2018-2019学年人教B版必修5 一元二次不等式及其解法 作业
一元二次不等式和均值不等式
一元二次不等式及其解法1．一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．2.．含指数、对数的不等式：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． 3．掌握不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )的图象在g (x )的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A ．⎝⎛⎭⎫－3，－32 B ．⎝⎛⎭⎫－3，32 C ．⎝⎛⎭⎫1，32 D ．⎝⎛⎭⎫32，3 2．(2018·浙江高考)已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ，当λ＝2时，不等式f (x )<0的解集是________.若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________3．不等式(x ＋3)(1－x )≥0的解集为________4．对于任意实数x ，不等式mx 2＋mx －1<0恒成立，则实数m 的取值范围是________5.ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)。
6.(2019·河南中原名校联考)已知f (x )是定义在R 上的奇函数。
高中数学 3-3一元二次不等式及其解法 课件同步导学 新人教B版必修5
【提示】 (1)当 a>0 时，f(x)≥0 的解集为(－∞，x1]∪ [x2，＋∞)；f(x)≤0 的解集为[x1，x2]．
(2)当 a<0 时，f(x)≥0 的解集为[x1，x2]， f(x)≤0 的解集为(－∞，x1]∪[x2，＋∞)． (3) 不相同，当 a>0 时，axx－－xx21≥0 的解集为(－∞，x1] ∪(x2，＋∞)；当 a<0 时，其解集为[x1，x2)，与 f(x)≥0 的解 集相比，均差一个端点 x2，这是因为当 x＝x2 时，axx－－xx21无 意义．
集
(x1，x2)
∅
∅
• 3.求解一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的 算法过程：
(3)f(x)≥0 与axx－－xx21≥0 的解集相同吗？
• 设f(x)＝a(x－x1)(x－x2)，(x1<x2)则 • (1)当a>0时，f(x)≥0的解集是什么？f(x)≤0
的解集是什么？ • (2)当a<0时，f(x)≥0的解集是什么？f(x)≤0
a2－1<0
.
Δ<0
【解析】 ①当 a2－1＝0，即 a＝±1 时， 若 a＝1，则原不等式为－1＜0，恒成立． 若 a＝－1，则原不等式为 2x－1＜0， 即 x＜12，不符合题目要求，舍去． ②当 a2－1≠0，即 a≠±1 时，原不等式的解集为 R 的条 件是aΔ2＝－1a＜－012＋4a2－1＜0 ， 解得－35＜a＜1. 综上所述，当－35＜a≤1 时，原不等式的解为全体实数．
(1)不等式 ax2＋bx＋c＞0 的解集是全体实 数(或恒成立)的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＞0；
当 a≠0 时，aΔ＞＜00 . (2)不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是全体实数(或恒成立) 的条件是当 a＝0 时，b＝0，c＜0； 当 a≠0 时，aΔ＜＜00 .类似地，还有 f(x)≤a 恒成立⇔ [f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
最新2019高中数学 课时分层作业18 一元二次不等式及其解法 新人教A版必修5
课时分层作业(十八) 一元二次不等式及其解法(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 D [(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.]2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )【导学号：91432284】A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [(2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.]3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1t <x <t B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1t或x >t D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t D [t ∈(0,1)时，t <1t，∴解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t.] 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )【导学号：91432285】A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}C [由题意知，－2＋3＝－ba ，－2×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ， ∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －6a >0， ∵a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3.]5．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是(－2,1)．]二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)【导学号：91432286】(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．(－3,1)∪(3，＋∞) [f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3， 解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3， 解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．]8．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________.【导学号：91432287】(－∞，1] [A ＝{x |3x －2－x 2<0}＝{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x <1或x >2}，B ＝{x |x <a }． 若B ⊆A ，如图，则a ≤1.]三、解答题9．求下列不等式的解集： (1)x 2－5x ＋6>0； (2)－12x 2＋3x －5>0.[解] (1)方程x 2－5x ＋6＝0有两个不等实数根x 1＝2，x 2＝3，又因为函数y ＝x 2－5x ＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x |x >3或x <2}．(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，对于方程x 2－6x ＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x 轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0.【导学号：91432288】[解] 原不等式可化为 [x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0， 讨论a ＋1与2(a －1)的大小(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，x ≠a ＋1.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，x >2(a －1)或x <a ＋1， 综上：当a <3时，解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}， 当a ＝3时，解集为{x |x ≠a ＋1}，当a >3时，解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．[冲A 挑战练]1．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.]2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为( )【导学号：91432289】A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x >2或x <－1}C ．{x |x >1或x <－2}D ．{x |x <－1或x >1}C [∵ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－ba ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0， 解得x >1或x <－2.]3．不等式2x 2－x ＜4的解集为______.【导学号：91432290】{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4， ∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0， ∴－1＜x ＜2.]4．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．(－7,3) [当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)．又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)，所以－5<x ＋2<5，故所求解集为(－7,3)．]5．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集.【导学号：91432291】[解] 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5， 所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a ； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12.综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫a ＋12，3－2a ，当a >32时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫3－2a ，a ＋12.。
高中数学《一元二次不等式及其解法习题课》课件
(1)求矩形 ABCD 的面积 S 关于 x 的函数解析式；
(2)要使仓库占地 ABCD 的面积不少于 144 平方米，则
AB 的长度应在什么范围内？
30
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解
(1)根据题意，得△NDC
与△NAM
相似，所以DC＝ AM
ND，即 x ＝20－AD，解得 NA 30 20
∵x∈[－2,2]，x－212＋34max＝7，
∴x2－6x＋1min＝67，∴m<67.
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拓展提升
有关不等式恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集是全体实数(或恒成立)
的条件是当 a＝0 时，b＝0，c>0；
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(2)将 f(x)<－m＋5 变换成关于 m 的不等式：m(x2－x＋ 1)－6<0.则命题等价于：m∈[－2,2]时，g(m)＝m(x2－x＋1) －6<0 恒成立．
∵x2－x＋1>0，∴g(m)在[－2,2]上单调递增． ∴只要 g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0，即 x2－x－2<0， ∴－1<x<2.∴x 的取值范围为－1<x<2.
①式的解集为 x≤－2 或 0≤x≤3.由②式知 x≠3， ∴原不等式的解集为{x|x≤－2 或 0≤x<3}．
18
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2019高中数学 课时分层作业18 一元二次不等式及其解法 新人教A版必修5
课时分层作业(十八) 一元二次不等式及其解法(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤13 C ．∅D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝－13 D [(3x ＋1)2≤0， ∴3x ＋1＝0，∴x ＝－13.]2．若集合A ＝{x |(2x ＋1)(x －3)<0}，B ＝{x |x ∈N *，x ≤5}，则A ∩B 等于( )【导学号：91432284】A ．{1,2,3}B ．{1,2}C ．{4,5}D ．{1,2,3,4,5}B [(2x ＋1)(x －3)<0，∴－12<x <3，又x ∈N *且x ≤5，则x ＝1,2.]3．若0<t <1，则不等式(x －t )⎝⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1t <x <t B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >1t 或x <t C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1t或x >t D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t D [t ∈(0,1)时，t <1t，∴解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪t <x <1t.] 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为－2,3，a <0，那么ax 2＋bx ＋c >0的解集为( )【导学号：91432285】A ．{x |x >3或x <－2}B ．{x |x >2或x <－3}C ．{x |－2<x <3}D ．{x |－3<x <2}C [由题意知，－2＋3＝－ba ，－2×3＝c a，∴b ＝－a ，c ＝－6a ， ∴ax 2＋bx ＋c ＝ax 2－ax －6a >0， ∵a <0，∴x 2－x －6<0，∴(x －3)(x ＋2)<0，∴－2<x <3.]5．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)B [根据给出的定义得，x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故不等式的解集是(－2,1)．]二、填空题6．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)【导学号：91432286】(－4,1) [由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．(－3,1)∪(3，＋∞) [f (1)＝12－4×1＋6＝3， 当x ≥0时，x 2－4x ＋6>3， 解得x >3或0≤x <1； 当x <0时，x ＋6>3， 解得－3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞)．]8．已知集合A ＝{x |3x －2－x 2<0}，B ＝{x |x －a <0}，且B ⊆A ，则a 的取值范围为________.【导学号：91432287】(－∞，1] [A ＝{x |3x －2－x 2<0}＝{x |x 2－3x ＋2>0}＝{x |x <1或x >2}，B ＝{x |x <a }． 若B ⊆A ，如图，则a ≤1.]三、解答题9．求下列不等式的解集： (1)x 2－5x ＋6>0； (2)－12x 2＋3x －5>0.[解] (1)方程x 2－5x ＋6＝0有两个不等实数根x 1＝2，x 2＝3，又因为函数y ＝x 2－5x ＋6的图象是开口向上的抛物线，且抛物线与x 轴有两个交点，分别为(2,0)和(3,0)，其图象如图(1)．根据图象可得不等式的解集为{x |x >3或x <2}．(2)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0，对于方程x 2－6x ＋10＝0，因为Δ＝(－6)2－40<0，所以方程无解，又因为函数y ＝x 2－6x ＋10的图象是开口向上的抛物线，且与x 轴没有交点，其图象如图(2)．根据图象可得不等式的解集为∅.10．解关于x 的不等式x 2－(3a －1)x ＋(2a 2－2)>0.【导学号：91432288】[解] 原不等式可化为 [x －(a ＋1)][x －2(a －1)]>0， 讨论a ＋1与2(a －1)的大小(1)当a ＋1>2(a －1)，即a <3时，x >a ＋1或x <2(a －1)． (2)当a ＋1＝2(a －1)，即a ＝3时，x ≠a ＋1.(3)当a ＋1<2(a －1)，即a >3时，x >2(a －1)或x <a ＋1， 综上：当a <3时，解集为{x |x >a ＋1或x <2(a －1)}， 当a ＝3时，解集为{x |x ≠a ＋1}，当a >3时，解集为{x |x >2(a －1)或x <a ＋1}．[冲A 挑战练]1．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14 B ．RC.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32 D ．∅A [因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.]2．关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则关于x 的不等式bx 2－ax －2>0的解集为( )【导学号：91432289】A ．{x |－2<x <1}B ．{x |x >2或x <－1}C ．{x |x >1或x <－2}D ．{x |x <－1或x >1}C [∵ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝－2，－ba ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1，∴bx 2－ax －2>0，即x 2＋x －2>0， 解得x >1或x <－2.]3．不等式2x 2－x ＜4的解集为______.【导学号：91432290】{x |－1＜x ＜2} [∵2x 2－x ＜4， ∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0， ∴－1＜x ＜2.]4．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．(－7,3) [当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)．又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)，所以－5<x ＋2<5，故所求解集为(－7,3)．]5．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集.【导学号：91432291】[解] 原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0， 所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5， 所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a ； 若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12.综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫a ＋12，3－2a ，当a >32时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫3－2a ，a ＋12.。
高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法
高中数学必修5常考题型：一元二次不等式及其解法(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2一元二次不等式及其解法(复习课)【常考题型】题型一、简单的分式不等式【例1】 解下列不等式(1)x ＋21－x <0；(2)x ＋1x －2≤2. [解] (1)由x ＋21－x <0，得x ＋2x －1>0， 此不等式等价于(x ＋2)(x －1)>0，∴原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．(2)法一：移项得x ＋1x －2－2≤0， 左边通分并化简有－x ＋5x －2≤0，即x －5x －2≥0， 它的同解不等式为⎩⎪⎨⎪⎧ x －2x －5≥0，x －2≠0， ∴x <2或x ≥5.∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．法二：原不等式可化为x －5x －2≥0， 此不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≥0，x －2>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧ x －5≤0，x －2<0，②解①得x ≥5，解②得x <2，∴原不等式的解集为{x |x <2或x ≥5}．【类题通法】1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．【对点训练】3 1．解下列不等式：(1)x ＋23－x ≥0； (2)2x －13－4x>1. 解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋23－x ≥0，3－x ≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x －3≤0，x ≠3－2≤x <3.∴原不等式的解集为{x |－2≤x <3}．(2)原不等式可化为2x －13－4x －1>0，即3x －24x －3<0. 等价于(3x －2)(4x －3)<0.∴23<x <34. ∴原不等式的解集为{x |23<x <34}. 题型二、不等式中的恒成立问题【例2】 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m ＜x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1＜0，对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1＜0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝m 2－4mm －1＜0⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，3m 2－4m ＞0⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，m ＜0，或m ＞43m ＜0.综上，m 的取值范围为m ≤0.【类题通法】不等式对任意实数x 恒成立，就是不等式的解集为R ，对于一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0；4一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0，它的解集为R 的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝b 2－4ac ≤0；一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为的条件为⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，Δ≤0.【对点训练】2．若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．解：当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去； 当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ，只需解得a ＞12. 综上，所求实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 题型三、一元二次不等式的实际应用【例3】 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．[解] (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)．依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)．依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%， 化简得x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2.∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．【类题通法】5用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：(1)理解题意，搞清量与量之间的关系；(2)建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；(3)解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．【对点训练】3．某校园内有一块长为800 m ，宽为600 m 的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．解：设花卉带的宽度为x m ，则中间草坪的长为(800－2x ) m ，宽为(600－2x ) m ．根据题意可得(800－2x )(600－2x )≥12×800×600，整理得x 2－700x ＋600×100≥0，即(x －600)(x －100)≥0，所以0＜x ≤100或x ≥600，x ≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.【练习反馈】1．若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝{x |x －2x ≤0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0}B ．{x |0＜x ≤1}C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |0≤x ≤1}解析：选B ∵A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |0＜x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集为空集，则a 的取值范围是( )A ．－4≤a ≤4B ．－4＜a ＜4C ．a ≤－4或a ≥4D ．a ＜－4或a ＞4 解析：选A 依题意应有Δ＝a 2－16≤0，解得－4≤a ≤4，故选A.3．不等式x ＋1x ≤3的解集为________． 解析：x ＋1x ≤3x ＋1x －3≤02x －1x ≥0x (2x －1)≥0且x ≠0x <0或x ≥12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜0或x ≥12 4．若函数f (x )＝log 2(x 2－2ax －a )的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析：已知函数定义域为R ，即x 2－2ax －a ＞0对任意x∈R恒成立．∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0.解得－1＜a＜0.答案：(－1,0)5．你能用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形吗解：设围成的矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x) m，且0＜x＜50.由题意，得围成矩形的面积S＝x(50－x)＞600，即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．6。
【精准解析】专题35+一元二次不等式及其解法-(文理通用)
．
故答案为：[ ，+∞）．
命题点 2 在给定区间上的恒成立问题 【典型例题】 已知[（m﹣1）x+1]（x﹣1）＞0，其中 0＜m＜2， （1）解不等式． （2）若 x＞1 时，不等式恒成立，求实数 m 的范围． 【解答】解：（1）[（m﹣1）x+1]（x﹣1）＞0 当 m﹣1＝0 时，不等式为（x﹣1）＞0 即{x|x＞1}．
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基础知识训练
1．【贵州省铜仁市思南中学 2018-2019 学年高一下学期期中考试】不等式 x2 mx 1 0 的解
集为空集，则 m 的取值范围是（
）
A． (-2,2)
B． [-2,2]
C． (, 2) (2, ) D． (, 2][2, )
【答案】B 【解析】
因为不等式 x2 mx 1 0 的解集为空集,
一切实数 x 都成立，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． a 1 或 a 1
2
2
C． a 1 2
【答案】C
B． a 1 或 a 0 2
D． 1 a 1
2
2
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【解析】
解：显然 a=0，不等式不恒成立，所以不等式 ax2 x a 0 对一切实数 x 都成立， a 0
则 0 ，
gx
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(2) f x ≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. gx
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．
重点难点突破 【题型一】一元二次不等式的求解
命题点 1 不含参的不等式 【典型例题】 不等式 x2+5x﹣6＞0 的解集是（ ） A．{x|x＜﹣2 或 x＞3} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＜﹣6 或 x＞l} 【解答】解：不等式 x2+5x﹣6＞0 化为（x+6）（x﹣1）＞0， 解得 x＜﹣6 或 x＞1， ∴不等式的解集是{x|x＜﹣6 或 x＞1}． 故选：C．
01一元二次不等式解法(检测+答案)
一元二次不等式解法 2{}331x x a x x +<-解：不等式可变形为-(-1)()＞0;0，不等式解集为＜＜例2.解关于x 的不等式11x ≥+ {}2112012;11x x x x x x x x ----≥≥-≥++解：不等式可变形为0,即，故＜或 2()()()()()(){}{}22232101222202;2ax x a x x b a b ax ac b x bc x c x c x x c c x x c c c x c x -+=--==-++=-++=--<∅解：＞解得：当＞2，不等式解集为＜＜;当=2，不等式解集为当＜2，不等式解集为＜＜22A ．[﹣3，1 ]B ．（﹣3，1） C ．（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞） D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）2.集合A={x|x 2﹣2x≤0}，B={x|y=lg （1﹣x ）}，则A∩B 等于（ ）A ． {x|0＜x≤1}B ． {x|0≤x ＜1}C ． {x|1＜x≤2}D ． {x|1≤x ＜2}3.设集合M={x|0≤x ＜3}，N={x|x 2﹣3x ﹣4＜0}，则集合M∩N 等于（ ）A ． {x|0≤x ＜1}B ． {x|0≤x≤1}C ． {x|0≤x ＜3}D ． {x|0≤x≤3}4.设关于x 的不等式（a x ﹣1）（x+1）＜0（a ∈R ）的解集为{x|﹣1＜x ＜1}，则a 的值是（ ） A ． ﹣2 B ． ﹣1 C ． 0 D ． 15．若不等式x 2+2x ﹣3≥0的解集是（ ）A ． {x|﹣3≤x≤1}B ． {x|x≤﹣3或x≥1}C ． {x|x≥1}D ． {x|x≤﹣3}6．不等式的（x ﹣2）（2x ﹣3）＜0解集是（ ）A ．（﹣∞，）∪（2，+∞）B ．RC ．（，2）D ．φ7．不等式﹣x 2+3x+4＜0的解集为（ ）A ． {x|﹣1＜x ＜4}B ． {x|x ＞4或x ＜﹣1}C ． {x|x ＞1或x ＜﹣4}D ． {x|﹣4＜x ＜1}8．不等式2x 2+mx+n ＞0的解集是{x|x ＞3或x ＜﹣2}，则m ，n 的值分别是（ ）A ． 2，12B ． 2，﹣2C ． 2，﹣12D ． ﹣2，﹣129.若不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}，则a+b=（ ）A ． 6B ． 4C ． 2D ． 010.不等式2x+3﹣x 2＞0的解集为（ ）A ． {x|x ＜﹣3或x ＞1}B ． {x|﹣3＜x ＜1}C ． {x|x ＜﹣3或x ＞1}D ． {x|﹣1＜x ＜3}11．已知不等式x 2+x ﹣c ＜0的解为（﹣2，1），则c 的值为（ ）A ． ﹣2B ． 1C ． 2D ． 412.关于x 的不等式ax ﹣b ＞0的解集是（﹣∞，1），则关于x 的不等式（ax+b ）（x ﹣3）＞0的解集是（ ） 秒杀秘籍：一元二次不等式与二次函数关系20ax bx c ++>意味着20y ax bx c y ++>=中部分，20ax bx c ++<意味着20y ax bx c y ++<=中部分 212ax bx c a x x x x ++=(-)(-)，求出两个根21,x x ；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，反之亦然。
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案
高一数学一元二次不等式解法练习题及答案例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a[ ]A a xB x a．＜＜．＜＜11aaC x aD x x a．＞或＜．＜或＞x aa11分析比较与的大小后写出答案． a 1a解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜．选．0a 1a a x A 11a a例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6分析 求算术根，被开方数必须是非负数．解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2．例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________．分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理．解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知-=-+=-=-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪baa ()()1211122×得 ab ==-1212，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2 (3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)(4)3x 2-+--+-31325113122x x x x x x ＞＞()()分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．答 (1){x|x ＜2或x ＞4}(2){x|1x }≤≤32(3)∅(4)R (5)R说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．例不等式＋＞的解集为5 1x 11-x[ ]A ．{x|x ＞0}B ．{x|x ≥1}C ．{x|x ＞1}D ．{x|x ＞1或x ＝0}分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分．解不等式化为＋－＞，通分得＞，即＞，1x 000111122----xx x x x∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ．说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解．例与不等式≥同解的不等式是6 0x x--32[ ]A ．(x －3)(2－x)≥0B ．0＜x －2≤1C ．≥230--xx D ．(x －3)(2－x)≤0解法一原不等式的同解不等式组为≥，≠． ()()x x x ---⎧⎨⎩32020 故排除A 、C 、D ，选B ．解法二≥化为＝或－－＞即＜≤x 320x 3(x 3)(2x)02x 3--x两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．例不等式＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a axx -1[ ]A aB aC aD a ．＜．＞．＝．＝－12121212分析可以先将不等式整理为＜，转化为 0()a x x -+-111[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}可知－＜，即＜，且－＝，∴＝．a 10a 12a 1112a - 答 选C ．说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧．例解不等式≥．8 237232x x x -+- 解 先将原不等式转化为3723202x x x -+--≥即≥，所以≤．由于＋＋＝＋＋＞，---+-+++-2123212314782222x x x x x x x x 002x x 12(x )022∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 例9 已知集合A ＝{x|x 2－5x ＋4≤0}与B ＝{x|x 2－2ax ＋a ＋2≤，若，求的范围．0}B A a ⊆分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ⊆解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得∅⊆4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：∅ 应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12⊆12a 12042a 4a 201412a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪22187综上所述得的范围为－＜≤．a 1a 187说明：二次函数问题可以借助它的图像求解． 例10 解关于x 的不等式(x －2)(ax －2)＞0．分析 不等式的解及其结构与a 相关，所以必须分类讨论． 解 1° 当a ＝0时，原不等式化为x －2＜0其解集为{x|x ＜2}；2 a 02(x 2)(x )0°当＜时，由于＞，原不等式化为－－＜，其解集为22a a{x|2ax 2}＜＜； 3 0a 12(x 2)(x )0°当＜＜时，因＜，原不等式化为－－＞，其解集为22a a{x|x 2x }＜或＞；2a4° 当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2＞0，其解集是{x|x ≠2}；5 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解集是22a a{x|x x 2}＜或＞．2a从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；a 0{x|2ax 2＜时，＜＜｝；0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2aa ＝1时，{x|x ≠2}；a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2a说明：讨论时分类要合理，不添不漏．例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：－＝α＋β，＝α·β．bac a⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 即＝－α＋β＜，＝α·β＞．ba c a()00⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∵a ＜0，∴b ＞0，c ＜0．又×，b a a c b c= ∴＝－α＋β①由＝α·β，∴＝α·β②b c c a a c (1)111对＋＋＜化为＋＋＞，cx bx a 0x x 022b c ac由①②得α，β是＋＋＝两个根且α＞β＞，1111x x 002b c a c∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β．x x 0cx bx a 0{x|x x }22b c a c 11 解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程． 且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，∴＋＋＜的解集为＞α或＜β．cx bx a 0{x|x x } 211说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)xx -1分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．解原不等式变为－－＜，即＜， (1a)00x x ax ax -+--111进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0． (1)当a ＞0时，不等式化为(x )(x 1)01{x|a 1a x 1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；a a a a ---11(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；(3)a 0(x )(x 1)01{x|x 1x }＜时，不等式化为－·－＞，易见＞，所以不等式解集为＜或＞．a a a aa a---111综上所述，原不等式解集为：当＞时，＜＜；当＝时，＜；当＜时，＞或＜．a 0{x|a 1ax 1}a 0{x|x 1}a 0{x|x x 1}--a a1例13 (2001年全国高考题)不等式|x 2－3x|＞4的解集是________． 分析 可转化为(1)x 2－3x ＞4或(2)x 2－3x ＜－4两个一元二次不等式．由可解得＜－或＞，．(1)x 1x 4(2)∅答 填{x|x ＜－1或x ＞4}．例14 (1998年上海高考题)设全集U ＝R ，A ＝{x|x 2－5x －6＞0}，B ＝{x||x －5|＜a}(a 是常数)，且11∈B ，则[ ]A ．(U A)∩B ＝RB ．A ∪(U B)＝RC ．(U A)∪(U B)＝RD ．A ∪B ＝R分析 由x 2－5x －6＞0得x ＜－1或x ＞6，即A ＝{x|x ＜－1或x ＞6}由|x －5|＜a 得5－a ＜x ＜5＋a ，即B ＝{x|5－a ＜x ＜5＋a} ∵11∈B ，∴|11－5|＜a 得a ＞6 ∴5－a ＜－1，5＋a ＞11 ∴A ∪B ＝R ． 答 选D ．说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。
人教版高中数学必修五课后提升作业 十八 3.2.1一元二次不等式及其解法 Word版含解析
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课后提升作业十八一元二次不等式及其解法(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.下列不等式是关于x的一元二次不等式的是( )A.mx2+x+1>0(m≠0)B.m2x+2x+2<0(m≠0)C.x3+x2+1>0D.≥0【解析】选A.根据一元二次不等式的定义知,A是一元二次不等式,B,C,D均不是一元二次不等式.2.已知不等式ax2+3x-2>0的解集为{x|1<x<b},则a,b的值等于( )A.a=1,b=2B.a=2,b=-1C.a=-1,b=2D.a=-2,b=1【解析】选C.因为不等式ax2+3x-2>0的解集为{x|1<x<b},所以方程ax2+3x-2=0的两个根分别为1和b,根据根与系数的关系,得1+b=-,b=-,所以a=-1,b=2.【补偿训练】不等式-x2-x+2≥0的解集是( )A.{x|x≤-2或x≥1}B.{x|-2<x<1}C.{x|-2≤x≤1}D.【解析】选C.将原不等式-x2-x+2≥0变形为x2+x-2≤0,因为方程x2+x-2=0的两个根为-2,1,故原不等式的解集为{x|-2≤x≤1}.3.(2016·太原高二检测)在R上定义运算☉:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为( )A.(0,2)B.(-2,1)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-1,2)【解析】选B.因为x☉(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0,所以x2+x-2<0.所以-2<x<1.4.(2015·山东高考)已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2<x<4},则A∩B= ( )A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)【解析】选C.由x2-4x+3<0,即(x-3)(x-1)<0,所以1<x<3,所以A={x|1<x<3},所以A∩B={x|1<x<3}∩{x|2<x<4}={x|2<x<3}.5.(2016·广州高二检测)不等式(2x-1)(3x+1)>0的解集是( )A. B.C. D.【解析】选A.与不等式(2x-1)(3x+1)>0对应的方程的根为x=,x=-,结合相应二次函数图象可知解集为.6.若全集U=R,集合A={x|x2+3x-4<0},B={x|y=log3(x+2)},则ð(A∩B)U= ( )A.{x|x≤4或x≥1}B.{x|x<-4或x>1}C.{x|x<-2或x>1}D.{x|x≤-2或x≥1}【解析】选D.由题意可得A={x|-4<x<1},B={x|x>-2}.所以A∩B={x|-2<x<1},所以ð(A∩B)={ x|x≤-2或x≥1}.U7.(2016·邯郸高二检测)已知0<a<1,关于x的不等式(x-a)>0的解集为( )A.(-∞,a)∪B.(a,+∞)C.∪(a,+∞)D.【解析】选A.不等式(x-a)>0对应方程的两根分别为a,,因为0<a<1,所以>a,故原不等式的解集为(-∞,a)∪.8.一元二次方程ax2+bx+c=0的根为2,-1,则当a<0时,不等式ax2+bx+c≥0的解集为( )A.{x|x<-1或x>2}B.{x|x≤-1或x≥2}C.{x|-1<x<2}D.{x|-1≤x≤2}【解析】选D.由题意知,-=1,=-2,所以b=-a,c=-2a,又因为a<0,所以x2-x-2≤0,所以-1≤x≤2.【延伸探究】本题中“a<0”若换为“a>0”,其他条件不变,其结论又如何呢? 【解析】选B.由8题解析知,b=-a,c=-2a,又因为a>0,所以x2-x-2≥0,即x≥2或x≤-1.二、填空题(每小题5分,共10分)9.不等式x(9-x)>0的解集是________.【解析】不等式x(9-x)>0变形为x(x-9)<0,所以0<x<9,解集为(0,9).答案:(0,9)10.二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如表所示:则不等式ax2+bx+c<0的解集是________.【解析】由表格知二次函数y=ax2+bx+c开口向上,又f(-2)=f(3)=0,所以不等式的解集为{x|-2<x<3}.答案:(-2,3)三、解答题(每小题10分,共20分)11.若方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个不相等的实根,求实数m的取值范围. 【解析】因为方程x2+(m+2)x+m+5=0有两个不相等的实根,所以Δ=(m+2)2-4(m+5)>0,即m2-16>0,所以m>4或m<-4.12.解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.【解题指南】先对二次项的系数进行讨论,再按不等式的解法求解.【解析】①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1.②当a<0时,原不等式化为(x-1)>0,解得x<或x>1.③当a>0时,原不等式化为(x-1)<0.若a=1,即=1时,不等式无解;若a>1,即<1时,解得<x<1;若0<a<1,即>1时,解得1<x<.综上,当a<0时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为{x|x>1};当0<a<1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当a>1时,不等式的解集为.【能力挑战题】若不等式组的解集不是空集,求实数a的取值范围. 【解析】不等式x2-2x-3≤0的解集为{x|-1≤x≤3},而函数y=x2+4x-(1+a)的图象的对称轴为x=-2,所以要使不等式组的解集不是空集,只要方程x2+4x-(1+a)=0的大根x2≥-1,所以有≥-1,解得a≥-4,由Δ=16+4(1+a)≥0,解得a≥-5,所以实数a的取值范围是a≥-4.关闭Word文档返回原板块。
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课时跟踪检测（十五） 一元二次不等式及其解法层级一 学业水平达标1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－23 解析：选A 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－23≤x ≤12.2．函数y ＝17－6x －x 2的定义域为( )A ．[－7,1]B ．(－7,1)C ．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：选B 由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B.3．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)解析：选B 由a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2<0， 所以－2<x <1.4．设a <－1，则关于x 的不等式a (x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 或x >1a B ．{x |x >a }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x >a 或x <1a D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 解析：选A ∵a <－1，∴a (x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a <0⇔(x －a )·⎝⎛⎭⎫x －1a >0.又a <－1，∴1a >a ，∴x >1a或x <a .5．不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－1或x >14 B ．R C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－13<x <32 D ．∅解析：选A 因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图象与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ，故选A.6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2－1≥0}，则∁U A ＝________. 解析：∁U A ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}． 答案：{x |－1<x <1}7．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(－1,0)和(3,0)，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．解析：根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)． 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x <0.若f (a )≤3，则a 的取值范围是________． 解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，∴0≤a ≤1；当a <0时，－a 2＋2a ≤3，∴a <0.综上所述，a 的取值范围是(－∞，1]．答案：(－∞，1]9．解关于x 的不等式x 2－3ax －18a 2>0.解：将x 2－3ax －18a 2>0变形得(x －6a )(x ＋3a )>0， 方程(x －6a )(x ＋3a )＝0的两根为6a ，－3a .所以当a >0时，6a >－3a ，原不等式的解集为{x |x <－3a 或x >6a }； 当a ＝0时，6a ＝－3a ＝0，原不等式的解集为{x |x ≠0}； 当a <0时，6a <－3a ，原不等式的解集为{x |x <6a 或x >－3a }． 10．若函数f (x )＝2 016ax 2＋2ax ＋2的定义域是R ，求实数a 的取值范围． 解：因为f (x )的定义域为R ，所以不等式ax 2＋2ax ＋2>0恒成立． (1)当a ＝0时，不等式为2>0，显然恒成立；(2)当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ＝4a 2－8a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0<a <2，所以0<a <2.综上可知，实数a 的取值范围是[0,2)．层级二 应试能力达标1．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－4)∪(4，＋∞) B ．(－4,4) C ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)D ．[－4,4]解析：选A 不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，所以Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.2．关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(－1,3)C ．(1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选A 由题意，知a >0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b >0，所以(ax ＋b )(x －3)＝a (x ＋1)(x －3)>0，所以x <－1或x >3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．3．已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a <b )，且α，β(α<β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A ．a <α<β<bB ．a <α<b <βC ．α<a <b <βD ．α<a <β<b解析：选A ∵α，β为f (x )＝0的两根，∴α，β为f (x )＝(x －a )(x －b )＋2与x 轴交点的横坐标．∵a ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，∴a ，b 为g (x )与x 轴交点的横坐标．可知f (x )图象可由g (x )图象向上平移2个单位得到，由图知选A.4．若0<a <1，则不等式x 2－3(a ＋a 2)x ＋9a 3≤0的解集为( ) A ．{x |3a 2≤x ≤3a } B ．{x |3a ≤x ≤3a 2} C ．{x |x ≤3a 2或x ≥3a }D ．{x |x ≤3a 或x ≥3a 2}解析：选A 因为0<a <1，所以0<3a 2<3a ，而方程x 2－3(a ＋a 2)x ＋9a 3＝0的两个根分别为3a 和3a 2，所以不等式的解集为{x |3a 2≤x ≤3a }．5．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0，则不等式f (x )>x 的解集为________．解析：由f (x )>x ，得⎩⎨⎧x 2－4x >x ，x >0或⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x >x ，x <0，解得x >5或－5<x <0，所以原不等式的解集为(－5,0)∪(5，＋∞)．答案：(－5,0)∪(5，＋∞)6．对于实数x ，当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N ＋)时，[x ]＝n ，则关于x 的不等式4[x ]2－36[x ]＋45<0的解集为________．解析：由4[x ]2－36[x ]＋45<0，得32<[x ]<152，又当且仅当n ≤x <n ＋1(n ∈N ＋)时，[x ]＝n ，所以[x ]＝2,3,4,5,6,7，所以所求不等式的解集为[2,8)．答案：[2,8)7．设f (x )＝(m ＋1)x 2－mx ＋m －1. (1)当m ＝1时，求不等式f (x )>0的解集；(2)若不等式f (x )＋1>0的解集为⎝⎛⎭⎫32，3，求m 的值． 解：(1)当m ＝1时，不等式f (x )>0为2x 2－x >0， 因此所求解集为(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)不等式f (x )＋1>0，即(m ＋1)x 2－mx ＋m >0， 由题意知32，3是方程(m ＋1)x 2－mx ＋m ＝0的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧32＋3＝m m ＋1，32×3＝m m ＋1⇒m ＝－97.8．已知M 是关于x 的不等式2x 2＋(3a －7)x ＋3＋a －2a 2<0的解集，且M 中的一个元素是0，求实数a 的取值范围，并用a 表示出该不等式的解集．解：原不等式可化为(2x －a －1)(x ＋2a －3)<0， 由x ＝0适合不等式得(a ＋1)(2a －3)>0，所以a <－1或a >32.若a <－1，则－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)>5，所以3－2a >a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a ＋12<x <3－2a ；若a >32，由－2a ＋3－a ＋12＝52(－a ＋1)<－54，所以3－2a <a ＋12，此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3－2a <x <a ＋12.综上，当a <－1时，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋12，3－2a ；当a >32时，原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫3－2a ，a ＋12.。