2016-2020高考数学分类汇总-立体几何(解析版)
2020高考数学解答题核心素养题型《专题07 立体几何综合问题》+答题指导)(解析版)
1 专题07 立体几何综合问题
【题型解读】
题型特点 命题趋势
从近几年的高考试题来看，立体几何是高考解答题的必考内容，主要考查的热点题型是线面位置关系与体积计算、平面图形的折叠，探索开放性问题等，题目难度中等，题型规范，方法可循. 1.线、面的平行与垂直关系是考查的热点，通过空间几何体的体积计算，考查学生的空间想象能力．
2．平面图形折叠成空间几何体．
3．是否存在某点或某参数，使得某种线、面位置关系成立问题.
▶▶题型一 空间点、线、面的位置关系及空间角的计算
(1)空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解．
(2)利用向量求空间角的步骤：
第一步：建立空间直角坐标系；
第二步：确定点的坐标；
第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；
第四步：计算向量的夹角(或函数值)；
第五步：将向量夹角转化为所求的空间角；
第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．
【例1】 (2019·河南郑州高三联考)在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝π6，AB＝2AD.
(1)求证：平面BDEF⊥平面ADE；
(2)若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．
【答案】见解析
【解析】(1)在△ABD中，∠ABD＝π6，AB＝2AD， 2 由余弦定理，得BD＝3AD，
从而BD2＋AD2＝AB2，
所以△ABD为直角三角形且∠ADB＝90°，
故BD⊥AD.
因为DE⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以DE⊥BD.
又AD∩DE＝D，所以BD⊥平面ADE.
因为BD⊂平面BDEF，所以平面BDEF⊥平面ADE.
(2)由(1)可得，在Rt△ABD中，∠BAD＝π3，BD＝3AD，
2020高考数学分项汇编 专项10 立体几何(含解析)理
(备战2020)（北京版）高考数学分项汇编 专项10 立体几何（含解析）理
1. 【2005高考北京理第6题】在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 〔 〕
A、BC//平面PDF B、DF⊥PAE
C、平面PDF⊥平面ABC D、平面PAE⊥平面ABC
【答案】C
考点：线面位置关系，面面位置关系。
2. 【2006高考北京理第4题】平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，那么动点C的轨迹是〔 〕
〔A〕一条直线 〔B〕一个圆
〔C〕一个椭圆 〔D〕双曲线的一支
【答案】A
3. 【2007高考北京理第3题】平面∥平面的一个充分条件是〔 〕
Ａ．存在一条直线aaa，∥，∥
Ｂ．存在一条直线aaa，，∥
Ｃ．存在两条平行直线ababab，，，，∥，∥
Ｄ．存在两条异面直线ababab，，，，∥，∥
4. 【2018高考北京理第8题】如图，动点P在正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BBDD的直线，与正方体表面相交于MN，．设BPx，MNy，那么函数()yfx的图象大致是〔 〕
【答案】B
考点：截面，线与面的位置关系。
5. 【2018高考北京理第4题】假设正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为1，1AB与底面ABCD成60°角，那么11AC
到底面ABCD的距离为 〔 〕
A、33 B、1
C、2 D、3 【答案】D
考点：正四棱柱的概念、
直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念.
【备战2016】(北京版)高考数学分项汇编 专题10 立体几何(含解析)理
【备战2016】（北京版）高考数学分项汇编 专题10 立体几何（含解析）理
1. 【2005高考北京理第6题】在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （ ）
A．BC//平面PDF B．DF⊥PAE
C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC
【答案】C
考点：线面位置关系，面面位置关系。
2. 【2006高考北京理第4题】平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是（ ）
（A）一条直线 （B）一个圆
（C）一个椭圆 （D）双曲线的一支
【答案】A
3. 【2007高考北京理第3题】平面∥平面的一个充分条件是（ ）
Ａ．存在一条直线aaa，∥，∥
Ｂ．存在一条直线aaa，，∥
Ｃ．存在两条平行直线ababab，，，，∥，∥
Ｄ．存在两条异面直线ababab，，，，∥，∥
4. 【2008高考北京理第8题】如图，动点P在正方体1111ABCDABCD的对角线1BD上．过点P作垂直于平面11BBDD的直线，与正方体表面相交于MN，．设BPx，MNy，则函数()yfx的图象大致是（ ）
【答案】B
考点：截面，线与面的位置关系。
5. 【2009高考北京理第4题】若正四棱柱1111ABCDABCD的底面边长为1，1AB与底面ABCD成60°角，则11AC
到底面ABCD的距离为 （ ）
A．33 B．1
C．2 D．3
2020高考真题数学分类汇编—立体几何
1 / 9 2020高考真题数学分类汇编—立体几何
一、选择题（共10小题）
1．（2020•天津）若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A．12π B．24π C．36π D．144π
2．（2020•北京）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）
A．6+ B．6+2 C．12+ D．12+2
3．（2020•山东）日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O），地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（ ）
A．20° B．40° C．50° D．90°
4．（2020•新课标Ⅲ）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） 2 / 9
A．6+4 B．4+4 C．6+2 D．4+2
5．（2020•上海）在棱长为10的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为左侧面ADD1A1上一点，已知点P到A1D1的距离为3，P到AA1的距离为2，则过点P且与A1C平行的直线相交的面是（ ）
A．AA1B1B B．BB1C1C C．CC1D1D D．ABCD
6．（2020•新课标Ⅱ）已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
7．（2020•新课标Ⅱ）如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）
A．E B．F C．G D．H
8．（2020•浙江）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ） 3 / 9
高考数学立体几何题型全归纳
高考数学立体几何题型全归纳
一、空间几何体的结构特征
1. 一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下（单位cm），则该三棱柱的表面积为（ ）
正视图：是一个矩形，长为2，高为√(3)；侧视图：是一个矩形，长为2，高为1；俯视图：是一个正三角形，边长为2。
解析：
底面正三角形的边长a = 2，底面积S_{底}=(√(3))/(4)a^2=(√(3))/(4)×2^2=√(3)。
侧棱长h = 1，三个侧面的面积S_{侧}=3×2×1 = 6。
所以表面积S=2S_{底}+S_{侧}=2√(3)+6。
2. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是（ ）
正视图：是一个梯形，上底为1，下底为2，高为2；侧视图：是一个矩形，长为2，宽为1；俯视图：是一个矩形，长为2，宽为1。
解析：
该几何体是一个四棱台。
上底面积S_{1}=1×1 = 1，下底面积S_{2}=2×2=4，高h = 2。 根据四棱台体积公式V=(1)/(3)h(S_{1}+S_{2}+√(S_{1)S_{2}})
=(1)/(3)×2×(1 + 4+√(1×4))=(14)/(3)
二、空间几何体的表面积与体积
3. 已知球的直径SC = 4，A，B是该球球面上的两点，AB=√(3)，∠ ASC=∠
BSC = 30^∘，则棱锥S - ABC的体积为（ ）
解析：
设球心为O，因为SC是球的直径，∠ ASC=∠ BSC = 30^∘
所以SA=SB = 2√(3)，AO = BO=√(3)
又AB=√(3)，所以 AOB是等边三角形，S_{ AOB}=(√(3))/(4)×(√(3))^2=(3√(3))/(4)
V_{S - ABC}=V_{S - AOB}+V_{C - AOB}
=(1)/(3)× S_{ AOB}×(SO + CO)
=(1)/(3)×(3√(3))/(4)×2=√(3)
2020版高考数学(文)新增分大一轮人教通用版讲义：第八章 立体几何8.5 含解析
§8.5 空间中的垂直关系
最新考纲
考情考向分析
1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理．
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题. 直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用、直线与平面所成角等内容．题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.
1．直线与平面垂直
图形 条件 结论
判
定 a⊥b，b⊂α(b为α内的任意一条直线) a⊥α
a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥α
a∥b，a⊥α b⊥α
性
质 a⊥α，b⊂α a⊥b
a⊥α，b⊥α a∥b
2.平面与平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言 图形语言 符号语言
判定
定理 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直 l⊂βl⊥α
⇒α⊥β
性质
定理 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面
α⊥βα∩β＝al⊂βl⊥a⇒l⊥α
概念方法微思考
1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示 垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．
2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？
提示 垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．
文科高考数学重难点03 立体几何(解析版)
重难点03 立体几何
【命题趋势】
立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高
考的一个热点，文科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体
积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单几何体三视图.
选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及简单
几何体的变面积以及体积.本专题针对高考高频知识点以及题型进行总结，希望通过本专题
的学习，能够掌握高考数学中的立体几何的题型，将高考有关的立体几何所有分数拿到.
【满分技巧】
基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的
直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角
有关外接圆问题：一般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利
用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.
内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.
求点到平面的距离问题：采用等体积法.
求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.
(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的
传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；④面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；⑤面面垂直的性
质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因
此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．
【考查题型】选择，填空，解答题
【限时检测】（建议用时：45分钟）
一、单选题
1．（2020·上海松江区·高三一模）在正方体中，下列四个结论中错误1111ABCDABCD
的是（ ）A．直线与直线所成的角为B．直线与平面所成的角为1BCAC60
1BC
1ADC60
C．直线与直线所成的角为D．直线与直线所成的角为1BC
1AD90
1BCAB90
【答案】B
【分析】连接∵为等边三角形，∴，即直线与所成的1AB
2020年高考文科数学二轮专题复习八：立体几何(附解析)
2020年高考文科数学二轮专题复习八：立体几何（附解析）
1．理解和掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征； 2．能掌握并灵活利用柱、锥、台、球表面积和体积的公式；
3．简单的几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型；
4．能利用直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质解决问题；
5．能空间直线与平面，平面与平面垂直的判定与性质解决问题．
1．空间几何体的表面积与体积
（1）多面体的表面积
=+2SSS棱柱表棱柱侧底，=+SSS棱锥表棱锥侧底，=++SSSS棱台表棱台侧上底下底．
（2）旋转体的表面积
①圆柱：=2()Srrl表，其中r为底面半径，l为母线长；
②圆锥：=()Srrl表，其中r为底面半径，l为母线长；
③圆台：22=()Srrrlrl表，其中,rr为上、下底面半径分别，l为母线长；
④球体：2=4Sr球，其中r为球的半径．
（3）几何体的体积公式
①柱体：=VSh柱体，其中S为底面面积，h为高；
②椎体：1=3VSh锥体，其中S为底面面积，h为高； 知识与技巧的梳理 考向预测 ③台体：1=()3VSSSSh台体，其中S、S分别为上、下底面面积，h为高；
④球体：34=3Vr球，其中r为球的半径．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
公理2：过不同在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一直线的两条直线平行．
3．直线、平面平行的判定及其性质
（1）直线与平面平行的判定定理
文字语言：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
2020届高考二轮精品复习资源 立体几何 解析版
立体几何
1．理解和掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征； 2．能掌握并灵活利用柱、锥、台、球表面积和体积的公式；
3．简单的几何体的三视图，能识别三视图所表示的立体模型；
4．能利用直线与直线，直线与平面，平面与平面平行的判定及性质解决问题；
5．能空间直线与平面，平面与平面垂直的判定与性质解决问题．
1．空间几何体的表面积与体积
（1）多面体的表面积
=+2SSS棱柱表棱柱侧底，=+SSS棱锥表棱锥侧底，=++SSSS棱台表棱台侧上底下底．
（2）旋转体的表面积
①圆柱：=2()Srrl表，其中r为底面半径，l为母线长；
②圆锥：=()Srrl表，其中r为底面半径，l为母线长；
③圆台：22=()Srrrlrl表，其中,rr为上、下底面半径分别，l为母线长；
④球体：2=4Sr球，其中r为球的半径．
（3）几何体的体积公式
①柱体：=VSh柱体，其中S为底面面积，h为高；
②椎体：1=3VSh锥体，其中S为底面面积，h为高；
③台体：1=()3VSSSSh台体，其中S、S分别为上、下底面面积，h为高；
④球体：34=3Vr球，其中r为球的半径．
2．空间点、直线、平面之间的位置关系
（1）平面的基本性质
公理1：如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
公理2：过不同在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 知识与技巧的梳理 考向预测
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一直线的两条直线平行．
3．直线、平面平行的判定及其性质
（1）直线与平面平行的判定定理
文字语言：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
高考数学真题分类汇编专题2--立体几何
高考数学真题分类汇编专题2 -立体几何
1.（2020理数全国Ⅰ卷，3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(
)
A.514
B.512 C.514 D.512
2.（2020文数全国Ⅲ卷，9）如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )
A. 6+42
B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23
3.（2019理数全国Ⅱ卷，7）设,为两个平面，则//的充要条件是（ ）
A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行
C．,平行于同一条直线 D．,垂直于同一平面
4.（2020理数全国Ⅱ卷，10）已知ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为( )
A.3 B.32 C.1
D.32
5.（2018理数全国Ⅰ卷，12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面a所成的角相等，则a截此正方体所得的截面面积的最大值为( )
A．334 B．233 C．324
D．32
6.（2018理数全国Ⅱ卷，9）在长方体1111ABCDABCD中，1ABBC，13AA，则异面直线1AD与1DB所成角的余弦值为( )
A.15
B.56 C.55 D.22
7.（2020理数全国Ⅰ卷，10）已知,,ABC为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为14π,ABBCACOO，则球O的表面积为( )
A.64π B.48π C.36π D.32π
8.（2018理数全国Ⅲ卷，10）设,,,ABCD是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC△为等边三角形且其面积为93，则三棱锥DABC体积的最大值为( )