2016届江西省南昌市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
江西省南昌市2016届高三数学第二次模拟突破冲刺试题九文
南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（09）高三数学（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}R y y x M =∈=，{}2R y y xN =∈=，则MN =（ ）A ．RB ．∅C ．[)0,+∞D ．()0,+∞2、221i i ⎛⎫= ⎪-⎝⎭（ ）A ．2i -B ．4i -C ．2iD ．4i3、已知3sin 35x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．45-B ．35-C ．45D ．354、已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，则目标函数z ＝3x －4y 的最小值m 与最大值M 的积为( )．A ．－80B ．－48C ．－60D ．365、在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝—12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ( )A ．－1B ．0 C.—12D ．16、设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足1n n P P +＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )．A ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34B ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23D ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12 7、已知圆222410x y x y +-++=和两坐标轴的公共点分别为A ，B ，C ，则C ∆AB 的面积为（ ）A ．4B ．2C ．23D ．3 8、执行如图所示的程序框图，输出20152016s =，那么判断框内应填（ ） A ．2015?k ≥ B ．2016?k ≥C ．2015?k ≤D ．2016?k ≤9、已知函数2sin y x =的定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，则b a -的值不可能是（ ） A ．53π B ．76π C ．π D ．56π 10．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ ）3cmA ．2B ．4C ．6D ． 1211、如图所示，圆O 为正三角形C AB 的内切圆，P 为圆O 上一点，向量C x y AP =AB +A ，则x y +的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦12、若函数()f x ，()g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()xf xg x e =+，则（ ）A ．()()()023g f f <<B ．()()()032g f f <<C ．()()()203f g f <<D ．()()()230f f g <<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、若命题“R x ∃∈，使得22390x ax -+<成立”为假命题，则实数a 的取值范围是 ． 14、中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆()2221x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是 ． 15．若曲线y ＝x 在点(m ，m)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为18，则m ＝________.16、如图，空间四边形CD AB 中，C D 45∠A =，15cos C ∠A B =，C 1510A =+，D 25A =，C 6B =．若点E 在线段C A 上运动，则D EB+E 的最小值为 ．22 2 4俯视图三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)已知数列{}n a ，当2≥n 时满足n n n a a S -=--11， （1)求该数列的通项公式；（2）令n n a n b )1(+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18. (本小题满分12分)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期 4月1日 4月7日 4月15日4月21日4月30日温差x /℃ 10 11 13 12 8 发芽数y /颗2325302616(1)从这5天中任选2天，记发芽的种子数分别为m ，n ，求事件“m ，n 均不小于25”的概率；(2)从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫参考公式：b ^＝∑n i ＝1x i y i －n x － y －∑ni ＝1x 2i －n x －2，a ^＝y －－b ^ x －19. (本小题满分12分)如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C ⊥侧面11ABB A ,12AC AA AB =,1160AAC ∠=︒,1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的中点.(Ⅰ) 求证:1A D ⊥平面1AB H ； (Ⅱ) 若2AB =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.ABCA 1C 1H20. (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3|x －a |(a >0)．(1)当a ＝1时，曲线y ＝f (x )上P 点处的切线与直线x －3y －2＝0垂直，求P 点的坐标； (2)求函数f (x )的单调区间．21. (本小题满分12分)已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点为12,F F ，M 是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆恰好经过椭圆的焦点，且21F MF ∆的周长为422+．（1）求椭圆C 的方程； （2）设直线l 是圆O ：3422=+y x 上动点),(00y x P 00(0)x y ⋅≠处的切线，l 与椭圆C 交与不同的两点R Q ,，证明：QOR ∠的大小为定值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22. (本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，以AD 为直径作⊙O 交AB 于点G .(1)证明：B 、C 、D 、G 四点共圆；(2)过点C 作⊙O 的切线CP ，切点为P ，连接OP ，作PH ⊥AD 于H ，若CH ＝165，OH ＝95，求CD ·CA 的值．23. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ.(1)写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求|PQ |的值． 24. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.数学（文）参考答案一、选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分)． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CADCABDCABBA二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分） 13. 22,22⎡⎤-⎣⎦14．233或2 15． 6416． 7三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. (12分)…6分（Ⅱ）由（Ⅰ)得：12n nn b +=， ……7分1231234122222n n nn n T -+∴=+++++， 234112341222222n n n n n T ++∴=++++++23411111111222222n n n n T ++∴=+++++-， …………………………10分 111111334221122212n n n n n ++-⋅++=+-=--，GMHDC 1B 1A 1CBA332n nn T +∴=-. …………………………12分 18. (12分)解：(1)(枚举法)所有的基本事件为(23，25)，(23，30)，(23，26)，(23，16)，(25，30)，(25，26)，(25，16)，(30，26)，(30，16)，(26，16)，共10个．…2分设“m ，n 均不小于25”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为(25，30)，(25，26)，(30，26)，共3个，故由古典概型概率公式得P (A )＝310. ………………………4分(2)由数据得，另3天的平均数x －＝12，y －＝27，3 x － y －＝972，3 x －2＝432，∑3i ＝1x i y i ＝977，∑3i ＝1x 2i ＝434，所以b ^＝977－972434－432＝52， ………………………6分a ^＝27－52×12＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3. ………………………8分(3)依题意得，当x ＝10时，y ^＝22，|22－23|＜2；当x ＝8时，y ^＝17，|17－16|＜2， ………………………10分 所以(2)中所得到的线性回归方程是可靠的． ………………………12分 19. (12分)解：(Ⅰ)连结1AC ,因为1ACC ∆为正三角形,H 为棱1CC 的中点, 所以1AH CC ⊥,从而1AH AA ⊥,又面11AAC C ⊥面11ABB A , 面11AAC C面11ABB A 1AA =,AH ⊂面11AAC C ,所以AH ⊥面11ABB A ,又1A D ⊂面11ABB A ,所以AH ⊥1A D …①,……2分 设2AB a =,由12AC AA =,所以12AC AA a ==,1DB a =,1111112DB A B B A AA ==,又111190DB A B A A ∠=∠=︒,所以1111A DB AB A ∆∆,所以1111B AA B A D ∠=∠,又11190B A D AA D ∠+∠=︒, 所以11190B AA AA D ∠+∠=︒, 设11AB A D O =,则11A D AB ⊥…②,…………………5分由①②及1AB AH A =,可得1A D ⊥平面1AB H .…………………6分(Ⅱ)取1AA 中点M ,连结1C M ,则1//C M AH ,所以1C M ⊥面11ABB A .…………7分 所以11111111623333C AB A AB A V S C M -∆=⋅=⨯⨯=,…………………10分 所以三棱柱111ABC A B C -的体积为11136C AB A V -=.…………………12分 20. (12分)解： (1)∵直线x －3y －2＝0的斜率为13，∴切线的斜率为－3. …………………1分 由f (x )＝x 3＋3|x －1|得：当x ≥1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f ′(x )＝3x 2＋3＝－3不成立，∴切线不存在； 当x <1时，f (x )＝x 3－3x ＋3，f ′(x )＝3x 2－3＝－3， …………………3分 ∴x ＝0，∴P 点的坐标为(0,3)． …………………5分 (2)当x ≥a 时，f (x )＝x 3＋3x －3a ，f ′(x )＝3x 2＋3>0，∴f (x )单调递增． ………………………………7分 当x <a 时，f (x )＝x 3－3x ＋3a ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， ………………………9分若0<a ≤1，f ′(x )＝0时，x ＝－1；f ′(x )>0时，x <－1；f ′(x )<0时，－1<x <a ； 若a >1，f ′(x )＝0时，x ＝±1；f ′(x )>0时，x <－1或1<x <a ；f ′(x )<0时，－1<x <1. 综上可得：当0<a ≤1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(a ，＋∞)，单调递减区间为(－1，a )；当a >1时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)． ………………………………12分 21. (12分)解（Ⅰ）因为以坐标原点为圆心，椭圆短轴长为直径的圆经过椭圆的焦点，所以b c =，可得2a c =，又因为12PF F ∆的周长为422+，可得22a c +=+，所以2c =，可得2,2a b ==，所求椭圆C 的方程为22142x y +=． ………5分 （Ⅱ）直线的l 方程为3400=+y y x x ，且342020=+y x ，记),(11y x Q ，),(22y x R ，联立方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+341240022y y x x y x ，消去y 得04932316)2(20022020=-+-+y x x x x y ，222212221249322316xyyxxxyxxx+-=+=+∴，……… 8分]2222122122122124916)(349161)34)(34(1xyxxxxxxxyxxxxyyy+-=++-⎢⎣⎡=--=，从而22220000121222222222000000003216161616444()9933302222y x x yx x y yy x y x y x y x---+-+=+==++++90=∠∴QOR是定值………12分请考生从22、23、24题中任选一题作答（相应方框填涂）；如果多做，则按所做的第一题计分；如果不填涂，则按22题计分。
2016届江西省南昌市二中高三上学期第四次考试数学(文)试题(解析版)
2016届江西省南昌市二中高三上学期第四次考试数学（文）试题及解析一、选择题1．已知集合{}2|20A x x x =--<，(){}|ln 1B x y x==-，则()R A C B =（ ）A ．()1,2B ．[)1,2C ．()1,1-D ．(]1,2 【答案】B【解析】试题分析：{}()(){}{}2|20|210|12A x x x x x x x x =--<=-+<=-<< ，(){}|ln 1B x y x ==-{}{}|10|11x x x x =->=-<<，所以(){}|12R A C B x x =≤< ，故选B ．【考点】集合的交集、补集运算．2．1-=m 是直线()0112=+-+y m mx 和直线093=++my x 垂直的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】试题分析：由直线()0112=+-+y m mx 与093=++my x 垂直可知()3210m m m =+-，∴0m =或1m =-．∴1m =-是两直线垂直的充分不必要条件．选A ．【考点】充分条件与必要的判断． 3．已知113log 2x =，1222x -=，3x 满足3331()log 3x x =，则（ ）A ．123x x x << B ．132x x x << C ．213x x x << D ．312x x x <<【答案】A【解析】试题分析：∵3x 满足33313log x x ⎪=⎛⎫ ⎝⎭，∴30x >，∴3103x⎛⎫> ⎪⎝⎭，∴31x >．又∵113log 20x =<，122021x -=<<，∴123x x x <<．故选：A ．【考点】对数值大小的比较．4．向量,a b满足1,)(2),a b a b a b ==+⊥- 则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．45︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒ 【答案】C【解析】试题分析：22()(2),()(2)2cos ,0a b a b a b a b a a b a b b +⊥-∴+⋅-=+⋅<>-= ，cos ,0a b <>= ,90a b ∴<>=︒，故选C ．【考点】平面向量的数量积．5．已知n m ,是两条不同的直线, βα,是两个不同的平面,给出下列命题： ①若βα⊥,α//m ,则β⊥m ； ②若α⊥m ,β⊥n ,且n m ⊥,则βα⊥； ③若β⊥m ,α//m ,则β⊥α； ④若α//m ,β//n ,且n m //,则βα//．其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．②③D ．①③ 【答案】C【解析】试题分析：当//m αβα⊥，时，有//m m m βββ⊥⊂，，等多种可能情况，所以①不正确；当//////m n m n αβ，，且时，//αβ或αβ，相交，所以④不正确，故选C ．【考点】1．直线与平面垂直的判定；2．平面与平面平行的判定；3．平面与平面垂直的判定． 【思路点睛】由面面垂直的几何特征及面面垂直的性质定理，可判断①；根据线面垂直，线线垂直的几何特征及面面垂直的判定定理，可判断②；根据线面垂直及线面平行的几何特征，结合面面垂直的判定定理，可判断③；根据线面平行，线线平行的几何特征，结合面面平行的判定方法，可判断④． 6．函数2sin()(09)63x y x ππ=-≤≤的最大值与最小值之差为（ ）A ．2．4 C ．3 D ．2 【答案】A【解析】试题分析：因为09x ≤≤，所以73636x ππππ-≤-≤，因此当632x πππ-=时，函数2sin 63x y ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭取最大值，即max 212y =⨯=，当633x πππ-=-时，函数2sin 63x y ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取最小值，即min 2sin 3y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭=()2sin 0963x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为2A ．【考点】三角函数()sin y A x ωϕ=+的函数的性质．7．各项均为正数的等差数列}{n a 中，4936a a =，则前12项和12S 的最小值为（ ） A ．78 B ．48 C ．60 D ．72 【答案】D【解析】试题分析：因为112124912()6()722a a S a a +==+≥=，当且仅当496a a ==时取等号，所以12S 12S 的最小值为72，选D ．【考点】等差数列性质8．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．20 【答案】C【解析】试题分析：由三视图知，该几何体是一个四棱锥，且其底面为一个矩形，底面积6212S =⨯=，高为4，故该几何体的体积111241633V Sh ==⨯⨯=，故选C ． 【考点】1．三视图；2．锥体的体积．9．已知变量x 、y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则y x 的取值范围是 （ ）A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[)9,6,5⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．(][),36,-∞+∞D ．[]3,6【答案】A【解析】试题分析：画出可行域，点59(1,6),(,)22B C ,所以取值范围是 [,],OB OA k k 而96,,5OB OC k k ==因此取值范围是9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【考点】1．线性规划;2．斜率公式．10．过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是（ ） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --= D ．210x y --=或250x y -= 【答案】B【解析】试题分析：当直线过原点时，再由直线过点(5,2)，可得直线的斜率为25，故直线的方程为25y x =，即250x y -=．当直线不过原点时，设直线在x 轴上的截距为k ，则在y 轴上的截距是2k ，直线的方程为1 2x y k k +=，把点(5,2)代入可得52 1 2k k +=，解得6k =．故直线的方程为 16 12x y+=，即2120x y +-=．故选B ． 【考点】直线间的位置关系．11．若定义在R 上的偶函数()y f x =是[)0,+∞上的递增函数，则不等式()()2log 1f x f <-的解集是（ ）A ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．()(),22,-∞-+∞C ．RD ．()2,2- 【答案】A【解析】试题分析：依题意可得函数()y f x =在(,0)-∞上递减，由函数为偶函数，可得(1)(1)f f =-，由()()2log 1f x f <-()()2log 1fx f ⇔<-，可得21log 1x -<<．即122222log log log x <<，所以122x <<．故选A ． 【考点】1．函数的单调性．2．对数不等式的解法． 【思路点睛】因为()y f x =是定义在R 上的偶函数，可得()()f x f x =，又在[)0,+∞上单调递增，且不等式()()2log 1f x f <-()()2log 1fx f ⇔<-，由此可得21log 1x -<<，再解不等式，即可求出结果．12．设 ()ln f x x =，若函数 ()()g x f x ax =-在区间(0)4，上有三个零点，则实数a 的取值范围是 A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．ln 2,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．ln 20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．ln 21,2e ⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】试题分析：令1()ln y f x x ==，ax y =2，若函数ax x f x g -=)()(在区间)4,0(上有三个零点，，则1()ln y f x x ==，ax y =2的图象在区间()4,0上有三个交点；由图象易知：当0≤a 时，不符合题意；当0a >时，1ln y x =与函数ax y =2的图象知在区间()1,0上存在一个交点，函数存在一个零点，所以只需要再满足在区间()4,1存在两个零点即可，此时ln ln x x =，得ln x ax =，即ln xa x=，令函数ln (),(1,4)x h x x x =∈，'2ln ln ()e xh x x -=，故函数)(x h 在()e ,1递增，在()4,e 递减，ln ()1e h e e ==，0)1(=h ，ln 4ln 2(4)42h ==，所以ln 212a <<，故选B ． 【考点】1．函数的零点；2．数形结合思想；3．导数的应用．【名师点睛】研究函数的零点，往往利用分离参数法，将问题转化为两个函数图象的交点问题，进而构造函数，再利用导数研究函数的单调性与零点问题． 二、填空题13．已知x R ∀∈， 使不等式()42log 331a x x -+≤++-成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[)4,2【解析】试题分析：∵x R ∀∈，使不等式2log (4)31a x x -≤++-恒成立，∴()2min log (4)31a x x -≤++-，易知31x x ++-的最小值为4，2log (4)4124a a ∴-≤⇒-≤<，故实数a 的取值范围是[)24,．【考点】1．恒成立问题；2．对数不等式的解法．14．过点)1,1(的直线与圆046422=+--+y x y x 相交于B A ,两点，则||AB 的最小值为 ． 【答案】4=||AB 的最小值为4=．【考点】直线与圆的位置关系．15．已知90oABC ∠=，PA ⊥平面ABC ，若1PA AB BC ===，则四面体PABC 的外接球（顶点都在球面上）的表面积为 ．【答案】3π【解析】取PC 的中点O ，连接OB OA ,，如下图由题意知BC PA ⊥，又A AC PC BC AC =⊥ ,，⊥∴BC 平面PAC ，PB BC ⊥∴，在PBC Rt ∆，PC OB 21=，同理PC OA 21=，PC OP OC OB OA 21====∴，因此C B A P ,,,四点在以O 为球心的球面上，在ABC Rt ∆，222=+=BC AB AC ，在PAC Rt ∆中，322=+=AC PA PC ，球O 的半径2321==PC R ，因此球的表面积为ππ342==R S ． 【考点】球的表面积公式．【思路点睛】取PC 的中点O ，连结OA OB 、．由线面垂直的判定与性质，证出BC PB ⊥且PA AC ⊥，得到PAC ∆与PBC ∆是具有公共斜边的直角三角形，从而得出12OA OB OC OP PC ====，所以P A B C 、、、四点在以O 为球心的球面上．根据题中的数据，利用勾股定理算出PC 长，进而得到球半径R =，利用球的表面积公式加以计算，可得答案． 16．函数2()f x x x =-，[]2,1∈x ，()cos522xg x a a π=+-，(0)a ≠，对任意的[]2,11∈x ，总存在[]1,02∈x ，使得)()(12x f x g =成立，则a 的取值范围为 ． 【答案】[]3,4【解析】试题分析：对任意的[]2,11∈x ，总存在[]1,02∈x ，使得)()(12x f x g =成立等价于()f x 的值域是()g x 的值域的子集．函数()2f x x x=-在[]1,2上单调递增, ()()()12f f x f ∴≤≤,即()11f x -≤≤．cos2xy π=在[]0,1上单调递减,当0a >时()g x 在[]0,1上单调递减, ()()()10g g x g ∴≤≤即()525a g x a -≤≤-．所以只需5213451a a a -≤-⎧⇒≤≤⎨-≥⎩．当0a <时()g x 在[]0,1上单调递增, ()()()01g g x g ∴≤≤,即()552a g x a -≤≤-,所以只需52151a a -≥⎧⎨-≤-⎩解得a ∈∅．综上可得34a ≤≤．【考点】1恒成立问题;2转化思想;3函数的单调性．【方法点睛】对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般的对于对任意的[]1,x a b ∈，总存在[]2,x a b ∈，使得)()(12x f x g =成立，将其转化函数()f x 的值域是函数()g x 的值域的子集，建立不等式，即可求出结果． 三、解答题17．已知圆C 经过点(2,1)A -，和直线1x y +=相切，且圆心在直线2y x =-上． （1）求圆C 的方程；（2）已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．【答案】（1）2)2()1(22=++-y x ；（2）0=x 或x y 43-=． 【解析】试题分析：（1）由题可知，根据圆心在直线2y x =-上，可将圆心设为)2,(a a C -，圆心与点A 的距离为半径，并且圆心到切线的距离也是半径，根据此等量关系，可得出1=a ，由此可求圆C 的方程；（2）由题可知，直线的斜率是否存在不可知，故需要分类讨论，当直线的斜率不存在时，可直接得到直线方程0x =，当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx =，由弦长公式可得43-=k ，由此即可求得到直线l 的方程．试题解析：解：（1）设圆心的坐标为)2,(a a C -，则2|12|)12()2(22--=+-+-a a a a ，化简得0122=+-a a ，解得1=a ．)2,1(-∴C ，半径2)12()21(||22=+-+-==AC r ．∴圆C 的方程为2)2()1(22=++-y x ．（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为0=x ，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件。
2016年江西省新余市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2016年江西省新余市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{x|lg（1﹣x）＜0}，集合N＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．[0，1）C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）2．（5分）复数Z满足（2+i）•Z＝3﹣i，则|Z|等于（）A．1B．C．2D．43．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”B．“a＝3”是“函数f（x）＝log a x在定义域上为增函数”的充分不必要条件C．若命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题4．（5分）已知平面向量＝（0，﹣1），＝（2，2），|λ+|＝2，则λ的值为（）A．1+B．﹣1C．2D．15．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20B．35C．45D．556．（5分）等差数列{a n}中的a1、a4025是函数f（x）＝x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2013（）A．2B．3C．4D．57．（5分）已知直线ax+by﹣6＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9B．C．4D．8．（5分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若（2a+c）cos B+b cos C ＝0，则角B的大小为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称10．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B 两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．6πB．7πC．12πD．14π12．（5分）已知a＞0，若函数且g（x）＝f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13．（5分）曲线C：y＝xlnx在点M（e，e）处的切线方程为．14．（5分）从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为，则在这5位老师中，女老师有人．15．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）16．（5分）在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M、N为AC边上两个动点，且满足|MN|＝，则•的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝6，且数列{a n﹣1﹣a n}{n∈N*}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为S n，求满足不等式S n＞的n的最小值．18．（12分）在一次文、理科学习倾向的调研中，对高一年段1000名学生进行文综、理综各一次测试（满分均为300分）．测试后，随机抽取若干名学生成绩，记理综成绩X，文综成绩为Y，|X﹣Y|为Z，将Z值分组统计制成下表，并将其中女生的Z值分布情况制成频率分布直方图值分布情况制成频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）若已知直方图中[60，80）频数为25，试分别估计全体学生中，Z∈[0，20）的男、女生人数；（Ⅱ）记Z的平均数为，如果＞60称为整体具有学科学习倾向，试估计高一年段女生的值（同一组中的数据用该组区间中点值作代表），并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向．19．（12分）如图，一个侧棱长为l的直三棱柱ABC﹣A1B1C1容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1∁l的中点D，E，F，G．（I）求证：平面DEFG∥平面ABB1A1；（Ⅱ）当底面ABC水平放置时，求液面的高．20．（12分）如图，已知椭圆+y2＝1的四个顶点分别为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，若圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（0＜r＜3）上有且只有一个点P满足＝．（1）求圆C的半径r；（2）若点Q为圆C上的一个动点，直线QB1交椭圆于点D，交直线A2B2于点E，求的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）若曲线在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1＝0平行，求实数a的值；（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若m＞n＞0，求证．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE＝FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF＝30°，求．【选修4-4坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x为正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（1）求直线l与曲线C1交点的极坐标（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）；（2）若直线l与曲线C2相切，求a的值．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝|x﹣a|，a∈R．（1）若a＝1，解不等式f（x）≥（x+1）；（2）记函数g（x）＝f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[﹣1，3]，求a的取值范围．2016年江西省新余市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）集合M＝{x|lg（1﹣x）＜0}，集合N＝{x|﹣1≤x≤1}，则M∩N＝（）A．（0，1）B．[0，1）C．[﹣1，1]D．[﹣1，1）【解答】解：由题意知M＝{x|0＜x＜1}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1}＝（0，1），故选：A．2．（5分）复数Z满足（2+i）•Z＝3﹣i，则|Z|等于（）A．1B．C．2D．4【解答】解：由（2+i）•Z＝3﹣i，得，则|Z|＝．故选：B．3．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”B．“a＝3”是“函数f（x）＝log a x在定义域上为增函数”的充分不必要条件C．若命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100D．命题“∃x∈（﹣∞，0），3x＜5x”是真命题【解答】解：A逆否命题是把命题的条件和结论都否定，再互换，故命题“若x2﹣3x+2＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故正确；B“a＝3”能推出“函数f（x）＝log a x在定义域上为增函数”，但函数f（x）＝log a x在定义域上为增函数”，只能得出a＞1，故是充分不必要条件，故正确；C存在命题的否定应把存在改为任意，再否定结论，命题p：∃n∈N，3n＞100，则￢p：∀n∈N，3n≤100，故正确；D命题x∈（﹣∞，0），＞1，则3x＞5x是假命题．故选：D．4．（5分）已知平面向量＝（0，﹣1），＝（2，2），|λ+|＝2，则λ的值为（）A．1+B．﹣1C．2D．1【解答】解：＝（2，2﹣λ），∵||＝2，∴22+（2﹣λ）2＝4，解得λ＝2．故选：C．5．（5分）设变量x，y满足，则2x+3y的最大值为（）A．20B．35C．45D．55【解答】解：满足约束条件的平面区域如下图所示：令z＝2x+3y可得y＝，则为直线2x+3y﹣z＝0在y轴上的截距，截距越大，z越大作直线l：2x+3y＝0把直线向上平移可得过点D时2x+3y最大，由可得x＝5，y＝15，此时z＝55故选：D．6．（5分）等差数列{a n}中的a1、a4025是函数f（x）＝x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，则log2a2013（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：f′（x）＝x2﹣8x+6，∵a1、a4025是函数f（x）＝x3﹣4x2+6x﹣1的极值点，∴a1、a4025是方程x2﹣8x+6＝0的两实数根，则a1+a4025＝8．而{a n}为等差数列，∴a1+a4025＝2a2013，即a2013＝4，从而＝＝2．故选：A．7．（5分）已知直线ax+by﹣6＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0截得的弦长为2，则ab的最大值是（）A．9B．C．4D．【解答】解：∵圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0的圆心（1，2），半径r＝＝，直线ax+by﹣6＝0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y＝0截得的弦长为2，∴圆心（1，2）在直线ax+by﹣6＝0上，∴a+2b＝6，∵a＞0，b＞0，∴2ab≤（）2＝9，∴ab≤，∴当且仅当a＝2b＝3时，ab取最大值．故选：B．8．（5分）已知△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若（2a+c）cos B+b cos C ＝0，则角B的大小为（）A．B．C．D．【解答】解：由条件及正弦定理得sin B cos C+sin C cos B＝﹣2sin A cos B．即sin（B+C）＝﹣2sin A cos B．∵A+B+C＝π，A＞0∴sin（B+C）＝sin A，又sin A≠0，∴cos B＝﹣，而B∈（0，π），∴B＝．故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T＝＝π，解得ω＝2，即f（x）＝sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y＝sin[2（x﹣）+φ]＝sin（2x+φ﹣），若此时函数关于原点对称，则φ﹣＝kπ，即φ＝+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k＝﹣1时，φ＝．即f（x）＝sin（2x）．由2x＝，解得x＝+，k∈Z，故当k＝0时，函数的对称轴为x＝，故选：B．10．（5分）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F，且倾斜角为的直线与抛物线交于A，B 两点，若弦AB的垂直平分线经过点（0，2），则p等于（）A．B．C．D．【解答】解：，过焦点F且倾斜角为的直线方程为：，设A（x1，y1），B（x2，y2）；由得，y2﹣2py﹣p2＝0；∴y1+y2＝2p，x1+x2＝3p；∴弦AB的中点坐标为；弦AB的垂直平分线方程为y﹣2＝﹣x，弦AB的中点在该直线上；∴；解得．故选：C．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．6πB．7πC．12πD．14π【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆柱中切去：四分之一的圆柱的一半，且底面圆的半径为2，高为4，∴几何体的体积V＝π×22×4﹣＝14π，故选：D．12．（5分）已知a＞0，若函数且g（x）＝f（x）+2a至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（，1]B．（1，2]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：函数g（x）＝f（x）+2a的零点的个数等价于方程f（x）＝﹣2a根的个数，即函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣2a交点的个数，利用特殊值验证法：当a＝1时，y＝f（x）的图象如图：满足题意；当a＝2时，y＝f（x）的图象如图：满足题意．结合选项可知，a的范围是D．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.. 13．（5分）曲线C：y＝xlnx在点M（e，e）处的切线方程为y＝2x﹣e．【解答】解：求导函数，y′＝lnx+1∴当x＝e时，y′＝2∴曲线y＝xlnx在点（e，e）处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e）即y＝2x﹣e故答案为：y＝2x﹣e．14．（5分）从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为，则在这5位老师中，女老师有2人．【解答】解：从某班5位老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为，设在这5为老师中，女老师有x人，则男老师有5﹣x人，∴＝，解得x＝2．故答案为：2．15．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为24．（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）【解答】解：模拟执行程序，可得n＝6，S＝3sin60°＝，不满足条件S≥3.10，n＝12，S＝6×sin30°＝3，不满足条件S≥3.10，n＝24，S＝12×sin15°＝12×0.2588＝3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故答案为：24．16．（5分）在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M、N为AC边上两个动点，且满足|MN|＝，则•的取值范围是[，2]．【解答】解：以等腰直角三角形的直角边为坐标轴，建立平面直角坐标系，如图，则B（0，0），直线AC的方程为x+y＝2．设M（a，2﹣a）在N的左侧，则0≤a≤1，N（a+1，1﹣a），∴＝（a，2﹣a），＝（a+1，1﹣a）．∴•＝a（a+1）+（2﹣a）（1﹣a）＝2a2﹣2a+2＝2（a﹣）2+．∵0≤a≤1，∴当a＝时，•取得最小值，当a＝0或1时，•取得最大值2．故答案为[，2]．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）已知数列{a n}中，a1＝2，a2＝6，且数列{a n﹣1﹣a n}{n∈N*}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为S n，求满足不等式S n＞的n的最小值．【解答】解：（Ⅰ）数列是首项为a2﹣a1＝4，公差为2的等差数列，∴a n+1﹣a n＝4+2（n﹣1）＝2n+2（n∈N*）．∴a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝2+4+6+…+2n＝n2+n．（Ⅱ），∴＝，由得，n＞2015，又n∈N*，故n的最小值为2016．18．（12分）在一次文、理科学习倾向的调研中，对高一年段1000名学生进行文综、理综各一次测试（满分均为300分）．测试后，随机抽取若干名学生成绩，记理综成绩X，文综成绩为Y，|X﹣Y|为Z，将Z值分组统计制成下表，并将其中女生的Z值分布情况制成频率分布直方图值分布情况制成频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）若已知直方图中[60，80）频数为25，试分别估计全体学生中，Z∈[0，20）的男、女生人数；（Ⅱ）记Z的平均数为，如果＞60称为整体具有学科学习倾向，试估计高一年段女生的值（同一组中的数据用该组区间中点值作代表），并判断高一年段女生是否整体具有显著学科学习倾向．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，女生Z∈[60，80）的频率为．…（1分）所以样本中女生总人数为．…（2分）由频率分布直方图可知，女生Z∈[0，20）的频率为，…（4分）所以女生Z∈[0，20）的频数为．结合统计表可知，男生Z∈[0，20）的频数为4﹣3＝1．…（6分）又因为样本容量为200，故样本中，男、女生Z∈[0，20）的频率分别为与，…（7分）据频率估计概率、样本估计总体的统计思想，可知年段1000名学生中，Z∈[0，20）的男生约有5名，女生约有15名．…（8分）（Ⅱ）依题意，样本中女生的值约为＝65.25．（10分）根据样本估计总体的统计思想，全体女生．…（11分）因为65.25＞60，所以年段女生整体具有显著学科学习倾向．…（12分）19．（12分）如图，一个侧棱长为l的直三棱柱ABC﹣A1B1C1容器中盛有液体（不计容器厚度）．若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1∁l的中点D，E，F，G．（I）求证：平面DEFG∥平面ABB1A1；（Ⅱ）当底面ABC水平放置时，求液面的高．【解答】（I）证明：∵棱AC，BC的中点D，E，∴DE∥AB，∵DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，∴DE∥平面ABB1A1，同理DG∥平面ABB1A1，∵DE∩DG＝D，∴平面DEFG∥平面ABB1A1；（Ⅱ）解：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面是梯形设△ABC的面积为S，则S梯形ABFE＝S，V水＝S•AA1＝Sl．当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水＝Sh，∴Sl＝Sh，∴h＝l．故当底面ABC水平放置时，液面高为l．20．（12分）如图，已知椭圆+y2＝1的四个顶点分别为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，若圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（0＜r＜3）上有且只有一个点P满足＝．（1）求圆C的半径r；（2）若点Q为圆C上的一个动点，直线QB1交椭圆于点D，交直线A2B2于点E，求的最大值．【解答】解：（1）由椭圆+y2＝1可得F1（﹣1，0），F2（1，0），设P（x，y），∵＝，∴＝，化为：x2﹣3x+y2+1＝0，即＝．又（x﹣3）2+（y﹣3）2＝r2（0＜r＜3），∵圆C上有且只有一个点P满足＝．∴上述两个圆外切，∴＝r+，解得r＝．（2）直线A2B2方程为：，化为＝．设直线B1Q：y＝kx﹣1，由圆心（3，3）到直线的距离≤，可得k∈．联立，解得E．联立，化为：（1+2k2）x2﹣4kx＝0，解得D．∴|DB1|＝＝．|EB1|＝＝，∴＝＝＝|1+|，令f（k）＝，f′（k）＝，可知：k＝∈，此时取得最大值．∴＝|1+|＝取得最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx．（Ⅰ）若曲线在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1＝0平行，求实数a的值；（Ⅱ）若在定义域上是增函数，求实数b的取值范围；（Ⅲ）若m＞n＞0，求证．【解答】解：（Ⅰ）g（x）＝lnx+﹣1的导数为g′（x）＝﹣，可得在点（2，g（2））处的切线斜率为﹣，由在点（2，g（2））处的切线与直线x+2y﹣1＝0平行，可得：﹣＝﹣，解得a＝4；（Ⅱ）h（x）＝lnx﹣的导数为h′（x）＝﹣，由h（x）在定义域（0，+∞）上是增函数，可得h′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即有2b≤＝x++2在（0，+∞）上恒成立，由x++2≥2+2＝4，当且仅当x＝1时取得最小值4，则2b≤4，可得b的取值范围是（﹣∞，2]；（Ⅲ）证明：若m＞n＞0，要证，即证＜ln，令＝t（t＞1），h（t）＝lnt﹣，h′（t）＝﹣＝＞0，可得h（t）在（1，+∞）递增，即有h（t）＞h（1）＝0，即为lnt＞，可得．请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．【选修4-1几何证明选讲】22．（10分）如图，E是圆内两弦AB和CD的交点，F为AD延长线上一点，FG切圆于G，且FE＝FG．（I）证明：FE∥BC；（Ⅱ）若AB⊥CD，∠DEF＝30°，求．【解答】（本题满分为10分）证明：（Ⅰ）由切割线定理得：FG2＝F A•FD．又EF＝FG，所以EF2＝F A•FD，即因为∠EFD＝∠AFE，所以△FED∽△EAF．又∠DAB，∠DCB都是弧DB上的圆周角，有∠DEF＝∠EAF＝∠DCB，所以，FE∥BC，…（6分）（Ⅱ）由AB⊥CD，得∠AED＝90°．因为∠EAD＝∠DEF＝30°，所以＝tan30°＝，所以＝＝＝．…（10分）【选修4-4坐标系与参数方程】23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，x为正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2．（1）求直线l与曲线C1交点的极坐标（ρ，θ）（ρ≥0，0≤θ＜2π）；（2）若直线l与曲线C2相切，求a的值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为为参数），∴y＝（cosα+sinα）2＝x2，即y＝x2，（x∈）．直线l的极坐标方程为，展开为：（ρsinθ+ρcosθ）＝，化为x+y＝2．联立，解得，（舍去）．∴交点的极坐标为：．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ＝2，展开为ρ2＝2a×（﹣ρcosθ+ρsinθ），可得直角坐标方程：x2+y2+2ax﹣2ay＝0，配方为（x+a）2+（y﹣a）2＝2a2．∴圆心为（﹣a，a），半径为a，∵直线l与曲线C2相切，∴＝a，解得a＝1．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）＝|x﹣a|，a∈R．（1）若a＝1，解不等式f（x）≥（x+1）；（2）记函数g（x）＝f（x）﹣|x﹣2|的值域为A，若A⊆[﹣1，3]，求a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|x﹣1|≥（x+1），x≥1时：x﹣1≥（x+1），解得：x≥3，x＜1时：1﹣x≥（x+1），解得：x≤，故不等式的解集是{x|x≥3或x≤}；（2）g（x）＝|x﹣a|﹣|x﹣2|，a≥2时：g（x）＝，∴2﹣a≤g（x）≤a﹣2，∴，解得2≤a≤3；a＜2时：g（x）＝，∴a﹣2≤g（x）≤2﹣a，∴，解得：1≤a＜2；综上：a∈[1，3]．。
2016年高考数学二模试卷
2015-2016学年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•临沂月考）已知集合A={0，x}，B={x2，﹣x2，|x|﹣1}，若A⊆B，则实数x的值为（）A．1或﹣1 B．1 C．﹣1 D．22．（5分）（2015•浙江模拟）下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y=B．y=﹣x2+1 C．．y=2x D．y=lg|x+1|3．（5分）（2015秋•临沂期中）函数f（x）=2﹣2sin2（+π）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．（5分）（2012•武昌区模拟）若=（）A．B．C．D．5．（5分）（2015秋•临沂期中）已知命题p：∀x∈R，x2﹣5x+6＞0，命题q：∃α、β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧q D．p∧（￢q）6．（5分）（2015•青岛一模）“∀n∈N*，2a n+1=a n+a n+2”是“数列{a n}为等差数列”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．即不充分也不必要条件7．（5分）（2015秋•临沂期中）设四边形ABCD为平行四边形，||=3，||=4，若点M、N满足=3，=2，则•=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．28．（5分）（2015秋•临沂期中）某几何体的三视图如图，则此几何体的体积为（）A．6 B．34 C．44 D．549．（5分）（2015秋•临沂期中）设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则+的最小值为（）A．3+2B．3﹣2C．8 D．1010．（5分）（2015秋•临沂期中）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）＞2x﹣1的解集是（）A．{x|﹣1＜x≤0} B．{x|﹣1≤x≤1} C．{x|﹣1≤x＜1} D．{x|﹣1＜x≤2}二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．（5分）（2014•抚州校级一模）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=．12．（5分）（2015秋•临沂期中）函数f（x）=的定义域是．13．（5分）（2015秋•临沂期中）一块形状为直角三角形的铁皮，两直角边长分别为60cm，80cm，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，则矩形的最大面积是cm2．14．（5分）（2015秋•临沂期中）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sin（x+φ）cosφ的最大值为．15．（5分）（2015秋•临沂期中）定义在R上函数f（x）满足f（1）=1，f′（x）＜2，则满足f（x）＞2x﹣1的x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程. 16．（12分）（2015秋•临沂期中）在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠所对的边，若向量=（3，﹣sinA），=（a，5c），且•=0．（1）求的值；（2）若c=4，且a+b=5，求△ABC的面积．17．（12分）（2015秋•临沂期中）如图，在各棱长均相等的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AC=60°，D为AC的中点．（1）求证：B1C∥平面A1BD；（2）求证：平面ABB1A1⊥平面AB1C．18．（12分）（2015秋•临沂期中）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|ω|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0 2f（x）的解析式；（2）将y=f（x）的图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，求当x∈[﹣，]时，函数f（x）=g（x）的值域．19．（12分）（2015秋•临沂期中）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足++…+=（n2+n+2）•2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．20．（13分）（2015秋•临沂期中）设f（x）=e x（lnx﹣a）（e是自然对数的底数，e=2.71828…）．（1）若y=f（x）在x=1处的切线方程为y=2ex+b，求a、b的值；（2）若[，e]是y=f（x）的一个单调递减区间，求a的取值范围．21．（14分）（2015秋•临沂期中）已知f（x）=x（x﹣a）．（1）当x∈[0，1]时，f（x）有最小值﹣3，求实数a的值；（2）若函数g（x）=f（x）﹣lnx有零点，求a的最小值．22.（2016春•湖北月考）在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2，正三角形ABC的顶点都在C1上，且A，B，C依逆时针次序排列，点A的坐标为（2，0）．（1）求点B，C的直角坐标；（2）设P是圆C2：x2+（y+）2=1上的任意一点，求|PB2|+|PC|2的取值范围．2015-2016学年山东省临沂市高三（上）11月质检数学试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A；2．D；3．C；4．D；5．C；6．C；7．B；8．D；9．A；10．C；二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上.11．；12．（1，2）；13．1200；14．1；15．（-∞，1）；三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程.16．；17．；18．；19．；20．；21．；。
南昌十校2016届高三数学二模冲刺试题理附答案
南昌十校2016届高三数学二模冲刺试题（理附答案）南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（01）高三数学（理）一.选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一是符合题目要求的.1.已知复数满足(其中是虚数单位,满足),则复数的共轭复数在复平面中对应的点在第几象限（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.要得到函数的图象，只需要将函数的图象（）A向左平移个单位B向右平移个单位C向左平移个单位D 向右平移个单位3.设，则“”是“”的()A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4.先后掷骰子两次，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x，y，设事件为“x+y为偶数”，事件为“”，则概率（）A．B．C．D．5.如果双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．36.将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是()A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直7.已知向量的夹角为钝角，则函数的最小值为（）A.2013B.2014C.2015D.20168.已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）ABCD9.执行如图所示的算法，则输出的结果是（）A．1B．C．D．210.的展开式中，的系数为()A15B25C30D5011.已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=600,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为，则球O的表面积为()A．36πB.64πC.144πD.256π12.已知函数f(x)=|log2x|-m(m0)的零点分别为x1,x2(x1x2),函数g(x)=|log2x|的零点分别为x3,x4(x3x4),则的最小值为()A.4B.8C.4D.8二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2016年江西省五市八校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2016年江西省五市八校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{x|2x﹣1＞5}，集合B＝{x|y＝lg（6﹣x）}，则A∩B等于（）A．（3，6）B．[3，6]C．（3，6]D．[3，6）2．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．B．﹣2C．2D．3．（5分）（2x+5y）2016展开式中第k+1项的系数为（）A．B．C．D．4．（5分）已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+＝1的焦点坐标为（）A．B．C．或D．或5．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0且a12＝a132，则数列{a n}的前n项和S n有最大值，当S n取得最大值时的项数n是（）A．6B．7C．5或6D．6或76．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，π]，则输出的S属于（）A．B．C．[﹣5，5]D．[﹣3，5]7．（5分）如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4B．C．D．88．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件9．（5分）已知等腰直角△ABC，AB＝AC＝4，点P，Q分别在边AB，BC上，＝0，，＝，直线MN经过△ABC的重心，则||＝（）A．B．2C．D．110．（5分）已知直线y＝1﹣x与双曲线ax2+by2＝1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．11．（5分）函数y＝2016x﹣sin x的图象大致是（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝（a﹣）x2+lnx（a∈R）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y＝2ax下方，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[﹣，]C．（，+∞）D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）＝1+为奇函数，g（x）＝，则不等式g（x）＞1的解集为．14．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2y﹣|x|的最小值是．15．（5分）如图所示的几何体是由正四棱锥和圆柱组合而成，且该几何体内接于球（正四棱锥的顶点都在球面上），正四棱锥底面边长为2，体积为，则圆柱的体积为．16．（5分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，对一切n∈N*，都有＝b n，则数列{b n}的通项公式为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c．（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，已知a＝b＝，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值．18．（12分）骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式．k2＝．19．（12分）已知菱形ABCD，AB＝2，∠BAD＝，半圆O所在平面垂直于平面ABCD，点P在半圆弧上．（不同于B，C）．（1）若P A与平面ABCD所成角的正弦值为，求出点P的位置；（2）是否存在点P，使得PC⊥BD，若存在，求出点P的位置，若不存在，说明理由．20．（12分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2＝a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知点A（2，1）是椭圆G：x2+4y2＝m上的点．（1）若过点的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求l被椭圆G的伴随圆G1所截得的弦长；（2）椭圆G上的B，C两点满足4k1•k2＝﹣1（其中k1，k2是直线AB，AC的斜率），求证：B，C，O三点共线．21．（12分）对于函数y＝F（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•F（x0）＝1成立，则称x0为函数F（x）的“反比点”．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝﹣1（1）求证：函数f（x）具有“反比点”，并讨论函数f（x）的“反比点”个数；（2）若x≥1时，恒有x•f（x）≤λ（g（x）+x）成立，求λ的最小值．[选做题]22．（10分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，以CD为直径的圆分别交AC、BC于E、F．（1）求证：S四边形CEDF＝BF•AE；（2）求证：．[选做题]23．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C 相交于点B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．[选做题]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b＝1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m的取值范围．2016年江西省五市八校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1．（5分）设集合A＝{x|2x﹣1＞5}，集合B＝{x|y＝lg（6﹣x）}，则A∩B等于（）A．（3，6）B．[3，6]C．（3，6]D．[3，6）【解答】解：由A中不等式解得：x＞3，即A＝（3，+∞），由B中y＝lg（6﹣x），得到6﹣x＞0，即x＜6，∴B＝（﹣∞，6），则A∩B＝（3，6），故选：A．2．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．B．﹣2C．2D．【解答】解：复数a﹣＝a﹣＝a﹣2﹣i是纯虚数，则a﹣2＝0，解得a＝2，故选：C．3．（5分）（2x+5y）2016展开式中第k+1项的系数为（）A．B．C．D．【解答】解：T k+1＝（2x）2016﹣k（5y）k＝22016﹣k5k x2016﹣k y k，∴（2x+5y）2016展开式中第k+1项的系数为22016﹣k5k，故选：D．4．（5分）已知正数m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+＝1的焦点坐标为（）A．B．C．或D．或【解答】解：正数m是2和8的等比中项，可得m2＝2×8＝16，解得m＝4，圆锥曲线x2+＝1即为椭圆x2+＝1，可得a＝2，b＝1，c＝＝，即有焦点为（0，±），故选：B．5．（5分）等差数列{a n}的公差d＜0且a12＝a132，则数列{a n}的前n项和S n有最大值，当S n取得最大值时的项数n是（）A．6B．7C．5或6D．6或7【解答】解：等差数列{a n}中，公差d＜0，且，∴a1＝﹣a13＞0，即a1+a13＝0，又a1+a13＝2a7＝0；∴数列{a n}的前6或7项最大．故选：D．6．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的t∈[﹣1，π]，则输出的S属于（）A．B．C．[﹣5，5]D．[﹣3，5]【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S＝的值，由题意可得：当t∈[﹣1，）时，S＝3t∈[﹣3，）；当t∈[，π]时，S＝5sin t∈[0，5]；画出此分段函数在t∈[﹣1，π]时的图象如下：则输出的s属于[﹣3，5]．故选：D．7．（5分）如图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．4B．C．D．8【解答】解：由三视图知该几何体是一个直三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：底面是等腰三角形，AB＝BC＝2棱长是4，其中D是CG的中点，∵BF⊥平面EFG，∴BF⊥EF，∵EF⊥FG，BF∩FG＝F，∴EF⊥平面BFGC，∴组合体的体积：V＝V三棱柱ABC﹣EFG﹣V三棱锥E﹣DFG═＝，故选：C．8．（5分）设a，b∈R，则“a＞b”是“a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b）”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：设f（x）＝e x+e﹣x，∵f′（x）＝e x﹣e﹣x＝，当x＞0时，e x＞1，∴（e x）2﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴x＞0时，f（x）是增函数，∵a＞b＞0，∴f（a）＞f（b），∴e a+e﹣a＞e b+e﹣b．∴a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b），当x＜0时，∴（e x）2﹣1＜0，∴f′（x）＜0，∴x＜0时，f（x）是减函数，∵b＜a＜0，∵f（a）＜f（b），∴e a+e﹣a＜e b+e﹣b．∴a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b），当a＞0＞b时，显然成立，综上所述当a＞b时，“a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b）”恒成立，故充分性成立，反之也成立，故必要性成立，∴“a＞b”是“a（e a+e﹣a）＞b（e b+e﹣b）”充要条件，故选：C．9．（5分）已知等腰直角△ABC，AB＝AC＝4，点P，Q分别在边AB，BC上，＝0，，＝，直线MN经过△ABC的重心，则||＝（）A．B．2C．D．1【解答】解：如图，设△ABC的重心为G，由条件知BC＝，△ABC为等腰直角三角形，∴；；∴PQ⊥BC，且；∴PM⊥BC，且Q为PM的中点；又AG⊥BC；∴AG∥PM；由得，；∴A为PN的中点；∴PM＝2AG；∴；△PBQ为等腰直角三角形，∠B＝45°，∠PQB＝90°；∴，AB＝4；∴；即．故选：C．10．（5分）已知直线y＝1﹣x与双曲线ax2+by2＝1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线ax2+by2＝1（a＞0，b＜0）的渐近线方程为y＝±x，把y＝1﹣x代入y＝±x，可得A（，），B（，），可得AB的中点M为（，）由过原点和线段AB中点的直线的斜率为，即有k OM＝＝＝，故选：A．11．（5分）函数y＝2016x﹣sin x的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y＝2016x﹣sin x，∴y′＝2016x ln2016﹣cos x，当x≥0时，y′＞0；故函数y＝2016x﹣sin x在[0，+∞）上是增函数，故排除A，B；y′＝2016x ln2016﹣cos x在[﹣1，0]上单调递增，且在[﹣1，0]上先负后正，故y＝2016x﹣sin x在[﹣1，0]上有极小值，而在[﹣1，0]上，y＝2016x﹣sin x＞0恒成立；故排除D；故选：C．12．（5分）已知函数f（x）＝（a﹣）x2+lnx（a∈R）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y＝2ax下方，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．[﹣，]C．（，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：已知函数f（x）＝（a﹣）x2+lnx（a∈R）．若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y＝2ax的下方，等价于对任意x∈（1，+∞），f（x）＜2ax，即（a﹣）x2+lnx﹣2ax＜0恒成立．设g（x）＝（a﹣）x2+lnx﹣2ax（x∈（1，+∞））．即g（x）的最大值小于0．g′（x）＝（x﹣1）（2a﹣1﹣）（1）当a≤时，g′（x）＝（x﹣1）（2a﹣1﹣）＜0，∴g（x）＝（a﹣）x2+lnx﹣2ax（x∈（1，+∞））为减函数．∴g（1）＝﹣a﹣≤0∴a≥﹣，∴≥a≥﹣，（2）a≥1时，g′（x）＝（x﹣1）（2a﹣1﹣）＞0．g（x）＝（a﹣）x2+lnx﹣2ax（x∈（1，+∞））为增函数，g（x）无最大值，即最大值可无穷大，故此时不满足条件．（3）当＜a＜1时，g（x）在（1，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，同样最大值可无穷大，不满足题意；综上，实数a的取值范围是[﹣，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）若函数f（x）＝1+为奇函数，g（x）＝，则不等式g（x）＞1的解集为（﹣∞，0）∪（0，e﹣1）．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），且函数f（x）是奇函数，∴f（0）＝0，即f（0）＝1+＝0，得a＝﹣1，则g（x）＝，若x＞0，由g（x）＞1得﹣lnx＞1，即lnx＜﹣1，得0＜x＜e﹣1，若x≤0，由g（x）＞1得e﹣x＞1，即﹣x＞0，则x＜0，此时x＜0，综上不等式的解集为（﹣∞，0）∪（0，e﹣1），故答案为：（﹣∞，0）∪（0，e﹣1）14．（5分）若实数x，y满足不等式组，则z＝2y﹣|x|的最小值是﹣．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图由z＝2y﹣|x|得y＝|x|+z，平移y＝|x|+z，由图象知当y＝|x|+z经过点A时，z最小，此时z最小，由得，即A（﹣，0），此时z＝﹣|﹣|＝﹣，故答案为：﹣．15．（5分）如图所示的几何体是由正四棱锥和圆柱组合而成，且该几何体内接于球（正四棱锥的顶点都在球面上），正四棱锥底面边长为2，体积为，则圆柱的体积为2π．【解答】解：设圆柱的上下底面中心为E，F，则外接球的球心为EF的中点O，连接AE，OA，OS．则AE＝＝＝．∵V S﹣ABCD＝＝＝，∴SE＝1，设外接球的半径为r，则OE＝OS﹣SE＝r﹣1．OA＝r，∴r2＝（r﹣1）2+2，解得r＝．∴圆柱的高h＝2OE＝2（）＝1，∴圆柱的体积V＝π×AE2×h＝2π．故答案为2π．16．（5分）已知数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，对一切n∈N*，都有＝b n，则数列{b n}的通项公式为b n＝1．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，∵＝b n，∴＝b n+1，∴＝q，∴a n+2a n＝q（a n+1）2，∴a n+3a n+1＝q（a n+2）2，∴＝，即a n+3a3n+1＝（a n+2）3a n，即（a n+3d）（a n+d）3＝（a n+2d）3a n，化简可得，a n d＝0，∵a n≠0，∴d＝0，故数列{a n}是常数列，故b n＝＝1，故答案为：b n＝1．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c．（1）求角C的最大值；（2）当角C取最大值时，已知a＝b＝，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值．【解答】解：（1）在△ABC中由余弦定理得，；∵a+b≥2c；∴；∴；∴；∵，当且仅当a＝b时取“＝”；∴；即；∴；∴角C的最大值为；（2）当角C取最大值时，∵；∴△ABC为等边三角形；∴O为△ABC的中心，如图所示，D为边AB的中点，连接OD，则：OD⊥AB，且；∴OA＝1，即外接圆半径为1，且∠AOB＝120°；∴；∴对两边平方得，；∴1＝x2+y2﹣xy；∴x2+y2＝xy+1≥2xy，当且仅当x＝y时取“＝”；∴xy≤1；∴x•y的最大值为1．18．（12分）骨质疏松症被称为“静悄悄的流行病“，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如表：（单位：人）（1）能否据此判断有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关？（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．附表及公式．k2＝．【解答】解：（1）由表中数据得K2的观测值所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关．）（5分）（2）由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种（7分）∴X可能取值为0，1，2，，，X的分布列为：X的分布列为：∴．（12分）19．（12分）已知菱形ABCD，AB＝2，∠BAD＝，半圆O所在平面垂直于平面ABCD，点P在半圆弧上．（不同于B，C）．（1）若P A与平面ABCD所成角的正弦值为，求出点P的位置；（2）是否存在点P，使得PC⊥BD，若存在，求出点P的位置，若不存在，说明理由．【解答】解（1）P为圆弧中点或者靠近点B的三等分点．连接OD，在半圆内作OM⊥BC交圆弧于点M，则M为圆弧中点．∵平面BCP⊥平面ABCD，平面BCP∩平面ABCD＝BC，BC⊥OM，∴OM⊥平面ABCD，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝，∴△BCD是等边三角形，∴OD⊥BC，于是OD，OC，OM两两垂直．以O为原点，OD，OC，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设∠COP＝θ，θ∈（0，π），则P（0，cosθ，sinθ），A（，﹣2，0），∴＝（﹣，cosθ+2，sinθ），∵OM⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的一个法向量，∴cos＜＞＝＝＝＝．解得∴P为圆弧中点或者靠近点B的三等分点．（2）假设存在点P使得PC⊥BD，设∠COP＝θ．∴P（0，cosθ，sinθ），C（0，1，0），B（0，﹣1，0），，∴，∵PC⊥BD，∴，解得cosθ＝1，则与θ∈（0，π）矛盾，∴在半圆弧上不存在这样的点P使得PC⊥BD．20．（12分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2＝a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知点A（2，1）是椭圆G：x2+4y2＝m上的点．（1）若过点的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求l被椭圆G的伴随圆G1所截得的弦长；（2）椭圆G上的B，C两点满足4k1•k2＝﹣1（其中k1，k2是直线AB，AC的斜率），求证：B，C，O三点共线．【解答】解：（1）由点A（2，1）是椭圆G：x2+4y2＝m上的点．可得22+4•12＝m，即有m＝8，即椭圆G：+＝1，可得a2＝8，b2＝2，可得伴随圆G1的方程为x2+y2＝10，当直线l的斜率不存在时，显然不满足l与椭圆G有且只有一个公共点；当直线l的斜率存在时，设直线，与椭圆G：x2+4y2＝8联立，得，由直线l与椭圆G有且只有一个公共点，得，解得k＝±1，由对称性取直线，即；圆心到直线l的距离为，直线l被椭圆G的伴随圆G1所截得的弦长＝；（2）证明：设直线AB，AC的方程分别为y﹣1＝k1（x﹣2），y﹣1＝k2（x﹣2），设点B（x1，y1），C（x2，y2），联立G：x2+4y2＝8，得，则2，得；同理，斜率k OB＝＝＝，同理k OC＝；因为4k1•k2＝﹣1，所以k OC＝＝＝k OB，即有B，O，C三点共线．21．（12分）对于函数y＝F（x），若在其定义域内存在x0，使得x0•F（x0）＝1成立，则称x0为函数F（x）的“反比点”．已知函数f（x）＝lnx，g（x）＝﹣1（1）求证：函数f（x）具有“反比点”，并讨论函数f（x）的“反比点”个数；（2）若x≥1时，恒有x•f（x）≤λ（g（x）+x）成立，求λ的最小值．【解答】解（1）证明：设h（x）＝xlnx﹣1，h′（x）＝lnx﹣1，h′（x）＞0得x∈（e，+∞），h′（x）＜0得x∈（0，e）∵h（e）＝elne﹣1＝e﹣1＞0，，∴在（0，+∞）上有解，所以函数f（x）具有“反比点”．且有且只有一个；（5分）（2）x•f（x）≤λ（g（x）+x）⇔xlnx≤λ（﹣1+x）⇔xlnx≤λ（x2﹣）⇔lnx ﹣λ（x﹣），令，1°当λ≤﹣1时，△＝4﹣4（﹣λ）（）﹣λ≤0，故恒有﹣λx2+2x﹣λ≥0．则G′（x）≥0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是增函数．∴G（x）≥G（1）＝0，这与条件矛盾；2°当﹣1＜λ＜0时，x＝＝＜0，故恒有y＝﹣λx2+2x﹣λ≥0．在区间[1，+∞）上是增函数．﹣λx2+2x﹣λ≥2﹣2λ＞0，则G′（x）≥0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是增函数．∴G（x）≥G（1）＝0，这与条件矛盾；3°当λ＝0时，G′（x）＝＞0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是增函数．∴G（x）≥G（1）＝0，这与条件矛盾；4°当0＜λ＜1时，设﹣λx2+2x﹣λ＝0．的两个根x1，x2，x1＜x2，∵x1+x2＝＞2，x1x2＝1，∴0＜x1＜x2＜1，故有x∈（1，x2）时，﹣λx2+2x﹣λ＞0，在区间（1，x2）上是增函数．∴G（x）≥G（1）＝0，这与条件矛盾；5°当1≤λ时，△＝4﹣4（﹣λ）（﹣λ）≤0则G′（x）≤0恒成立，故G（x）在区间[1，+∞）上是减函数．∴G（x）≤G（1）＝0，命题恒成立；综上所述λ≥1，所以λ的最小值为1 （12分）．[选做题]22．（10分）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，以CD为直径的圆分别交AC、BC于E、F．（1）求证：S四边形CEDF＝BF•AE；（2）求证：．【解答】证明：（1）∵CD为圆的直径，∴三角形FCD和三角形ECD分别是以∠CFD和∠CED为直角的直角三角形．又∠ACB＝90°，可得四边形CEDF为矩形，S四边形CEDF＝DF•DE．在直角三角形BDF和直角三角形DAE中，∠DFC＝∠DEA，∠BDF＝∠DAE，即有△BDF∽△DAE，即为＝，即DE•DF＝BF•AE．∴S四边形CEDF＝BF•AE．（2）∵在三角形ABC中，∠ACB＝90°∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•BA．∴（1），又∵BD2＝BC•BF，AD2＝AC•AE（切割线定理）∴，（2）由（1）与（2）可得，∴．[选做题]23．在平面直角坐标系中，椭圆C的参数方程为（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝α（ρ≥0）（注：本题限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））（1）把椭圆C的参数方程化为极坐标方程；（2）设射线l与椭圆C相交于点A，然后再把射线l逆时针90°，得到射线OB与椭圆C 相交于点B，试确定是否为定值，若为定值求出此定值，若不为定值请说明理由．【解答】解：（1）∵椭圆C的参数方程为（θ为参数），∴椭圆C的普通方程为＝1．把代入直角坐标方程可得：＝1，化为：ρ2+3ρ2sin2θ＝4．（2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化为＝，由已知可得：在极坐标下，可设，分别代入椭圆参数方程中：则+＝＝．故为定值．[选做题]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|（Ⅰ）解不等式；f（x）+f（2x+1）≥6；（Ⅱ）已知a+b＝1（a，b＞0）．且对于∀x∈R，f（x﹣m）﹣f（﹣x）≤恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ），（2分）当时，由3﹣3x≥6，解得x≤﹣1；当时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x﹣3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．…（5分）（Ⅱ）∵a+b＝1（a，b＞0），∴（6分）∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤9，即[|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|]max≤9（7分）∵|x﹣2﹣m|﹣|﹣x﹣2|≤|（x﹣2﹣m）﹣（x+2）|＝|﹣4﹣m|∴﹣9≤m+4≤9，（9分）∴﹣13≤m≤5（10分）。
江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三数学第二次模拟突破冲刺试题(七)文
DCB某某市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（07）高三数学（文）第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足(34)|43|i z i -⋅=+，i 是虚数单位，则z 的虚部为（ ）A.4-B.45C.4D. 45- 2. 设集合{||1|3}P x x =+≤，1{|(),(2,1)}3x Q y y x ==∈-，则PQ =（ ）A. 1(4,)9-B. 1(,2]9C. 1(,2]3D. 1(,2)33．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是（ ） A 、∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 B 、∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0 C 、 ∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0 D 、∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<04.如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使1AE =， 连接EC 、ED 则sin CED ∠=（ ） （1）310 B 、10 C 、5 D 、55.在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线y =12x +1上，则这组样本数据的样本相关系数为 A.－1 B. 0 C .12D.16.在如图所示的程序框图中，若输出的值是3， 则输入x 的取值X 围是（ ）A ．(4, 10]B ．(2，+∞)C．(2， 4]D ．(4，+∞)7.一个三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积为（ ）A.2+16+8+D.88.设,x y 满足约束条件30020x y a x y x y --≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩,若目标函数z x y =+的最大值为2,则实数a 的值为（ ）A.2B.C.1-D.2-9．已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．210. 过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线by x a=-的垂线,垂足为A ,交双曲线的左支于B 点,若2FB FA =,则该双曲线的离心率为（ ）11. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和d c (,,,)a b c d N *∈ ，则b d a c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值。
【精校版】2016年新课标Ⅱ高考数学(文)试题(Word版,含答案)
2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（B卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
22，，3}A {1，B {x|x 9}，则（1）已知集合A B （B）（A）（C）（D） 1，0，1，2，3}{ 2， 1，0，1，2}{ 2，2，3}{1，（2）设复数z满足，则= z3 2i3 2i 2}{1，z i 3 i函数的部分（A）（B）（C）（D） 1 2i1 2i (3)（A）图像如图所示，则y=Asin(x ) y 2sin(2x )（B）3 y 2sin(x+)（C）66 y 2sin(2x )y 2sin(x+)（D） 3 (4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为3212（A）（B）（C）（D）3k2： (5) 设F为抛物线Cy=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=x13（A）（B）1 （C）（D）2 22 22−2x−8y+13=0的圆心到直线ax+y−1=0的距离为1，则a= (6) 圆x+y433（B）−（C）（D）2 （A）−34 (7) 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π (8) 某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为7533（A）（B）（C）（D）108810(9)中国古代有计算多项式值得秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2，2，5，则输出的s=（A）7 （B）12 （C）17 （D）34 lgx (10) 下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10的定义域和值域相同的是1xy（A）y=x（B）y=lgx（C）y=2（D）xπf(x) cos2x 6cos( x) (11) 函数的最大值为2（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 2 (12)已知函数f(x)（x∈R）满足f(x)=f(2-x)，若函数y=|x-2x-3| 与y=f(x) 图像的交点为（x,y），(x,y)，…，1122m x=（x,y），则mmii 1 (A)0 (B)m (C) 2m (D) 4m 二．填空题：共4小题，每小题5分. (13) 已知向量a=(m,4)，b=(3,-2)，且a∥b，则m=___________. x y 1 0 x y 3 0(14) 若x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值为__________ x 3 0 54cosC cosA（15）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________. 135（16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________________.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步等差数列{}骤．（17）(本小题满分12分) aa a 4,a a 6中，n3457a（I）求{}的通项公式；nbab(II)设=[]，求数列{}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2 nnn（18）(本小题满分12分) 某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 5 0 1 2 3 4 上年度出险次数a 1.5a2a0.85a1.25a1.75a保费随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 5 0 1 2 3 4 出险次数 60 50 30 30 20 10 频数（I）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求P(A)的估计值； (II)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”. 求P(B)的估计值；（III）求续保人本年度的平均保费的估计值. （19）（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E、F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于 DEF D'EF 点H，将沿EF折到的位置. AC HD'（I）证明：；5D' ABCEFAB 5,AC 6,AE ,OD' 22(II)若,求五棱锥体积. 4（20）（本小题满分12分）f(x) (x 1)lnx a(x 1)已知函数. a 41,f(1)y f(x)＞（I）当时，求曲线在处的切线方程； a x 1, f(x) 0(II)若当时，，求的取值范围. （21）（本小题满分12分）＞0 1 . 的左顶点，已知A是椭圆22xy MA NAkkE：斜率为的直线交E于A，M两点，点N在E上，43AM AN AMN（I）当时，求的面积AM AN3 k 2(II)当2时，证明：. 请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F. （Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积.23104-4 （）（本小题满分分）选修：坐标系与参数方程22xOyC. (x+6)+y=25在直角坐标系中，圆的方程为（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；ì=xt cosα,ïïíltlCAB,l. AB=10（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数），与交于，两点，求的斜率ïy=t sinα,ïî（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲11已知函数，M为不等式的解集. f(x)=x-+x+f(x)<222（Ⅰ）求M；a+b<1+ab（Ⅱ）证明：当a，b时，. ÎM 2016年普通高等学校招生全国统一考试文科数学答案第Ⅰ卷一. 选择题（1）【答案】D （2）【答案】C (3) 【答案】A (4) 【答案】A (5)【答案】D (6) 【答案】A (7) 【答案】C (8)【答案】B (9)【答案】C (10) 【答案】D (11)【答案】B(12) 【答案】B 二．填空题21 6 5(13)【答案】(14)【答案】（15）【答案】（16）【答案】1和3 13 三、解答题（17）(本小题满分12分) 2n 3a 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）24. n5【解析】 baab d试题分析：(Ⅰ)根据等差数列的性质求，，从而求得；（Ⅱ）根据已知条件求，再求数列的n1nn前10项和.试题解析：(Ⅰ)设数2 a2a 5d 4,a 5d 3a 1,d列的公差为d，由题意有，解得，1n1152n 3 aa 所以的通项公式为.nn52n 3 b （Ⅱ）由(Ⅰ)知，当n=1,2,3时，；n5 2n 31 2,b 1n52n 3 3,b 22 ；当n=4,5时，n52n 3 4,b 33 ；当n=6,7,8时，n52n 3 5,b 44 ，当n=9,10时，所以数列的前10n5 1 3 2 2 3 3 4 2 24b项和为. n考点：等茶数列的性质，数列的求和.【结束】（18）(本小题满分12分) 60 5030 30【答案】（Ⅰ）由求P(A)的估计值；（Ⅱ）由求P(B)的估计值；（III）根据平均值得计算公200200式求解. 【解析】试题分析：试题解析：(Ⅰ)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于 2.由所给数据知，一年内险次数小于2的频率为60 50 0.55，200故P(A)的估计值为0.55. （Ⅱ）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由是给数据知，一年内出险次数大于1且小于30 30 0.34的频率为，200故P(B)的估计值为0.3. (Ⅲ)由题所求分布列为： 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 保费 0.300.25 0.15 0.15 0.10 0.05 频率调查200名续保人的平均保费为0.85a 0.30 a 0.25 1.25a 0.15 1.5a 0.15 1.75a 0.30 2a 0.10 1.1925a，因此，续保人本年度平均保费估计值为1.1925a. 考点：样本的频率、平均值的计算. 【结束】（19）（本小题满分12分）69【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.4【解析】 OD OH.OD AC//EF.AC//HD.ABC.试题分析：（Ⅰ）证再证（Ⅱ）证明再证平面最后呢五棱D' ABCEF 锥体积. AC BD,AD CD.试题解析：（I）由已知得，AECFAE CFAC//EF. 又由得，故ADCD。
江西省南昌二中2016届高三年级下学期阶段考(文数参考答案)
江西省南昌二中2016届高三年级下学期阶段考数学（文科）参考答案一、选择题（每题5分，共60分）1．设2{Z|2}{|1}A x x B y y x x A ∈≤∈＝，＝＝＋，，则B 的元素个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．无数个 【答案】C试题分析：由题意，{}2,1,0,1-,2-=A ，在集合B 中，因为A x ∈,所以{}5,2,012∈+=x y ,即{}5,2,0=B ，所以集合B 中元素个数为3．2．若复数i z )54(sin )53(cos -+-=θθ是纯虚数，则)4tan(πθ-的值为 A ．-7 B ．71- C ．7 D ．-7或71-【答案】C试题分析：由于i z )54(sin )53(cos -+-=θθ是纯虚数，54sin ,53cos ≠=∴θθ，54cos 1sin 2-=--=∴θθ，34cos sin tan -==∴θθθ，4tantan 14tantan 4tan πθπθπθ⋅+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-7=，故答案为C ．3．已知命题:p 直线2+=x y 与双曲线122=-y x 有且仅有一个交点；命题:q 若直线l 垂直于直线m ，且,//α平面m 则α⊥l ．下列命题中为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ⌝∨C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∧【答案】A 试题分析：解2221y x x y =+⎧⎨-=⎩得3454x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； ∴直线y=x+2与双曲线122=-y x 有且仅有一个交点；即命题p 是真命题；可以想象满足命题q 条件的l 与平面α可能情况为：l ⊂α，l ∥α，l 与α斜交，l 与α垂直； ∴命题q 是假命题；∴￢p 是假命题，￢q 是真命题，（￢p ）∨（￢q ）是真命题，（￢p ）∨q 为假命题，（￢p ）∧（￢q ）为假命题，p ∧q 为假命题；4．某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算的结果，认为0H 成立的可能性不足1%，那么2K 的一个可能取值为()A ．7.879 B.6.635 C. 5.024 D. 3.841【答案】A 试题分析：由题这种血清能起到预防感冒的作用为99%的有效率，显然0 6.635,k >所以选A.5．下边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a ，b ，i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为（ ）A ．0，4B ．0，3C ．2，4D ．2，3 【答案】C试题分析：模拟执行程序框图，可得：680a b i ===，，，1i =，不满足a b >， 不满足8622a b b i ==-==，，， 满足6243a b a i >=-==，，，满足4224a b a i >=-==，，，不满足a b >， 满足a b =，输出a 的值为2i ，的值为4．故选：D ． 6．已知矩形ABCD ，5=AB ，7=BC ，在矩形ABCD 中随机取一点P ，则90APB ︒∠>出现的概率为 （ ）A ．556π B ．556 C ．528πD ．528【答案】A试题分析：以AB 为直径在矩形ABCD 内作一半圆，有几何概型可知，要让90APB ︒∠>，则必须让P 点在矩形ABCD 内部的半圆内的部分即可，根据几何概型可知概率56575)25(21P 2ππ=⨯=选A 7．已知}{n a 是首项为32的等比数列，n S 是其前n 项和，且646536=S S ,则数列|}log {|2n a 前10项和为 （ ） A ．58 B ．56 C ．50 D ．45【答案】A 试题分析：根据题意3633164S S q S -==，所以14q =，从而有72113224n n n a --=⋅=，所以2log 72n a n =-，所以有2log 27n a n =-，所以数列的前10项和等于53113579111358+++++++++=，故选A ．8．如图是函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+=22sin πϕϕx A x f 图像的一部分，对不同的[]b a x x ,,21∈，若()()21x f x f =，有()321=+x x f ，则（ ）A ．()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ上是减函数B ．()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛65,3ππ上是减函数 C ．()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππ上是增函数 D ．()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛65,3ππ上是增函数【答案】C试题分析：由图可知2A =，又由()()21x f x f =，知函数的图象关于直线1222x x a b x ++==对称，所以12a b x x +=+．由五点法作图，得20a ϕ+=，2b ϕπ+=，所以2a b πϕ+=-，则()f a b +＝()122sin(2)2sin f x x πϕϕϕ-+==+=即s i n ϕ=所以3πϕ=，所以()2s i n 23fx x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，在⎪⎭⎫⎝⎛-12,125ππ上，2,322x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以()x f 在⎪⎭⎫⎝⎛-12,125ππ上是增函数，故选C ． 9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．316 B ．380 C ．364 D ．343 【答案】B试题分析：由三视图可知，几何体表示的是三棱柱去掉三棱锥，三棱柱的体积EFS V ABE ⋅=∆13244421=⨯⨯⨯=，三棱锥的体积EF S V BFG ⨯⨯=∆3123164422131=⨯⨯⨯⨯=，因此该几何体3803163221=-=-V V ，故答案为B ．10．已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2:8C y x =相交于两点，F 为C 的焦点，k =（ ） C.【答案】D 试题分析：抛物线2:8C y x =的准线为l ：x=-2，直线y=k （x+2）（k ＞0）恒过定点P （-2，0），如图过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B 为AP 的中点、连接OB ，则|OB|= |AF|，∴|OB|=|BF|，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为（1，22）∵P （-2，0），∴k=32221022=+-故选D ． 11．若定义在R 上的函数)(x f y =满足)(1)1(x f x f =+，且当]1,0(∈x 时，x x f =)(，函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>=+)0(2)0(log )(13x x x x g x ，则函数)()()(x g x f x h -=在区间]4,4[-内的零点个数为（ ）A.9B.7C.5D.4 【答案】C 试题分析：∵1(1)()f x f x +=，∴2T =，当(1,0)x ∈-时，1(0,1)x +∈，1(1)1()f x x f x +==+，∴1()1f x x =+，∴1,(1,0]()1,(0,1]x f x x x x ⎧∈-⎪=+⎨⎪∈⎩，通过画图找两个图像的交点个数，即零点个数.12．设函数())(2R a a x e x f x∈-+=，e 为自然对数的底数，若曲线x y sin =上存在点()00,y x ，使得()()00y y f f =，则a 的取值范围是（ ）A 、[]e e ++--1,11B 、[]e +1,1C 、[]1,+e eD 、[]e ,1【答案】A试题分析：曲线y sinx =上存在点()00,y x ，∴00[sin 11]y x =∈-，．函数())(2R a a x e x f x ∈-+=在[11]-，上单调递增．下面证明00()f y y =．假设00()f y c y =>，则()000(())()f f y f c f y c y =>=>，不满足00(())f f y y =．同理假设00()f y c y =<，则不满足00(())f f y y =．综上可得：00()f y y =．令函数()2x f x e x a x =+-=，化为x a e x =+．令()([]1)1xg x e x x =+∈-，．()10xg x e '=+>，∴函数()g x 在1[]1x ∈-，单调递增．∴()111e g x e --≤≤+．∴a 的取值范围是111e e --++⎡⎤⎣⎦，．故选：A ．二、填空题（每题5分，共20分）13．设(),3a x = ，()2,1b =-，若a b ⊥ ，则2a b + = ．【答案】试题分析：因为a b ⊥ ，所以230x -=，解得32x =，所以|2|a b +=14．已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.【答案】0或6试题分析：圆C 的标准方程为：()()22129x y ++-=，所以圆C 的圆心在()-12，，半径3r =又直线0x y a -+=与圆C 交于,A B 两点，且AC BC ⊥，所以圆心C 到直线0x y a -+=的距离2d =2=33a -=解得：0a =或6a =所以答案应填：0或6.15．设y x ,满足约束条件的最大值为2，___________．要使得目标函数取得最大值，需使得转化为2x ．16．设A 、B 、C 、D 是半径为2的球面上的四点，且满足,,AB AC AD AC AB AD ⊥⊥⊥，ABC ABD ACD S S S ∆∆∆++的最大值是 _______ .【答案】8试题分析：由已知得2222416AB AC AD ++==，12ABC ABD ADC S S S AB AC ∆∆∆++=⋅+12AB AD ⋅+ 12AC AD ⋅22211()()822AB AC AB AD AD AC AB AC AD =⋅+⋅+⋅≤⨯++=，当且仅当AB AC =AD =时等号成立,因此最大值为8. 三、解答题17．如图，在△ABC 中已知∠B ＝60°，AC =D 是BC 边上的一点．（1）若AD ＝2，在△ACD 的面积S ＝求CD 的长． （2）若AB=AD ，试求△ACD 面积S 的最大值．【答案】（1）CD =2）试题解析：在△ADC 中，AD ＝2，AC =1=**sin 2S AD AC DAC ∠故1*2*2DAC ∠=所以1sin 2DAC ∠=，DAC ∠=30°或 D A C ∠=150°（舍去），cos DAC ∠=由余弦定理得：2222**cos CD AC AD AC AD DAC =+-∠4842*=+-28=，所以CD =（2）因为AB=AD 且∠B ＝60°故△ABD 为等边三角形．所以ADB ∠=60°， ADC ∠=120°．在△ADC 中， AC =由余弦定理得：2222**cos AC CD AD CD AD ADC =+-∠ 2248*CD AD CD AD =++≥2**CD AD CD AD +即48≥3*AD CD故*AD CD ≤16，1=**sin *2S AD CD ADC AD CD ∠=≤当且仅当=AD CD 时△ACD 面积S 取得最大值为18．倡导全民阅读是传承文明、更新知识、提高民族素质的基本途径．某调查公司随机调查了1000位成年人一周的平均阅读时间（单位：小时），他们的阅读时间都在[0,20]内，将调查结果按如下方式分成五组：第一组[0,4)，第二组[4,8)，第三组[8,12)，第四组[12,16)，第五组[16,20]，并绘制了频率分布直方图，如图．假设每周平均阅读时间不少于12小时的人，称为“阅读达人”．频率（1）求这1000人中“阅读达人”的人数；（2）从阅读时间为[8,20]的成年人中按分层抽样抽取9人做个性研究．从这9人中随机抽取2人，求这2人都不是“阅读达人”的概率． 【答案】（1）480；（2）112． 试题解析：（1）由题知“每周平均阅读时间不少于12小时的人，称为…阅读达人‟”， 由频率分布直方图知，事件：“是阅读达人”的频率为A 0.1040.0240.48⨯+⨯=，∴这1000人中“阅读达人”的人数为：10000.48480⨯=；（2）按照分层抽样抽取9人做个性研究，则从小组[8,12)，[12,16)，[16,20]分别抽取的人数为：3，5，1，分别标记为123,,a a a ，12345,,,,b b b b b ，c ，从9人中随机抽取2人，共有36n =种，结果如下：cb 5b 4b 3b 2b 1a 3a 2a 1a 2a 3b 1b 2b 3b 4b 5ca 3b 1b 2b 3b 4b 5ccb 5b 4b 3b 2b 1b 2b 3b 4b 5ccb 5b 4b 3b 4b 5ccb 5设事件B ：“这2人都不是…阅读达人‟”, 事件B 共有3m =种， 结果如下：12a a ，13a a ，23a a ，所以31()3612m P B n ===． 19．如图，正三棱柱111C B A ABC -中，E 是AC 中点．（1）求证：平面111A ACC BEC ⊥；（2）若21=AA ，AB=2，求点A 到平面1BEC 的距离．【答案】（1）详见解析； （2试题解析：证明：（1）∵111ABC A B C -是正三棱柱，∴1AA ⊥平面ABC ，BE ⊂平面ABC∴1BE AA ⊥．∵ABC ∆是正三角形，E 是AC 中点，∴BE AC ⊥，A AC AA = 1，1AA ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC∴BE ⊥平面11ACC A ．∴BE ⊂平面1BEC ∴平面1BEC ⊥平面11ACC A （2）正三棱柱111C B A ABC -中， 21=AA ，2AB =，因为E 为AC 中点，2sin60BE ∴==111111233226C ABE ABE V S CC -∆⎛∴=⋅=⨯⨯⨯ ⎝．在直角1CEC ∆中，111,CE CC C E = BE ⊥平面11ACC A ，1EC ⊂平面11ACC A ， 1BE EC ∴⊥．11113222BEC S BE EC ∆∴=⋅==．设点A 到面1BEC 的距离为h ．11C ABE A BEC V V --=，1332h ∴⨯=，h ∴= 20．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点B 的坐标为(01)，，离心．直线l 与椭圆C 交于M N ，两点．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若椭圆C 的右焦点F 恰好为BMN △的垂心，求直线l 的方程．【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）43y x =-．试题解析：（Ⅰ）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则由题意知1b =．所以2222212c a b a a -==，解得22a =． 所以椭圆C 的方程为2212x y +=． （Ⅱ）易知直线BF 的斜率为1-，从而直线l 的斜率为1．设直线的方程为y x m =+，11()M x y ，，22()N x y ，，(10)F ，， 由2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22342(1)0x mx m ++-=．根据韦达定理，1243x x m +=-，212223m x x -=．于是2121(1)(1)NF BM x x y y ⋅=---121212x y x x y y =+-- 121212()()x x m x x x m x m =++--++212122(1)()x x m x x m m =-+-++-222242(1)()33m m m m m -=-⋅+--+-0=解之得1m =或43m =-．当1m =时，点B 即为直线l 与椭圆的交点，不合题意；当43m =-时，经检验知l 和椭圆相交，符合题意．所以，当且仅当直线l 的方程为43y x =-时，点F 是BMN ∆的垂心．21．已知函数e x xem mx x f (ln 21)(-+--=为自然对数的底数），R m ∈。
江西省新余市2016届高三第二次模拟考试 文科数学试题及答案
新余市2016年高三第二次模拟考试数学试题卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、集合{|lg(1)0}M x x =-<，集合{|11}N x x =-≤≤，则M N 等于（ ） A ．[)1,1- B ．[)0,1 C ．[]1,1- D ．()0,12、复数Z 满足(2)3i Z i +⋅=-，则Z 等于 A ．1 B．2 D ．43、下列关于命题的说法错误的是A ．命题“若2310x x -+=，则2x =”的逆否命题是“若2x ≠，则2310x x -+≠”B ．“3a =”是“log a y x =在其定义域上为增函数”的充分不必要条件C ．若命题:,3100n p n N *∃∈>，则:,3100n p n N *⌝∀∈≤D ．命题“:(,0),35x x p x ∃∈-∞<”是真命题.4、已知平面向量(0,1),(2,2),2a b a b λ=-=+=，则λ的值为A．1．1 C ．2 D ．15、设变量,x y 没做10020015x y x y y -≤⎧⎪≤+≤⎨⎪≤≤⎩，则23x y +的最大值为A ．20B ．35C ．45D ．556、等差数列{}n a 中的14025,a a 是函数()314613f x x x x =-+-的极值点，则22015log a 等于A ．2B ．3C ．4D ．57、已知直线60(0,0)ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为ab 的最大值是A ．52B ．4C ．92D ．98、已知ABC∆中，,,a b c分别是角,,A B C所对的边，若(2)cos cos 0a c B b C ++=，则角B 的大小为A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9、已知函数()sin()(0,)2f x wx w πϕϕ=+><的最小正周期为π，若将其图象向右平移3π个单位后得到图象关于原点对称，则函数()f x 的图象 A ．关于直线12x π=对称 B ．关于直线512x π=对称C ．关于直线(,0)12π对称 D ．关于直线5(,0)12π对称 10、过培训按22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为4π的直线与抛物线交于A 、B 两点，若先AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p 等于 A ．25B ．23C ．45D ．4311、 如图，网格纸上小正方形的变换成为2，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是A ．7πB ．7πC ．12πD ．14π 12、已知0a >，若函数()2324ln ,034,0a x x x f x x a x x ⎧->⎪=⎨--≤⎪⎩且()()2g x f x a =+至少有三个零点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(1,+)∞ D ．[1,+)∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、曲线:ln C y x x =在点(,)M e e 处的切线方程为 14、从某班5为老师中随机选两位老师值班，有女老师被选中的概率为710，则在这5位老师中，女老师有 人.15、共圆263年左右，我过数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积饿无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，用“割圆术”刘徽得到了圆周率姐却道小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”，如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个 程序框图，则输出的n 的值为 （参考数据：sin150.2588,sin750.1305== ）16、在等腰直角ABC ∆中，90,2,,ABC AB BC M N ∠=== 为AC 边上的两个动点，且满足MN =BM BN ⋅的取值范围为三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，122,6a a ==，且数列{}1()n n a a n N *+-∈是公差为2的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求满足不等式20152016n S >的n 的最小值.18、（本小题满分12分）在一次文、理科学习倾向的调查中，对高一年级的1000名学生进行文综、理综各一次测试（满分均为300分），测试后，随机抽取了若干名学生成绩，记理综成绩X ，文综成绩Y ，|X-Y|为Z ，将Z 值分组统计制成下表：并将其中女生的Z 值分布情况制成频率分布直方图（如图所示）（1）若已知直方图总[)60,80频数为25，试分别估计全体学生中，[)0,20Z ∈的男、女生人数；（2）记Z 的平均数Z ，如果60Z >称为整体具有学科学习倾向，试估计高一年级女生的Z 值（同一组中的数据用该区间中点值 作代表），并帕努单高一年级女生是否整体具有显著学科学习倾向.19、（本小题满分12分）如图，一个侧棱长为l 的直三棱柱111ABC A B C -容器中盛有液体（不计容器厚度），若液面恰好分别过棱1111,,,AC BC B C AC 的中点,,,D E F G . （1）求证：平面//DEFG 平面11ABB A ； （2）当地面ABC 水平放置时，求液面的高.20、（本小题满分12分）如图，已知椭圆2221x y a+=的四个顶点分别为1212,,,A A B B ，左右焦点分别为12,F F ，若圆222:(3)(3)(03)C x y r r -+-=<<上有且只有一个点P满足12PF PF =（1）求圆C 的半径r ；（2）若点Q 为圆C 上一个动点，直线1QB 交椭圆与点D ， 角直线22A B 于点E ，求11DB EB 的最大值.21、（本小题满分12分） 已知函数()ln f x x =（1）如曲线()()1a g x f x x=+-在点()(2,)g x 处的切线与直线210x y +-=平行，求实数a 的值；（2）若()()(1)1b x h x f x x -=-+在定义域上是增函数，求实数b 的取值范围；（3）若0m n >>，求证：ln ln 2m n m n m n--<+.请考生在第（22）、（23）（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22、（本小题满分10分） 选修4-1 几何证明选讲如图，E 是圆内两条弦AB 和CD 的焦点，F 为AD 延长线上一点，FG 切圆于点G ，且FE=FG. （1）证明：FE//BC ；（2）若,30AB CD DEF ⊥∠= ，求AF FG.23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin cos (1sin 2x y xααα=+⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 为正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=，曲线2C 的极坐标方程为3sin()(0)4a πρθ=->. （1）求直线l 与曲线1C 交点的极坐标(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<； （2）若直线l 与曲线2C 相切，求a 的值.24、（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲 设函数(),f x x a a R =-∈.（1）若1a =，解不等式()1(1)2f x x ≥+；（2）记函数()()2g x f x x =--的值域为A ，若[]1,3A ⊆-，求a 的取值范围.·11·。
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2016年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i3．命题“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间[15，20）内的频数是（）A．50 B．40 C．30 D．145．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，则f（log25），f（log3），f（log53）大小关系是（）A．f（log3）＜f（log53）＜f（log25）B．f（log3）＜f（log25）＜f（log53）C．f（log53）＜f（log3）＜f（log25）D．f（log35）＜f（log3）＜f（log53）6．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣17．已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件8．如图是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，则f（π）=（）A．B．﹣C． D．﹣9．某商场2015年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f（x）与月份x关系且满足f（1）=8，f（3）=2的函数为（）A．f（x）=20×（）x B．f（x）=﹣6log3x+8 C．f（x）=x2﹣12x+19 D．f（x）=x2﹣7x+1410．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线3x+y=0上任意一点，O为坐标原点，则|﹣|的最小值为（）A． B．C．D．311．已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g（x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log2x|，g（x）=（）x，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．412．如果曲线2|x|﹣y﹣4=0的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[0，） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知由实数组成等比数列{a n}中，a2=9，a6=1，则a4等于．14．以点（﹣1，3）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为．15．从1，2，3，…，n中这n个数中取m（m，n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m），则f（20，5）等于．16．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是．三、解答题（共5小题，满分60分）17．如图，直角三角形ACB的斜边AB=2，∠ABC=，点P是以点C为圆心1为半径的圆上的动点．（Ⅰ）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，求sin∠PBC；（Ⅱ）求•的取值范围．18．一课题组对日平均温度与某种蔬菜种子发芽多少之间的关系进行分析研究，记录了连续100剩下2组数据进行检验，若由线性回归方程得到的数据与剩下的2组数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的（Ⅰ）求选取的3组数据中有且只有2组数据是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）若选取恰好是前三天的三组数据，请根据这三组数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a，并判断该线性回归方程是否可靠（参考公式b=．19．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（Ⅱ）求四面体AB1C1C的体积．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l1：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为k的直线l2与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l2与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=e x+ax2+bx（e为自然对数的底，a，b为常数），曲线y=f（x）在x=0处的切线经过点A（﹣1，﹣1）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得曲线y=f（x）所有切线的斜率都不小于2？若存在，求实数a 的取值集合，若不存在，说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[极坐标与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．2016年江西省南昌市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={y|y=sinx，x∈R}，B={x|＜（）x＜3}，则A∩B等于（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1＜x≤1} D．{x|﹣1≤x＜2}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A中函数的值域，确定出A，求出集合B中不等式的解集，确定出B，找出两集合的公共部分，即可求出两集合的交集．【解答】解：由集合A中的函数y=sinx，得到﹣1≤y≤1，∴A=[﹣1，1]，由集合B中的不等式＜（）x＜3，解得：﹣1＜x＜2，∴B=（﹣1，2），则A∩B=（﹣1，1]．故选：C．2．已知x∈R，y为纯虚数，若（x﹣y）i=2﹣i，则x+y等于（）A．1 B．﹣1﹣2i C．﹣1+2i D．1﹣2i【考点】复数相等的充要条件．【分析】由复数代数形式的除法运算化简，然后再根据复数相等求出答案即可．【解答】解：x∈R，y为纯虚数，设y=ai，∵（x﹣y）i=2﹣i，∴xi+a=2﹣i，∴x=﹣1，a=2，∴x+y=﹣1+2i，故选：C．3．命题“对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的否定是（）A．存在x0∈（﹣∞，1]，使x＜B．存在x0∈（1，+∞），使x＜C．存在x0∈（﹣∞，1]，使x≤D．存在x0∈（1，+∞），使x≤【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题““对任意x∈（1，+∞），都有x3＞x”的”的否定是：存在x0∈（1，+∞），使x≤，故选：D．4．如图所示是一样本的频率分布直方图，若样本容量为100，则样本数据在区间[15，20）内的频数是（）A．50 B．40 C．30 D．14【考点】频率分布直方图．【分析】求出概率，然后求解频数．【解答】解：样本数据在区间[15，20）内的概率为：1﹣0.04×5﹣0.1×5=0.3．样本数据在区间[15，20）内的频数是：100×0.3=30．故选：C．5．已知函数f（x）是定义R上的偶函数，且当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，则f（log25），f（log3），f（log53）大小关系是（）A．f（log3）＜f（log53）＜f（log25）B．f（log3）＜f（log25）＜f（log53）C．f（log53）＜f（log3）＜f（log25）D．f（log35）＜f（log3）＜f（log53）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意可知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，f（log3）=f（﹣log35）=f（log35），利用log35＞log35＞log53＞0，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，即可判断．【解答】解：函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（log3）=f（﹣log35）=f（log35）．∵log35＞log35＞log53＞0，当x∈[0，+∞）时，函数f（x）是单调递减函数，∴f（log35）＜f（log35）＜f（log53），∴f（log35）＜f（log3）＜f（log53），故选：D．6．执行如图的算法程序框图，输出的结果是（）A．211﹣2 B．211﹣1 C．210﹣2 D．210﹣1【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，s=22﹣2，k=2；当k=2时，满足进行循环的条件，s=23﹣2，k=3；当k=3时，满足进行循环的条件，s=24﹣2，k=4；当k=4时，满足进行循环的条件，s=25﹣2，k=5；当k=5时，满足进行循环的条件，s=26﹣2，k=6；当k=6时，满足进行循环的条件，s=27﹣2，k=7；当k=7时，满足进行循环的条件，s=28﹣2，k=8；当k=8时，满足进行循环的条件，s=29﹣2，k=9当k=9时，满足进行循环的条件，s=210﹣2，k=10；当k=10时，满足进行循环的条件，s=211﹣2，k=11；当k=11时，不满足行循环的条件，故输出的s值为211﹣2，故选：A7．已知α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，则“α，β相交”是“直线m，n 异面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据空间直线与直线，平面与平面位置关系的几何特征，结合充要条件的定义，可得答案．【解答】解：α，β是两个不重合的平面，直线m⊥α，直线n⊥β，当α，β相交时直线m，n可以异面和相交，当直线m，n异面直线时，α，β必相交，故“α，β相交”是“直线m，n异面”的必要不充分条件，故选：B8．如图是函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，则f（π）=（）A．B．﹣C． D．﹣【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】求出函数的解析式，然后求解函数值即可．【解答】解：由函数的图象可知，函数的周期为：T=2×=4π，可得ω==，x=时，函数取得最大值，所以sin（+φ）=1，由五点法作图，可得φ=．可得函数的解析式为：f（x）=sin（x+）．则f（π）=sin（+）=．故选：A．9．某商场2015年一月份到十二月份月销售额呈现先下降后上升的趋势，下列四个函数中，能较准确反映商场月销售额f（x）与月份x关系且满足f（1）=8，f（3）=2的函数为（）A．f（x）=20×（）x B．f（x）=﹣6log3x+8 C．f（x）=x2﹣12x+19 D．f（x）=x2﹣7x+14【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据销售额呈现先下降后上升的趋势，以及f（1）=8，f（3）=2，分别进行判断即可．【解答】解：A．f（x）=20×（）x为减函数，不满足条件先下降后上升的趋势，B．f（x）=﹣6log3x+8为减函数，不满足条件先下降后上升的趋势，C．f（x）=x2﹣12x+19满足下降后上升的趋势，f（1）=1﹣12+19=8，f（3）=9﹣12×3+19=﹣8，不满足条件f（3）=2．D．f（x）=x2﹣7x+14满足下降后上升的趋势，f（1）=1﹣7+14=8，f（3）=9﹣7×3+14=2，满足条件故满足条件的函数为f（x）=x2﹣7x+14．故选：D10．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，Q是直线3x+y=0上任意一点，O为坐标原点，则|﹣|的最小值为（）A． B．C．D．3【考点】简单线性规划．【分析】分别作出不等式组表示的平面区域和直线3x+y=0，通过图象观察，求得A（0，1）到直线的距离，即可得到所求最小值．【解答】解：画出不等式组所确定的平面区域，直线3x+y=0，则|﹣|=||，由A（0，1）到直线3x+y=0的距离为d==，可得|﹣|的最小值为，故选：A．11．已知点A（1，0），若点B是曲线y=f（x）上的点，且线段AB的中点在曲线y=g（x）上，则称点B是函数y=f（x）关于函数g（x）的一个“关联点”，已知f（x）=|log2x|，g（x）=（）x，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】设B的坐标，求出A，B的中点坐标C，利用C在g（x）上，建立方程关系，转化为两个函数的交点个数问题进行求解即可．【解答】解：令点B（x，|log2x|），x＞0，A，B的中点C（，|log2x|）．由于点C在函数g（x）=（）x的图象上，故有|log2x|=（）=•（）x，即|log2x|=•（）x，故函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是，即为函数y=|log2x|和曲线y=•（）x的交点的个数．在同一个坐标系中，画出函数y=|log2x|和y=•（）x的的图象，由图象知两个函数的交点个数为2个，则函数f（x）关于函数g（x）的“关联点”的个数是2，12．如果曲线2|x|﹣y﹣4=0的图象与曲线C：x2+λy2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，）C．（﹣∞，﹣]∪[0，） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）【考点】椭圆的简单性质．【分析】去绝对值可得x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，数形结合可得曲线必相交于（±2，0），分别联立方程结合一元二次方程根的分布可得．【解答】解：由2|x|﹣y﹣4=0可得y=2|x|﹣4，当x≥0时，y=2x﹣4；当x＜0时，y=﹣2x﹣4，∴函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=4的曲线必相交于（±2，0）∴为了使函数y=2|x|﹣4的图象与方程x2+λy2=1的曲线恰好有两个不同的公共点，则y=2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2﹣16λx+16λ﹣4=0，当λ=﹣时，x=2满足题意，由于△＞0，2是方程的根，∴＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；y=﹣2x﹣4代入方程x2+λy2=1，整理可得（1+4λ）x2+16λx+16λ﹣4=0当λ=﹣时，x=﹣2满足题意，由于△＞0，﹣1是方程的根，＜0，解得﹣＜λ＜时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣，）故选：B．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知由实数组成等比数列{a n}中，a2=9，a6=1，则a4等于3．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列通项公式列出方程组，解得q2=，由此能求出a4的值．【解答】解：∵由实数组成等比数列{a n}中，a2=9，a6=1，∴，解得q2=，∴a4==（a1q）•q2=9×=3．14．以点（﹣1，3）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为（x+1）2+（y﹣3）2=8．【考点】圆的标准方程．【分析】以点（﹣1，3）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的半径为圆心（﹣1，3）到直线x﹣y=0的距离，由此能求出圆的方程．【解答】解：∵以点（﹣1，3）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的半径为圆心（﹣1，3）到直线x﹣y=0的距离，∴圆半径r==2，∴以点（﹣1，3）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为（x+1）2+（y﹣3）2=8．故答案为：（x+1）2+（y﹣3）2=8．15．从1，2，3，…，n中这n个数中取m（m，n∈N*，3≤m≤n）个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列的个数记为f（n，m），则f（20，5）等于40．【考点】数列的函数特性．【分析】f（20，5）表示从1，2，3，…，20中这20个数中取5（m，n∈N*）个数组成递增等差数列的个数，对公差d=1，2，3，4，分别讨论即可得出．【解答】解：f（20，5）表示从1，2，3，…，20中这20个数中取5（m，n∈N*）个数组成递增等差数列的个数，分别为：1，2，3，4，5；2，3，4，5，6；…，16，17，18，19，20，共有16个；1，3，5，7，9；…；12，14，16，18，20，共有12个；1，4，7，10，13；…，8，11，14，17，20，共有8个；1，5，9，13，17；…，4，8，12，16，20，共有4个．综上共有：16+12+8+4=40个．故答案为：40．16．一几何体的三视图如图（网络中每个正方形的边长为1），若这个几何体的顶点都在球O的表面上，则球O的表面积是20π．【考点】球内接多面体；由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得到原几何体，然后利用补形思想得到四面体外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：由三视图得原直观图如图，原几何体为三棱锥A﹣BCD，满足AD⊥底面BCD，底面BDC为等腰直角三角形，则该几何体的外接球即为以DA、DB、DC为棱的长方体的外接球，外接球的直径D满足D2=DA2+DB2+DC2=4+8+8=20，∴外接球O的半径为，∴球O的表面积是4π×．故答案为：20π．三、解答题（共5小题，满分60分）17．如图，直角三角形ACB的斜边AB=2，∠ABC=，点P是以点C为圆心1为半径的圆上的动点．（Ⅰ）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，求sin∠PBC；（Ⅱ）求•的取值范围．【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）在△BCP中，使用余弦定理求出BP，再使用正弦定理计算sin∠PBC；（2）以点C为原点，以CA，CB为坐标轴建立平面直角系，设P（cosθ，sinθ），求出，的坐标，代入数量积的坐标运算求出•的取值范围．【解答】解：（I）当点P在三角形ABC外，且CP⊥AB时，∠BCP==，又BC=AB=3，CP=1，∴BP==．在△BCP中，由正弦定理得，即，解得sin∠PBC=．（II）以点C为原点，以CA，CB为坐标轴建立平面直角系如图：则A（，0），B（0，3），设P（cosθ，sinθ），则=（，﹣sinθ），=（﹣cosθ，3﹣sinθ），∴=cosθ（cosθ﹣）+sinθ（sinθ﹣3）=﹣cosθ﹣3sinθ+1=﹣2sin（θ+）+1．∵﹣1≤sin（）≤1，∴1﹣2≤≤1+2．18．一课题组对日平均温度与某种蔬菜种子发芽多少之间的关系进行分析研究，记录了连续100剩下2组数据进行检验，若由线性回归方程得到的数据与剩下的2组数据的误差均不超过1颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的（Ⅰ）求选取的3组数据中有且只有2组数据是相邻2天数据的概率；（Ⅱ）若选取恰好是前三天的三组数据，请根据这三组数据，求出y关于x的线性回归方程=bx+a，并判断该线性回归方程是否可靠（参考公式b=．【考点】线性回归方程．【分析】（Ⅰ）对这五组数据分别编号，利用列举法求出基本事件数以及有且只有2组数据是相邻2天数据的事件数，计算所求的概率值；（Ⅱ）由数据求得、，根据公式求得b与a的值，得到线性回归方程，利用回归方程计算数值，判断是否可靠即可．【解答】解：（Ⅰ）对这五组数据分别编号为1、2、3、4、5，从这五组数据中选取3组数据，基本事件是123、124、125、134、135、145、234、235、245、345共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中有且只有2组数据是相邻2天数据的情况是124、125、134、145、235、245共有6种，所以所求的概率为P==；（Ⅱ）由数据求得=×（12+11+13）=12，=×（26+25+30）=27；由公式求得b===，a=﹣b=﹣3；所以，y关于x的线性回归方程是=x﹣3；当x=10时，=×10﹣3=22，|22﹣23|≤1；同样，当x=8时，=×8﹣3=17，|17﹣15|＞1；所以该研究所得到的线性回归方程是不可靠的．19．如图，斜四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（Ⅱ）求四面体AB1C1C的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）由已知条件求解三角形得到B1A⊥AB，结合侧面AA1B1B⊥底面ABCD，可得BD⊥平面AB1C，则有平面AB1C⊥平面BDC1；（Ⅱ）由C1D∥B1A，知C1D∥平面AB1C，可得．【解答】（Ⅰ）证明：如图，在BAB1中，∵AB=1，BB1=2，∠B1BA=60°，∴=，∴，∴B1A⊥AB，又∵侧面AA1B1B⊥底面ABCD，∴B1A⊥底面ABCD，则B1A⊥BD，又∵ABCD为正方形，∴AC⊥BD，则BD⊥平面AB1C，∴平面AB1C⊥平面BDC1；（Ⅱ）解：∵C1D∥B1A，AB1⊂平面AB1C，C1D⊄平面AB1C，∴C1D∥平面AB1C，．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线l1：y=kx（k≠0）与椭圆相交于点A，B，过点B且斜率为k的直线l2与椭圆C的另一个交点为D，AD⊥AB．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l2与x轴，y轴分别相交于点M，N，求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）设点A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），代入椭圆方程可得=1，=1由AD⊥AB，可得k AD=﹣，利用斜率计算公式可得：=，=，相乘可得：，又a2﹣b2=3，联立解出即可得出．（2）=k，可得直线l2的方程为：y+y1=（x+x1），分别令x=0，y=0，可得S△OMN==|x1y1|，由1=+利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：（1）设点A（x1，y1），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），则=1，=1∵AD⊥AB，∴k AD=﹣，因此=，=，∴==，化为，又a2﹣b2=3，解得a2=4，b2=1．∴椭圆C的方程为=1．（2）∵=k，∴直线l2的方程为：y+y1=（x+x1），令y=0得x M=3x1，令x=0，得y N=﹣，∴S△OMN==|x1y1|，∵1=+≥|x1y1|，且当|x1|=2|y1|时，取等号，∴△OMN面积的最大值是．21．已知函数f（x）=e x+ax2+bx（e为自然对数的底，a，b为常数），曲线y=f（x）在x=0处的切线经过点A（﹣1，﹣1）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得曲线y=f（x）所有切线的斜率都不小于2？若存在，求实数a 的取值集合，若不存在，说明理由．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，得到f′（0），再求出f（0），由两点求斜率公式列式求得b；（Ⅱ）记g（x）=f′（x）=e x+2ax+1，曲线y=f（x）所有切线的斜率都不小于2等价于g（x）≥2对任意的实数R恒成立，求函数g（x）的导函数，分a≥0和a＜0分类求解得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=e x+ax2+bx，∴f′（x）=e x+2ax+b，∴f′（0）=1，又f（0）=1，∴1+b=，则b=1；（Ⅱ）记g（x）=f′（x）=e x+2ax+1，曲线y=f（x）所有切线的斜率都不小于2等价于g（x）≥2对任意的实数R恒成立，g′（x）=e x+2a，当a≥0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴当x＜0时，g（x）＜g（0）=2；当a＜0时，由g′（x）=0，得x=ln（﹣2a），且x＜ln（﹣2a）时，g′（x）＜0，x＞ln（﹣2a）时，g′（x）＞0，∴函数g（x）的极小值点为ln（﹣2a），又g（0）=2，∴ln（﹣2a）=0，得a=﹣．∴存在实数a，使得曲线y=f（x）所有切线的斜率都不小于2，实数a的集合为{}．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B，D三点共线，以AB为直径的圆与以BD为半径的圆交于E，F，DH切圆B于点D，DH交AF于H．（1）求证：AB•AD=AF•AH．（2）若AB﹣BD=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）由题意可得∠BDH=∠BFH，可得B、D、F、H四点共圆，可得AB•AD=AF•AH．（2）由已知结合切割弦定理求得AD，进一步求得BD，然后利用△AFB∽△ADH求得DH，则由勾股定理可得△BDF外接圆的半径．【解答】（1）证明：设圆B交线段AB于点C，∵AB为圆O一条直径，∴BF⊥FH．又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，∴B、D、F、H四点共圆．∴AB•AD=AF•AH．（2）解：∵AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AC=AB﹣BD=2，AF2=AC•AD，即，AD=4，∴，BF=BD=1．又△AFB∽△ADH，则，得，连接BH，由（1）可知BH为DBFH的外接圆直径，，故△BDF的外接圆半径为．[极坐标与参数方程]23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线l（t为参数）与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，把代入即可得出直角坐标方程．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，利用|AB|=|t2﹣t1|=即可得出．【解答】解：（I）曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ﹣2cosθ，可得ρ2=2ρsinθ﹣2ρcosθ，∴直角坐标方程为：x2+y2=2y﹣2x．（II）把曲线l（t为参数）代入曲线C的方程化为：t2﹣2t=0，∴t1+t2=2，t1t2=0．∴|AB|=|t2﹣t1|==2．[不等式选讲]24．已知函数f（x）=|ax+1|+|2x﹣1|（a∈R）．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）分类讨论即可求出不等式的解集；（2）由绝对值不等式的性质，不等式可化为|ax+1|≤1，即﹣≤a≤0，根据x的范围，求出﹣的范围，即可得到a的范围．【解答】解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥2可化为|x+1|+|2x﹣1|≥2①当x≥时，不等式为3x≥2，解得x≥，故x≥；②当﹣1≤x＜时，不等式为2﹣x≤2，解得x≤0，故﹣1≤x≤0；③当x＜﹣1时，不等式为﹣3x≥2，解得x≤﹣，故x＜﹣1；综上原不等式的解集为（﹣∞，0]∪[，+∞）；（2）f（x）≤2x在x∈[，1]时恒成立时恒成立，当x∈[，1]时，不等式可化为|ax+1|≤1，解得﹣2≤ax≤0，所以﹣≤a≤0，因为x∈[，1]，所以﹣∈[﹣4，﹣2]，所以a的取值范围是[﹣2，0}．2016年6月14日。