用向量求二面角的四种方法

作者：林明成

来源：《数理化学习·高三版》2008年第12期

向量法求二面角是一种独特的方法，因为它不仅是对传统方法的有力补充，而且还可以最大限度地避开思维的高强度转换和各种辅助线添加的困难，将灵活的逻辑推理转化为机械的代数运算.它降低了问题的难度，简缩了思维的过程，可操作性强.但在具体运用过程中也需针对具体问题采用不同的转化方式.

一、借助空间向量基本定理和向量夹角公式

例1 如图1，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，

SA=AB=BC=1，AD=1/2，求平面SCD与平面SAB所成锐角二面角的大小.

求二面角的六种方法

求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。它利用向量的夹角来表示二面角。首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。它利用坐标系中的点来表示二面角。我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大

小。例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。这些方法在实际应用中具有重要的意义，对于解决相关问题非常有帮助。通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用二面角的概念。

求二面角的六种方法

求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。具体步骤如下： 2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。 2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。 2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值： cosθ= n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥ 2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值： θ=arccos(cosθ)

三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。具体步骤如下： 3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。 3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。 3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。 3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。具体步骤如下： 4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。 4.2 应用余弦定理利用余弦定理计算夹角：cosC =a 2+b 2−c 22ab ，其中cosC 即为夹角的余弦值。

用向量求二面角4例

坐标法求二面角例举高二数学陈作美求两平面所成的二面角是立体几何的基本问题，也是核心问题，更是考试的重点所在。传统几何方法求二面角，一般都要经历“寻找二面角的平面角、证明是二面角的平面角，计算二面角的三角函数值”的过程，而这往往需要添加较多的辅助线，这给解题带来一定的困难。坐标法给出一种通过空间向量求二面角的简便方法，不需要“找、证”，只需“算”。当二面角所处的图形适合建立空间直角坐标系时，十分凑效。 1. 求二面角的公式如图1，两平面，向量是它们的法向量，设平面所成的二面角为θ，向量所成的为，则 cos θ=- 12 12 n n n n ?（注意：二面角的两个法向量都必须指向二面角的内部） 2. 平面的法向量求法在空间直角坐标系O －xyz 中，已知不平行的向量，在平面π上，设向量是平面π的法向量，则即，因为法向量有无数个，故可以通过任意取定的一个分量来确定一个特殊的法向量（但不能是零向量）。特别地，当平面π 在三个坐标轴上的交点

分别是A（a、0、0）、B（0、b、0）、C（0、0、c）（abc≠0）时，易证是它的一个法向量。 3. 应用例举例1. 如图2，正方形ABCD，ADEF的边长都是1，而且平面ABCD，ADEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若。（1）求MN的长；（2）当a为何值时，MN的长最小；（3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小的余弦值。（02年全国高考改编）解（仅解（3））由（2）可知，当M，N分别为AC，BF的中点时，MN的长最小。如图2，以线段AB的中点为原点建立空间直角坐标系，则M、，故分别是面MNA与面MNB的法向量，设面MNA与面MNB所成的二面角是θ，则，因此cos =-1/3.

空间向量二面角求法

空间向量二面角求法空间向量二面角是指两个非零向量之间的夹角。在空间中，向量的方向和大小都是重要的，因此求解空间向量的二面角是一项重要的任务。本文将介绍几种常见的方法来计算空间向量的二面角。一、点乘法点乘法是最简单直接的方法之一。给定两个向量a和b，它们的点乘结果可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。通过对点乘结果进行逆余弦运算，可以得到夹角的大小。然而，点乘法只适用于平面内的向量，对于空间向量则不适用。二、向量投影法向量投影法是通过将一个向量投影到另一个向量上，然后计算投影向量与原向量之间的夹角来求解二面角。具体方法是，首先计算向量a在向量b上的投影向量p，然后计算向量a与投影向量p之间的夹角θ。这种方法适用于空间向量，但需要计算向量的投影，相对复杂一些。三、向量叉乘法向量叉乘法是一种常用的求解空间向量二面角的方法。给定两个向量a和b，它们的叉乘结果可以表示为|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。通过对叉乘结果进行逆正弦运算，可以得到夹角的大小。这种方法适用于空间向量，且不需要计算向量

的投影，相对简单方便。四、三角函数法三角函数法是一种基于三角函数的计算方法。给定两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算： cosθ=(a·b)/(∥a∥∥b∥) sinθ=∥a×b∥/(∥a∥∥b∥) tanθ=sinθ/cosθ 通过上述公式，可以根据向量的点乘和叉乘结果来计算夹角的大小。这种方法适用于空间向量，且具有较高的计算准确性。总结：空间向量的二面角求解是一个重要的问题，涉及到向量的方向和大小。本文介绍了几种常见的求解方法，包括点乘法、向量投影法、向量叉乘法和三角函数法。这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解空间向量的二面角。在实际应用中，需要根据具体问题的要求和计算复杂度来选择合适的方法。

求解二面角的四种基本方法

求解二面角的四种基本方法高中数学学习过程中，求解二面角是高考理科高考的必考题型，多种角度，多种方法处理这类问题是一项重要的基本能力，是落实数学核心素养培养的基本方法，在教学过程中有必要对本类型习题进行详尽的介绍和广泛的探索，提升本类问题的处理方式和方法，是多种知识交汇，处理问题的能力的体现，本文根据近年高考题与模拟题中的常见题型，对常用的处理方法进行探究和总结，希望能够找到本类题型的常见处理方法，帮助学生建立良好的处理策略. 一、利用定义求解例1. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形， 23AC =，12A A BD ==,E 为1BD 中点. 求二面角E DC A --的余弦值. 分析过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，则EFO ∠是二面角E OC A --的平面角. 解答过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ， ∵1DD ⊥面ABCD ，1//OE DD ，∴OE ⊥面ABCD . ∴EFO ∠是二面角E OC A --的平面角. ∵1112OE DD ==，3OF =，∴7EF =，217 cos EFO ∠=. 故二面角E DC A --的余弦值为 217. 说明二面角是规则图形的面与面之间的角是，采用二面角的定义，直接做出角，利用边长的长度关系找到二面角的平面角之间的边长长度关系，进而求解二面角大小. 变式训练1 （2019年天津高考题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =， D C O A B

向量法求空间角、距离和二面角

向量法求空间角、距离和二面角 1.1.向量的数量积和坐标运算 a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b | a | | b | cos .其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是： —￥■—* 若a （x1,y1,^）,b （X2,y2,Z2），贝U ① a b X1X2 y〃2 Z1Z2; ②|a| X12y12z/,|b| X22目; Z22; ③ a b X1X2 y1 y2 z1z2 X1X2 y“2 Z1Z2 ④C0S a ， b 丨 2 2 2 厂 2 2 2 X1 y1 Z, . X2 y2 Z2 1.2.异面直线m,n所成的角分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所成的角等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所示），则cos |a b 1 .（例如2004年高考数学广东 D图1 b B |a| |b| 卷第18题第（2）问） 1.3.异面直线m、n的距离分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在

| AB n | n上的射影长，即d |n| 证明：设CD为公垂线段，取CA a, DB b （如图1所示），则

CD CA AB BD CD n (CA AB BD) |CD n| |AB n| d |CD| 皿 1 |n| 设直线m, n所成的角为，显然cos la b| |a| |b| 14直线L与平面所成的角在L上取定AB ,求平面的法向量n （如图2所示）, 再求cos ，则 |AB| | n| 2为所求的角. 1.5 . 二面角方法一：构造二面角量n1、门2 （都取向上的方向，如图3所示），则的两个半平面、的法向 ① 若二面角l 是“钝角型”的如图3甲所示, 那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos ri t n2 g | “2 | .(例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. ②若二面角l 是“锐角型”的如图3乙所示, 那么其大小等于两法向量n1、门2的夹角，即 n t n2 cos .（例如2004年高考数学广东卷第 |n 1 | |n2 | 图3 乙 18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、求出与I垂直的向量n1、门2 （如图4所示），则

例说用向量方法求二面角

例说用向量方法求二面角一、平面法向量的2种算法在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z = ，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有一种求法向量的办法也比较简便：若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ,0,0)、B (0,b ,0)、C (0,0,c )，定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A = a , y B = b , z C = c （a ,b ,c 均不为0），则平面 ABC 的法向量为111 (,,)(0)n a b c λλ=≠ ．参数λ 的值可根据实际需要选取．这种方法非常简便，但要注意几个问题：（1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为∞，法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x 轴平行（交点坐标值为∞），和y 轴、z 轴交点坐标值分别为b 、c ，则平面法向量为11 (0,,)n b c λ= ；若平面和x ,y 轴平行，和z 轴交点的坐标值为c ，则平面法向量为1 (0,0,)n c λ= ．（2）若平面过坐标原点O ，则可适当平移平面．例1．如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点。设SD = 2CD ，求二面角A －EF －D 的大小；解：不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ?? ?? ? ????? ，，，，，，，，，，，，，，．

六法求二面角

六法求二面角从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG F G

求二面角的方法

求二面角的方法求二面角的方法二面角是一个非常重要的概念，在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。它是指两个平面或曲面之间的夹角，也可以理解为一个三维图形中相邻两个面之间的夹角。在这里，我们将介绍几种求二面角的方法。方法一：向量法向量法是一种比较简单易懂的方法。首先，我们需要找到两个平面或曲面上的法向量，然后计算它们之间的夹角即可得到二面角。具体步骤如下： 1. 找到两个平面或曲面上的法向量。 2. 计算这两个法向量之间的夹角，可以使用余弦定理或内积公式进行计算。 3. 将得到的结果转换为度数制即可得到二面角。

例如，假设我们要求一个正四棱锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。首先，我们需要找到底面和侧棱所在平面上的法向量。底面上任意一点处垂直于底面且指向外部的单位法向量为(0,0,-1)，而侧棱所在平面上任意一点处垂直于该平面且指向内部的单位法向量为(1/√2,0,-1/√2)。然后，我们可以使用余弦定理计算它们之间的夹角，即 cosθ=（0×1/√2+0×0+（-1）×（-1/√2））÷（√（0²+0²+1²）×√（（1/√2）²+0²+（-1/√2）²）），得到cosθ=1/3。将其转换为度数制，即θ≈70.53°，即可得到二面角。方法二：三角形面积法三角形面积法是另一种求解二面角的方法。它需要先求出相邻两个面所在平面上的三个顶点，然后计算这三个顶点构成的三角形面积，最后根据正弦定理求出二面角。具体步骤如下： 1. 找到相邻两个面所在平面上的三个顶点。 2. 计算这三个顶点构成的三角形的面积。 3. 根据正弦定理计算出二面角。

例如，假设我们要求一个立方体中相邻两个正方形所在平面之间的二面角。首先，我们需要找到这两个正方形所在平面上的三个顶点。可以选择其中一个正方形上任意一点作为第一个顶点，然后在该正方形上选择任意两个相邻的点作为第二和第三个顶点。接着，我们可以计算这三个顶点构成的三角形面积，例如使用海龙公式。假设得到的面积为S，则根据正弦定理可知sinθ=（2S÷a²），其中a为正方形的边长。将其转换为度数制即可得到二面角。方法三：投影法投影法是一种比较直观的方法。它需要将相邻两个面在一个平面上进行投影，然后计算它们之间的夹角。具体步骤如下： 1. 将相邻两个面在同一个平面上进行投影。 2. 计算这两个投影图形之间的夹角。 3. 根据正割定理或余切定理计算出二面角。例如，假设我们要求一个圆锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。

立体几何向量法求二面角

立体几何向量法求二面角一、引言在几何学中，二面角是指两个平面或者一个平面和一个直线之间的夹角。它是描述多面体中相邻两个面之间的夹角的重要参数。在工程学、物理学和化学等领域，求解二面角是非常常见的问题。本文将介绍立体几何向量法求解二面角的方法。二、立体几何向量法立体几何向量法是一种非常有效的求解二面角的方法。它基于向量叉积和点积的运算，通过将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。1. 向量叉积向量叉积是两个向量所构成的新向量，其大小等于两个向量所构成平行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成平行四边形所在平面。设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的叉积c = a × b定义为： c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

其中c表示a和b所构成平行四边形所在平面上一条垂直这个平行四边形的向量。 2. 向量点积向量点积是两个向量所构成的标量，其大小等于两个向量夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的点积c = a · b定义为： c = a1b1 + a2b2 + a3b3 其中c表示a和b之间夹角的余弦值乘以它们的模长之积。 3. 二面角计算公式二面角可以通过计算相邻两个面法线向量之间夹角的余弦值来求解。具体地，设有一个多面体，其中相邻两个面A和B所对应的法线分别为nA和nB，则它们之间的二面角θAB可以通过以下公式计算： cosθAB = -nA·nB / |nA||nB| 其中“·”表示向量点积，“| |”表示向量模长。

向量法求二面角大小洋葱数学

向量法求二面角大小洋葱数学【最新版】目录一、引言二、向量法求二面角大小的原理 1.求出二面角两个面上的法向量 2.计算 cos（法向量 1，法向量 2）/（法向量 1 的模长，法向量 2 的模长） 3.根据 cos 值的符号判断二面角是锐角还是钝角 4.用反三角函数表示二面角的大小三、结论正文一、引言在数学中，二面角是指两个平面之间的夹角，它是一个重要的几何概念。在实际应用中，求解二面角大小有着广泛的应用。其中，向量法是求解二面角大小的一种有效方法。本文将从向量法的原理和具体步骤出发，详细介绍如何用向量法求二面角大小。二、向量法求二面角大小的原理 1.求出二面角两个面上的法向量法向量是垂直于平面的向量，它可以通过求解平面上的两个向量叉乘得到。假设平面 1 的法向量为 a，平面 2 的法向量为 b，则二面角θ的法向量分别为 a 和 b。 2.计算 cos（法向量 1，法向量 2）/（法向量 1 的模长，法向量 2 的模长）

根据向量的点积公式，可以得到 cos（法向量 1，法向量 2）= (法向量 1·法向量 2) / (法向量 1 的模长*法向量 2 的模长)。其中，法向量 1·法向量 2 表示法向量 1 与法向量 2 的点积，法向量 1 的模长和法向量 2 的模长分别表示它们的模长。 3.根据 cos 值的符号判断二面角是锐角还是钝角根据 cos 值的符号，可以判断二面角是锐角还是钝角。当 cos（法向量 1，法向量 2）>0 时，表示二面角为锐角；当 cos（法向量 1，法向量 2）<0 时，表示二面角为钝角。 4.用反三角函数表示二面角的大小根据 cos（法向量 1，法向量 2）的值，可以用反余弦函数求出二面角θ的大小。即：θ = arccos[(法向量 1·法向量 2) / (法向量 1 的模长*法向量 2 的模长)]。如果需要表示为度数，可以将结果乘以 180/π。三、结论向量法求二面角大小是一种简单且有效的方法，它通过求解法向量、计算 cos 值和反三角函数，最终得到二面角的大小。

二面角的表达方法

二面角的表达方法二面角是空间几何中的一个重要概念，它描述了两个平面或两条直线之间的夹角与它们共同的法向量的夹角。二面角的表达方法有很多种，下面我们来介绍几种常见的表达方法。 1. 余弦值表达法余弦值是一个三角函数，可以表示夹角的大小。在二面角中，如果两个平面或两条直线的法向量分别为a和b，那么它们的二面角cos值可以用下面的公式来计算： cosθ = (a·b) / (|a||b|) 其中，a·b表示a和b的数量积，|a|和|b|分别表示a和b的模长。如果a和b的模长都为1，则cosθ的值就是它们的二面角。 2. 矩阵表达法在二面角中，我们可以用矩阵来表示两个平面或两条直线的法向量。如果两个矩阵分别为A和B，那么它们的二面角可以用下面的公式来计算： cosθ = (tr(AB^T) - 1) / 2 其中，tr(AB^T)表示矩阵AB^T的迹，^T表示矩阵的转置。如果

A和B都是3×3的矩阵，则cosθ的值就是它们的二面角。 3. 体积表达法在二面角中，我们可以根据两个平面或两条直线的夹角和它们的法向量的长度来计算它们的体积。如果两个平面或两条直线的法向量分别为a和b，夹角为θ，那么它们的体积可以用下面的公式来计算： V = (|a||b|sinθ) / 3 其中，|a|和|b|分别表示a和b的模长，sinθ表示它们的夹角的正弦值。如果a和b的模长都为1，则V的值就是它们的二面角。 4. 角度表达法在二面角中，我们也可以直接用角度来表示两个平面或两条直线的夹角。如果两个平面或两条直线的法向量分别为a和b，那么它们的夹角可以用下面的公式来计算： θ = arccos((a·b) / (|a||b|)) 其中，a·b表示a和b的数量积，|a|和|b|分别表示a和b的模长。如果a和b的模长都为1，则θ的值就是它们的二面角。以上就是二面角的几种常见表达方法，不同的表达方法适用于不同

二面角的向量求法

漫谈向量法求解二面角台山华侨中学梁剑平向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。一. 利用法向量求二面角的大小的原理：设n 1, n 2分别为平面，的法向量，二面角基本结论构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角. 二. 如何求平面的一个法向量：例题1:如图3,在正方体 ABCD-ABC 1D 中G E 、F 分别为AA 、AB BC 的中点，求平面 GEF 的法向量。 l 的大小为，向量 m. （图1）或（图2）图1

略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系，贝U E（1 , 1,0）、F（丄，1,0）、 2 2 1 1 _______ 1 1 G（1,0，!）由此得:GE （0,；, -） FE （-, -0） 2 2 2 2 2 设平面的法向量为n （x, y,z）由n GE及n FE可得 1 1 n?GE y z 0 2 2 x y 1 1 z y n ? FE x y 0 y 2 2 令y=1取平面的一个法向量为n （1,1,1）评析因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。三.法向量的应用举例例题4.在长方体ABC—AB1CD中，AB=2 BC=4 AA=2,点Q是BC的中点，求此时二面角A-AD-Q的大小.

求解二面角的四种基本方法

二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θ cos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6 P C B A E

∴PEA ∠=90 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900 。例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC ∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM AB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2

立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结

一、几种角的范围 1、二面角平面角的范围： 2、线面角的范围： 3、直线倾斜角范围： 4、异面直线夹角范围： 5、向量夹角范围：二、立体几何中的向量方法 1．三个重要向量 (1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有_______个． (2)平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有_____个，它们是共线向量． (3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=0的正法向量为n=(A,B). 2．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用 (1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝λu2⇔______________________________；如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔_____________________. (2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔______________________. 若l⊥α，则u∥n⇔u＝k n⇔__________________________. (3)平面α的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．若α∥β，u1∥u2⇔u1＝k u2⇔(a1，b1，c1)＝______________；若α⊥β，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔________________________. 3．利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则