w•E数学试卷(文科）第n卷(非选择题共90分）二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，共20分.13.双曲线2*2 - y2 = 8的实轴长是________.14.已知函数/(*)=log4(4* + 1) + &(^/?)是偶函数，则&=________.15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面/isa)与平面互相垂直，活动弹子分别在正方形对角线/1C，S F上移动，则M V长度的最小值是_____—.16.我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列f a j中，a, = 1,o2= l,a… +2= an+1 + a…(neN*).用S…表不它的前n项和，若已知= ;n，那么高三数学(文）第5页（共8页)50 70 90 110 130 150 170 190 210 百步18.(本小题满分12分）2tT T T已知 A A B C 中，a ，6，c 分别是内角y 4，B ，C 的对边，2cos~^~sin( — + C) + cosC = •3 6 2(I )求C;(n )^c =3，z u 执:的面积为与芝，求丄+1的值.1ab三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(本小题满分12分）手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天行走步数(单位:百步）,绘制出如下频率分布直方图：(I )求直方图中a 的值,并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；(n )若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；(m )在（n )的条件下，该校从行走步数大于iso 百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队,求这两人均来自区间（150,170]的概率.频数/组距高三数学(文）第6页（共8页)19.(本小题满分12分）如图（1),在等腰直角A4B C中，ZA C B= 90。
山西省2020届高三高考考前适应性测试(5月)理科数学·A卷试题(含答案)
积是
A. 4 15
B. 5 15 4
C. 3 3 2
D. 5 3 3
12. 设函数 f (x)是定义在 (0, +∞)上的可导函数，满足① f (x) > 0，② 2xf ′(x) + f (x) < 0，其中
f ′(x)为 f (x)的导函数 . 对于任意 a > b > 0，必有
A. a2 f (a) > b2 f (b)
题计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.［选修 4-4：坐标系与参数方程］（10 分） 过点 P（2，0）的直线 l 与抛物线 C:y2 = 2x 相交于 A，B 两点 .
（1）求 AB 中点轨迹的直角坐标方程；
（2）若 P 满足| | PA | - | PB | |=2 2 时,求 l 的方程 .
OCPD（O 为坐标原点）面积的最小值是
A. 3
B. 2
C. 1
D. 2
8. 某病毒引起的肺炎的潜伏期平均为 7 天左右，短的约 2~3 天，长的约 10~14 天，甚至有 20
余天 . 某医疗机构对 400 名确诊患者的潜伏期进行统计，整理得到以下频率分布直方图 .
根据该直方图估计：要使 90% 的患者显现出明显病状，需隔离观察的天数至少是
2020 年山西省高考考前适应性测试（二）
理科数学参考答案详解及评分说明
评分说明： 1. 考生如按其他方法或步骤解答，正确的，同样给分；有错的，根据错误的性质，参照评分说明中相应的规定
评分 . 2. 计算题只有最后答案而无演算过程的，不给分；只写出一般公式但未能与试题所给的具体条件联系的，不
给分 .
C. 若 a⫽α，b ⊂ α，则 a⫽b
2023年山西省太原市第五中学校中考一模数学试卷
交于点 E ，若 AB 5 ， sin CAB 3 ， CE m ， DE k ．
5
BE
(1)试用含 m 的代数式表示 k； (2)若 AD∥OC ，求 k 的值； (3)若 CE CF ，求 cos ABD ．
试卷第 7 页，共 7 页
A．5
B．1
C．2
D．3
2．如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0) 交 x 轴于点 A，B，交 y 轴于点 C．若点 A 坐标为
(4,0)，则下列结论错误的是（ ）
A．二次函数的最大值为 a b c
B． a b c 0
C． b2 4ac 0
D． 2a b 0
3．如图，在VABC 中，ACB 90 ，点 D 在 AB 的延长线上，连接 CD ，若 AB 2BD ， tan BCD 2 ，则 AC 的值为（ ）
(1)求圆弧所在的圆的半径 r 的长； (2)当洪水泛滥到跨度只有 30 米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有 4 米，即 PE 4 米是否要采取紧急措施？ 21．如图 1，在 VABC 中， AB AC 20 ， tan B 3 ，点 D 为 BC 边上的动点（点 D 不
4 与点 B，C 重合）．以 D 为顶点作 ADE B ，射线 DE 交 AC 边于点 E，过点 A 作 AF AD 交射线 DE 于点 F，连接 CF．
B． S2 S1 S3
C． S1 S3 S2
D． S3 S2 S1
9．如图，在 e O 中，AB 切 e O 于点 A，过点 A 作 AD∥OB 交 e O 于点 D，连接 CD ．若 试卷第 2 页，共 7 页
B 50 ，则 OCD （ ）
A．15°
B．20°
C．25°
2020年山西太原高三一模文科数学试卷-学生用卷
2020年山西太原高三一模文科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第1题5分若全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,4}，则B∪∁U A=（）．A. {0,2,4}B. {1,3,4}C. {2,3,4}D. {0,2,3,4}2、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第2题5分2020年四川宜宾高三一模文科第2题5分已知i是虚数单位，复数m+1+(2−m)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）．A. (−∞,−1)B. (−1,2)C. (2,+∞)D. (−∞,−1)∪(2,+∞)3、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第3题5分已知等差数列{a n}中，前5项和S5=25，a2=3，则a9=（）．A. 16B. 17C. 18D. 194、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第4题5分已知平面向量a→=(4,−2)，b→=(1,−3)，若a→+λb→与b→垂直，则λ=（）．A. −2B. 2C. −1D. 15、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第5题5分2020年山西太原高三一模理科第3题5分2019~2020学年6月湖北武汉高三下学期月考文科供题（二）第7题5分七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）．A. 516B. 1132C. 716D. 13326、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第6题5分某程序框图如图所示，若a=4，则程序运行后输出的结果是（）．A. 74B. 95C. 116D. 1377、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第7题5分2020年山西太原高三一模理科第5题5分函数f(x)=x 2−1|x|的图象大致为（ ）． A.B.C.D.8、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第8题5分2019~2020学年广东深圳福田区深圳市高级中学高中部高二下学期期中第5题5分已知变量x，y满足约束条件{x+y⩽6x−3y⩽−2x⩾1，则目标函数z=x+2y的最大值为（）．A. 3B. 5C. 8D. 119、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第9题5分2016年高考真题上海卷文科第17题5分2019~2020学年浙江杭州拱墅区杭州源清中学高一下学期期中第7题4分2020~2021学年11月浙江杭州西湖区杭州学军中学高一上学期周测D卷第8题2017~2018学年重庆北碚区西南大学附属中学校高一上学期期末第10题5分设a∈R，b∈[0,2π)．若对任意实数x都有sin(3x−π3)=sin(ax+b)，则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 410、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第10题5分刘徽注《九章算术⋅商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为（）．A. √3B. 3C. √32D. 411、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第11题5分过抛物线y2=4x上点P(1,2)作三条斜率分别为k1，k2，k3的直线l1，l2，l3，与抛物线分别交于不同于P的点A，B，C．若k1+k2=0，k2⋅k3=−1，则以下结论正确的是（）．A. 直线AB过定点B. 直线AB斜率一定C. 直线BC斜率一定D. 直线AC斜率一定12、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第12题5分且f(0)=0，则函数f(x)的定义域为(−∞,2)，f′(x)为其导函数，若(x−2)f′(x)+f(x)=1−xe xf(x)<0的解集为（）．A. (−∞,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (0,2)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第13题5分2018~2019学年北京西城区北京市第十四中学高二上学期期中第15题3分双曲线2x2−y2=8的实轴长是．14、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第14题5分已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(k∈R)是偶函数，则k=．15、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第15题5分2020年山西太原高三一模理科第15题5分在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是．16、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第16题5分我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{a n}中，a1=1，a2=1，a n+2=a n+1+a n(n∈N∗)，用S n表示它的前n项和，若已知S2020=m，那么a2022=．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第17题12分手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：(1) 求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数．(2) 若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数．(3) 在（2）的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间(150,170]的概率．18、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第18题12分已知△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，2cos2π3sin(π6+C)+cosC =−12． (1) 求C ．(2) 若c =3，△ABC 的面积为3√32，求1a +1b 的值．19、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第19题12分2020年河南郑州高三一模文科第18题12分如图(1)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =4，点D 为AB 的中点，将△ADC 沿DC 折叠得到三棱锥A 1−BCD ，如图(2) ，其中∠A 1DB =60°，点M ，N ，G 分别为A 1C ，BC ，A 1B 的中点．(1) 求证：MN ⊥平面DCG ．(2) 求三棱锥G −A 1DC 的体积．20、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第20题12分已知函数f (x )=e x −cosx ．(1) 求曲线y =f (x )在点(0,f(0))处的切线方程．(2) 证明：f (x )在(−π2,+∞)上有且仅有2个零点．21、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第21题12分椭圆E 的焦点为F 1(−1,0)和F 2(1,0)，过F 2的直线l 1交E 于A ，B 两点，过A 作与y 轴垂直的直线l 2，又知点H (2,0)，直线BH 记为l 3，l 2与l 3交于点C ，设AF 2→=λF 2B →，已知当λ=2时，|AB|=|BF 1|．(1) 求椭圆E 的方程．(2) 求证：无论λ如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第22题10分2020年山西太原高三一模理科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=3cosθy=3sinθ（θ为参数)，已知点Q(6,0)，点P是曲线C1上任意一点，点M满足PM→=2MQ→，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求点M的轨迹C2的极坐标方程．(2) 已知直线l:y=kx与曲线C2交于A，B两点，若OA→=4AB→，求k的值．选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年山西太原高三一模文科第23题10分2020年山西太原高三一模理科第23题10分已知函数f(x)=|2x−a|，g(x)=|x−1|．(1) 若f(x)+2g(x)的最小值为1，求实数a的值．(2) 若关于x的不等式f(x)+g(x)<1的解集包含[12,1]，求实数a的取值范围．1 、【答案】 A;2 、【答案】 A;3 、【答案】 B;4 、【答案】 C;5 、【答案】 C;6 、【答案】 B;7 、【答案】 D;8 、【答案】 D;9 、【答案】 B;10 、【答案】 C;11 、【答案】 B;12 、【答案】 D;13 、【答案】4;14 、【答案】−1;2.;15 、【答案】√3316 、【答案】m+1;17 、【答案】 (1) a=0.008，125．;(2) 98人．;(3) 2．5;18 、【答案】 (1) C=π．3;(2) √3．2;19 、【答案】 (1) 证明解析．;(2) √3．3;20 、【答案】 (1) x−y=0．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x23+y22=1．;(2) 证明见解析，3．;22 、【答案】 (1) ρ2−8ρcosθ+15=0．;(2) k=±√3927．;23 、【答案】 (1) a=1或a=3．;(2) (1,32)．;。
_2020年太原市高三二模考试数学理科及其答案
∵EH⊥平面 ABCD，∴∠EAH 为 AE 与平面 ABCD 所成的角，即∠EAH=45°，.............6 分
又 AB=4，则
，
∴
，E（0，0， ），
易知 = =
为平面 ABCD 的一个法向量，
，=
， ∵EF∥AC，∴ =
......................................8 分 ，
18. （本小题满分 12 分）
证明(Ⅰ) 取 AO 的中点 H，连结 EH，则 EH⊥平面 ABCD，
∵BD 在平面 ABCD 内，∴EH⊥BD， .........................................2 分
又菱形 ABCD 中，AC⊥BD，且 EH∩AC=H，
EH、AC 在平面 EACF 内,
(Ⅱ) 由正弦定理 c 2 得 c 2sin 2 ，..............................................................7 分
sin C
4
由余弦定理 2 a2 b2 2ab 2 2ab 2ab (2 2)ab ，.........................9 分 2
∴ ab 2 2 2 , 当且仅当 a b 时等号成立, ............................................10 分 2 2
∴ SABC
1 2
absin C
2 ab 4
2 1， 2
第1页共6页
∴ SABC最大值
2 1， 2
............................12 分
解（Ⅰ）由
x y
2023届山西省太原市高三上学期1月第一次联考数学试题(解析版)
2023届山西省太原市高三上学期1月第一次联考数学试题一、单选题1．已知集合{}28xA x =<，集合{}B x x a =>，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,3]-∞D ．[3,)+∞【答案】D【分析】先求出集合A ，B ，再由A B ⋂=∅求出实数a 的取值范围.【详解】{}{}{}{}328223,x x A x x x x B x x a =<=<=<=>.又A B ⋂=∅，所以a 的取值范围为[3,)+∞. 故选：D2．若复数z 满足()()112i,z z +-=+i 是虚数单位,则z =（ ）A ．1 BC D ．2【答案】C【分析】先设复数i z a b =+,代入()()112i,z z +-=+即可得关于,a b 的等式,进而可求z . 【详解】解:由题知不妨设()i ,z a b a b =+∈R , 因为()()112i,z z +-=+所以()()()22i 1i 11i a b a b a b ++--=-+ 2212i a b b =+--2i =+,所以2212a b +-=，21b -=, 故223a b +=,12b =-,所以z =故选:C3．抛物线24y x =的焦点为F ,抛物线上一点P 在其对称轴的上方,若3PF =,则点P 的坐标是（ ）A ．()4,4B ．(3,C ．(2,D ．()1,2【答案】C【分析】先设出P 点坐标,根据抛物线定义列出等式,即可得点P 坐标.【详解】解:由题设点P 的坐标为(),x y , 根据抛物线的定义知13PF x =+=, 所以2,x =代入抛物线中可得22y =, 故点P 的坐标为()2,22. 故选:C4．地震的震级越大,以地震波的形式从震源释放出的能量就越大,震级M 与所释放的能量E 的关系如下: 4.81.510M E +=（焦耳）()10 3.16≈,那么6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的（ ）A ．3.16倍B ．31.6倍C ．100倍D ．1000倍【答案】D【分析】分别设出4级地震释放的能量和6级地震释放的能量,列出各自等式,将两等式相除进行化简,即可得出结果.【详解】解:由题设4级地震释放的能量为1,6E 级地震释放的能量为2E , 所以 4.8 1.5410.8 4.8 1.5613.8121010,1010E E +⨯+⨯====,所以13.83210.811010100010E E ===, 即6级地震释放的能量是4级地震释放的能量的1000倍. 故选:D5．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为2π，则该球的表面积为（ ）A ．20πB ．16πC ．12πD ．8π【答案】A【分析】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，根据截面圆的周长求得1r =，再利用2222R r 求解.【详解】设截面圆半径为r ，球的半径为R ，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2， 根据截面圆的周长可得22r ππ=，则1r =， 由题意知2222R r ，即222125R =+=，∴该球的表面积为2420R ππ=． 故选：A6．2020年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样.某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为（ ） A ．48 B ．72 C ．120 D ．240 【答案】C【解析】根据甲、乙2个家庭的5张票是否连号分类计算.【详解】若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有142448A A ⋅=种不同的分配方法，若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有323472A A ⋅=种不同的分配方法，综上，这8张门票共有4872120+=种不同的分配方法， 故选：C.【点睛】(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．7．在矩形ABCD 中,2AB AD ==,点E 满足23DE DC =,则AE BD ⋅=（ ）A ．14-B ．14C ．16-D ．-【答案】A【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系,找到各个点的坐标,根据23DE DC =,求出E 点坐标,代入AE BD ⋅中即可得出结果.【详解】解:由题不妨以A 为坐标原点,,AB AD 方向分别为,x y 轴建立如图所示直角坐标系,则()()()()0,0,23,0,23,2,0,2,A B C D 所以()23,0DC =,()23,2BD =-, 因为23,DE DC = 设(),E x y ,所以()(),2223,03x y -=, 解得()33,2E , 所以()33,2AE =,所以()()33,223,214AE BD =⋅-⋅=-. 故选:A8．已知1a b >>,若1e e e a a b b a a ++=+,则（ ） A ．()ln 1a b +> B ．()ln 0a b -< C ．333a b -+<D ．133a b -<【答案】A【分析】化简1e e eaab b a a ++=+为1e e 111a b a b b +-=++,构造函数()e (1)xf x x x=>,求导求单调性,即可得12a b >+>,即13e a b b b +>++>>,两边取对数即可判断选项A 正误;根据12a b >+>,可得1a b ->即可得选项B 正误;根据12a b >+>,可得233323,a b -+>>即可判断选项C 正误;根据1a b ->,即可得选项D 正误.【详解】解:由题知1e e e a a b b a a ++=+,()()11e e 1a b b a ++=+,即1e e 11++=+a b a b ,即1e e 111a b a b b +-=++, 令()e (1)xf x x x=>,所以()()21e 0x x f x x -'=>, 故()f x 在()1,+∞上单调递增, 因为1a b >>, 所以101b >+, 由1e e 1011a b a b b +-=>++可知:()()1f a f b >+, 根据单调性可得12a b >+>, 所以1a b ->, 故()ln ln10,a b ->= 故选项B 错误;因为13e a b b b +>++>>. 所以()ln 1,a b +> 故选项A 正确; 因为12a b >+>,所以2333a b -+>> 故选项C 错误; 因为1a b ->, 所以133,a b -> 故选项D 错误. 故选:A二、多选题9．2022年北京冬奥会给中国冰雪产业带来快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，并引领相关户外用品行业市场增长.下面是2013年至2020年中国雪场滑雪人次（万人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面结论中正确的是（ ）A ．2013年至2020年，2019年中国雪场滑雪人次最多B ．2013年至2020年，2015年中国雪场滑雪人次的同比增长率最高C ．2013年到2020年，中国雪场滑雪人次在2020年首次出现负增长D ．2013年至2020年，中国雪场滑雪人次的年增加量相近 【答案】ABC【分析】根据折线图以及条形图，结合选项即可逐一求解.【详解】由条形图知，2013年至2020年，2019年中国雪场滑雪人次达2000万人次，故滑雪人次最多，故A 正确，根据同比增长率折线图可知2015年中国雪场滑雪人次的同比增长率最高，中国雪场滑雪人次在2020年首次出现负增长，故B ，C 正确，中国雪场滑雪人次的年增加量不相近，故D 错误. 故选：ABC10．将函数π()2sin(2)2cos26=+-f x x x 的图象向左平移π6个单位长度，得到()y g x =的图象,则下列说法正确的是（ ）A ．函数()g x 的最小正周期为πB ．函数()g x 的最小值为1-C ．函数()g x 的图象关于直线π6x =对称 D ．函数()g x 在2π[,π]3上单调递减 【答案】AC【分析】根据两角和的正弦以及辅助角公式，将()f x 化为正弦型函数，再由图象平移关系求出()g x 的解析式，结合正弦函数性质，逐项验证，即可得出结论.【详解】π()2sin(2)2cos23sin2cos22sin(2)66f x x x x x x π=+--=-，()()2sin[2()]2sin(2)6666g x f x x x ππππ=+=+-=+，()g x 的周期为π，选项A 正确；()g x 的最小值为2-，选项B 错误；()2sin(2)2666g πππ=⨯+=为()g x 的最大值， 所以直线π6x =是()g x 的一条对称轴，选项C 正确； 2π37[,π],2[,],()3626x x g x πππ∈+∈单调递增，选项D 错误. 故选：AC.【点睛】本题考查三角恒等变换化简、三角函数平移变换求解析式，以及三角函数图象性质，属于基础题.11．直线240x y --=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)5x y +-=上，则PAB 面积的可能值是（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16【答案】ABC【分析】先确定弦长||AB 的长，再利用点到直线距离公式求出圆心到直线240x y --=的距离0d ，则点P 到直线240x y --=的距离的最大值为圆心到直线240x y --=的距离加上一个半径，最小值为圆心到直线240x y --=的距离减去一个半径，再结合三角形面积公式即可求出ABP 面积的取值范围，结合选项得答案．【详解】解：由题意可知：()()2,0,0,4A B -，则AB圆22(2)5x y +-=的圆心为()0,2，半径r =则圆心()0,2到直线240x y --=的距离为0d = 设点P 到直线240x y --=的距离为d ，则min0max 0d d r d d r =-===+=，即d ∈⎣⎦，又12ABPSAB d =⨯⨯=，[]1,11ABPS ∴∈结合选项可知，PAB 面积的可能取值是2或4或8. 故选：ABC.12．已知直三棱柱111ABC A B C 中，1,2AB BC AB BC BB ⊥===，点P 是线段1BC 上一点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A ．点1B 到平面11ACC A 2B ．异面直线1BB 与1A P 所成角的余弦值为定值C ．若P 是1BC 中点，则直线1A P 与平面111A B C 25D ．ACP △的面积S 的取值范围为2622⎡⎢⎣ 【答案】AD【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.【详解】如图，1,D D 分别为11,AC A C 中点，易证1,,BD CD DD 两两垂直，建立如图所示直角坐标系，则))12,0,0,2,0,2BB ，()()()()112,2,0,2,0,0,2,2,2,0C A A C -，()112,2,0A B =，由题意可知平面11ACC A 的一个法向量为()1,0,0m =，所以点1B 到平面11ACC A 的距离为112A B m d m⋅==A 正确；设()101BP BC λλ=≤≤，则))()11112121,22A A BP BC P A B B λλλλ==-++=+-，()10,0,2BB =，1111211cos ,21BB A P BB A P BB A Pλλ⋅==-+B 不正确；若P 是1BC 中点，则22P ⎫⎪⎪⎝⎭，123212A P ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 易知平面111A B C 的一个法向量为()0,0,1n =， 设直线1A P 与平面111A B C 所成的角为θ，则1116sin 6A P n A P nθ⋅===，所以5tan θ=，C 不正确；))()()2121,2,0,1,0AC AP ACλλλμ=-+==，点P 到直线AC 的距离2221423()6,2333d AP AP μλ⎡⎤⎛⎫=-⋅=-+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以ACP △的面积S 的取值范围为26,223⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确. 故选：AD.三、填空题13．若函数()ln f x x ax =-的图象在()()1,1f 处的切线斜率为12，则实数=a __________.【答案】12##0.5【分析】求出函数()f x 的导数，再利用导数的几何意义及直线斜率的定义可求 【详解】因为()ln f x x ax =-，所以()1f x a x'=-，所以()f x 在1x =处的切线斜率()1112k f a ==-='，解得12a =．故答案为：12．14．写出一个最小正周期为3的偶函数__________. 【答案】()2πcos3f x x =（答案不唯一） 【分析】通过题意可联想到余弦型函数()()cos 0f x A x A ω=≠，根据周期求出对应参数即可 【详解】由最小正周期为3，可考虑三角函数中的余弦型函数()()cos 0f x A x A ω=≠， 满足()()cos f x A x f x ω-==，即是偶函数； 根据最小正周期2π3T ω==，可得2π3ω=. 故令1A =，()2πcos3f x x =，故答案为：()2πcos3f x x =（答案不唯一） 15．高斯是德国著名的数学家，有“数学王子”之称，以其名字命名的成果有110个.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，若用{}[]x x x =-表示x的非负纯小数，如1=，已知数列{}n a满足[]{}111n n n a a a a +==+，则2021a =__________.【答案】30303030【分析】根据题意求出12345,,,,a a a a a ，找出规律，即可求出2021a 的值.【详解】13a =，2312a ∴==3622a ==+4942a ==51252a ==+， 由此可得到规律：当n为奇数时，132n n a -=⨯，202120211330302a -∴=⨯=故答案为：20213030a =16．已知12,F F 为椭圆22164x y +=的左､右焦点，若动直线l 垂直于y 轴，交此椭圆于,A B 两点，P 为l上满足3PA PB ⋅=的点，则点P 的轨迹方程为__________.【答案】221(22)32x y y +=-<<或221(22)96x y y +=-<<【分析】设点P 的坐标为(),x y ，依题意得()()00,,,A x y B x y -，由3PA PB ⋅=，求出点P 的坐标关系式，代入椭圆方程求出P 点的轨迹方程.【详解】设点P 的坐标为(),x y ，依题意得()()00,,,A x y B x y -，因为PA PB ⋅=3，所以2222000033x x x x x x x x -⋅+=-=⇒=±，代入椭圆的方程得223164x y ±+=，即22132x y +=与221(22)96x y y +=-<<. 故答案为：221(22)32x y y +=-<<或221(22)96x y y +=-<<.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足132,15n n a a S +-==. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令1111n n n b a a =⋅+-,求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1)21n a n =+ (2)44n nT n =+【分析】(1)根据12n n a a +-=可得{}n a 是等差数列,且公差为2,代入315S =中,即可得首项,即可得数列{}n a 的通项公式;(2)根据(1)中结果,写出{}n b 通项公式,再利用裂项相消法即可得出结果. 【详解】（1）解:由题知,因为12n n a a +-=, 所以数列{}n a 是公差2d =的等差数列, 因为315S =, 所以13315a d +=, 解得13a =,所以数列{}n a 的通项公式是()1121n a a n d n =+-=+; （2）由(1)得21,n a n =+ 所以()11114141n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭,故12n n T b b b =+++111111142231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭()1114141n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭, 所以数列{}n b 的前n 项和44n nT n =+.18．如图，在ABC 中，已知π3,6,,,3AB AC BAC BC AC ==∠=边上的两条中线,AM BN 相交于点P .(1)求BC 的长度； (2)求MPN ∠的余弦值. 【答案】(1)33BC = (2)714【分析】（1）根据余弦定理求解即可； （2）根据ABC 的三边关系可得π2ABC ∠=，结合直角三角形与三角形重心结论，求解,AP BP 的长，再利用余弦定理即可得MPN ∠的余弦值.【详解】（1）解：在ABC 中，由余弦定理知2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅⋅∠，整理得21936236272BC =+-⨯⨯⨯=，解得33BC =. （2）解：因为22292736AB BC AC +=+==，则AB BC ⊥，所以π2ABC ∠=. 所以221373,22BN AC AM AB BM ===+=， 由于,BC AC 边上的两条中线,AM BN 相交于点P ，则点P 为ABC 的重心，所以227,233AP AM BP BN ====，由余弦定理得2227cos 214AP BP AB APB AP BP +-∠==⋅. 所以MPN ∠的余弦值为714. 19．如图，已知四边形ABCD 为菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，60BAD ∠=︒，平面ADEF 平面BCEF =直线EF ，FO ⊥平面ABCD ，22BC CE DE EF ====（1）求证：//EF DA ；（2）求二面角A EF B --的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）35．【分析】（1）根据四边形ABCD 为菱形，得到//AD BC ，利用线面平行的判定定理得到//AD 平面BCEF ，然后利用线面平行的性质定理证明.（2）以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，取CD 中点M ，连EM ，OM ，分别求得平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =，平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =，然后由cos ,|||,|m nm n m n ⋅<>=求解.【详解】（1）因为四边形ABCD 为菱形，所以//AD BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF //AD ∴平面BCEF ，因为平面ADEF 平面BCEF =直线,EF AD ⊂平面ADEF ，所以//EF AD ；（2）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，因为OF ⊥平面ABCD ，所以以O 为坐标原点、OA ，OB ，OF 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 取CD 中点M ，连EM ，OM ，60BAD ︒∠=，23,1BC OA OC OB OD =∴====，2BC CD CE DE CDE ====∴为正三角形，3EM11//,=,//,=22OM BC OM BC EF BC EF BC ，//,=//,=EF OM EF OM OF EM OF EM ∴∴，从而31(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(3)2A B C D E ---， 设平面ADEF 一个法向量为(,,)m x y z =，则00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令11,(1,x y z m =∴===-， 设平面BCEF 一个法向量为(,,)n x y z =，则00n BC n EC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0102y y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，令11,(1,3,1)x y z n =∴==-=--，3cos ,5|||,|m n m n m n ⋅∴<>==，因此二面角A EF B --的余弦值为35.【点睛】方法点睛：求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．20．某品牌汽车4S 店对2020年该市前几个月的汽车成交量进行统计，用y 表示2020年第x 月份该店汽车成交量，得到统计表格如下：（1）求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，并预测该店9月份的成交量；（ˆa，ˆb 精确到整数） （2）该店为增加业绩，决定针对汽车成交客户开展抽奖活动，若抽中“一等奖”获5千元奖金；抽中“二等奖”获2千元奖金；抽中“祝您平安”则没有奖金．已知一次抽奖活动中获得“二等奖”的概率为13，没有获得奖金的概率为16．现有甲、乙两个客户参与抽奖活动，假设他们是否中奖相互独立，求此二人所获奖金总额X （千元）的分布列及数学期望．参考数据及公式：81850i i i x y ==∑，821204ii x ==∑，()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆ=-ay bx ．【答案】（1）ˆ212y x =+；预计9月份的成交量为30辆；（2）分布列见解析；期望为193． 【分析】(1)先分别求出i x ，i y 的平均数,x y ，再利用最小二乘法计算即可得回归直线方程，取x =9可得成交量的预测值；(2)写出随机变量X 的所有可能值，再计算出X 取各个值时的概率，列出分布列即可得解. 【详解】（1）由题意得：1+2+3+4+5+6+7+89=82x =，14+12+20+20+22+24+30+26=218y =，∴81822219885082194229422048()82i ii i i x y x yb x x==-⋅-⨯⨯===≈-⨯-∑∑，∴12a y b x =-⋅= 所以，回归直线方程为ˆ212yx =+， ∴当9x =时，ˆ2912=30y=⨯+，即预计9月份的成交量为30辆； （2）由题意得：获得“一等奖”的概率为12， 所以X 的可能取值为0，2，4，5，7，10，∴()11106636P X ==⨯=，()11111236639P X ==⨯+⨯=，()1114339P X ==⨯=，()11111526626P X ==⨯+⨯=，11111723323P X，()11110224P X ==⨯=， 所以X 的分布列为：∴()11111119024571036996343E X =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=. 21．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>与双曲线22123x y -=有相同的焦点；且C 的一条渐近线与直线220x y 平行. (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线C 右支相切（切点不为右顶点），且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于,A B 两点，O 为坐标原点，试判断AOB 的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.【答案】(1)2214x y -=(2)是，2【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，即可得方程；（2）设直线:l y kx m =+，联立方程由Δ0=可得2214k m -=-，根据题意求,A B 的坐标，即可求AOB 的面积，化简整理即可. 【详解】（1）设双曲线C 的焦距为()20c c >，由题意可得：22212c c a b b a ⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩，则21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，则双曲线C 的方程为2214x y -=.（2）由于直线l 与双曲线C 右支相切（切点不为右顶点），则直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y kx m =+，则2214y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y 得：()222418440k x kmx m -+++=， 则()()2222Δ64441440k m k m =--+=，可得：2214k m -=-①设l 与x 轴交点为,0m D k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则11222OAB AOD BOD A B A BA B m mS S S OD y y k x x x x k --=+=⨯-=⋅⋅-=⋅-△△△， ∵双曲线两条渐近线方程为：12y x =±，联立12y kx m y x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21212m x km y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，即2,1212m m A k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭， 同理可得：2,2121mm B k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，则22224422212122142AOB A B m m m m m m mm S x x k k k m ----=⋅-=⋅+=⋅=⋅=-+--△（定值）. 22．已知函数()2e sin x f x x ax =-．（e 是自然对数的底数） (1)若0a =，求()f x 的单调区间；(2)若06a <<，试讨论()f x 在(0,)π上的零点个数．（参考数据：2e 4.8π≈） 【答案】(1)单调递增区间为32,2()44k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，单调递减区间为372,2()44k k k ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z (2)答案见解析【分析】（1）求出导函数()f x '，令()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得减区间；（2）利用导数判断()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，又(0)2f a '=-，02f π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，()0f π'<，从而分02a <和26a <<两种情况讨论，根据函数零点存在定理及函数()f x '的单调性，求出()f x 的单调区间，从而即可求解.【详解】（1）解：0a =，则()2e sin x f x x =，定义域为R ，()2e (sin cos )sin 4x xf x x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭， 由()0f x '>，解得sin 04x π⎛⎫+> ⎪⎝⎭，可得22()4k x k k ππππ<+<+∈Z ，解得322()44k x k k ππππ-<<+∈Z ， 由()0f x '<，解得sin 04x π⎛⎫+< ⎪⎝⎭，可得222()4k x k k πππππ+<+<+∈Z ，解得3722()44k x k k ππππ+<<+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为32,2()44k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭Z ，单调递减区间为372,2()44k k k ππππ⎛⎫++∈⎪⎝⎭Z ； （2）解：由已知()2e sin x f x x ax =-，()2e (sin cos )x f x x x a '∴=+-，令()()h x f x '=，则()4e cos x h x x '=．(0,)x π∈，∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，即()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．(0)2f a '=-，22e 02f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，()2e 0f a ππ'=--<．①当20a -时，即02a <时，(0)0f '， 0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=，∴当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,x x π∈时，()0f x '<， ()f x ∴在()00,x 上单调递增，()0,x π上单调递减．(0)0f =，()00f x ∴>，又()0f a ππ=-<，∴由函数零点存在性定理可得，此时()f x 在(0,)π上仅有一个零点； ②若26a <<时，(0)20f a =-<'，又()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，而22e 02f a ππ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，10,2x π⎫⎛∴∃∈ ⎪⎝⎭，2,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=，()20f x '=，且当()10,x x ∈、()2,x x π∈时，()0f x '<；当()12,x x x ∈时，()0f x '>．()f x ∴在()10,x 和()2,x π上单调递减，在()12,x x 上单调递增．(0)0f =，()10∴<f x ，222e 2e 3022f a πππππ⎛⎫=->-> ⎪⎝⎭，()20f x ∴>，又()0f a ππ=-<，∴由零点存在性定理可得，()f x 在()12,x x 和()2,x π内各有一个零点，即此时()f x 在(0,)π上有两个零点．综上所述，当02a <时，()f x 在(0,)π上仅有一个零点；当26a <<时，()f x 在(0,)π上有两个零点． 【点睛】关键点点睛：本题（2）问的解题关键是根据函数零点存在定理及()f x '的单调性，求得函数()f x 的单调区间.。
山西省太原市2020届高三下学期模拟测试 (三)数学(理科)试题(解析版)
2020年太原市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．15．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．26．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a3﹣8，且S3＝13，则a2＝（）A．﹣3B．3C．−353D．3或−3537．平面向量a→，b→共线的充要条件是（）A．a→⋅b→=|a→||b→|B．a→，b→两向量中至少有一个为零向量C．∃λ∈R，b→=λa→D．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．129．把函数f （x ）＝sin 2x 的图象向右平移π12个单位后，得到函数y ＝g （x ）的图象．则g （x ）的解析式是（ ） A ．g(x)=sin 2(x +π12)B ．g(x)=−12cos(2x −π12)C ．g(x)=−12cos(2x −π6)+12 D ．g(x)=12sin(2x −π6)+1210．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．[12，2]B ．[1，2]C ．(0，12)D ．（0，2]11．已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣4D ．不能确定12．点M 在曲线G ：y ＝3lnx 上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线y =1x 交于点N ，若OP →=OM →+ON →3，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= ． 14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝ ．15．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 ．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12]③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确的命题序号）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ． （1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =12nb n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄 [25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，已知四边形AA 1C 1C 为矩形，AA 1＝6，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝∠BAA 1＝60°，∠A 1AC 的角平分线AD 交CC 1于D ． （Ⅰ）求证：平面BAD ⊥平面AA 1C 1C ； （Ⅱ）求二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C的方程；（2）已知△BMN是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为△BMN的重心，求点O到直线MN距离的最小值．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）．（1）讨论函数的极值点个数；（2）若g（x）＝f（x）﹣x有两个极值点x1，x2，试判断x1+x2与x1•x2的大小关系并证明．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ﹣6cosθ＝0，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l过点M（0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求1|MA|+1|MB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}，B＝{x|x+1≥a}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（﹣∞，2]C．[1，+∞）D．（﹣∞，1]【分析】求出集合A，B，由A∪B＝R，能求出实数a的取值范围．解：∵集合A＝{x|x2﹣3x+2≥0}＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x+1≥a}＝{x|x≥a﹣1}，A∪B＝R，∴a﹣1≤1，解得a≤2，∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．2．若复数z满足z＝（1﹣2i）•i，则复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．解：z＝（1﹣2i）•i＝2+i，z=2﹣i在复平面内所对应的点（2，﹣1）位于第四象限．故选：D．3．已知a＞b＞1，c＜0，则（）A．ca＜cbB．c a＜c bC．a c＜b c D．log a（b﹣c）＞log b（a﹣c）【分析】直接利用不等式的应用和赋值法的应用求出结果．解：①由于a＞b＞1，所以0＜1a＜1b，c＜0，故ca＞cb，选项A错误．②当c＝﹣2，a＝3，b＝2时，c a＞c b，故选项B错误．③由于a＞b＞1，c＜0，故a c＜b c，选项C正确．④由于a＞b＞1，c＜0，所以a﹣c＞b﹣c，故log a（b﹣c）＜log b（a﹣c），故错误．故选：C．4．已知sinα﹣cosα=√2，α∈（0，π），则tanα的值是（）A．﹣1B．−√22C．√22D．1【分析】由条件可得1﹣2sinαcosα＝2，求得sin2α＝﹣1，可得2α的值，从而求得tanα的值．解：∵已知sinα−cosα=√2，α∈(0，π)，∴1﹣2sinαcosα＝2，即sin2α＝﹣1，故2α=3π2，∴α=3π4，tanα＝﹣1．故选：A．5．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生“的问题，松长三尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为3，1，则输出的n等于（）A．5B．4C．3D．2【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算a，b的值并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a＝3，b＝1n＝1a=92，b＝2不满足条件a≤b，执行循环体，n＝2，a=274，b＝4不满足条件a≤b，执行循环体，n＝3，a=818，b＝8不满足条件a≤b，执行循环体，n＝4，a=24316，b＝16此时，满足条件a≤b，退出循环，输出n的值为4．故选：B ．6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝a 3﹣8，且S 3＝13，则a 2＝（ ） A ．﹣3B ．3C ．−353D ．3或−353【分析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式可求首项及公比，然后再结合等比数列的通项公式即可求解． 解：设公比为q ，易知q ≠1． 由{a 1=a 3−8S 3=13得{a 1=a 1q 2−8a 1(1−q 3)1−q =13， 解得{a 1=1q =3或{a 1=253q =−75， 当{a 1=1q =3时，a 2＝a 1q ＝3； 当{a 1=253q =−75时，a 2=a 1q =−353 所以a 2＝3或a 2=−353， 故选：D ．7．平面向量a →，b →共线的充要条件是（ ）A ．a →⋅b →=|a →||b →|B ．a →，b →两向量中至少有一个为零向量C ．∃λ∈R ，b →=λa →D ．存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a →+λ2b →=0→【分析】写出共线向量基本定理，找四个选项中的等价命题得结论．解：由共线向量基本定理可知，若平面向量a→，b→共线，则存在不为零的实数λ，使b→=λa→（a→≠0→），即λa→−b→=0→，其等价命题为存在不全为零的实数λ1，λ2，λ1a→+λ2b→=0→．故选：D．8．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）A．16B．14C．13D．12【分析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率．解：我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，基本事件总数n=C42A33=36，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数m=C22C31A22=6，∴甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为p=mn=636=16．故选：A．9．把函数f（x）＝sin2x的图象向右平移π12个单位后，得到函数y＝g（x）的图象．则g（x）的解析式是（）A ．g(x)=sin 2(x +π12)B ．g(x)=−12cos(2x −π12) C ．g(x)=−12cos(2x −π6)+12D ．g(x)=12sin(2x −π6)+12【分析】由题意利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 解：把函数f （x ）＝sin 2x =12−12cos2x 的图象向右平移π12个单位后， 得到函数y ＝g （x ）=12−12cos （2x −π6）的图象， 故选：C ．10．已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数a 满足f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1），则a 的取值范围是（ ）A ．[12，2]B ．[1，2]C ．(0，12)D ．（0，2]【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围． 解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数， 所以f （log 12a ）＝f （﹣log 2a ）＝f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （log 12a ）≤2f （1）为：f （log 2a ）≤f （1），因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递增，所以|log 2a |≤1，解得12≤a ≤2，则a 的取值范围是[12，2]，故选：A ．11．已知抛物线C ：x 2＝8y ，过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，则y 0的值为（ ） A ．﹣1B ．﹣2C ．﹣4D ．不能确定【分析】设出AB 的坐标，利用函数的导数，结合直线经过M ，转化求解y 0的值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1≠x 2，由x 2＝8y ，可得y ′=x 4，所以k MA =x14，k MB =x 24， 因为过点M （x 0，y 0）作直线MA 、MB 与抛物线C 分别切于点A 、B ，且以AB 为直径的圆过点M ，所以，k MA •k MB =x24•x 14=−1，可得x 1x 2＝﹣16，直线MA 的方程为：y ﹣y 1=x14（x ﹣x 1），x 1x ＝4（y +y 1）…①，同理直线MB 的方程为：y ﹣y 2=x24（x ﹣x 2），x 2x ＝4（y +y 2）…②，①×x 2﹣②×x 1，可得y =x 1x28=−2，即y 0＝﹣2， 故选：B ．12．点M 在曲线G ：y ＝3lnx 上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线y =1x 交于点N ，若OP →=OM →+ON →3，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】设M （x 1，3lnx 1），可得直线l 的方程，联立曲线y =1x，可得N 的坐标，再由向量的加法运算可得P 的坐标，再由P 的纵坐标始终为0，考虑方程的解的个数，设出函数，求得导数和单调性、极值和最值，判断最值的符号，即可得到所求个数． 解：设M （x 1，3lnx 1），则直线l ：x ＝x 1，由{x =x 1y =1x可得y =1x 1，即N （x 1，1x 1）， OP →=OM →+ON →3=13（2x 1，3lnx 1+1x 1）＝（2x 13，lnx 1+13x 1）， 又P 的纵坐标始终为0，即lnx 1+13x 1=0，可令f （x ）＝lnx +13x （x ＞0），导数为f ′（x ）=1x −13x 2=3x−13x 2，由f ′（x ）＝0，可得x =13，则当0＜x ＜13时，f ′（x ）＜0，f （x ）递减；x ＞13时，f ′（x ）＞0，f （x ）递增．可得f （x ）在x =13处取得极小值，且为最小值f （13）＝ln 13+1＝1﹣ln 3，由1﹣ln 3＜0，则f （x ）在（0，+∞）有两个零点，即方程lnx 1+13x 1=0有两个不等实根，所以曲线G 上的“水平黄金点”的个数为2， 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)，则f(f(18))= 8 ． 【分析】依题意得f （18）＝3，从而f （f （18））＝f （3），由此能求出结果．解：∵函数f （x ）={log 12x(0＜x ≤1)，x 2−1(x ＞1)， 则f （18）＝log1218=3；∴f(f(18))=f （3）＝32﹣1＝8．故答案为：8．14．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4，则A ＝2π3．【分析】由已知结合余弦定理及三角形的面积公式进行化简即可求解． 解：由余弦定理可得a 2﹣b 2﹣c 2＝﹣2bc cos A ，△ABC 的面积为√3(a 2−b 2−c 2)4=−√32bccosA ，又因为S △ABC =12bcsinA =−√32bccosA ，所以tan A =−√3， 由A ∈（0，π）可得A =2π3． 故答案为：2π315．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，则双曲线的离心率为 √3 ．【分析】根据点P 为双曲线上一点，∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|，推出P 的位置，然后求解双曲线的离心率．解：F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使∠F 1PF 2＝60°，且|PF 1|＝2|PF 2|， 可知：PF 2⊥F 1F 2，|PF 2|=b 2a ，tan ∠F 1PF 2=2cb 2a=√3，即2ac =√3（c 2﹣a 2），可得√3e 2﹣2e −√3=0，e ＞1，∴e =√3． 故答案为：√3．16．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点，F 是侧面CDD 1C 1上的动点，且B 1F ∥平面A 1BE ，记B 1与F 的轨迹构成的平面为α． ①∃F ，使得B 1F ⊥CD 1②直线B 1F 与直线BC 所成角的正切值的取值范围是[√24，12] ③α与平面CDD 1C 1所成锐二面角的正切值为2√2④正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的各个侧面中，与α所成的锐二面角相等的侧面共四个． 其中正确命题的序号是 ①②③④ ．（写出所有正确的命题序号）【分析】分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，然后利用面面平行的判定定理证明平面MNB 1∥平面A 1BE ，从而确定平面MNB 1就是平面α． 当F 为线段MN 的中点时，可证明①；②利用平移的思想，将直线B 1F 与直线BC 所成角转化为B 1F 与B 1C 1所成的角，由于B 1C 1⊥平面MNC 1，所以tan ∠FB 1C 1即为所求，进而求解即可；③平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求，也就是求出tan ∠B 1QC 1即可； ④由正方体的对称性和二面角的含义即可判断． 解：如图所示，设正方体的棱长为2，分别取CC 1和C 1D 1的中点为M ，N ，连接MN 、MB 1、NB 1，则MN ∥A 1B ，MB 1∥EA 1，∵MN 、MB 1⊂平面MNB 1，A 1B 、EA 1⊂平面A 1BE ，且MN ∩MB 1＝M ，A 1B ∩EA 1＝A 1， ∴平面MNB 1∥平面A 1BE ，∴当F 在MN 上运动时，始终有B 1F ∥平面A 1BE ，即平面MNB 1就是平面α． 对于①，当F 为线段MN 的中点时，∵MB 1＝NB 1，∴B 1F ⊥MN ，∵MN ∥CD 1，∴B 1F ⊥CD 1，即①正确；对于②，∵BC ∥B 1C 1，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角即为所求， ∵B 1C 1⊥平面MNC 1，C 1F ⊂平面MNC 1，∴B 1C 1⊥C 1F ，∴直线B 1F 与直线B 1C 1所成的角为∠FB 1C 1，且tan ∠FB 1C 1=FC1B 1C 1，而FC 1的取值范围为[√22，1]，B 1C 1＝2，所以tan ∠FB 1C 1∈[√24，12]，即②正确；对于③，平面MNB 1与平面CDD 1C 1所成的锐二面角即为所求， 取MN 的中点Q ，因为B 1C 1⊥平面MNC 1，所以∠B 1QC 1就是所求角，而tan ∠B 1QC 1=B 1C 1QC 1=22=2√2，即③正确；对于④，由对称性可知，与α所成的锐二面角相等的面有平面BCC 1B 1，平面ADD 1A 1，平面A 1B 1C 1D 1，平面ABCD ，即④正确． 故答案为：①②③④．三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知{a n }是公差为1的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=12，a n b n +1+b n +1＝nb n ．（1）求数列{b n }的通项公式； （2）设c n =12nb n，求数列{c n }的前n 项和S n ． 【分析】（1）先由题设条件求得a 1，再求a n ，进而论证数列{nb n }是常数列，最后求得b n ；（2）先由（1）求得c n ，再由错位相减法求S n ．解：（1）由已知得：a 1b 2+b 2＝b 1，∴a 1＝1．又∵{a n }是公差为1的等差数列，∴a n ＝n ．∵a n b n +1+b n +1＝nb n ，∴（n +1）b n +1＝nb n ，所以数列{nb n }是常数列，∴nb n ＝b 1＝1，∴b n =1n；（2）由（1）得：c n =12nb n =n •（12）n ， ∴S n ＝1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n •（12）n ①，又12S n ＝1×（12）2+2×（12）3+3×（12）4+…+n •（12）n +1②，由①﹣②可得：12S n =12+（12）2+（12）3+…+（12）n ﹣n •（12）n +1 =12[1−(12)n]1−12−n •（12）n +1＝1﹣（n +2）•（12）n +1，∴S n ＝2﹣（n +2）•（12）n ．18．垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法，为了了解居民对垃圾分类的知晓率和参与率，引导居民积极行动，科学地进行垃圾分类，某小区随机抽取年龄在区间[25，85]上的50人进行调研，统计出年龄频数分布及了解垃圾分类的人数如表：年龄[25，35） [35，45） [45，55） [55，65） [65，75） [75，85）频数 5 10 10 15 5 5 了解4581221（1）填写下面2x 2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解 a ＝ c ＝ 不了解 b ＝ d ＝ 合计（2）若对年龄在[45，55），[25，35）的被调研人中各随机选取2人进行深入调研，记选中的4人中不了解垃圾分类的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．参考公式和数据K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d ． P （K 2≥k 0）0.10 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值．解：（1）根据题意填写2x 2列联表，年龄低于65岁的人数 年龄不低于65岁的人数合计了解a ＝29c ＝332不了解b＝11d＝718合计401050计算K2=50×(29×7−11×3)240×10×32×18≈6.272＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为以65岁为分界点居民对了解垃圾分类的有关知识有差异；（2）由题意知，随机变量X的可能取值为0，1，2，3；计算P（X＝0）=C82⋅C42C102⋅C52=84225，P（X＝1）=C82⋅C41+C81⋅C21⋅C42C102⋅C52=104225，P（X＝2）=C81⋅C21⋅C41+C22⋅C42C102⋅C52=35225，P（X＝3）=C22⋅C41C102⋅C52=2225；所以随机变量X的分布列为：X0123P84225104225352252225所以X的数学期望为E（X）＝0×84225+1×104225+2×35225+3×2225=45．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知四边形AA1C1C为矩形，AA1＝6，AB＝AC＝4，∠BAC＝∠BAA1＝60°，∠A1AC的角平分线AD交CC1于D．（Ⅰ）求证：平面BAD⊥平面AA1C1C；（Ⅱ）求二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．【分析】（Ⅰ）过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，推导出DE⊥AE，四边形AEDC为正方形，CE⊥AD，推导出△BAC≌△BAE，从而BC＝BE，CE⊥BO，从而CE⊥平面BAD，由此能证明平面BAD⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）推导出BO⊥AD，BO⊥CE，从而BO⊥平面AA1C1C，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣B1C1﹣A1的余弦值．解：（Ⅰ）如图，过点D作DE∥AC交AA1于E，连接CE，BE，设AD∩CE＝O，连接BO，∵AC⊥AA1，∴DE⊥AE，又AD为∠A1AC的角平分线，∴四边形AEDC为正方形，∴CE⊥AD，又∵AC＝AE，∠BAC＝∠BAE，BA＝BA，∴△BAC≌△BAE，∴BC＝BE，又∵O为CE的中点，∴CE⊥BO，又∵AD，BO⊂平面BAD，AD∩BO＝O，∴CE⊥平面BAD．又∵CE⊂平面AA1C1C，∴平面BAD⊥平面AA1C1C．（Ⅱ）在△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC＝60°，∴BC＝4，在Rt△BOC中，∵CO=12CE=2√2，∴BO=2√2，又AB＝4，AO=12AD=2√2，∵BO2+AO2＝AB2，∴BO⊥AD，又BO⊥CE，AD∩CE＝O，AD，CE⊂平面AA1C1C，∴BO⊥平面AA1C1C，故建立如图空间直角坐标系O﹣xyz，则A（2，﹣2，0），A1（2，4，0），C1（﹣2，4，0），B1(0，6，2√2)，∴C 1B 1→=(2，2，2√2)，AC 1→=(−4，6，0)，C 1A 1→=(4，0，0)， 设平面AB 1C 1的一个法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)， 则{m →⊥C 1B 1→m →⊥AC 1→，∴{−4x 1+6y 1=02x 1+2y 1+2√2z 1=0， 令x 1＝6，得m →=(6，4，−5√2)，设平面A 1B 1C 1的一个法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，则{n →⊥C 1B 1→n →⊥C 1A 1→，∴{4x 2=02x 2+2y 2+2√2z 2=0，令y 2=√2，得n →=(0，√2，−1)， ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=9√2102⋅3=3√1717，故二面角A ﹣B 1C 1﹣A 1的余弦值为3√1717．20．已知椭圆C ：x 2a+y 2b=1（a ＞b ＞0）的焦距为2，且过点(1，32)．（1）求椭圆C 的方程；（2）已知△BMN 是椭圆C 的内接三角形，若坐标原点O 为△BMN 的重心，求点O 到直线MN 距离的最小值．【分析】（1）由题意焦距的值可得c 的值，再由过点的坐标，及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）分B 的纵坐标为0和不为0两种情况讨论，设B 的坐标，由O 是三角形的重心可得MN 的中点的坐标，设M ，N 的坐标，代入椭圆方程两式相减可得直线MN 的斜率，求出直线MN 的方程，求出O 到直线MN 的距离的表达式，再由B 的纵坐标的范围求出d 的取值范围，进而求出d 的最小值．解：（1）由题意可得：{c =11a 2+94b2=1c 2=a 2−b 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程为：x 24+y 23=1；（2）设B （m ，n ），记线段MN 中点D ，因为O 为△BMN 的重心，所以BO →=2OD →，则点D 的坐标为：（−m 2，−n2）， 若n ＝0，则|m |＝2，此时直线MN 与x 轴垂直，故原点O 到直线MN 的距离为|m|2，即为1，若n ≠0，此时直线MN 的斜率存在，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2＝﹣m ，y 1+y 2＝﹣n ， 又x 124+y 123=1，x 224+y 223=1，两式相减(x 1+x 2)(x 1−x 2)4+(y 1+y 2)(y 1−y 2)3=0，可得：k MN =y 1−y2x 1−x 2═−3m 4n，故直线MN 的方程为：y =−3m4n（x +m 2）−n 2，即6mx +8ny +3m 2+4n 2＝0， 则点O 到直线MN 的距离d =22√36m +64n ，将m 24+n 23=1，代入得d =3√n +9，因为0＜n 2≤3，所以d min =√32，又√32＜1， 故原点O 到直线MN 的距离的最小值为√32．21．已知函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 2（a ∈一、选择题）． （1）讨论函数的极值点个数；（2）若g （x ）＝f （x ）﹣x 有两个极值点x 1，x 2，试判断x 1+x 2与x 1•x 2的大小关系并证明．【分析】（1）先求出f '（x ）＝lnx +x ⋅1x −2ax ＝lnx ﹣2ax +1（x ＞0），令f '（x ）＝0，得2a =1+lnx x ，记Q （x ）=1+lnxx，则函数f （x ）的极值点个数转化为函数Q （x ）与y ＝2a 的交点个数，再利用导数得到Q （x ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞） 上是减函数，且Q （x ）max ＝Q （1）＝1，对a 分情况讨论，即可得到函数f （x ）的极值点个数情况；（2）g （x ）＝xlnx ﹣ax 2﹣x ，g '（x ）＝lnx ﹣2ax （x ＞0），令g '（x ）＝0，则lnx ﹣2ax ＝0，所以2a =lnx x ，记h （x ）=lnxx，利用导数得到h （x ）在（0，e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，h （x ）max ＝h （e ）=1e，当x ＞e 时，f （x ）＞0，所以当0＜2a ＜1e即1＜a ＜12e 时g （x ） 有2个极值点x 1，x 2，从而得到2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2，所以ln （x 1+x 2）＜ln （x 1x 2），即x 1+x 2＜x 1x 2．解：（1）f '（x ）＝lnx +x ⋅1x−2ax ＝lnx ﹣2ax +1（x ＞0），令f '（x ）＝0，得2a =1+lnx x ，记Q （x ）=1+lnxx ，则Q '（x ）=−lnx x2， 令Q '（x ）＞0，得0＜x ＜1；令Q '（x ）＜0，得x ＞1，∴Q （x ）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞） 上是减函数，且Q （x ）max ＝Q （1）＝1，∴当2a ＞1，即a ＞12时，f '（x ）＝0 无解，∴f （x ） 无极值点，当2a ＝1，即a =12时，f '（x ）＝0有一解，2a ≥1+lnxx，即lnx ﹣2ax +1≤0，f '（x ）≤0 恒成立，∴f （x ）无极值点，当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，f '（x ）＝0有两解，∴f （x ）有2个极值点， 当2a ≤0，即a ≤0时，f '（x ）＝0有一解，∴f （x ）有一个极值点，综上所述：当a ≥12时，f （x ）无极值点；0＜a ＜12时，f （x ）有2个极值点；当a ≤0时，f （x ）有1个极点；（2）g （x ）＝xlnx ﹣ax 2﹣x ，g '（x ）＝lnx ﹣2ax （x ＞0），令g '（x ）＝0，则lnx ﹣2ax ＝0，∴2a =lnx x， 记h （x ）=lnxx ，则h '（x ）=1−lnx x 2， 由h '（x ）＞0得0＜x ＜e ，由h '（x ）＜0，得x ＞e ，∴h （x ）在（0，e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，h （x ）max ＝h （e ）=1e， 当x ＞e 时，f （x ）＞0，∴当0＜2a ＜1e即1＜a ＜12e时g （x ） 有2个极值点x 1，x 2， 由{lnx 1=2ax 1lnx 2=2ax 2得，ln （x 1x 2）＝lnx 1+lnx 2＝2a （x 1+x 2），∴2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2，不妨设x 1＜x 2，则1＜x 1＜e ＜x 2，∴x 1+x 2＞x 2＞e ， 又h （x ）在（e ，+∞） 上是减函数，∴ln(x 1+x 2)x 1+x 2＜lnx 2x 2=2a =ln(x 1x 2)x 1+x 2， ∴ln （x 1+x 2）＜ln （x 1x 2）， ∴x 1+x 2＜x 1x 2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C 的极坐标方程是ρ﹣6cos θ＝0，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 过点M （0，2），倾斜角为34π．（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的参数方程；（2）设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求1|MA|+1|MB|的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（1）曲线C 的极坐标方程是ρ﹣6cos θ＝0，转换为直角坐标方程为（x ﹣3）2+y 2＝9． 直线l 过点M （0，2），倾斜角为34π．整理得参数方程为{x =−√22t y =2+√22t（t 为参数）．（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得(−√22t −3)2+(2+√22t)2=9，整理得t 2+5√2t +4=0， 所以：t 1+t 2=−5√2，t 1t 2＝4，所以求1|MA|+1|MB|=|t1+t2||t1t2|=5√24．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|．（1）若a＝1，解不等式f（x）＜4；（2）对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，再利用零点分段法解不等式f（x）＜4即可；（2）根据条件可知，m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集，然后求出f（x）的值域和m2﹣2m+4的取值范围，再求出a的范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣2|={2x−1，x＞23，−1≤x≤2−2x+1，x＜−1．∵f（x）＜4，∴{x＞22x−1＜4或{−1≤x≤23＜4或{x＜−1−2x+1＜4，∴2＜x＜52或﹣1≤x≤2或−32＜x＜−1，∴−32＜x＜52，∴不等式的解集为{x|−32＜x＜52}．（2）∵对任意的实数m，若总存在实数x，使得m2﹣2m+4＝f（x），∴m2﹣2m+4的取值范围是f（x）值域的子集．∵f（x）＝|x+1|+|x﹣2a|≥|2a+1|，∴f（x）的值域为[|2a+1|，+∞），又m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3≥3，∴|2a+1|≤3，∴﹣2≤a≤1，∴实数a的取值范围为[﹣2，1]．。