求二面角的六种方法
求二面角的六种方法
求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
一、向量法
向量法是一种简便的求解二面角的方法。它利用向量的夹角来表示二面角。首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。
二、坐标法
坐标法是一种常用的求解二面角的方法。它利用坐标系中的点来表示二面角。我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。
三、三角法
三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。
四、平面几何法
平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大
小。例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。
五、球面几何法
球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。
六、投影法
投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。
通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。
总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。这些方法在实际应用中具有重要的意义，对于解决相关问题非常有帮助。通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用二面角的概念。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法 求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。 一、向量法 向量法是一种简便的求解二面角的方法。它利用向量的夹角来表示二面角。首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。 二、坐标法 坐标法是一种常用的求解二面角的方法。它利用坐标系中的点来表示二面角。我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。 三、三角法 三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。 四、平面几何法 平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大
小。例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。 五、球面几何法 球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。 六、投影法 投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。 通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。 总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。这些方法在实际应用中具有重要的意义，对于解决相关问题非常有帮助。通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用二面角的概念。
二面角8种求法
二面角求法 正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。 一、平面角定义法 此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。 以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内 分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角， 如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β 两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。 例题1：已知正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中，O、O 1 是上下底面正方形的中心，求二面角O 1 -BC-O的 大小。 例题2：已知正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中，E、F为A 1 D 1 、C 1 D 1 的中点，求平面EFCA与底面ABCD 所成的二面角。 1
2 二、 利用三垂线定理法 此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。 如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ， 过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ， 连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影， 根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。 例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。 例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。 三、 线面垂直法 此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。方法是过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平面角。 如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O ，过O 作 平面γ⊥l ，α∩γ=AO ，β∩γ=BO ，得∠AOB 是平面角， ∵l ⊥γ，l ⊥AO ，l ⊥BO 。 ∴∠AOB 是二面角的平面角。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法 一、引言 二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。 二、向量法 向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。具体步骤如下： 2.1 确定两个平面 首先，我们需要确定需要求解的两个平面。平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。 2.2 求解法向量 找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。 2.3 计算二面角的余弦值 通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值： cosθ= n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥ 2.4 计算二面角 通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值： θ=arccos(cosθ)
三、三角函数法 三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。具体步骤如下： 3.1 确定两个平面 同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。 3.2 求解法向量和对应边长 求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。 3.3 计算三角函数的值 根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。 3.4 计算二面角 通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。 四、三边长法 三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。具体步骤如下： 4.1 确定三个边长 根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。 4.2 应用余弦定理 利用余弦定理计算夹角：cosC =a 2+b 2−c 22ab ，其中cosC 即为夹角的余弦值。
二面角8种求法专题
二面角求法专题 正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角，分析求二面角大小的八种方法：（1）平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。 一、平面角定义法 此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。 以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内 分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角， 如图二面角α-l-β中，在棱l上取一点O，分别在α、β 两个平面内作AO⊥l，BO⊥l，∠AOB即是所求二面角的平面角。 例题1：已知正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中，O、O 1 是上下底面正方形的中心，求二面角O 1 -BC-O的 大小。 例题2：已知正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中，E、F为A 1 D 1 、C 1 D 1 的中点，求平面EFCA与底面ABCD 所成的二面角。
二、 利用三垂线定理法 此方法是在二面角的一个平面内过一点作另一个面的垂线，再由垂足（或仍是该点）作棱的垂线，连接该点和棱上的垂足（或连两垂足）两点线，即可得二面角的平面角。 如图二面角α-l-β中，在平面α内取一点A ， 过A 作AB ⊥平面β，B 是垂足， 由B （或A ）作BO （或AO ）⊥l ， 连接AO （或BO ）即得AO 是平面β的斜线， BO 是AO 在平面β中的射影， 根据三垂线定理（或逆定理）即得AO ⊥l ，BO ⊥l ， 即∠AOB 是α-l-β的平面角。 例题3：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-AC-B 1的大小。 例题4：已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面ACD 1与平面BDC 1所成的二面角。 三、 线面垂直法 此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。方法是过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平面角。 如图在二面角α-l-β的棱上任取一点O ，过O 作 平面γ⊥l ，α∩γ=AO ，β∩γ=BO ，得∠AOB 是平面角， ∵l ⊥γ，l ⊥AO ，l ⊥BO 。
求二面角的6种方法【自己总结全面】
a O 课题3：二面角求法总结 一、知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、 二面角的求解方法 对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍： 一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 5、二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有： 6、 （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； 7、 （2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 （3）射影法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 （4）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （5）无交线的二面角处理方法 （6）向量法 二、二面角的基本求法及练习 1、定义法（从两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线可以相交也可异面，从而面面角就转化为线线角来求） 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫 做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面 内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面
六种方法求二面角的大小
六种方法求二面角的大小 河北省武邑县职教中心 053400 李凤迎 李洪涛 求二面角的大小是高考立体几何题中的重要题型，它几乎涉及到了立体几何中的所有知识点，考查到了所有思想和方法，具有很强的综合性.我们要根据题目环境条件的不同灵活地采用适当的方法.下面总结一下二面角的常见求法，以供大家学习和参考. 一、定义法 例1. 在三棱锥A BCD -中，AB AC AD BC ===，CD BD =，90BAC ∠=o ， 90BDC ∠=o ，求二面角A BC D --的大小. 分析 因为ABC ?和BCD ?是有公共边的等腰三角形，此时宜采用“定义法”. 解答 取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，因为OA 、OD 分别为等腰ABC ?和BCD ?的中线，所以AO BC ⊥，DO BC ⊥，则AOD ∠即为所求二面角A BC D --的平面角.设AB a =，则 AD a = ，AO = ，2OD a =，在AOD ? 中，因为2 2 2 2a a ???+=? ?? ????? ，即222AO OD AD +=，所以90AOB ∠=o ，所以二面角A BC D --大小为90o . 说明 当二面角的两个面是有公共边的等腰三角形和矩形的组合时，可采用“定义法”； 当二面角的两个面是关于公共边对称的两个全等三角形时，同时取公共边上的高，由定义可作出二面角的平面角. 变式训练1 （2008年高考题）在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC = , CD = ,AB AC =. 设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C AD E --的大小. 二、三垂线定理法 例2. 在三棱锥P ABC -中，AP BP BC ==， 90APB ABC ∠=∠=o ，面APB ⊥面PBC .（1）求证：APB ABC ⊥面面；（2）求二面 角P AC B --的大小. 分析 由（1）中APB ABC ⊥面面可知，此时宜采用“三垂 线定理法”作出二面角P AC B --的平面角.只需过P 作 PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH ，则PHO ∠即为所求. 解答 （1）略. （2）过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH .因为 APB ABC ⊥面面，=APB ABC AB I 面面，PO APB ?面，PO AB ⊥，所以 D C O A B O H C A B P E G O B D C A
求二面角的五种方法
求二面角的五种方法 一、定义法：由图形的特殊条件按定义直接作出. 如在空间四边形ABCD 中, AB =AC , DB =DC , 求二面角A -BC -D 的大小. 例1如图, 过正方形ABCD 的顶点A 作PA ⊥平面ABCD , 设PA =A B=a ,求二面角B -PC -D 的大小. 例2二面角α-BC -β大小为120°, A ∈α,B ∈β, 且AB ⊥BC , BC ⊥CD , AB =BC =CD =1, 求二面角A -BD -C 的正切值. 例3如图, 已知四面体SABC 中, ∠ASB =2π,∠ASC =α(0<α<2 π), ∠CSB =β(0<β< 2 π ), 二面角A -SC -B 的大小为θ, 求证：θ=π-arccos(cos α·cot β). 二、垂面法：通过作二面角棱的垂面, 此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角. 例4⑴空间三条射线PA ,PB ,PC 不共面, 若∠APC =∠APB =60°,∠BPC =90°, 则二面角B -PA -C 的大小是______； ⑵已知∠AOB =90°, 过O 点引∠AOB 所在平面的斜线OC , 使它与OA ,OB 分别成45°,60°的角, 则二面角A -OC -B 的余弦值为______. 例5如图, 在△ABC 中, AB ⊥BC , SA ⊥平面ABC , DE 垂直平分SC , 且分别交AC ,SC 于D ,E , 又SA =AB , SB =BC , 求二面角E -BD -C 的大小. 三、延伸法：若所求的两个面只有一个公共点是已知的, 因此要把两个面延伸面得到二面角的棱, 然后再求出它的平面角. 例6直角梯形ABCD 中, AB ⊥AD , AD ⊥CD , AB =2, CD =4, 平面PAD ⊥平面ABCD , △PBC 是边长为10的正三角形, 求平面PAD 和平面PBC 所成二面角的大小.
二面角求解方法
教师: 学生: 年级: 科目： 课次： 时间: 年 月 日 内容： 二面角求解方法总结 二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 P C B A E
在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 ∴PEA ∠=900 ∴二面角 P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角 A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=argtan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM AB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE P C A E F M E P C B A F 图1
二面角问题求解方法大全
二面角问题求解方法大 全 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
五法求二面角 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 例1如图，四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 练习1如图，已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=︒,E ，F 分别是BC , PC 的中点.（Ⅰ）证明：AE ⊥PD ; （Ⅱ）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为 6 2 ，求二面角E —AF —C 的余弦值. 二、三垂线法 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 例2． 如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形， AB 1 11111 ABCD P -ABCD 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ⊥AD PAB PC AD A BD P -- （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 练习3已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。 （1）求证：AC 1⊥BC ； （2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 四、射影面积法（cos s S 射影） 凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 例4．（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中， 2AC BC ==，90 ACB ∠=， AP BP AB ==，PC AC ⊥． （Ⅰ）求证：PC AB ⊥； （Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； 练习4： 如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. A B C E D P A C B P E A B C F E 1 A 1 B 1 C 1 D 1 D A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图5
求二面角的六种常规方法
求二面角的六种常规方法 二面角是指两个平面或两条直线的交角，常见的二面角有以下六种常规方法： 1.夹角法：即利用两个平面的夹角来计算二面角。给定两个平面，可以通过计算它们的法向量之间的夹角来得到二面角。这个方法常用于计算两个平面的夹角，如计算棱镜的二面角、计算物体的棱角二面角等。 2.夹线法：这种方法主要用于计算两条直线的交角。给定两条直线，可以通过计算它们的斜率之差来得到交角。这个方法常用于计算直线的交角，如计算两个平面的交线的二面角、计算两个物体的接触面边缘的二面角等。 3.余角法：这种方法是在夹角法的基础上进行的改进。给定两个平面或两条直线的夹角，可以通过计算其余角来得到二面角。余角是指二面角的补角，即与二面角相加等于180度的角。通过计算余角，可以得到二面角的大小和方向。 4.三角函数法：利用三角函数的性质，可以通过已知的边长或角度来求解二面角。根据已知的边长和角度，可以使用正弦、余弦或正切函数等来求解二面角。这个方法在计算复杂的三维图形或角度时非常有效。 5.矢量法：这种方法利用矢量的性质来计算二面角。给定两个平面或两条直线的法向量，可以通过计算它们的夹角来得到二面角。矢量法常用于计算立体图形的面角二面角、计算两个物体的平行面边缘的二面角等。 6.投影法：这种方法利用到给定的图形在投影面上的投影来计算二面角。给定两个平面或两条直线的投影面，可以通过计算它们的投影线之间
的夹角来得到二面角。投影法常用于计算物体的棱角二面角、计算物体在投影面上的映射角等。 以上六种常规方法是计算二面角常用的方法，根据具体情况选择合适的方法进行计算，可以提高计算的准确性和效率。
二面角的计算(方法加经典题型)
二面角的求法 （1）定义法——在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。注：o 点在棱上，用定义法。 (2)垂线法（三垂线定理法）——利用三垂线定理作出平面角，通过解直角三角形求角的大小。注：o 点在一个半平面上，用三垂线定理法。 (3)垂面法——通过做二面角的棱的垂面，两条交线所成的角即为平面角。注：点O 在二面角内，用垂面法。 (4)射影面积法——若多边形的面积是S ，它在一个平面上的射影图形面积是S`，则二面角θ的大小为COS θ= S`÷ S A 图3 α β O B l O 图5 β α l C B A
例题讲解 1、（本小题满分14分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面,,ABCD PD CD E =是PC 的中点，作EF PB ⊥交PB 于点F 。 （I ）求证：//PA 平面EDB ； （II ）求证：PB ⊥平面EFD ； （III ）求二面角P BC D --的大小。 2、 如图1-125，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC=CA ＝PC ，求二面角B －PA －C 的平面角的正切值。（三垂线定理法） 3．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小的余弦值； （2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 的正切值。 18、（本题满分14分） 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，， 60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点． （Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明⊥AE 平面PCD ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的正弦值． O 1 A 1 C 1 D 1 B 1 D C B A A B C D P E
二面角8种求法
平面角定义法 例题2:已知正方体 ABCD-ABCD 中，E 、 所 成的二面角 二面角求法 正方体是研究立体几何概念的一个重要模型，中学立体几何教学中，求平面与平面所成的二 面角是转化为平面角来度量的，也可采用一些特殊的方法求二面角，而正方体也是探讨求二面角 大小方法的典型几何体。笔者通过探求正方体中有关二面角， 分析求二面角大小的八种方法：（1） 平面角定义法；（2）三垂线定理法；（3）线面垂直法；（4）判定垂面法；（5）异面直线上两点间 距离公式法；（6）平行移动法；（7）投影面积法；（8）棱锥体积法。 此法是根据二面角的平面角定义，直接寻求二面角的大小。 以所求二面角棱上任意一点为端点，在二面角两个平面内 分别作垂直于棱的两条射线所成角就是二面角的平面角， 如图二面角a -l- B 中，在棱I 上取一点O,分别在a 、B 两个平面内作AC L I ，BOLI ，/ AOB 即是所求二面角的平面角 例题1:已知正方体ABCD-AB i CD 中，C O 是上下底面正方形的中心，求二面角 O-BC-O 的 大小。 C i C
利用三垂线定理法 此方法是 如图二面角a -l- B 中，在平面a 内取一点A, 过A 作AB 丄平面B ，B 是垂足， 由B （或A ）作B0（或AO 丄l ， 连接A0（或B0即得A0是平面B 的斜线， B0是 A0在平面B 中的射影， 根据三垂线定理（或逆定理）即得 A0LI ， B0LI ， 即/ A0B 是 a -I- B 的平面角。 例题3 :已知正方体 ABCD-A i C l D 中，求二面角 B-AC-B 的大小。 线面垂直法 例题4:已知正方体ABCD-ABiGD 中，求平面 ACD 与平面BDC 所成的二面角。 此法利用直线垂直平面即该直线垂直平面内任何直线的性质来寻求二面角的平面角。方法是 过所求二面角的棱上一点，作棱的垂面，与两个平面相交所得两条交线的所成角即是二面角的平 面角。 如图在二面角a -I- B 的棱上任取一点0过0作 平面丫丄I ， a G 丫 =A0 B G Y =B0得/ A0B 是平面角, v I 丄丫，I 丄 A0 I 丄 B0 •••/ A0B 是二面角的平面角。 I j D- C B A B
求二面角的方法专题
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二面角 一. 二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内 分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 二. 二面角的平面角的特点：①顶点在棱上；②两条边分别在两个平面内; ③与棱都垂直。 三. 二面角的平面角的范围：＜7€（0°480°] 四. 求二面角的平面角的方法：1•定义法（或垂面法）图A 2.三垂线法图B 3•射影面积法图C 典型例题： 方法一：定义法 1. 已知ZAO3 = 90S过点O引ZAO3所在平面的斜线OC与04, 03分别 成45°, 60°角，求二面角A-OC^B的大小。 2.D是AA3C所在平面外一点，连接AD、BD,CD、AB =、％ AC=BC = AD=BD = CD = a,则二面角A-CD-B的余弦值是 ________________ ■
3.如图，正方体ABCD-A^C.D,中，E为棱CG的中点，那么截面A/D和截面EBD所成的二面角为_____________ 4.在A4BC中，AB丄BC.SAL平面ABC, DE垂直平分SC,且分别交AQSC于 D、E ,乂SA = AB.SB =求二面角E-BD-C的大小。 B 5•如图，正方体ABCD-A^C.D,的棱长为1, P是AD的中点，求二面角 A_BD、_P的大小。
6.如图，已知点P为正方体的棱£5的中点，求二面角 P —AC — D的余弦值。 方法二：三垂线法： 7.如图所示，平面ABC丄平面ABD,ZACB = 90\CA = CB,SABD是正三角形, 则二面角C-BD-A的平面角的正切角为____________________ （孚）C
二面角求解方法
二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题,也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中.下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法:在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线,再由垂足向棱作垂线得到棱上的点.斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面,截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角. 4、投影法：利用s 投影面=s 被投影面θcos 这个公式对于斜面三角形,任意多边形都成立,是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P —BC-A 的大小. 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P —BC —A 的平面角 在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6 P C B A E
∴PEA ∠=900 ∴二面角P —BC-A 的平面角为900. 例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a ，求二面角A —PC-B 的大小. ［思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理(逆)来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：(三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC —B 的平面角 设PA=1，E 为AC 的中点，BE= 23，EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法) 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM AB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC ，PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC ， 平面PAE 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2
六法求二面角
六法求二面角 从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份， 并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26=AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG F G