古典概型的解题技巧

古典概型的解题技巧
阎顺祥
(130********）
（黔南民族师范学院数学与统计学院贵州都匀 558000）
摘要：古典概型无论在初中还是高中都是学生学习的一个重难点.古典概型有许多类型，比如：抽球，分球入盒，随机取数等问题。在解题过程中要仔细审题，认清要求的事件是否为所选取样本空间的子集，避免重复计算或者遗漏计算样本点而使概率变大或者变小，在运用等可能性解题时要求试验可能的结果要满足等可能性。
关键词：古典概型;抽球;分球入盒;随机取数;概率
Classical subscheme problem solving skills
Yan Shunxiang
(130********)
（School of mathematics and statistics,Qiannan Normal University for Nationalities, DuYun 558000GuiZhou)
Abstract: Classical subscheme in junior middle school and high school is a difficult point of student's study There are many types of classical subscheme, such as: smoke ball, the ball into the box, the problem such as random access The topic carefully in the process of problem solving, identify the requirements of the event is selected a subset of the sample space, avoid repetition or missing calculation sample points and make the probability becomes large or small, the use of possibility, such as problem solving test may result to meet the requirement when such possibilities
Key words: classical subscheme, take the ball, the ball into the box, random access, probability
古典概型又称先验事件，是概率发展史上首先被人们研究的概率模型，它是在一定条件下以客观对称性为基础的一种模型，在特殊情况下直接计算比值,他是真实的概率而不是一个估计值。假设古典概率模型的一个试验基本事件总数为n，事件所包含的基本事件数为m，则有。[1]
这个定义是法国数学家拉普拉斯在1812年提出来的。这个定义同时也给出了计算公式。古典概型是概率发展初期的主要研究对象，在概率论中占有非常重要的地位。是概率论的基础知识，也是进一步学习概率论的基础，同时也是学习过程中的难点。古典概型也是各类概率模型中最基本的一种，实际问题中我们会经常遇到，所以，它历来也是概率论教学中的重点内容。尽管概率问题中概念直观，计算公式较为简单，但是它所涉及的具体问题往往复杂多变，使们在解题中很难找到一种准确的套路和方法。本文对古典概型的一些解题思路及技巧进行了探讨。
在求解古典概率问题时，一般需要做好几个方面：首先要明确分辨问题的性质，是不是属于古典概型问题；接着要掌握古典概型的计算公式；最后根据公式的要求确定n和m的数值。接下来我们通过一些例子来探究一下古典概型的解题技巧。
1、摸球问题 [2]
摸球问题是指从N 个可分辨的球中按照不同的要求（

比如：放不放回，计不计序等）一个个的从中取出M个从而可以得到不同的样本问题。接着在各自的样本空间中计算事件发生的概率。
例：袋中有a+b只球，其中有a只黑球，b只白球。现在随机的一只只把球摸出来，求第k次摸出一只球是黑球的概率。（）。
解法一：
把a只黑球和b只白球看作是不同的（例如设想他们进行了编号），若把摸出的求一次放在排成一条直线的a+b个位置上，则可能的排列法相当于把a+b个元素进行了全排列，总数为，把他们看做样本点的总体，而有利场合数为，这是因为第k次摸得黑球有a种取法，而另外a+b-1次摸球相当于a+b-1只球进行了全排列，总共有种构成法。所以所求的概率为

解法二：
把a只黑球看成是没有区别的，同样把b只白球也看成是没有区别的。仍然把摸出的依次放在排列成一直线的a+b位置上，因如果把a只黑球的位置固定下来则其他位置必然放的是白球。而黑球的位置可有，如果以这种放法作为样本点。这时的有利场合数为，这是因为第k次摸得黑球，这个位置必然是放黑球，剩下的黑球可以放在a+b-1个位置上人去的a-1个位置上，因此共有种放法，所以所求的概率为

解法三（最优解法）：
把ａ＋ｂ个球编号，前ａ个为黑球，后ｂ个为白球，构造出样本空间，表示第k次摸出的第i号球。显然n=a+b，m=a，所以

注意：此题中，与k无关，也就是说不论是第几次抽取，抽到黑球的概率都是 .
注：解法三中所构造的n是最优的，这是因为我们抓住了第k次摸球的本质，从而把无关的细节都抛开啦。同样应该指出来的是，解法三也没有用到排列组合。比较一下上述三种解法，显然是第三种解法最为简单。
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任取n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是

2、分球入盒问题
分球入盒问题是指从N个可以分辨的盒子，M个质点，按照质点是否可以分辨每盒可容纳质点多少等不同的情况，把M个质点放入N个盒子中，从而形成不同的样本空间，接着在各自的样本空间中计算事件的概率。
例：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：
（1）每盒恰有一球的概率是多少？
（2）空一盒的概率是多少？
解设A：每盒恰有一球；
B：空一盒

一般地，把n个球随机分配到N个盒子中去（），则每盒至多有一球的概率是：

分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。
（1）生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况（设1年365天）；
（2）旅客下车问题（电梯问

题）：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”站：“盒子”；
（3）住房分配问题：n个人呗分配到N个房间中；
（4）印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误：“球”页数：“盒子”；
3、随机取数问题
例：从1，2，???10这十个数中任意取一个，假设每个数都以同样的概率被取中，选取后还原，先后取出来7个数，试求下面个事件的概率：
（1）：7个数完全不相同；
（2）：不含9和2；
（3）：8恰好出现三次；
（4）：5至少出现两次；
（5）：取到的最大数恰好为6；
分析：本题所涉及的随机试验，就取样的方法来说，是属于返回取样。也就是说，把某数取出来后在还原，下次还有同样的可能在取到这个数。注意到这一特点，本题就不那么难解啦。
解：依题意有，样本空间就是10个相异元素允许重复的7元排列。所以，样本点的总数为。
（1）事件要求取7个互不相同的数，考虑到每个数取出时有先后顺序之分，所以有利场合数相当于从10个相异元素里每次取7个相异元素的全排列。因此包含的样本点的总数为。于是

（2）事件，先后取出来的7个数中不包含9和2，所以这7个数只有从1,3,4,5,6,7,8,10这8个数中取得。应注意试验属于有返回取样，则的有利场合数相当于8个相异元素允许重复的7元排列。于是所包含的样本点数为，有

（3）事件中8恰好出现三次，可以是7次取数中的任意3次，有种选法；剩余的4次每次可以取剩下的9个数中的任意一个，共种取法。于是，的有利场合数为 ? 。因此

（4）事件是六个两两互不相容的事件“5出现恰好k次” ，因此

也可先考虑的逆事件，这里表示“数字5只出现一次或者一次也不出现”。显然

所以

（5）事件的有利场合就是6个相异元素（1,2,3,4,5,6）允许重复的最大数恰好为6的7元排列。可将这种排列分为6出现1次，2次，3次，4次，5次，6次，7次等7类，显然，他们的排列数依次为，，，，，，。于是

事件的有利场合数还可以这样来考虑：最大的数字不大于6的7元重复排列，共有种，它可分为2类。一类是最大数恰好是6的7元重复排列；另一类是最大数小于6的7元重复排列。注意到第二类重复排列有种，则第一类重复排列有种。于是

4、分子分母一致，计数不重也不漏 [3]
例：将一副扑克牌（52张）洗匀，求有4张Q连在一起的概率。
分析：我们不妨设想把4张Q粘在一起与剩余的48张混合洗牌，而4张Q内部在进行排列。
解：设A=“四张Q连在一起”
由题意可知
根据古典概型的计算公