2020-2021学年广东省佛山市南海区九年级(上)期末数学试卷-解析版
2020-2021学年广东省佛山市南海区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.抛物线y=(x+2)2+3的顶点坐标是()A. (−2,−3)B. (−2,3)C. (2,−3)D. (2,3)2.用配方法解方程x2−2x−1=0，配方后所得方程为()A. (x+1)2=0B. (x−1)2=0C. (x+1)2=2D. (x−1)2=23.班级元旦晚会上，主持人给大家带来了一个有奖竞猜题，他在一个不透明的袋子中放了若干个形状大小完全相同的白球，想请大家估计出袋中白球的个数.数学科代表小明是这样来估计的：他先往袋中放入10个形状大小与白球相同的红球，混匀后再从袋子中随机摸出20个球，发现其中有4个红球.根据小明的方法估计袋中白球有()A. 200个B. 100个C. 50个D. 40个4.如图，已知∠1=∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是()A. ∠C=∠AEDB. ∠B=∠DC. ABAD =BCDED. ABAD =ACAE5.如图所示几何体的左视图正确的是()A. B. C. D.6.点A(−3,y1)、B(−1,y2)、C(2,y3)都在反比例函数y=−6x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y37.已知四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD，则下列关于四边形ABCD的结论一定成立的是()A. 四边形ABCD是正方形B. 四边形ABCD是菱形C. 四边形ABCD是矩形D. S四边形ABCD =12AC⋅BD8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，BC=√7，AC=3，则sin∠ACD=()A. √74B. √73C. 34D. 439.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y=ax与正比例函数y=cx在同一坐标系内的大致图象是()A. B.C. D.10.如图，在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，连接DE，则下列结论：①DEAB =12；②CD+CE+DEAC+BC+AB=14；③CDCA=EFFA；④S△FDES△CDE =13.其中正确结论的个数是()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.一元二次方程x2=3x的解是：______．12.已知ab =2，则a+ba−b=______．13.直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为______ cm．14.某市推出名师网络课堂，据统计，第一批受益学生8000人次，第三批受益学生18000人次.如果第二批、第三批受益学生人次的平均增长率相同，则这个增长率为______ ．15.如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪CD的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为______ m.(结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19)16.在研究：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半”时，小明发现：当已知矩形A的长和宽分别为6和1时，存在一个矩形B的周长和面积分别是矩形A周长和面积的一半，那么矩形B 的长为______ ．17.如图，在菱形ABCD中，AB=1，∠ADC=120°，以AC为边作菱形ACC1D1，且∠AD1C1=120°；再以AC1为边作菱形AC1C2D2，且∠AD2C2=120°…；按此规律，菱形AC2020C2021D2021的面积为______ ．三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）18.计算：6sin30°−43cos30°−2tan45°+2tan60∘．19.“一方有难，八方支援”2020年初武汉受到新型冠状肺炎影响，南海区某医院准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士支援武汉．(1)若随机选一位医生和一名护士，用树状图(或列表法)表示所有可能出现的结果；(2)求恰好选中医生丙和护士B的概率．20.如图，已知AB//CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF=∠C，若AF=6，FB=8，求EF．21.已知关于x的方程x2+ax+a−2=0(1)若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．(x>0)的图象相交于点A(1,3) 22.如图，已知一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx和B(m,1)．(1)求反比例函数与一次函数的表达式；(2)根据图象回答，当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值；(3)以点O为位似中心画三角形，使它与△OAB位似，且相似比为2，请在图中画出所有符合条件的三角形．23.如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE//BC交AB于点E，DF//AB交BC于点F．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若∠ABC=60°，∠ACB=45°，CD=6，求菱形BEDF的边长．24.如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，点D，F分别是边AB，BC上的动点，点D不与点A，B重合，过点D作DE//BC，交AC于点E，连接DF，EF．(1)当DF⊥BC时，求证：△FBD∽△ABC；(2)在(1)的条件下，当四边形BDEF是平行四边形时，求BF的长；(3)是否存在点F，使得△FDE为等腰直角三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出DE的长．25.如图，已知二次函数y=ax2−5ax+2的图象交x轴于点A(1,0)和点B，交y轴于点C．(1)求该二次函数的解析式；(2)过点A作y轴的平行线，点D在这条直线上且纵坐标为3，求∠CBD的正切值；(3)在(2)的条件下，点E在直线x=1上，如果∠CBE=45°，求点E的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：二次函数y=(x+2)2+3的图象的顶点坐标为(−2,3)．故选：B．根据抛物线的顶点式即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．2.【答案】D【解析】解：x2−2x=1，x2−2x+1=2，(x−1)2=2．故选：D．先把常数项1移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到(x−1)2= 2．本题考查了解一元二次方程−配方法：将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．3.【答案】D【解析】解：设估计袋中白球有x个，根据题意得：10 10+x =420，解得：x=40经检验x=40是原方程的解，答：估计袋中白球有40个．故选：D．设估计袋中白球有x个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．4.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠2∴∠DAE=∠BAC∴A，B，D都可判定△ABC∽△ADE选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似，故选：C．根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．5.【答案】A【解析】解：该几何体的左视图为：是一个矩形，且矩形中有两条横向的虚线．故选：A．直接利用左视图的观察角度，进而得出视图．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题关键．6.【答案】C【解析】解：∵点A(−3,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)都在反比例函数y=−6x的图象上，∴y1=−6−3=2，y2=−6−1=6，y3=−62=−3，∵−3<2<6，∴y3<y1<y2，故选：C．分别把A、B、C各点坐标代入反比例函数y=−6x求出y1、y2、y3的值，再比较大小即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足函数解析式．7.【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB=OC=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是正方形，故选：A．求出AC=BD，根据正方形的判定定理得出即可．本题考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定，能熟记判定定理的内容是解此题的关键．8.【答案】C【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴AB=√AC2+BC2=√32+(√7)2=4，∠ACD+∠BCD=90°，∵CD是斜边AB上的高，∴CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B，∴sin∠ACD=sin∠B=ACAB =34，故选：C．先由勾股定理求出AB=4，再证出∠ACD=∠B，然后由锐角三角函数定义求解即可．本题考查了解直角三角形、直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握直角三角形的性质和锐角三角函数定义是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：由二次函数的图象得a<0，c>0，所以反比例函数y=ax分布在第二、四象限，正比例函数y=cx经过第一、三象限，所以C选项正确．故选：C．利用抛物线开口方向得到a<0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c>0，然后根据反比例函数的性质和正比例函数的性质对各选项进行判断．本题考查了反比例函数图象：反比例函数y=kx(k≠0)的图象为双曲线，当k>0，图象分布在第一、三象限；当k<0，图象分布在第二、四象限．也考查了正比例函数和二次函数图象．10.【答案】C【解析】解：在△ABC中，中线AE、BD相交于点F，∴DE是△ABC的中位线，∴DE//AB，DEAB =12，故①正确；∴△CDE∽△CAB，∴CDCA =DEAB=12，CD+CE+DEAC+BC+AB=DEAB=12，故②错误；∵DE//AB，∴△DEF∽△BAF，∴EFAF =DEBA=12，∴CDCA =EFFA，故③正确；∵CD=DA，EFAF =12，∴S△CDE=S△ADE，S△DEFS△ADE =13，∴S△FDES△CDE =13，故④正确；故选：C．根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．本题考查相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.【答案】x1=0，x2=3【解析】解：(1)x2=3x，x2−3x=0，x(x−3)=0，解得：x1=0，x2=3．故答案为：x1=0，x2=3．利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程的方法．当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．12.【答案】3【解析】解：∵ab=2，∴设a=2k，b=k，∴a+ba−b =2k+k2k−k=3．故答案为：3．首先由ab =2，可设a=2k，b=k，然后将其代入a+ba−b，即可求得答案．此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意掌握由ab=2，设a=2k，b=k的解题方法．13.【答案】132【解析】解：∵直角三角形两直角边长分别为5cm和12cm，∴斜边长为：√52+122=13(cm)，∴斜边上的中线长为132cm，故答案为：132．根据勾股定理可以求得斜边的长，然后根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可以求得斜边上的中线长．本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和直角三角形的知识解答．14.【答案】50%【解析】解：设增长率为x，根据题意，得8000(1+x)2=18000，解得x1=−2.5(舍去)，x2=0.5=50%．答：增长率为50%．故答案为：50%．设增长率为x，根据“第一批受益学生8000人次，第三批受益学生18000人次”可列方程求解．本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．15.【答案】11【解析】解：作DE⊥AB于点E，由题意可得，DE=CD=8m，∵∠ADE=50°，∴AE=DE⋅tan50°≈8×1.19=9.52(m)，∵BE=CD=1.5m，∴AB=AE+BE=9.52+1.52=11.2≈11(m)，故答案为：11．根据题意，作辅助线DE⊥AB，然后根据锐角三角函数可以得到AE的长，从而可以求得AB的长，本题得以解决．本题考查解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16.【答案】2【解析】解：由已知可得，矩形A的周长是(6+1)×2=14，面积是6×1=6，则矩形B的周长是7，面积是3，设矩形B的长为x，则宽为3.5−x，则x(3.5−x)=3，解得，x1=2，x2=1.5，当x=2时，3.5−x=1.5，此时长大于宽，符合实际；当x=1.5时，3.5−x=2，此时长小于宽，不符合实际；由上可得，矩形B的长为2，故答案为：2．根据题意，可以先求出矩形A的周长和面积，从而可以得到矩形B的周长和面积，然后设矩形B的长为x，然后根据矩形的面积=长×宽，即可得到相应的方程，从而可以得到矩形B的长．本题考查一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答．17.【答案】(√3)40432【解析】解：作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如右图所示，由已知可得，∠ABC=120°，BC=1，∠CAB=30°，∴∠CBE=60°，∴∠BCE=30°，∴CE=√32，∴AC=√3，∴菱形ABCD的面积是1×√32=√32，∵ACAB =√31，图中的菱形都是相似的，∴菱形AC2020C2021D2021的面积为：√32×[(√31)2]2021=√32×(√3)4042=(√3)40432，故答案为：(√3)40432．根据题意，可以求得菱形ABCD的面积，再根据题意，可以知所有的菱形都相似，即可得到菱形AC2020C2021D2021的面积．本题考查图形的相似、菱形的性质、图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形的变化特点，利用数形结合的思想解答．18.【答案】解：原式=6×12−43×√32−2×1+2√3=3−2√33−2+2√33=1．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入计算即可解答本题．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．19.【答案】解：(1)画树状图如图：所有可能出现的结果由6个；(2)由树状图得：所有可能出现的结果由6个，恰好选中医生丙和护士B的结果有1个，∴恰好选中医生丙和护士B的概率为16．【解析】(1)画出树状图即可；(2)所有可能出现的结果由6个，恰好选中医生丙和护士B的结果有1个，再由概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．20.【答案】解：∵AB//CD，∴∠B=∠C，∵∠EAF=∠C，∴∠B=∠EAF，∵∠AFE=∠BFA，∴△AFE∽△BFA，∴AFBF =EFAF，∵AF=6，FB=8，∴68=EF6，∴EF=92．【解析】根据题意和相似三角形的判定方法，可以得到△AFE∽△BFA，从而可以得到AF BF =EFAF，然后代入数据计算即可．本题考查相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：(1)将x=1代入方程x2+ax+a−2=0得，1+a+a−2=0，解得，a=12；方程为x 2+12x −32=0，即2x 2+x −3=0，设另一根为x 1，则1⋅x 1=−32，x 1=−32．(2)∵△=a 2−4(a −2)=a 2−4a +8=a 2−4a +4+4=(a −2)2+4>0， ∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【解析】(1)将x =1代入方程x 2+ax +a −2=0得到a 的值，再根据根与系数的关系求出另一根；(2)写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用． 22.【答案】解：(1)∵反比例函数y =kx (k ≠0)图象经过A(1,3)，∴k =1×3=3，∴反比例函数的表达式是y =3x ，∵反比例函数y =3x 的图象过点B(m,1)，∴m =3，∴B(3,1)．∵一次函数y =ax +b 图象相交于A(1,3)，B(3,1)．∴{a +b =33a +b =1， 解得{a =−1b =4， ∴一次函数的表达式是y =−x +4；(2)由图象知，当x <1或x >3时，反比例函数的值大于一次函数的值；(3)如图所示△OA′B′和△OA″B″即为所求．【解析】(1)由反比例函数图象过点A ，可求出反比例函数的表达式，再求出点B 的坐标，然后将A 点坐标代入y =−x +b ，可求一次函数的表达式；(2)根据图象即可得到结论；(3)根据题意画出图形即可．本题考查了反比例函数综合题，一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．23.【答案】证明：(1)∵DE//BC，DF//AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE//BC，∴∠EDB=∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBF=12∠ABC，∴∠ABD=∠EDB，∴DE=BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；(2)如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF//AB，∴∠ABC=∠DFC=60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH=30°，∴FH=12DF，DH=√3FH=√32DF，∵∠C=45°，DH⊥BC，∴∠C=∠HDC=45°，∴DC=√2DH=√62DF=6，∴DF=2√6，∴菱形BEDF的边长为2√6．【解析】(1)由题意可证BE=DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF 为菱形；(2)过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，掌握菱形的判定定理是本题的关键．24.【答案】证明：(1)∵DF⊥BC，∴∠BFD=90°=∠A，又∵∠B=∠B，∴△DBF∽△CBA；(2)∵∠A=90°，AB=6，AC=8，∴BC=√AB2+AC2=√36+64=10，∵△DBF∽△CBA，∴BFBA =BDBC，∴BFBD =610=35，∴BF=35BD，∵四边形BDEF是平行四边形，∴BF=DE，∵DE//BC，∴∠ADE=∠B，又∵∠A=∠DFB=90°，∴△ADE∽△FBD，∴ADDE =BFBD，∴(6−BD)⋅BD=BF2=925BD2，∴BD=0(舍去)，BD=7517，∴BF=35×7517=4517；(3)如图2，当∠EDF=90°，DE=DF时，∵DE//BC，∴∠EDF=∠DFB=90°，∵△DBF∽△CBA，∴DFAC =BFAB=BDBC，∴DF8=BF6=BD10，∴设BF=3x，DF=4k，BD=5k，∴DE=4k，AD=6−5k，∵cos∠ADE=cosB=ADDE =ABBC，∴6−5k4k =610，∴k=3037，∴DE=12037；当∠DEF′=90°，DE=EF′时，又∵∠EDF=∠DFF′=90°，∴四边形DEF′F是矩形，∴DF=EF′=12037，∴DE=12037；当∠DF′′E=90°，DF′′=EF′′时，过点A作AH⊥BC于H，过点F′′作F′′N⊥DE于N，∵S△ABC=12×AB×AC=12BC×AH，∴6×8=10AH，∴AH=4.8，∵∠DF′′E=90°，DF′′=EF′′，F′′N⊥DE，∴DN=NE=NF′′=12DE，∵△ADE∽△ABC，∴DEBC =AH−NF″AH，∴DE10=4.8−12DE4.8，∴DE =24049，综上所述：DE 的长为12037或24049．【解析】(1)由相似三角形的判定可得结论；(2)由勾股定理可求BC 的长，由相似三角形的性质可求BF =35BD ，通过证明△ADE∽△FBD ，可得AD DE =BF BD ，可求BD 的长，即可求解；(3)分三种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质，可求解．本题是相似三角形的综合题，考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 25.【答案】解：(1)∵二次函数y =ax 2−5ax +2的图象交x 轴于点A(1,0)， ∴0=a −5a +2，∴a =12，∴二次函数的解析式y =12x 2−52x +2；(2)∵二次函数y =12x 2−52x +2的图象交x 轴于点A(1,0)和点B ，交y 轴于点C ． ∴点C(0,2)，点B(4,0)，∵点D(1,3)，∴CD =√(1−0)2+(3−2)2=√2，DB =√(4−1)2+(3−0)2=3√2，BC =√16+4=2√5，∵CD 2+DB 2=20，BC 2=20，∴CD 2+DB 2=BC 2，∴∠CDB =90°，∴tan∠CBD =CD DB =√23√2=13； (3)如图，当点E 在x 轴上方时，在AB 上截取AH =AF ，连接HF∵点C(0,2)，点B(4,0)，∴直线BC解析式为y=−12x+2，当x=1时，y=32，∴点H(1,32)，∴AH=32，∴AH=AF=32，HF=3√22，∴∠AFH=45°，BF=32，∴∠BFH=135°，∵点A(1,0)，点B(4,0)，点D(1,3)，∴AD=3=AB，DB=3√2，∴∠ADB=∠ABD=45°=∠CBE，∴∠ABC=∠EBD，∠BDE=∠HFB=135°，∴△BFH∽△BDE，∴BDBF =DEHF，∴3√232=32√2，∴DE=6，∴点E(1,9)；当点E′在x轴下方时，∵∠E′BC=45°=∠EBC，∴∠EBE′=90°，∴∠BEE′+∠EE′B=90°=∠BEE′+∠ABE=∠BE′E+∠ABE′，∴∠BEE′=∠ABE′，∠EBA=∠AE′B，∴△ABE∽△AE′B，∴ABAE =AE′AB，∴9=9×AE′，∴AE′=1，∴点E′(1,−1)，综上所述：点E(1,9)或(1,−1)．【解析】(1)利用待定系数法可求解析式；(2)先求出点C，点B，点D坐标，由两点距离公式可求CD，BD，BC的长，由勾股定理的逆定理可求∠CDB=90°，即可求解；(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．。
2020-2021学年广东省佛山市南海区八年级(下)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年广东省佛山市南海区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，共30分）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）23．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x＞2D．x≠04．下列不等式变形正确的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1B．由5x＞3得x＞15C．由﹣2x＜4得x＜﹣2D．由＞0得y＞05．+的运算结果正确的是（）A．B．C．D．a+b6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD ＝（）A．56B．28C．14D．127．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（）A．32°B．36°C．40°D．42°8．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A．16B．20C．22D．269．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（）A．B．C．D．10．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D 运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（）A．6B．8C．10D．12二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．因式分解：x2﹣4x＝．12．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是．13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为．14．分式方程的解是．15．▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AD＝cm．17．如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①连接BD，∠BDC＝45°；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2．请写出所有正确结论的序号是．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A （2，﹣2），B（0，﹣5），C（0，﹣2）．（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则A1的坐标为．（2）平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为（2，3），画出平移后对应的△A2B2C2，则A2的坐标为．（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为．22．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．23．2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价．（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k ≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．根据信息解答下列问题：（1）求直线l1的表达式．（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．25．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．（1）求证：△CEF是等边三角形．（2）△AEF的周长最小值是．（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题的四个选项中，只有一项正确）1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．2．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）A．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1B．x2﹣2x+1＝x（x﹣2）+1C．a（x﹣y）＝ax﹣ay D．x2+2x+1＝（x+1）2解：A、（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，从左到右是整式的乘法运算，不合题意；B、x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，不合题意；C、a（x﹣y）＝ax﹣ay，不合题意；D、x2+2x+1＝（x+1）2，从左到右是因式分解，符合题意．故选：D．3．若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x＞2D．x≠0解：∵分式有意义，∴x﹣2≠0，∴x≠2，故选：B．4．下列不等式变形正确的是（）A．由4x﹣1≥0得4x＞1B．由5x＞3得x＞15C．由﹣2x＜4得x＜﹣2D．由＞0得y＞0解：A、由4x﹣1≥0得4x≥1，原变形错误，故此选项不符合题意；B、由5x＞3得x＞，原变形错误，故此选项不符合题意；C、由﹣2x＜4得x＞﹣2，原变形错误，故此选项不符合题意；D、由＞0得y＞0，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D．5．+的运算结果正确的是（）A．B．C．D．a+b解：+＝+＝故+的运算结果正确的是．故选：C．6．如图，在Rt△ABC中∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线，若CD＝4，AB＝14，则S△ABD ＝（）A．56B．28C．14D．12解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C＝90°，∴DE＝CD＝4，∴△ABD的面积＝AB•DE＝×14×4＝28．故选：B．7．如图，将边长相等的正方形、正五边形和正六边形摆放在平面上，则∠1为（）A．32°B．36°C．40°D．42°解：正方形的内角为90°，正五边形的内角为＝108°，正六边形的内角为＝120°，∠1＝360°﹣90°﹣108°﹣120°＝42°，故选：D．8．如图，已知AB＝AC，AB＝10，BC＝6，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，直线MN与AC相交于点D，则△BDC的周长为（）A．16B．20C．22D．26解：∵AB＝AC，AB＝10，∴AC＝10，由作法得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝DB+DC+BC＝DA+DC+BC＝AC+BC＝10+6＝16．故选：A．9．如图是一个装饰连续旋转闪烁所成的四个图形，照此规律闪烁，第2021次闪烁呈现出来的图形是（）A．B．C．D．解：观察图形的变化可知：每旋转一次，旋转角为90°，即每4次旋转一周，∵2021÷4＝505...1，即第2021次与第1次的图案相同．故选：A．10．如图，在▱ABCD中，已知AD＝15cm，点P在AD边上以1cm/s的速度从点A向点D 运动，点Q在BC边上以4cm/s的速度从点C出发在BC上往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），设运动时间为t（s）（t＞0），若以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形，则t的值错误的是（）A．6B．8C．10D．12解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∵P在AD上运动，∴t≤15÷1＝15，即t≤15，∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，∴DP＝BQ，分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B﹣C，由题意得：4t﹣15＝15﹣t，解得：t＝6；②点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，由题意得：15﹣（4t﹣30）＝15﹣t，解得：t＝10；③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，由题意得：4t﹣45＝15﹣t，解得：t＝12；综上所述，t的值为6或10或12，故选：B．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．因式分解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．解：x2﹣4x＝x（x﹣4）．故答案为：x（x﹣4）．12．点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（﹣1，1）．解：点M（2，﹣1）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（2﹣3，﹣1+2），即（﹣1，1），故答案为：（﹣1，1）．13．已知实数x、y满足|x﹣6|+（y﹣7）2＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长为19或20．解：根据题意得x﹣6＝0，y﹣7＝0，解得x＝6，y＝7，①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、7，能组成三角形，三角形的周长为19．②6是底边时，三角形的三边分别为6、7、7，能组成三角形，三角形的周长为20．故答案为19或20．14．分式方程的解是x＝3．解：去分母得：x＝3（x﹣2），去括号得：x＝3x﹣6，解得：x＝3，经检验x＝3是分式方程的解．15．▱ABCD中，∠A+∠C＝200°，则∠A＝100°．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，又∵∠A+∠C＝200°，∴∠A＝100°．故答案是：100°．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB交AB于点D，∠A＝30°，BD＝1.5cm，则AD＝ 4.5cm．解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠BCD＝∠A＝30°，∵BD＝1.5cm，∴BC＝2BD＝3cm，AB＝2BC＝6cm，∴AD＝AB﹣BD＝4.5cm．故答案是：4.5．17．如图，在△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC＝DC，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：①连接BD，∠BDC＝45°；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2．请写出所有正确结论的序号是①②④．解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°，∵∠DAB+∠CAB＝∠ACE+∠E，∴∠DAB＝∠ACE，故②正确；∴∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠CDB＝∠E＝45°，故①正确；∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°，∴∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°，∴△ADB是直角三角形，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD2+AE2＝AB2，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∴AE2+AD2＝2AC2，故④正确；在AD上截取DF＝AE，连接CF，如图所示：在△ACE和△FCD中，，∴△ACE≌△FCD（SAS），∴AC＝FC，当∠CAF＝60°时，△ACF是等边三角形，则AC＝AF，此时AE+AC＝DF+AF＝AD，故③不正确；故答案为：①②④．三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）18．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．解：解①得：x＞2，解②得：x≥﹣1，∴不等式组的解集是x＞2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：19．先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝2021．解：（﹣1）÷＝•＝＝﹣，当x＝2021时，原式＝﹣＝﹣．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB边上的垂直平分线DE，交AC于点D，交AB于点E，连接BD，求证：BD平分∠CBA．【解答】证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A＝30°，∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣30°＝30°，∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）21．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，Rt△ABC的三个顶点分别为A （2，﹣2），B（0，﹣5），C（0，﹣2）．（1）画△A1B1C1，使它与△ABC关于点C成中心对称，则A1的坐标为（﹣2，﹣2）．（2）平移△ABC，使点B的对应点B2的坐标为（2，3），画出平移后对应的△A2B2C2，则A2的坐标为（4，6）．（3）若将△A1B1C1绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为（1，2）．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1的坐标为（﹣2，﹣2）．故答案为：（﹣2，﹣2）．（2）如图，△A2B2C2即为所求，A2的坐标为（4，6）．故答案为：（4，6）．（3）旋转中心P的坐标为（1，2），故答案为：（1，2）．22．如图1，在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形DEFC是平行四边形．（2）如图2，当△ABC是等边三角形且边长是8，求四边形DEFC的面积．【解答】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC，DE∥BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，∴四边形DEFC是平行四边形．（2）解：过点D作DH⊥BC于H，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，D为AB的中点∴∠B＝60°，BD＝AB＝4，∵∠DHB＝90°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝DB＝2，∴DH＝＝，∵CF＝CB＝4，∴S四边形DEFC＝CF•DH＝4×2＝8．23．2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式．某小区准备购买A、B两种分类垃圾桶，通过市场调研得知：A种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元，且用8000元购买A种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等．（1）求A、B两种垃圾桶每组的单价．（2）该小区物业计划用不超过18000元的资金购买A、B两种垃圾桶共40组．则最多可以购买B种垃圾桶多少组？解：（1）设A种垃圾桶每组的单价为x元，则B种垃圾桶每组的单价为（x+150）元，依题意得：，解得：x＝400，经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意，∴x+150＝400+150＝550（元）．答：A种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元．（2）设购买B种垃圾桶y组，则购买A种垃圾桶（40﹣y）组，依题意得：400（40﹣y）+550y≤18000，解得：y≤，又∵y为正整数，∴y的最大值为13．答：最多可以购买B种垃圾桶13组．五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）24．在学习一元一次不等式与一次函数中，小明在同一个坐标系中发现直线l1：y1＝kx+b（k ≠0）与x轴交于点A且与直线l2：y2＝x交于点B，并且有如下信息：①当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2．②当y1＜0时，x＜﹣4．根据信息解答下列问题：（1）求直线l1的表达式．（2）过点A的直线l3：y3＝与直线l2交于点C，求△ABC的面积．（3）若点D是x轴上的动点，点E是直线AB上的动点，是否存在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的D点坐标．若不存在，请说明理由．解：（1）∵当x＞2时，y1＜y2；当x＜2时，y1＞y2，∴点B的横坐标为2，当x＝2时，y2＝×2＝3，∴直线l1，l2的交点坐标为B（2，3），∵当y1＜0时，x＜﹣4，∴直线l1与x轴的交点坐标为A（﹣4，0），将A（﹣4，0），B（2，3）代入y1＝kx+b中，∴，解得：，∴直线l1的表达式为y1＝x+2；（2）联立，解得：，∴直线l2，l3的交点坐标为C（﹣1，﹣），∴S△ABC＝＝9；（3）存在，∵点E是直线AB上的动点，点D是x轴上的动点，∴设E点坐标为（x，x+2），D点坐标为（m，0），又∵A（﹣4，0），C（﹣1，﹣），在以A、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形中，①当AC，DE为平行四边形的对角线时，，解得，∴此时D点坐标为（2，0），②当AD，CE为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（2，0），③当AE，CD为平行四边形的对角线时，，解得，此时D点坐标为（﹣10，0），综上，满足条件的点D的坐标为（2，0）或（﹣10，0）．25．如图，两个全等的等边三角形△ABC与△ACD，拼成的四边形ABCD中，AC＝6，点E、F分别为AB、AD边上的动点，满足BE＝AF，连接EF交AC于点G，连接BD与CE、AC、CF分别交于点M、O、N，且AC⊥BD．（1）求证：△CEF是等边三角形．（2）△AEF的周长最小值是6+3．（3）若BE＝3，求证：BM＝MN＝DN．【解答】（1）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，∴AC＝BC，∠ABC＝∠DAC＝∠BCA＝60°，∵AF＝BE，在△CBE和△CAF中，，∴△BEC≌△AFC（SAS），∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，∴∠ECF＝∠BCA＝60°，∴△CEF是等边三角形．（2）解：∵△AEF的周长＝AE+AF+EF＝AE+BE+EF＝AB+EF＝6+EF，∴EF的值最小时，△AEF的周长最小，∵△ECF是等边三角形，∴EF＝CE，∴当CE⊥AB时，CE的值最小，此时CE＝AC•sin60°＝3，∴△AEF的周长的最小值为6+3，故答案为：6+3．（3）证明：∵△ABC，△ACD是全等的等边三角形，AC⊥BD ∴AO＝CO，BO＝DO，∠ABO＝∠ABC＝30°∵BE＝3，AB＝AC＝6，∴点E为AB中点，点F为AD中点，∴AO＝AB＝3，∴BO＝，∴BD＝6，∵△ABC是等边三角形，BE＝AE＝3，∴CE⊥AB，∴BM＝2EM，∴∴BM＝2，同理可得DN＝2，∴MN＝BD﹣BM﹣DN＝2∴BM＝MN＝DN．。
2020-2021学年广东省广州五中九年级(上)开学数学试卷 word版含解析
2020-2021学年广东省广州五中九年级（上）开学数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y =13xB ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x +12．（3分）下列各式计算正确的是（ ） A ．√2+√3=√5B ．√(−3)2=−3C ．(√3−√2)2=1D ．√18−√8√2=1 3．（3分）在体育中考跳绳项目中，某小组的9位成员跳绳次数如下：175、176、175、180、179、176、180、176、180，这组数据的众数为（ ） A ．176B ．175和176C ．178D ．176和1804．（3分）方程x 2﹣5x ﹣8＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定5．（3分）如图，矩形ABCD 的长和宽分别为6和4，E 、F 、G 、H 依次是矩形ABCD 各边的中点，则四边形EFGH 的周长等于（ ）A ．20B ．10C ．4√13D ．2√136．（3分）一次函数y 1＝kx +b 与y 2＝x +a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＜4时，y 1＜y 2；④b ＜0．其中正确结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个7．（3分）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 的中点，则PM 的最小值为（ ）A ．1.2B ．1.3C ．1.4D ．2.48．（3分）设681×2019﹣681×2018＝a ，2015×2016﹣2013×2018＝b ，√6782+1358+690+678=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a9．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC ＝1，则AB 的长度为（ ）A ．√2B ．√2+12C ．√5+12D ．4310．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx +k 与x 轴，y 轴分别交于点B 、A ，将线段AB 沿某个方向平移，点A 、B 对应的点M 、N 恰好在直线y ＝2x ﹣2和直线x ＝2上，则当四边形AMNB 为菱形时N 点坐标为（ ）A ．（2，1）B ．（2，2）C ．（2，3）D ．（2，4）二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）二次根式√x −5有意义，则x 的取值范围是 ．12．（3分）在一场比赛中，甲、乙两名射击手的5次射击成绩统计如图所示，分别记甲、乙两人这场比赛成绩的方差为S 甲2，S 乙2，则S 甲2 S 乙2（填“＞”或“＜”）．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD=√5，则BC的长为．14．（3分）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n ＝8，则直线AB的表达式为．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，BE的长为．16．（3分）如图，在等边△ABC和等边△DEF中，FD在直线AC上，BC＝3DE＝3，连接BD，BE，则BD+BE的最小值是．三、解答题17．计算：（1）√20+√12×√10．（2）（1﹣2√3）2√3（√17+√8）0． 18．解方程：（1）x 2+4x +2＝0． （2）x 2﹣x +1＝0．19．如图，四边形ABCD 是正方形，对角线AC 、BD 相交于点F ，∠E ＝90°，ED ＝EC ．求证：四边形DFCE 是正方形．20．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下： 使用次数 0 5 10 15 20 人数11431（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是 次，众数是 次，平均数是 次．（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是 ．（填“中位数”，“众数”或“平均数”）（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 21．点P （x ，y ）是第一象限内一个动点，过点P 分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M ，N ，已知矩形PMON 的周长为8．（1）求y 关于x 的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范围；（2）直线l 与（1）中的函数图象交于A （1，a ），与x 轴交于点B （﹣1，0）． ①求直线l 的解析式；②已知点P 不与点A 重合，且△ABP 的面积为54，直接写出P 点的坐标．22．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x≤50和x＞50时，y与x之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w（元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a千克，且销售完a千克水果获得的利润不少于1650元，求a的最小值．23．如图，已知x轴上有点A（﹣3，0）和点B（1，0），点P是直线y＝x上的动点．（1）当直线y＝x平分∠APB时，求点P的坐标．（2）若点B关于直线AP的对称点B'恰好在线段AB的垂直平分线上时，求点P的坐标．（3）若点Q为（0，4），请直接写出到直线AQ与到直线AB距离相等的点P的坐标．24．如图，正方形ABCD的边OA、OC在坐标轴上，已知点B（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转一定的角度（小于90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连接AP、AG．（1）求∠P AG的度数．（2）当∠OAG＝∠CPG时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标，若不存在，请说明理由．25．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．（1）如图1，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°．①∠GBC+∠DEF＝．②猜想线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当EF与AB相交时，且∠DCB＝60°，当AE＝2时，请用线段EG的长表示△AGB的面积．2020-2021学年广东省广州五中九年级（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y =13xB ．y ＝2x ﹣1C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x +1【解答】解：A ．y =13x 是正比例函数，故符合题意； B ．y ＝2x ﹣1是一次函数，故不符合题意； C ．y ＝2x 2是二次函数，故不符合题意； D ．y ＝2x +1是一次函数，故不符合题意； 故选：A ．2．（3分）下列各式计算正确的是（ ） A ．√2+√3=√5B ．√(−3)2=−3C ．(√3−√2)2=1D ．√18−√8√2=1 【解答】解：A ． √2与√3不能合并，所以A 选项不符合题意； B ．原式＝3，所以B 选项不符合题意；C ．原式＝3﹣2√6+2＝5﹣2√6，所以C 选项不符合题意；D ．原式=√182−√82=3﹣2＝1，所以D 项符合题意． 故选：D ．3．（3分）在体育中考跳绳项目中，某小组的9位成员跳绳次数如下：175、176、175、180、179、176、180、176、180，这组数据的众数为（ ） A ．176B ．175和176C ．178D ．176和180【解答】解：这组数据中176和180都出现3次，次数最多， 所以这组数据的众数为176和180， 故选：D ．4．（3分）方程x 2﹣5x ﹣8＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定【解答】解：∵x 2﹣5x ﹣8＝0，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣8）＝57＞0，∴方程x2﹣3x﹣5＝0有两个不相等的实数根，故选：B．5．（3分）如图，矩形ABCD的长和宽分别为6和4，E、F、G、H依次是矩形ABCD各边的中点，则四边形EFGH的周长等于（）A．20B．10C．4√13D．2√13【解答】解：如图，连接BD，AC．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，∠DAB＝90°，则由勾股定理易求得BD＝AC＝2√13．∵矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，∴EF为△ABC的中位线，∴EF=12AC=√13，EF∥AC，又GH为△BCD的中位线，∴GH=12AC=√13，GH∥AC，∴HG＝EF，HG∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．同理可得：FG=12BD=√13，EH=12BD=√13，∴EF＝GH＝FG＝EH=√13，∴四边形EFGH是菱形．∴四边形EFGH的周长是：4EF＝4√13，故选：C．6．（3分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＜4时，y1＜y2；④b＜0．其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：根据图象y1＝kx+b经过第一、二、四象限，∴k＜0，b＞0，故①正确，④错误；∵y2＝x+a与y轴负半轴相交，∴a＜0，故②错误；当x＜4时图象y1在y2的上方，所以y1＞y2，故③错误．所以正确的有①共1个．故选：D．7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE ⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．1.2B．1.3C．1.4D．2.4【解答】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC=√32+42=5，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP．∵M是EF的中点，∴PM=12AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样PM 也最短， ∴当AP ⊥BC 时，AP =3×45=2.4， ∴AP 最短时，AP ＝2.4，∴当PM 最短时，PM =12AP ＝1.2． 故选：A ．8．（3分）设681×2019﹣681×2018＝a ，2015×2016﹣2013×2018＝b ，√6782+1358+690+678=c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜b ＜a【解答】解：a ＝681×（2019﹣2018）＝681， b ＝2015×（2015+1）﹣（2015﹣2）×（2015+3） ＝20152+2015﹣（20152+2015﹣6） ＝6，c =√6782+2×678+12+690+679 =√(678+1)2+679×2+1+10 =√(679+1)2+10 =√6802+10， ∵6＜√6802+10＜681， ∴b ＜c ＜a ， 故选：B ．9．（3分）如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC ＝1，则AB 的长度为（ ）A ．√2B ．√2+12C ．√5+12D ．43【解答】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DA'E＝∠A＝90°，∠ADE=12∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=√2AD=√2，由第二次折叠知，CD＝DE=√2，∴AB=√2．故选：A．10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx+k与x轴，y轴分别交于点B、A，将线段AB沿某个方向平移，点A、B对应的点M、N恰好在直线y＝2x﹣2和直线x＝2上，则当四边形AMNB为菱形时N点坐标为（）A．（2，1）B．（2，2）C．（2，3）D．（2，4）【解答】解：∵直线y＝kx+k与x轴，y轴分别交于点B、A，∴B（﹣1，0），A（0，k），设N（2，a），∵四边形AMNB为菱形，∴M（3，a+k），∵点M在直线y＝2x﹣2上，∴M（3，4），即a+k＝4，∵四边形AMNB为菱形，∴AB＝BN，∴k2+1＝a2+32，∴a＝1，k＝3，∴N（2，1）．故选：A．二、填空题（每小题3分，共18分）11．（3分）二次根式√x−5有意义，则x的取值范围是x≥5．【解答】解：根据题意得：x﹣5≥0，解得x≥5．故答案为：x≥5．12．（3分）在一场比赛中，甲、乙两名射击手的5次射击成绩统计如图所示，分别记甲、乙两人这场比赛成绩的方差为S甲2，S乙2，则S甲2＜S乙2（填“＞”或“＜”）．【解答】解：从统计图中可以直观得出，射击手甲的成绩比较稳定，离散程度较小，而射击手乙的成绩离散程度较大，不稳定，所有甲的方差小于乙的方差，故答案为：＜．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD=√5，则BC的长为√5+1．【解答】解：∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠DAB，∴DB＝DA=√5，在Rt△ADC中，DC=√AD2−AC2=√(√5)2−22=1，∴BC=√5+1．故答案为：√5+1．14．（3分）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），且2m+n ＝8，则直线AB的表达式为y＝﹣2x+8．【解答】解：设直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，则直线AB的解析式可设为y＝﹣2x+b，把点（m，n）代入得n＝﹣2m+b，解得b＝2m+n，∵2m+n＝8，∴b＝8，∴直线AB的解析式可设为y＝﹣2x+8．故故答案是：y＝﹣2x+8．15．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处．当△CEB'为直角三角形时，BE的长为32或3．【解答】解：如图1中，当A，B′，C共线时，∠EB′C＝90°．四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°，∴AC =√AB 2+BC 2=√32+42=5， ∵AB ＝AB ′＝3，∴CB ′＝5﹣3＝2，设BE ＝EB ′＝x ，则EC ＝4﹣x ， 在Rt △CEB ′中，∵CE 2＝B ′E 2+B ′C 2， ∴（4﹣x ）2＝22+x 2， ∴x =32，如图2中，当点B ′落在AD 上时，∠CEB ′＝90°，此时四边形ABEB ′是正方形， ∴BE ＝AB ＝3，综上所述，满足条件的BE 的值为32或3．16．（3分）如图，在等边△ABC 和等边△DEF 中，FD 在直线AC 上，BC ＝3DE ＝3，连接BD ，BE ，则BD +BE 的最小值是 √37 ．【解答】解：如图，延长CB到T，使得BT＝DE，连接DT，作点B关于直线AC的对称点W，连接TW，DW，过点W作WK⊥BC交BC的延长线于K．∵△ABC，△DEF都是等边三角形，BC＝3DE＝3，∴BC＝AB＝3，DE＝1，∠ACB＝∠EDF＝60°，∴DE∥TC，∵DE＝BT＝1，∴四边形DEBT是平行四边形，∴BE＝DT，∴BD+BE＝BD+DT，∵B，W关于直线AC对称，∴CB＝CW＝3，∠ACW＝∠ACB＝60°，DB＝DW，∴∠WCK＝60°，∵WK⊥CK，∴∠K＝90°，∠CWK＝30°，∴CK=12CW=32，WK=√3CK=3√32，∴TK＝1+3+32=112，∴TW=√TK2+WK2=(112)2+(3√32)2=√37，∴DB+BE＝DB+DT＝DW+DT≥TW，∴BD+BE≥√37，∴BD+BE的最小值为√37．故答案为√37．三、解答题17．计算：（1）√20+√12×√10．（2）（1﹣2√3）212√3（√17+√8）0．【解答】解：（1）原式＝2√5+√12×10＝2√5+√5＝3√5；（2）原式＝1﹣4√3+12√3√3×√31＝13﹣4√3+4√3−1＝12．18．解方程：（1）x2+4x+2＝0．（2）x2﹣x+1＝0．【解答】解：（1）方程整理得：x2+4x＝﹣2，配方得：x2+4x+4＝2，即（x+2）2＝2，开方得：x+2＝±√2，解得：x1＝﹣2+√2，x2＝﹣2−√2；（2）这里a＝1，b＝﹣1，c＝1，∵b2﹣4ac＝1﹣4＝﹣3＜0，∴此方程无解．19．如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点F，∠E＝90°，ED＝EC．求证：四边形DFCE是正方形．【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠FDC ＝∠DCF ＝45°， ∵∠E ＝90°，ED ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠ECD ＝45°， ∴∠FCE ＝∠FDE ＝∠E ＝90°， ∴四边形DFCE 是矩形， ∵DE ＝CE ，∴四边形DFCE 是正方形．20．为了解某小区居民使用共享单车次数的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数统计如下： 使用次数 0 5 10 15 20 人数11431（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是 10 次，众数是 10 次，平均数是 11 次．（2）若小明同学把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是 中位数和众数 ．（填“中位数”，“众数”或“平均数”）（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 【解答】解：（1）这10位居民一周内使用共享单车次数的中位数是10+102=10（次），众数为10次， 平均数为0×1+5×1+10×4+15×3+20×110=11（次），故答案为：10、10、11；（2）把数据“20”看成了“30”，那么中位数，众数和平均数中不受影响的是中位数和众数，故答案为：中位数和众数．（3）估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数为200×11＝2200次．21．点P （x ，y ）是第一象限内一个动点，过点P 分别作两坐标轴的垂线，垂足分别为M ，N ，已知矩形PMON 的周长为8．（1）求y 关于x 的函数关系式，直接写出自变量x 的取值范围；（2）直线l 与（1）中的函数图象交于A （1，a ），与x 轴交于点B （﹣1，0）． ①求直线l 的解析式；②已知点P 不与点A 重合，且△ABP 的面积为54，直接写出P 点的坐标．【解答】解：（1）由题意可知，2（x +y ）＝8， ∴y ＝4﹣x （0＜x ＜4）．（2）∵直线l 与（1）中的函数图象交于A （1，a ）， ∴a ＝4﹣1＝3 ∴A （1，3），①设直线l 的解析式为y ＝kx +b ，把A （1，3），B （﹣1，0）代入得{k +b =3−k +b =0，解得{k =32b =32， ∴直线l 的解析式为y =32x +32；②如图，∵P （x ，y ）的横坐标和纵坐标的关系式为y ＝4﹣x ， ∴图象与坐标轴的交点E （4，0），F （0，4）， ∴OE ＝OF ＝4， ∴∠AEB ＝45°， 作BD ⊥EF 于D ， ∵BE ＝5， ∴BD =5√22， ∵△ABP 的面积为54，∴12P A •BD =54，即12×5√22•P A =54，∴P A =√22，∴P （12，72）或（32，52）．22．受新冠肺炎疫情影响，一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售．“一方有难，八方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲，乙两种水果进行销售．专业户为了感谢经销商的援助，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/千克的价格出售．设经销商购进甲种水果x 千克，付款y 元，y 与x 之间的函数关系如图所示．（1）直接写出当0≤x ≤50和x ＞50时，y 与x 之间的函数关系式；（2）若经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共100千克，且甲种水果不少于40千克，但又不超过60千克．如何分配甲，乙两种水果的购进量，才能使经销商付款总金额w （元）最少？（3）若甲，乙两种水果的销售价格分别为40元/千克和36元/千克．经销商按（2）中甲，乙两种水果购进量的分配比例购进两种水果共a 千克，且销售完a 千克水果获得的利润不少于1650元，求a 的最小值．【解答】解：（1）当0≤x ≤50时，设y ＝k 1x ，根据题意得50k 1＝1500， 解得k 1＝30； ∴y ＝30x ；当x ＞50时，设y ＝k 2x +b ，根据题意得，{50k 2+b =150070k 2+b =1980，解得{k 2=24b =300， ∴y ＝24x +300．∴y ={30x(0≤x ≤50)24x +300(x ＞50)，（2）设购进甲种水果为a 千克，则购进乙种水果（100﹣a ）千克，∴40≤a ≤60，当40≤a ≤50时，w 1＝30a +25（100﹣a ）＝5a +2500．当a ＝40 时．w min ＝2700 元，当50＜a ≤60时，w 2＝24a +300+25（100﹣a ）＝﹣a +2800．当a ＝60时，w min ＝2740 元，∵2740＞2700，∴当a ＝40时，总费用最少，最少总费用为2700 元．此时乙种水果100﹣40＝60（千克）．答：购进甲种水果为40千克，购进乙种水果60千克，才能使经销商付款总金额w （元）最少．（3）由题意可设甲种水果为25a 千克，乙种水果为35a 千克 当0≤25a ≤50时，即0≤a ≤125，则甲种水果的进货价为30元/千克，（40﹣30）×25a +（36﹣25）×35a ≥1650，解得a ≥825053＞125， 与0≤a ≤125矛盾，故舍去；当25a ＞50时，即a ＞125， 则甲种水果的进货总成本是（9.6a +300）元，25a ×40−(25a ×24+300)+35a ×(36−25)≥1650，解得a ≥150，∴a 的最小值为150．23．如图，已知x 轴上有点A （﹣3，0）和点B （1，0），点P 是直线y ＝x 上的动点．（1）当直线y ＝x 平分∠APB 时，求点P 的坐标．（2）若点B 关于直线AP 的对称点B '恰好在线段AB 的垂直平分线上时，求点P 的坐标．（3）若点Q 为（0，4），请直接写出到直线AQ 与到直线AB 距离相等的点P 的坐标．【解答】解：（1）连接AP ，BP ，设AP 与y 轴的交点为点C ，∵直线y ＝x 是一、三象限的角平分线，∴∠COP ＝∠BOP ，∵直线y ＝x 平分∠APB ，∴∠CPO ＝∠BPO ，又∵OP ＝OP ，∴△CPO ≌△BPO （ASA ），∴CO ＝BO ＝1，∴C （0，1），由点A （﹣3，0），C （0，1）得直线AP 的解析式为，y =13x +1，由{y =13x +1y =x ，得：{x =32y =32， ∴P （32，32）． （2）由点A （﹣3，0），点B （1，0）知线段AB 的中垂线为直线x ＝﹣1，设线段AB 的中点为点C ，则C （﹣1，0），∴AC ＝BC ＝2，OC ＝1，OA ＝3，①当点P 在x 轴上方时，如图1，连接AB '，设直线AP 与y 轴的交点为点D ，∵点B 和点B '关于直线AP 对称，∴∠B 'AP ＝∠BAP ，AB '＝AB ＝4，∵AC ＝2，∴AB '＝2AC ，∴∠AB 'C ＝30°，∠B 'AC ＝60°，∴∠B 'AP ＝∠BAP ＝30°，∵OA ＝3，∴OD =√3，∴D （0，√3），设直线AP 解析式为：y ＝kx +b （k ≠0），则{b =√3−3k +b =0，解得：{k =√33b =√3， ∴AP ：y =√33x +√3，由{y =xy =√33x +√3，得：x ＝y =3+3√32， ∴P （3+3√32，3+3√32）； ②当点P 在x 轴下方时，如图2，连接AB '，设直线AP 与y 轴的交点为点D ，由①可知，OD =−√3，∴D （0，−√3），∴AP ：y =−√33x −√3， 由{y =xy =−√33x −√3，得：x ＝y =3−3√32， ∴P （3−3√32，3−3√32）， ∴综上所述，点P 的坐标为（3+3√32，3+3√32）或（3−3√32，3−3√32）． （3）①当点P 在x 轴上方时，记直线AP 与y 轴的交点为点D ，∵点P 到直线AQ 和直线AB 的距离相等，∴AP 是∠QAB 的角平分线，过点D 作DH ⊥AQ 于点H ，则AH ＝AO ＝3，HD ＝OD ，∵AO ＝3，OQ ＝4，∴AQ ＝5，∴HQ ＝AQ ﹣AH ＝5﹣3＝2，设OD ＝HD ＝a ，则QD ＝4﹣a ，∵HD 2+HQ 2＝QD 2，∴a 2+22＝（4﹣a ）2，解得：a =32，∴OD =32，D （0，32）， 此时，直线AP 的解析式为：y =12x +32，由{y =xy =12x +32，得：x ＝y ＝3，∴P （3，3）；②当点P 在x 轴下方时，记直线AP 与y 轴的交点为点D ，∵点P 到直线AQ 和直线AB 的距离相等，∴AP 是∠QAB 的角平分线，过点D 作DH ⊥AQ 于点H ，则AH ＝AO ＝3，HD ＝OD ，∵AO ＝3，OQ ＝4，∴AQ ＝5，∴HQ ＝HA +AQ ＝3+5＝8，设OD ＝HD ＝a ，则QD ＝4+a ，∵HD 2+HQ 2＝QD 2，∴a 2+82＝（4+a ）2，解得：a ＝6，∴OD ＝6，D （0，﹣6），此时，直线AP 的解析式为：y ＝﹣2x ﹣6，由{y =x y =−2x −6，得：x ＝y ＝﹣2，∴P （﹣2，﹣2）；综上所述：P 点的坐标为（3，3），（﹣2，﹣2）．24．如图，正方形ABCD的边OA、OC在坐标轴上，已知点B（3，3）．将正方形ABCO绕点A顺时针旋转一定的角度（小于90°），得到正方形ADEF，ED交线段OC于点G，ED的延长线交线段BC于点P，连接AP、AG．（1）求∠P AG的度数．（2）当∠OAG＝∠CPG时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，直线PE上是否存在点M，使以M、A、G为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出M点的坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图，在Rt△AOG和Rt△ADG中，{AO=ADAG=AG，∴Rt△AOG≌Rt△ADG（HL），∴∠1＝∠DAG．同理，可证Rt△ABP≌Rt△ADP，∴∠BAP＝∠DAP．∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP＝90°，∴2∠DAG+2∠DAP＝90°，∴∠P AG＝∠DAG+∠DAP＝45°．（2）∵Rt △AOG ≌Rt △ADG ，∴∠AGO ＝∠AGD ．∵∠1+∠AGO ＝90°，∠2+∠PGC ＝90°，∠1＝∠2，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ．又∵∠AGO +∠AGD +∠PGC ＝180°，∴∠AGO ＝∠AGD ＝∠PGC ＝60°，∴∠1＝∠2＝30°．在Rt △AOG 中，AO ＝3，AG ＝2OG ，AG 2＝AO 2+OG 2，∴OG =√3，∴CG ＝3−√3．在Rt △PCG 中，PG ＝2CG ＝2（3−√3），CG ＝3−√3，∴PC =√PG 2−CG 2=√(6−2√3)2−(3−√3)2=3√3−3，∴点P 的坐标为（3，3√3−3）．（3）存在两个M 点，如图所示．①延长GE 交y 轴于点M 1，∵∠AGO ＝∠PGC ，∠PGC ＝∠M 1GO ，∴∠AGO ＝∠M 1GO ．在△AOG 和△M 1OG 中，{∠AOG =∠M 1OGOG =OG ∠AGO =∠M 1GO，∴△AOG ≌△M 1OG （ASA ），∴AG ＝M 1G ，∴△AGM 1为等腰三角形．∵A （0，3），∴点M 1的坐标为（0，﹣3）；②延长GP 与AB 的延长线交于点M 2，作GF ⊥AB 于点F ．∵∠M 2AG ＝∠AGM 2＝60°，∴△AGM 2为等边三角形，∴GF垂直平分线AM2．∵A（0，3），G（√3，0），∴AF＝M2F=√3，∴点M2的坐标为（2√3，3）．综上所述：点M的坐标为（0，﹣3）或（2√3，3）．25．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE＝AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB＝∠EAB，连接AG．（1）如图1，当EF与CD相交时，且∠EAB＝90°．①∠GBC+∠DEF＝90°．②猜想线段EG，AG，BG之间的数量关系，并证明．（2）如图2，当EF与AB相交时，且∠DCB＝60°，当AE＝2时，请用线段EG的长表示△AGB的面积．【解答】解：（1）①如图1中，∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠EAB＝∠EGB＝90°，∴∠AEG+∠ABG＝180°，∵∠AEG+∠DEF＝180°，∴∠DEF＝∠ABG，∵∠GBC+∠ABG＝90°，∴∠GBC+∠DEF＝90°，故答案为：90°．②即可：EG=√2AG﹣BG．理由：如图1中，作∠GAH＝∠EAB交GE于点H．∴∠GAB＝∠HAE．∵∠EGB＝∠EAB＝90°，∴∠ABG+∠AEG＝∠AEG+∠AEH＝180°．∴∠ABG＝∠AEH．∵又AB＝AE，∴△ABG≌△AEH（ASA）．∴BG＝EH，AG＝AH．∵∠GAH＝∠EAB＝90°，∴△AGH是等腰直角三角形．∴√2AG＝HG．∴EG =√2AG ﹣BG ．（2）如图2中，作∠GAH ＝∠EAB 交GE 于点H ，过点B 作BT ⊥AG 交AG 的延长线于T ．∴∠GAB ＝∠HAE ．∵∠EAB ＝∠EGB ，∠APE ＝∠BPG ，∴∠ABG ＝∠AEH ．在△ABG 和△AEH 中，{∠GAB =∠HAE AB =AE ∠ABG =∠AEH，∴△ABG ≌△AEH （ASA ）．∴BG ＝EH ，AG ＝AH ．∵∠GAH ＝∠EAB ＝60°，∴△AGH 是等边三角形．设BG ＝EH ＝x ，则BH ＝AH ＝AG ＝EG ﹣x ，GT =12x ，BT =√32x在Rt △ABT 中，则有（√32x ）2+（EG −12x ）2＝4， ∴EG 2﹣EG •x +x 2＝4，∴﹣x 2+EG •x ＝EG 2﹣4，∴S △ABG =12•AG •BT =12•（EG ﹣x ）•√32x =√34（﹣x 2+EG •x ）=√34•EG 2−√3．。
广东省深圳市福田区2020-2021学年九上期末数学试题(原卷版)
5.如图，l1 l2 l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，矩形ABCD的周长是10cm，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为17cm2，那么矩形ABCD的面积是（ ）
15.如图，直线y＝ x+4与x轴、y轴交于A、B两点，AC⊥AB，交双曲线 于C点，且BC交x轴于M点，BM＝2CM，则k＝_____．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题6分，第18、19、20题各8分．第21、22题各10分，共55分）
16.计算： ﹣（﹣2020）0﹣4cos45°．
A.①②③B.②③④C.①②④D.①②③④
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11.已知2x＝3y，那么 的值为_____．
12.一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同．每次摸出1个球，进行大量的摸球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的概率约为________．
A.3cm2B.4cm2C.5cm2D.6cm2
7.下列说法正确的是（ ）
A.对角线垂直的平行四边形是矩形
B.方程x2+4x+16＝0有两个相等的实数根
C.抛物线y＝﹣x2+2x+3的顶点为（1，4）
D.函数 ，y随x的增大而增大
8.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（ ）
2020-2021佛山市九年级数学上期中一模试卷(含答案)
（1）设小明每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．已知方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，则k=_____．
14．用半径为30，圆周角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面圆半径是__．
15．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5 ，则BC的长为_____．
∴B4的横坐标为：2×6＝12，
∴点B2018的横坐标为：2018÷2×6＝6054，点B2018的纵坐标为：2，
即B2018的坐标是（6054，2）．
故选D．
【点睛】
此题考查了点的坐标规律变换以及勾股定理的运用，通过图形旋转，找到所有B点之间的关系是解决本题的关键．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
本题根据配方的基本方法进行就可以得到答案.配方首先将常数项移到方程的右边，将二次项系数化为1，然后左右两边同时加上一次项系数一半的平方.
20．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，F是CD弧的中点，则∠CBF的度数为_____．
三、解答题
21．已知关于 的方程 .
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围；
（2）若该方程的一个根为1，求 的值及该方程的另一根．
22．在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝mx2+2mx+m﹣1（m≠0）与y轴交于点C，抛物线G的顶点为D，直线：y＝mx+m﹣1（m≠0）．
2020-2021学年广东省佛山市禅城区九年级(上)期末物理试卷(Word+答案)
2020-2021学年广东省佛山市禅城区九年级（上）期末物理试卷一、单项选择题（本大题7小题，每小题3分，共21分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑。
1．（3分）下列家用电器中，主要利用“磁场对通电导体有力的作用”这一原理工作的是（）A．电风扇B．电饭煲C．微波炉D．冰箱2．（3分）下面的材料中，导电性能最好的是（）A．锻炼时使用的瑜珈垫B．制作芯片用的硅晶片C．家中电线里的铜芯D．极低温下超导的金属铅3．（3分）关于家庭电路及安全用电，下列说法中正确的是（）A．用湿布擦拭正在工作的电视机B．在未断开电源的情况下更换电源插座C．空气开关跳闸，一定是发生了短路现象D．有人触电时应首先切断电源4．（3分）关于温度、内能、热量，下列说法中正确的是（）A．温度很低的物体，都不具有内能B．物体的温度不变，它的内能可能变大C．物体的温度降低，它一定放出了热量D．物体的内能增加，它一定吸收了热量5．（3分）如图所示的四个情景，下列说法中错误的是（）A．红墨水在热水中扩散得快，说明温度越高分子无规则运动越剧烈B．两个铅块没有被重物拉开说明分子间只存在引力C．抽出玻璃板，两瓶内气体会混合在一起，说明气体间可以发生扩散现象D．将一定量水与酒精混合后总体积变小，说明分子间存在空隙6．（3分）直升飞机拖曳着一根很长的金属线，沿海面水平地从东向西飞行，金属线的下端与海面海水接触。
下列说法中正确的是（）A．金属线中有直流电B．金属线中有交流电C．金属线中没有感应电流D．与电动机的工作原理是一样的7．（3分）为保障安全运行，高铁列车上安装有烟雾报警装置。
如图所示是某校科技小组设计的列车烟雾报警仪的简化原理图，电源两端电压保持不变，R0为定值电阻，光敏电阻R的阻值随光照强度的减弱而增大，当输出信号端的电压达到某一数值时，报警器开始报警。
当列车上有烟雾遮挡了射向光敏电阻R的激光时，下列说法正确的是（）A．电流表示数不变，输出信号端电压变大B．电流表示数变小，输出信号端电压变大C．电流表示数变大，输出信号端电压变小D．电流表示数变小，输出信号端电压不变二、填空题（本大题7小题，每空1分，共21分）8．（3分）常见的物质是由极其微小的、原子构成的；炒菜时闻到香味，这一现象说明分子；通常液体分子之间的距离比气体的（选填“大”或“小”）。
2020-2021学年上学期广东省深圳市南山区期末考试九年级数学试卷 (Word版 含解析)
广东省深圳市南山区2020-2021学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的选项用铅笔涂在答题卡上）。
1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．806．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．19．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题（本题有5小题，每小题3分，共15分.把答案填在答题卡上）.11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为．三、解答题：（16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9分，21题9分，22题10分，共计55分）16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，这是由5个大小相同的正方体搭成的几何体，该几何体的左视图（）A．B．C．D．【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．【解答】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1．故选：A．2．下列命题是假命题的是（）A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形【分析】根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．【解答】解：A、四个角相等的四边形是矩形，为真命题，故A选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故B选项不符合题意；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，为假命题，故C选项符合题意；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，为真命题，故D选项不符合题意．故选：C．3．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和3个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的频率是0.2，则估计盒子中红球的个数大约是（）A．20个B．16个C．15个D．12个【分析】利用大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】解：设红球有x个，根据题意得，3：（3+x）＝1：5，解得x＝12，经检验：x＝12是原分式方程的解，所以估计盒子中红球的个数大约有12个，故选：D．4．一元二次方程x2+2x﹣1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况．【解答】解：∵在方程x2+2x﹣1＝0中，△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴方程x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根．故选：A．5．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，已知△ABC的面积是10，则△A′B′C′的面积是（）A．10B．20C．40D．80【分析】根据位似变换的性质得到△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′位似比是1：2，∴△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积是10，∴△A′B′C′的面积是40，故选：C．6．关于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第二、四象限B．函数图象关于原点成中心对称C．函数图象经过点（﹣6，﹣2）D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征对C进行判断；根据反比例函数的性质对A、B、D进行判断．【解答】解：反比例函数y＝﹣，k＝12＜0，A、函数图象分别位于第二、四象限，故本选项说法正确；B、函数图象关于原点成中心对称，故本选项说法正确；C、函数图象经过点（﹣6，2），故本选项说法不正确；D、当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，故本选项说法正确；故选：C．7．如图．AB∥CD∥EF，AF、BE交于点G，下列比例式错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．【解答】解：A、由AB∥CD∥EF，则，所以A选项的结论正确；B、由AB∥CD∥EF，则，所以B选项的结论正确；C、由AB∥CD∥EF，则，所以C选项的结论正确；D、由AB∥CD∥EF，则，所以D选项的结论错误；故选：D．8．如图，已知点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，AB∥x轴交另一个反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，C为x轴上一点，若S△ABC＝2，则k的值为（）A．4B．2C．3D．1【分析】由点A是反比例函数y＝的图象上，可得S△AOD＝3，根据等底同高的三角形面积相等可得S△AOB＝S＝2，进而求出S△BOD＝1，再根据点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出S△BOD＝1，进而求出k △ACB的值．【解答】解：延长AB交y轴于点D，连接OA、OB，∵点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，∴S△AOD＝|k|＝×6＝3，S△AOB＝S△ACB＝2，∴S△BOD＝S△AOD﹣S△AOB＝3﹣2＝1，又∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴S△BOD＝|k|＝1，∴k＝2，k＝﹣2（舍去），故选：B．9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC＝6，BD＝8，过A点作AE垂直BC，交BC于点E，则的值为（）A．B．C．D．【分析】利用菱形的性质即可计算得出BC的长，再根据面积法即可得到AE的长，最后根据勾股定理进行计算，即可得到BE的长，进而得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴CO＝AC＝3，BO＝BD＝4，AO⊥BO，∴BC＝＝＝5，∵S菱形ABCD＝AC•BD＝BC×AE，∴AE＝＝．在Rt△ABE中，BE＝＝＝，∴CE＝BC﹣BE＝5﹣＝，∴的值为，故选：C．10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，下面四个结论：①CF＝2AF；②AD＝CD；③DF＝DC；④△AEF∽△CAB；⑤S四边形CDEF＝S△ABF．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】依据△AEF∽△CBF，即可得出CF＝2AF；依据△BAE∽△ADC，即可得到AD＝CD；过D作DM ∥BE交AC于N，依据DM垂直平分CF，即可得出DF＝DC；依据∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，即可得到△AEF∽△CAB；设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，△CDE的面积为3s，四边形CDEF的面积为5s，进而得出S四边形CDEF＝S△ABF．【解答】解：∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故①正确；设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，∵BE⊥AC，∠BAD＝90°，∴∠ABE＝∠ADC，而∠BAE＝∠ADC＝90°，∴△BAE∽△ADC，∴，即b＝a，∴AD＝CD，故②正确；如图，过D作DM∥BE交AC于N，∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，∴CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DM垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∵BE⊥AC于点F，∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故④正确；如图，连接CE，由△AEF∽△CBF，可得，设△AEF的面积为s，则△ABF的面积为2s，△CEF的面积为2s，∴△ACE的面积为3s，∵E是AD的中点，∴△CDE的面积为3s，∴四边形CDEF的面积为5s，∴S四边形CDEF＝S△ABF，故⑤正确．故选：D．二．填空题（共5小题）11．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值为12．【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用a+b﹣2c＝6，得出答案．【解答】解：∵＝＝，∴设a＝6x，b＝5x，c＝4x，∵a+b﹣2c＝6，∴6x+5x﹣8x＝6，解得：x＝2，故a＝12．故答案为：12．12．小王同学想利用树影测量校园内的树高．他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上．经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高约为9.4米．【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例计算．【解答】解：设这棵大树高为x，根据平行投影特点：在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例．可得树高比影长为＝1.25，则有＝＝0.8，解可得：x＝9.4米．13．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为1000．【分析】由于m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，根据根与系数的关系可以得到m+n＝﹣1，并且m2+m ﹣1001＝0，然后把m2+2m+n可以变为m2+m+m+n，把前面的值代入即可求出结果【解答】解：∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，并且m2+m﹣1001＝0，∴m2+m＝1001，∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．故答案为：1000．14．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠F AE＝∠FCD，结合∠AFE＝∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出＝＝2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF ＝•AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠F AE＝∠FCD，又∵∠AFE＝∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴＝＝2．∵AC＝＝5，∴CF＝•AC＝×5＝．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y ＝（k＞0，x＞0）的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0）、D（0，4），则反比例函数的解析式为y ＝．【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）．利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB＝90°．根据线段中点坐标公式得出E（x，4）．由勾股定理得出AD2+AB2＝BD2，列出方程22+42+（x ﹣2）2+42＝x2，求出x，得到E点坐标，即可求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵BD∥x轴，D（0，4），∴B、D两点纵坐标相同，都为4，∴可设B（x，4）．∵矩形ABCD的对角线的交点为E，∴E为BD中点，∠DAB＝90°．∴E（x，4）．∵∠DAB＝90°，∴AD2+AB2＝BD2，∵A（2，0），D（0，4），B（x，4），∴22+42+（x﹣2）2+42＝x2，解得x＝10，∴E（5，4）．∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象经过点E，∴k＝5×4＝20，∴反比例函数的解析式为y＝故答案为y＝．三．解答题16．解下列方程：（1）2（x﹣2）2＝x2﹣4．（2）2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】（1）先移项得到2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，然后利用因式分解法解方程；（4）利用配方法解方程即可．【解答】解：（1）2（x﹣2）2﹣（x﹣2）（x+2）＝0，（x﹣2）（2x﹣4﹣x﹣2）＝0，所以x1＝2，x2＝6；（2）x2﹣2x＝，x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．17．甲、乙、丙、丁四位同学参加校田径运动会4×100米接力跑比赛，因为丁的速度最快，所以由他负责跑最后一棒，其他三位同学的跑步顺序随机安排．（1）请用画树状图或列表的方法表示甲、乙、丙三位同学所有的跑步顺序；（2）请求出正好由丙将接力棒交给丁的概率．【分析】（1）画树状图即可得出答案；（2）共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）画树状图如图：（2）由（1）得：共有6个等可能的结果，正好由丙将接力棒交给丁的结果有2个，∴正好由丙将接力棒交给丁的概率为＝．18．如图，在菱形ABCD中，E为对角线BD上一点，且AE＝DE，连接CE．（1）求证：CE＝DE．（2）当BE＝2，CE＝1时，求菱形的边长．【分析】（1）证△ABE≌△CBE（SAS），即可得出结论；（2）连接AC交BD于H，先由菱形的性质可得AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，求出BH、EH的长，由勾股定理求出AH的长，再由勾股定理求出AB的长，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝∠CBE，AB＝CB，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴AE＝CE，∵AE＝DE，∴CE＝DE；（2）解：如图，连接AC交BD于H，∵四边形ABCD是菱形，∴AH⊥BD，BH＝DH，AH＝CH，∵CE＝DE＝AE＝1，∴BD＝BE+DE＝2+1＝3，∴BH＝BD＝，EH＝BE﹣BH＝2﹣＝，在Rt△AHE中，由勾股定理得：AH＝＝＝，在Rt△AHB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，∴菱形的边长为．19．某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长2元，月均销量就相应减少20个．（1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于多少元？（2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？（3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由．【分析】（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，根据月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论；（2）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（3）根据总利润＝每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△＝﹣36＜0，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元．【解答】解：（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为（280﹣×20）个，依题意，得：280﹣×20≥130，解得：x≤55．答：每个背包售价应不高于55元．（2）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3120，整理，得：x2﹣98x+2352＝0，解得：x1＝42，x2＝56（不合题意，舍去）．答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元．（3）依题意，得：（x﹣30）（280﹣×20）＝3700，整理，得：x2﹣98x+2410＝0．∵△＝（﹣98）2﹣4×1×2410＝﹣36＜0，∴该方程无解，∴这种书包的销售利润不能达到3700元．20．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），与y轴正半轴交于B点，与反比例函数y＝（x＞0）交于点C，且BC＝2AB，BD∥x轴交反比例函数y＝（x＞0）于点D，连接AD．（1）求b、k的值；（2）求△ABD的面积；（3）若E为射线BC上一点，设E的横坐标为m，过点E作EF∥BD，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点F，且EF＝BD，求m的值．【分析】（1）作CH⊥y轴于点H，把点A坐标代入直线解析式中求出b，求出点B坐标，再用相似三角形的性质求出CH、BH，求出点C坐标，即可求出k；（2）先求出点D坐标，求出BD，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（3）先求出EF＝2，设出点E坐标，分0＜m＜2、m＞2两种情况，表示出点F坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程求解，即可得出结论．【解答】解：（1）作CH⊥y轴于点H，∵直线y＝3x+b经过点A（﹣1，0），∴﹣1×3+b＝0，解得，b＝3，对于直线y＝3x+3，当x＝0时，x＝3，∴点B的坐标为（0，3），即OB＝3，∵CH∥OA，∴△AOB∽△CHB，∴＝＝，即＝＝，解得，CH＝2，BH＝6，∴OH＝OB+BH＝9，∴点C的坐标为（2，9），∴k＝2×9＝18；（2）∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标为3，∴点D的横坐标为＝6，即BD＝6，∴△ABD的面积＝×6×3＝9；（3）EF＝BD＝×6＝2，设E（m，3m+3），当0＜m＜2时，点F的坐标为（m+2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m+2）（3m+3）＝18，解得，m1＝﹣4（舍去），m2＝1，当m＞2时，点F的坐标为（m﹣2，3m+3），∵点F在反比例函数y＝上，∴（m﹣2）（3m+3）＝18，解得，m3＝（舍去），m4＝，综上所述，m的值为1或．21．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAF＝α，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为BE+DF＝EF．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD＝，请直接写出DE的长．【分析】（1）将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，据此知AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．证△AFE≌△AFG得EF＝FG，从而得出答案；（2）将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，知∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH，证△AEF≌△AHF得EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．据此知BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，由AB＝AC＝4知∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，从而得E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED得DE＝DE′，根据DE2＝BD2+EC2可得答案．【解答】解：（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为：BE+DF＝EF．（2）成立．证明：如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAF＝α，∴∠BAE+∠F AD＝α，∴∠DAH+∠F AD＝α，∴∠F AH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE＝，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2＝，解得．22．（1）证明推断：如图（1），在正方形ABCD中，点E、Q分别在边BC、AB上，DQ⊥AE于点O，点G、F分别在边CD、AB上，GF⊥AE．①填空：DQ＝AE（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断的值为1；（2）类比探究：如图（2），在矩形ABCD中，＝k（k为常数）．将矩形ABCD沿GF折叠，使点A落在BC 边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O．试探究GF与AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当k＝时，若＝，GF＝2，求CP的长．【分析】（1）①由正方形的性质得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②证明四边形DQFG是平行四边形即可解决问题．（2）结论：＝k．如图2中，作GM⊥AB于M．证明：△ABE∽△GMF即可解决问题．（3）如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．利用相似三角形的性质求出PM，CM即可解决问题．【解答】（1）①解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．故答案是：＝；②解：∵DQ⊥AE，FG⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四边形DQFG是平行四边形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案为：1．（2）解：结论：＝k．理由：如图2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四边形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴＝＝＝k．（3）解：如图2中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．由＝，可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，FG＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴k＝1或﹣1（舍弃），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴＝＝，∴EM＝，PM＝，∴CM＝EM﹣EC＝﹣3＝，∴PC＝＝．。
专题05 二次函数的图象与性质(解析版)-2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优
2020-2021学年九年级数学上册期末综合复习专题提优训练（人教版）专题05 二次函数的图象与性质【典型例题】1．（2020·福建省连江第三中学初三月考）在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx ＋2（k ≠0）的图象大致如图（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D2．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）抛物线()232y x =-+3可以看作把抛物线23y x =向_______平移_______个单位，向_______平移_______个单位得到． 【答案】右 2 上 33．（2020·湖南长沙·初三开学考试）已知一个二次函数的图象经过点()1,0A -、()3,0B 和()0,3C -三点. （1）求此二次函数的解析式；（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标.【答案】（1）设二次函数解析式为()()13y a x x =+-，∵抛物线过点()0,3C -，∴()()30103a -=+-，解得1a =，∴()()21323y x x x x =+-=--.（2）由（1）可知：223y x x =--， ∵a =1,b =-2,c =-3, ∴对称轴是直线12b x a =-=，244ac ba -=-4,顶点坐标是()1,4-.4．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）已知一条抛物线分别过点(3,2)-和(0,1)，且它的对称轴为直线2x=，试求这条抛物线的解析式.【答案】解:∵抛物线的对称轴为2x =,∴可设抛物线的解析式为2(2)y a x b =-+把(3,2)-,(0,1)代入解析式得()()2232=202=1a b a b ⎧-+-⎪⎨-+⎪⎩， 解得1a =,3b =-,∴所求抛物线的解析式为2(2)3y x =-- 【专题训练】一、选择题1．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）函数()221y x ++＝-的顶点坐标是（） A ．(2,-1) B ．(-2,1) C ．(-2,-1) D ．(2,1)【答案】B2．（2020·江苏崇川·期末）抛物线y ＝x 2先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到新的抛物线解析式是( ) A ．y ＝(x +1)2+3 B ．y ＝(x +1)2﹣3 C ．y ＝(x ﹣1)2﹣3 D ．y ＝(x ﹣1)2+3【答案】D3．（2020·福建省连江第三中学初三月考）二次函数y ＝﹣（x －2）2＋1的图象中，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜﹣2D ．x ＞﹣2【答案】B4．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）若函数y ＝（a ﹣1）x 2﹣4x +2a 的图象与x 轴有且只有一个交点，则a 的值为（ ）． A ．-1 B ．2 C ．-1或2 D ．-1或2或1【答案】D5．（2021·福建学业考试）若二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像对称轴为直线12x =-经过不同的5点(),A p q ，()00,B y ，()12,C y ，)2D y ，()1,E p q --，则0y ，1y ，2y 的大小关系（ ）A ．012y y y >>B ．012y y y <<C ．021y y y >>D ．102y y y >>【答案】C6．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①a +b +c ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③b ＞0；④4a ﹣2b +c ＜0；⑤a +c ＜23，其中正确结论的个数是（ ）A ．②③④B ．①②⑤C ．①②④D ．②③⑤【答案】B7．（2020·台州市椒江区前所中学月考）关于x 的一元二次方程2102ax bx ++=有一个根是﹣1，若二次函数212y ax bx =++的图象的顶点在第一象限，设2t a b =+，则t 的取值范围是（ ）A．1142t<<B．114t-<≤C．1122t-≤<D．112t-<<【答案】D8．（2020·湖南长沙·初三开学考试）已知二次函数y＝﹣x2+mx+m（m为常数），当﹣2≤x≤4时，y的最大值是15，则m 的值是（）A．﹣19或315B．6或315或－10C．﹣19或6D．6或315或－19【答案】C9．（2020·湖南长沙·初三开学考试）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D10．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）已知直线x＝1是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是实数，且a≠0）的图象的对称轴，点A（x1，y1）和点B（x2，y2）为其图象上的两点，且y1<y2，（）A．若x1<x2，则x1+x2﹣2＜0B．若x1<x2，则x1+x2﹣2>0C．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）＞0D．若x1＞x2，则a（x1+x2-2）<0【答案】D二、填空题11．（2020·湖南隆回·初三一模）二次函数243y x x =--+的最大值为_________.【答案】712．（2020·湖南广益实验中学开学考试）二次函数223y x x =-+-图象的顶点坐标是 ．【答案】（1，﹣2）．13．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）抛物线(2)(3)y x x =+-的开口______，对称轴是_____________，顶点是_______． 【答案】向下 直线x =12 11(,6)2414．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知抛物线22y x mx =+-的对称轴为x =1，则m =______． 【答案】-215．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）某广告公司设计一幅周长为20米的矩形广告牌，设矩形的一边长为x 米，广告牌的面积为S 平方米，则S 与x 的函数关系式为________________．【答案】210S x x =-+16．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．【答案】﹣3＜x ＜117．（2020·湖南广益实验中学开学考试）在平面直角坐标系中，若点P (a ，b )的坐标满足a ＝b ≠0，则称点P 为“对等点”．已知二次函数y ＝x 2+mx ﹣m 的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m 的值为_____．【答案】118．（2020·湖南长沙·初三开学考试）如图，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点1(,0)2-，对称轴为直线1,x =下列5个结论：0abc <①；240a b c -+=②；20a b +>③；230c b -<④；()a b m am b +≤+⑤．其中正确的结论为_________________． (注：只填写正确结论的序号)【答案】②⑤三、解答题19．（2020·呼和浩特市敬业学校初二期末）直线33y x =-+与x 轴y 轴分别交于点A ,B ，抛物线2(2)y a x k =-+经过点A ,B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P , （1）求,a k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q ,使ABQ ∆是以AB 为底边的等腰三角形，求点Q 的坐标；【答案】解：（1）∵直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，∴A（1，0），B（0，3）．又∵抛物线y=a（x-2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），∴43a ka k+=⎧⎨+=⎩，解得11ak=⎧⎨=-⎩，故a，k的值分别为1，-1；（2）设Q点的坐标为（2，m），对称轴x=2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x=2于点E．在Rt△AQF中，AQ2=AF2+QF2=1+m2，在Rt△BQE中，BQ2=BE2+EQ2=4+（3-m）2，∵AQ=BQ，∴1+m2=4+（3-m）2，∴m=2，∴Q点的坐标为（2，2）．20．（2020·云南昆明·初三学业考试）如图，抛物线y ＝ax 2+bx 过点P （﹣1，5），A （4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在第一象限内的抛物线上有一点B ，当P A ⊥PB 时，求点B 的坐标．【答案】（1）由题意，把点(1,5),(4,0)P A -代入2y ax bx =+得51640a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，则抛物线的解析式为24y x x =-；（2）如图，过P 点作PD x ⊥轴于D ，BE PD ⊥于E ， ∵(1,5),(4,0)P A -，∴5,1,4PD OD OA ===，∴145AD OD OA =+=+=，∴5PD AD ==， 45APD DAP ∴∠=∠=︒，设2(,4)B m m m -，则21,45BE m PE m m =-=+-，点B 在第一象限内的抛物线上，4m ∴>，∵PA PB ⊥，即90APB ∠=︒，∴18045BPE APD APB ∠=︒-∠-∠=︒，∴PBE △是等腰直角三角形，∴BE PE =，即2145m m m -+=-，整理得：2560m m --=，解得6m =或14m =-<（舍去），此时22464612m m --=⨯=，故点B 的坐标为(6,12)B ．21．（2020·上海市静安区实验中学初三课时练习）已知二次函数的图像过抛物线223y x x =++的顶点和坐标原点．(1)求二次函数的解析式(2)判断点A （-2，5）是否在这个二次函数的图像上 ．【答案】解：(1)2223(1)2y x x x =++=++，∴顶点坐标为（-1，2）设2(1)2(0)y a x a =++≠，代入（0，0）得，02a =+，解得，2a =-∴二次函数的解析式为22(1)2y x =-++(2)当x =-2时，y =0，∴点A （-2，5）不在这个二次函数的图像上22．（2020·江苏如东·初三二模）已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a >0）的对称轴为直线x =1，且与x 轴只有一个公共点．（1）试用含a 的式子表示b 和c ；（2）若（x 1，y 1），（3，y 2）是该抛物线上的两点，y 2<y 1，求x 1的取值范围；（3）若将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线经过点（3，6），且当p ≤x ≤q 时，新抛物线对应的函数有最小值2p ，最大值2q ，求p ﹣q 的值．【答案】（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ＞0）的对称轴为直线x =1， ∴﹣2b a=1， ∴b =﹣2a ，∵抛物线与x轴只有一个公共点．∴b2﹣4ac=0，即(﹣2a)2﹣4ac=0，∴c=a；（2）∵（x1，y1），（3，y2）是该抛物线上的两点，对称轴为x=1，∴（3，y2）关于对称轴的对称点为（﹣1，y2），∵a＞0，抛物线开口向上，∴y2＜y1时，x1的取值范围是x1＞3或x1＜﹣1；（3）由（1）知：抛物线y=ax2﹣2ax+a=a(x﹣1)2（a＞0），将该抛物线向上平移2个单位长度所得新抛物线为y=a(x﹣1)2+2，∵经过点（3，6），∴6=4a+2，解得a=1，∴新抛物线为y=(x﹣1)2+2，∴当x=1时，抛物线有最小值为2，∴2p=2，解得p=1，∴1≤x≤q，∵对称轴为x=1，∴当x=q时，在p≤x≤q范围内有最大值2q，∴2q=（q﹣1）2+2，解得q=3或1（舍去），∴p﹣q=1﹣3=﹣2．23．（2020·浙江金华·初三其他）已知：等腰△ABC的底边在x轴上，其中点C与平面直角坐标系原点重合，点A为（4，0），点B，点D是AB边的中点．抛物线y＝ax2+bx+c始终经过A，C两点，（1）当△ABC是正三角形时，点B在抛物线上（如图）．求抛物线的函数表达式；个单位后，发现抛物线经过点D，求n的值；（2）若将（1）中抛物线向下平移4（3）若将△ABC ABC n的值．【答案】解：（1）∵△ABC是正三角形，∴AC＝BC＝AB＝4，∴点B（2，），设抛物线y＝ax（x﹣4）且过（2，），∴＝2a （2﹣4），∴a∴抛物线的解析式为y ＝﹣2x 2+； （2）∵AB ＝AC ，点A 为（4，0），点C （0，0），∴点B （2 n ）， ∵点D 是AB 边的中点，∴点D （3n ），个单位，∴平移后的抛物线解析式为：y ＝﹣2x 2+﹣4， ∵平移后的抛物线经过点D ，∴2n ＝﹣2×9+3﹣4， ∴n ＝32；（3）∵△ABC 的重心坐标为（2），∴△ABC 向上平移3个单位后，重心坐标为（2，3 n +3），∵y2+x﹣2）2+∴顶点坐标为（2，，个单位，∵平移后△ABC的重心与抛物线顶点也相距3∴|∴n＝4或6．24．（2020·浙江杭州外国语学校初三月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过A (1，0)，B (3，0)，∴设抛物线解析式为：y ＝a (x ﹣1)(x ﹣3)，∵抛物线y ＝a (x ﹣1)(x ﹣3)(a ≠0)的图象经过点C (0，6)，∴6＝a (0﹣1)(0﹣3)，∴a ＝2，∴抛物线解析式为：y ＝2(x ﹣1)(x ﹣3)＝2x 2﹣8x +6；（2）∵y ＝2x 2﹣8x +6＝2(x ﹣2)2﹣2，∴顶点M 的坐标为(2，﹣2)，∵抛物线的顶点M 与对称轴l 上的点N 关于x 轴对称，∴点N (2，2)，设直线AN 解析式为：y ＝kx +b ，由题意可得：022=+⎧⎨=+⎩k b k b ， 解得：22k b ==-⎧⎨⎩， ∴直线AN 解析式为：y ＝2x ﹣2，联立方程组得：222286=-⎧⎨=-+⎩y x y x x ， 解得：1110x y =⎧⎨=⎩，2246=⎧⎨=⎩x y ，∴点D （4，6），∴S △ABD ＝12×2×6＝6， 设点E (m ，2m ﹣2)，∵直线BE 将△ABD 的面积分为1：2两部分，∴S △ABE ＝13S △ABD ＝2或S △ABE ＝23S △ABD ＝4， ∴12×2×(2m ﹣2)＝2或12×2×(2m ﹣2)＝4， ∴m ＝2或3，∴点E (2，2)或(3，4)；（3）若AD 为平行四边形的边，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴AD ＝PQ ，∴x D ﹣x A ＝x P ﹣x Q 或x D ﹣x A ＝x Q ﹣x P ，∴x P ＝4﹣1+2＝5或x P ＝2﹣4+1＝﹣1，∴点P 坐标为(5，16)或(﹣1，16)；若AD 为平行四边形的对角线，∵以A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，∴AD 与PQ 互相平分， ∴22++=P Q A D x x x x ，∴x P ＝3，∴点P 坐标为(3，0)，综上所述：当点P 坐标为(5，16)或(﹣1，16)或(3，0)时，使A 、D 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形．25．（2020·竹溪县蒋家堰镇中心学校期末）如图1，抛物线()21y x a x a -++＝与x 轴交于A ，B 两点（点A 位于点B的左侧），与y 轴负半轴交于点C ，若AB ＝4． （1）求抛物线的解析式；（2）如图2，E 是第三象限内抛物线上的动点，过点E 作EF ∥AC 交抛物线于点F ，过E 作EG ⊥x 轴交AC 于点M ，过F 作FH ⊥x 轴交AC 于点N ，当四边形EMNF 的周长最大值时，求点E 的横坐标；（3）在x 轴下方的抛物线上是否存在一点Q ，使得以Q 、C 、B 、O 为顶点的四边形被对角线分成面积相等的两部分？如果存在，求点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】解：（1）依题意得：()21x a x a ++-=0，则12121,x x a x x a +=+=，则AB 4==，解得：a ＝5或﹣3，抛物线与y 轴负半轴交于点C ，故a ＝5舍去，则a ＝﹣3，则抛物线的表达式为：223y x x +＝﹣…①；（2）由223y x x +＝﹣得：点A 、B 、C 的坐标分别为：()3,0-、()()1,00-3、，， 设点E ()2,23m m m +﹣，OA ＝OC ，故直线AC 的倾斜角为45°，EF ∥AC ，直线AC 的表达式为：y ＝﹣x ﹣3，则设直线EF 的表达式为：y ＝﹣x +b ，将点E 的坐标代入上式并解得：直线EF 的表达式为：y ＝﹣x +()233m m +﹣…②，联立①②并解得：x ＝m 或﹣3﹣m ，故点F ()23,4m m m --+，点M 、N 的坐标分别为：(),3m m --、()33m m --+，，则EF ))23F E x x m MN -=--=，四边形EMNF 的周长C ＝ME +MN +EF +FN ＝(226m m --+-∵﹣2＜0，故S 有最大值，此时m ＝32+-，故点E 的横坐标为：32+-； （3）①当点Q 在第三象限时，当QC 平分四边形面积时， 则1Q B x x ==，故点Q ()1,4--；当BQ 平分四边形面积时， 则1111,133222OBQ Q Q QCBO S y S x =⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯四边形，则11121133222Q Q y x ⎛⎫⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭， 解得：32Q x =-，故点Q 315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭； ②当点Q 在第四象限时，同理可得：点Q ⎝⎭；综上，点Q 的坐标为：()1,4--或315,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭或⎝⎭．。
2020-2021学年甘肃省金昌市龙门学校九年级(上)期末数学试卷(word,解析版)
2020-2021学年甘肃省金昌市龙门学校九年级（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定3．（3分）若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+34．（3分）下列事件中是不可能事件的是（）A．三角形内角和小于180°B．两实数之和为正C．买体育彩票中奖D．抛一枚硬币2次都正面朝上5．（3分）若函数为反比例函数，则m＝（）A．1B．0C．0或﹣1D．﹣16．（3分）如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么它们的面积比是（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：97．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3B．2.5C．4D．3.58．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠D＝50°，则∠BAC等于（）A．25°B．40°C．50°D．55°9．（3分）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1 10．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2B．3：1C．1：1D．1：2二、填空题：（每小题4分，共32分.）11．（4分）已知反比例函数（k是常数，k≠1）的图象有一支在第四象限，那么k 的取值范围是．12．（4分）已知一个正六边形的半径为5，则这个正六边形的边长是．13．（4分）如果，那么＝．14．（4分）若两个相似三角形对应边的比为3：5，则它们周长的比为．15．（4分）已知扇形的圆心角为90°，半径为6cm，则用该扇形围成的圆锥的侧面积为cm．16．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的两根为．17．（4分）一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的10个球，其中2个红球，3个绿球，5个黄球，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是．18．（4分）如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于点B，若S△AOB＝5，则k＝．三、解答题（共88分）19．（6分）如图是一块残缺的圆轮片，点A、B、C在上，请用尺规作图法作出所在的⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）20．（8分）已知：如图，DE∥BC交BA的延长线于D，交CA的延长线于E，AD＝4，DB ＝12，DE＝3．求BC的长．21．（8分）已知函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝﹣2时，求函数y的值．22．（8分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．求：（1）△ABO的面积；（2）根据图象，直接写出满足kx+b＞的解集．23．（8分）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．24．（10分）如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20m，镜子与小华的距离ED＝2m时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A．已知小华的眼睛距地面的高度CD＝1.5m，求：铁塔AB的高度．25．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，⊙O是的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F．求⊙O的半径．26．（10分）如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：（1）∠PBC＝∠CBD；（2）BC2＝AB•BD．27．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．28．（10分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．2020-2021学年甘肃省金昌市龙门学校九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题3分，共30分）1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称的定义得出结论即可．【解答】解：由题意知，A、C选项中的图形是轴对称图形，D选项中的图形既不是轴对称也不是中心对称图形，B选项是中心对称图形，故选：B．2．（3分）一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝﹣8＜0，由此即可得出结论．【解答】解：∵在方程x2+2x+3＝0中，Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，∴该方程无解．故选：C．3．（3分）若将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（）A．y＝2（x﹣1）2﹣3B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x+1）2﹣3D．y＝2（x+1）2+3【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，3）；可设新抛物线的解析式为y＝（x﹣h）2+k，代入得：y＝2（x+1）2+3，故选：D．4．（3分）下列事件中是不可能事件的是（）A．三角形内角和小于180°B．两实数之和为正C．买体育彩票中奖D．抛一枚硬币2次都正面朝上【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：A、三角形的内角和小于180°是不可能事件，故A符合题意；B、两实数之和为正是随机事件，故B不符合题意；C、买体育彩票中奖是随机事件，故C不符合题意；D、抛一枚硬币2次都正面朝上是随机事件，故D不符合题意；故选：A．5．（3分）若函数为反比例函数，则m＝（）A．1B．0C．0或﹣1D．﹣1【分析】根据反比例y＝kx﹣1（k≠0）的定义解答即可．【解答】解：∵函数为反比例函数，∴m2+m＝0，m≠0，∴m＝﹣1．故选：D．6．（3分）如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么它们的面积比是（）A．2：3B．3：2C．9：4D．4：9【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解决问题即可．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是3：2，∴这两个相似三角形的面积比＝9：4，故选：C．7．（3分）如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（）A．3B．2.5C．4D．3.5【分析】连接OA，根据垂径定理得到AP＝AB，利用勾股定理得到答案．【解答】解：连接OA，∵AB⊥OP，∴AP＝＝3，∠APO＝90°，又OA＝5，∴OP＝＝＝4，故选：C．8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠D＝50°，则∠BAC等于（）A．25°B．40°C．50°D．55°【分析】求出∠ABC，证明∠ACB＝90°即可解决问题．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝∠ADC＝50°，∴∠BAC＝90°﹣50°＝40°，故选：B．9．（3分）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将A、B、C三点的坐标代入反比例函数的解析式y＝，分别求得x1，x2，x3的值，然后再来比较它们的大小．【解答】解：∵点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y＝的图象上，∴x1＝﹣2，x2＝﹣6，x3＝6；又∵﹣6＜﹣2＜6，∴x2＜x1＜x3；故选：B．10．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF：FC等于（）A．3：2B．3：1C．1：1D．1：2【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出＝，利用点E是边AD的中点得出答案即可．【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝，∵点E是边AD的中点，∴AE＝DE＝AD，∴＝．故选：D．二、填空题：（每小题4分，共32分.）11．（4分）已知反比例函数（k是常数，k≠1）的图象有一支在第四象限，那么k 的取值范围是k＜2．【分析】由于反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，可得k﹣1＜0，求出k的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象有一支在第二象限，∴k﹣2＜0，解得k＜2．故答案为：k＜2．12．（4分）已知一个正六边形的半径为5，则这个正六边形的边长是5．【分析】根据正六边形的特点，通过连接半径，结合等腰三角形的有关知识解决．【解答】解：如图，连接OA、OB．∴OA＝OB＝5，∠AOB＝60°，∴AB＝5，故答案为：5．13．（4分）如果，那么＝．【分析】由，可设x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入，即可求得答案．【解答】解：∵，∴设x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴＝＝．故答案为：．14．（4分）若两个相似三角形对应边的比为3：5，则它们周长的比为3：5．【分析】根据相似三角形对应边的比叫相似比，周长的比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为3：5，∴两个相似三角形的相似比为3：5，∴它们周长比为3：5．故答案为：3：5．15．（4分）已知扇形的圆心角为90°，半径为6cm，则用该扇形围成的圆锥的侧面积为9πcm．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形和扇形的面积公式计算．【解答】解：该扇形围成的圆锥的侧面积＝＝9π（cm2）．故答案为9π．16．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣1，x2＝3．【分析】结合图象得到抛物线与x轴的一交点坐标为（﹣1，0），对称轴方程为x＝1，则抛物线与x轴的另一交点坐标与（﹣1，0）关于直线x＝1对称．【解答】解：∵抛物线与x轴的一交点坐标为（﹣1，0），对称轴方程为x＝1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标与（﹣1，0）关于直线x＝1对称，∴抛物线与x轴的另一交点坐标（3，0）．∴方程ax2+bx+c＝0的两根为：x1＝﹣1，x2＝3．故答案是：x1＝﹣1，x2＝3．17．（4分）一个不透明的袋子中，装有除颜色外完全相同的10个球，其中2个红球，3个绿球，5个黄球，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率是0.5．【分析】利用概率公式即可求得答案．【解答】解：摸到黄球的概率为：＝0.5．故答案为：0.5．18．（4分）如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于点B，若S△AOB＝5，则k＝﹣10．【分析】利用三角形的面积表示出点A的横纵坐标的积，进而根据点A所在象限得到k 的值．【解答】解：设A的坐标为（x，y），∵S△AOB＝5，∴|xy|＝5，∴|xy|＝10，∵点A在第二象限，∴k＝xy＝﹣10，故答案为﹣10．三、解答题（共88分）19．（6分）如图是一块残缺的圆轮片，点A、B、C在上，请用尺规作图法作出所在的⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）【分析】因为点A、B、C在上，所以线段AB、BC是所在的⊙O的两条弦，而弦的垂直平分线经过圆心，则作出AB、BC的垂直平分线的交点即可得到所求的圆的圆心，连接圆心和点C得到的线段就是该圆的一条半径，即可作出这个圆．【解答】解：如图，分别作AB、BC的垂直平分线MN、PQ交于点O，连接OC，以O 为圆心、OC长为半径作圆，⊙O所在的圆．理由：∵点A、B、C在上，∴AB、BC是所在的⊙O的两条弦，∴⊙O的圆心在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，∴AB、BC的垂直平分线的交点就是⊙O的圆心，∴以O为圆心，以OC为半径的圆是所在的⊙O．20．（8分）已知：如图，DE∥BC交BA的延长线于D，交CA的延长线于E，AD＝4，DB ＝12，DE＝3．求BC的长．【分析】由DE∥BC得到∠B＝∠D，∠C＝∠E，根据相似三角形的判定得到△ABC∽△ADE，利用相似的性质得，而AD＝4，DB＝12，DE＝3，则AB＝DB﹣AD，然后代入进行计算即可得到BC的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠D，∠C＝∠E，∴△ABC∽△ADE，∴，∵AD＝4，DB＝12，DE＝3∴，∴BC＝6．21．（8分）已知函数y＝y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝﹣2时，求函数y的值．【分析】（1）首先根据y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5，求出y1和y2与x的关系式，进而求出y与x的关系式，（2）根据（1）问求出的y与x之间的关系式，令x＝﹣2，即可求出y的值．【解答】解：（1）由题意，设y1＝k1x（k1≠0），y2＝（k2≠0），则y＝k1x+，因为当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5，所以有解得k1＝2，k2＝2．因此y＝2x+．（2）当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）﹣1＝﹣5．22．（8分）一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于A（﹣2，1），B（1，n）两点．求：（1）△ABO的面积；（2）根据图象，直接写出满足kx+b＞的解集．【分析】（1）根据题意可以求得k的值，从而可以求得点B的坐标，求出直线AB的解析式，得到点C的坐标，从而可以求得△ABO的面积；（2）观察图象求得即可．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象过点A（﹣2，1），B（1，n）两点，∴k＝﹣2×1＝1×n，∴k＝﹣2，n＝﹣2，∴点B（1，﹣2），∵一次函数y＝kx+b（k≠0）过点A（﹣2，1），点B（1，﹣2），∴，解得，∴y＝﹣x﹣1，当y＝0时，0＝﹣x﹣1，得x＝﹣1，∴y＝﹣x﹣1与x轴的交点C为（﹣1，0），∵点A（﹣2，1），点B（1，﹣2），∴△ABO的面积是+＝；（2）由图象可知，kx+b＞的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．23．（8分）如图，甲、乙两人在玩转盘游戏时，准备了两个可以自由转动的转盘A，B，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并在每一个扇形内标上数字．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字之和为0时，甲获胜；数字之和为1时，乙获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一区域为止．（1）用画树状图或列表法求乙获胜的概率；（2）这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出甲乙获胜的概率，比较即可．【解答】解：（1）列表：由列表法可知：会产生12种结果，它们出现的机会相等，其中和为1的有3种结果．∴P（乙获胜）＝；（2）公平．∵P（乙获胜）＝，P（甲获胜）＝．∴P（乙获胜）＝P（甲获胜）∴游戏公平．24．（10分）如图，小华在地面上放置一个平面镜E来测量铁塔AB的高度，镜子与铁塔的距离EB＝20m，镜子与小华的距离ED＝2m时，小华刚好从镜子中看到铁塔顶端点A．已知小华的眼睛距地面的高度CD＝1.5m，求：铁塔AB的高度．【分析】根据反射定律可以推出∠1＝∠2，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．【解答】解：结合光的反射原理得：∠CED＝∠AEB．在Rt△CED和Rt△AEB中，∵∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，∴Rt△CED∽Rt△AEB，∴，即，解得AB＝15（m）．答：铁塔AB的高度是15m．25．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，⊙O是的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F．求⊙O的半径．【分析】首先连接OD、OE，进而利用切线的性质得出∠ODA＝∠OF A＝∠A＝90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．【解答】解：连接OD、OE，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA＝∠OF A＝∠A＝90°，又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形，设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2﹣r，在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝＝2，又∵BC＝BE+CE，∴（2﹣r）+（2﹣r）＝2，得：r＝2﹣，∴⊙O的半径是2﹣．26．（10分）如图，AB是半圆O的直径，点P是BA延长线上一点，PC是⊙O的切线，切点为C，过点B作BD⊥PC交PC的延长线于点D，连接BC．求证：（1）∠PBC＝∠CBD；（2）BC2＝AB•BD．【分析】（1）连接OC，由PC为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于PC，再由BD垂直于PD，得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与BD平行，进而得到一对内错角相等，再由OB＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换即可得证；（2）连接AC，由AB为圆O的直径，利用圆周角定理得到∠ACB为直角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形CBD相似，利用相似三角形对应边成比例，变形即可得证．【解答】证明：（1）连接OC，∵PC与圆O相切，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°，∵BD⊥PD，∴∠BDP＝90°，∴∠OCP＝∠PDB，∴OC∥BD，∴∠BCO＝∠CBD，∵OB＝OC，∴∠PBC＝∠BCO，∴∠PBC＝∠CBD；（2）连接AC，∵AB为圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，则BC2＝AB•BD．27．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．【分析】（1）先连接OD、AD，由于AB是直径以及AB＝AC，易证BD＝CD，而OA＝OB，从而可知OD是△ABC的中位线，那么OD∥AC，再结合DE⊥AC，易证∠ODE＝∠CED＝90°，即DE是⊙O的切线；（2）由⊙O半径是5，可知AB＝10，而△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可知∠CAD＝∠BAD＝60°，在Rt△ADB中，易求BD，进而可求BC．【解答】解：如右图所示，连接OD、AD．∵AB是直径，∴∠BDA＝∠CDA＝90°，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODE＝∠CED＝90°，∴DE是⊙O的切线；（2）∵⊙O半径是5，∴AB＝10，∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，∴∠CAD＝∠BAD＝60°，在Rt△ADB中，BD＝sin60°•AB＝5，∴BC＝10．28．（10分）抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、点B的坐标代入可求出b、c的值，继而可得出该抛物线的解析式；（2）连接BC，则BC与对称轴的交点，即是点Q的位置，求出直线BC的解析式后，可得出点Q的坐标．【解答】解（1）把A（1，0）、B（﹣3，0）代入抛物线解析式可得：，解得：故抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）存在．由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置，设直线BC解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0）、C（0，3）代入得：，解得：，则直线BC的解析式为y＝x+3，令Q X＝﹣1 得Q y＝2，故点Q的坐标为：（﹣1，2）．。
2020-2021学年广东省汕头市澄海区九年级(上)期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省汕头市澄海区九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定2．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（）A．B．C．D．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB'C'，则∠C'AB的度数为（）A．18°B．82°C．64°D．100°5．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（）A．25°B．50°C．40°D．80°6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b的值是（）A．2025B．2015C．2021D．20197．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”，依题意，CD长为（）A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800C．54×38﹣54x﹣38x＝1800D．54x+38x＝18009．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝（）A．8B．6C．5D．510．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；④2a+c＜0．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．点P（3，﹣2）关于原点对称的点在第象限．12．抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标是．13．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为．14．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是⊙O的切线，直线AB和ED交于点C，∠ADE＝60°，则∠C的度数为．15．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则这个直角三角形的斜边长为．16．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝18t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是秒．17．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝4，BC＝9．以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，若DE＝DB．则△ADE的面积等于．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．解方程：x2﹣4＝3（x+2）19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，﹣3）两点．（1）求b，c的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当y＜0时，x的取值范围．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D 四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．（1）抽查D厂家的零件为件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为．（2）抽查C厂家的合格零件为件，并将图1补充完整．（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．22．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD．（1）求证：DE⊥BC；（2）若AC＝3，BC＝7，求线段BD的长．23．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．（1）若参加聚会的人数为6，则共握手次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次；（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝4，CD＝5，求GF的长．25．如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题）.1．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法确定解：由题意可知：△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，故选：B．2．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于3的数的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解：∵共6个数，大于3的有3个，∴P（大于3）＝＝；故选：D．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．4．如图，在△ABC中，∠BAC＝32°，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，对应得到△AB'C'，则∠C'AB的度数为（）A．18°B．82°C．64°D．100°解：∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转50°，∴∠CAC′＝50°，∵∠BAC＝32°，∴∠C′AB＝50°+32°＝82°，故选：B．5．如图，AB是⊙O的直径，∠BOC＝100°，则∠D的度数为（）A．25°B．50°C．40°D．80°解：∵∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣100°＝80°，∴∠D＝∠AOC＝40°，故选：C．6．若关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b的值是（）A．2025B．2015C．2021D．2019【分析】根据关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，可以得到a+b的值，然后将所求式子变形，再将a+b的值代入，即可解答本题．解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1＝0（a≠0）的一个解是x＝1，∴a+b+1＝0，∴a+b＝﹣1，∴2020﹣a﹣b＝2020﹣（a+b）＝2020﹣（﹣1）＝2020+1＝2021，故选：C．7．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问锯几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”，依题意，CD长为（）A．12寸B．13寸C．24寸D．26寸【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．解：连接OA，如图所示，设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，连接OA，则OA＝x寸，根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，解得x＝13，CD＝2x＝2×13＝26（寸）．故选：D．8．如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（）A．（54﹣x）（38﹣x）＝1800B．（54﹣x）（38﹣x）+x2＝1800C．54×38﹣54x﹣38x＝1800D．54x+38x＝1800解：设道路的宽为x米，则种植草坪的部分可合成长（54﹣x）米，宽为（38﹣x）米的矩形，依题意得：（54﹣x）（38﹣x）＝1800．故选：A．9．如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC、EG，取AC、EG的中点M、N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN＝（）A．8B．6C．5D．5解：如图，连接BD，BF，DF，∵四边形ABCD，四边形BEFG都是矩形，M、N是AC、EG的中点，∴点M是BD的中点，点N是BF的中点，∴MN＝DF，∵AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∴AC＝BD＝10，∵将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，∴DB＝BF＝10，∠DBF＝90°，∴DF＝BD＝10，∴MN＝5，故选：D．10．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝3，x2＝﹣1；④2a+c＜0．其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．4解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不正确；当x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，故②正确；抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（﹣1，0），即方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝3，x2＝﹣1，故③正确；抛物线与x轴交点（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0，又x＝﹣＝1，有2a+b＝0，所以3a+c ＝0，而a＜0，因此2a+c＞0，故④不正确；故选：B．二、填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．点P（3，﹣2）关于原点对称的点在第二象限．解：点P（3，﹣2）关于原点对称的点为（﹣3，2），在第二象限，故答案为：二．12．抛物线y＝2x2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1）．【分析】利用顶点坐标公式直接求解．解：根据顶点坐标公式，得顶点横坐标为x＝＝0，纵坐标为y＝＝﹣1，即（0，﹣1）．13．已知矩形的长和宽是方程x2﹣9x+20＝0的两个实数根，则矩形的面积为20．解：设矩形的长和宽分别为x1、x2，根据题意得x1•x2＝20，所以矩形的面积＝x1•x2＝20．故答案为20．14．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是⊙O的切线，直线AB和ED交于点C，∠ADE＝60°，则∠C的度数为30°．【分析】连接OD，根据切线的性质和已知条件求得∠ADO＝30°；由等腰三角形的性质知∠A＝∠ADO＝30°；然后根据圆周角定理得到∠COD＝2∠A＝60°；最后根据直角三角形的性质来求∠C的度数．解：如图，连接OD，∵CD是⊙O的切线，OD是半径，∴OD⊥EC，∴∠EDO＝90°．∵∠ADE＝60°，∴∠ADO＝30°．∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝30°．∴∠COD＝2∠A＝60°，∴∠C＝90°﹣60°＝30°．故答案是：30°．15．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，则这个直角三角形的斜边长为．【分析】将a2+b2看做整体解方程得a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2（舍），从而得出c2＝a2+b2＝3，即可得答案．解：∵（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝6，∴（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，∴（a2+b2﹣3）（a2+b2+2）＝0，解得：a2+b2＝3或a2+b2＝﹣2（舍），则c2＝a2+b2＝3，∴这个直角三角形的斜边长为，故答案为：．16．汽车刹车后行驶的距离s（米）与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝18t﹣6t2，汽车从刹车到停下来所用时间是 1.5秒．解：∵s＝18t﹣6t2，＝﹣6（t﹣1.5）2+13.5，∴当t＝1.5秒时，s取得最大值，即汽车停下来．故答案为：1.517．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，CD＝4，BC＝9．以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，连接DE，若DE＝DB．则△ADE的面积等于10．解：如图，连接BE，延长DA，∵以A为旋转中心将腰AB顺时针旋转90°至AE，∴AE＝AB，∠BAE＝90°，∴∠ABE＝∠AEB＝45°，∵DE＝DB，AE＝AB，∴AD垂直平分BE，∴AM⊥BE，BM＝ME＝AM，∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，BC⊥BE，∴四边形DCBM是矩形，∴BC＝MD＝9，BM＝CD＝4，∴AM＝BM＝4＝EM，∴AD＝MD﹣AM＝5，∴△ADE的面积＝×AD×EM＝×5×4＝10，故答案为10；三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．解方程：x2﹣4＝3（x+2）【分析】首先去括号，再合并同类项，最后十字相乘法分解因式，解两个一元一次方程即可．解：∵x2﹣4＝3（x+2），∴x2﹣4＝3x+6，∴x2﹣3x﹣10＝0，∴（x﹣5）（x+2）＝0，∴x+2＝0或x﹣5＝0，∴x1＝﹣2，x2＝5．19．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），C（0，﹣3）两点．（1）求b，c的值；（2）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，并结合图象，写出当y＜0时，x的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法解答；（2）由（1）中所求得的b、c的值可以确定函数解析式，将一般式转化为交点式，易得点B的坐标；结合函数图象解答．解：（1）把A（﹣3，0），C（0，﹣3）分别代入y＝x2+bx+c，得．解得；（2）由（1）可得：抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），则A（﹣3，0），B（1，0）．观察函数图象知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°．（1）作⊙O，使它过点A、B、C（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的圆中，若AC＝2，AB＝4，求劣弧BC的长．【分析】（1）利用尺规作AB的垂直平分线，即可作⊙O，使它过点A、B、C；（2）根据AC＝2，AB＝4，利用弧长公式即可求劣弧BC的长．解：（1）如图，⊙O即为所求；（2）由（1）可知：OA＝OC＝AC＝2，∴△OAC是等边三角形，∴∠COA＝60°，∴∠COB＝120°，∴＝＝．答：劣弧BC的长为．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）21．为相应国家“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对A、B、C、D 四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出C厂家的合格率为95%，并根据检测数据绘制了如图1、图2两幅不完整的统计图．（1）抽查D厂家的零件为500件，扇形统计图中D厂家对应的圆心角为90°．（2）抽查C厂家的合格零件为380件，并将图1补充完整．（3）若要从A、B、C、D四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用“列表法”或“画树形图”的方法求出A、B两个厂家同时被选中的概率．【分析】（1）用2000乘以D所占的百分比得到抽查D厂家的零件数，然后用360°乘以D所占的百分比得到得到扇形统计图中D厂家对应的圆心角；（2）用2000乘以C厂家的合格率得到抽查C厂家的合格零件数，然后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出A、B两个厂家同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．解：（1）抽查D厂家的零件为2000（1﹣35%﹣20%﹣20%）＝500（件），扇形统计图中D厂家对应的圆心角＝×360°＝90°（2）抽查C厂家的合格零件＝2000×95%×20%＝380（件），条形统计图补充为：故答案为500，90°，380；（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中A、B两个厂家同时被选中的结果数为2，所以A、B两个厂家同时被选中的概率＝＝．22．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，得到△ADE，点B的对应点为点D，点C的对应点E落在BC边上，连接BD．（1）求证：DE⊥BC；（2）若AC＝3，BC＝7，求线段BD的长．【分析】（1）由旋转的性质可得AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，可得∠ACE ＝∠AEC＝45°＝∠AED，可得结论；（2）由直角三角形的性质可求EC＝6，可求BE＝1，由勾股定理可求BD的长．解：（1）∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴AC＝AE，∠CAE＝90°，∠AED＝∠ACE，∴∠ACE＝∠AEC＝45°＝∠AED，∴∠DEC＝90°，∴DE⊥BC；（2）∵AE＝AC＝3，∠EAC＝90°，∴EC＝6，∴BE＝BC﹣EC＝1，∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°，∴DE＝BC＝7，∴DB＝＝＝5．23．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握1次手．（1）若参加聚会的人数为6，则共握手15次，若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手n（n﹣1）次；（2）若参加聚会的人共握手36次，请求出参加聚会的人数；（3）小明由握手问题想到了一个数学问题：若线段AB上共有m个点（不含端点A、B），线段总数为多少呢？请直接写出结论．【分析】（1）利用握手的次数＝×参加聚会的人数×（参加聚会的人数﹣1），即可求出结论；（2）利用（1）的结论及参加聚会的人共握手36次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（3）利用线段的总数＝×点的个数×（点的个数﹣1），即可得出结论．解：（1）若参加聚会的人数为6，共握手×6×5＝15（次），若参加聚会的人数为n（n为正整数），共握手n（n﹣1）（次）．故答案为：15；n（n﹣1）．（2）依题意得：n（n﹣1）＝36，整理得：n2﹣n﹣72＝0，解得：n1＝9，n2＝﹣8（不合题意，舍去）．答：参加聚会的人数为9人．（3）∵线段AB上共有（m+2）（包含端点A、B）个点，∴线段总数为（m+2）（m+1）（条）．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．①求证：AG＝BG；②若AD＝4，CD＝5，求GF的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OA，OB，OC，在△OAC和△OAB中，，∴△OAC≌△OAB（SSS），∴∠OAC＝∠OAB，∴AO平分∠BAC，∴AO⊥BC．又∵AD∥BC，∴AD⊥AO，∴AD是⊙O的切线；（2）①证明：如图2，连接AE．∵∠BCE＝90°，∴∠BAE＝90°，又∵AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∵∠BAG+∠EAF＝∠AEB+∠EAF＝90°，∴∠BAG＝∠AEB，∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，∴∠BAG＝∠ABC，∴AG＝BG；②解：在△ADC和△AFB中，，∴△ADC≌△AFB（AAS），∴AF＝AD＝4，BF＝CD＝5，设FG＝x，在Rt△BFG中，FG＝x，BF＝5，BG＝AG＝x+4，∴FG2+BF2＝BG2，即x2+52＝（x+4）2，∴x＝，∴FG＝．25．如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，﹣3）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点P，使得△PBC的面积最大，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）由△PBC的面积＝S△PHB+S△PHC，即可求解；（3）分AC是边、AC是对角线两种情况，利用平移的性质和中点公式即可求解．解：（1）将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x﹣3；（2）设直线BC的表达式为y＝mx+n，则，解得，故直线BC的表达式为y＝x﹣3，过点P作y轴的平行线交BC于点H，设点P的坐标为（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3），则△PBC的面积＝S△PHB+S△PHC＝PH•OB＝×4×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x，∵﹣＜0，故该抛物线开口向下，△PBC的面积存在最大值，此时x＝2，则点P的坐标为（2，﹣3）；（3）存在，理由：设点N的坐标为（m，n），则n＝m2﹣m﹣3①，①当AC是边时，点A向下平移3个单位得到点C，则点M（N）向下平移3个单位得到点N（M），则0﹣3＝n或0+3＝n②，联立①②并解得或或（不合题意的值已舍去）；②当AC是对角线时，则由中点公式得：（0﹣3）＝（0+n）③，联立①③并解得（不合题意的值已舍去）；综上，点N的坐标为（2，﹣3）或（，﹣3）或（，﹣3）．。
2020-2021学年广东省广州市白云区九年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）方程x2﹣1＝0的解是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x＝±1D．无实数根2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（）A．（0，﹣1）B．（0，0）C．（0，1）D．（0，2）4．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝34°，则∠AOB的度数为（）A．34°B．56°C．60°D．68°5．（3分）如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（）A．BD＝OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C 6．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥0B．m≤0C．m≠1D．m≤0且m≠﹣17．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，1），则下列说法错误的是（）A．k＝﹣3B．函数的图象在第二、四象限C．函数图象经过点（3，﹣1）D．当x＞0时，y随x的增大而减小8．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（）A．点C在⊙B内B．点C在⊙B上C．点C在⊙B外D．无法确定9．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B 或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：①abc＜0；②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是．12．（3分）抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴的交点个数是个．13．（3分）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为．14．（3分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是．15．（3分）如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是．16．（3分）为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD ，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是m2．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．18．（4分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．求证：OP平分∠AOB．19．（6分）在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为；（2）随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，1），B （5，2），C（5，5）．（1）将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点B经过的路径长（结果保留π）．21．（8分）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数）中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值：x…﹣2﹣1012…y＝…m03n3…ax2+bx+c（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向，对称轴为；（2）求|m﹣n|的值．22．（10分）如图是一张长24cm，宽12cm的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．（1）a＝；（2）若铁盒底面积是80cm2，求剪去的小正方形边长．23．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），直线AB∥y轴，且与x轴交于点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点P．若⊙P经过点A，且与x轴交于B，C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由．24．（12分）（1）作图：如图，已知△ABC，∠ACB＜120°，①作等边△ACD，使得点D，B分别是直线AC异侧的两个点；②作等边△BCE，使得点E，A分别是直线BC异侧的两个点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）推理：在（1）所作的图中，设直线BD，AE的交点为P，连接PC，①求∠APD的度数；②猜想P A，PB，PC与AE之间的等量关系，并证明：（3）变式：已知△ABC，∠ACB＞120°，按（1）的方法作图后，设直线BD，AE的交点为P，连接PC．测得∠P AB＝15°，P A＝+，PB＝，PC＝．求点D到直线AB的距离．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2．（1）当S1＝3时，求抛物线对应函数的解析式；（2）判断是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；（3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y1的最大值与最小值的平均数（用含a 的式子表示）．2020-2021学年广东省广州市白云区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）方程x2﹣1＝0的解是（）A．x1＝x2＝1B．x1＝x2＝﹣1C．x＝±1D．无实数根【解答】解：x2﹣1＝0，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1，故选：C．2．（3分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、此图形是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；C、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．3．（3分）在下列各点中，抛物线y＝3x2经过点（）A．（0，﹣1）B．（0，0）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；所以抛物线y＝3x2经过点（0，0）．故选：B．4．（3分）如图，点A、B、C都在⊙O上，若∠C＝34°，则∠AOB的度数为（）A．34°B．56°C．60°D．68°【解答】解：∵∠C＝34°，∴∠AOB＝2∠C＝68°．故选：D．5．（3分）如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°，得到△OCD，则下列结论错误的是（）A．BD＝OB B．AB＝CD C．∠AOC＝∠BOD D．∠A＝∠C【解答】解：∵△OAB绕点O逆时针旋转80°得到△OCD，∴∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，OB＝OD，∵∠BOD≠90°，∴BD≠OB．故选：A．6．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m≥0B．m≤0C．m≠1D．m≤0且m≠﹣1【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有实数根，∴，解得m≤0且m≠﹣1．故选：D．7．（3分）反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，1），则下列说法错误的是（）A．k＝﹣3B．函数的图象在第二、四象限C．函数图象经过点（3，﹣1）D．当x＞0时，y随x的增大而减小【解答】解：A、反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，1），∴k＝﹣3×1＝﹣3，故本选项正确；B、∵k＝﹣3＜0，∴此函数图象的两个分支位于二四象限，故本选项正确；C、∵当x＝3时，y＝﹣1，∴此函数图象过点（3，﹣1），故本选项正确；D、∵k＝﹣3＜0，∴当x＞0时，y随着x的增大而增大，故本选项错误．故选：D．8．（3分）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（）A．点C在⊙B内B．点C在⊙B上C．点C在⊙B外D．无法确定【解答】解：过点C作CD⊥AB于D，∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝2，∵以点B为圆心，3为半径作⊙B，∴R＜d，∴点C在⊙B外．故选：C．9．（3分）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B 或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（）A．只闭合1个开关B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关D．闭合4个开关【解答】解：A、只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；B、只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意；C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；D、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；故选：B．10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且经过点（﹣3，0）．下列结论：①abc＜0；②若（﹣4，y1）和（3，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2；③a+b+c＜0；④对于任意实数m，均有am2+bm+c≥﹣4a．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，∴a＞0，∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点，∴c＜0，∵对称轴是直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，∴abc＜0，故①正确；∵（﹣4，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（2，y1），又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，2＜3，∴y1＜y2，故②错误；∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），∴抛物线与x轴另一交点为（1，0）．∴当x＝1时，y＝a+b+c＝0，故③错误；∵当x＝1时，y＝a+b+c＝0，b＝2a，∴c＝﹣3a，∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y有最小值，∴am2+bm+c≥a﹣b+c（m为任意实数），∴am2+bm+c≥﹣4a，故④正确，故结论正确有2个．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．（3分）点A（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．【解答】解：根据两个点关于原点对称，∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）；故答案为（2，﹣3）．12．（3分）抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴的交点个数是2个．【解答】解：令x2﹣3x+2＝0，∵△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，∴抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴的交点个数是2．故答案是：2．13．（3分）已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为12．【解答】解：∵正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a＝2，正六边形的周长l＝6a＝12，故答案为：12．14．（3分）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成四个扇形，标号分别为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个数字．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形区域）．指针指向扇形Ⅰ的概率是．【解答】解：扇形Ⅰ的圆心角：360°﹣60°﹣120°﹣45°＝135°，设圆的半径为r，则指针指向扇形Ⅰ的概率是：＝，故答案为：．15．（3分）如图，从一块边长为2的等边三角形卡纸上剪下一个面积最大的扇形，并将其围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是．【解答】解：连接AD，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AD＝2×＝，∴扇形的弧长为＝π，∴圆锥的底面圆的半径是π÷π÷2＝．故答案为：．16．（3分）为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD ，如图，他将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的面积是（24﹣4π）m2．【解答】解：连接BP，如图，由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线，∵EF＝4m，∴BP＝2m，∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A，B，C，D，半径为2m的四分之一圆，以及BC和AD上的一段线段．长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4＝24（m2）．∴种植年花的区域的面积是：24﹣π×22＝（24﹣4π）（m2）．故答案为：（24﹣4π）．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（4分）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【解答】解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．18．（4分）如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接OP．求证：OP平分∠AOB．【解答】证明：∵P A，PB是⊙O的切线，∴OA⊥P A，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，在Rt△OAP和Rt△OBP中，，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP＝∠BOP，即OP平分∠AOB．19．（6分）在一个不透明的盒子中装有四个球，它们分别印有“我”、“爱”、“白”、“云”字样．这些球的形状、大小、质地等完全相同，即除字样外无其他差别．（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为；（2）随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个．求两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率．【解答】解：（1）随机摸出一个球，恰好摸到“爱”字球的概率为，故答案为：；（2）列表如下：我爱白云我（我，我）（爱，我）（白，我）（云，我）爱（我，爱）（爱，爱）（白，爱）（云，爱）白（我，白）（爱，白）（白，白）（云，白）云（我，云）（爱，云）（白，云）（云，云）由表可知，共有16种等可能结果，其中两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的有7种结果，所以两次摸到的球中，至少有一次摸到“云”字球的概率为．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC各顶点的坐标分别为A（1，1），B （5，2），C（5，5）．（1）将△ABC绕点O旋转180°后，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；（2）在（1）的条件下，求旋转过程中，点B经过的路径长（结果保留π）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）∵OB ＝＝，∴点B 经过的路径长为π．21．（8分）在二次函数y＝ax2+bx+3（a，b是常数）中，列表表示几组自变量x与函数值y的对应值：x…﹣2﹣1012……m03n3…y＝ax2+bx+c（1）根据以上信息，可得该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1；（2）求|m﹣n|的值．【解答】解：（1）根据表格信息，可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1；故答案为：下，直线x＝1；（2）把（﹣1，0），（0，3），（2，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，当x＝﹣2时，m＝﹣4﹣4+3＝﹣5；当x＝1时，n＝﹣1+2+3＝4；∴|m﹣n|＝|﹣5﹣4|＝9．22．（10分）如图是一张长24cm，宽12cm的矩形铁皮，将其剪去一个小正方形和两个矩形，剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒．（1）a＝12cm；（2）若铁盒底面积是80cm2，求剪去的小正方形边长．【解答】解：（1）设底面长为mcm，宽为ncm，正方形的边长为xcm，根据题意得：，由②③得2a＝24，解得a＝12（cm），故答案为：12cm；（2）根据题意，得mn＝80，由，得由①得，n＝12﹣2x，把a＝12代入②得m＝12﹣x，再把m和n代入mn＝80中，得（12﹣x）（12﹣2x）＝80，解得x＝2或x＝16（舍去）．答：剪去的小正方形边长为2cm．23．（10分）如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（2，6），直线AB∥y轴，且与x轴交于点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A和点P．若⊙P经过点A，且与x轴交于B，C两点．（1）求k的值和点C的坐标；（2）判断⊙P与y轴的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点A的坐标为（2，6），∴k＝2×6＝12，∴反比例函数的解析式为y＝，∵⊙P经过A、B点，∴P A＝PB，∴P在AB的垂直平分线上，∵直线AB∥y轴，∴B（2，0），P点的纵坐标为3，把y＝3代入y＝得，3＝，则x＝4，∴P（4，3），∵⊙P与x轴交于B，C两点，∴P是BC的垂直平分线上的点，∴C（6，0）；（2）相离，理由如下：∵P（4，3），B（2，0），∴PB＝＝，∴⊙P的半径为，∵P的横坐标为4，4＞，∴⊙P与y轴相离．24．（12分）（1）作图：如图，已知△ABC，∠ACB＜120°，①作等边△ACD，使得点D，B分别是直线AC异侧的两个点；②作等边△BCE，使得点E，A分别是直线BC异侧的两个点；（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）（2）推理：在（1）所作的图中，设直线BD，AE的交点为P，连接PC，①求∠APD的度数；②猜想P A，PB，PC与AE之间的等量关系，并证明：（3）变式：已知△ABC，∠ACB＞120°，按（1）的方法作图后，设直线BD，AE的交点为P，连接PC．测得∠P AB＝15°，P A＝+，PB＝，PC＝．求点D到直线AB的距离．【解答】解：（1）如图1，①则等边△ACD即为所求作的三角形；②则等边△BCE即为所求作的三角形；（2）①如图2，∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AC＝CD，BC＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD+∠BCA＝∠BCA+∠BCE，即∠BCD＝∠ACE，∴△DCB≌△ACE（SAS），∴∠CDB＝∠ACE，∵∠COD＝∠AOP，②AE＝P A+PB+PC，理由是：如图2，在PD上截取DM＝AP，∵DC＝AC，∠CDM＝∠CAP，∴△CDM≌△CAP（SAS），∴CM＝PC，∠DCM＝∠ACP，∵∠ACD＝∠DCM+∠ACM＝60°，∴∠ACM+∠ACP＝60°，即∠PCM＝60°，∴△PCM是等边三角形，∴PM＝PC，∵BD＝DM+PM+PB＝AE，∴AE＝P A+PB+PC；（3）如图3，过点D作DG⊥AB于G，在BD上截取DM＝AP，连接CM，由（2）同理得：△DCB≌△ACE，∴BD＝AE，∠CAE＝∠CDB，∵AC＝CD，AP＝DM，∴△ACP≌△DCM（SAS），∴PC＝CM，∠ACP＝∠DCM，∴△PCM是等边三角形，∴PC＝PM，∵P A＝+，PB＝，PC＝，∴P A+PB﹣PC＝++﹣＝+，∵P A+PB﹣PC＝DM+PB﹣PM＝BD，∴BD＝+，∵∠APD＝∠ACB＝60°＝∠P AB+∠PBA，∴∠PBA＝60°﹣15°＝45°，∵DG⊥AB，∴∠DGB＝90°，∴△DGB是等腰直角三角形，∴DG＝BD＝＝+；即点D到直线AB的距离是+．25．（12分）已知抛物线y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B 的左边），与y轴交于点C．顶点D不在第二象限，记△ABC的面积为S1，△ACD的面积为S2．（1）当S1＝3时，求抛物线对应函数的解析式；（2）判断是否为定值，如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由；（3）当a取每一个确定的值时，把抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象．当0≤x≤a+1时，结合图象，求y1的最大值与最小值的平均数（用含a 的式子表示）．【解答】解：y＝ax2+2ax﹣3a（a是常数）与x轴交于A，B两点，则令y＝ax2+2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3a，故点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3a），则抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝ax2+2ax﹣3a＝﹣4a，故点D的坐标为（﹣1，﹣4a）；∵抛物线和x轴有两个交点，且顶点D不在第二象限，则抛物线的顶点在第三象限，则a＞0，函数大致图象如下：（1）由题意得：S1＝×AB×OC＝×4×3a＝6a＝3，解得a＝，故抛物线的表达式为y＝x2+x﹣；（2）是定值2，理由：过点D作DH⊥y轴于点H，则S2＝S梯形ADHO﹣S△CDH﹣S△ACO＝（1+3）×4a﹣×1×（﹣3a+4a）﹣×3×3a＝3a，由（1）知S1＝6a，故＝2；（3）∵抛物线y＝ax2+2ax﹣3a向右平移a个单位后，得到函数y1的图象，根据平移的性质，y1＝a（x﹣a）2+2a（x﹣a）﹣3a＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a），由平移的性质知，平移后的抛物线对称轴为直线x＝﹣1+a，∵﹣1+a＜a+1，故x＝a+1在新抛物线对称轴的右侧．①当x＝a﹣1≤0时，即x＝0在x＝a﹣1的右侧，即0＜a≤1，当0＜a≤1时，则a+1＜2，则抛物线在x＝a+1时取得最大值，而在x＝0时取得最小值；当x＝a+1时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝0，当x＝0时，y1＝ax2+2a（1﹣a）x+（a3﹣2a2﹣3a）＝a3﹣2a2﹣3a，则y1的最大值与最小值的平均数＝（a3﹣2a2﹣3a）＝a3﹣a2﹣a；②当a﹣1＞0时，则此时，顶点的横坐标0＜a﹣1≤a+1，当x＝a﹣1时，y1取得最小值为y1＝a（a﹣1）2+2a（1﹣a）（a﹣1）+（a3﹣2a2﹣3a）＝﹣4a，当a﹣1﹣0＜a+1﹣（a﹣1），即1＜a＜3，则当x＝a+1时，y1的最大值为0，∴y1的最大值与最小值的平均数＝＝﹣2a，当a﹣1﹣0≥a+1﹣（a﹣1），即a≥3，当x＝0时，y1取得最大值，此时y1＝a3﹣2a2﹣3a，则y1的最大值与最小值的平均数＝；即y1的最大值与最小值的平均数＝．。