《有趣的数字黑洞》
思维体操《有趣的数字“黑洞”》
教学内容：五上第三单元P38“你知道吗？”
教学目标：
1、了解数学中数字“黑洞”等有趣的现象，探索数学奥秘。
2、通过合作探究，培养协作能力与合作的意识。
3、拓展数学课外知识，宣传数学文化魅力，培养数学学习的兴趣。
教学重点：了解四位数黑洞6174，探究三位数黑洞
教学难点：自觉探究三位数黑洞495
教学准备：计算器课件
教学过程：
一、引入
1、谈话：同学们，你们听说过“黑洞”吗？
2、介绍“宇宙黑洞”：
黑洞是天文学中的一个概念，它是宇宙中一种非常神秘的天体，体积很小，密度却大得惊人，不论什么东西，只要被它吸进去，就再也别想爬出来，就连最强的X光线也妄想逃脱黑洞的引力. （如果要让地球成为一个黑洞,那么需要把地球压缩成一颗豌豆那么大）
3、在数学这个神秘的王国里，也存在着类似天文学上的黑洞—数字黑洞.。
二、了解“西西弗斯串”——123黑洞
数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值：
设定一个任意数字串，数出这个数中的偶数个数，奇数个数，及这个数中所包含的所有位数的总数，例如：1234567890，
偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有5 个。
奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有5 个。
总：数出该数数字的总个数，本例中为10 个。
新数：将答案按“偶-奇-总” 的位序，排出得到新数为：5510。
重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。
重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。
结论：对数1234567890，按上述算法，最后必得出123的结果，我们可以用计算机写出程序，测试出对任意一个数经有限次重复后都会是123。换言之，任何数的最终结果都无法逃逸123黑洞。
“123数学黑洞（西西弗斯串）”现象已由中国回族学者秋屏先生于2010年5月18日作出严格的数学证明，请看他的论文：《“数学黑洞（西西弗斯串）”现象与其证明》（正文网址在“扩展阅读”中）。自此，这一令人百思不解的数学之谜已被彻底破解。此前，美国宾夕法尼亚大学
数学教授米歇尔·埃克先生仅仅对这一现象作过描述介绍，却未能给出令人满意的解答和证明。
著名的“123黑洞”还有个别名叫做“西西弗斯串”。这里有个古老的神话传说西西弗斯是人间最足智多谋又机巧的人，他是科林斯的建城者和国王。当宙斯掳走河神的女儿，河神曾到科林斯找寻其女，知悉此事的西西弗斯以一条四季常流的河川做为交换条件告知。由于泄露了宙斯的秘密，宙斯便派出死神要将他押下地狱。没有想到西西弗斯却用计绑架了死神,导致人间长久以来都没有人死去，一直到死神被救出为止，西西弗斯也被打入冥界。
在被打入冥界前，西西弗斯嘱咐妻子不要埋葬他的尸体。到了冥界后，西西弗斯告诉冥后，一个没有被埋葬的人是没有资格待在冥界的，并请求给予三天告假还阳处理自己的后事。没有想到，西西弗斯一看到美丽的大地就赖着不走不想回冥府去了…
西西弗斯触犯了众神，诸神为了惩罚西西弗斯，便要求他把一块巨石推上山顶，而由于那巨石太重了，每每未上山顶就又滚下山去，前功尽弃，于是他就不断重复、永无止境地做这件事——诸神认为再也没有比进行这种无效无望的劳动更为严厉的惩罚了。西西弗斯的生命就在这样一件无效又无望的劳作当中慢慢消耗殆尽
三、探究“卡普雷卡尔运算”
1、了解“数字黑洞6174”
什么是“数字黑洞”？数学中又有哪些有趣的“黑洞数”？
自学课本第38页。
反馈：黑洞数6174是怎么得来的？
关键词：4个不同的数字排列成的最大的四位数-最小四位数得到一个数。
重复上述运算最后必得6174。
举例试一试！
2、了解了数字黑洞6174，你有别的想法吗？
启发学生去探究类似的黑洞三位数495 .两位数的黑洞数9
…
四、延伸阅读：最有名气的数字黑洞：3x+1-----冰雹猜想
1976年的一天，《华盛顿邮报》于头版头条报道了一条数学新闻。文中记叙了这样一个故事: 70年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般，夜以继日，废寝忘食地玩弄一种数学游戏。这个游戏十分简单:任意写出一个自然数N，并且按照以下的规律进行变换: 如果是个奇数，则下一步变成3N+1。如果是个偶数，则下一步变成N/2。不单单是学生，甚至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入。为什么这种游戏的魅力经久不衰?因为人们发现，无论N是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底1。准确地说，是无法逃出落入底部的4-2-1循环，永远也逃不出这样的宿命。
这就是著名的“冰雹猜想”。
举个例子,从7开始7×3+1=22 22÷2=11 11×3+1=34 34÷2=17 17×3+1=52 52÷2=26 26÷2=13 13×3+1=40 40÷2=20 20÷2=10 10÷2=5 5×3+1=16
16÷2=8 8÷2=4 4÷2=2 2÷2=1
经过5次到达峰值,再经过11次,得到谷底1.
冰雹的最大魅力在于不可预知性。英国剑桥大学教授John Conway找到了一个自然数27。虽然27是一个貌不惊人的自然数，但是如果按照上述方法进行运算，则它的上浮下沉异常剧烈…你可以大胆去猜想要经过多少次运算能到达峰值，峰值会是多少，总共又要经过多少次运算才能掉入谷底1.…
五\、情感启迪
这些数学黑洞都是猜想，有的已经被证明，有的还没证明。很多伟大的发明创造一开始也都是猜想，有了大胆的猜想，再一步一步去证明，去实施，人类才会进步才会更美好。
十个经典数字游戏
数字黑洞6174 任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数进行上述操作，7 步以内必然会得到6174。 例如，选择四位数6767： 7766 - 6677 = 1089 9810 - 0189 = 9621 9621 - 1269 = 8352 8532 - 2358 = 6174 7641 - 1467 = 6174 …… 6174 这个“黑洞”就叫做Kaprekar 常数。对于三位数，也有一个数字黑洞——495。 3x + 1 问题 从任意一个正整数开始，重复对其进行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以2 ；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的3 倍后再加1 。你会发现，序列最终总会变成4, 2, 1, 4, 2, 1, … 的循环。 例如，所选的数是67，根据上面的规则可以依次得到： 67, 202, 101, 304, 152, 76, 38, 19, 58, 29, 88, 44, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, ... 数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421 陷阱”。但是，是否对于所有的数，序列最终总会变成4, 2, 1 循环呢？ 这个问题可以说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，不少数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这可以从3x + 1 问题的各种别名看出来：3x + 1 问题又叫Collatz 猜想、Syracuse 问题、Kakutani 问题、Hasse 算法、Ulam 问题等等。后来，由于命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做3x + 1 问题算了。 直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。 特殊两位数乘法的速算 如果两个两位数的十位相同，个位数相加为10，那么你可以立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作AB 和AC，那么它们的乘积的前两位就是A 和A + 1 的乘积，后两位就是B 和C 的乘积。 比如，47 和43 的十位数相同，个位数之和为10，因而它们乘积的前两位就是4×(4 + 1)=20，后两位就是7×3=21。也就是说，47×43=2021。 类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。
黑洞数
黑洞数 黑洞数又称陷阱数,是类具有奇特转换特性的整数。 任何一个数字不全相同整数,经有限“重排求差”操作,总会得某一个或一些数,这些数即为黑洞数。"重排求差"操作即组成该数得排后的最大数去重排的最小数。 举个例子，三位数的黑洞数为495 简易推导过程：随便找个数，如297，三个位上的数从小到大和从大到小各排一次，为972和279，相减，得693 按上面做法再做一次，得到594，再做一次，得到495 之后反复都得到495 再如，四位数的黑洞数有6174 但是，五位数及五位以上的数还没有找到对应的黑洞数 神秘的6174－黑洞数 随便造一个四位数，如a1=1628,先把组成部分1628的四个数字由大到小排列得到a2＝8621，再把1628的四个数字由小到大排列得a3＝1268，用大的减去小的a2-a1=8621-1268＝7353，把7353按上面的方法再作一遍，由大到小排列得7533，由小到大排列得3357，相减7533-3367＝4176 把4176再重复一遍：7641-1467＝6174。 如果再往下作，奇迹就出现了！7641-1467＝6174，又回到6174。 这是偶然的吗？我们再随便举一个数1331，按上面的方法连续去做： 3311-1133＝2178 8721-1278＝7443 7443-3447＝3996 9963-3699＝6264 6624-2466＝4174 7641-1467＝6174 好啦！6174的“幽灵”又出现了，大家不妨试一试，对于任何一个数字不完全的四位数，最多运算7步，必然落入陷阱中。 这个黑洞数已经由印度数学家证明了。 在数学中由有很多有趣，有意义的规律等待我们去探索和研究，让我们在数学中得到更多的乐趣。 苏联的科普作家高基莫夫在他的著作《数学的敏感》一书中，提到了一个奇
有趣的数字黑洞
《有趣的数字黑洞》教学设计 人教版数学五年级上册教材，在学完循环小数和用计算器探索规律后，教材31页有一个补充的数学小知识“你知道吗？——数学黑洞。笔者查阅相关资料后，感到“数字黑洞”知识非常有趣，有必要让学生进行初步的了解，进而来感受数学的神奇和不可思议。 一、游戏导入，自主尝试。 师：同学们喜欢玩游戏吗？今天我们就来玩一个有关数字的游戏。 游戏规则： 1、任选不完全相同的三个数字。 2、用三个数字分别组成一个最大数和最小数，求出两数之差（如果差不够三位数，用0补足）。 3、对差不断重复上面的运算。 师：谁来读一读游戏规则。（生读） 师：不完全相同的三个数字是什么意思？ 生：就是三个数字不能都一样。（能不能举个例子来说明？） 生：比如：1、2、3；2、3、4；这都可以说是不完全相同的三个数字。 师：他举的例子是三个数字都不一样，还可以是那类的数字？ 生：还可以是像2、2、3这样的，有两个数字一样。 师：同意吗？（生回：同意！） 师：有两个数字相同的也可以，比如5、5、0三个数字。需要给大家补充说明一点，如果你选用的是像5、5、0这样其中有数字是0的三个数字的话，组成的最大数是550，这个没有疑问，组成的最小数应该是055或者说是55，而不是505。 师：那么游戏规则的第3条，对差重复上面的运算是什么意思呢？ 生：就是把差看成三个数字，再组成最大数和最小数相减求差。 师：大家的理解很正确。那下面我们举例子来看看这个游戏怎么玩，选那几个数字呢？我们是五年级8班，那就取数字5和8再选一个0,0比较特殊，好不好？（生回：好）师板书如下： （此处教师板书和引导的目的是：1、让学生明确游戏规则的第3条。2、用标序号和列竖式的形式来让学生明白，怎样有序记录游戏的每一步。3、用省略号表示不断重复计算下去。） 师：如果一直这样计算下去，你就会有一个有趣而重大的发现，到底是什么发现呢？下面大家接着玩这个游戏！ 师：谁有了发现？ 生1：我有发现，我的发现是，计算下去，就会得到一个差永远是495，再重复还是495，我举了好几个例子都是这样。 师：哦，他的发现是，计算下去会得到一个数495，继续重复还是495。请你给我们展示展示你的发现过程，好不好？（学生把计算过程用投影展示出来，同时讲解） 师：这位同学讲的很清楚并且特别会学习数学。他发现规律之后，害怕是一种巧合，就又举了几个例子来验证，发现都是这样！老师觉得我们大家都要学习他的这种严谨的学习态度。 师：刚才他举得例子中三个数字都不相同，有谁和他举得例子不一样？ 生2：我的和他的不一样，我选的是0、0、1三个数字，但我的发现和他的一样，也得到了495。 师：数学真奇妙，选的数字不同，但结果是一样的。 生3：我选的三个数字是7、8、9，我计算了6次，第5次就得到了495. 师：通过刚才大家的发现，我们知道了，只要选择不完全相同的三个数字，按照游戏的规则进行计算，最终我们一定会得到一个数，这个数就是495，再重复还是495，仿佛掉进了黑洞，永远出不来一样。 师：是不是很有趣，很神奇啊？ 生：是！（生齐答） 师：这种现象，在数学上叫做“数字黑洞”（师课件出示） 师：像刚才发现的495，它就是一个数字黑洞，因为是选取不完全相同的三个数字得到
有趣的数字黑洞
有趣的数字黑洞 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
思维体操《有趣的数字“黑洞”》 教学内容：五上第三单元P38“你知道吗？” 教学目标： 1、了解数学中数字“黑洞”等有趣的现象，探索数学奥秘。 2、通过合作探究，培养协作能力与合作的意识。 3、拓展数学课外知识，宣传数学文化魅力，培养数学学习的兴趣。 教学重点：了解四位数黑洞6174，探究三位数黑洞 教学难点：自觉探究三位数黑洞495 教学准备：计算器课件 教学过程： 一、引入 1、谈话：同学们，你们听说过“黑洞”吗？ 2、介绍“宇宙黑洞”： 黑洞是天文学中的一个概念，它是宇宙中一种非常神秘的天体，体积很小，密度却大得惊人，不论什么东西，只要被它吸进去，就再也别想爬出来，就连最强的X光线也妄想逃脱黑洞的引力.（如果要让地球成为一个黑洞,那么需要把地球压缩成一颗豌豆那么大） 3、在数学这个神秘的王国里，也存在着类似天文学上的黑洞—数字黑洞.。 二、了解“西西弗斯串”——123黑洞 数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值： 偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有5个。 奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有5个。 总：数出该数数字的总个数，本例中为10个。 新数：将答案按“偶-奇-总”的位序，排出得到新数为：5510。 重复：将新数5510按以上算法重复运算，可得到新数：134。 重复：将新数134按以上算法重复运算，可得到新数：123。 “123数学黑洞（西西弗斯串）”现象已由回族学者秋屏先生于2010年5月18日作出严格的数学证明，请看他的论文：《“数学黑洞（西西弗斯串）”现象与其证明》（正文网址在“扩展阅读”中）。自此，这一令人百思不解的数学之谜已被彻底破解。此前，大学数学教授米歇尔·埃克先生仅仅对这一现象作过描述介绍，却未能给出令人满意的解答和证明。 着名的“123黑洞”还有个别名叫做“西西弗斯串”。这里有个古老的神话传说 西西弗斯是人间最足智多谋又机巧的人，他是科林斯的建城者和国王。当宙斯掳走河神的女儿，河神曾到科林斯找寻其女，知悉此事的西西弗斯以一条四季常流的河川做为交换条件告知。由于泄露了宙斯的秘密，宙斯便派出死神要将他押下地狱。没有想到西西弗斯却用计绑架了死神,导致人间长久以来都没有人死去，一直到死神被救出为止，西西弗斯也被打入冥界。
五年级上册数学教案-9.1 神奇的数字黑洞丨苏教版
《神奇的数字黑洞》教学设计 教学目标： 1、了解数学中数字“黑洞”等有趣的现象，探索数学奥秘。 2、通过合作探究，培养协作能力与合作的意识。 3、拓展数学课外知识，宣传数学文化魅力，培养数学学习的兴趣。 教学重点：了解四位数黑洞6174，探究三位数黑洞 教学难点：自觉探究三位数黑洞495 教学准备：课件 教学过程： 一、谈话引入新课。 同学们，生活中我们每个人都有自己的魅力所在。比如说你看的书籍越多，你的学识就越广博，你就越有魅力，对别人来说就会有强大的吸引力，进而成为同学们学习的榜样!在宇宙中也有一种吸引力很强的天体，你们知道是什么吗？（黑洞）在数学这个神秘的王国里，其实也存在着类似天文学上的黑洞——数字黑洞。今天我们一起来了解和探究一下这些有趣的数字黑洞，感受一下数学的神奇和不可思议吧！（板书课题） 二、学习新知： 1、阅读导入，自主尝试。 师：同学们，你们知道什么是“数字黑洞”吗？前几天，老师布置了大家回去完成课前的阅读学习单，现在请拿出你们的学习单，谁来先跟大家汇报一下你们通过阅读后完成的第一个问题：什么是数字黑洞？（请生汇报） 师：你是从哪里得到这些信息的？（课件出示：书本38页的内容）请大家打开数学书38页，利用一分钟时间阅读这段“你知道吗”中关于数字黑洞的知识介绍。 师：那么刚才在书本中除了简单地说明了什么是数字黑洞以外，还提到了其中一种数字黑洞是？数字黑洞6174有一个什么样的规则？课前你们在学习单上都做了记录，谁来汇报一下？ 预设：生:只要你输入一个不完全相同的四位数，不允许输入1111，2222等。那
么你把这个四位数的四个数字按大小重新排列，得出最大数和最小数，两者相减得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，最后总会得到6174这个数字。 师：怎样能证明经过这些运算后会陷入一种循环的境界？（再次重排后求差得出的还是6174）。 师：那么在形成黑洞时应注意什么? 生：形成黑洞的条件是：这四个数字不完全相同，排列出最大数和最小数再相减。师投影这一规律。 根据学生的汇报得出数学猜想：是不是所有的四位数按重排求差的方法都会得到6174?下面我们以四人小组为单位，再次以此规律验证这个猜想吧。 学生四人小组合作：（要求）每位队员每说一个喜欢的数字，组长负责纪录。然后按重排求差的方法计算。算到你们认为差会不断重复出现的时候就停下来。 师：谁来展示一下你们小组的验证过程呢？（请几个学生展示计算过程） 生：我还编写了程序来进行验证这几个数字最后是否能得出6174这个数字黑洞。（生演示） 师：对于这个猜想，你们还有其他发现吗？预设：用所得的结果的四位数重复上述的过程，最多七步，必得6174。） 你们认同吗？（让学生各抒己见） 2、猜想验证，步步深入。 师：6174这个四位数的引力好强啊，能把所有的四位数吸进去了，最后陷入一种循环的境界。刚才我们通过课前查找资料——验证——得出最后结论的方法探索了数字黑洞6174。你还发现了其他的数字黑洞了吗？他们有什么规则，你能验证吗？课前，每一组至少一名同学在阅读课外资料后都做了一份PPT，现在请几位同学出来与大家分享与交流。 请学生汇报（预设数字黑洞495，数字黑洞9，数字黑洞123——出示神话故事，
数字排列之数字黑洞
二年级下数字排列之数字黑洞 教学目标： 1.知识与技能：知道两位数的差9，知道三位数字的数字黑洞是495. 2.过程与方法：通过排列数字的游戏，了解数字黑洞是什么。 3.情感态度价值观：体会数字黑洞的趣味，培养学习数学的兴趣。 教学重点：数字黑洞的算法。 教学难点：数字黑洞的算法。 教学过程： 一、有趣的9 孩子们，还记得上次课我们进行的数字排列组合吗？ 任意选出两个数字组成两位数，一共出现几个不同的数？两个互换位置 任意选出三个数字会出现几个不同的数？六个或者四个 什么时候是六个数？什么时候是四个数？没有0的时候六个数字有0的时候四个数字 二、两位数的黑洞 我们记得真清楚。那么现在是1-----9这九个数字，我们任选两个相邻的数字来组成两位数，看看有没有什么有意思的事情发生吧！ 如选择3和4 组成的两位数分别是：34 43 再如选择5和6 组成的两位数的65 56 还有76 67 87 78 98 89 你们发现点什么吗？ 两个两位数的个位十位互换了；对称的；较大数-较小数=9 等等…… 你还能举出不同的例子来验证我们的新发现吗？ 21-1232-23 如果我们随意选择呢？就比如我们上次用的6和9 组成的两位数分别是69和96 即96-69=27 好像不是9了。我们现在自己来举出例子，写在纸上。 如：97-79=18 62-26=36 52-25=27 86-68=18 71-17=54 72-27=45 95-59=36 你有没有又发现点什么？ 发现：虽然这次的差并不是9 ，但是他们个位数十位数的和却都是9.再试几个数字吧！
三、三位数的黑洞 你们听过什么是数字黑洞吗？ 我们今天就来了解一个有趣的数学现象：数字黑洞 【2,3,5】首先我们从1---9中选出三个数字，比如2,3,5 我们能够组成的最大的三位数是532，组成的最小的三位数是235.我们可以借助计算器知道532-235=297 【2,9,7】现在我们要利用2,9,7 这三个数再一次的组成最大的三位数和最小的三位数。是972和279 ，他们的差是972-279=693 ； 【6,9,3】我们要利用6,9,3这三个数第三次组成最大的三位数和最小的三位数，分别是963和369 ，他们的差是963-369=594； 【5,9,4】这次我们用5,9,4这三个数组成最大的三位数和最小的三位数，分别是954和459，他们的差是954-459=495； 我们依旧可以再试一次4，9，5 你发现了什么？我们会发现，495这个数再也跳不出去了，就像宇宙中的“黑洞”一样可以吸住任何物质，包括运行速度最快的光，不使他们逃脱。 那么是不是所有三个不同数字按照这样的方法最后都会调入这个数字黑洞呢？我们分成小组来验证。 例如：861-168=693 重复得到：963-369=594 再重复得到：954-459=495 四、拓展 事实中当我们选出四个不同的数字，组成最大的四位数和最小的四位数，再求差，最后也会掉进6174这个黑洞里掉进这个黑洞最多需要7步。我们试试看吧！ 例如：1,2,3,4 最大的数：4321 最小的数字：1234 差：4321-1234=3087 重复得到：8703-0378=8352 再重复得到：8532-2358=6174 神奇吗？你想说什么？ 五、小结 这些数字有意思吗？和家长分享吧！
“数字黑洞”及其简易证明(作者：芜湖林闯)
“数字黑洞”及其简易证明 安徽省芜湖市万春中学 林闯 近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问 题。这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光“知其然”，而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明. 问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常 奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！ 分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是153315333=++， 接下去又是153，于是就陷在“153153?→?F ” （F 代表上述的变换规则，下同）这个 循环中了。 再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列： 1535131080792684756F ?→??→??→??→??→?F F F F 这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153?→?F ”这个循环中。 随便取一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到 “153153?→?F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“黑 洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数都是如此呢？ 西方把153称作“圣经数”。这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第21 章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得就去把网拉到岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破.圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。英国学者奥皮亚奈，对此作出了证明.《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨. 以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是： 1. 设k x x x n 21=,当5≥k 时，有()()() k F x x x F n F k 3219999=≤= ＜k 310 又由指数函数的性质（上高中时会学到），可得，k ＜410-k ，
什么是数字黑洞的教学设计
《什么是“数字黑洞”？》教学设计 争青园主 教学目标： 1.知道数字黑洞的含义，并会自己验证“数字黑洞”。 2.培养学生学习数学、探索数学秘密的积极性。 教学重点：知道数字黑洞的含义，并会自己验证“数字黑洞”教学难点：培养学生学习数学、探索数学秘密的积极性 教具准备：计算器、演算纸、笔 教学过程： 一、课前准备： 1.小组合作 今天上课需要同学们全力配合，需要有一个会用计算器计算的，会用心记录的，大家分工明确，才能合作的更好；老师让转换角色的时候，大家就将角色互换，原来用计算器的，记录数据，原来记录数据的，试试操作计算器的能力怎么样2.试试计算器的应用熟练程度 请大家按要求按计算器算出算式的积或者和 （115*24+32= 225*41+12=） 2.同学们知道什么是单数和双数吗？ （找学生说）
3.黑洞 同学们听说过黑洞这个词，关于黑洞你了解多少？黑洞最大的特点是什么？ （先让学生叙述，能了解多少） （放视频，帮助学生了解黑洞） 3.请大家用2、6、9、8四个数字组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，不能重复使用数字。 （在小组内对答案） 二、激趣导入 1.同学们，组数的游戏你以前玩过吗？ （做题的时候见过） 2.下面老师要借助计算器考验大家的细心程度了。请同学们在纸上任意写四个不同的数字，组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用计算器算出他们的差， （找学生汇报） 请你将得到新的四个数字，然后再组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用计算器算出他们的差，得到新的四个数字，重复这个过程。 （找学生汇报！） 请你将得到新的四个数字，然后再组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，然后用计算器算出他们的差，得到新的四个数字，重复这个过程。
奇妙的数字黑洞
奇妙的数字黑洞 黑洞原是天文学中的概念，表示这样一种天体：它的引力场是如此之强，就连光也不能逃脱出来。数学中借用这个词，指的是某种运算，这种运算一般限定从某些整数出发，经过某种规定的运算后，结果必然落入某个“数字黑洞”。 1、黑洞6174 请大家看一看下面的这几道算式： 9863－3689=6174； 8532－2358=6174； 7311－1137=6174； 6640－0466=6174； 6200－0026=6174； 7421－1247=6174； 9973－3799=6174； …… 发现它们的神奇之处了吗？请随便写出一个
四位数，这个数的四个数字有相同的也不要紧，但 这四个数不准完全相同或有完全相同趋向，例如3333、7777、7337等都应该排除。写出四位数后， 把数中的各位数字按大到小的顺序和小到大的顺 序重新排列，将得到由这四个数字组成的四位数中 的最大者和最小者，两者相减，就得到另一个四位数。将组成这个四位数的四个数字施行同样的变换，又得到一个最大的数和最小的数，两者相减……这样循环下去，一定在经过若干次（最多7次）变换之后，得到6174。 这是偶然的吗？我们再随便举一个数1331，按 上面的方法连续去做： 3311-1133＝2178 8721-1278＝7443 7443-3447＝3996 9963-3699＝6264 6642-2466＝4176 7641-1467＝6174 好啦！6174的“幽灵”又出现了，大家不妨试
一试，对于任何一个数字不完全的四位数，最多运算7步，必然落入陷阱中。这个黑洞数已经由印度数学家证明了。6174这个神奇的数字，就是产生在数字里的黑洞，它好像有一种神奇的魔力，只要通过一种运算，这些数字都会被6174吸进去。我们称这样的数字为黑洞数。 2、黑洞123 数学中的123就跟英语中的ABC一样平凡和简单。然而，按以下运算顺序，就可以观察到这个最简单的黑洞值： ①数：设定一个任意的数，例如：1234567890， ②偶：数出该数数字中的偶数个数，在本例中为2，4，6，8，0，总共有 5 个。 ③奇：数出该数数字中的奇数个数，在本例中为1，3，5，7，9，总共有 5 个。 ④总：数出该数数字的总个数，本例中为 10 个。
“数字黑洞”及其简易证明
“数字黑洞”及其简易证明 近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问 题。这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网 上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它 们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了 较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书 报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光 “知其然”，而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数 字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就 来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明. 问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非 常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬” 出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运 算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数 的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分 析，你一定能发现它的奥秘！ 分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是153315333=++， 接下去又是153，于是就陷在“153153?→?F ” （F 代表上述的变换规则，下同）这 个循环中了。 再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列： 1535131080792684756F ?→??→??→??→??→?F F F F 这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153?→?F ”这个循环中。随便取 一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到 “153153?→?F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想 “黑洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数都是如此 呢？ 西方把153称作“圣经数”。这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福音第 21章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得就去把网 拉到岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有破.圣经数这一 奇妙的性质是以色列人科恩发现的。英国学者奥皮亚奈，对此作出了证明.《美国数 学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨. 以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是： 1. 设k x x x n 21=,当5≥k 时，有()()()k F x x x F n F k 3219999=≤= ＜k 310 又由指数函数的性质（上高中时会学到），可得，k ＜410-k ，
“数字黑洞”及其简易证明-
“数字黑洞”及其简易证明 近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞”问 题。这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或互联网上 的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖巧，却对它们 的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明，但一般也用到了较高 深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研究，对一些常见于书报的“数 字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目的是想让更多的读者不光“知其然”， 而且“知其所以然”.通过这些简易的证明，足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实 存在，并且能够透视出真正操纵它们的“幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介 绍几个著名的“数字黑洞”及其简易证明. 问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常 奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再“爬”出 来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算， 都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把 这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新数，然后把这个新数的每 一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T ＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具有如此魔力？通过认真的观察、分析， 你一定能发现它的奥秘！ 分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是153315333=++， 接下去又是153，于是就陷在“153153?→? F ” （F 代表上述的变换规则，下同）这个循环中了。 再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列： Λ1535131080792684756F ?→??→??→??→??→?F F F F 这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153?→?F ”这个循环中。随便取一 个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉到 “153153?→? F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“黑
神奇的数字
西西弗斯串 在古希腊神话中，科林斯国王西西弗斯被罚将一块巨石推到一座山上，但是无论他怎么努力，这块巨石总是在到达山顶之前不可避免地滚下来，于是他只好重新再推，永无休止。著名的西西弗斯串就是根据这个故事而得名的。 什么是西西弗斯串呢？也就是任取一个数，例如35962，数出这数中的偶数个数、奇数个数及所有数字的个数，就可得到2（2个偶数）、3（3个奇数）、5（总共五位数），用这3个数组成下一个数字串235。对235重复上述程序，就会得到1、2、3，将数串123再重复进行，仍得123。对这个程序和数的"宇宙"来说，123就是一个数字黑洞。 是否每一个数最后都能得到123呢？用一个大数试试看。例如：88883337777444992222，在这个数中偶数、奇数及全部数字个数分别为11、9、20，将这3个数合起来得到11920，对11920这个数串重复这个程序得到235，再重复这个程序得到123，于是便进入"黑洞"了。 这就是数学黑洞"西西弗斯串"。 孔雀开屏数：（20＋25）的平方=2025 类似的数还有两个： （30＋25）的平方=3025 （98＋01）的平方=9801 与此相类似的还有： （2+4+0+1）的4次方=2401 （5+1+2）的立方=512 （8+1）的平方=81 回归数 英国大数学家哈代（G.H.Hardy,1877-1947）曾经发现过一种有趣的现象: 153=1^3+5^3+3^3 371=3^3+7^3+1^3 370=3^3+7^3+0^3 407=4^3+0^3+7^3他们都是三位数且等于各位数字的三次幂之和,这种巧合不能不令人感到惊讶.更为称奇的是,一位读者看过哈代的有趣发现后,竟然构造出其值等于各位数字四（五,六）次幂之和的四（五,六）位数: 1634=1^4+6^4+3^4+4^4 54748=5^5+4^5+7^5+4^5+8^5 548834=5^6+4^6+8^6+8^6+3^6+4^6注:3位3次幂回归数又称位“水仙花数” 像这种其值等于各位数字的n 次幂之和的n 位数,称为n 位n 次幂回归数.本文只讨论这种回归数,故简称为回归数,人们自然要问:对于什么样的自然数n 有回归数?这样的n 是有限个还是无穷多个?对于已经给定的n ,如果有回归数,那么有多少个回归数? 1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那（Anthony Diluna）巧妙地证明了使n 位数成为回归数的n 只有有限个. 设An 是这样的回归数,即: An=a1a2a3...an=a1^n+a2^n+...+an^n （其中0<=a1,a2,...an<=9）从而10^n-1<=An<=n9^n 即n 必须满足n9^n>10^n-1 也就是（10/9）^n<10n （1） 随着自然数n 的不断增大,（10/9）^n 值的增加越来越快,很快就会使得（1）式不成立,因此,满足（1）的n 不能无限增大,即n 只能取有限多个.进一步的计算表明:（10/9）
数学黑洞作文
对于数学黑洞，无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去了,就像宇宙中的黑洞可以将任何物质（包括运行速度最快的光）牢牢吸住，不使它们逃脱一样。这就对密码的设值破解开辟了一个新的思路。 一、问题提出 这个学期，我在数学课本里知道了数学黑洞，数学黑洞指的是自然数经过某种数学运算之后陷入了一种循环的境况。而且要四个不同的数字，组成一个最大和最小的数，用最大的数减去最小的数所得结果重复上述过程，最多不会超过7步，最后的答案必定是6174。于是我就想2位数到5位数有没有黑洞？ 二、研究思路 研究两位数到五位数里有没有黑洞？ 三、研究过程 我先找来12这两个数字，把他们组成一个最大的数是21，最小的数是12，再把21-12=9，我认为一组数字证明不了数学黑洞，就又找了34这两个数，把它们也组成一个最大的数43，最小的数是34,然后把43-34=9。就这样，我就可以判定两位数的数学黑洞一定是9。 确认两位数后，我又向3位数前进，我找来246这三个数，把他们分别分成一个最大和最小的三位数，先把组成好的642-246=396，再把396组成一个最大的数963，再组成一个最小的数369，然后把963-369=594，接着在重复前面的步骤，发现最后总是得到495，于是又找来了852，把他们组成852和258，在相减，等于594，再重复前面的方法，还是的495。所以我确定三位数的黑洞是495。 我又找来4这五个数字，也把他们组成最大和最小的数：12345和54321，再把它们相减，等于41976，然后把41976组成97641和14679，也相减，等于82962，接着重复前面的步骤，发现还是得到61974；我决定再试一次，我把82465组成一个最大的数86542，组成最小的数24568，再相减，等于61974，再把61974组成97641和14679，相减，等于82962，接着重复前面的步骤，总是得到61974。我知道了五位数的黑洞是61974. 我发现：2、3、5都会有数学黑洞。、 四、研究结论 我发现其实数学是很有趣的，就比如这个数学黑洞，找到了规律后，就会感觉非常有意思。
数字黑洞
安徽省芜湖县大闸中学 近年来，在各级各类数学竞赛或数学考试中屡屡出现一类所谓的“数字黑洞” 问题。这类问题既有趣、又神秘，还很怪异，往往让人琢磨不透.而教辅杂志或 互联网上的相关文章大多数总是惊叹这些“数字黑洞”是如何的奇妙，如何的乖 巧，却对它们的内在奥秘闭口不提.即使是少数专业杂志上给出了严格的证明， 但一般也用到了较高深的数论知识，非普通读者可以轻松阅读.笔者经过仔细研 究，对一些常见于书报的“数字黑洞”得到了一些相对浅显的、变通的证明，目 的是想让更多的读者不光“知其然”，而且“知其所以然”.通过这些简易的证明， 足以让读者承认这些“数字黑洞”的真实存在，并且能够透视出真正操纵它们的 “幕后黑手”.下面，笔者就来给读者朋友们介绍几个著名的“数字黑洞”及其 简易证明. 问题1：（2003年青岛市中考数学试题） 探究数字“黑洞”：“黑洞”原指 非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再 “爬”出来．无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数， 通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个 3的倍数的数，先把这个数的每一个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新 数，然后把这个新数的每一个数位上的数字再立方、求和，…，重复运算下去， 就能得到一个固定的数T ＝ ，我们称它为数字“黑洞”．T 为何具 有如此魔力？通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！ 分析：如果我们先取18，首先我们得到5138133=+，然后是 153315333=++，接下去又是153，于是就陷在“153153?→?F ” （F 代表上述 的变换规则，下同）这个循环中了。 再举个例子，最开始的数取756，我们得到下面的序列： 1535131080792684756F ?→??→??→??→??→?F F F F 这次复杂了一点，但是我们最终还是陷在“153153?→? F ”这个循环中。随便取一个其他的3的倍数的数，对它进行这一系列的变换，或迟或早，你总会掉 到“153153?→? F ”这个“死循环”中，或者说，你总会得到153.于是我们可以猜想“黑洞”T ＝153. 现在要讨论的问题是：是否对于所有的符合条件的自然数 都是如此呢？ 西方把153称作“圣经数”。这个美妙的名称出自圣经《新约全书》约翰福 音第21章.其中写道：耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来.” 西门· 彼得 就去把网拉到岸上.那网网满了大鱼，共一百五十三条；鱼虽这样多，网却没有 破.圣经数这一奇妙的性质是以色列人科恩发现的。英国学者奥皮亚奈，对此作 出了证明.《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨. 以下笔者给出一种中学生可以看得懂的验证方法.具体探究步骤是： 1. 设k x x x n 21=,当5≥k 时，有 ()()() k F x x x F n F k 3219999=≤= ＜k 310
神奇的数字黑洞
神奇的数字黑洞 神奇的数字黑洞 人教版小学数学五年级上册第31页的“你知道吗？”谈到了数字黑洞6174。这个数字黑洞是印度数学家卡普耶卡于1949年发现的。类似的数字黑洞还有许多。黑洞原本是天文学中的概念，表示这样一种天体：它的引力场非常强，任何物质甚至是光，一旦被它吸入就再也休想逃脱出来。数学中借用这个词，正像文中所说的那样，“数学黑洞是指自然数经过某种数学运算之后陷入一种循环的境况。” 下面再介绍几个有趣的数字黑洞。 1、数字黑洞153 任意取一个是3的倍数的数。求出这个数各个数位上数字的立方和，得到一个新数，然后再求出这个新数各个数位上数字的立方和，又得到一个新数，如此重复运算下去，最后一定落入数字黑洞“153”。 如，取63。 63＋33＝216＋27＝243, 23＋43＋33＝8＋64＋27＝99,93＋93＝729＋729＝1458, 13＋43＋53＋83＝1＋64＋125＋512＝702，73＋03＋23＝243＋0＋8＝351, 33＋53＋13＝153, 13
＋53＋33＝153，…… 再如，取219。 23＋13＋93＝8＋1＋729＝738，73＋33＋83＝343＋27＋512＝882，83＋83＋23＝512＋512＋8＝1032，13＋03＋33＋23＝1＋0＋27＋8＝36，33＋63＝27＋216＝243，23＋43＋33＝8＋64＋27＝99，93＋93＝729＋729＝1458，13＋43＋53＋83＝1＋64＋125＋512＝702，73＋03＋23＝343＋0＋8＝351，33＋53＋13＝27＋125＋1＝153，13＋53＋33＝153，…… 数字黑洞153又叫“圣经数”， 这个奇妙的数“153”是一位叫科恩的以色列人发现的。科恩是一位基督徒。一次，他在读圣经《新约全书》的“约翰福音”第21章时，当他读到： 耶稣对他们说：“把刚才打的鱼拿几条来。”西门·彼得就去把网拉到岸上。那网网满了大鱼，共153条；鱼虽这样多，网却没有破。 数感极好的科恩无意中发现153是3的倍数，并且它的各位数字的立方和仍然是153。无比兴奋之余，他又用另外一些3的倍数来做同样的计算，最后的得数也都是153。于是，科恩就把他发现的这个数153称为“圣经数”。后来，英国数学家奥皮亚奈对此做出了证明，《美国数学月刊》对有关问题还进行了深入的探讨。
2016新人教版五年级上册数学《有趣的数字黑洞》评析
《有趣的数字黑洞》评析 《有趣的数字黑洞》是人教版数学五年级上册教材，在学完循环小数和用计算器探索规律后，教材38页有一个补充的数学小知识“你知道吗？——数学黑洞。“数字黑洞”知识非常有趣，在相应练习题中也有出现，觉得有必要让学生进行初步的了解，进而来感受数学的神奇和不可思议。 教学有法，但无定法，贵在得法。本课通过阅读“宇宙黑洞”和“西西弗斯串”的古老传说，带领大家探究数学中的黑洞，主要有3个活动，认识数字黑洞“123”（偶奇总）、四位数黑洞“6174”和三位数黑洞“495”。培养学生养成良好的阅读习惯。 1、认真阅读数学教材，数学教材是数学基础知识的载体，无疑是数学阅读的主要内容。教材的阅读包括以下几点：1.概念、定义、公式的阅读。数学的阅读不像读小说，快速浏览就可知故事梗概，必须要反复咀嚼，准确理解。2.重要句段的阅读。在教学中，对于某一节课内容让学生自学时，采用初读、精读两个步骤，特别是对有些句段的精读显得尤为重要。比如：学生为了验证“123黑洞”的规律，他们会认真去理解每一个计算规则。3.“读一读”、“你知道吗”等阅读材料的阅读。这一部分内容，主要是要开拓学生的视野，拓展学生的知识面，内容一般都生动有趣，有一定的超前性和拓展性。组织学生阅读时可从欣赏的角度去读、从拓展学生的知识面的角度去读。比如：阅读“宇宙黑洞”和“西西弗斯串”的古老传说，既拓宽了学生
的知识面，又生动有趣，能激发学生的探索兴趣，吸引学生去验证“123黑洞”的正确性。不仅可以让学生学习知识、探索规律、锻炼思维，还可以通过数学规律感知无穷的数学美。 2、认真阅读活动要求，活动要求是完成探究任务的必要环节，如果学生不能正确理解活动要求，那么在活动开始时，他们将无从下手。比如：《有趣的数字黑洞》一课，猜想和验证是重点和难点。虽然各组的数字多样，但是通过活动的操作，都会得到同样的结果，所以活动要求的理解很重要。为了让同学们正确理解活动要求，老师先请一位同学读活动要求，从整体入手，理解关键词，再带领大家逐步理解各个步骤。比如：让同学们任意举出四个一位数时，认真理解“这四个数字不能有相同的。”再任选不全相同的四个数字，如：8、7、 3、0，让大家用这四个数字组成最大和最小的四位数。在做差后，试着将差重新组合成最大和最小的数重复做差。如此四次计算后得出6174，在大家透彻理解活动要求后请同学们任选四个数字以小组为单位，试一试。这样虽然前面花了不少时间，但是活动环节各组都能又对又快的得到结果。避免了老师重复多次的介入各组去帮助理解。 通过规律的迁移，学生猜测随意选择一个两位数也可以出现黑洞，在理解了三、四位数黑洞的基础上，两位数的结论就能很快得出。使得规律的一般性得到重视，规律的通用味道很足。 通过对阅读方法的指导，同学们在探究环节即保证了质量，有保证了速度，从效果来看，本节课做到了：一、教学效率高，学生思维活跃，气氛热烈。二、学生受益面大，不同程度的学生在原有基础上
介绍10个有趣的数学游戏
介绍10个有趣的数学游戏 一 数字黑洞6174 任意选一个四位数（数字不能全相同），把所有数字从大到小排列，再把所有数字从小到大排列，用前者减去后者得到一个新的数。重复对新得到的数实行上述操作，7步以内必然会得到6174。 例如，选择四位数6767： 7766-6677=1089 9810-0189=9621 9621-1269=8352 8532-2358=6174 7641-1467=6174 …… 6174这个“黑洞”就叫做Kaprekar常数。对于三位数，也有一个数字黑洞——495。 二 3x+1问题 从任意一个正整数开始，重复对其实行下面的操作：如果这个数是偶数，把它除以2；如果这个数是奇数，则把它扩大到原来的3倍后再加1。你会发现，序列最终总会变成4,2,1,4,2,1,…的循环。 例如，所选的数是67，根据上面的规则能够依次得到：
67,202,101,304,152,76,38,19,58,29,88,44,22,11,34,17, 52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,... 数学家们试了很多数，没有一个能逃脱“421陷阱”。但是，是否对于所有的数，序列最终总会变成4,2,1循环呢？ 这个问题能够说是一个“坑”——乍看之下，问题非常简单，突破口很多，于是数学家们纷纷往里面跳；殊不知进去容易出去难，很多数学家到死都没把这个问题搞出来。已经中招的数学家不计其数，这能够从3x+1问题的各种别名看出来：3x+1问题又叫Collatz猜想、Syracuse问题、Kakutani问题、Hasse算法、Ulam问题等等。后来，因为命名争议太大，干脆让谁都不沾光，直接叫做3x+1问题算了。 直到现在，数学家们仍然没有证明，这个规律对于所有的数都成立。 三 特殊两位数乘法的速算 如果两个两位数的十位相同，个位数相加为10，那么你能够立即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作AB和AC，那么它们的乘积的前两位就是A和A+1的乘积，后两位就是B和C的乘积。 比如，47和43的十位数相同，个位数之和为10，因而它们乘积的前两位就是4×(4+1)=20，后两位就是7×3=21。也就是说， 47×43=2021。 类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。 这个速算方法背后的原因是，(10x+y)(10x+(10- y))=100x(x+1)+y(10-y)对任意x和y都成立。 四 幻方中的幻“方”