3.2均值不等式
数学：3.2《均值不等式》课件(1)(新人教B版必修5)
课后练习： 课本P71 练习A
P72 练习B
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
（2）求y的最值.
解答
解：设污水处理池的长为 x m, 总造价为y元，则
y=400·(2x+200/x×2)+248·(2×200/x)+80×200
=800x+259200/x+16000.
≥
2
800 x 259200 x
16000
当且仅当800x=259200/x, 即x=18时，取等号。
答：池长18m，宽100/9 m时， 造价最低为30400元。
练习：
1、若x 3,函数y x 1 ,当x为何值时， 函数有最值，并求其最值。x 3
2、求证：在直径为d的圆的内接矩形中，面积最大的是 正方形，这个正方形的面积等于 d 2 . 2
a2 b2 2ab(a,b R)
3.2均值不等式
1.预备定理：若a,b∈R,则a2 + b2 ≥2ab （当且仅当a = b时，等号成立）
2.平均值定理：若a, b∈R+, 则 a + b ≥ ab 2
（当且仅当a = b时，等号成立）
3. 注意：两个不等式的适用范围不同;
问题：a > 0,当a取什么值，a + 1 的值 a
3.2均值不等式(2)基础
b a a b
b a b a 2 2 a b a b
当且仅当
b a 时，取 " " a b
即 a b 时，取 " "
1 1 变式 6 ：已知 a, b R ， a b 1 ，求 的最小值. a b
分析：
1 1 1 ”替换“ a b" 常数 ， 用“ a b
1 1 ab ab a b a b b a 1 1 a b
1 1 ab ab a b a b 解：法 1： b a 1 1 a b
b a 当且仅当 时，取 " " a b
b a 1 即 a b 时， y 的最小值为 4. a b 2
4 ( x) ( ) 4为常数 x
4 4 ( x) ( ) 2 ( x) ( ) 4 行吗？ x x
解： x 0, 0
4 x 4 2 (x ) x y 2 x
4 x
4 x 4 2 (x ) x y 2 x
分析： x
1 常数 , 凑配成常数 x2
解： x 2
x 2 0, 4 0 x2
当且仅当 x ( x 2) 2 x2 x2
4 2 42 2 x2
取 " " ,即 x 0 时， ymin 2
变式 7 ：已知 a, b R ， a 2b 1 ，求 的最小值.
解：法 1:
1 1 a 2b a 2b a b a b 2b a 1 2 a b
1 1 a b
法 2 ： a, b R ， a 2b 1 ，
1 1 1 2 a b ab
3.2号均值不等式(第二课时)
3.2均值不等式（2）一、教材分析：1、内容与地位：本节课选自人教B版高中数学必修五第三章3.2节（第二课时），主要内容是用均值不等式求函数最大、最小值．均值不等式是第三章“不等式”的重要内容，它起着承上启下的作用，学生在初中学习了不等式的概念以及简单的不等式的解法，对不等式有了感性的认识，通过均值定理的学习，学生对不等式的性质产生了理性的认识，并将初步了解证明不等式的方法，为后续学习《选修2-2》中的推理证明、《选修4-5》不等式选讲时得到加强.2、教学目标知识与技能：理解均值不等式；能用均值不等式解决简单的函数最大、最小值问题；理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件；过程与方法：通过典型例题的探究增强探索能力及创新精神；通过一题多解与一题多变提高学生发散思维能力；渗透转化化归的数学思想．情感与价值观：培养探究能力以及分析问题、解决问题的能力；体现数学知识的相关性、严谨性、逻辑性．由均值不等式体会数学知识的简洁美与和诣美．3、重点与难点重点：应用均值不等式求函数最值；难点：理解使用均值不等式求函数最值时应满足的三个条件．二、教法与学法教法：本课采用讲授法与启发式相结合的教学方法，运用变式教学，使学生感受知识的产生和发展过程，体会知识之间的联系与区别．学法：选取合适习题，让学生自主探究，变被动接受知识为主动探索知识．手段：多媒体演示教学．三、教学过程（一）复习回顾在进行习题课教学前首先回顾均值不等式的内容，即： 如果，那么，当且仅当时，式中等号成立．文字表述：两个正实数的算术平均值不小于它们的几何平均值．均值不等式的其它等价形式：重要不等式：ab b a 222≥+(当且仅当b a =时，取""=）变形： (1) ab b a 2≥+ (2)2b a ab +≤(3)2)2(b a ab +≤ 设计意图：通过对公式的复习使学生对习题课做好知识上的准备，能达到对公式的灵活运用．(二)利用均值不等式求最小值、最大值 例1 已知0x >，求1y x x=+的最小值. 师生双边活动： 解：01,0>>x x 2121=∙≥+=xx x x y 当且仅当x x 1=时，取""= 即1=x 时，2min =y .学生在第一堂课会接触到均值不等式的证明以及在实际应用问题中的应用，而通过例1可让学生在上一节课的基础上，进一步感受均值不等式的另一个重要作用，即求函数的值域和最值问题，但由于用均值不等式求最值有严格的条件限制，为了完善学生的思维，设计变式如下：变式1：已知0<x ，求xx y 1+=的最大值. 师生双边活动： 分析：11=∙xx能直接2121=∙≥+=xx x x y 这么做吗？ 解：0<x 01,0>->-∴x x )1(1x x xx y ---=+=2)1()(2)1()(=-∙-≥-+-xx x x 2-≤∴y . 当且仅当xx 1-=-时，取""= 即1-=x 时，2max -=y .设计意图：突出均值不等式成立的等一个要素，即“正”：两项必须为正．为了让学生进一步理解“正”这个条件，进一步设计变式如下：变式2:求函数)0(42>--=x xx y 的最大值，以及此时x 的值. 师生双边活动： 分析：求函数)0(42>--=x xx y 的最大值，先求x x 4--的最大值 为常数4)4()(=-∙-xx 4)4()(2)4()(=-∙-≥-+-xx x x 行吗？ 解：04,0>>x x )4(242x x x x y +-=--= 4424=∙≥+xx x x∴)4(242x x x x y +-=--= 242-=-≤ 当且仅当xx 4=时，取""=，即2=x 时，2max -=y . 设计意图：转化结构使其具备使用均值不等式的条件：两项为“正”.变式3: 当2->x 时，探求函数24++=x x y 的最小值. 师生双边活动：分析：,21常数≠+∙x x 凑配成常数 ∴24++=x x y =224)2(-+++x x 形式 解：2->x024,02>+>+∴x x24++=x x y =224)2(-+++x x 224224)2(2=-=-+∙+≥x x 当且仅当242+=+x x 时，取""=,即0=x 时，2min =y设计意图：转化结构使其具备使用均值不等式的条件：两个正项的积为“常数”.变式4: 若210<<x ，求)21(x x y -=的最大值. 师生双边活动：分析：除了应用配方法求其最大值外，你会用均值不等式求其最大值吗？师生双边活动：常数≠-+)21(x x ，常数=-+)21(2x x)21(221)21(x x x x y -∙=-=∴凑配 解：021,02210>->∴<<x x x)21(221)21(x x x x y -∙=-=∴ 81)2212(212=-+∙≤x x 当且仅当x x 212-=时，取""=,即41=x 时，81max =y .设计意图：让转化结构使其具备使用均值不等式的条件：两个正项的和为“常数”.这一方法蕴含凑配的思想.变式5: b a ,同号，求ba ab y +=的最小值. 师生双边活动：解： b a ,同号，22=∙≥+∴ba ab b a a b 当且仅当b a a b =时，取""=,即b a =时，b a a b y +=的最小值是2.设计意图：上节课学生证过课本70页例1：0>ab ，求证2≥+ba ab ，这道题以变式的方式出现，除了让学生体会利用均值求最值要满足的条件：“正、定、等”外，主要为以下的变式打下基础.变式6：已知+∈R b a ,，1=+b a ，求ba 11+的最小值. 师生双边活动：分析：常数≠∙b a 11，”替换“用“1"b a + 1111+++=+++=+ba ab b b a a b a b a 解：法1：1111+++=+++=+ba ab b b a a b a b a 422=+∙≥ba ab 当且仅当ba ab =时，取""=即21==b a 时，b a a b y +=的最小值为4. 法2：ba 11+ab 12≥ 当且仅当b a 11=时，取""=,即21==b a去求ab 最大值41)2(2=+≤∴b a ab ba 11+ab 12≥=442= 当且仅当21==b a 时，b a a b y +=的最小值为4. 设计意图：解法一通过”替换“用“1"b a +变形“配凑”得出积是定值,为应用均值不等式创造条件.解法二两次应用均值不等式时，等号成立的条件一样.所以解法是正确的.变式7：已知+∈R b a ,，12=+b a ，求ba 11+的最小值. 解：法1:2212211+++=+++=+ba ab b b a a b a ba 322322+=+∙≥ba ab 当且仅当b a a b =2时，取""=,即221,12-=-=b a 时，322min +=y 法2：+∈R b a ,，12=+b a ，ba 11+ab 12≥ 当且仅当b a 11=时，取""=,即b a ==31， 去求ab 最大值41)22(22=+≤∴b a ab81≤∴ab ba 11+ab 12≥=2482= 当且仅当b a 2=时，取""=即41,21==b a ， 此时，这种解法是错误的.设计意图：解法一会继续踢通过”替换“用“1"b a +变形“配凑”得出积是定值,为应用均值不等式创造条解法二两次均值不等式应用时，等号成立的条件不一样.第一个等号成立时要求31==b a ，第二个等号成立时要求41,21==b a ，所以这时解法二是错误的.通过变式6和变式7均值不等式的第三个要素，即“相等”：在多次使用均值不等式时应该注意等号取得的条件是否一致，若不一致也不能求出最值．（三）课堂小结1.利用均值不等式要满足的条件：正（这个条件容易获得）、定（求最值得关键点）、等（这个条件容易确定，但也容易忽略）.2.利用均值不等式求最小值、最大值的关键是要先凑配成和为常数或积为常数的形式.设计意图：在学生探究问题的过程中，一道题是一个点，一类题可以串成一条线，迁移变换则能形成面，在学生解决习题后，不能仅仅停留在完成任务的层面上，引导学生进行总结反思，归纳通性通法，由一道题或几道题掌握一类问题的解决方法，在此基础上进行一题多解与一题多变，在学生已掌握知识的基础上，将学生的知识体系整合成网络，正是力求以点生线，以线成面，真正达到思维上的升华．。
均值不等式
的最小值．
变式： 判断以下命题是否正确 4 4 (1)因为y x 2 x 4, 所以ymin 4. x x
8 8 2 (2)设x R , 则y x 中, 当x , x 2时, ymin 8; x x
2
9 3 若0 x ,则y sinx 2 9 6, sinx 所以函数的最小值是 . 6
8 错。因为x 2 不是定值 x
9 3 若0 x ,则y sinx 2 9 6, sinx 所以函数的最小值是 . 6
9 错。因为 sin x sin x
例2、若正数x, y满足x y 18, 求xy的最大值。
1 （2）已知0 x , 求函数 y x1 3x 的最大值。 3
作业： 1.已知x>0, y>0, xy=24, 求4x+6y的最小值， 并说明此时x,y的值． 2 已知a+b=4,求y=2a+2b的最小值．
2 3.已知x<0，求函数 f ( x) x 的最大值. x
1 1 4 已知x>0,y>0,且x+2y=1,求 u x y
两个正数的积为定值，和有最小值。
a b 2 ab (a 0, b 0)
ab ab (a 0, b 0) 基本不等式： 2 运用基本不等式求最值时应满足的条件：
a 一正： 0, b 0; a （或 二定： b为定值 a+b为定值）;
当且仅当a=b时，等号成立. 三相等：
两个正数的和为定值，积有最大Hale Waihona Puke 。ab ab 2
2
练 习
1、已知 2 x 3 y 2( x 0, y 0) 则x y 的 1 1 1 最大值是 6 ，此时x= 2 ,y= 3
均值不等式教学设计
3.2均值不等式教学目标（一）知识与技能：明确均值不等式及其使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题. （二）过程与方法：通过对问题主动探究,实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程. （三）情感态度与价值观：通过问题的解决以及自身的探索研究领略获取新知的喜悦.教学重点：均值不等式的推导与证明，均值不等式的应用.教学难点：均值不等式的应用教学过程讨论 :(1)CD OC(2)文字叙述（几何意义）：(3)试用含a、b的表达式来表示上述关系注意：（1）当时，(2)a、b的取值范围探求新知：均值不等式的内容及证明均值定理：证明：（比较作差法）变形应用：（1）（2）讨论释疑：牛刀小试：=+xxx1,0则已知例1、已知0ab，求证：2≥+baab并推导出式中等号成立的条件例2、求函数)0(32)(2xxxxxf+-=的最值，以及此时x的值精炼巩固：点拨提高：总结本节课的你的收获。
值为有最则满足已知正数abbaba,1,.2=+的值此时的最小值为则函数设ttttft414)(,0.12+-=>课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知课堂小测：4)1)(1(,.3≥++∈+bb a a R b a 求证：、已知。
值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。
值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。
值为有最则满足已知正数b a b a b a 11,1,.1+=⋅的值此时的最小值为则函数设x x x x f x 32)3()(,3.2-+-=>。
学案3.2均值不等式答案
学案3.2均值不等式基础梳理知识点一． ab ≤a ＋b2问题1:均值不等式成立的条件： a ＞0，b ＞0.问题2:等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．问题3: a ＋b2ab 两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数．问题4: (1) 2ab (2) 2 (3) ⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(4)≥【小试身手】1. 【解析】 方法一：令a ＝4，b ＝1，则2ab a ＋b ＝85，a ＋b 2＝52，ab ＝2，∴a ＋b 2>ab >2ab a ＋b.方法二：∵a ＋b 2>ab ，∴2a ＋b <1ab ，∴2aba ＋b<ab ，选C.【答案】 C2. C[解析] A 中没有强调x ＞0不能直接运用基本不等式，故不对．B 中虽然x ∈(0，π)，sin x ＞0，但运用基本不等式后，等号成立的条件是sin x ＝4sin x即sin x ＝±2矛盾，所以等号取不到，故不对．C 中3x ＞0，∴可直接运用基本不等式3x ＋4·3－x ≥24＝4，当且仅当3x ＝43x ，即3x ＝2，x＝log 32时取等号，故正确．D 中由于没有给出x 的范围，所以lg x 不一定大于0，故不对．知识点二．利用基本不等式求最值问题(1) x ＝y 最小值是2p . (2)x ＝y 最大值是p 24【小试身手】3.解析 ∵x ＞0，∴y ＝x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时取等号．答案 C4.解析 ∵t ＞0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥2－4＝－2，当且仅当t ＝1时取等号．答案 －25．解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时“＝”成立．答案： B6．20[解析] 设一年总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1 600x＋4x ≥160，当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时取等号，所以当x ＝20t 时，一年的总费用最小．考向一 利用基本不等式求最值【例1】(1)分析:此题为条件最值，考虑从条件能否得到xy 的不等式，或能否转化为只含x 或只含y 的函数式，或“1”的代换．[解析] 解法1：2x ＋3y ＝1≥26xy ⇒xy ≥26⇒xy ≥24，当且仅当2x ＝3y ＝12，即x ＝4，y ＝6时不等式取得等号．解法2：整体代换法xy ＝xy ⎝⎛⎭⎫2x ＋3y ＝2y ＋3x ≥26xy ⇒xy ≥26， 即xy ≥24.当且仅当2y ＝3x ， 即x ＝4，y ＝6时不等式取得等号． 解法3：三角换元法令2x ＝sin 2α，3y ＝cos 2α，α∈(0，π2)，故xy ＝6sin 2αcos 2α＝24sin 22α≥24，当且仅当sin 22α＝1⇒α＝π4，即x ＝4，y ＝6时不等式取得等号． 解法4：∵3y ＝1－2x ＝x －2x ∴y ＝3x x －2，∵x ＞0，y ＞0，即3xx －2＞0，∴x ＞2，∴xy ＝3x 2x －2＝3(x －2)2＋4(x －2)＋4x －2＝3⎣⎡⎦⎤(x －2)＋4x －2＋4≥3⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －2)·4x －2＋4＝24.当且仅当x －2＝2，即x ＝4时成立．∴x ＝4，y ＝6时，xy 取最小值24. (2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．答案 (1)3＋22 (2)1用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值，不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最值时都必须要验证等号是否成立．【训练1】(1)C [解析] 该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题．f (x )＝x ＋1x －2(x >2)＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4.当且仅当x －2＝1x －2，即(x －2)2＝1，∵x >2，∴x －2>0，∴x －2＝1，即a ＝3. (2)2[解析] ∵x >0，y >0，∴x ＋4y ＝40≥24xy ，∴xy ≤100.lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg100＝2.当且仅当x ＝4y ＝20，即x ＝20，y ＝5时，等号成立．(3) (文)[分析] 注意1的代换与使用，也可以三角换元．注意运用基本不等式时等号成立的条件．[解析] ∵x 、y ∈R ＋，x ＋2y ＝1，∴1x ＋1y ＝x ＋2y x ＋x ＋2y y ＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22y x ·x y ＝3＋2 2.等号在2y x ＝x y 且x ＋2y ＝1即y ＝1－22，x ＝2－1时成立．[点评] 本题常有以下错误解法：∵1＝x ＋2y ≥22xy ，∴1xy≥22， ∴1x ＋1y ≥21xy ≥4 2.错误的原因在两次运用基本不等式的时候取等号的条件矛盾．(第一次须x ＝2y ，第二次须x ＝y )．(理)[分析] 可消去一个变量，将x ＋y 用一个变量表示，再配凑出能运用基本不等式的条件． [解析] 由2x ＋8y －xy ＝0得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2xx －8.u ＝x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16(x －8)＋10＝18.等号在x －8＝16x －8即x ＝12，y ＝6时成立． 考向二 利用基本不等式证明不等式【例2】 [审题视点] 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．证明 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·cab＝2c ；bc a ＋ab c ≥2 bc a ·ab c ＝2b ；ca b ＋ab c ≥2 ca b ·ab c＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．【训练2】[解析] 方法一 因为a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1.所以1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba.同理1＋1b ＝2＋ab .所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9. 所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab ＝1＋2ab ， 因为a ，b 为正数，a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，于是1ab ≥4，2ab ≥8，因此⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋8＝9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 考向三 利用基本不等式解决恒成立问题【例3】 [审题视点] 先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得xx 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要xx 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a 即可．解析 若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞ 答案 ⎣⎡⎭⎫15，＋∞当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．【训练3】解析 由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10考向四 利用基本不等式解实际问题【例4】 [审题视点] 用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x ≤5；函数取最小值时的x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x×400)＋5 800＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800(0＜x ≤5)， 则y ＝900⎝⎛⎭⎫x ＋16x ＋5 800≥900×2x ×16x ＋5 800＝13 000(元)， 当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．【训练4】 解 (1)第n 次投入后，产量为(10＋n )万件，销售价格为100元，固定成本为80n ＋1元，科技成本投入为100n 万元．所以，年利润为f (n )＝(10＋n )⎝⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n (n ∈N *)． (2)由(1)知f (n )＝(10＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫100－80n ＋1－100n ＝1 000－80⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1＋9n ＋1≤520(万元)． 当且仅当n ＋1＝9n ＋1，即n ＝8时，利润最高，最高利润为520万元．以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元．。
3.2均值不等式(2)
3.2均值不等式
（第二课时）
教学目标：
利用均值定理求极值.
教学重点：
利用均值定理求极值
教学过程
1、复习：
定理：如果a,b 是正数，那么).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b a 2、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键
3、例子：
1)已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2+
281x 的值最小，最小值是多少？ 2）已知x>1,求y=x+1
1-x 的最小值 3）已知x ∈R ，求y=12
22++x x 的最小值
4）已知x>1,求y=x+x 1+1
162+x x 的最小值 5）已知0<x<1,函数y=x （3-3x ）当x 为多少时y 取得最大值，最大值为多少？
6）求y=x 21x -的最大值
7）求)1(2
x x y -=的最值
8）要建一个底面积为12m 2，深为3m 的长方体无盖水池，如果底面造价每平方米600元，侧面造价每平方米400元，问怎样设计使总造价最低，最低总造价是多少元？
9）一段长为Lm 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
小结：利用均值定理求极值
课堂练习：第77页练习A 、B
课后作业：第78页习题3-2A:3.4.5.6。
数学：3.2《均值不等式》课件(2)(新人教B版必修5)
基础知识
1.
均值定理： 如果 a,b R ，那么
ab 2
ab
当且仅当 a b 时，式中等号成立
即两个正实数的算术平均值大于或等 于它的几何平均值
2. 均值定理的几何意义：
若a 0,b 0, 那么 ab a b 2
（当且仅当a=b时，取“=”号）
几何解释： 半径不小于半弦 A
的最小值。
2.试判断 (1 x1)(1 x2 ) 与 4 x1x2 ;(x1 0, x2 0) 的大小关系？并说明什么时候取到等 号？
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
a2 b2 c2 ab bc ca
课堂小结
知识要点： （1）重要不等式和基本不等式的条件及结构 特征 （2）基本不等式在几何、代数及实际应用三 方面的意义
思想方法技巧： （1）数形结合思想、“整体与局部” （2）配凑等技巧
课后作业
1.已知
a
0
，求函数y
x2 a 1 x2 a
2
基础训练
3．试判断
x
4
3
x(x
3)
与
7的
大小关系？
解： x 3, x 3 0
4 x 4 (x 3) 3 x3 x3
2 4 (x 3) 3 2 2 3 7 x3
基础训练
4. 求函数的值域：
(1)f (x ) (2)f (x )
x x2
1
x
2
x 2 1
3.2 《均值不等式》 基础练习题
3.2 《均值不等式》 同步练习题1．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，在下列四个数中最大的是( )．A.12B ．bC ．2abD ．a 2＋b 2 2．下列各式中最小值是2的是( )．A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4 C ．tan x ＋cot x D ．2x ＋2－x 3．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )．A ．最大值52B ．最小值54 C ．最大值1 D ．最小值14．已知正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为 . 5．如果x >0，则y ＝2－x －16x的最大值为 . 6．若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b 2)，则( )．A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q 7．已知a 、b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1.那么下列不等式：①ab ≤14；②ab ＋1ab ≥174；③a ＋b ≤2；④1a ＋12b ≥2 2.其中正确的序号是_________8. 设x ，y ∈R ＋且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值．9．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为10. 某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?【3.2 答案】1. 解析 a 2＋b 2>2ab ，且 a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12∴b －(a 2＋b 2)＝b －b 2－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a ) 0<a <b ，∴a (b －a )>0即b >a 2＋b 2 答案 B2. 解析 A 中当x ，y 同号且非零时，最小值为2，x ，y 异号时，x y ＋yx <0，B 中x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4，但x 2＋4＝1x 2＋4无解，故取不到最小值2.C 中当tan x <0时不成立． 答案 D3. 解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12[(x －2)＋1x －2]≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．答案 D4. 解析 ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，即(ab )2－2ab －3≥0， ∴(ab ＋1)(ab －3)≥0，∵ab ＋1>0，∴ab ≥3.即ab ≥9. 答案 [9，＋∞)5. 解析 ∵x >0，∴y ＝2－(x ＋16x )≤2－2x ·16x＝－6，当且仅当x ＝4时成立． 答案 －6 6. 解析lg a ·lg b <12(lg a ＋lg b )即P <Q ，又Q ＝12lg ab ＝lg ab ，R ＝lg a ＋b 2，∵a >b >1，∴ab <a ＋b2，∴Q <R .答案 B7. 解析 1＝a ＋b ≥2ab ；∴ab ≤14，①对．设ab ＝t ，则0<t ≤14.由y ＝t ＋1t 在(0,1)上是减函数知当0<t ≤14时，y ≥14＋114＝174，②对． ∵(a ＋b )2－(2)2＝a ＋b ＋2ab －2＝2ab －1≤2·14－1＝0. ∴a ＋b ≤2，③对．∵a ＋b ＝1，∴1a ＋12b ＝(1a ＋12b )(a ＋b )＝1＋b a ＋a 2b ＋12≥32＋2b a ＋a 2b ＝32＋2≠22， 故④错． 答案 ①②③8. 解 法一 ∵x >0，y >0,2x ＋8y －xy ＝0，∴2x ＋8y ＝xy .∴8x ＋2y ＝1.∴x ＋y ＝(x ＋y )·(8x ＋2y )＝10＋8y x ＋2xy≥10＋28y x ·2xy＝18.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8y x ＝2x y 2x ＋8y ＝xy即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y2x ＋8y ＝xy 得x ＝12，y ＝6时等号成立∴x ＋y 的最小值为18. 法二 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8，u ＝x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋2x －16＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴x ＋y 的最小值为18.9. 解析 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A (－2，－1)，代入直线方程mx ＋ny ＋1＝0，得(－2)·m ＋(－1)·n ＋1＝0，即2m ＋n ＝1，又mn >0，所以m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝(1m ＋2n )·(2m ＋n )＝4＋n m ＋4m n ≥4＋2n m ·4m n ＝8.当且仅当n m ＝4m n，且2m ＋n ＝1，即n ＝12，m ＝14时，等号成立． 答案 810. 解 设使用x 年的年平均费用为y 万元． 由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x .即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N *)．由均值不等式知y ≥1＋210x ·x10＝3， 当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元．。
数学：3.2《均值不等式》课件(3)(新人教B版必修5)
a b 2 ab 2 p
（当且仅当a=b时取等号）
a b min 2 p
（2）若a+b=S(a,b∈R+,则
ab a b 2 s2
（当且仅当a=b时取等号 ）2 4
abmax
s2 4
基础训练
1.设x+3y－2=0，则函数z=3x+27y+3的最小值是
a 1
ab a2 3a a 12 5 a 1 4
a 1
a 1
a
1
a
4 1
5
2
a
1
a
4
1
5
9
ab≥9
(5).某商场预计全年分批购入每台价值为 2000元的电视机共3600台，每批都购入x 台 (x∈N*)且每批需付运费400元，储存 购入的电视机全年所付保管费与每批购入
电视机的总价值（不含运费）成正比，若 每批购入400台，则全年需用去运费和保 管费43600元，现在全年只有24000元资金 可以用于支付这笔费用，请问能否恰当按 排每批进货的数量，使资金够用？
解：设每批购入电视机x台，全年费用为y
元，保管费与每批电视机总价值的比例系
数为k，则
y
3600 x
400
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
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在（2）中，矩形的长与宽的和的2倍是一个 常数，求长与宽的乘积的最大值。
解：（1）设矩形的长、宽分别为x(m)， y(m)，依题意有xy=100(m2)，
x y ≥ xy 因为x>0，y>0，所以， 2
因此，即2(x+y)≥40。
当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=10。 因此，当这个矩形的长与宽都是10m时， 它的周长最短，最短周长是40m.
本题常见的误解为：∵x>0，y>0，x＋y＝1≥2 xy， 1 1 3 4 12 ∴xy≤ .∴xy≥4.x＋ y ≥2 xy ≥2 48＝8 3，此法错 4 3 4 误的原因是没有考虑等号成立的条件， x＝ y 和 x＝ y 同时成立是不可能的．所以在不等式连续放缩的 时候，要时刻注意是否在同一条件下进行放缩， 放缩时还要注意有目的性、同向性，不要出现放 缩后不能比较大小的情况．
（4）连接AC，BC，CA，则
ab OC 2
CD ab
当a≠b时，OC>CD，即 当a=b时，OC=CD，即
ab ab 2
A
ab ab 2 C
a+b 2 ab
aO
DbBຫໍສະໝຸດ b a 例1．已知ab>0，求证： ≥ 2 ，并 a b 推导出式中等号成立的条件。
b a 证明：因为ab>0，所以 0, 0 ， a b
注意：1．适用的范围：a, b 为正实数. 2．语言表述：两个正实数的算术平
均数大于或等于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a>0,b>0) 2
称为基本不等式
几何直观解释： 令正数a，b为两条线段的长，用几何作
ab 图的方法，作出长度为 和 2
ab
的两条线段，然后比较这两条线段的长。 具体作图如下： （1）作线段AB=a+b，使AD=a，DB=b, （2）以AB为直径作半圆O； （3）过D点作CD⊥AB于D，交半圆于点C
规律：
两个正数的积为常数时，它们的和有 最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有 最大值。
2 x 2 x 3 例3．求函数 f ( x) ( x 0) x
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
用均值不等式求最值,必须注意 “相等” 的条 件. 如果取等的条件不成立,则不能取到该最值.
ab 应用 ab (a, b R ) 求最值时, 2 注意验证：一正 、二定 、三相等
常用的几个重要不等式 2ab (a，b∈R)； (1)a2＋b2≥______ a＋ b 2 ≤ ( (2)ab___ ) (a，b∈R)； 2 2 2 a ＋ b ≥ a＋ b 2 (3) ___ ( ) (a，b∈R)； 2 2 b a (4) ＋ ≥__ (a，b 同号且不为零)． 2 a b
3 2 2 2 9
1 当且仅当 a b c 时，取“ ” 3
4 4 4 4 证明：a ＋b ＋c ＋d ≥4abcd.
【证明】 a4＋b4＋c4＋ d4≥2a2b2＋2c2d2 ＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd. 故原不等式得证，等号成立的 2 2 条件是a ＝b ， 且c2＝d2，ab＝cd.
定理： 如果a，b∈R， 那么a2+b2≥2ab
（当且仅当a=b 时取“=”） 证明： a 2 b 2 2ab (a b) 2
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
运用均值不等式的过程中，忽略了“正数” 这个条件．
3 ( x 2) ， ２．已知函数 f ( x) x x2 求函数的最小值．
用均值不等式求最值，必须满足“定值”这 个条件．
4 3 求函数y sin 其中 （0， ] sin 2 的最小值。 4 4 解：y sin 2 sin sin sin 4,函数的最小值为4。
(2)显然 a≠2，当 a>2 时，a－2>0， 4 4 ∴ ＋a＝ ＋(a－2)＋2 a－2 a－2 4 ≥2 · a－2＋2＝6， a－2 4 当且仅当 ＝a－2，即 a＝4 时取等号， a－ 2 当 a<2 时，a－2<0， 4 4 4 ∴ ＋ a＝ ＋ (a－ 2)＋ 2＝－ [ ＋ (2－ a)]＋ 2≤ a－2 a－2 2－a 4 －2 · 2－a＋2＝－2， 2－a
根据均值不等式得
b a 当且仅当 时，即a2=b2时式中等号 a b 成立，
b a b a ≥2 2 a b a b
b a 即 ≥2 a b
因为ab>0，即a，b同号，所以式中等号成 立的条件是a=b.
例2．（1）一个矩形的面积为100m2，问 这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周 长最短？最短周长是多少？ （2）已知矩形的周长是36m，问这个矩 形的长、宽各为多少时，矩形的面积最大？ 最大面积是多少？ 分析：在（1）中，矩形的长与宽的乘积是 一个常数，求长与宽的和的2倍的最小值；
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
由于x>0，所以
6 x 2
，式中等号成立，
6 ，此时 x 2
因此 f ( x)max 1 2 6
。
下面几道题的解答可能有错，如果错了， 那么错在哪里？ 1 １．已知函数 f ( x) x ，求函数的 x 最小值和此时x的取值．
例2 (1)设 0<x<2，求函数 y＝ x4－2x的最大
值； 4 (2)求 ＋a 的取值范围； a－ 2 3 4 (3)已知 x>0， y>0， 且 x＋y＝1， 求x＋ y的最小值．
【思路分析】 消元转化 → 构造和或积为定值 →
利用均值不等式求最值 → 确定取得最值的条件
【解】 (1)∵0<x<2，∴2－x>0， ∴y＝ x4－2x＝ 2· x2－x x＋2－x ≤ 2· ＝ 2， 2 当且仅当 x＝2－x 即 x＝1 时取等号， ∴当 x＝1 时，函数 y＝ x4－2x的最大值是 2.
4 当且仅当 ＝2－a，即 a＝0 时取等号， 2－a 4 ∴ ＋a 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞)． a－2 (3)∵x>0，y>0，且 x＋y＝1， 3 4 3 4 ∴x＋y ＝(x＋y )(x＋y) 3y 4x 3y 4x ＝7＋ x ＋ y ≥7＋2 x· y ＝7＋4 3， 3y 4x 当且仅当 x ＝ y ，即 2x＝ 3y 时等号成立， 3 4 ∴x＋y 的最小值为 7＋4 3.
考点探究·挑战高考
利用均值不等式证明不等式
利用均值不等式证明不等式，先观察 题目条件是否满足均值不等式的应用 环境，若不满足，则应通过添项、拆 项、配系数等方法，使其满足应用条 件，再结合不等式的基本性质，达到 证明的目的．
证明不等式
已知a, b, c R , 且a b c 1 ， 1 1 1 求证： 9 a b c 1 1 1 1 1 1 解 ： ( )(a b c ) a b c a b c b a c b c a 3( )( )( ) a b b c a c
a, b R
ab
均值定理： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号成立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
互动探究 把本例(3)中的条件改为 x>0，y>0 3 4 且x＋ y ＝1，求 x＋y 的最小值．
3 4 解：∵x>0，y>0 且x＋ y ＝1， 3 4 4x 3y ∴x＋y＝(x＋y)(x＋ y )＝3＋ y ＋ x ＋4 4x 3y ≥7＋2· y · x ＝7＋4 3， 4x 3y 当且仅当 y ＝ x ，即 2x＝ 3y 时取等号， ∴x＋y 的最小值为 7＋4 3.
【误区警示】 (1)对于第(2)小题中变形为 a－ 4 2＋ ＋2 后，易忽视了 a－2 的符号不定， a－ 2 从而得原式≥6 这样的错误结论， 同时当 a－2<0 时要注意变号． (2)第(3)小题要求根据条件求最值， 如何合理利 用条件 x＋y＝1 是解答本题的关键，方法是在 式子上乘以(x＋y)．利用均值不等式求最值时， 要注意三个条件， 即： “一正、 二定、 三相等”，
利用均值不等式求最值
利用均值不等式求最值时，要注意其必 须满足的三个条件：一正二定三相 等．“一正”就是各项必须为正 数．“二定”就是要求和的最小值，必 须把构成和的二项之积转化成定值；要 求积的最大值，则必须把构成积的因式 的和转化成定值．“三相等”是利用基 本定理求最值时，必须验证等号成立这 一条件，若不能取等号则这个定值就不 是所求的最值，这是最容易发生错误的