空间余弦定理求二面角

空间余弦定理是三维空间中求解二面角的一种方法。在三维空间中，如果已知两个向量的方向和长度，可以通过计算它们的点积和矢量的模来求解它们的夹角。

设有两个向量A和B，它们的点积可以表示为A·B = |A| |B|

cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示二者夹角。如果两个向量的方向已知，那么可以通过求解上述方程来求解夹角θ。

在实际应用中，空间余弦定理常用于计算物体的运动、机器人定位、计算机视觉等领域。例如，在机器人定位中，当机器人需要确定自身与目标位置之间的夹角时，可以利用空间余弦定理来计算。

拓展：

除了空间余弦定理，还有其他方法可以求解二面角。其中，一个常用的方法是使用向量叉积来计算二面角的正弦值。向量叉积的模可以表示为|A×B| = |A| |B| sinθ，其中A×B表示向量A和B的叉积，θ表示二者夹角。

通过将空间余弦定理和向量叉积结合起来，可以进一步计算二面角的正切值。二面角的正切值可以表示为tan(θ/2) = |A×B| /

(A·B + |A×B|)。这种方法常用于相机标定、图像处理等领域。

空间余弦定理和其他方法可以根据具体的应用场景选择使用。在实际应用中，根据需要求解的夹角类型，可以选择最适合的方法来进行计算。无论使用哪种方法，计算二面角可以帮助我们更好地理解和分析空间中的物体运动、角度关系等问题。

求二面角的六种方法

求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。它利用向量的夹角来表示二面角。首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。它利用坐标系中的点来表示二面角。我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大

小。例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。这些方法在实际应用中具有重要的意义，对于解决相关问题非常有帮助。通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用二面角的概念。

专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-

专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法【高考地位】立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题. 类型一空间中线线角的求法方法一平移法例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A. 6π B. 4π C. 3π D. 2 π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点 F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（）

A B C D ． 79 【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体 1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（） A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,63ππ⎡⎤⎢ ⎥⎣⎦ C ．,43ππ⎡⎤⎢ ⎥⎣⎦ D ．, 32ππ⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ 【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中， 2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所成的角为（） A ． π 6 B ． π4 C ． π3 D ． π2 【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ， 4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC 上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（） A ． 1 6 B ． 3 C D ． 6 方法二空间向量法

高一数学空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)

空间角求法（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面举例说明。一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设 EC 1与FD 1所成的角为β，则： 11 2222221121 cos 14132(4)22 EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++

∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为 14 解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ，有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。在Rt △BE 1F 中， 1E F = = = 。在Rt △D 1DE 1中， 11D E ==== 在Rt △D 1DF 中，1FD = === 在△E 1FD 1中，由余弦定理得： 222111111111cos 2D E FD E F E D F D E FD +-∠==⨯⨯ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为 14 。可见，“转化”是求异面直线所成角的关键。平移线段法，或化为向量的夹角。一般地，异面直线l 1、l 2的夹角的余弦为： cos AC BD AC BD β⋅= ⋅。二、直线和平面所成的角斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影、通过解直角三角形求解；向量法则利用斜线和射影的夹角或考虑法向量，设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的

求二面角的方法

求二面角的方法求二面角的方法二面角是一个非常重要的概念，在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。它是指两个平面或曲面之间的夹角，也可以理解为一个三维图形中相邻两个面之间的夹角。在这里，我们将介绍几种求二面角的方法。方法一：向量法向量法是一种比较简单易懂的方法。首先，我们需要找到两个平面或曲面上的法向量，然后计算它们之间的夹角即可得到二面角。具体步骤如下： 1. 找到两个平面或曲面上的法向量。 2. 计算这两个法向量之间的夹角，可以使用余弦定理或内积公式进行计算。 3. 将得到的结果转换为度数制即可得到二面角。

例如，假设我们要求一个正四棱锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。首先，我们需要找到底面和侧棱所在平面上的法向量。底面上任意一点处垂直于底面且指向外部的单位法向量为(0,0,-1)，而侧棱所在平面上任意一点处垂直于该平面且指向内部的单位法向量为(1/√2,0,-1/√2)。然后，我们可以使用余弦定理计算它们之间的夹角，即 cosθ=（0×1/√2+0×0+（-1）×（-1/√2））÷（√（0²+0²+1²）×√（（1/√2）²+0²+（-1/√2）²）），得到cosθ=1/3。将其转换为度数制，即θ≈70.53°，即可得到二面角。方法二：三角形面积法三角形面积法是另一种求解二面角的方法。它需要先求出相邻两个面所在平面上的三个顶点，然后计算这三个顶点构成的三角形面积，最后根据正弦定理求出二面角。具体步骤如下： 1. 找到相邻两个面所在平面上的三个顶点。 2. 计算这三个顶点构成的三角形的面积。 3. 根据正弦定理计算出二面角。

例如，假设我们要求一个立方体中相邻两个正方形所在平面之间的二面角。首先，我们需要找到这两个正方形所在平面上的三个顶点。可以选择其中一个正方形上任意一点作为第一个顶点，然后在该正方形上选择任意两个相邻的点作为第二和第三个顶点。接着，我们可以计算这三个顶点构成的三角形面积，例如使用海龙公式。假设得到的面积为S，则根据正弦定理可知sinθ=（2S÷a²），其中a为正方形的边长。将其转换为度数制即可得到二面角。方法三：投影法投影法是一种比较直观的方法。它需要将相邻两个面在一个平面上进行投影，然后计算它们之间的夹角。具体步骤如下： 1. 将相邻两个面在同一个平面上进行投影。 2. 计算这两个投影图形之间的夹角。 3. 根据正割定理或余切定理计算出二面角。例如，假设我们要求一个圆锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。

数学二面角的求法总结

数学二面角的求法总结数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。它是一个重要的几何概念，在计算机图形学、物理学、化学等领域都有广泛的应用。本文将总结数学二面角的求法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。一、定义数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。具体来说，设平面P1和平面P2相交于一条直线L，将P1和P2分别沿着L旋转，直到它们重合为止。此时，P1和P2的夹角就是它们的二面角。二、求法 1. 余弦定理法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有： cosθ =(n1·n2) / (|n1|·|n2|) 其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模长。由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。因此，上式可以简化为： cosθ = n1·n2

这个式子就是余弦定理。它告诉我们，两个向量的点积等于它们的模长乘以夹角的余弦值。因此，我们可以通过求出n1和n2的点积来计算二面角的余弦值，然后再用反余弦函数求出夹角。 2. 向量叉积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有： sinθ = |n1×n2| / (|n1|·|n2|) 其中，×表示向量的叉积。由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。因此，上式可以简化为： sinθ = |n1×n2| 这个式子就是向量叉积的模长公式。它告诉我们，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘以夹角的正弦值。因此，我们可以通过求出n1和n2的叉积的模长来计算二面角的正弦值，然后再用反正弦函数求出夹角。 3. 三角形面积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有： sinθ = 2·S / (|P1|·|P2|) 其中，S表示P1和P2的交线段所在的平面的面积，|P1|和|P2|分

法向量求二面角余弦值公式

法向量求二面角余弦值公式法向量求二面角余弦值公式是用来求解三维空间中两个不同方向的法向量之间的夹角的余弦值的一种公式。它是一种有用的工具，可以用来计算夹角的大小，以及两个法向量之间的方向性。首先，什么是法向量？法向量是一种特殊的二维向量，它的分量指示着从一个坐标到另一个坐标的方向，但它不指示距离。它一般用来描述平面或曲面的方向，如平面的法向量指向的是平面的法线方向。接下来，我们来看一下公式本身。法向量求二面角余弦值公式是： cosθ = n 1n 2 /（ | n 1 | | n 2 | 其中表示两个法向量的夹角，n 1 n 2别表示两个不同方向的法向量，| n 1 | | n 2 |别表示其向量长度。从上面的公式可以看出，计算两个法向量之间的余弦值需要一些数学知识，尤其是矢量代数方面的知识。如果没有深入理解它的相关内容，可能会遇到一些困难。然而，这种公式也是一个非常有用的工具，因为它可以求出任意两个法向量之间的夹角。在可视化和空间模型中，它可以让我们快速准确地计算出两个法向量之间的夹角。比如，在建筑中，我们需要精确测量出梁的弯曲角度，这时就可以用法向量求二面角余弦值公式来计算。另外，在数字图像处理中，如果我们想要知道两个不同方向上的像素之间的夹角，那么也可以利用这种公式来求解。此外，在机器学习中，当我们需要测量两个特征向量之间的角度

时，也同样可以用这种公式来计算。例如，在自然语言处理（NLP）任务中，我们可以用它来判断两个字的相似程度。总之，法向量求二面角余弦值公式是一种有益的工具，它可以让我们快速准确地计算出任意两个不同方向的法向量之间的夹角余弦值。它在许多不同的应用领域中都有用，比如建筑，数字图像处理，机器学习，以及自然语言处理，等等。因此，这种公式可以说是在不同学科中都很有用，是三维空间中两个不同方向的法向量之间夹角余弦值求解的有效方法。

空间余弦定理求二面角

空间余弦定理求二面角空间余弦定理是几何学中一个重要的定理，它常被用来求解二面角的值。在这篇文章中，我们将会详细介绍空间余弦定理的定义、公式以及具体的计算方法，帮助读者更好地理解二面角的概念。首先，我们需要了解什么是二面角。二面角指的是两个平面在空间中的夹角，其中一个平面是以一个线段为边界的平面，这个线段又被称为二面角的轴线。此时，另一个平面的任意法线都会与轴线形成一个角度，这个角度就是二面角。例如，当我们拿起一支笔，它的笔尖和笔身所在的平面就是二面角的两个平面，它们的夹角就是笔的二面角。那么，如何求解空间中的二面角呢？这时就需要用到空间余弦定理了。空间余弦定理是一个求解空间中角度的公式，它表示为：cosα = (a·b) / (|a|·|b|) 其中，α代表两个向量之间的夹角，a和b分别代表两个向量，a·b表示两个向量的数量积，|a|和|b|表示两个向量的模长。这个公式就是我们用于计算二面角的工具。具体来说，如果我们已知二面角轴线两侧的法向量a和b，就可以用空间余弦定理来计算二面角的值了。首先，我们要求出a和b的模长，即|a|、|b|，然后计算它们的数量积a·b，把结果代入余弦定理

中，就能得到二面角的余弦值。最后，我们可以使用反余弦函数cos⁻¹来计算二面角的角度值。需要注意的是，空间余弦定理仅适用于求解具有单峰性质的二面角，即在轴线两侧仅存在一个相交面。如果存在多个相交面，就需要把整个二面角分解成多个部分进行计算，最后将它们相加得到整个二面角的值。总之，空间余弦定理是一种非常有用的工具，可以帮助我们在复杂的空间环境中计算二面角。希望本文能够帮助大家更好地理解和运用这个定理，从而解决实际问题。

二面角余弦值求法

二面角余弦值的求法【示例范文仅供参考】 ---------------------------------------------------------------------- 二面角是指四面体四个面构成的角，可以用余弦值来表示，即二面角余弦值。设四面体四个顶点为A、B、C、D，其向量为向量AB、AC、AD，该四面体的二面角余弦值设为cos_ABCD。求解cos_ABCD的步骤如下： 1、计算向量AB、AC、AD的长度分别为a、b、c。 2、计算三角形面BCD的面积为S。 3、计算高度h，即点A到三角形面BCD的距离。 4、根据余弦定理求出角ABC，ACD，ABD的余弦值。可以用向量点积公式： cosθ = (A·B)/(‖A‖‖B‖) 其中A·B = AxBx + AyBy + AzBz 将向量AB、AC、AD进行点积运算后，带入上式即可求出

cos_ABC，cos_ACD和cos_ABD的值。 5、根据向量的数量积公式，可以得到cos_ABCD的值： cos_ABCD = (cos_ABCcos_ACD - cos_ABD) / (sin_ABCsin_ACD)。其中，sin_ABC和sin_ACD可以通过向量积公式求出，即 sinθ = ‖AxB‖ = ‖A‖‖B‖sinθ 其中AxB = (AyBz −AzBy)i + (AzBx −AxBz)j + (AxBy −AyBx)k 代入AB、AC向量即可计算出。以上就是二面角余弦值求法的完整介绍。

立体几何中二面角的求法(教师版)

高二文科数学培优：立体几何中二面角的求法编写：林洪兵2016-1-6 一、定义法：例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A 1BD 、EBD 所成二面角的平面角，设AC 、BD 交于O ，连EO ，A 1O ，由EB=ED ，A 1B=A 1D 即知EO⊥⊥BD，A 1O⊥BD，故∠EOA 1为所求二面角的平面角。变式1：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C 1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC 1 是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。将题目略作变化，二面角A 1-BD-C 1的余弦值为 . 在图1中，∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cos ∠A 1OC 1=3 1 二、三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义. 此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角βα--l ，过面α 内一点P 作PA ⊥α于A ，作AB ⊥l 于B ，连接PB ，由三垂线定理得PB ⊥l ，则∠PBA 为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法. 最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt △PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例2 如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的度数。分析与解本题应用垂线法作出二面角的平面角，因△VBC 为等腰三角形，E 为VC 中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED ，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC ，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC 。例3(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点A 在直线l 上的射影为A 1，点B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求： (Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A 1－AB －B 1的正弦值. 分析与略解：所求二面角的棱为AB ，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性. 作A 1E ⊥AB 1于AB 1于E ，则可证A 1E ⊥平面AB 1B.过E 作EF ⊥A B 交AB 于F ，连接A 1F ，则得A 1F ⊥AB ，∴∠A 1FE 就是所求二面角的平面角. 依次可求得AB 1=B 1B=2，A 1B=3，A 1E=2 2 ，A 1F=23，则在Rt △A 1EF 中，sin ∠A 1FE=A 1E A 1F =63 . 三、垂面法：例3 如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。 A 图3 α β P B l 图4 B 1 A α β A 1 B l E F

二面角求法大全

二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题. 总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事. 1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！. 例1 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C 1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC 1 是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。将题目略作变化，二面角A 1-BD-C 1的余弦值为 . 在图1中，∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cos ∠A 1OC 1= 3 1 例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起到△A 1EF 的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连接A 1B 、A 1P. (Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A 1P-F 的余弦值。分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△ PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=552，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=8 7 -。练习：2011广东高考理18.(本小题满分13分) 如图5.在锥体P-ABCD 中，ABCD 是边长为1的菱形，且∠DAB=60︒ ，PA PD == ,PB=2, E,F 分别是BC,PC 的中点. (1) 证明：AD ⊥平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B 的余弦值. 解：(2) 由（1）知PGB ∠为二面角P AD B --的平面角，在Rt PGA ∆中，2 217 ()24 PG = -=；在R t B G A ∆中， D B 1 图1 A O A 1 C B D 1 C 1 O 1 M A F A 1 Q P B C E C P E F 图2(2) 图2(1) Q G P A B C Ｓ D Ｓ F E

二面角的求法

二面角的常见求法重庆市南华中学校谭少锋二面角是空间角中三大角之一，它是立体几何中的重点，是教学中的难点，也是多年来高考中的热点。但是我们在平常求二面角大小的时候，往往不知所措，甚至找不到问题的突破口，导致得分率偏低。二面角是不能直接度量的，它的大小需要借助于二面角的平面角的大小来度量。二面角的平面角是几度，我们就说这个二面角是几度。习惯上我们把求二面角平面角的大小就是求二面角的大小。由二面角的平面角定义可知它必须具备三个条件：①、角的顶点在二面角的棱上；②、角的两边分别在二面角的两个面（半平面）内；③、角的两边分别与二面角的棱垂直。尽管其定义很“死”，但它的应用很“活”，因为它的顶点在“棱”上没有固定的位置，具有开放性，尤其是空间的两线垂直不直观的时候，难以把握住谁是我们要找的二面角。2 因此如何找（或作）出二面角的平面角，便成为求二面角大小的关键。尽管二面角很难求解，但它总有其常见的解法。下面就其常见解法给予举例说明。（1）、定义法定义法就是在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作（或找）出棱的垂线，得出二面角的平面角。用定义法的关键是要认真观察图形的结构特征，在棱上选取一个适当点必须与已知条件联系起来。例1、已知三棱锥P －ABC 的三个侧面与底面全等，且 BC ＝2，则二面角P －BC －A 的大小为（） A 、 4π B 、 3π C 、 2 π D 、 23π 分析：（如图），由三棱锥的三个侧面与底面全等，且 AB ＝AC PA=2。取BC 的中点E ，连结AE ，PE ，则PEA ∠符合二面角平面角的定义，所以 PEA ∠即为所求二面角的大小。且。 ∵AP 2=AE 2＋PE 2，∴PEA ∠＝2 π 。故选C 。例2、四边形ABCD 是边长为6的正方形，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝8。求：二面角B SC D --的大小。解析：（如图）过B 作BE ⊥SC 于点E ，连结DE ，由△BEC ≅△DEC 知ED ⊥SC, 故BED ∠就是二面角B －SC －D 的平面角，在△BCD 中易知BD ＝，在△SBC 中BE ＝SC BE BC ⨯==⨯34210617=DE ，在△BED 中,用余弦定理知： 2229 cos 225 BE DE BD BED BE DE +-∠==-⋅。 P C B E A C S B D A E

高中立体几何中二面角经典求法

高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。（一）、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 (二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角； 2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； 3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。 ∵PA ⊥α, а⊂α ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA ⊂平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,.

∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60° 2、三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中由三垂线定理可得： ∴ CD =2 CE=1, DE= 5 3、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD ⊂平面PCD ， B C 所以平面PCD ⊥平面PAD ．同理可证平面PAB ⊥平面PAD ．因为平面PCD ∩平面PAD ＝PD ，平面PAB ∩平面PAD ＝PA ，所以PA 、PD 与所求二面角的棱均垂直，即∠APD 为所求二面角的平面角，且∠APD ＝45°． A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O CO DE O C C ，连结，作过点⊥11DE CO ⊥的平面角为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形是边长为又2ABCD CO DE CE CD S CDE Rt CDE ⋅=⋅=∆∆2 1 21中，在1 1=CC 又5 5 2tan 1= ∠∴OC C 5 52tan arg 1 =∠∴OC C 5 5 2= ∴CO

二面角求法及经典题型归纳

二面角求法归纳 18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 222-=-=⨯⨯- +=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G

高考数学复习-二面角的求法

高考数学-二面角几种常见问题的求解方法 1.引言在高中空间几何的问题中，如何去求解两个平面的二面角的问题对很多同学来说十分棘手。许多同学一遇到这种问题就比较头疼，特别是针对那些所给已知条件比较少的问题。例如：在求二面角的问题中，许多都是没有给出直观的二面角的平面角，这就要求同学们会作辅助线，同时，一些问题中还需要很高的计算能力。在历年的高考题中，很多都出现了求二面角的题目，如2010年的安徽卷（第18题）、2010年的浙江卷（第20题）、2010年的陕西卷（第18题）、2009年的山东卷（第18题）、2009年的安徽卷（第18题）等等。这就说明，二面角问题在高考中是一个热门的考点。因此，研究求解二面角问题的方法，有很大的研究价值。 2.二面角及二面角的平面角的概念先来叙述一下中学教材中二面角的概念以及二面角的平面角的概念。（[引]） 2.1二面角的概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 2.2二面角的平面角的概念如图1所示，在二面角l αβ--的棱l 上任意取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角

的平面角。图1 3.求解二面角问题的几个难点在求解空间几何问题的时候，经常会遇到求二面角的问题，求此类问题的难点具体体现在以下三个方面： 3.1需要添加辅助线从二面角的定义来看，二面角的条件要求比较高，要求两条射线分别在两个半平面内且都垂直于这两个半平面的交线，在一般的空间图形中很难直接发现满足这样条件的角。在这样的情况下只有借助添加辅助线等方法来解决问题，而添加辅助线是一个很难掌握的技巧。同时新添加的辅助线的长度以及它们与其余各条直线、各个平面所成的角度，还需要经过进一步计算才能够得到。这无形中给二面角的求解过程带来了很多困难。 3.2线面关系隐藏的深在有些问题中，没有直接给出直线所成的角度，只给出了空间图形中的部分线段长度。这类问题，不仅要求答题者有很好的空间想象能力，还要求他们能根据长度求角度。 3.3计算量巨大一般是根据长度求角度，这就会用到余弦公式，余弦公式是一个计算量十分大的公式。有些问题还可以用空间坐标系的向量间的角度来解决，同样也需要做很多很复杂的计算。 4.二面角问题的求解方法

求二面角

高考中求二面角的常考方法总结适用学科数学适用年级高三年级适用区域全国课时时长（分钟）120 知识点直线垂直平面；平面与平面垂直；二面角的平面角的定义；空间直角坐标系的建立；教学目标1 理解和掌握求二面角的方法是高考的一个重点。 2 掌握二面角的常考形式并培养学生应用数学分析、解决实际函数的能力，空间想象能力。 3 培养学生学习的积极性和主动性，发现问题，善于解决问题，探究知识，合作交流的意识，体验数学中的美，激发学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好品质。教学重点做二面角的平面角、计算二面角。教学难点用直线垂直平面法做二面角，建立空间直角坐标系求二面角。

教学过程一课堂导入高考中对求二面角的平面角要求很高，而且难度很大，学生们做的一般不好。现在我们就这个问题做一下研究，如何用直线垂直平面法做二面角的平面角，如何用空间向量法求二面角等常考方法。一定让大家把这些常考方法学到手，熟练提高综合应用能力和空间想象能力。 1. 设P 是二面角βα--l 内一点，P 到面βα,的距离PB PA ,分别为8和5，且7=AB ，求这个二面角的大小。 2. 正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，P 是侧棱1AA 上任意一点．当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的余弦值。 3. 四边形ABCD 是一个矩形，点E 和点F 分别在边AD 和边AB 上，其中4AE AF ED ===，6FB =。现在以直线EF 为折痕，将三角形AEF 折起，得到三角形'A EF ，同时使得平面'A EF 与底面ABCD 垂直。求二面角'A FB C --的余弦值。二复习预习 1空间点、直线、平面的位置关系（1）平面 ① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的； ② 平面的表示：通常用希腊字母γβα,,表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。 ③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉ 点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：l A ∈；点A 在直线l 外，记作l A ∉；直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作α⊂l ；直线l 不在平面α内，记作α⊄l 。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内。用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是l ，记作l =βα ，符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈。公理3的作用： ①它是判定两个平面相交的方法。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。 ③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行

高考数学专题：二面角三类问题六种解题策略方法

αβa O A B 二面角三类问题六种解题策略方法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，我们分为三类问题六种解题方法。从而给出二面角的通性通法。第一类：有棱二面角的平面角的方法方法1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1、（全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60° （I ）证明：M 在侧棱的中点（II ）求二面角的余弦值。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则即为所求二面角. ∵2=SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，060=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3=BF 在△GAB 中，2 6 = AG ，2=AB ，090=∠GAB ，∴2 11423=+=BG S ABCD -ABCD SD ⊥ABCD 2AD =2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --ABM B BF AM ⊥AM F F GF AM ⊥F GFB ∠ F G