10-11-2工科数学分析习题课_5)
10-11-2工程矩阵理论期末正式卷
共 2 页 第 1 页东 南 大 学 考 试 卷 课程名称 工程矩阵理论 考试时间 10-11-2 得分 适用专业 工科研究生 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟 一. （40%）计算题 1. （8%）假设22C ⨯的子空间1|,x x V x y C y y ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，2|,x y V x y C x y ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭。
分别求12V V ⋂，12V V +的一组基。
2. （8%）设3R 的子空间{}3(,,)|0V x y z R x y z =∈--=，(1,0,0)η=。
求0V η∈使得0min V ξηηξη∈-=-。
3. （5%）设A 是n 阶酉矩阵，分别求F A 和2A 。
4. （8%）设矩阵102001b c A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1000312B y x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
问：当参数,,,,a b c x y 满足什么条件时，矩阵A 与B 相似？ 5. （5%）设矩阵120120003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A +。
6. （6%）设n 阶方阵A 满足22A A E -=，且A I +的秩为r ，求行列式2A I +。
二. （20%）在线性空间22C ⨯上定义线性变换f 如下：对任意矩阵a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22a b a b f X c d c d --⎛⎫= ⎪++⎝⎭。
1. （4%）求f 在22C ⨯的基11122122,,,E E E E 下的矩阵；2. （6%）分别求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的一组基；3. （6%）求f 的特征值及各个特征子空间的基；4. （4%）求f 的最小多项式。
共 2 页 第 2 页 三. （8%）设ω是n 维欧氏空间V 中的单位向量，V 上的线性变换f 定义如下：对任意V η∈，(),f a b ηηηωω=+<>。
问：当参数,a b 取什么值的时候，f 是V 上的正交变换？四. （12%）已知矩阵A 的特征多项式是23(1)λλ-，并且()()3r A r A I =-=，求A的最小多项式，并求一次数不超过2的多项式()f λ，使得()At Aef A =。
高数下期中考试(10-11)试卷及解答
广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 1 页一、填空题（每题3分分）．已知{4,3,4}a =-在向量{2,2,1}b =t e e x,sin cos ==广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 2 页广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 3 页解：两边微分得 )()(21yz d f x z d f dx '+'= 2分2221yz d yy d z f x z d x x d z f dx -'+-'= 5分 整理得 dx f y x f xy f z x dx f y x f xy f zy y x dz 22122222121222)('+''+'+''+= 6分四、计算下列各题（每题7分，共28分）１．计算Dx ⎰⎰，其中Ｄ是由曲线.10y x y x ===及所围成的区域:2031441200:1112(1)31212311)18yD xx dxy y ====+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰解２．计算⎰⎰Ddxdy xy }1,max{，其中}20,20),{(≤≤≤≤=y x y x D．解：曲线1=xy 把区域D 分成三个区域1D 、2D 和3D21,221:1≤≤≤≤y x x D ；x y x D 10,221:2≤≤≤≤；20,210:3≤≤≤≤y x D 2分⎰⎰Ddxdy xy }1,max{＝dxdy xy D ⎰⎰1＋⎰⎰2D dxdy ＋⎰⎰3D dxdy＝212122121221⨯++⎰⎰⎰⎰x xdy dx xydy dx 6分 ＝2ln 419+ 7分 ３．设Ω是曲线⎩⎨⎧==022x zy 绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面8=z 围成的空间区域，求广东工业大学试卷用纸，共 5 页，第 4 页⎰⎰⎰+=Ωdv y x I )(22。
解：Ω由z y x 222=+与 8=z 所围成，在柱坐标系下 Ω：82,40,202≤≤≤≤≤≤z ρρπθ 3分⎰⎰⎰=8224202ρπρρρθdz d d I 5分＝π31024五、设),(y x f 连续，且⎰⎰+=Ddudv v u f xy y x f ),(),(，其中D 是由0=y ，2xy =，1=x 所围成区域，求),(y x f （6分）五、解：设A dxdy y x f D=⎰⎰),(，则⎰⎰⎰⎰+=DDdxdy A dxdy xy A2分 A xydy dx A x 31210+=⎰⎰⇒81=A 5分 从而 81),(+=xy y x f 6分六、设曲线:C ⎩⎨⎧=++=-+5302222z y x z y x ，求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第九章
第九章 定积分一、填空题 1.=-++-+-∞→_41241141(lim 22222nn n n n _________2．=+⎰⎰→x xt x dtttdtt 0sin 01sin )1(lim__________3．[]=⎰-222,1max dx x __________4．设⎰+=xdt tt x f 02sin 1cos )(，则=+⎰202)(1)('πdx x f x f ___________ 5．设)(x f 在[]4,0上连续，且⎰--=2123)(x x dt t f ，则=)2(f ___________6．=+-⎰→421ln sin limxx tdt xx _________7．=++⎰-dx x xx 2222)cos 1(sin ππ______________ 8．[]⎰-=-++-11)()(22lndx x f x f xx_________，其中)(x f 连续。
10．设0)()(21=-+⎰x x f dx x f ，则=⎰1)(dx x f _______________11．若⎰=+101sinb dx x x，则=+⎰102)1(cos dx x x _________12．设)(x f 连续，则=-⎰x dt t x tf dxd 022)(____________ 13．=⎰022cos xdt t x dx d ______________ 14．=-⎰ππ222cos sin dx x x ____________15．=+-⎰-dx x x 112cos 21sin αα____________16．[]=-⎰π2sin )(cos 'cos )(cos dx x x f x x f ____________17．设)(x f 有一个原函数x xsin ，则=⎰ππ2)('dx x xf ____________18．若1≤y ，则=-⎰-11dx e y x x ___________19．已知2)2(x xex f =，则=⎰-11)(dx x f ________20. 已知)(x f 在),(+∞-∞上连续，且2)0(=f ，且设⎰=2sin )()(x xdt t f x F ，则=')0(F21．设⎪⎩⎪⎨⎧>⋅<--=⎰-x x x x dt t x x x e x f 0322 0 sin 0 31)(则=→)(lim 0x f x 22．函数dt t t t x x⎰+--=2112)(ϕ在区间[]2 0上的最大值为 ，最小值为23．若已知)(x f 满足方程⎰--=xdx x f x x x f 022)(13)(，则=)(x f24．已知函数)1( )1()(1-≥-=⎰-x dt t x f x，则)(x f 与x 轴所围成的面积为25．函数221x x y -=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23 ,21上的平均值为二、选择填空 1．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 2．若已知5)2(',3)2(,1)0(===f f f ，则=''⎰10)2(dx x f x ______________A.0B.1C.2D.-2 3．设)(x f 是以l 为周期的连续函数，则()⎰+++lk a kla dx x f )1(之值( )A.仅与a 有关B.仅与a 无关C.与a 及k 均无关D.与a 和k 均有关 4．若0→x 时，⎰''-=xdt t f t x x F 022)()()(的导数与2x 进等价无穷小，则必有( )(其中f有二阶连续导数)。
工科数学分析上册答案
工科数学分析上册答案【篇一：大连理工大学10,11,12上学期工科数学分析基础试题答案】ass=txt>一、填空题 (每题6分，共30分)abx21．函数f(x)ebx?1??xx?0??，limf(x)? ，若函数f(x)在x?0点连续，?x?0?x?0??则a,b满足。
（答案 b,a?b）x12nx?lim2．lim?，。
??22n??n2?n?1x??x?1 n?n?2n?n?n（答案1,e1） 2xetsin2t3．曲线?在?0,1?处的切线斜率为，切线方程为。
ty?ecost?（答案,x?2y?2?0）4．ex?y?xy?1，dy? ，y??(0)? 。
12y?ex?ydx,?2）（答案x?ye?xx2?ax?b?2，则a? ，b? 。
5．若lim2x?1x?x?2（答案 4,?5）二、单项选择题 (每题4分,共20分)1．当x?0时，?ax2?1与1?cosx是等价无穷小，则（）a．a?23，b．a?3，c． a?32，d．a?22．下列结论中不正确的是（）a．可导奇函数的导数一定是偶函数；b．可导偶函数的导数一定是奇函数；c．可导周期函数的导数一定是周期函数；d．可导单调增加函数的导数一定是单调增加函数；3．设f(x)?x3?xsin?x，则其（）a．有无穷多个第一类间断点；b．只有一个跳跃间断点；c．只有两个可去间断点；d．有三个可去间断点；4．设f(x)?x?x3x，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为（a．1b．2c． 3d．45．若limsinx?xf(x)x?0x3?0 ，则lim1?f(x)x?0x2为（）。
a．0；b．16； c． 1；d．?）。
三．（10分）求limx?0?x??x?2 tanx?arctanxg(x)sinx,x0四．（10分）设f(x)??，其中g(x)具有二阶连续导数，g(0)?0，x?x?0?a,g?(0)?1，（1）求a的值使f(x)连续；（2）求f?(x)；（3）讨论f?(x)连续性。
工科数学分析基础题集
工科数学分析题集一、选择题1. 下列关于函数极限的定义，正确的是（）A. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LB. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LC. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 LD. 对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| ≤ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L 答案：A解析：函数极限的精确定义为：对于任意给定的正数ε，存在正数δ，当 0 < |x - x₀| < δ时，|f(x) - L| < ε成立，则称函数 f(x) 在 x → x₀时的极限为 L。
2. 关于无穷小量的描述，正确的是（）A. 以零为极限的变量称为无穷小量B. 绝对值无限趋近于零的变量称为无穷小量C. 函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量D. 当自变量趋于某个值时，函数值无限趋近于零的变量称为无穷小量答案：A解析：以零为极限的变量称为无穷小量。
3. 下列关于无穷大量的说法，错误的是（）A. 绝对值无限增大的变量称为无穷大量B. 当自变量趋于某个值时，函数值的绝对值无限增大的变量称为无穷大量C. 无穷大量一定是无界变量D. 无界变量一定是无穷大量答案：D解析：无界变量不一定是无穷大量，但无穷大量一定是无界变量。
4. 对于函数极限的性质，下列说法不正确的是（）A. 函数极限具有唯一性B. 函数极限具有局部有界性C. 函数极限具有局部保号性D. 函数极限具有可加性，即若 lim(x→x₀) f(x) 和 lim(x→x₀) g(x) 存在，则 lim(x→x₀) (f(x) + g(x)) = lim(x→x₀) f(x) + lim(x →x₀) g(x) 一定成立答案：D解析：函数极限具有唯一性、局部有界性、局部保号性。
《工科数学分析2》教学大纲
《工科数学分析2》教学大纲一、课程概述《工科数学分析2》是大学工科数学的重要课程之一，是《工科数学分析1》的延续和拓展。
本课程主要讲解复变函数、级数和积分等内容，旨在培养学生的抽象思维能力和数学建模能力，为学生提供解决实际问题的数学工具。
二、教学目标1.掌握复数的定义和运算规则，了解复变函数的基本性质。
2.理解级数的概念和性质，掌握级数的求和方法和判敛定理。
3.掌握变量变换法解积分的基本方法，能够使用积分计算实际问题。
4.培养学生的抽象思维能力和数学建模能力，能够运用所学知识解决实际问题。
三、教学内容和安排1.复变函数(1)复数的定义和运算(2)复变函数的定义和性质(3)复变函数的基本运算法则(4)全纯函数与调和函数(5)复变函数的导数和积分(6)复变函数的级数展开2.级数(1)级数的概念和性质(2)正项级数的判敛定理(3)幂级数和Taylor级数(4)级数的求和方法3.积分(1)变量变换法(2)定积分的性质和计算方法(3)不定积分的计算方法(4)对数和指数的定义和性质(5)定积分的应用四、教学方法1.理论授课：通过讲解和演示，向学生介绍基本概念、定理和方法，培养学生的理论分析能力。
2.示例分析：通过具体例子分析，引导学生理解和应用所学知识，培养学生的问题解决能力。
3.课堂讨论：开展课堂讨论，鼓励学生积极参与，提高学生的思辨和探究能力。
4.实例练习：布置一定数量的课后习题，让学生独立思考和解决问题，巩固所学知识。
五、学习评价与考核1.平时成绩占总评成绩的30%，包括课堂表现、作业完成情况和课程讨论参与度等方面的评价。
2.期中考试占总评成绩的40%，测试学生对于基本概念、定理和方法的掌握情况。
3.期末考试占总评成绩的30%，综合测试学生对于整个课程的理解与应用能力。
六、教学资源1.教材：综合使用教材《工科数学分析2》，辅助教材《工科数学分析2习题解析》。
2.多媒体课件：利用多媒体技术，辅助教学，提高教学效果。
大连理工大学《工科数学分析基础》11-12高数答案
2011级《高等数学》,《工科数学分析基础》,《微积分》A 卷参考答案一、1. ()0)2()1(212=---+-z y x ，122121--=-=-z y x ；2. 3),2,2,1( ；3. 1-e ；4. 21(1)y y xy -+； 12(9ln36)dx dy ++；5 . 392,3zxy zx --二、1. A2. C3. C4. D5. B三、高等数学》和《工科数学分析基础》解：特征方程2320r r -+=，特征根121,2r r ==，212()x x Y x c e c e =+（4分） ()()xx m f x P x e xe λ==,所以(),1,,1x x m P x x m e e λλ====*()()()k x x m y x x Q x e x ax b e λ=⋅=+代入微分方程解得1,12a b =-=-（8分）所以，通解：*22121()()()()2x x x y x Y x y x c e c e x x e =+=++--。
（10分）《微积分》解： 由奇偶性有40Dxydxdy =⎰⎰，由轮换对称性有22DDx dxdy y dxdy =⎰⎰⎰⎰（6分）原式=224()Dx y dxdy +=⎰⎰212042d r rdr πθπ⋅=⎰⎰（10分）四、解： 设1D 为曲线22x y y =--和y 轴围成的区域，有11022sin 22sin DD D D ydxdy ydxdy ydxdy dx ydy d r rdr πθπθθ-+=-=-⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（8分）＝4284sin 432d πππθθ-=-⎰。
（10分） 五、解：由奇偶性⎰⎰⎰ΩV x d =⎰⎰⎰Ω=0d V y ，（4分） 2d )(d d d d )(d 022010:221022πθπ=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+⋅z zy x D r r z r z y x z y x z I z (截面法)（或）2d )(d d d )(d 121201221:22222πθσπ=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+≤+⋅ryx y x D z z r r r z z y x xy (投影法）（10分）六、解：由题意知，仅需求函数在闭区域上的最大值和最小值既可。
YT2010-2011高数(二)练习题-20110607
A. f ( x, y ) 在 (0 , 0) 处不连续; C. f ( x, y ) 在 (0 , 0) 处不可微;
B. f x (0 , 0) = f y (0 , 0) = 0 ; D. f x ( x, y ), f y ( x, y ) 在 (0 , 0) 处连续.
(2)设 f x ( x 0 , y 0 ) = 0 ， f y ( x 0 , y 0 ) = 0 ，则（ A . 二元函数 f ( x, y ) 在 ( x0 , y 0 ) 处连续；
高等数学(二) 练习题
一、填空题（5 题） 1．(1)直线过点 ( 0 , 2 , − 3) ，且与平面 x − y + 4 z + 1 = 0 垂直，则该直线的方程是． x − 2 y z +1 ●过点 (1,−1,−2) 且平行于直线 的直线方程为. = = 2 1 4
●直线 L :
x−7 y −4 z −5 与平面 π : 3 x − y + 2 z − 5 = 0 的交点 = = 5 1 4 x +1 y + 2 z + 3 垂直，则该平面的方程是 = = 4 1 −3
x2 + y 2 + z 2 =R2
∫∫
R 2 dxdy = R 2 ⋅ π R 2 .
(2)以下计算中错误的是 (
A.
)．
Ω
∫∫∫ Ω ( x
2
+ y 2 + z 2 ) dv = R 2 ∫∫∫
4 dv = R 2 ⋅ πR 2 , 其中 Ω : x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 ； 3
⎛ y⎞ ⎟ ； ⎝x⎠
2
） ．
A． ( x + y ) − ⎜ C． x
天津大学10112工科数学分析第二阶段考试试卷
y
y
1
y y
y
ex d x .
2. 计算
z dxdydz ，其中 为锥面 z
2
2
x 2 y 2 和平面 z 2 所围成的闭区域.
2
3. 已知曲线 L 是平面 x y z 0 与球面 x y z
2
2
2
R 2 的交线，计算曲线积分
(x
L
2
3 3 3
）
a dv ；
2
（B） 3
a dv ；
2
r
2
r 2 sin drdd d .
三、计算下列各题（每小题 8 分，共 40 分）
1. 计算 I
1 2 1 4
d y 1 e x d x 1 d y
x y 1 的交线，从 z 轴正向看去， L 为逆时针方向.
4
0
0
R 2 (cos t 2sin t )dt ；
（B） （D）
R
0
2
(sin t 2 cos t )dt ；
R 2 (cos t 2sin t )dt ；
0
R 2 (sin t 2 cos t )dt .
5.计算球面 x y z 4a 与柱面 x y 2ax 所围成的立体的体积，则正确的
3
一
二
三
四
成绩
核分人签字
[ x
D
3
f ( xy )]dxdy
2 2
.
2. 设 L 是圆周 x y 2 x ，则
10-11(二)高数(工)2期中考试试卷
上海应用技术学院2010—2011学年第二学期 《高等数学（工）2》期中试卷参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分），在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分．22222222221()()()()()24,2,42,2()22()()2()42213450()1()14545(()A a a aB a b b a bC a b b aD a b b a a b a b a b A B C D x zz y x y zxz y A B x C =⋅⋅=-⋅=⋅⨯=⨯==⋅=⨯⎧-=⎪⎨⎪=⎩++-=-=、下列等式成立的是（）、设且则等于（）、双曲线绕轴旋转一周而成的旋转曲面的方程为（）222222(,)(0,0)(,)(0,0))()1()14545423490234150624246()()()()292929295(,)(0,0)(,)(0,0)()lim[(,)(0,0)]0()lim()li x y x y y zxz y D x y z x y z A B C D f x y f x y f A f x y f B x y C →→++-=-=-++=-+-=--==+、两平行平面与的距离为()、二元函数在点处可微的充分必要条件是（）022(,0)(0,0)(0,)(0,0)m 0,lim()lim [(,0)(0,0)]0,lim [(0,)(0,0)]016(2),(,1)2()()()()x y x x y y x y xf x f f y f xyD f x f f y f z ex y y A B C D →→→→--==-=-==++-且且、设则点是该函数的（）驻点，但不是极值点驻点，且是极小值点驻点，且是极大值点偏导数不存在的点23111111117,,24()()()()8()()(),(),(),()()(1n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t y t z t x y z A B C D a b A a b B a b C a b D a b A ∞=∞∞∞∞====∞∞∞=====-=++=-++-∑∑∑∑∑∑∑∑、在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（）只有1条只有2条至少有3条不存在、若级数收敛，则均收敛至少有一个收敛不一定收敛收敛9、下列级数条件收敛的是（）2111111c o s )()(1)()(1)()nnnn n n n n n B nC D nnn ∞∞∞∞====+--∑∑∑∑11221211033211()4()()()334nnn n n n nn n na xb x a x b A B C D ∞∞==∞=∑∑∑、设幂级数与的收敛半径分别为与，则幂级数的收敛半径为（）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分），请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分．322211(2,3,6),_________;21012(2,4,0):320(,)s in (),(1,1)_________;14a rc ta n,_________;1x yx a a ax z M L y z f x y x y e x y f x y z u x yx y==+-=⎧⎨--=⎩=+--=+∂==-∂∂、设向量则与同方向的单位向量、过点且与直线平行的直线方程为______;13、设则、设则1115(8,8),______;(1)111116......__________.2!3!4!!nnn n n n a xa x n n n ∞∞==--+++++∑∑、若幂级数的收敛区间为则的收敛半径为、级数1+的和为三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）．17．若点(2,0,1)M -关于平面π的对称点为(6,10,3)N -，求平面π的方程．18．求过点(1,2,3)P -且与z 轴相交，又与直线32:432x y z L --==-垂直的直线方程．18．求点(1,2,9)M -在平面π：326x y z +-=上的投影．19．设vz u =，2u x y =+，2v x y =-，求z x∂∂，z y∂∂．20．设,y x z f xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中(,)f u v 是二元可微函数，求d z ．21．求函数u xy yz xz =++在点(1,2,3)P 处沿P 点处的向径方向的方向导数．22．判别级数12!nnn n n∞=∑的敛散性．23．将21()56f x x x =-+展开成(5)x -的幂级数．24．求幂级数121(1)21n nn xn -∞=--∑的收敛区间以及和函数．四、应用与证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）．25．在x o y 平面上求一点，使它到0x =，0y =及2160x y +-=三直线的距离平方和最小．26．设(,)z z x y =是由方程(,2)0F xy z x -=确定的隐函数，其中F 是可微函数，证明2z y z xx y∂∂-=∂∂．。
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工科数学分析习题课（10-11-2，第6周，五）
一.内容：函数的连续性，实数连续性有关定理的应用，闭区间上连续函数的性质。
二.要求：（1）理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型，了解初等函数的连续性
并会讨论函数的连续性；（2）理解闭区间上连续函数的四条性质，能应用这些性质讨论有关
问题。
三．课内题
1．填空或选择题：
（1）设
2
1ln(43),1(1)()2,1sin((1)),1e1xxxxfxxxxβα−
−
⎧
<
⎪
−
⎪
⎪
==
⎨
⎪
−
⎪
>
⎪
−
⎩
，若f在1x=处连续，则α= ，β= ；
（2）设
()ebxxfxa=
+
在(,)−∞+∞内连续，且lim()0xfx→−∞=，则常数,ab满足[ ]
()0,0Aab>>
， ()0,0Bab<<， ()0,0Cab≤>， ()0,0Dab≥<；
（3）设函数
,fg在R上有定义，()fC∈R且()0fx≠，()
gx
有间断点，则
()(())Afgx必有间断点， ()(())Bgfx
必有间断点，
2
()(())Cgx
必有间断点 ()()()gxDfx必有间断点；
（4）设
2
(1)sin()(1)xxfxxx+
=
−
，则f的连续区间为 ，间断点为 ，其
类型分别是 ；
（5）
4
01cos(1cos)limxxx→
−−
=
；
（6）lim(0,)aaxbxbbxxb→−>∈=−R ；
（7）
1
20lim(0)xxnx
x
xaaaan→
⎛⎞
+++
>=
⎜⎟
⎝⎠
L
。
2．证明函数211()sinfxxx=在(0,1)内无界，但当0x+→时，()fx不是无穷大量。
3．设
,()0,\xxfxx∈⎧=⎨∈⎩Q
RQ
，证明f仅在0x=处连续。
4．设函数f在(,)−∞+∞上有定义，且对,(,)xy∀∈−∞+∞，有()()()fxyfxfy+=+，
若
f在0x=处连续，证明f在(,)−∞+∞
上连续。
5．设[0,1]fC∈，且(1)0f=，又
2
1
2
()1lim112xfxx→−
=
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
，
证明：（1）(0,1)ξ∃∈，使()fξξ=；（2）f在[0,1]上的最大值大于1。
6．证明：函数
2
42
1()1xfxxx+
=
−+
在(,)−∞+∞上有界 。
7．设(,)fC∈−∞+∞，且(())ffxx=，证明：至少存在一点(,)ξ∈−∞+∞，使
()fξξ=
.
8. 设
[0,1],(0)(1)fCff∈=
，证明： 1,1(2,)nnnξ+⎡⎤∃∈≥∈⎢⎥⎣⎦N，使
1
()ff
n
ξξ
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠
。
9．设[,)fCa∈+∞，且lim()xfx→+∞=+∞，证明：()fx在[,)a+∞内取到最小值.
10．设
[,]fCab∈，数列{}[,]nxab⊂，若lim()nnfxA→∞=，证明方程()fxA=在[,]ab
上必有一个实根。
11．设
f在闭区间[,]ab上有定义，若对0[,]xab∀∈，0lim()xxfx→存在，证明f在[,]ab
上
有界。
12．思考题：下列命题是否正确？若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例。
（a）极限为无穷大的数列{}nx必是无界数列；
（b）无界数列
{}nx
必是无穷大量；
（c）无界数列{}nx必存在极限为无穷大的子列{}knx；
（d）若f在区间[,)ab上连续，则f在[,)ab上一致连续；
（e）若f在区间(,)ab内的每一个闭区间上连续，则f在(,)ab上一致连续；
（f）若f在区间(,)ab上连续，又有acdb<<<，则f在(,)cd上一致连续；
（g）若f在区间(,)ab和[,)bc上分别为一致连续，则f在(,)ac上一致连续。
13．设f在[,]ab上有定义，且满足：
（1）
(),[,]afxbxab≤≤∈；（2）对,[,]xyab∀∈
，有()()fxfykxy−≤− ，
其中常数k满足01k<<，证明存在唯一的0[,]xab∈，使00()fxx=。
14．设(),()fxgx在区间I上一致连续，问()(),()()fxgxfxgx±在I是否一致连续？
15．判断下列函数在所给区间上的一致连续性：
（1）1()esin,(0,)xfxxxπ−=∈； （2）11()esin,(0,)xfxxxπ−=∈；
（3）1(),(0,)fxxxx=+∈+∞； （4）()sin,(0,)fxxxx=∈+∞；
（5）()sin,(0,)fxxx=∈+∞。
四．课外题
1．设
[,]fCab∈，且[,]xab∀∈，[,]yab∃∈，使设1()()2fyfx=，证明：[,]abξ∃∈
，
使()0fξ=。
2．设
1210
nnn
aaaaa
−−
>+++
L
，试证方程
011coscos(1)cos0nnaaxanxanx−
+++−+=L
在
(0,2)
π
内至少有2n个实根。
3.Riemann函数
()Rx
的定义为
1,,,0,()0,p
xpqq
qq
Rx
x
⎧
=>⎪=⎨⎪⎩其中为互素整数，
为无理数
，
试确定()Rx的间断点及其类型（对于0x=，可写出001=，因此(0)1R=））