陕西省高考数学模拟试题(文科)
2020年陕西省高考数学(文科)模拟试卷(6)
2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（6）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|√3−i|，则z＝（）A．√2i B．−√2i C．1﹣i D．√2−√2i3．（5分）等比数列{a n}，若a12＝4，a18＝8，则a36为（）A．32B．64C．128D．2564．（5分）设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m与销售额y（单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：y3040p5070m24568经测算，年广告支出m与年销售额y满足线性回归方程y=6.5m+17.5，则p的值为（）A．45B．50C．55D．606．（5分）如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E，F，EF=12，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱锥A﹣BEF的体积为定值D．异面直线AE，BF所成角为定值7．（5分）利用计算机产生[0，1]之间的均匀随机数a ，则事件“3a ﹣2＜0“发生的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．238．（5分）已知向量a →，b →满足|a →|=√2，|b →|=1，且|b →+a →|=2，则向量a →与b →的夹角的余弦值为（ ） A ．√22B ．√23C ．√28D ．√24 9．（5分）已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式f(x)x−1＜0的解集为（ ）A ．（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3）B ．（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0）∪（0，1） 10．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 29−y 216=1的左右焦点，M 是C 上的一点，若|MF 1|＝7，则|MF 2|＝（ ） A ．13B ．1或13C ．15D ．1或1511．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．32π3B ．4π3C ．2πD ．4π12．（5分）过点A （1，√2）的直线l 与x 轴的正半轴交于点B ，若直线l ′：y ＝2√2x 交于点C ，且点C 在第一象限内，O 为坐标原点，设|OB |＝x ，若f （x ）＝|OB |+|OC |，则函数y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2＝4上两点，点A （1，1），且AB →•AC →=0，AM →=12（AB →+AC →），则△OAM 面积的最大值为 ．14．（5分）已知点Q （x 0，y 0）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上，则过Q 点与抛物线相切的切线方程是 ．15．（5分）已知两圆x 2+y 2＝10和（x ﹣1）2+（y ﹣a ）2＝20相交于A 、B 两个不同的点，且直线AB 与直线3x ﹣y +1＝0垂直，则实数a ＝ ．16．（5分）从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在△ABC中，BC=√5，AC=3，sinC=2sinA（Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）求sin(2A−π4)的值．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）根据直方图估计这组数据的众数，中位数（保留两位小数）．19．（12分）如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE＝CD ＝2．（1）求证：平面BDE⊥平面BCD；（2）求三棱锥D﹣BCE的高．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （2，1）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 平行于OM ，且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，若∠AOB 为钝角，求直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围．21．（12分）已知函数f(x)=lnx −x 2+f′(12)⋅x+22． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）证明：(12x 2+x +1)f(x)＜2e x ．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+tcosαy =1+tsinα（t 为参数），其中α≠π2．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcos θ+4＝0．（1）写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2与C 1交于两点，记点A ，B 相应的参数分别为t 1，t 2，当t 1+t 2＝0时，求|AB |的值．五．解答题（共1小题）23．设f （x ）＝3|x ﹣1|+|x +1|的最小值为k ． （1）求实数k 的值；（2）设m ，n ∈R ，且m 2+4n 2＝k ．求1m +1n +1的最小值．2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B＝A，∴A⊆B．∵集合A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，∴a≥2故选：D．2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|√3−i|，则z＝（）A．√2i B．−√2i C．1﹣i D．√2−√2i【解答】解：由（1+i）z＝|√3−i|＝2，得z=21+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，故选：C．3．（5分）等比数列{a n}，若a12＝4，a18＝8，则a36为（）A．32B．64C．128D．256【解答】解：∵数列{a n}为等比数列，∴a182＝a12a24，∵a12＝4，a18＝8，a12，a18，a24同号∴a24＝16．∴由a242＝a12a36，得：a36＝64，故选：B．4．（5分）设a，G，b∈R，则“G2＝ab”是“G为a，b的等比中项”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若G是a，b的等比中项，则G2＝ab．当a＝b＝G＝0时，满足G2＝ab，但a，G，b不能构成等比数列，所以“G 2＝ab ”是“G 是a ，b 的等比中项”的必要不充分条件． 故选：B ．5．（5分）某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近5年的广告支出m 与销售额y （单位：百万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据：y 30 40 p 50 70 m24568经测算，年广告支出m 与年销售额y 满足线性回归方程y =6.5m +17.5，则p 的值为（ ） A ．45B ．50C ．55D ．60【解答】解：m =2+4+5+6+85=5，∴y =6.5×5+17.5＝50， ∴30+40+p+50+705=50，解得p ＝60．故选：D ．6．（5分）如图，正方体的棱长为1，线段B ′D ′上有两个动点E ，F ，EF =12，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成角为定值 【解答】解：如图，∵AC ′是正方体，∴底面ABCD 为正方形，连结AC ，则AC ⊥BD ， 又BB ′⊥底面ABCD ， ∴BB ′⊥AC ， BB ′∩BD ＝B ， ∴AC ⊥面BB ′D ′D ， ∴AC ⊥BE ．选项A 正确；∵EF ∥BD ，BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD ， ∴EF ∥面ABCD ．选项B 正确； ∵△BEF 的底EF =12，高为BB ′＝1， ∴S △BEF 为定值．又三棱锥A ﹣BEF 的高为AO 为定值，∴三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值．选项C 正确； ∴不正确的选项为D ． 故选：D ．7．（5分）利用计算机产生[0，1]之间的均匀随机数a ，则事件“3a ﹣2＜0“发生的概率为（ ） A ．12B ．13C ．14D ．23【解答】解：由题意可得总的线段长度为1﹣0＝1， 在其中满足3a ﹣2＜0，即a ＜23， ∴所求概率P =23−01−0=23， 故选：D ．8．（5分）已知向量a →，b →满足|a →|=√2，|b →|=1，且|b →+a →|=2，则向量a →与b →的夹角的余弦值为（ ） A ．√22B ．√23C ．√28D ．√24【解答】解：由题意可知|a →|=√2，|b →|=1，且|b →+a →|=2，可得3+2a →⋅b →=4，解得a →⋅b →=12， 向量a →与b →的夹角的余弦值：cos ＜a →，b →＞=122=√24． 故选：D ．9．（5分）已知奇函数f （x ）在（0，+∞）上的图象如图所示，则不等式f(x)x−1＜0的解集为（ ）A ．（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3）B ．（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（3，+∞）C ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0）∪（0，1） 【解答】解：不等式f(x)x−1＜0转化为（x ﹣1）f （x ）＜0，则{x −1＞0f(x)＜0，或{x −1＜0f(x)＞0，∴1＜x ＜3，0＜x ＜1，或﹣3＜x ＜﹣1， ∴等式f(x)x−1＜0的解集为（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3），故选：A ．10．（5分）已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 29−y 216=1的左右焦点，M 是C 上的一点，若|MF 1|＝7，则|MF 2|＝（ ） A ．13B ．1或13C ．15D ．1或15【解答】解：F 1，F 2分别为双曲线C ：x 29−y 216=1的左右焦点，可得a ＝3，b ＝4，c ＝5，M 是C 上的一点，且|MF 1|＝7＜a +c ＝8，M 在双曲线的左支上， 则|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ＝6， 解得|MF 2|＝13． 故选：A ．11．（5分）已知底面边长为1，侧棱长为√2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．32π3B ．4π3C ．2πD ．4π【解答】解：∵正四棱柱的各顶点均在同一个球面上， ∴正四棱柱的外接球的直径2R =√12+12+(√2)2=2， 则R ＝1．∴球的表面积为4π×12＝4π． 故选：D ．12．（5分）过点A （1，√2）的直线l 与x 轴的正半轴交于点B ，若直线l ′：y ＝2√2x 交于点C ，且点C 在第一象限内，O 为坐标原点，设|OB |＝x ，若f （x ）＝|OB |+|OC |，则函数y ＝f （x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由题意作图如下，当直线AB 与直线l ′：y ＝2√2x 平行时，√2−01−x=2√2，解得，x =12； 设C （a ，2√2a ）， ∵A ，B ，C 三点共线， ∴2√2a−√2a−1=√2−01−x，解得，a =12x−1， 故|OC |=√8+112x−1=32x−1， 故f （x ）＝x +32x−1， 故选：B ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2＝4上两点，点A （1，1），且AB →•AC →=0，AM →=12（AB →+AC →），则△OAM 面积的最大值为 √32 ．【解答】解：如图，AM →=12（AB →+AC →），M 是BC 的中点，延长AM 至E ，使得M 为AE 的中点，设E （x ，y ），由AE →=AB →+AC →可知，四边形ABEC 为平行四边形，又AB →•AC →=0，则平行四边形ABEC 为矩形，∴由矩形性质可知，OE 2+OA 2＝OB 2+OC 2，即OE 2+2＝4+4， ∴x 2+y 2＝6，即点E 的轨迹为以原点为圆心，√6为半径的圆， ∴点E 到直线OA 的距离为d ∈（0，√6]， ∴（S △OAE ）max =12×√2×√6=√3． △OAM 面积的最大值为：√32． 故答案为：√32．14．（5分）已知点Q （x 0，y 0）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上，则过Q 点与抛物线相切的切线方程是 y 0y ＝p （x +x 0） ．【解答】解：由题意，设过抛物线y 2＝2px （p ＞0）上的点Q （x 0，y 0）的切线的斜率为k ，则由点斜式可得切线方程为y ﹣y 0＝k （x ﹣x 0）． 联立{y −y 0=k(x −x 0)y 2=2px，消去y ，整理得k 2x 2﹣2（k 2x 0﹣ky 0+p ）x +（kx 0﹣y 0）2＝0． ∵直线与抛物线相切，∴△＝0，即4（k 2x 0﹣ky 0+p ）2﹣4k 2（kx 0﹣y 0）2＝0． 整理，得2x 0k 2﹣2y 0k +p ＝0．解得k =2y 0±√4y 02−8px 04x 0．∵点Q （x 0，y 0）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）上，∴y 02=2px 0，∴4y 02−8px 0＝0，即k =y 02x 0． 将k =y2x 0代入切线方程，可得y ﹣y 0=y 02x 0（x ﹣x 0）． 整理，得2x 0y ＝y 0（x +x 0）．∴y 02=2px 0，∴x 0=y 022p ，代入上式可得y 0y ＝p （x +x 0）．∴过Q 点与抛物线相切的切线方程是y 0y ＝p （x +x 0）． 故答案为：y 0y ＝p （x +x 0）．15．（5分）已知两圆x2+y2＝10和（x﹣1）2+（y﹣a）2＝20相交于A、B两个不同的点，且直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，则实数a＝3．【解答】解：由题意，两圆相减可得2x+2ay﹣a2+9＝0，∵直线AB与直线3x﹣y+1＝0垂直，∴−1a×3＝﹣1，∴a＝3，故答案为3．16．（5分）从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升，然后加满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒4次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%．【解答】解：设开始的浓度为1，操作1次后的浓度为a1＝1−1 a，操作n次后的浓度为a n，则a n+1＝a n（1−1 a），∴数列{a n}构成a1＝1−1a为首项，q＝1−1a为公比的等比数列，∴a n＝（1−1a）n，即第n次操作后溶液的浓度为（1−1a）n；当a＝2时，可得a n＝（1−1a）n=(12)n，由a n＝（12）n＜110，解得n＞4．∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%．故答案为：4．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在△ABC中，BC=√5，AC=3，sinC=2sinA （Ⅰ）求AB的值；（Ⅱ）求sin(2A−π4)的值．【解答】解：（Ⅰ）BC=√5，AC=3，sinC=2sinA在△ABC中，根据正弦定理，于是AB=sinCsinA⋅BC=2BC=2√5（Ⅱ）在△ABC中，根据余弦定理，得cos A=AB2+AC2−BD22AB⋅AC=2√55．于是sin A=√1−cos2A=√55从而sin2A＝2sin A cos A=4 5，则cos2A＝cos2A﹣sin2A=3 5，故得sin(2A−π4)=sin2A cosπ4−cos2A sinπ4=√210．18．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中的a值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（3）根据直方图估计这组数据的众数，中位数（保留两位小数）．【解答】解：（1）∵1＝（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2＝1.4+2a，∴解得：a＝0.3．（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5＝0.12，又样本容量＝30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12＝3.6万．（3）众数是2.25，根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5＝0.47＜0.5，0.47+0.5×0.52＝0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x＝0.5，解得x＝0.06；∴中位数是2+0.06＝2.06．19．（12分）如图，△ABC为边长为2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE＝CD＝2．（1）求证：平面BDE ⊥平面BCD ； （2）求三棱锥D ﹣BCE 的高．【解答】（1）证明：取BD 边的中点F ，BC 的中点为G ，连接AG ，FG ，EF ， 由题意可知，FG 是△BCD 的中位线所以FG ∥AE 且FG ＝AE ，即四边形AEFG 为平行四边形， 所以AG ∥EF由AG ⊥平面BCD 可知，EF ⊥平面BCD ，又EF ⊂面BDE ， 故平面BDE ⊥平面BCD ；（2）解：过B 做BK ⊥AC ，垂足为K ，因为AE ⊥平面ABC ， 所以BK ⊥平面ACDE ，且BK =2×√32=√3所以V 四棱锥B ﹣ACDE =13×12(1+2)×2×√3=√3V 三棱锥E ﹣ABC =13×12×2×√3×1=√33 所以V 三棱锥D ﹣BCE ＝V 四棱锥B ﹣ACDE ﹣V 三棱锥E ﹣ABC =√3−√33=2√33因为AB ＝AC ＝2，AE ＝1，所以BE =CE =√5，又BC ＝2 所以S △ECB =12×2×√5−1=2 设所求的高为h ，则由等体积法得13×2×ℎ=2√33所以ℎ=√3．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （2，1）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 平行于OM ，且与椭圆C 交于A ，B 两个不同的点，若∠AOB 为钝角，求直线l 在y 轴上的截距m 的取值范围． 【解答】解：（1）∵椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√32，点M （2，1）在椭圆C 上．∴{ e =ca =√324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a ＝2√2，b =√2，c =√6， ∴椭圆C 的方程为x 28+y 22=1．（2）由直线l 平行于OM ，得直线l 的斜率k ＝k OM =12， 又l 在y 轴上的截距为m ，∴l 的方程为y =12x +m ． 由{y =12x +m x 28+y22=1，得x 2+2mx +2m 2﹣4＝0． 又直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，△＝（2m ）2﹣4（2m 2﹣4）＞0，于是﹣2＜m ＜2．∠AOB 为钝角等价于OA →⋅OB →＜0，且m ≠0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(12x 1+m)(12x 2+m)=54x 1x 2+m2(x 1+x 2)+m 2＜0， 由韦达定理x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2＝2m 2﹣4，代入上式，化简整理得m 2＜2，即√2＜m ＜√2，故所求范围是（−√2，0）∪（0，√2）． 21．（12分）已知函数f(x)=lnx −x 2+f′(12)⋅x+22． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间； （Ⅱ）证明：(12x 2+x +1)f(x)＜2e x ．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）的定义域为（0，+∞），f ′(x)=1x −2x +12f′(12)则f ′(12)=2−1+12f′(12)，解得f ′(12)=2，所以f （x ）＝lnx ﹣x 2+x +2．此时，f ′(x)=1x −2x +1=−2x 2+x+1x，由f '（x ）＞0得0＜x ＜1，f '（x ）＜0得 x ＞1， 所以函数f （x ）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）． （Ⅱ）证明：不等式(12x 2+x +1)f(x)＜2e x 等价于f(x)＜2e x12x 2+x+1， 由（Ⅰ）f （x ）在（0，+∞）上的最大值为f （x ）max ＝f （1）＝2， 所以f （x ）≤2①，令g(x)=e x −(12x 2+x +1)(x ＞0)，所以g '（x ）＝e x ﹣x ﹣1，（g '（x ））′＝e x ﹣1，所以，当x ＞0时，（g '（x ））′＞0，所以g '（x ）在（0，+∞）上单调递增，所以g '（x ）＞g '（0）＝0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递增，所以g （x ）＞g （0）＝0，即e x −(12x 2+x +1)＞0， 因为x ＞0，所以e x 12x 2+x+1＞1，所以，x ＞0时，(12x 2+x +1)f(x)＜2e x ． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+tcosαy =1+tsinα（t 为参数），其中α≠π2．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcos θ+4＝0．（1）写出曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；（2）已知曲线C 2与C 1交于两点，记点A ，B 相应的参数分别为t 1，t 2，当t 1+t 2＝0时，求|AB |的值．【解答】解：（1）线C 1的参数方程为{x =2+tcosαy =1+tsinα（t 为参数），所以：C 1的普通方程：y ＝（x ﹣2）tan α+1，其中α≠π2； 曲线C 2的极坐标方程为ρ2﹣6ρcos θ+4＝0． 所以：C 2的直角坐标方程：（x ﹣3）2+y 2＝5． （2）由题知直线恒过定点P （2，1），又t 1+t 2＝0， 由参数方程的几何意义知P 是线段AB 的中点，曲线C2是以C2（3，0）为圆心，半径r=√5的圆，且|PC2|2=2．由垂径定理知：|AB|=2√r2−|PC2|2=2√5−2=2√3．五．解答题（共1小题）23．设f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|的最小值为k．（1）求实数k的值；（2）设m，n∈R，且m2+4n2＝k．求1m2+1n2+1的最小值．【解答】解：（1）f（x）＝3|x﹣1|+|x+1|={4x−2，x＞14−2x，−1≤x≤1−4x+2，x＜−1，所以f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min＝f（1）＝2，所以k＝2；（2）由（1）知，m2+4n2＝k＝2，所以1m2+1n2+1=[m26+4(n2+1)6](1m2+1n2+1)，=56+m 22+4(n2+1)2≥56+2√m22⋅4(n2+1)2=32，当且仅当m26(n+1)=4(n2+1)6m，即m2＝2，n2＝0时取等号，所以1m +1n+1的最小值为32．。
2020届陕西省高考数学全真模拟文科试卷(五)(有答案)
陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五）一、选择题1．设复数z=（2﹣i）2，则z的共轭复数为（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i2．﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤14．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）5．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．6．一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．64 D．567．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．58．如图，一面旗帜由A，B，C三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则A区域是红色的概率是（）A．B．C．D．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．210．执行如图的算法语句，则输出S为（）A．B．C．D．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．712．已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2）C． D．二、填空题13．已知实数x，y满足，则x+2y的最大值为______．14．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是______．（填上你认为正确的所有命题的序号）15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为______．16．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=______．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2．（1）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值；（2）若x∈[0，]，求f（x）的最小值．18．如图，直三棱柱ABC﹣A′B′C′中，AA′=2AC=2BC，E为AA′的中点，C′E⊥BE．（1）求证：C′E⊥平面BCE；（2）若AC=2，求三棱锥B′﹣ECB的体积．19．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？（2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如表：学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8数学分数x 60 65 70 75 80 85 90 95地理分数y 72 77 80 84 88 90 93 95①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率；②根据如表，用变量y与x的相关系数或散点图说明地理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：=b+a，其中：b=，a=﹣b，是x i对应的回归估计值．参考数据：≈77.5，≈84.9，=1050，≈456.9，≈687.5，≈32.4，≈21.4，≈23.5．20．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问•是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．21．设函数f（x）=﹣klnx，k∈R．（1）求f（x）的单调性；（2）判断方程f（x）=0在区间（1，）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求|MB|•|MC|为定值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（五）参考答案与试题解析一、选择题1．设复数z=（2﹣i）2，则z的共轭复数为（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z=（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，∴．故选：A．2．﹣sin215°的值为（）A．B．C．D．【考点】二倍角的余弦．【分析】直接利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：﹣sin215°=cos30°==．故选：B．3．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x∈R，cosx≤1，故选：D．4．已知平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）【考点】平面向量的坐标运算．【分析】直接利用向量的运算法则求解即可．【解答】解：平面向量=（1，1），=（1，﹣1），则向量﹣=（1，1）﹣=（﹣1，2）．故选：D5．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n}的公差为d，首项为a1，由题意得，解得，故选D．6．一个简单组合体的三视图及尺寸如图所示（单位：mm），则该组合体的体积为（）A．32 B．48 C．64 D．56【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成．利用长方体的体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两个长方体组成．上面的长方体的棱长分别为：5，4，2；下面的长方体的棱长分别为：6，4，1．∴该组合体的体积=5×4×2+6×4×1=64．故选：C．7．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5D．5【考点】解三角形的实际应用．【分析】△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：由题意，△ABC中，|AB|=10n mile，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°∴由正弦定理可得=，∴|BC|=5n mile．故选：D．8．如图，一面旗帜由A，B，C三块区域构成，这三块区域必须涂上不同的颜色，现有红、黄、绿、黑四种颜色可供选择，则A区域是红色的概率是（）A．B．C．D．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】由题意知本题是一个古典概型，列出树状图，要做到不重不漏，从树状图可以看出试验发生的所有事件，数出满足条件的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，如图所有可能结果共有4×6=24种．A区域是红色可能结果有6种，所以A区域是红色的概率是=．故选：B．9．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0，则它的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x﹣2y=0能够得到，由此能够推导出双曲线的离心率．【解答】解：由得b=2a，，．故选A．10．执行如图的算法语句，则输出S为（）A．B．C．D．【考点】伪代码．【分析】模拟执行程序，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值，用裂项法即可计算求值．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出S=1++++…+的值．由于S=1++++…+=1+2×[（）+（）+…+（﹣）]=1+2×（﹣）=．故选：B．11．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，然后利用向量模的运算性质求得||的最小值．【解答】解：∵=0，∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∴AC为△ABC外接圆直径，如图，设坐标原点为O，则==，∵P是圆x2+y2=4上的动点，∴，∴||=．当与共线时，取得最小值5．故选：B．12．已知函数和函数，若存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[1，2）C． D．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】根据已知函数f（x）的定义域，求出其值域，对于g（x）利用导数求出其值域，已知存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），可知g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值；【解答】解：函数，当＜x≤1时，f（x）=，f′（x）==＞0，f（x）为增函数，∴f（）＜f（x）≤f（1），∴f（x）∈（，]；当0≤x≤时，f（x）=﹣x+，为减函数，∴f（）≤f（x）≤f（0），∴f（x）∈[0，]，综上：f（x）∈[0，]；函数，g′（x）=，0≤≤，∴g′（x）＞0；g（x）为增函数，g（0）≤g（x）≤g（1），∴g（x）=[1﹣a，1﹣]，∵存在x1，x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2）成立，∴g（x）的最大值大于等于f（x）的最小值，g（x）的最小值小于等于f（x）的最大值，∴解得≤a≤2，故选C；二、填空题13．已知实数x，y满足，则x+2y的最大值为3．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过点A（0，3）时，z最大值即可．【解答】解：根据约束条件，画出可行域如图：直线z=x+2y过点A时，z最大值，由，解得A（1，1）．即目标函数z=x+2y的最大值为3，故答案为：3．14．已知l、m是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：①若l⊂β，且α⊥β，则l⊥α；②若l⊥β，且α∥β，则l⊥α；③若l⊥β，且α⊥β，则l∥α；④若α∩β=m，且l∥m，则l∥α．其中真命题的序号是②．（填上你认为正确的所有命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】对于①，根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个；对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α；对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α【解答】解：对于①，若l⊂β，且α⊥β，则根据线面垂直的判定可知，只要当l与两面的交线垂直时才有l⊥α，所以①错；对于②，根据若一条直线垂直与两平行平面中的一个，一定垂直与另一个，即若l⊥β，α∥β，l⊥α；②正确对于③，若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l⊂α，所以③错对于④，若l∥m，且α∩β=m，则l∥α或l⊂α，所以④错故答案为②15．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为a＞b＞c．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称；令g（x）=，则g′（x）=，当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立，即xf′（x）﹣f′（x）＞0成立；∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，∵1＜m＜2，∴2＜2m＜4，0＜＜1，∴a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．16．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB斜率为k，得出AB的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出A，B两点的坐标的关系，令k MA•k MB=﹣1列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=kx﹣k．联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=﹣4．∵•=0，∴MA⊥MB，∴k MA•k MB=﹣1．即=﹣1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+4+x1x2+x1+x2+1=0，∴﹣4﹣+4+1+2++1=0，解得k=1．故答案为：1．三、解答题17．已知函数f（x）=2sinx（cosx+sinx）﹣2．（1）若点P（，﹣1）在角α的终边上，求f（α）的值；（2）若x∈[0，]，求f（x）的最小值．【考点】三角函数的最值；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】（1）根据题意和任意角的三角函数定义求出sinα、cosα，代入解析式求出f（α）的值；（2）根据二倍角公式、两角差的正弦公式化简解析式，由x求出的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的最小值．【解答】解：（1）∵点P（，﹣1）在角α的终边上，∴sinα=，cosα=，∴f（x）=2sinα（cosα+sinα）﹣2=2×（）﹣2=﹣3；（2）由题意得，f （x ）=2sinx （cosx +sinx ）﹣2 =sin2x +2sin 2x ﹣2=sin2x ﹣cos2x ﹣1 =，由x 得，，则，即，∴f （x ）的最小值是f （0）=﹣2．18．如图，直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′中，AA ′=2AC=2BC ，E 为AA ′的中点，C ′E ⊥BE ． （1）求证：C ′E ⊥平面BCE ；（2）若AC=2，求三棱锥B ′﹣ECB 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定． 【分析】（1）证明C ′E ⊥EC ，利用C ′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ，即可证明C ′E ⊥平面BCE ； （2）利用等体积转化求三棱锥B ′﹣ECB 的体积． 【解答】（1）证明：在矩形A ′ACC ′中，E 为A ′A 中点且AA ′=2AC ， ∴EA=AC ，EA ′=A ′C ′， ∴∠AEC=∠A ′EC=45°， ∴C ′E ⊥EC ，∵C ′E ⊥BE ，CE ∩BE=E ， ∴C ′E ⊥平面BCE ；（2）解：∵B ′C ′∥BC ，B ′C ′⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ， ∴B ′C ′∥平面BCE ， ∴V B ′﹣ECB =V C ′﹣ECB ， ∵C ′E ⊥平面BCE ， ∴C ′E ⊥BC ，∵BC ⊥CC ′，C ′E ∩CC ′=C ′，∴BC ⊥平面ACC ′A ′′∴BC ⊥CE ， ∵AC=2，∴BC=2，EC=EC ′=2， ∴V B ′﹣ECB =V C ′﹣ECB ==．19．班主任想对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．（1）如果按性别比例分层抽样，男女生各抽取多少位才符合抽样要求？ （2）随机抽出8位，他们的数学、地理成绩对应如表：学生编号1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数x 6065 70 75 80 85 90 95 地理分数y 7277 80 84 88 90 93 95①若规定85分以上（包括85分）为优秀，在该班随机调查一位同学，他的数学和地理分数均为优秀的概率；②根据如表，用变量y与x的相关系数或散点图说明地理成绩y与数学成绩x之间线性相关关系的强弱．如果有较强的线性相关关系，求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01），如果不具有线性相关关系，请说明理由．参考公式：相关系数r=；回归直线的方程是：=b+a，其中：b=，a=﹣b，是x i对应的回归估计值．参考数据：≈77.5，≈84.9，=1050，≈456.9，≈687.5，≈32.4，≈21.4，≈23.5．【考点】线性回归方程．【分析】（1）根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．（2）①根据古典概型的概率公式进行计算即可．②首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．【解答】解：（1）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析抽取女生数=5人，男生数=3人；（2）①规定85分（含85分）以上为优秀，一个学生两科都优秀的为6.7.8三个同学，则两科都优秀的概率是P=．②r=r=≈0.99，非常接近于1，∴地理成绩y与数学成绩x之间有较强的线性相关关系，则对应的散点图如图：∵==77.5，==84.9b≈0.65，a≈34.53则线性回归方程为：y=0.65x+34.5320．椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点M为椭圆上一动点，△F1MF2面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P、Q两点，问•是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设c=t，（t＞0）．则a=2t，b=，由△F1PF2面积取最大值，求出t=1，由此能求出椭圆方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、直线方程、向量的数量积，结合已知条件能求出•为定值0．【解答】解：（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为，∴设c=t（t＞0）．则a=2t，b=，又△F1PF2面积取最大值时，即点P为短轴端点，∴=，解得t=1，∴椭圆方程为．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，∴，，直线AA1的方程为y=，直线BA1的方程为y=，∴P（4，），Q（4，），∴=（3，），=（3，），∴=9+（）（）=，∴•为定值0．21．设函数f（x）=﹣klnx，k∈R．（1）求f（x）的单调性；（2）判断方程f（x）=0在区间（1，）上是否有解？若有解，说明解的个数及依据；若无解，说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）先求导，再分类根据导数和函数单调性的关系即可解决；（2）根据函数的单调性以及k的范围，即可判断f（x）=0在区间（1，）解得个数．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣klnx，其定义域为（0，+∞），∴f′（x）=x﹣，当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）单调递增，当k＞0时，令f′（x）=0，解得x=当f′（x）＞0时，解得x＞，此时函数f（x）在（，+∞）单调递增，当f′（x）＜0时，解得0＜x＜，此时函数f（x）在（0，）单调递减，综上所述，当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，当k＞0时，f（x）在（，+∞）单调递增，在（0，）单调递减．（2）由（1）可知，①当k≤0时，f（x）在（0，+∞）单调递增，∵方程f（x）=0在区间（1，）上是有解，∴即此时k的值不存在，②∵f（1）=＞0，f（）=，当0＜＜1时，即0＜k＜1时，f（x）在（1，）单调递增，由f（1）=＞0，故f（x）=0在区间（1，）上无解当1≤≤时，即1≤k≤e时，f（x）min=f（）=﹣kln=kln＞0，故f（x）=0在区间（1，）上无解当＞时，即k≥e时，f（x）在（1，）单调递减，由f（）=＜0，故f（x）=0在区间（1，）上有唯一解，综上所述，当k≤e时，f（x）=0在区间（1，）上无解，当k＞e时，故f（x）=0在区间（1，）上有唯一解．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，弦AB与CD相交于圆O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，且PD=2DA．（1）求证：△PED∽△PAE；（2）若PE=2，求PA长．【考点】相似三角形的性质．【分析】（1）证明两组对应角相等，即可证明：△PED∽△PAE；（2）利用相似三角形的性质，结合PE=2，求PA长．【解答】（1）证明：∵BC∥PE，∴∠BCD=∠PED，∵在圆中∠BCD=∠BAD⇒∠PED=∠BAD，∴△PED∽△PAE；（2）解：∵△PED∽△PAE，∴=，∴PE2=PA•PD．设AD=x∵PD=2DA，∴PA=3x，PD=2x，∴6x2=（2）2，∴x=2∴PA=6．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中ρ≥0，θ∈[0，2π））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求|MB|•|MC|为定值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t 为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用|MB|•|MC|=|t1|•|t2|=|t1•t2|即可证明．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M（﹣1，1）．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，∴t1t2=﹣2．∴|MB|•|MC|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=2，为定值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，即可得出结论；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，x＜﹣3时，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，﹣3≤x≤1时，﹣x+1+x+3＞6，无解，x＞1时，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．综上所述，x＜﹣4或x＞2，∴不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}；（2）∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a2﹣a﹣2，∴a2﹣2a﹣3≥0，∴a≥3或a≤﹣1，﹣a＜1，∴a＞﹣1，∴a≥3．。
2020年陕西省高考数学(文科)模拟试卷(5)
2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（5）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集I ＝R ，集合A ＝{y |y ＝log 3x ，x ＞3}，B ＝{x |y =√x −1}，则（ ） A ．A ⊆BB ．A ∪B ＝AC ．A ∩B ＝∅D ．A ∩（∁I B ）≠∅2．（5分）若复数z 满足z （1﹣i ）2＝i （i 是虚数单位），则|z |为（ ） A ．13B ．12C ．14D ．153．（5分）已知等比数列{a n }的公比大于1，a 3a 7＝72，a 2+a 8＝27，则a 12＝（ ） A ．48B ．64C ．72D ．964．（5分）若a ，b 均为不等于1的正实数，则“a ＞b ＞1”是“log b 2＞log a 2”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充分必要条件5．（5分）已知某种产品的支出广告额x 与利润额y （单位：万元）之间有如下对应数据：x 3 4 5 6 7 y2030304060则回归直线方程必过（ ） A ．（5，36）B ．（5，35）C ．（5，30）D ．（4，30）6．（5分）如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，G 是EF 的中点．现在沿AE ，AF 及EF 把这个正方形折成一个空间图形，使B ，C ，D 三点重合，重合后的点记为H ，下列说法：①AG ⊥平面EFH ； ②AH ⊥平面EFH ； ③HF ⊥平面AEH ； ④HG ⊥平面AEF ； 其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（5分）如图，等腰直角三角形的斜边长为2√2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中阴影部分），若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M 的概率为（ ）A ．14B ．π8C ．π4D ．1−π48．（5分）已知向量a →，b →满足|a →|=1，a →⋅b →=−2，则a →⋅(2a →−b →)=（ ） A ．4B ．﹣4C ．0D ．29．（5分）函数f （x ）＝e ln |x |+1x的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P是C 的右支上一点，连接PF 1与y 轴交于点M ，若|F 1O |＝2|OM |（O 为坐标原点），PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±3xB ．y =±√3xC ．y ＝±2xD ．y =±√2x11．（5分）三棱锥P ﹣ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为√22，√32，√62，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π12．（5分）函数f （x ）＝ln （x 2+2）﹣e x﹣1的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知四边形ABCD 满足AB →=DC →且|AB →|＝|AD →|＝|AB →−AD →|＝2a ，P 是线段BD 上一点，则PA →•（PC →+PD →）的最小值是 ．14．（5分）若曲线f （x ）＝（x 2+ax +1）e x 在点（0，f （0））处的切线过点（2，2），则实数a 的值为 ．15．（5分）若圆O ：x 2+y 2＝1与圆C ：x 2+y 2+6x +8y +m ＝0相切，则实数m ＝ ． 16．（5分）设x ，y 是正数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列，则b 1b 2(a 1+a 2)2的最大值是 ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在△ABC 中，C =π4，CA →⋅CB →=48，点D 在BC 边上，且AD ＝5√2，cos∠ADB =35． （Ⅰ）求AC ，CD 的长； （Ⅱ）求cos ∠BAD 的值．18．（12分）某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）、平均分、众数和中位数．19．（12分）如图1所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°．将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥ABCD （如图2）（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥D ﹣ABC 的高．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P （x 0，y 0）是坐标平面内一点，且|OP |＝5，PF 1→•PF 2→=16（O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点S （0，﹣1）且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由． 21．（12分）已知f （x ）=2(x−a)x 2+bx+1是奇函数．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）关于x 的不等式2m ﹣1＞f （x ）有解，求m 的取值范围． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosθy =sinθ（θ为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ． （1）求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）若过点F （1，0）的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于M ，N 两点，求|FA||FB||FM||FN|的取值范围． 五．解答题（共1小题） 23．已知x ＞2，求函数f(x)=x +4x−2的最小值．2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（5）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设全集I ＝R ，集合A ＝{y |y ＝log 3x ，x ＞3}，B ＝{x |y =√x −1}，则（ ） A ．A ⊆BB ．A ∪B ＝AC ．A ∩B ＝∅D ．A ∩（∁I B ）≠∅【解答】解：A ＝{y |y ＝log 3x ，x ＞3}＝{y |y ＞1}，B ＝{x |y =√x −1}＝{x |x ≥1}， ∴A ⊆B ， 故选：A ．2．（5分）若复数z 满足z （1﹣i ）2＝i （i 是虚数单位），则|z |为（ ） A ．13B ．12C ．14D ．15【解答】解：由z （1﹣i ）2＝i ，得z =i (1−i)2=i −2i =−12， ∴|z |=12． 故选：B ．3．（5分）已知等比数列{a n }的公比大于1，a 3a 7＝72，a 2+a 8＝27，则a 12＝（ ） A ．48B ．64C ．72D ．96【解答】解：在公比大于1的等比数列{a n }中， ∵a 3a 7＝72＝a 2•a 8，a 2+a 8＝27， 等比数列{a n }的公比大于1，且a 2＜a 8， 解得a 2＝3，a 8＝24， 则有q 6=a8a 2=8，则q 2＝2，a 12＝a 2q 10＝3×25＝96． 故选：D ．4．（5分）若a ，b 均为不等于1的正实数，则“a ＞b ＞1”是“log b 2＞log a 2”的（ ） A ．既不充分也不必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．充分必要条件【解答】解：a ，b 均为不等于1的正实数，当若“a ＞b ＞1”时，由对数函数的性质可得：log 2a ＞log 2b ＞0， 可得log b 2＞log a 2成立．当若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知log2a＞log2b＞0，必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，0＞log2a＞log2b，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜0＜log b2，则必有0＜a＜1＜b；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的充分不必要条件．故选：B．5．（5分）已知某种产品的支出广告额x与利润额y（单位：万元）之间有如下对应数据：x34567y2030304060则回归直线方程必过（）A．（5，36）B．（5，35）C．（5，30）D．（4，30）【解答】解：由题意可知回归直线方程必过样本中心坐标（3+4+5+6+75，20+30+30+40+605），即（5，36）．故选：A．6．（5分）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点．现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法：①AG⊥平面EFH；②AH⊥平面EFH；③HF⊥平面AEH；④HG⊥平面AEF；其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：因为AH⊥HE，AH⊥HF，EH⊥HF，所以AH⊥平面HEF，HF⊥平面AEH．所以AH⊥HG，所以∠HGA为锐角，所以AG不垂直于HG，所以AG不垂直于平面EFH，同理HG不垂直于AG，所以HG 不垂直于平面AEF ．故②③正确，①④错误． 故选：B ．7．（5分）如图，等腰直角三角形的斜边长为2√2，分别以三个顶点为圆心，1为半径在三角形内作圆弧，三段圆弧与斜边围成区域M （图中阴影部分），若在此三角形内随机取一点，则此点取自区域M 的概率为（ ）A ．14B ．π8C ．π4D ．1−π4【解答】解：由题意知本题是一个几何概型， ∵试验发生包含的所有事件是直角三角形的面积S =12×2×2＝2， 阴影部分的面积S ′=14π+π8×2=π2，点P 落在区域M 内的概率为P =2−π22=1−π4．故选：D ．8．（5分）已知向量a →，b →满足|a →|=1，a →⋅b →=−2，则a →⋅(2a →−b →)=（ ） A ．4B ．﹣4C ．0D ．2【解答】解：向量a →，b →满足|a →|=1，a →⋅b →=−2， 所以：a →⋅(2a →−b →)=2|a →|2−a →⋅b →=2+2=4， 故选：A ．9．（5分）函数f （x ）＝e ln |x |+1x 的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵f （x ）＝e ln |x |+1x ∴f （﹣x ）＝e ln |x |−1xf （﹣x ）与f （x ）即不恒等，也不恒反，故函数f （x ）为非奇非偶函数，其图象不关于原点对称，也不关于y 轴对称， 可排除A ，D ，当x →0+时，y →+∞，故排除B 故选：C ．10．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P是C 的右支上一点，连接PF 1与y 轴交于点M ，若|F 1O |＝2|OM |（O 为坐标原点），PF 1⊥PF 2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．y ＝±3xB ．y =±√3xC ．y ＝±2xD ．y =±√2x【解答】解：由题意双曲线的图形如图，设PF 1＝m ，PF 2＝n ，点P 是C 的右支上一点， 连接PF 1与y 轴交于点M ，若|F 1O |＝2|OM |（O 为坐标原点），PF 1⊥PF 2， 可得：OM OF 1=n m=12，所以m ＝2n ，n ＝2a ，所以m ＝4a ，可得16a 2+4a 2＝4c 2＝4a 2+4b 2， 解得ba =2，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±2x ． 故选：C ．11．（5分）三棱锥P ﹣ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面面积分别为√22，√32，√62，则该三棱锥的外接球表面积为（ ） A ．4πB ．6πC ．8πD ．10π【解答】解：三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱P A 、PB 、PC 两两互相垂直， 它的外接球就是它扩展为长方体的外接球， 设P A ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ， 则12ab =√22，12bc =√32，12ca =√62，解得，a =√2，b ＝1，c =√3．则长方体的对角线的长为√a 2+b 2+c 2=√6． 所以球的直径是√6，半径长R =√62， 则球的表面积S ＝4πR 2＝6π 故选：B ．12．（5分）函数f （x ）＝ln （x 2+2）﹣e x﹣1的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：当x →+∞时，f （x ）→﹣∞， 故排除D ；易知f （x ）在R 上连续，故排除B ； 且f （0）＝ln 2﹣e ﹣1＞0，故排除C ， 故选：A ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）已知四边形ABCD 满足AB →=DC →且|AB →|＝|AD →|＝|AB →−AD →|＝2a ，P 是线段BD 上一点，则PA →•（PC →+PD →）的最小值是 −25a 28．【解答】解：四边形ABCD 满足AB →=DC →且|AB →|＝|AD →|＝|AB →−AD →|， 所以△ABD 是正三角形，四边形ABCD 是菱形，画出图形如图，建立如图所示的坐标系，AB ＝2a ，A （﹣a ，0），D （a ，0），B （0，√3a ），C （2a ，√3a ），设BP →=λBD →=（λa ，−√3λa ），λ∈[0，1]，则P （λa ，−√3λa +√3a ），所以PA →=（﹣a ﹣λa ，√3λa −√3a ），PD →=（a ﹣λa ，√3λa −√3a ），PC →=（2a ﹣λa ，√3λa ） PC →+PD →=（3a ﹣2λa ，2√3λa −√3a ）则PA →•（PC →+PD →）＝a 2（8λ2﹣10λ），当λ=58时，PA →•（PC →+PD →）取得最小值为：−25a 28． 故答案为：−25a 28．14．（5分）若曲线f（x）＝（x2+ax+1）e x在点（0，f（0））处的切线过点（2，2），则实数a的值为−12．【解答】解：由题意，f′（x）＝[x2+（a+2）x+a+1]e x．则f′（0）＝a+1，∵f（0）＝1，∴曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝（a+1）x，整理，得（a+1）x﹣y+1＝0．∵切线过点（2，2），∴2（a+1）﹣2+1＝0．解得a=−1 2．故答案为：−1 2．15．（5分）若圆O：x2+y2＝1与圆C：x2+y2+6x+8y+m＝0相切，则实数m＝﹣11或9．【解答】解：圆x2+y2+6x+8y+m＝0 即（x+3）2+（y+4）2＝25﹣m，表示以（3，4）为圆心，半径等于√25−m的圆．由题意，两个圆相内切，两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，可得5＝|√25−m−1|，解得m＝﹣11．两个圆相外切，两圆的圆心距等于半径之和，可得5=√25−m+1，解得m＝9，故答案为：﹣11或9．16．（5分）设x，y是正数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则b1b2 (a1+a2)的最大值是14．【解答】解：∵x ，y 是正数，且x ，a 1，a 2，y 成等差数列，x ，b 1，b 2，y 成等比数列， ∴a 1+a 2＝x +y ，b 1•b 2＝xy ． 则b 1b 2(a 1+a 2)2=xy (x+y)2≤xy 4xy=14，当且仅当x ＝y 时取等号．则b 1b 2(a 1+a 2)的最大值是14． 故答案为：14．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）如图，在△ABC 中，C =π4，CA →⋅CB →=48，点D 在BC 边上，且AD ＝5√2，cos∠ADB =35． （Ⅰ）求AC ，CD 的长； （Ⅱ）求cos ∠BAD 的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABD 中，∵cos ∠ADB =35， ∴sin ∠ADB =45．∴sin ∠CAD ＝sin （∠ADB ﹣∠ACD ）=sin ∠ADBcos π4−cos∠ADBsinπ4=45×√22−35×√22=√210． 在△ADC 中，由正弦定理得AC sin∠ADC=CD sin∠CAD=AD sin∠ACD，即AC45=√210=√2√22，解得：AC =8，CD =√2． （Ⅱ）∵CA →⋅CB →=48，C =π4． ∴8⋅CB ⋅√22=48，解得：CB=6√2，∴BD=CB−CD=5√2，在△ABC中，：AB=82+(6√2)2−2×8×6√2×√22=2√10，在△ABD中，由余弦定理可得：cos∠BAD=(2√10)2+(5√2)2−(5√2)22×210×52=√55．18．（12分）某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）…[90，100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）、平均分、众数和中位数．【解答】（本小题满分12分）解：（1）1﹣（0.005+0.01+0.015+0.015+0.025）×10＝0.3………………………………………（2分）补全直方图如下：………………………………………………………………………………（4分）（2）由1﹣0.01×10﹣0.015×10＝0.75，可得及格率为75%； …………………………………（6分）平均分：45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05＝71； ……………（8分） 众数为75； ………………………………………………………………………………………（10分）因为前三组的频率之和为0.4，前四组的频率之和为0.7，设中位数为a ， 则由（a ﹣70）×0.03＝0.1解得a ＝73.33，所以本次考试成绩的中位数约为73.33．……………………………………………………（12分）19．（12分）如图1所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝1，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°．将△ADB 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成三棱锥ABCD （如图2）（1）求证：平面ADC ⊥平面ABC ； （2）求三棱锥D ﹣ABC 的高．【解答】（1）证明：∵在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90° ∴BD ⊥CD又平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ∩平面BCD ＝BD 故CD ⊥平面ABD ，则CD ⊥AB ，又AD ⊥AB故AB ⊥平面ADC ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ADC ． （2）解：设三棱锥D ﹣ABC 的高为h ，则由题意，△ABD 中，AB ＝1，BC ＝2，AC =√3，S △ABC =12×1×√3=√32，由等体积可得13×12×√2×√2×√22=13×√32h ，∴h =√63，即三棱锥D ﹣ABC 的高为√63．20．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为√22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，点P （x 0，y 0）是坐标平面内一点，且|OP |＝5，PF 1→•PF 2→=16（O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点S （0，﹣1）且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ，B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）设P （x 0，y 0），F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0）， 则由|OP |＝5，得x 02+y 02=25，由PF 1→⋅PF 2→=16，得（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）＝16， ∴x 02+y 02−c 2＝16， ∴c 2＝9，c ＝3， ∵ca =√22，∴a 2＝18，b 2＝9， ∴椭圆方程为x 218+y 29=1．（2）设动直线l 的方程为y ＝kx ﹣1， 由{y =kx −1x 218+y 29=1，得（2k 2+1）x 2﹣4kx ﹣16＝0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=4k 2k 2+1，x 1x 2=−162k 2+1，假设在y 轴上存在M （0，m ），满足题设，则MA →=（x 1，y 1﹣m ），MB →=（x 2，y 2﹣m ）， MA →⋅MB →=x 1x 2+（y 1﹣m ）（y 2﹣m ） =x 1x 2+y 1y 2−m(y 1+y 2)+m 2＝x 1x 2+（kx 1﹣1）﹣m （kx 1﹣1+kx 2﹣1）+m 2 =(k 2+1)x 1x 2+(mk +k)(x 1+x 2)+m 2+2m +1 =−16(k 2+1)2k 2+1−4k(mk+k)2k 2+1+m 2−2m +1 =(2m 2−18)k 2+m 2+2m−152k 2+1，由假设得对于任意的k ∈R ，MA →⋅MB →=0恒成立，即{2m 2−18=0m 2+2m −15=0，解得m ＝3． ∴在y 轴上存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过该点，点M 的坐标为（0，3）． 21．（12分）已知f （x ）=2(x−a)x 2+bx+1是奇函数．（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）关于x 的不等式2m ﹣1＞f （x ）有解，求m 的取值范围． 【解答】解：（I ）∵f(x)=2(x−a)x 2+bx+1是奇函数，∴f （x ）+f （﹣x ）＝0恒成立…（1分）∴（a +b ）x 2+a ＝0恒成立，∴a ＝0，b ＝0…（3分） ∴f(x)=2xx 2+1，f ′(x)=2(1−x)(1+x)(x 2+1)2⋯（4分）由f '（x ）＞0，得﹣1＜x ＜1；由f '（x ）＜0，得x ＞1或x ＜﹣1 …（5分） 故函数f （x ）的增区间为（﹣1，1），f （x ）的减区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）…（6分）．（II ）∵2m ﹣1＞f （x ）有解，∴2m ﹣1＞f （x ）min 即可 …（7分） 当x ＞0时，f （x ）＞0；当x ＝0时，f （0）＝0；当x ＜0时，f （x ）＜0…（8分） 由（I ）知f （x ）在（﹣∞，﹣1）上为减函数，在（﹣1，0）上为增函数 ∴f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1…（10分）∴2m ﹣1＞﹣1，∴m ＞0 …（12分） 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）已知曲线C 1的参数方程为{x =√2cosθy =sinθ（θ为参数），以直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝4cos θ． （1）求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）若过点F （1，0）的直线l 与C 1交于A ，B 两点，与C 2交于M ，N 两点，求|FA||FB||FM||FN|的取值范围．【解答】解：（1）曲线C 1的普通方程为x 22+y 2=1，曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x ；（2）设直线l 的参数方程为{x =1+tcosαy =tsinα（t 为参数）又直线l 与曲线C 2：y 2＝4x 存在两个交点，因此sin α≠0． 联立直线l 与曲线C 1：x 22+y 2=1，可得（1+sin 2α）t 2+2t cos α﹣1＝0，则：|FA|⋅|FB|=|t1t2|=11+sin2α，联立直线l与曲线C2：y2＝4x可得t2sin2α﹣4t cosα﹣4＝0，则|FM|⋅|FN|=|t1t2|=4sin2α，即|FA|⋅|FB||FM|⋅|FN|=11+sin2α4sin2α=14⋅sin2α1+sin2α=14⋅11+1sin2α∈(0，18]．五．解答题（共1小题）23．已知x＞2，求函数f(x)=x+4x−2的最小值．【解答】解：∵x＞2，∴x﹣2＞0，∴f(x)=x+4x−2=x﹣2+4x−2+2≥2√(x−2)⋅4x−2+2=6，当且仅当x﹣2=4x−2，即x＝4时取等号，∴f（x）min＝6．。
2019-2020学年陕西省高考数学全真模拟文科试卷(四)(有答案)
陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（四）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±13．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交 D．与k的取值有关6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，87．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A．4 B．4 C．6 D．68．等差数列{an }和等比数列{bn}的首项都是1，公差公比都是2，则b b b=（）A．64 B．32 C．256 D．40969．函数f（x）=lnx+e x的零点所在的区间是（）A ．（）B ．（）C ．（1，e ）D ．（e ，∞）10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．212．定义在[0，+∞）的函数f （x ）的导函数为f′（x ），对于任意的x ≥0，恒有f′（x ）＞f （x ），a=，b=，则a ，b 的大小关系是（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．无法确定二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，当输入a ，b 分别为2，3时，最后输出的M 的值是______．14．已知实数x ，y 满足，若目标函数z=x ﹣y 的最大值为a ，最小值为b ，则a+b=______．15．某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1﹣6）名应试者中通过面试选聘一名．甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测．甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号．已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是______号． 16．在△ABC 中，BC=，∠A=60°，则△ABC 周长的最大值______．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =log 2a n ，c n =，记数列{c n }的前n 项和T n ，求T n ．18．如图，梯形ABEF 中，AF ∥BE ，AB ⊥AF ，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC 将梯形CDFE 折起，使得平面CDFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：AC ∥平面BEF ； （2）求三棱锥D ﹣BEF 的体积．19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a 的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F 1和F 2，求这个平行四边形的面积最大值．21．已知函数f （x ）=x ﹣a ﹣lnx （a ∈R ）． （1）若f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：若0＜x 1＜x 2，则lnx 1﹣lnx 2＞1﹣．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB ，CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，E 是圆O 上的点，过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F ，连结CE 交AB 于G 点． （1）求证：FG 2=FA•FB； （2）若圆O 的半径为2，OB=OG ，求EG 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3，曲线C 2的参数方程是（t 为参数）．（1）求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（1）设曲线C 1和C 2交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣a|﹣|x ﹣4|（x ∈R ，a ∈R ）的值域为[﹣2，2]． （1）求实数a 的值；（2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）≤m ﹣m 2，求实数m 的取值范围．陕西省高考数学全真模拟试卷（文科）（四）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．集合A={x|x≥1}，B={x|x2＜9}，则A∩B=（）A．（1，3）B．[1，3）C．[1，+∞）D．[e，3）【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由B中不等式解得：﹣3＜x＜3，即B=（﹣3，3），∵A=[1，+∞），∴A∩B=[1，3）．故选：B．2．若复数（1﹣ai）2（i为虚数单位，a∈R）是纯虚数，则a=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．±1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵（1﹣ai）2=（1﹣a2）﹣2ai为纯虚数，∴，解得a=±1．故选：D．3．若tanα=1，则sin2α﹣cos2α的值为（）A．1 B．C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin2α﹣cos2α的值．【解答】解：tanα=1，则sin2α﹣cos2α===，故选：B．4．设，不共线的两个向量，若命题p：＞0，命题q：夹角是锐角，则命题p是命题q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理即可得出．【解答】解：，不共线的两个向量，若命题p：＞0，则＞0⇔夹角是锐角，因此命题p是命题q成立的充要条件．故选：C．5．直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2的位置关系是（）A．相切 B．相离C．相交 D．与k的取值有关【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=，再求出圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离，从而得到直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交．【解答】解：圆C：x2+y2=2的圆心C（0，0），半径r=，圆心C（0，0）到直线l：x﹣ky﹣1=0的距离d=，∴直线l：x﹣ky﹣1=0与圆C：x2+y2=2相交．故选：C．6．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．7．一个体积为8的正三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的俯视图的面积为（）A ．4B ．4C ．6D ．6【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长a ，可得：该三棱柱的俯视图为边长为a的正三角形，即可得出面积．【解答】解：由侧视图可知：底面正三角形的高为2，可得底面边长=×2=4， ∴该三棱柱的俯视图为边长为4的正三角形，其面积===4．故选：A ．8．等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2，则b bb=（ ）A ．64B ．32C ．256D ．4096 【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等差数列和等比数列的通项公式可得a n =2n ﹣1，b n =2n ﹣1．求得b bb=b 1•b 5•b 9，代入计算即可得到所求值．【解答】解：等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差公比都是2， 可得a n =1+2（n ﹣1）=2n ﹣1，b n =1•2n ﹣1=2n ﹣1． 可得bbb=b 1•b 5•b 9=1•24•28=212=4096． 故选：D ．9．函数f （x ）=lnx+e x 的零点所在的区间是（ ） A ．（） B ．（） C ．（1，e ） D ．（e ，∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，根据零点判定定理只要满足f （a ）f （b ）＜0即为满足条件的区间【解答】解：由于函数在（0，+∞）单调递增且连续，，f （1）=e ＞0故满足条件的区间为（0，） 故选A ．10．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，则田忌获胜的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】根据题意，设齐王的三匹马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的三匹马分别记为b 1，b 2，b 3，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案 【解答】解：设齐王的三匹马分别记为a 1，a 2，a 3，田忌的三匹马分别记为b 1，b 2，b 3， 齐王与田忌赛马，其情况有：（a 1，b 1）、（a 2，b 2）、（a 3，b 3），齐王获胜； （a 1，b 1）、（a 2，b 3）、（a 3，b 2），齐王获胜； （a 2，b 1）、（a 1，b 2）、（a 3，b 3），齐王获胜； （a 2，b 1）、（a 1，b 3）、（a 3，b 2），田忌获胜； （a 3，b 1）、（a 1，b 2）、（a 2，b 3），齐王获胜； （a 3，b 1）、（a 1，b 3）、（a 2，b 2），齐王获胜；共6种； 其中田忌获胜的只有一种（a 2，b 1）、（a 1，b 3）、（a 3，b 2）， 则田忌获胜的概率为， 故选：D 11．双曲线的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2=2px （p ＞0）的焦点相同，它们交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为（ ） A ．B ．C ．D ．2【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点，可得p=2c ，将x=c 代入双曲线的方程，可得=2p=4c ，由a ，b ，c 的关系和离心率公式，解方程即可得到所求．【解答】解：抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），2由题意可得c=，即p=2c，由直线AB过点F，结合对称性可得AB垂直于x轴，令x=c，代入双曲线的方程，可得y=±，即有=2p=4c，由b2=c2﹣a2，可得c2﹣2ac﹣a2=0，由e=，可得e2﹣2e﹣1=0，解得e=1+，（负的舍去），故选：C．12．定义在[0，+∞）的函数f（x）的导函数为f′（x），对于任意的x≥0，恒有f′（x）＞f（x），a=，b=，则a，b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．无法确定【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】构造新函数g（x）=，研究其单调性即可．【解答】解：令g（x）=，则g′（x）==，∵对任意x≥0，恒有f（x）＜f′（x），e x＞0，∴g′（x）＞0，即g（x）是在定义域上是增函数，所以g（3）＞g（2），即b＞a，故选：B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．如图所示，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的M的值是 3 ．【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=的值，代入a=2，b=3，即可得到答案．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数M=的值，∵a=2＜b=3，∴M=3故答案为：3．14．已知实数x，y满足，若目标函数z=x﹣y的最大值为a，最小值为b，则a+b= 1 ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，由图可知，当直线y=x﹣z过A（2，0）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为2；当直线y=x﹣z过B（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣1．∴a=2，b=﹣1，则a+b=1．故答案为：1．15．某事业单位共公开招聘一名职员，从笔试成绩合格的6（编号分别为1﹣6）名应试者中通过面试选聘一名．甲、乙、丙、丁四人对入选者进行预测．甲：不可能是6号；乙：不是4号就是5号；丙：是1、2、3号中的一名；丁：不可能是1、2、3号．已知四人中只有一人预测正确，那么入选者是 6 号．【考点】进行简单的合情推理．【分析】结合题意，进行假设，然后根据假设进行分析、推理，即可判断入选者．【解答】解：入选者不能是4号、5号，因为如果是4号或5号，则甲、乙、丁三个人的猜测都是正确的； 如果入选者是6号，那么甲、乙、丙的猜测是错的，只有丁的猜测是对的； 如果入选者是1、2、3中的一个，那么甲、丁的猜测是错的，乙、丙的猜测是对的； 根据题意“只有一人的猜测对的”， 所以入选者是6号． 故答案为：6．16．在△ABC 中，BC=，∠A=60°，则△ABC 周长的最大值．【考点】正弦定理． 【分析】由正弦定理可得： ====2，因此△ABC 周长=a+b+c=+2sinB+2sinC ，=2sinB+2sin+，利用和差公式展开化简整理，再利用三角函数的单调性即可得出．【解答】解：在△ABC 中，由正弦定理可得： ====2，∴b=2sinB ，c=2sinC ， ∴△ABC 周长=a+b+c=+2sinB+2sinC ，=2sinB+2sin+=2sinB+2+=3sinB+cosB+=2+=2sin （B+30°）+，∵0°＜B ＜120°，∴B+30°∈（30°，150°）， ∴sin （B+30°）∈．∴△ABC 周长≤3．故答案为：3．三、解答题（共5小题，满分60分） 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n =2a n ﹣2 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n =log 2a n ，c n =，记数列{c n }的前n 项和T n ，求T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）求出a 1=2，利用当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1，得到数列的递推关系式，判断新数列是等比数列，然后求解数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）利用b n =log 2a n ，c n =，求出数列的通项公式，利用裂项法求解数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当n=1时，a 1=2，…当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2a n ﹣2﹣（2a n ﹣1﹣2）… 即：，…∴数列{a n }为以2为公比的等比数列， ∴a n =2n ．…（Ⅱ）由b n =log 2a n 得b n =log 22n =n ，… 则c n ===，…T n =1﹣+﹣+…+=1﹣=．…18．如图，梯形ABEF 中，AF ∥BE ，AB ⊥AF ，且AB=BC=AD=DF=2CE=2，沿DC 将梯形CDFE 折起，使得平面CDFE ⊥平面ABCD ．（1）证明：AC ∥平面BEF ； （2）求三棱锥D ﹣BEF 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取BF 中点为M ，AC 与BD 交点为O ，连结MO ，ME ，由已知结合三角形中位线定理可得四边形OCEM 为平行四边形，然后利用线面平行的判定得答案；（2）由线面垂直的性质定理可得BC ⊥平面DEF ，然后把三棱锥D ﹣BEF 的体积转化为三棱锥B ﹣DEF 的体积求解．【解答】（1）证明：如图，记BF 中点为M ，AC 与BD 交点为O ， 连结MO ，ME ， 由题设知，且CE ∥DF ，且MO=，即CE=MO且CE∥MO，知四边形OCEM为平行四边形，有EM∥CO，即EM∥AC，又AC⊄平面BEF，EM⊂平面BEF，∴AC∥平面BEF；（2）解：∵平面CDFE⊥平面ABCD，平面CDFE∩平面ABCD=DC，BC⊥DC，∴BC⊥平面DEF，三棱锥D﹣BEF的体积为=．19．从某校高三1200名学生中随机抽取40名，将他们一次数学模拟成绩绘制成频率分布直方图（如图）（满分为150分，成绩均为不低于80分整数），分为7段：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]．（1）求图中的实数a的值，并估计该高三学生这次成绩在120分以上的人数；（2）在随机抽取的40名学生中，从成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内随机抽取两名学生，求这两名学生的成绩之差的绝对值标不大于10的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由频率分布直方图中频率之和为1，能求出a，估计该校成绩在120分以上人数即可；（2）根据概率公式计算即可．【解答】解：（1）由0.025+0.05+0.075+0.1+0.2+0.25+10a=1，得a=0.03成绩在120分以上的人频率为0.3+0.25+0.075=0.625，估计该校成绩在120分以上人数为1200×0.625=750人，（2）成绩在[90，100）与[140，150]两个分数段内学生人数分别为2人和3人，从中抽出2人的基本事件总数为10种，其中这两名学生的成绩之差的绝对值不大于10的事件数为4，所求概率为p==．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 1，F 2是椭圆C 的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点F 1和F 2，求这个平行四边形的面积最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x=ty+1与椭圆交于A ，B 两点，由，得：（3t 2+4）y 2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值． 【解答】20．（本小题满分12分） 解：（1）∵椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，∴依题意，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆C 的方程为：．…（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x=ty+1与椭圆交于A ，B 两点， 则，整理，得：（3t 2+4）y 2+6ty ﹣9=0，由韦达定理，得：，，∴|y 1﹣y 2|===，∴==，椭圆C 的内接平行四边形面积为S=4S △OAB =，令m=≥1，则S=f （m ）==，注意到S=f （m ）在[1，+∞）上单调递减，∴S max =f （1）=6，当且仅当m=1，即t=0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…21．已知函数f （x ）=x ﹣a ﹣lnx （a ∈R ）． （1）若f （x ）≥0恒成立，求实数a 的取值范围； （2）证明：若0＜x 1＜x 2，则lnx 1﹣lnx 2＞1﹣．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）法一：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的最小值，从而求出a 的范围即可；法二：分离参数，得到a ≤x ﹣lnx （x ＞0），令g （x ）=x ﹣lnx （x ＞0），根据函数的单调性求出g （x ）的最小值，从而求出a 的范围即可； （2）先求出lnx ≤x ﹣1，得到ln＜﹣1，（0＜x 1＜x 2），整理即可．【解答】解：（1）解法1：f′（x ）=（x ＞0），令f′（x ）＞0，得x ＞1；令f′（x ）＜0，得0＜x ＜1， 即f （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 可知f （x ）的最小值是f （1）=1﹣a ≥0，解得a ≤1； 解法2：f （x ）≥0，即a ≤x ﹣lnx （x ＞0）， 令g （x ）=x ﹣lnx （x ＞0）， 则g′（x ）=，（x ＞0），令g′（x ）＞0，得x ＞1；令g′（x ）＜0，得0＜x ＜1， 即g （x ）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 可知g （x ）的最小值是g （1）=1，可得a ≤1； （2）证明：取a=1，知f （x ）=x ﹣1﹣lnx ，由（1）知lnx ﹣x+1≤0，即lnx ≤x ﹣1， ∴ln＜﹣1，（0＜x 1＜x 2），整理得lnx 1﹣lnx 2＞1﹣．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB ，CD 是圆O 的两条互相垂直的直径，E 是圆O 上的点，过E 点作圆O 的切线交AB 的延长线于F ，连结CE 交AB 于G 点． （1）求证：FG 2=FA•FB； （2）若圆O 的半径为2，OB=OG ，求EG 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接OE ，DE ，由弦切角定理知∠FEG=∠D ，证明FG=FE ，由切割线定理得FE 2=FA•FB，即可证明：FG 2=FA•FB；（2）由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG，即可求EG 的长． 【解答】（1）证明：连接OE ，DE ，由弦切角定理知∠FEG=∠D ． ∵∠C+∠D=90°， ∴∠C+∠FEG=90°又∠C+∠CGO=90°，∠CGO=∠FGE ∴∠C+∠FGE=90°， ∴∠FGE=∠FEG即FG=FE …由切割线定理得FE 2=FA•FB，所以FG 2=FA•FB； （Ⅱ）解：由OB=OG=2知，OG=2，∴AG=2+2，BG=2﹣2，在Rt △OCG 中，由OC=2，OG=2得，CG=4．由相交弦定理得：BG•AG=EG•CG， 即（2+2）（2﹣2）=4EG ，∴EG=2．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3，曲线C 2的参数方程是（t 为参数）．（1）求曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（1）设曲线C 1和C 2交于两点A ，B ，求以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I ）把x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3即可化为直角坐标方程．曲线C 2参数方程是（t 为参数） 消去参数化为直角坐标方程．（II ）直线方程与椭圆方程联立可得交点坐标，利用中点坐标公式、圆的标准方程即可得出． 【解答】解：（I ）曲线ρ2cos 2θ+3ρ2sin 2θ=3化为直角坐标方程为：x 2+3y 2=3，即=1；曲线C 2参数方程是（t 为参数） 化为直角坐标方程为：x=﹣（y ﹣1），即x+y ﹣=0．（II ），解得，即A （0，1），B （，0），线段AB 的中点为M ，则以线段AB 为直径的圆的直角坐标方程为=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣a|﹣|x ﹣4|（x ∈R ，a ∈R ）的值域为[﹣2，2]． （1）求实数a 的值；（2）若存在x 0∈R ，使得f （x 0）≤m ﹣m 2，求实数m 的取值范围． 【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）问题转化为：|a ﹣4|=2，解出即可；（2）求出f （x ）的最小值，得到﹣2≤m ﹣m 2，解出即可． 【解答】解：（1）对于任意x ∈R ，f （x ）=|x ﹣a|﹣|x ﹣4|∈[﹣|a ﹣4|，|a ﹣4|]， 可知|a ﹣4|=2，解得：a=2或a=6；（2）依题意有﹣2≤m﹣m2，即m2﹣m﹣2≤0，解得：m∈[﹣1，2]．。
陕西省西安市陕西师大附中等八校高考数学模拟试卷(文科)(4月份)
高考数学模拟试卷（文科）（4月份）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M＝{y|y＝x-2}，，则M∩P＝（）A. （1，＋∞）B. [1，＋∞）C. （0，＋∞）D. [0，＋∞）2.欧拉公式e ix=cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.下列关于命题的说法错误的是（）．A. 命题“若x2-3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”B. 已知函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f(a)·f(b)＜0，则f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题C. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R均有x2+x+1≥0”D. “若x0为y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0”的逆命题为真命题4.函数y=的图象大致是（）A. B.C. D.5.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.6.设函数y=f（x）=a x（a＞0，a≠1），y=f-1（x）表示f（x）的反函数，定义如框图表示的运算，若输入x=-2，输出y=；当输出y=-3时，则输入x=（）A. 8B.C. 6D.7.已知A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），若，则的值为（）A. B. C. D.8.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.9.若实数x、y满足2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A. （-∞，-2]B. [0，2]C. [-2，+∞）D. [-2，0]10.过抛物线y2＝4x焦点F的直线交抛物线于A、B两点，若，则|AB|＝（）A. 9B. 72C.D. 3611.已知△ABC外接圆O的半径为1，且•=-．∠C=，从圆O内随机取一个点M，若点M取自△ABC内的概率恰为，则△ABC的形状为的形状为（）A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形12.定义在R上的函数满足：,,则不等式其中e为自然对数的底数的解集为( )A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，______．一年级二年级三年级女生373C2C1男生377370C214.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最小值为______．15.记S n为数列{a n}的前n项和，若S n=2a n+1，则S10=______．16.设函数f（x）=，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，A=2B，sin B=，AB=23．（1）求sin A，sin C；（2）求•的值．18.近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．19.如图，三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的正三角形，且∠BAC=90°，O、D分别为BC、AB的中点．（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；（Ⅱ）求四棱锥S-ACOD的体积．20.已知F1、F2分别是椭圆C：+y2=1的左、右焦点．（1）若P是第一象限内该椭圆上的一点，•=-，求点P的坐标；（2）若直线l与圆O：x2+y2=相切，交椭圆C于A，B两点，是否存在这样的直线l，使得OA⊥OB？21.已知函数f（x）=e x-x2+2a+b（x∈R）的图象在x=0处的切线为y=bx．（e为自然对数的底数）．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）当x∈R时，求证：f（x）≥-x2+x；（Ⅲ）若f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，求实数k的取值范围．22.已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）（Ⅰ）将C1，C2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．23.已知a，b均为实数，且|3a+4b|=10．（Ⅰ）求a2+b2的最小值；（Ⅱ）若|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，求实数x的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵={y|y＞0}，={y|y≥0}，∴M∩P={y|y＞0}=（0，+∞），故选：C．先化简这两个集合，利用两个集合的交集的定义求出M∩P．本题考查函数的值域的求法，两个集合的交集的定义，化简这两个集合是解题的关键．2.【答案】B【解析】解：e2i=cos2+i sin2，∵2∈，∴cos2∈（-1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．e2i=cos2+i sin2，根据2∈，即可判断出．本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题的真假判断，主要是四种命题，以及相互关系和命题的否定，以及函数零点定理和函数的极值点的定义，考查推理能力，属于基础题．由命题的逆否命题可判断A；由命题的逆命题和函数零点存在定理可判断B；由命题的否定形式可判断C；由命题的逆命题和函数极值点的定义可判断D．【解答】解：命题“若x2-3x+2=0，则x=2”的逆否命题为“若x≠2，则x2-3x+2≠0”，故A正确；已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，命题“若f（a）f（b）＜0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题，比如f（x）=x2在（-1，1）内有一个零点0，但f（-1）f（1）＞0，故B正确；命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故C正确；“若x0为y=f（x）的极值点，则f'（x0）=0”的逆命题为假命题，比如f（x）=x3，有f′（0）=0，但x=0不为f（x）的极值点，故D错误．故选：D．4.【答案】D【解析】解：当x＞0时，y=x lnx，y′=1+ln x，即0＜x＜时，函数y单调递减，当x＞，函数y单调递增，因为函数y为偶函数，故选：D．根据掌握函数的奇偶性和函数的单调性即可判断．本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题．5.【答案】B【解析】【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．6.【答案】B【解析】解：由图可知，该程序的作用是计算分段函y=的函数值．∵输入x=-2，输出y=，∴a-2=，a=2当输出y=-3时，只有：f-1（x）=-3⇔f（-3）=x⇒x=2-3=．故选：B．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查学生掌握平面向量的数量积的运算，灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道中档题．由A，B，C的坐标求出和，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin（α+）的值．【解答】解：∵=（cosα-3，sinα），=（cosα，sinα-3）∴=（cosα-3）•cosα+sinα（sinα-3）=-1得cos2α+sin2α-3（cosα+sinα）=-1∴，故sin（α+）=（sinα+cosα）=×=故选：B．8.【答案】B【解析】解：由三视图得该几何体是从四棱锥P-ABCD中挖去一个半圆锥，四棱锥的底面是以2为边长的正方形、高是2，圆锥的底面半径是1、高是2，∴所求的体积V==，故选：B．由三视图得该几何体是从四棱中挖去一个半圆锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．9.【答案】A【解析】解：由实数x、y满足2x+2y=1，根据基本不等式得，1=2x+2y≥2，故x+y≤-2．故选：A．由实数x、y满足2x+2y=1，根据基本不等式求得x+y的范围．本题考查基本不等式求范围，属于简单题．10.【答案】C【解析】【分析】本题考查抛物线的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．当点B在第一象限，通过抛物线定义及=，可知A为CE中点，通过勾股定理可知|BC|=2|AC|，利用直线与抛物线联立，通过弦长的性质计算可得结论．【解答】解：如图，点B在第一象限．过B、A分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D、E，过B作EA的垂线，垂足为C，则四边形BDEC为矩形．由抛物线定义可知|BD|=|BF|，|AE|=|AF|，又∵=，∴|BD|=|CE|=2|AE|，即A为CE中点，∴|BA|=3|AC|，在Rt△BAC中，|BC|=2|AC|，k AB=2，F（1，0），AB的方程为：y=2（x-1），代入抛物线方程可得：2x2-5x+2=0，x1+x2=，则|AB|=x1+x2+2=+2=．故选：C．11.【答案】B【解析】解：∵•=-，圆的半径为1，∴cos∠AOB=-又0＜∠AOB＜π，故∠AOB=，又△AOB为等腰三角形，故AB=，从圆O内随机取一个点，取自△ABC内的概率为，即=，∴，设BC=a，AC=b．∵C=，∴，得ab=3，…①由AB2=a2+b2-2ab cos C=3，得a2+b2-ab=3，a2+b2=6…②联立①②解得a=b=．∴△ABC为等边三角形．故选：B．根据向量的数量积求得∠AOB=，进而求得AB的长度，利用几何概型的概率公式求出三角形ABC的面积，利用三角形的面积公式即可求出三角形各边的长度即可得到结论．本题主要考查几何概型的应用，以及向量积的计算，利用余弦定理是解决本题的关键，本题综合性较强，有一定的难度．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于较难题.结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解.【解答】解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0)=e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0.故选：A．13.【答案】16【解析】解：由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，所以三年级的学生数为；2000-373-377-380-370=500人，所占比例为所以应在三年级抽取的学生人数为64×=16故答案为：16由题意，二年级女学生数为2000×0.19=380人，由此可计算三件及学生数和三年级学生所占的比例，按此比例即可求出三年级抽取的学生人数．本题考查分层抽样知识，抓住各层抽取的比例一致是解决分层抽样问题的关键．14.【答案】【解析】解：画出不等式组，表示的可行域，由图可知，当直线y=-过A（0，）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.【答案】-1023【解析】【分析】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用等比数列的前n项和公式的应用求出结果．【解答】解：由于S n=2a n+1，①当n=1时，a1=-1．当n≥2时，S n-1=2a n-1+1，②①-②得：a n=2a n-2a n-1，所以（常数），故数列{a n}是以-1为首项，2为公比的等比数列,所以,所以．故答案为：-1023.16.【答案】（，6）【解析】解：函数f（x）=的图象如下图所示：若存在互不相的实数x1，x2，x3满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=k，则k∈（-3，4），不妨令x1＜x2＜x3，则x1∈（，0），x2+x3=6，故x1+x2+x3∈（，6），故答案为：（，6）画出函数f（x）=的图象，令x1＜x2＜x3，由图象可得x1∈（，0），x2+x3=6，进而得到x1+x2+x3的取值范围．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，画出函数的图象后，数形结合分析出x1∈（，0），x2+x3=6，是解答的关键．17.【答案】解：（1）∵sin B=，B为锐角，∴cos B==，∵A=2B，∴sin A=sin2B=2sin B cosB=2××=，cos A=cos2B=cos2B-sin2B=-=，则sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=×+×=；（2）由正弦定理==，AB=23，sin C=，sin B=，sin A=，∴AC==9，BC==12，又cos C=-cos（A+B）=-cos A cos B+sin A sin B=-×+×=-，∴•=CA×CB×cos C=9×12×（-）=-80．【解析】（1）由sin B的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cos B的值，再由A=2B，得到sin A=sin2B，利用二倍角的正弦函数公式化简，将sin B与cos B的值代入求出sin A 的值，同理求出cos A的值，利用诱导公式得到sin C=sin（A+B），利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；（2）利用正弦定理列出关系式，将sin C，sin B，sin A，AB的值代入求出CA与CB的值，由cos C=-cos（A+B），利用两角和与差的余弦函数公式求出cos C的值，利用平面向量的数量积运算法则化简所求式子，即可求出值．此题考查了正弦定理，平面向量的数量积运算，以及两角和与差的正弦、余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18.【答案】解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07•n，得到：n=100，故该组织有100人．…（3分）（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（6分）（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．…（12分）【解析】（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．19.【答案】解：（Ⅰ）证明：由题设AB=AC=SB=SC=SA=2，连结OA，△ABC为等腰直角三角形，所以，且AO⊥BC，又△SBC为等腰三角形，故SO⊥BC，且，从而OA2+SO2=SA2．所以△SOA为直角三角形，SO⊥AO．又AO∩BC=O，平面ABC,所以SO⊥平面ABC．（Ⅱ）∵BO=CO，BD=AD，∴AC∥DO，又,,∴DO⊥AD，．，由（Ⅰ）知SO⊥平面ABC，∴．【解析】本题考查直线与平面垂直的证明，考查四棱锥体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．（Ⅰ）连结OA，△ABC为等腰直角三角形，由已知易推得AO⊥BC，SO⊥BC，SO⊥AO．由此能证明SO⊥平面ABC．（Ⅱ）由已知得DO⊥AD，．SO⊥平面ABC，由此能求出四棱锥S-ACOD的体积．20.【答案】解：（1）由椭圆方程为+y2=1，可知：a=2，b=1，c=，∴F1（-，0），F2（，0），设P（x，y），（x，y＞0），则•=•=x2+y2-3=-，又+y2=1，联立解得：，∴P．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程得：y2=，容易得出=x1x2+y1y2=-=-≠0，此时OA⊥OB不成立．②若l的斜率存在时，设l：y=kx+m，则由已知可得=，即k2+1=4m2．由，可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，则x1+x2=-，x1•x2=．要OA⊥OB，则=0，即x1•x2+（kx1+m）（kx2+m）=km（x1+x2）+（k2+1）x1•x2+m2=0，即5m2-4k2-4=0，又k2+1=4m2．∴k2+1=0，此方程无实解，此时OA⊥OB不成立．综上，不存在这样的直线l，使得OA⊥OB．【解析】（1）设P（x，y），（x，y＞0），则•=x2+y2-3=-，又+y2=1，联立解出即可得出．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．①若l的斜率不存在时，l：x=，代入椭圆方程得：y2=，容易得出≠0，此时OA⊥OB不成立．②若l的斜率存在时，设l：y=kx+m，则由已知可得=．直线方程与椭圆方程联立可得：（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，要OA⊥OB，则=0，即x1•x2+（kx1+m）（kx2+m）=km（x1+x2）+（k2+1）x1•x2+m2=0，把根与系数的关系代入可得5m2-4k2-4=0，又k2+1=4m2．解出即可判断出结论．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】（Ⅰ）解：f（x）=e x-x2+2a+b，f′（x）=e x-2x，由题意得，即a=-1，b=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，f（x）=e x-x2-1．令φ（x）=f（x）+x2-x=e x-x-1，φ′（x）=e x-1，由φ′（x）=0，得x=0．当x∈（-∞，0）时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增．∴φ（x）的最小值为φ（0）=0，从而f（x）≥-x2+x；（Ⅲ）解：f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，等价于＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立．令g（x）=，x＞0．∴=．由（Ⅱ）可知，当x∈（0，+∞）时，e x-x-1＞0恒成立，令g′（x）＞0，得x＞1，g′（x）＜0，得0＜x＜1，∴g（x）的单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1），g（x）min=g（1）=e-2．∴k＜e-2．即实数k的取值范围为（-∞，e-2）．【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由题意可得，求解可得a，b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=e x-x2-1．令φ（x）=f（x）+x2-x=e x-x-1，利用导数求其最小值得答案；（Ⅲ）f（x）＞kx对任意的x∈（0，+∞）恒成立，等价于＞k对任意的x∈（0，+∞）恒成立．令g（x）=，x＞0．利用导数求其最小值可得实数k的取值范围．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数的最值与函数单调性的判断，考查转化思想与函数方程思想，考查转化能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：（Ⅰ）C1：（x+1）2+（y-3）2=1，C2：+y2=1C1为圆心是（-4，3），半径是1的圆C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆（Ⅱ）当t=时，P（-4，4），Q（cosθ，sinθ），故M（-2+cosθ，2+）C3为直线x-y-5=0，M到C3的距离d==|sin（θ-）+9|，从而当sin（θ-）=-1时，d取得最小值4．【解析】（Ⅰ）根据 sin2α+cos2α=1消参即可得到C1，C2的普通方程，由普通方程可知C1为圆心是（-4，3），半径1的圆，C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆．（Ⅱ）根据题意求出P坐标，利用C2的参数方程设出Q的直角坐标，由题意可得PQ 中点M坐标，结合点到直线的距离公式、辅助角公式求出最小距离（Ⅰ）椭圆的参数方程、圆的参数方程化为普通方程时，一般要利用同角三角函数的平方关系sin2α+cos2α=1消参得到普通方程（Ⅱ）曲线上的点，到直线上一点的距离的最小值的求法：在求点到直线最小距离时，先用参数形式写出点Q的直角坐标，代入点到直线的距离公式结合辅助角公式得到距离的最小值．23.【答案】解：（I）∵|3a+4b|=10，∴100=（3a+4b）2≤（32+42）（a2+b2）=25（a2+b2）∴a2+b2≥4，当且仅当即或时取等号即a2+b2的最小值4（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立，∴|x+3|-|x-2|≤4，∴或或解可得，x＜-3或-3∴实数x的取值范围（-∞，]【解析】（I）利用柯西不等式即可求解（II）由（I）知|x+3|-|x-2|≤a2+b2对任意的a、b∈R恒成立⇔|x+3|-|x-2|≤（a2+b2）min，然后根据绝对值不等式的求解即可本题主要考查了柯西不等式在最值求解中的应用，还考查了绝对值不等式的解法及恒成立问题与最值求解相互转化思想的应用．。
2020年陕西省高考数学(文科)模拟试卷(8)
2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（8）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜4}，N ＝{x |x 2+3x ﹣10≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ≤5}B ．{x |﹣1＜x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤1}D ．{x |﹣5≤x ＜4}2．（5分）已知复数z 满足z +2i ∈R ，z 的共轭复数为z ，则z −z =（ ） A ．0B ．4iC ．﹣4iD ．﹣43．（5分）如图，已知F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段PF 2与圆相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．√53B ．√35C ．√54D ．√254．（5分）2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2天 3天 5天 6天 7天 9天 10天 12天 人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ） A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天5．（5分）已知函数f （x ）={lnx ，x ＞0e x ，x ≤0，则f [f （14）]的值为（ ）A ．4B ．2C ．12D ．146．（5分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1=13，a 3＝2a 2+1，则a n ＝（ ） A ．3n ﹣1B ．3n ﹣2C ．2n ﹣1D ．2n ﹣27．（5分）在平行四边形ABCD 中，若CE →=4ED →，则BE →=（ ）A ．−45AB →+AD →B ．45AB →−AD →C ．−AB →+45AD →D ．−34AB →+AD →8．（5分）如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ：BC ：AB ＝2：3：4，E ，F分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出四个结论：①DF ⊥BC ； ②BD ⊥FC ；③平面DBF ⊥平面BFC ； ④平面DCF ⊥平面BFC ．则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）设函数f （x ）＝2cos （12x −π3），若对于任意的x ∈R 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1﹣x 2|的最小值为（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π10．（5分）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）（x ﹣4）（x ﹣5），则曲线y ＝f （x ）在点（2，0）处的切线方程为（ ） A ．y ＝﹣3x +6B ．y ＝﹣6x +12C ．y ＝3x ﹣6D ．y ＝6x ﹣1211．（5分）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．25π4B ．64π3C ．25πD ．32π12．（5分）方程2（x ﹣1）sin πx +1＝0在区间[﹣2，4]内的所有解之和等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若投掷一枚质地均匀的骰子，第一次投掷的点数为a，第二次投掷的点数为b，则b＞a的概率为．14．（5分）已知实数x，y满足{y≥4x，x+2y+6≥0，y≤4，则z=y+4x−4的最大值为．15．（5分）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，点A的坐标为（0，2b），若直线AF的倾斜角为45°，则C的离心率为．16．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝3，S4＝10，则∑n k=11S k=．三．解答题（共5小题）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．b=√5，B=π4．（I）若a＝3，求sin A及sin C的值；（Ⅱ）若△ABC的面积等于1，求a的值．18．如图，EA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝4，BC＝BD＝3，AC＝AD，CD＝3√2．（1）证明：BD∥平面ACE．（2）若几何体EABCD的体积为10，求三棱椎E﹣ABC的侧面积．19．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量406080100频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率．（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件，该4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店，假设该4S 店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 50 70 90 110 频数51582（i ）设该4S 店试销结束后连续30天每天批发两大箱，求这30天这款零件的总利润； （ii ）以总利润作为决策依据，该4S 店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？20．已知函数f （x ）＝x 3e x ． （1）求f （x ）的单调区间；（2）若不等式f （x ）≥mx 2对x ∈R 恒成立，求m 的取值范围．21．已知动圆E 与圆M ：(x −1)2+y 2=14外切，并与直线x =−12相切，记动圆圆心E 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点Q （﹣2，0）的直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若曲线C 上存在点P 使得∠APB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点A （2，0）为圆心、半径为2的圆的一个交点为B （2，π3），曲线M 1是劣弧OB̂，曲线M 2是优弧OB ̂． （Ⅰ）求曲线M 1的极坐标方程；（Ⅱ）设点P （ρ1，θ）为曲线M 1上任意一点，点Q （ρ2，θ−π3）在曲线M 2上，若|OP |+|OQ |＝6，求θ的值．五．解答题（共1小题）23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |的最小值为12．（1）求证：a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．2020年陕西省高考数学（文科）模拟试卷（8）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）已知集合M ＝{x |﹣1＜x ＜4}，N ＝{x |x 2+3x ﹣10≤0}，则M ∩N ＝（ ） A ．{x |﹣1＜x ≤5}B ．{x |﹣1＜x ≤2}C ．{x |﹣1＜x ≤1}D ．{x |﹣5≤x ＜4}【解答】解：集合M ＝{x |﹣1＜x ＜4}，N ＝{x |x 2+3x ﹣10≤0}＝{x |﹣5≤x ≤2}，则M ∩N ＝{x |1＜x ≤2}， 故选：B ．2．（5分）已知复数z 满足z +2i ∈R ，z 的共轭复数为z ，则z −z =（ ） A ．0B ．4iC ．﹣4iD ．﹣4【解答】解：∵z +2i ∈R ，设z +2i ＝a ∈R ， 则z ＝a ﹣2i ，则z −z =a ﹣2i ﹣（a +2i ）＝﹣4i ． 故选：C ．3．（5分）如图，已知F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，点P 在椭圆上，线段PF 2与圆相切于点Q ，且点Q 为线段PF 2的中点，则椭圆的离心率为（ ）A ．√53B ．√35C ．√54D ．√25【解答】解：连接OQ ，F 1P 如下图所示：椭圆x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），则由切线的性质，则OQ ⊥PF 2，又由点Q 为线段PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点 ∴OQ ∥F 1P ∴PF 2⊥PF 1， 故|PF 2|＝2a ﹣2b ， 且|PF 1|＝2b ，|F 1F 2|＝2c ， 则|F 1F 2|2＝|PF 1|2+|PF 2|2得4c 2＝4b 2+4（a 2﹣2ab +b 2） 解得：b =23a 则c =√53a故椭圆的离心率为：√53． 故选：A ．4．（5分）2020年1月，某专家为了解新型冠状病毒肺炎的潜伏期他从确诊感染新型冠状病毒的70名患者中了解到以下数据： 潜伏期 2天 3天 5天 6天 7天 9天 10天 12天 人数248101616104根据表中数据，可以估计新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为（精确到个位数）（ ） A ．6天B ．7天C ．8天D ．9天【解答】解：因为x =2×2+3×4+5×8+6×10+7×16+9×16+10×10+12×470≈7， 所以新型冠状病毒肺炎的潜伏期的平均值为7天， 故选：B ．5．（5分）已知函数f （x ）={lnx ，x ＞0e x ，x ≤0，则f [f （14）]的值为（ ）A ．4B ．2C ．12D ．14【解答】解：因为f （x ）={lnx ，x ＞0e x ，x ≤0，∴f （14）＝ln 14； ∴f [f （14）]＝eln14=14．故选：D ．6．（5分）已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1=13，a 3＝2a 2+1，则a n ＝（ ）A ．3n ﹣1B ．3n ﹣2C ．2n ﹣1D ．2n ﹣2【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ＞0，∵a 1=13，a 3＝2a 2+1， ∴13q 2＝2×13q +1，解得q ＝3．则a n ＝3n ﹣2．故选：B ．7．（5分）在平行四边形ABCD 中，若CE →=4ED →，则BE →=（ ）A ．−45AB →+AD →B ．45AB →−AD →C ．−AB →+45AD →D ．−34AB →+AD →【解答】解：在平行四边形ABCD 中，若CE →=4ED →，所以CE →=45CD →，则BE →=BC →+CE →=AD →+45CD →=−45AB →+AD →．故选：A ．8．（5分）如图梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ：BC ：AB ＝2：3：4，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形ADFE 沿直线EF 进行翻折，给出四个结论：①DF ⊥BC ； ②BD ⊥FC ；③平面DBF ⊥平面BFC ； ④平面DCF ⊥平面BFC ．则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为BC ∥AD ，AD 与DF 相交不垂直， 所以BC 与DF 不垂直，则①错误； 设点D 在平面BCF 上的射影为点P ，当BP ⊥CF 时就有BD ⊥FC ，而AD ：BC ：AB ＝2：3：4， 可使条件满足，所以②正确；当点P 落在BF 上时，DP ⊂平面BDF ，从而平面BDF ⊥平面BCF ，所以③正确；因为点D 的投影不可能在FC 上，所以平面DCF ⊥平面BFC 不成立，即④错误． 故选：B ．9．（5分）设函数f （x ）＝2cos （12x −π3），若对于任意的x ∈R 都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2）成立，则|x 1﹣x 2|的最小值为（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【解答】解：函数f （x ）＝2cos （12x −π3），若对于任意的x ∈R ，都有f （x 1）≤f （x ）≤f （x 2），∴f （x 1）是函数的最小值，f （x 2）是函数的最大值，|x 1﹣x 2|的最小值就是函数的半周期，T 2=12×2π12=2π；故选：C ．10．（5分）已知函数f （x ）＝（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）（x ﹣4）（x ﹣5），则曲线y ＝f （x ）在点（2，0）处的切线方程为（ ） A ．y ＝﹣3x +6B ．y ＝﹣6x +12C ．y ＝3x ﹣6D ．y ＝6x ﹣12【解答】解：∵f （x ）＝（x ﹣1）（x ﹣2）（x ﹣3）（x ﹣4）（x ﹣5），令（x ﹣2）（x ﹣3）（x ﹣4）（x ﹣5）＝g （x ）则f ′（x ）＝g （x ）+（x ﹣1）[g （x ）]′，令h （x ）＝（x ﹣3）（x ﹣4）（x ﹣5），则h ′（x ）＝（x ﹣4）（x ﹣5）+（x ﹣3）（2x ﹣9）∴f ′（x ）＝g （x ）+（x ﹣1）[h （x ）+（x ﹣2）h ′（x ）]∴曲线y ＝f （x ）在点（2，0）处的切线的斜率k ＝f ′（2）＝g （2）+h （2）＝h （2）＝﹣6，∴曲线y ＝f （x ）在点（2，0）处的切线方程为y ﹣0＝﹣6（x ﹣2），即y ＝﹣6x +12． 故选：B ．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．25π4B ．64π3C ．25πD ．32π【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是三棱锥，底面三角形ABC 是边长为2的等边三角形，P A ⊥底面ABC ，设底面三角形ABC 的外心为G ，过G 作底面的垂线GO ，且使GO =12AP ． 则O 为三棱锥P ﹣ABC 外接球的球心，连接OB ，∵GB =2√33，OG ＝2，∴三棱锥外接球的半径R ＝OB =4+(233)2=4√33． ∴该几何体外接球的表面积为4π×(4√33)2=64π3． 故选：B ．12．（5分）方程2（x ﹣1）sin πx +1＝0在区间[﹣2，4]内的所有解之和等于（ ） A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：由2（x ﹣1）sin πx +1＝0，得sin πx =12(1−x)， 作出y ＝sin πx 与y =12(1−x)的函数图象如图， 由图象可知两函数图象在[﹣2，4]上有8个交点，∵y ＝sin πx 与y =12(1−x)的函数图象均关于点（1，0）对称， ∴方程2（x ﹣1）sin πx +1＝0的解的和为4×2＝8．故选：C．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）若投掷一枚质地均匀的骰子，第一次投掷的点数为a，第二次投掷的点数为b，则b＞a的概率为512．【解答】解：如表所示，用（a，b）表示两次投掷的点数．ba1234561（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）总计有36种情况，满足条件的有15种，故b＞a的概率为：P=1536=512．14．（5分）已知实数x，y满足{y≥4x，x+2y+6≥0，y≤4，则z=y+4x−4的最大值为−27．【解答】解：作出不等式组所表示的平面区域如下图阴影区域所示，z=y+4x−4表示平面区域内的点（x，y）与D（4，﹣4）连线的斜率，观察可知，k DC≤y+4x−4≤k DB，联立{y =4x ，x +2y +6=0，解得{x =−23，y =−83，即B(−23，−83)，故z =y+4x−4的最大值为−83+4−23−4=43−23−123=−27．故答案为：−27．15．（5分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，点A 的坐标为（0，2b ），若直线AF 的倾斜角为45°，则C 的离心率为2√33．【解答】解：依题意得，点F 的坐标为（﹣c ，0）， ∴直线AF 的斜率k AF =2bc=1， ∴c ＝2b ，即c 2＝4b 2＝4（c 2﹣a 2），化简整理3c 2＝4a 2， ∴e =c a =2√33． 故答案为：2√33． 16．（5分）等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，则 ∑n k=11S k = 2n n+1． 【解答】解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝3，S 4＝10，S 4＝2（a 2+a 3）＝10， 可得a 2＝2，数列的首项为1，公差为1， S n =n(n+1)2，1S n =2n(n+1)=2(1n −1n+1)， 则 ∑n k=11S k =2[1−12+12−13+13−14+⋯+1n −1n+1]＝2（1−1n+1）=2n n+1． 故答案为：2n n+1．三．解答题（共5小题）17．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．b =√5，B =π4． （I ）若a ＝3，求sin A 及sin C 的值； （Ⅱ）若△ABC 的面积等于1，求a 的值．【解答】解：（Ⅰ）△ABC 中，a ＝3，b =√5，B =π4， 由正弦定理得asinA=b sinB，∴sin A =ab sin B =3√5sin π4=310√10； 当A 为锐角时，cos A =√1−sin 2A =√1010， sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =3√1010×√22+√1010×√22=2√55； 当A 为钝角时，cos A =−√1−sin 2A =−√1010，sin C ＝sin （A +B ）＝sin A cos B +cos A sin B =3√1010×√22−√1010×√22=√55； （Ⅱ）△ABC 的面积为S △ABC =12ac sin B =12ac sinπ4=√24ac ＝1，…① 由余弦定理得b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos π4=a 2+c 2−√2ac ＝5，…②； 由①得c =2√2a ，代入②得a 2+8a 2−4＝5，化简得a 4﹣9a 2+8＝0， 解得a ＝1或a ＝2√2．18．如图，EA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝4，BC ＝BD ＝3，AC ＝AD ，CD ＝3√2． （1）证明：BD ∥平面ACE ．（2）若几何体EABCD 的体积为10，求三棱椎E ﹣ABC 的侧面积．【解答】解：（1）证明：∵BC ＝BD ，AC ＝AD ，AB ＝AB ，∴△ABC ≌△ABD ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥BD ，∵AB ＝4，BC ＝BD ＝3，AC ＝AD ，CD ＝3√2． ∴BD 2+BC 2＝CD 2，∴BD ⊥BC ． ∵AB ∩BC ＝B ，∴BD ⊥平面ABC ， ∵EA ⊥平面ABC ，∴EA ∥BD ，∵BD⊄平面ACE，AE⊂平面ACE，∴BD∥平面ACE．（2）解：∵△ABC的面积S=12×3×4=6，几何体EABCD的体积为10，∴几何体EABCD的体积为：V=13S(EA+BD)=13×6×(EA+3)=10，解得EA＝2，∵EA⊥平面ABC，∴BC⊥AE，又AB⊥BC，AE∩AB＝A，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥BE，∴三棱椎E﹣ABC的侧面积为：S＝S△ABE+S△BCE+S△AEC=12×AB×AE+12×BE×BC+12×AC×AE=12×4×2+12×√22+42×3+12×√42+32×2＝4+3√5+5＝9+3√5．19．某公司准备上市一款新型轿车零配件，上市之前拟在其一个下属4S店进行连续30天的试销，定价为1000元/件．试销结束后统计得到该4S店这30天内的日销售量（单位：件）的数据如表：日销售量406080100频数91263（1）若该4S店试销期间每个零件的进价为650元/件，求试销连续30天中该零件日销售总利润不低于24500元的频率．（2）试销结束后，这款零件正式上市，每个定价仍为1000元，但生产公司对该款零件不零售，只提供零件的整箱批发，大箱每箱有60件，批发价为550元/件；小箱每箱有45件，批发价为600元/件，该4S 店决定每天批发两箱，根据公司规定，当天没销售出的零件按批发价的9折转给该公司的另一下属4S 店，假设该4S 店试销后的连续30天的日销售量（单位：件）的数据如表： 日销售量 50 70 90 110 频数51582（i ）设该4S 店试销结束后连续30天每天批发两大箱，求这30天这款零件的总利润； （ii ）以总利润作为决策依据，该4S 店试销结束后连续30天每天应该批发两大箱还是两小箱？【解答】解：（1）因为试销期间每个零件的利润为1000﹣650＝350元， 所以要使得日销售总利润不低于24500元，则日销售零件的件数不能少于24500350=70，根据题中数据大于等于70件的频数为6+3＝9， 故所求频率为6+330=0.3；（2）（i ）该4S 店试销结束后连续30天每天批发两大箱，则批发成本为60×2×550＝66000元，当日销售量为50件时，当日利润为50×1000+0.9×（120﹣50）×550﹣66000＝18650元； 当日销售量为70件时，当日利润为70×1000+0.9×（120﹣70）×550﹣66000＝28750元； 当日销售量为90件时，当日利润为90×1000+0.9×（120﹣90）×550﹣66000＝38850元； 当日销售量为110件时，当日利润为110×1000+0.9×（120﹣110）×550﹣66000＝48950元．所以这30天这款零件的总利润为18650×5+28750×15+38850×8+48950×2＝93.32万元； （ii ）若该4S 店试销结束后连续30天每天批发两小箱，则批发成本为45×2×600＝54000元，当日销售量为50件时，当日利润为50×1000+0.9×（90﹣50）×600﹣54000＝17600元； 当日销售量为70件时，当日利润为70×1000+0.9×（90﹣70）×600﹣54000＝26800元；当日销售量为90件或110件时，当日利润为90×1000﹣54000＝36000元，所以这30天这款零件的总利润为17600×5+26800×15+36000×10＝85万元，因为93.32万元＞85万元，所以每天应该批发两大箱．20．已知函数f（x）＝x3e x．（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝3x2e x+x3e x＝x2e x（x+3），令f′（x）≥0，得x≥﹣3，则f（x）的单调递增区间为[﹣3，+∞）；令f′（x）＜0，得x＜﹣3，则f（x）的单调递减区间为[﹣∞，﹣3）；（2）当x＝0时，不等式f（x）≥mx2，即0≥0，显然成立，当x≠0时，不等式f（x）≥mx2对x∈R恒成立，等价于m≤xe x对x∈R恒成立，设g（x）＝xe x（x≠0），g′（x）＝（x+1）e x，令g′（x）＜0，得x＜﹣1，令g′（x）＞0，得x＞﹣1，且x≠0，所以g（x）min＝g（﹣1）=−1 e，所以m≤−1e，即m的取值范围为（﹣∞，−1e]．21．已知动圆E与圆M：(x−1)2+y2=14外切，并与直线x=−12相切，记动圆圆心E的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点Q（﹣2，0）的直线l交曲线C于A，B两点，若曲线C上存在点P使得∠APB ＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：（1）因为动圆E与圆M：(x−1)2+y2=14外切，并与直线x=−12相切，所以点E到点M的距离比点E到直线x=−12的距离大12，因为圆M：(x−1)2+y2=14的半径为12，所以点E到点M的距离等于点E到直线x＝﹣1的距离，所以圆心E 的轨迹为抛物线，且焦点坐标为（1，0）． 所以曲线C 的方程y 2＝4x ．（2）设P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 由{y 2=4x y =k(x +2)得ky 2﹣4y +8k ＝0， 由{k ≠016−32k 2＞0得−√22＜k ＜√22且k ≠0． y 1+y 2=4k ，y 1y 2＝8， k PA=y 0−y 1x 0−x 1=y 0−y 1y 024−y 124=4y 0+y 1，同理k PB =4y 0+y 2由∠APB ＝90°，得4y 0+y 1⋅4y 0+y 2=−1，即y 02+y 0(y 1+y 2)+y 1y 2=−16， 所以y 02+4k y 0+24=0，由△=(4k )2−96≥0，得−√66≤k ≤√66且k ≠0， 又−√22＜k ＜√22且k ≠0， 所以k 的取值范围为[−√66，0)∪(0，√66]． 四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点A （2，0）为圆心、半径为2的圆的一个交点为B （2，π3），曲线M 1是劣弧OB̂，曲线M 2是优弧OB ̂． （Ⅰ）求曲线M 1的极坐标方程；（Ⅱ）设点P （ρ1，θ）为曲线M 1上任意一点，点Q （ρ2，θ−π3）在曲线M 2上，若|OP |+|OQ |＝6，求θ的值．【解答】解：（Ⅰ）过极点的直线l 与以点A （2，0）为圆心、半径为2的圆上任意一点（ρ，θ），整理得ρ＝4cos θ．由于的圆的一个交点为B （2，π3），曲线M 1是劣弧OB̂， 所以M 1的方程为ρ=4cosθ(π3≤θ≤π2)． （Ⅱ）点P （ρ1，θ）为曲线M 1上任意一点， 所以ρ1=4cosθ(π3≤θ≤π2)， 点Q （ρ2，θ−π3）在曲线M 2上， 所以ρ2=4cos(θ−π3)（−π2≤θ−π3≤π3）． 整理得ρ2=4cos(θ−π3)(−π6≤θ≤π3)． 由于|OP |+|OQ |＝6， 所以ρ1+ρ2＝6，整理得4cosθ+4cos(θ−π3)=6，即：4√3sin(θ+π3)=6， 由于π3≤θ≤π2且−π6≤θ≤π3． 解得θ=π3．五．解答题（共1小题）23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |的最小值为12．（1）求证：a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，求实数t 的最大值．【解答】解：（1）证明：a ＞0，b ＞0，函数f （x ）＝|2x +a |+|x ﹣b |＝|x +a2|+|x +a 2|+|x ﹣b | ≥|−a2+a2|+|x +a2−x +b |＝0+|b +a2|＝b +a2，当且仅当x ＝b 时，上式取得等号，可得f （x ）的最小值为b +a2， 则b +a2=12，即a +2b ＝1；（2）若2a +b ≥tab 恒成立，由a ，b ＞0，可得t ≤1a +2b 恒成立， 由1a +2b =（a +2b ）（1a +2b）＝5+2a b +2b a ≥5+2√2a b ⋅2ba =9， 当且仅当a ＝b =13，上式取得等号，则t ≤9，可得t 的最大值为9．。
陕西省咸阳市2020届高三高考模拟检测文科数学试题(附答案解析)
咸阳市2020年高考模拟检测(一)数学(文科)试题注意事项:1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟；2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名.准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.第I 卷选择题必须使用2B 铅笔填涂，第II 卷非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22A x N x =∈-<<，{}1,1,2,3B =-，则A B ⋂=（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}0,1,2,32. 设21z i i ⋅=+，则z =（ ）A ．2i +B ．2i -C ．2i -+D ．2i --3. 记n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若20,S =则公比q =（ ）A ．0B ．1-C ．1D ．无法确定 4. 已知()()1,2,1,0,a b ==r r 则2a b +=r r （ ）A B ．7 C. 5 D ．255.“0x >”是“20x x +>”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C. 充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数m =（ ）A ．23B ．25C ．23-D ．25- 7. 函数4y cos x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．132,24(4)k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．372,24(4)k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．312,24(4)k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．152,24(4)k k k Z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 8. 已知()1210,0x y x y+=>>，则2x y +的最小值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．79. 设,m n 是两条不同的直线，,a β是两个不同的平面，给出下列四个命题:①若,//,m a n a ⊥则m n ⊥；②若//,a m a β⊥，则m β⊥；③若//,//m a n a ，则//m n ；④若,m a a β⊥⊥，则//m β.其中真命题的序号为（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④10. 有编号为1,2,3的三个盒子和编号分别为1,2,3的三个小球，每个盒子放入一个小球，则小球的编号与盒子编号全不相同的概率为（ ）A ．827B ．56C ．23D ．1311. 设函数(),x f x x e =⋅则 （ ）A ．()f x 有极大值1eB ．()f x 有极小值1e -C ．()f x 有极大值 eD ．()f x 有极小值e - 12. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的两个焦点分别为12,,F F 以12F F 为直径的圆交双曲线C 于,,,P Q M N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A．2 BC．2+D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线y x lnx =⋅在点()1,0处的切线方程为_ ．14. 若变量,x y 满足约束条件220220,20x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩则32z x y =+的最大值是 ．15. 已知()222(0,0,)cos x sin x Asin ax b A w ϕ+=++>>则A = ，b = . (本题第一空3分，第二空2分)16. 秦九韶是我国古代的数学家，他的《数书九章》概括了宋元时期中国传统数学的主要成就.秦九韶算法是一种将一元n 次多项式的求值问题转化为n 个一次式的算法，其大大简化了计算过程，即使在现代，利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法，在西方被称作霍纳算法.()121210n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++改写成以下形式:()121210n n n n n n f x a x a x a x a x a ----=+++⋅⋅⋅++()1231210n n n n n n a x a x a x a x a -----=+++⋅⋅⋅++()()2313210n n n n a x a x a x a x a x a ---=++⋅⋅⋅++++··· ()()()1210n n n a x a x a x a x a --=⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++若()32((21(11f x x x x =++-.则(2f = ． 三、.解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知22B m sin ⎛= ⎝u r ，cos 2B n cos B ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，，且m n ⊥u r r .()I 求角B 的大小；()II如果1,a b ==求ABC V 的面积.18. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱11D C 的中点，12,1AB BC BB ===.()I 求证:11B C DE ⊥；()II 求三棱锥11E DB C -的体积19. 某单位利用“学习强国”平台，开展网上学习，实行积分制.为了了解积分情况，随机调查了50名员工，得到这些员工学习得分频数分布表:()I 求这些员工学习得分的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；()II 用分层抽样的方法从得分在[)10,20和[)20,30的员工中选取5人，从选取的5人中，再任选取2人，求得分在[)10,20和[)20,30中各有1人的概率20. 已知函数() ()f x lnx ax a R =-∈.()I 讨论()f x 的单调性；()II 若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围.21. 如图，已知抛物线2:8C y x =的焦点是,F 准线是l .()I 写出焦点F 的坐标和准线l 的方程；()II 已知点()8,8,P 若过点F 的直线交抛物线C 于不同的两点,A B (均与P 不重合)，直线,PA PB 分别交l 于点,M N .求证:MF NF ⊥.(二)选考题:共10分，考生从22.23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡.上将所选题目对应的题号涂黑.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程,2x y sin β⎧=⎪⎨=⎪⎩(β为参数).直线l 的参数方程3cos ,1sin x t A y t a =+⎧⎨=+⎩(t 为参数). ()I 求曲线C 在直角坐标系中的普通方程；()II 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，当曲线C 截直线l 所得线段的中点极坐标为2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，求直线l 的倾斜角. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()()22f x x a x x x a =--+--.()I 当2a =时，求不等式()0f x <的解集；()II 若()0,2x ∈时，()0,f x ≥求a 的取值范围.咸阳市2020年高考模拟检测(一)数学(文科)试题参考答案及评分标准.一、选择题1-5:ABBCA 6-10:DCCAD 11、12：BD二、填空题13.1y x =- 14.10 15.1A b == 16.0三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17. 解:()I m n ⊥u r r Q2cos 022BBsin B ∴+=化简得:tanB =，又0,B π<<Q23B π∴=()II 由余弦定理2222b a c accosB =+-得，222112,2c c ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭解之得:1c =.11 112224ABC S acsinB ∴==⨯⨯⨯=V18. 解: ()I 证明:1111ABCD A B C D -Q 是长方体，.11B C ∴⊥平面11DCC D又DE ≠⊂Q 平面11DCC D ，11B C DE ∴⊥.()II 解:2,AB E =Q 是棱11D C 的中点，11,EC ∴=111111113E DB C B DEC DEC V V S B C --∴==⋅V11111132DD EC B C =⨯⋅⋅⋅ 111111326=⨯⨯⨯⨯= 19. ()I 记这50名员工学习得分的平均数为x 元， 则()15515102515351345726.4.50x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()II 用分层抽样可知从[)10,20中选2人，记这2人分别为12,a a ；从[)20,30中选3人，记这3人分别为123,,b b b .从12123,,,,a a b b b 中再任取2人的情况有:12111213212223121323,,,,,,,,,,a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b 共10种.其中得分在[)10,20和[)20,30中各有1人的情况有:11112312223,,,2,,a b a b a b a b a b a b 共6种.记事件A 为“得分在[)10,20和[)20,30中各有1人”则()63105P A == 20. ()I ()f x lnx ax =-的定义域为(0,),+∞()1'.f x a x=- ①当0a ≤时，由()'0,f x >知()f x 在(0,)+∞内单调递增.②当0a >时，由()'0,f x > 即10a x ->得10x a<<， 由()'0,f x <即10a x -<得1x a > ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增； 在1(),a+∞内单调递减因此， ①当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞内单调递增.②当0a >时()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增； 在1(),a+∞内单调递减. ()II ()f x 有两个零点.即:方程0lnx ax -=有两个实根，即:方程ln x a x=有两个实根， 即:函数y a =和()ln x g x x=有两个公共点， ()21ln x g x x -'= 由()'0,g x >即:210,lnx x -> 0x e ∴<<.由()'0,g x <即210,lnx x -< x e ∴>()()1max g x g e e∴== 又,10e g e ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-<当1x >时，0lnx x>， 10a e∴<< ∴当10a e<<时，()f x lnx ax =-有两个零点. 21. ()I 抛物线的焦点为()2,0F ，准线l 的方程为:2x =-.()II 由()I 知:设直线AB 的方程为:()2,x my m R -=∈令()()1122,,,A x y B x y ，由282x my y x -=⎧⎨=⎩消去x 得:28160,y my --=由根与系数的关系得:1216y y =-.直线PB 方程为:228282y x y x --=-- ()2222288888888y y x y x y y -+=-+=+- 当2x =-时，228168y y y -=+ 228162,8y N y ⎛⎫-∴- ⎪+⎝⎭同理得:118162,8y M y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭ 228164,8y FN y ⎛⎫-∴=- ⎪+⎝⎭u u u r ，118164,8y FM y ⎛⎫-=- ⎪+⎝⎭u u u u r 21218168161688y y FN FM y y --∴⋅=+⨯++u u u r u u u u r ()()()()()()212121168881681688y y y y y y +++--=++ ()()()1221801688y y y y +=++ ()()()2180161688y y -+=++ 0=,FN FM ∴⊥u u u r u u u u r.MF NF ∴⊥u u u r u u u r(二)选考题:共10分，考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.作答时用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑.22. ()I 由曲线C的参数方程,2x y sin β⎧=⎪⎨=⎪⎩(β为参数)得cos sin 2yββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴曲线C 的参数方程化为普通方程为:221124x y += ()II 解法一:中点极坐标2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为). 设直线l 与曲线C 相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，12121,22x x y y ++== 则2211222211241124x y x y +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩①② -②①得:222221210,124x x y y --+= 化简得:()211221123y y x x x x y y -+=-==-+ 即:1.a k = 又0,(),a π∈Q直线l 的倾斜角为56π 解法二:中点极坐标2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭化成直角坐标为). 将3cos ,1sin x t A y t a =+⎧⎨=+⎩分别代入221124x y +=得)()2211124tcosa tsina ++=()()2223660,cos a sin a t sina t ∴+++-=122260,3sina t t cos a sin a +∴+=-=+即60sinax --=.cos 3sina a ∴=-即3tana =-又0,(),a π∈Q∴直线l 的倾斜角为56π 23. ()I 当2a =时()()()2222,f x x x x x =--+-- 由()0f x <得()()22220x x x x --+--<. ①当2x ≥时，原不等式可化为:()2220x -<， 解之得:x ∈∅. ②当2x <时，原不等式可化为:()2220,x --< 解之得:x R ∈且2,x ≠ 2.x ∴<因此，()0f x <的解集为:{}2|x x <.()II 当()0,2x ∈时，()()()22f x x a x x x a =--+--， ()().|21x x a x a =---⎡⎤⎣⎦-由()0f x ≥得()()20x x a x a ----⎤⎣⎦≥⎡， ,x a x a -≤-∴0x a ∴-≥(),0,2a x x ∴≤∈，0,a ∴≤a∴的取值范围为(0]-∞.,。
2021年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷(文科)有答案
2021年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（文科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，M={1, 3, 6}，P={3, 4, 5}，指出Venn图中阴影部分表示的集合是（）A.{3}B.{1, 4, 5, 6}C.{2, 3, 7, 8}D.{2, 7, 8}2. 已知复数z1＝2+i，z2＝−1+2i，则z1⋅z2虚部为（）A.−4B.4C.3D.3i3. 在1和2两数之间插入n(n∈N+)个数，使它们与1，2组成一个等差数列，则当n＝10时，该数列的所有项和为（）A.15B.16C.17D.184. 很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”，“64片金片在三根金针上移动的寓言”)都涉及264这个数．请你估算这个数264大致所在的范围是()（参考数据：lg2=0.30，lg3=0.48）A.(1012, 1013)B.(1019, 1020)C.(1020, 1021)D.(1030, 1031)5. 为落实《国家学生体质健康标准》达标测试工作，全面提升学生的体质健康水平，某校高二年级体育组教师在高二年级随机抽取部分男生，测试了立定跳远项目，依据测试数据绘制了如图所示的频率直方图．已知立定跳远200cm以上成绩为及格，255cm以上成绩为优秀，根据图中的数据估计该校高二年级男生立定跳远项目的优秀率和图中的a分别是（）A.3%，0.010B.3%，0.012C.6%，0.010D.6%，0.0126. 执行如图的程序框图（“amodb”是a除以b的余数），如果输入a＝18，b＝12，则输出M的值等于（）A.12 B.18 C.36 D.727. 从直线l:3x+4y＝15上的动点P作圆x2+y2＝1的两条切线，切点分别为C，D，则四边形OCPD（O为坐标原点）面积的最小值是（）A. B. C. D.28. 已知双曲线C：(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且以F1F2为直径的圆与双曲线C 的右支交于Q，直线F1Q与C的左支交于P，若，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.9. 若sin(π3+α)=13，则cos(π3−2α)＝（）A.79B.13C.−79D.−1310. 若x，y满足约束条件，且z＝3x−y的最大值为12，则a的取值范围为（）A.a≥4B.a≥16C.a＝12D.a＝1611. 已知直线y＝kx(k>0)和曲线f(x)＝x−a ln x(a≠0)相切，则a的取值范围是（）A.(−∞, 0)∪(0, e)B.(0, e)C.(0, 1)∪(1, e)D.(−∞, 0)∪(1, e)12. 直线y＝ax+c与曲线y＝e x切于点，且x0∈[0, 1]，设，则a 与b的大小关系是（）A.a＝bB.a>bC.a<bD.以上均有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（注：15题第一空3分，第二空2分）已知向量＝(2, −1)，＝(3, −2)，，若，则||＝________．一只蚂蚁在最小边长大于4，且面积为24的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离大于2的概率为________．记S n为等比数列{a n}的前n项和．设S3＝6，S4＝a1−3，则公比q＝________，S4＝________．沿正三角形ABC的中线AD翻折，使点B与点C间的距离为，若该正三角形边长为2，则四面体ABCD外接球表面积为________．三、解答题：共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分设函数f(x)＝12cos2x−4sin x cos x−5．（1）求f(x)的最小正周期和值域；（2）在△ABC，角A、B、C的对边长分别为a、b，c．若f(A)＝−5，a＝，b＝2，求△ABC的面积．如图三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是边长2为等边三角形，E，F分别为AB，AA1的中点，CE⊥FB1，AB＝．（1）证明：EF⊥平面CEB1；（2）求三棱锥F−B1CE的体积．自从新型冠状病毒爆发以来，美国疫情持续升级，以下是美国2020年4月9日−12月14日每隔25天统计1次共11次累计确诊人数（万）．（1）将4月9日作为第1次统计，若将统计时间顺序作为变量x，每次累计确诊人数作为变量y，得到函数关系y＝ae bx(a、b>0)．对如表的数据作初步处理，得到部分数据已作近似处理的一些统计量的值＝6，＝603.09，＝5.98，(x i）(y i）＝15835.70，(x i）(ln y i−）＝35.10，(x i）2＝110，＝11.90，e4.06≈57.97，e4.07≈58.56，e4.08≈59.15．根据相关数据，确定该函数关系式（函数的参数精确到0.01）．（2）为了了解患新冠肺炎与年龄的关系，已知某地患有新冠肺炎的老年、中年、青年的人数分别为45人，30人，15人，按分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从6人中随机抽取2人进行调查结果对比，求这2人中至少一人是老年人的概率．已知抛物线C:y2＝4x的焦点为F，直线l:y＝2x+a与抛物线C交于A，B两点．（1）若a＝−1，求△FAB的面积；（2）若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围．已知函数f(x)＝x3+bx2+cx，(b, c∈R)．（1）当c＝1时，讨论函数f(x)单调性；（2）设x1，x2是函数f(x)的两个极值点，当|x1−x2|＝2时，求f(1)的最小值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号[选修4-4：坐标系与参数方程]以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为，0≤θ≤，曲线C2的参数方程为（t为参数）．（1）将曲线C1的极坐标方程、C2的参数方程化为普通方程．（2）设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x+1|+2|x−a|．（1）当a＝2时，求f(x)的最小值；（2）若函数在区间[−1, 1]上递减，求a的取值范围．参考答案与试题解析2021年陕西省宝鸡市高考数学模拟试卷（文科）（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.【答案】C【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由图象可知阴影部分对应的集合为(M∩P)∪（∁U(M∪P)），然后根据集合的基本运算即可求解．【解答】由图象可知阴影部分对应的集合为(M∩P)∪（∁U(M∪P)），∵全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，M={1, 3, 6}，P={3, 4, 5}，∴M∩P={3}，M∪P={1, 3, 4, 5, 6}，∴∁U(M∪P)={2, 7, 8}，∴(M∩P)∪（∁U(M∪P)）={2, 3, 7, 8}．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】D【考点】等差数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】对数的运算性质对数及其运算【解析】设264=N，两边同时取常用对数，再利用对数的运算性质即可求出N的近似值，从而求出结果．【解答】解：设264=N，两边同时取常用对数得：lg264=lg N，∴64lg2=lg N，∴lg N=64×0.30=19.2，∴N=1019.2，故1019<N<1020.故选B．5.【答案】C【考点】频率分布直方图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】C【考点】程序框图【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】B【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】C【考点】二倍角的三角函数【解析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】∵sin(π3+α)=13=cos(π6−α)，则cos(π3−2α)=2cos2(π6−α)−1＝2×19−1=−79，10.【答案】D【考点】简单线性规划【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答11.【答案】A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答12.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（注：15题第一空3分，第二空2分）【答案】【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的性质及其运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】,5【考点】等比数列的通项公式等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】5π【考点】球的表面积和体积球内接多面体棱锥的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、解答题：共70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分【答案】f(x)＝12cos2x−4sin x cos x−5，＝12×−2，＝6cos2x−7sin2x+5＝4）+1，故T＝π，函数的值域[1−3，1+5]，因为f(A)＝4cos(2A+，所以cos(8A+）＝，因为a<b，所以A<B，则<2A+<，所以5A+＝，即A＝，因为a＝，b＝6，由正弦定理得，，所以b＝2sin B＝2，故sin B＝7，即B＝，由勾股定理得，c＝1，△ABC的面积S＝＝．【考点】三角函数的周期性三角函数中的恒等变换应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】证明：∵△ABC为等边三角形，E、F分别为AB1的中点，∴CE⊥AB，又∵CE⊥FB1，且FB5与AB相交，∴CE⊥平面FB1E，∴CE⊥EF且CE⊥BB1，又∵AB＝，AB＝5，∴，∴，∴EB⊥BB1，∴BB1⊥平面ABC，∴，又，故，∴EF⊥EB1，又EC∩EB8＝E，∴EF⊥平面CEB1；由（1）可知CE⊥平面ABB1A3，∴CE⊥BB1，∴BB1⊥平面ABC，∴三棱柱ABC−A3B1C1是正三棱柱，又，∴．【考点】直线与平面垂直棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】因为y＝ae bx(a、b>0)，由已知可得＝，则a＝e2.06≈57.97，所以所求该函数关系式为y＝57.97e0.32x；6人中老人有人，故2人中没有老人的概率为，所以这2人中至少一人是老年人的概率为．【考点】求解线性回归方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】抛物线C:y2＝4x的焦点为F(2, 0)，a＝−1时，直线l:y＝6x−1，联立，可得，设A(x1, y1)，B(x6, y2)，则x1+x4＝2，x1x8＝．|AB|＝＝＝，点F到直线l的距离距离d＝＝，∴△FAB的面积S＝|AB|⋅d＝×＝．因为点M，N关于直线l对称，所以可设直线MN的方程为y＝-，联立，整理可得x2−(4m+16)x+3m2＝0，由△＝(6m+16)2−16m2>8，可得m>−2，设M(x3, y7)，N(x4, y4)，则x6+x4＝4m+16，y4+y4＝-(x3+x4)+5m＝−8故MN的中点为(4m+2, −4)，因为点M，N关于直线l对称，−4)，所以−4＝2(4m+6)+a，得a＝−4m−20，所以a<−12．．综上，a的取值范围为(−∞．【考点】抛物线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】c＝1时，f(x)＝x3+bx8+x，f′(x)＝3x2+3bx+1，且△＝4b4−12，当-≤b≤时，所以f(x)在R上单调递增；当b<−或b>时，得x1＝，x3＝，f(x)，f′(x)随x的变化情况如下表：所以f(x)在(−∞, x4)，(x2, +∞)上单调递增，在(x1, x8)上单调递减．综上所述，当|b|≤时；当|b|>时，f(x)在(−∞，），（，在（，．f′(x)＝2x2+2bx+c，由x8，x2是函数f(x)的两个极值点，可得x1，x5是方程3x2+7bx+c＝0的两个根，所以x1+x8＝-，x2x2＝，又|x4−x2|＝2，所以(x4−x2)2＝(x8+x2)2−7x1x2＝-＝4−3，所以f(1)＝b+c+3＝+b−6＝）2−≥−，所以当b＝-时，c＝-5−12c＝4(b2−7c)>0，f(1)＝-，故当b＝-，c＝-时．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的极值【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】已知曲线C1的极坐标方程为，0≤θ≤转换为直角坐标方程为x+y−4＝0，曲线C4的参数方程为（t为参数），，转换为直角坐标方程为(x+1)3−(y−1)2＝3．由，解得，2)．设所求的圆心坐标(x0, 2)，所以，解得x5＝2．设所求的圆的方程为(x−2)7+y2＝r2，由于圆经过极点，所以r＝6，故圆的方程为(x−2)2+y2＝4．根据转换为极坐标方程为ρ＝4cosθ．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答[选修4-5：不等式选讲]【答案】当a＝2时，f(x)＝|x+1|+3|x−2|＝，当x≤−1时，函数f(x)＝−4x+3≥f(−1)＝4，当−1<x<2时，f(x)＝−x+6>f(2)＝3，当x≥2时，f(x)＝2x−3≥f(2)＝3，综上所述函数f(x)的最小值为7；当a<−1时，x≥−1时，函数单调递增，当a≥−2时，f(x)＝，∵f(x)在[−1, 5]上单调递减，则a≥1，综上所述a的取值范围为[1, +∞)．【考点】函数单调性的性质与判断函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。
2023年陕西省榆林市高考数学二模试卷(文科)+答案解析(附后)
2023年陕西省榆林市高考数学二模试卷（文科）1. 设集合，，则( )A. B.C. D. 2. ( )A. B.C.D.3. 已知，，，则( )A.B. C.D.4. 某企业为了解员工身体健康情况，采用分层抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4：1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多72，则参加体检的人数是( )A. 90B. 96C. 120D. 1445. 在中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若的面积是，则( )A. B. C.D.6. 已知双曲线C ：的左、右焦点分别是，，P 是双曲线C 上的一点，且，若，则双曲线C 的离心率是( )A. B. C. D.7. 目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一科目会从化学、生物、政治这3科中选1科，乙同学的另一科目会从化学、生物这2科中选1科，则甲、乙所选科目相同的概率是( )A. B. C.D.8. 如图，在正三棱柱中，，D 是棱BC的中点，E 在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是( )A.B.C.D.9. 已知，则( )A. B. C. D.10. 已知函数在和上都是单调的，则a的取值范围是( )A. B. C. D.11. 已知函数，若函数恰有5个零点，则a的取值范围是( )A. B. C. D.12. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，是边长为的等边三角形，若三棱锥体积的最大值是，则球O的表面积是( )A. B. C. D.13. 已知向量，，若，则______ .14. 已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是______ .15. 已知函数满足，当时，，若对任意的都有，则m的最大值______ .16. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线C：焦点为F，准线为l，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点点P在抛物线C内射入，经过C上的点A反射后，再经过C上另一点B反射后，沿直线射出，且经过点Q，若直线OA与抛物线C的准线交于点D，则直线BD的斜率为______ ；若，且PB平分，则______ .17. 通过市场调查，现得到某种产品的资金投入单位：百万元与获得的利润单位：百万元的数据，如下表所示：资金投入x24568利润y34657求样本…，的相关系数精确；根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归直线方程；现投入资金1千万元，求获得利润的估计值.附：相关系数，，对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，18.已知数列的前n项和为，，求数列的通项公式；若，求数列的前n项和19. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是菱形，，，E是棱PD上的一点，且证明：平面若，，求点P到平面ACE的距离.20. 已知椭圆C：，四点，，，中恰有三点在椭圆C上.求椭圆C的标准方程；过点的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，试问直线，的斜率之和是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由.21. 已知函数，其中e为自然对数的底数.当时，曲线在处的切线方程；当时，恒成立，求a的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，，求的值.23. 已知函数的最大值是求m的值；若，求的最小值.答案和解析1.【答案】D【解析】解：由题意可得，则故选：根据交集定义求解．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：故选：根据复数的乘法运算法则求解．本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：因为，，，所以故选：引入中间值，a，b与1比较大小，c与0比较大小即可．本题主要考查了指数与对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：设参加体检的人数是n，则，解得，所以参加体检的人数是120人．故选：设参加体检的人数是n，根据题意列出方程，求解即可．本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：已知的面积是，利用余弦定理，整理得：，所以，由于则故选：直接利用三角形的面积公式和余弦定理建立方程，再利用三角函数的值求出A的值．本题考查的知识要点：三角形的面积公式，余弦定理，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．6.【答案】B【解析】解：不妨设P在双曲线C的右支上，由题意可得，根据双曲线定义，又，所以，因为，所以，则，故双曲线C的离心率故选：根据双曲线定义联立方程组求出，，再根据勾股定理求出，进一步计算得出结果．本题考查双曲线的定义及其性质，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：甲、乙同学所选的科目情况有：化学，化学，化学，生物，生物，化学，生物，生物，政治，化学，政治，生物，共6种，其中甲、乙同学所选的科目相同的情况有化学，化学，生物，生物，共2种，故所求概率故选：依题意先列出所有的基本事件，再列出甲、乙所选科目相同的基本事件，求其比值即可．本题主要考查古典概型及其概率计算公式，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：取棱靠近点B 的三等分点F ，取棱的中点H ，取的中点G ，连接，DH ，，DF ，根据题意可知，又，是平行四边形，，且F 是BG 中点，又D 是BC 中点，，，是异面直线与所成的角或补角，又，平面，平面，又平面，，设，则，从而，，，，，，，，在中，由余弦定理可得：，异面直线与所成的角的余弦值为，故选：取棱靠近点B 的三等分点F ，取棱的中点H ，取的中点G ，连接，DH ，，DF ，证明，得是异面直线与所成的角或补角，设，用余弦定理计算，即可得解．本题考查异面直线所成角的求解，余弦定理的应用，属中档题．9.【答案】C【解析】解：因为，所以，两边平方得，则，故故选：根据诱导公式得到，两边平方得到的值，再根据诱导公式进一步运算得到结果．本题主要考查了同角平方关系及诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：当时，，因为在上单调递增，所以，解得；当时，，因为在上单调递减，则，解得综上，a的取值范围是故选：由正弦函数的单调性可得且，求解即可．本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：函数恰有5个零点等价于关于x的方程有5个不同的实根，由，得或，因为，所以，由，得或，由，得，则在和上单调递增，在上单调递减．因为，，当时，，当时，，所以可画出的大致图象：由图可知有2个不同的实根，则有3个不同的实根，故，故A，C，D错误．故选：把函数零点问题转化为方程根的问题，转化为两函数的交点问题，再利用导数研究函数的大致图象进行求解判断．本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：设外接圆的半径为r，则，设球O的半径为R，当三棱锥的高最大时，体积取最大值，高的最大值所以，即，解得故球O的表面积是故选：设球O的半径为R，的外心为，由题意可得外接圆的半径r及面积，高的最大值为，代入体积公式，结合题意可求得R值，代入球的表面积公式即可得答案．本题考查球的表面积计算，考查运算求解能力，属于基础题．13.【答案】【解析】解：，，，所以，解得故答案为：根据向量平行的坐标运算公式，计算可得答案．本题主要考查向量平行的性质，属于基础题．14.【答案】7【解析】解：如图，画出可行域，设则，直线经过点B时，z取得最大值，联立可得，此时最大值是故答案为：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得解．本题主要考查线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．15.【答案】5【解析】解：当时，其中，，，在上单调递减，在上单调递增，，，由得，当时，，上，最小值是，在上，最小值是，由的定义，在上单调递减，，所以当都有，则m的最大值是5，故答案为：利用已知条件得出的性质：，然后由上解析式确定在上的单调性，最值，从而得出在上的性质，最终得出结论．本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．16.【答案】0 2【解析】解：依题意直线AB过抛物线的焦点．设直线AB的方程为，，，联立方程组得，则，因为，所以，因为直线OA的方程为，所以直线OA与抛物线C的准线的交点为，所以直线BD的斜率为因为PB平分，所以，所以因为，所以，即所以，得故答案为：0；设直线AB的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出A，B的坐标，写出直线OA的方程，求出D点的坐标，得到直线BD的斜率；由PB平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果．本题主要考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：由题意得，因为，，所以，，，所以故样本，…，的相关系数r约为，，故线性回归直线方程为当时，百万元．故现投入资金1千万元，获得利润约为百万元．【解析】根据相关系数的公式可求；利用最小二乘法求得，，即可得到线性回归方程；把代入线性回归方程即可求解．本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：因为，所以，所以，即当时，因为，所以，所以，即，则是首项和公比都为3的等比数列，故由可得，则是首项和公比都为的等比数列，故【解析】利用当时，可得，进而求出数列的通项公式；根据等比数列的求和公式求得结果．本题主要考查数列通项公式的求法，等比数列的前n项和公式，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：证明：记，连接OP，则O是BD，AC的中点．四边形ABCD是菱形，，，且O是AC的中点，，又OP，平面PBD，且，平面PBD；连接OE，，且O是BD的中点，，又，AC，平面ABCD，且，平面ABCD，，，，，，三棱锥的体积，，，过点E作，垂足为F，由题可得，，则又平面PBD，且平面PBD，，的面积设点P到平面ACE的距离为d，则，解得【解析】利用菱形、等腰三角形的性质以及线面垂直的判定定理．利用线面垂直的判定定理、性质定理以及等体积法进行求解．本题考查线面垂直的证明，线面垂直的判定定理，等体积法求解点面距问题，方程思想，化归转化思想，属中档题．20.【答案】解：由椭圆的对称性可知在椭圆C上．由题意可得，解得，故椭圆C的标准方程为当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，则不妨令，因为，所以，当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，，，联立，整理得，则由，得，，因为，所以，综上，直线，的斜率之和是定值，且该定值为【解析】根据椭圆的对称性以及已知建立方程组求解．利用直线与椭圆的方程联立以及韦达定理、斜率公式进行计算求解．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：当时，，则，则，，故曲线在处的切线方程为由题意，，因为，所以因为，所以至少满足否则含的某个区间上是减函数，不满足时，恒成立，即，解得当时，设，显然在上单调递增，则，即恒成立，从而在上单调递增，故，故a的取值范围是【解析】求出导函数，计算和，由点斜式或斜截式得切线方程；计算，从而，由此得，然后在此情况下对放缩得，设，利用导数，得出时，恒成立，从而得出得的单调性，证得满足题意，得出参数范围．本题主要考查利用导数研究函数的最值，利用导数求曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：为参数，，故曲线C的普通方程为；，即，故直线l的直角坐标方程为；由得曲线C的普通方程为，直线l的参数方程为为参数将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程并整理得，设A，B对应的参数分别是，，则，，故【解析】由消去求解；根据，根据，求解，即可得出答案；先得到直线l的参数方程与曲线C的普通方程联立，利用直线参数的几何意义求解，即可得出答案．本题考查简单曲线的极坐标和参数方程与普通方程的转化，考查转化思想和方程思想，考查运算能力，属于中档题．23.【答案】解：则在上单调递增，在上单调递减．故，即由可知，则因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故，即的最小值是【解析】根据分段函数的性质求解；利用基本不等式“1”的妙用即可求解．本题主要考查函数最值的求法，考查基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．。
陕西省渭南市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)
高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合N={x∈R|x≥-4}，则M∩N=（）A. B.C. RD. ∅2.若复数z满足=1+2i，则z=（）A. 1+3iB. 3+iC. 3+3iD. -1+3i3.命题“∃x＞0，3x＜x2”的否定为（）A. ∃x＜0，3x≥x2B. ∃x＞0，3x≥x2C. ∀x＞0，3x≥x2D. ∀x＜0，3x≥x24.如图，是2017年P大学自主招生面试环节中7位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和最低份后，所剩分数的平均数和众数分别为（）A. 86，86B. 85，84C. 84，86D. 86，855.执行如图所示的程序框图，若恰好经过两次条件判断就输出x，则可输入的正整数x的取值共（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个6.已知，若角α的终边经过点P（1，），则f（f（cosα））的值为（）A. B. C. 4 D. -47.如果将函数f（x）=2sin（3x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象，其对称轴是直线x=，则φ的显小值是（）A. B. C. D.8.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2b cos C=2a+c，则B=（）A. B. C. D.9.已知点P在双曲线（a＞0，b＞0）上，PF⊥x轴（其中F为双曲线的焦点），点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.10.某几何的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 5B. 6C.D. 811.若圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是（）A. x+y=0B. x-y=0C. x+y+2=0D. x-y+2=012.函数f（x）=-x3-2x2+4x，当x∈[-3，3]时，有f（x）≥m2-14m恒成立，则实数m的取值范围是（）A. （-3，11）B. （3，11）C. [3，11]D. [2，7]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.抛物线x2=2y的准线方程是______．14.已知向量=（6，2），=（t，3），若⊥，则|+|=______15.已知数列{a n}为等比数列，且a3a11+2a72=4π，则tan（a1a13）的值为______．16.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．①若m⊊α，m⊥β，则α⊥β；②若m⊊α，α∩β=n，α⊥β，则m⊥n；③若m⊊α，n⊊β，α∥β，则m∥n；④若m∥α，m⊊β，α∩β=n，则m∥n．上述命题中为真命题的是______（填写所有真命题的序号）三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（），求数列{b n}的前n项和T n．18.到2020年，我国将全面建立起新的高考制度，新高考采用3+3模式，其中语文、数学、英语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣、爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门（6选3）参加考试，满分各100分．为了顺利迎接新高考改革，某学校采用分层抽样的方法从高一年级1000名（其中男生550名，女生450名）学生中抽取了n名学生进行调查．（1）已知抽取的n名学生中有女生45名，求n的值及抽取的男生的人数．（2）该校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目，且只能选择一个科目），得到如下2×2列联表．关系．（ii）在抽取的选择“地理”的学生中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名学生中抽取2名，求这2名中至少有1名男生的概率．附：K2=，其中n=a+b+c+d．19.如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC与BD交于点E，点F是PD的中点．（1）求证：EF∥平面PBC；（2）若PA=2AB=2，求点F到平面PBC的距离．20.已知椭圆C：+=1的两个焦点分别是F1（-，0），F2（，0），点E（，）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P是y轴上的一点，若椭圆C上存在两点M，N使=2，求以F1P为直径的圆面积取值范围．21.已知函数f（x）=x2-x lnx．（I）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）-＞k在（1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围．22.已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A、B两点，求线段AB中点的直角坐标．23.已知函数f（x）=|x-3|；（Ⅰ）求不等式f（x）≥3-|x-2|的解集；（Ⅱ）若f（x）≤2m-|x+4|的解集非空，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵集合，集合N={x∈R|x≥-4}，∴M∩N={x|-4}．故选：B．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力和思维能力，考查函数与方程思想，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由=1+2i，得z=（1+2i）（1+i）=-1+3i．故选：D．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x＞0，3x＜x2”的否定为：∀x＞0，3x≥x2．故选：C．直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4.【答案】D【解析】解：由茎叶图知，去掉一个最高分95和一个最低分77后，所剩数据84，85，85，87，89的平均数为：（84+85+85+87+89）=86；众数为：85．故选：D．根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分95和一个最低分77后，把剩下的五个数字求出平均数和众数．本题主要考查茎叶图的有关知识，茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．5.【答案】C【解析】解：根据题意，当输入的x=1时，没有输出结果，程序无意义；输入x=2时，执行3次循环，不符合条件；输入x=3时，执行2次循环，符合条件；输入x=4时，执行2次循环，符合条件；输入x=5时，执行2次循环，符合条件；输入x=6时，执行2次循环，符合条件；输人x=7时，执行1次循环，不符合条件；综上，可输入的所有x的可能的值是2，3，4，5共4个．故选：C．根据题意，模拟程序的运行过程，即可得出可输入的所有x的可能的值共4个．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了指数的运算问题，是基础题．6.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，分段函数的应用，属于基础题．利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，可得f（cosα）的值，再利用分段函数求得f（f（cosα））的值．【解答】解：∵已知，若角α的终边经过点P（1，），∴cosα==，∴f（cosα）=f（）==-1，则f（f（cosα））=f（-1）=4-1=，故选：A．7.【答案】B【解析】解：将函数f（x）=2sin（3x+）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得y=2sin[3（x-φ）+]=2sin（3x-3φ+），∴g（x）=2sin（3x-3φ+），其图象的对称轴是直线x=，∴3×-3φ+=kπ+，k∈Z；φ=-+，k∈Z；∴φ的最小值是．故选：B．根据三角函数图象平移法则，得出函数g（x）的解析式，再根据其图象的对称轴求得φ的最小值．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．8.【答案】D【解析】解：已知等式利用正弦定理化简得：2sin B cos C=2sin A+sin C，∵sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C，∴2sin B cos C=2sin B cos C+2cos B sin C+sin C，即sin C（2cos B+1）=0，∵0＜B＜π，sin C＞0，∴cos B=-，∴B=．故选：D．已知等式利用正弦定理化简，将sin A=sin（B+C）=sin B cos C+cos B sin C代入求出cos B的值，即可确定出B的度数；此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线的方程为bx±ay=0，由PF⊥x轴（其中F为双曲线的焦点），∴-=1，∴y=±不妨设P（c，），则点P到双曲线的两条渐近线的距离分别为=，=∵点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，∴=，即=，即c=2b，∴a==c，∴e==，故选：D．由题意可得P（c，），分别求出点P到该双曲线的两条渐近线的距离，根据点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，可得c=2b，即可求出a与c的关系，即可求出离心率．本题考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的渐近线和离心率，属于中档题10.【答案】B【解析】解：由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为长方体，长为2，宽为2，高为1，上半部分为三棱柱，底面为等腰三角形，等腰三角形的底边长为2，高为1，三棱柱的高为2．∴该几何体的体积V=．故选：B．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为长方体，长为2，宽为2，高为1，上半部分为三棱柱，底面为等腰三角形，等腰三角形的底边长为2，高为1，三棱柱的高为2．再由棱柱的体积公式求解．本题考查由三视图求面积，体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．11.【答案】D【解析】解：由于圆O：x2+y2=4与圆C：x2+y2+4x-4y+4=0关于直线l对称，则直线l 是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程为x -y+2=0，故选：D．由题意可得，直线l是两圆的公共弦所在的直线，故把两圆的方程相减可得直线l的方程．本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，判断直线l是两圆的公共弦所在的直线，是解题的关键，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：因为f（x）=-x3-2x2+4x，当x∈[-3，3]所以f′（x）=-3x2-4x+4，令f′（x）=0得，因为该函数在闭区间[-3，3]上连续可导，且极值点处的导数为零，所以最小值一定在端点处或极值点处取得，而f（-3）=-3，f（-2）=-8，f（）=，f（3）=-33，所以该函数的最小值为-33，因为f（x）≥m2-14m恒成立，只需m2-14m≤f（x）min，即m2-14m≤-33，即m2-14m+33≤0解得3≤m≤11．故选：C．要使原式恒成立，只需m2-14m≤f（x）min，然后再利用导数求函数f（x）=-x3-2x2+4x，当x∈[-3，3]的最值即可．本题考查了不等式恒成立问题，一般是转化为函数的最值问题来解决，而本题涉及到了可导函数在闭区间上的最值问题，因此我们只是从端点值和极值中找最值，而极值点处导数为零，因此最终是从导数为零、端点值中找的最值．13.【答案】【解析】解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；所以：2p=2，即p=1，所以：=，所以准线方程y=-．故答案为：y=-．先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵向量=（6，2），=（t，3），⊥，∴，∴t=-1，∴，∴|+|=|（5，5）|=，故答案为：．根据⊥，可得，解方程求出t，然后代入|+|中即可．本题考查了向量的数量积与垂直的关系和向量的模，属基础题．15.【答案】【解析】解：由等比数列{a n}的性质可得，a3a11==a1a13，由，∴=．则tan（a1a13）=tan==．故答案为：．由等比数列{a n}的性质可得，a3a11==a1a13，由，可得=．即可得出tan（a1a13）．本题考查了等比数列的通项公式及其性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.【答案】①④【解析】解：①若m⊊α，m⊥β，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故①正确；②若m⊊α，α∩β=n，α⊥β，则m，n平行或相交，故②错误；③若m⊊α，n⊊β，α∥β，则m∥n或m，n异面，故③错误；④若m∥α，m⊊β，α∩β=n，由线面平行的性质定理可得m∥n，故④正确．故答案为：①④．由面面垂直的判定定理可判断①；由面面垂直的性质和线线的位置关系可判断②；由面面平行的性质和线线的位置关系可判断③；由线面平行的性质定理可判断④．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，考查平行和垂直的判断和性质，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．17.【答案】解：数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2．当n=1时，a1=S1=1，当n≥2时，=2n-1（首项符合通项），故：a n=2n-1．（2）由于a n=2n-1，所以：b n=（）=，则：，所以：数列{b n}是以首项为，公比为的等比数列．故：．【解析】（1）首先求出数列的通项公式，（2）利用（1）的通项，进一步求出数列的通项公式，进一步求出数列的和本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.【答案】解：（1）由题意得解得n=100，则抽取的男生的人数为550×=55．（2）（i）则K2=≈8.1289＞6.635．所以有99%以上的把握认为选送科目与性别有关．（ii）由题意易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A，B，4名女生，分别记为a，b，c，d；从6名学生中抽取2名，有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd，ab，ac，ad，bc，bd，cd共15种情况，其中至少有1名男生的有AB，Aa，Ab，Ac，Ad，Ba，Bb，Bc，Bd共9种情况，故所求概率为．【解析】（1）根据题意得，求解可得n的值，进而可得抽到的男生的人数，（2）（i）根据题中的数据线完善列联表，再求K2结合临界值表即可得结果．（ii）先由题易知抽取的选择“地理”的6名学生中，有2名男生，分别记为A，B，4名女生，分别记为a，b，c，d；用列举法分别列举出“6名学生中抽取2名”和“这2名中至少有1名男生”所包含的基本事件，基本事件个数比即为所求概率．本题考查了独立性检验，古典概型的概率求法，属于基础题．19.【答案】（1）证明：因为E，F分别是DP，DB的中点，∴EF∥PB，，所以EF∥面PBC；（2）解：设点F到面PBC的距离为d，则点D到面PBC的距离为2d，在直角△PAB中，，又，，由V P-BCD=V D-PCB得．【解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，等体积法的应用，考查计算能力以及空间想象能力逻辑推理能力．（1）通过证明EF∥PB然后证明EF∥平面PBC；（2）设点F到面PBC的距离为d，则点D到面PBC的距离为2d，通过等体积法转化求解即可．20.【答案】解：（Ⅰ）由已知，c=，∴2a=|EF1|+|EF2|=+=4，∴a=2，∴b2=a2-c2=8-2=6，∴椭圆方程为+=1，（Ⅱ）设点P的坐标为（0，t），当直线MN的斜率不存在时，可得M，N分别是短轴的两端点，可得t=±，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），则由=2可得x1=-2x2，①，由，消y可得（3+4k2）x2+8ktx+4t2-24=0，由△＞0，可得64k2t2-4（3+4k2）（4t2-24）＞0，整理可得t2＜8k2+6，由韦达定理可得x1+x2=-，x1x2=，②，由①②，消去x1，x2可得k2=，由，解得＜t2＜6，综上得≤t2＜6，又以F1P为直径的圆面积S=π•，∴S的范围为[，2π）．【解析】（Ⅰ）根据椭圆的定义求出a，由题意可得c，根据b2=a2-c2=8-2=6，即可得到椭圆方程，（Ⅱ）分直线的斜率存在和不存在两种情况，当直线MN的斜率不存在时，易求出t=±，当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+t，M（x1，y1），N（x2，y2），则由=2，由韦达定理可得＜t2＜6，即可求出圆的面积的范围．本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．21.【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=x2-x lnx，∴f′（x）=2x-ln x-1，f′（1）=1，又f（1）=1，即切线，的斜率k=1，切点为（1，1），∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0；（Ⅱ）令g（x）=f（x）-=-x lnx，x∈（1，+∞），则g′（x）=x-1-ln x，令h（x）=x-1-ln x，则h′（x）=1-．当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，函数h（x）在（1，+∞）上为增函数，故h（x）＞h（1）=0；从而，当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞g′（1）=0．即函数g（x）在（1，+∞）上为增函数，故g（x）＞g（1）=．因此，f（x）-＞k在（1，+∞）上恒成立，必须满足k．∴实数k的取值范围为（-∞，]．【解析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（1）=1，再求出f（1）=1，由直线方程的点斜式得答案；（Ⅱ）令g（x）=f（x）-=-x lnx，两次求导可得函数g（x）在（1，+∞）上为增函数，得到g（x）＞g（1）=．由此可得满足条件的k的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，是中档题．22.【答案】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，转换为普通方程为：x-y-1=0．曲线C的极坐标方程为，极坐标方程两边同时平方得：转换为直角坐标方程为：x2+4y2=4，整理得：．（2）首先把直线的方程y=x-1代入，得到：x2+4（x-1）2=4，解得：，当x=0时，y=-1，当x=时，x=，故：A（0，-1）B（），所以：线段AB的中点坐标为：x=，y=．故中点的直角坐标为：（）．【解析】（1）直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．（2）利用直线和曲线的位置关系，进一步利用中点坐标求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线和曲线的位置关系的应用．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）≥3-|x-2|，即为|x-3|+|x-2|≥3，当x≤2时，得-2x+5≥3，则x≤1，…………………………（2分）当2＜x＜3时，无解…………………………（4分）当x≥3时，得2x-5≥3，则x≥4，综上x∈（-∞，1]∪[4，+∞）…………………………（6分）（Ⅱ）f（x）≤2m-|x+4|的解集非空即|x+4|+|x+3|≤2m有解，等价于2m≥（|x+4|+|x+3|）min，…………………………（8分）而|x+4|+|x-3|≥|（x+4）-（x-3）|=7．…………………………（10分）∴2m≥7，．…………………………（12分）【解析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）问题转化为2m≥（|x+4|+|x+3|）min，求出m的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及绝对值不等式的性质，是一道综合题．。
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陕西省高考数学模拟试题(文科)一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1.若集合{|(3)4}A x x x =-<,{|}B x x a ==,且A B B = ,则实数a 的取值范围为【 】.A.01a ≤<B.02a ≤<C.1a <D.2a < 2.若i 为虚数单位,且复数z 满足:(34)5z i ⋅+=,则z =【 】.A.3455i +B.3455i -C.3455i -+D.3455i -- 3.数学老师布置了10道选择题作为课堂练习,数学课代表将全班50名同学的答题情况绘制成了条形统计图(如右图),根据此图可知,由每位同学答对的题数所组成样本的中位数和众数分别为【 】.A.8,8B.8,9C.9,8D.9,9 4.函数22x x y -=-是【 】.A.奇函数,在区间(0,)+∞上单调递增B.奇函数,在区间(0,)+∞上单调递减C.偶函数,在区间(,0)-∞上单调递增D.偶函数,在区间(,0)-∞上单调递减5.阅读右边的程序框图,若输入变量n 为100,则输出变量S 为【 】.A.2500B.2550C.2600D.26506.若实数,x y 的约束条件为220840420x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则2z x y =+-的最大值为【 】.A.4B.3C.0D. 1.5-7.若正四棱锥的主视图、左视图、俯视图如右图所示,则这个正四棱锥的表面积为【 】.A.12B.834+C.20D.824+8.若θ是三角形的一个内角,且sin cos m θθ=+,则“0m =”是“方程sin cos 1x y θθ+=表示的是斜率为1的直线”的【 】.A.充分不必要条B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件开始 输入n S=0,T=0n<2? S=S+nn=n-1T=T+n 输出S ，T结束是否n=n-1学生数答对题数8182041098725201510052222222俯视图左视图主视图9.在等差数列{}n a 中,154a a +=,且78936a a a ++=,则13a =【 】.A.18B.19C.21D.22 10.如图,一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆的内壁逆时针方向滚动,M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点,则当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点M ,N 在大圆内所绘出的图形大致是【 】.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.若函数lg ,0()1,0x x f x x x >⎧=⎨- ≤⎩,则((99))f f -=_________.12.设函数()2xf x x =+(0)x >,观察以下各式: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34x f x f f x x ==+32()(()),78x f x f f x x ==+43()(()),1516x f x f f x x ==+ 根据以上事实,由归纳推理可得:54()(())f x f f x ==_________.13.若正实数,a b 满足22a b +=,则圆22240x y ax by +--=的半径的最小值为_________. 14.函数()cos24sin f x x x =+在[0,2]π内的零点个数为_________.15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分. A.(坐标系与参数方程)直线l :432x t y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)被曲线C :52cos 32sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)所截得的弦长为_________.B.(不等式选讲)若存在实数x 满足|3|||5x x m -+-<,则实数m 的取值范围为_________.C.(几何证明选讲)若直角三角形的内切圆与外接圆的面积分别是π与9π,则三角形的面积为_________.三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本题12分)某市一公交线路某区间内共设置六个站点,分别为012345,,,,,A A A A A A ,现有甲乙两人同时从0A 站点上车,且他们中的每个人在站点(1,2,3,4,5)i A i =下车是等可能的. (1)求甲在2A 站点下车的概率；(2)求甲,乙两人不在同一站点下车的概率.17.(本题12分)在数列{}n a 中,11a =,122nn n a a +=+,记数列{}n a 的前n 项和为n S .(1)求证:数列{}2nn a 是等差数列； (2)求证:对任意的n N +∈,都有141n n S a +-=.18.(本题12分)设函数()2sin()184f x x ππ=++. (1)在右图中画出(),[2,14]y f x x =∈-的图象. (2)求函数()(2)(2)g x f x f x =++-的值域.19.(本题12分)如图,在四棱锥O ABCD -中,OA ⊥底面ABCD ,且底面ABCD 是边长为2的正方形,2OA =,,M N 分别为,OA BC 的中点.(1)求证:直线MN ∥平面OCD ； (2)求三棱锥B DMN -的体积.20.(本题13分)设椭圆C 的两焦点为1(1,0)F -和2(1,0)F ,且经过点3(1,)2P .M 为椭圆上的动点,以M 为圆心,2MF 为半径作M . (1)求椭圆C 的方程；(2)若M 与y 轴有两个交点,求点M 横坐标的取值范围；(3)是否存在定N ,使M 与N 总相切？若存在,求N 的方程；若不存在,说明理由.21.(本题14分)设函数3221()(4)3f x x mx m x =-+-,x R ∈. (1)当3m =时,求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；(2)已知函数()f x 有三个互不同的零点0,,αβ,且αβ<.若对任意的[,]x αβ∈,都有()(1)f x f ≥成立,求实数m 的取值集合.MDANBCOyx1412108642-2-33陕西省高考模拟试题参考答案(文科)一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)题号 12345678910答案D B C A B B A C D A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.2 12.3132xx + 13.2 14.2 15.A.23 B.28m -<< C.7三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.解:(1)设事件“=A 甲在2A 站点下车”,则1()5P A =. (2)设事件“=B 甲,乙两人不在同一站点下车”，则14()155P B =-=. 17.证明:(1)∵122nn n a a +=+,∴1111122122222n n n n n n n n n a a a a +++++--===.∴数列{}2n na 是以11122a =为首项,12为公差的等差数列. 解:(2) 由(1)知11(1)2222n na n n =+-=,∴12n n a n -=⋅. ∴01211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅ .……………………………………………①∴12312122232(1)22n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅ .……………………………②∴由②－①可得212(1222)(1)21nn n n S n n -=⋅-++++=-⋅+ .∴111421421n n n n S a n n +-+-=⋅+-⋅=,故结论成立.18.解:(1)由题意可求得函数()2sin()184f x x ππ=++的图像依次经过点(2,1),(2,3),(6,1),(10,1)--和(14,1),于是由“五点法”可得出函数)(x f y =在区间[2,14]-内的图像如右图所示. (2)()2sin()184f x x ππ=++ ,∴(2)2sin()12cos 14848f x x x ππππ+=+++=+.∴(2)2sin()12cos 14848f x x x ππππ-=-++=+.∴()(2)(2)4cos 28x g x f x f x π=++-=+. cos[1,1]8xπ∈- ,∴函数()g x 的值域为[2,6]-.yx1412108642-2-3319.证明:(1)设OB 的中点为L ,连接,LM LN ,则由三角形中位线的性质可得LM ∥AB ,LN ∥OC .由已知可得LM ∥CD ,且LM 不在平面OCD 内,CD 在平面OCD 内,故有LM ∥平面OCD ；由LN ∥OC ,及LN 不在平面OCD 内,OC 在平面OCD 内,故LN ∥平面OCD .而LM LN L = ,故平面LMN ∥平面OCD . 又因为MN 在平面LMN 内,所以直线MN ∥平面OCD .(2)由题意可得MA 是三棱锥M BDN -的高,而ABCD 是边长为2的正方形,故11111()12132323M BDN V BN DC MA -=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=.由于三棱锥B DMN -的体积与三棱锥M BDN -的体积相等,因此三棱锥B DMN -的体积为13.20.解：(1) ∵222212332||||(11)()(11)()422a PF PF =+=+++-+=,∴2a =.∴22222213b a c =-=-=.∴椭圆C 的方程为22143x y +=. (2)设00(,)M x y ,则M 的半径2200(1)r x y =-+,圆心M 到y 轴的距离0||d x =,由2200022200000(1)||,438160431,43x y x x x x x y ⎧-+>⎪⇒+-<⇒-<<⎨+=⎪⎩.又∵022x -≤≤,∴0423x -≤<. (3)存在22:(1)16N x y ++= 与M 总相切,圆心N 为椭圆的左焦点1F .由椭圆的定义知,12||||4MF MF +=, ∴12||4||MF MF =-. ∴两圆相内切.21.解:(1)当3m =时,321()353f x x x x =-+,则2'()65f x x x =-+.又因为2(2)3f =,'(2)3f =-,所以切点为2(2,)3,切线斜率为3-,故切线方程为:23(2)3y x -=--,即93200x y +-=.(2)因22'()24f x x mx m =-+-,故令'()0f x =可得2x m =-或2x m =+.当(,2)x m ∈-∞-时,'()0f x >,故()f x 在区间(,2)m -∞-上递增. 当(2,2)x m m ∈-+时,'()0f x <,故()f x 在区间(2,2)m m -+上递减. 当(2,)x m ∈++∞时,'()0f x >,故()f x 在区间(2,)m ++∞上递增.MDANBCO由于函数()f x 有三个零点0,,αβ(αβ<),且221()[33(4)]3f x x x mx m =-+-,因此应有2223(4)0(3)12(4)0m m m ⎧-≠⎪⎨-->⎪⎩,解得(4,2)(2,2)(2,4)m ∈--- . ①当(4,2m ∈--时,220m m -<+<,故220m m αβ<-<<+<.由()0f α=以及(1)(0)f f >=可知此时不存在符合条件的实数m .②当(2,2)m ∈-时,202m m -<<+,故202m m αβ<-<<+<.由于()f x 在区间[,]αβ内的最小值为(2)f m +,因此应有(2)(1)f m f +≥.故有21m +=,即1m =-.③当(2,4)m ∈时,022m m <-<+,故022m m αβ<<-<+<.用与②相同的办法可得21m +=,即1m =-.但1(2,4)-∉,故此时不存在符合条件的实数m .综上可知,实数m 的取值集合为{1}-.。