高考导数热点题型例析

利用导数求函数的单调性、极值、最值和切线的方程，导数方法比传统方法具有明显优势，又由于导数及其应用是目前中学数学与高等数学的一个衔接点，在高等数学中导数是研究函数性质的一个极为重要的工具，因而在高考数学试卷中，对导数相关知识的考查占据了非常重要的地位，现对导数的热点题型进行归纳，希望对学生的学习能有所帮助。

题型一导数的几何意义的应用常见的类型有两种：

一是函数)(x f y =“在点0x x =处的切线方程”，这种类型中))(,(00x f x 是曲线上的点，并且是切点，其切线方程为))((')(000x x x f x f y -=-

二是函数)(x f y =“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q （11,y x ），则切线方程为))(('111x x x f y y -=-，再由切线过点P （00,y x ）得

))(('10110x x x f y y -=-，又)(11x f y =，由上面两个方程可解得11,y x 的值，即求出了过

点P （00,y x ）的切线方程。

【例1】(2009高考宁夏卷)曲线y ＝x e x ＋2x ＋1在．点(0,1)处的切线方程为________．【解】：∵2'+?+=x

e x e y ，∴y ′|

x ＝0

＝3，∴切线方程为)0(31-=-x y ，即

13+=x y

【例2】已知曲线3

313+=

x y ，则过．点P （2，4）的切线方程是________. 【解】：设切点坐标为),(00y x ，∵2

'x y =，∴2

x y k x x ===，∴切线方程为

)(02

00x x x y y -=-，又因切线过点P （2，4），∴4-)2(02

00x x y -=，又∵3

31300+=

x y ，解得20=x 或-1，=k 1或4，故所求切线方程为044=--y x 或02=+-y x 。点评：同学们在解题时要注意两个字：“在”与“过”，若是“在”，则该点为切点（如例1），

若是“过”，不管这点是不是在曲线上，都用通法求(如例2）；求切线方程在高考中多数是以大题的第一问出现，但方法无外乎上面两种，属于容易题。高考真题再现：

1、（2011重庆理18) 设()f x x ax bx 3

=+++1的导数'()f x 满足'(),'()f a f b 1=22=-，其中常数,a b R ∈。（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程； (Ⅱ) 略

【答案】6210x y +-=

题型二利用导数研究函数的单调性常见题型有两种：

第一种是根据函数求单调区间，其基本步骤是：（1）先求导数)('x f ；

（2）解不等式0)('>x f 或0)('

（3）确定并指出函数的单调增区间、减区间.

第二种是根据函数的单调性，求参数的取值范围.解决这种类型的主要手段是转化为恒等式问题，即)(x f 在某区间上单调递增转化为)('x f ≥0在该区间上恒成立，)(x f 在某区间上单调递减转化为)('x f ≤0在该区间上恒成立，然后用分离参数或函数性质求解参数范围. 【例3】已知向量)1,(2

+=→

x x a ，),1(t x b -=→，→

→?=b a x f )(. （1）若1=t ，求函数)(x f 的单调区间；

（2）若)(x f 在区间（-1，1）上是增函数，求t 的取值范围. 【解】：依定义)(x f =)1()1(2

++-x t x x =t tx x x +++-2

3. 则t x x x f ++-=23)('2

（1）1=t 时，t x x x f ++-=23)('2

=1232++-x x =)3

)(1(3+--x x

由0)('>x f 得，13

<<-

x ；由0)('x 或31-

∴函数)(x f 的单调递增区间是（31-，1）单调递减区间是（3

,-∞-）（1，+∞）

(2)若)(x f 在（-1，1）上是增函数，则在（-1，1）上)('x f ≥0. ∴)('x f ≥0?t ≥x x 232

-在区间（-1，1）上恒成立. 考虑函数=)(x g x x 232

-，由于)(x f 的图像是对称轴为3

x ，开口向上的抛物线，故要使t ≥x x 232

-在区间（-1，1）上恒成立?t ≥)1(-g ，即t ≥5.而当t ≥5时，)('x f 在区间（-1，1）上满足)('x f ≥0，即)(x f 在（-1，1）上是增函数.故t 的取值范围是t ≥5。

点评：同学们要记住两个重要的转化：①m ≥)(x f 恒成立?m ≥m ax ))((x f ，②m ≤)

(x f 恒成立?m ≤m in ))((x f .把恒成立问题转化为求最值问题。高考真题再现：

1、2011浙江文21设函数ax x x a x f +-=2

ln )(，0>a 。（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2

)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．【答案】（Ⅰ）

f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞，

（Ⅱ）.a e = 2、2011四川理22已知函数21

()32

f x x =

+，()h x x =．（Ⅰ）设函数F (x )＝f (x )－h (x )，求F (x )的单调区间与极值；（Ⅱ）（Ⅲ）略

【答案】9[0,)16x ∈时，()F x 是减函数；9

[,)16

x ∈+∞时，()F x 是增函数．

函数()F x 在916x =处有得极小值91

()168

F =．

题型三利用导数研究函数的极值和最值 1、应用导数求函数极值的一般步骤：

（1）确定函数)(x f 的定义域；（2）解方程0)('=x f 的根；

（3）检验0)('=x f 的根的两侧)('x f 的符号。若左正右负，则)(x f 在此根处取得极大值；若左负右正，则)(x f 在此根处取得极小值；否则，此根不是)(x f 的极值点。 2、求函数)(x f 在闭区间[b a ,]上的最大值、最小值的方法与步骤：（1）求)(x f 在[b a ,]内的极值；

（2）将（1)求得的极值与)(a f 、)(b f 相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值。

【例4】：已知函数cx bx ax x f ++=2

)(在点0x 处取得极小值-4，使其导函数0)('>x f 的

x 的取值范围为（1，3），（1）求)(x f 的解析式及)(x f 的极大值；

（2）当x ∈[2,3]时，求x m x f x g )2(6)(')(-+=的最大值.

【解】：（1）由题意知c bx ax x f ++=23)('2

)3)(1(3--=x x a （由题意0)('>x f 的x 的范围（1，3）可知0

∴在（-∞，1）上0)('x f ，)(x f 是增函数，在（3.+∞）上0)('

因此)(x f 在0x =1处取得极小值-4，在3=x 处取得极大值。

∴,0627)3('023)1('4?????=++==++=-=++c b a f c b a f c b a 解得??

???-==-=961c b a ∴x x x x f 96)(2

3-+-= 则)(x f 在3=x 处取得极大值0)3(=f 。