法向量求二面角正弦值公式
法向量求二面角正弦值公式
首先，我们需要了解一些基本的向量和二面角的知识。在三维空间中，一个向量可以用它的坐标表示为V=(x,y,z)，其中x、y和z分别是向量
在x、y和z轴上的分量。向量的模（或长度）可以通过勾股定理计算得出：，V，=√(x^2+y^2+z^2)。
两个平面的法向量可以用来确定它们之间的夹角。设P1和P2是两个
平面，它们的法向量分别为N1和N2、我们可以计算它们的夹角θ，其中
0≤θ≤π。在这种情况下，不同方向的夹角θ可能有相同的正弦值，因
此我们只考虑θ在0到π之间的情况。
假设θ是二面角的夹角，则它们的法向量可以表示为：
N1=(x1,y1,z1)
N2=(x2,y2,z2)
两个向量的内积（点积）可以定义为：
N1·N2=x1*x2+y1*y2+z1*z2
同时，我们还可以使用向量的模来计算它们之间的夹角的余弦值：
cos(θ) = N1·N2 / (，N1， * ，N2，)
这就是求两个向量夹角余弦的公式。
然而，我们的目标是求得夹角的正弦值。为了得到它，我们需要利用
一些三角恒等式。
正弦函数（sin）和余弦函数（cos）之间有一个很重要的关联：
sin(θ) = √(1 - cos^2(θ))
我们可以将上述的夹角余弦值代入这个公式，得到夹角正弦值的公式：sin(θ) = √(1 - (N1·N2 / (，N1， * ，N2，))^2)
这就是求二面角正弦值的公式。
值得注意的是，由于两个法向量的方向不同，它们之间的夹角的正弦
值可能有两个值。例如，在0到π之间的夹角的正弦值和在π到2π之
间相同。因此，在计算二面角正弦值时，我们需要考虑这两个可能的值。
这是关于法向量求二面角正弦值公式的详细解释。我们可以使用这个
公式在三维空间中计算平面之间的夹角。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法 求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。 一、向量法 向量法是一种简便的求解二面角的方法。它利用向量的夹角来表示二面角。首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。 二、坐标法 坐标法是一种常用的求解二面角的方法。它利用坐标系中的点来表示二面角。我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。 三、三角法 三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。 四、平面几何法 平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大
小。例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。 五、球面几何法 球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。 六、投影法 投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。 通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。 总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。这些方法在实际应用中具有重要的意义，对于解决相关问题非常有帮助。通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用二面角的概念。
法向量求二面角正弦值公式
法向量求二面角正弦值公式 首先，我们需要了解一些基本的向量和二面角的知识。在三维空间中，一个向量可以用它的坐标表示为V=(x,y,z)，其中x、y和z分别是向量 在x、y和z轴上的分量。向量的模（或长度）可以通过勾股定理计算得出：，V，=√(x^2+y^2+z^2)。 两个平面的法向量可以用来确定它们之间的夹角。设P1和P2是两个 平面，它们的法向量分别为N1和N2、我们可以计算它们的夹角θ，其中 0≤θ≤π。在这种情况下，不同方向的夹角θ可能有相同的正弦值，因 此我们只考虑θ在0到π之间的情况。 假设θ是二面角的夹角，则它们的法向量可以表示为： N1=(x1,y1,z1) N2=(x2,y2,z2) 两个向量的内积（点积）可以定义为： N1·N2=x1*x2+y1*y2+z1*z2 同时，我们还可以使用向量的模来计算它们之间的夹角的余弦值： cos(θ) = N1·N2 / (，N1， * ，N2，) 这就是求两个向量夹角余弦的公式。 然而，我们的目标是求得夹角的正弦值。为了得到它，我们需要利用 一些三角恒等式。 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）之间有一个很重要的关联：
sin(θ) = √(1 - cos^2(θ)) 我们可以将上述的夹角余弦值代入这个公式，得到夹角正弦值的公式：sin(θ) = √(1 - (N1·N2 / (，N1， * ，N2，))^2) 这就是求二面角正弦值的公式。 值得注意的是，由于两个法向量的方向不同，它们之间的夹角的正弦 值可能有两个值。例如，在0到π之间的夹角的正弦值和在π到2π之 间相同。因此，在计算二面角正弦值时，我们需要考虑这两个可能的值。 这是关于法向量求二面角正弦值公式的详细解释。我们可以使用这个 公式在三维空间中计算平面之间的夹角。
法向量求解二面角的平面角
法向量求解二面角的平面角 求二面角是高考中必考内容，学习过程中要备受关注，利用传统方法求解二面角的关键是首先知道二面角的平面角，再转化到三角形中解决，而利用法向量可以降低问题的难度，把问题转化为程序化的求解过程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角． 一、法向量求二面角步骤 1、建立适当的直角坐标系，当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系；如果没有明显交于一点的三条直线，但图形中有一定对称关系，（如正三棱柱、正四棱柱等）利用图形对称性建立空间直角坐标系解题；此外页可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系． 2、求法向量：一般用待定系数法求解，一般步骤如下：（1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(111c b a a =， ),,(222c b a b =；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组???=?=?0 0b n a n ；（4）解方 程组，取其中的一个解，即得法向量￡? 3、利用数量积公式求角：设1n ，2n 分别是两个半平面的法向量，则 由 21,cos n n >= <求得><21,n n ，而><21,n n 的大小或其补角的大小即为二面角的 大小，应注意1n ，2n 的方向。所以二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，他等于两法向量的夹角或其补角． 二、考题剖析 例1、在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 1 (0)AB PA BC a a == >. (Ⅰ)当1a =时，求证：BD PC ⊥； (Ⅱ)若BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥，求此时二面角Q PD A --的 余弦值. A B Q D C P
法向量求二面角余弦值公式
法向量求二面角余弦值公式 法向量求二面角余弦值公式是用来求解三维空间中两个不同方 向的法向量之间的夹角的余弦值的一种公式。它是一种有用的工具，可以用来计算夹角的大小，以及两个法向量之间的方向性。 首先，什么是法向量？法向量是一种特殊的二维向量，它的分量指示着从一个坐标到另一个坐标的方向，但它不指示距离。它一般用来描述平面或曲面的方向，如平面的法向量指向的是平面的法线方向。 接下来，我们来看一下公式本身。法向量求二面角余弦值公式是： cosθ = n 1n 2 /（ | n 1 | | n 2 | 其中表示两个法向量的夹角，n 1 n 2别表示两个不同方向的法向量，| n 1 | | n 2 |别表示其向量长度。 从上面的公式可以看出，计算两个法向量之间的余弦值需要一些数学知识，尤其是矢量代数方面的知识。如果没有深入理解它的相关内容，可能会遇到一些困难。 然而，这种公式也是一个非常有用的工具，因为它可以求出任意两个法向量之间的夹角。在可视化和空间模型中，它可以让我们快速准确地计算出两个法向量之间的夹角。 比如，在建筑中，我们需要精确测量出梁的弯曲角度，这时就可以用法向量求二面角余弦值公式来计算。另外，在数字图像处理中，如果我们想要知道两个不同方向上的像素之间的夹角，那么也可以利用这种公式来求解。 此外，在机器学习中，当我们需要测量两个特征向量之间的角度
时，也同样可以用这种公式来计算。例如，在自然语言处理（NLP）任务中，我们可以用它来判断两个字的相似程度。 总之，法向量求二面角余弦值公式是一种有益的工具，它可以让我们快速准确地计算出任意两个不同方向的法向量之间的夹角余弦值。它在许多不同的应用领域中都有用，比如建筑，数字图像处理，机器学习，以及自然语言处理，等等。因此，这种公式可以说是在不同学科中都很有用，是三维空间中两个不同方向的法向量之间夹角余弦值求解的有效方法。
法向量法求二面角
法向量法求二面角 一、理论依据 法向量法指的是用法向量-一个从表面出发穿过面的单位向量来表达几何面。航空、航天航空测量和光学测量中，求取几何面构型、计算法向量都是必不可少的过程。求取几何面构型，就是求几何面的法向量的过程。 二、概念介绍 法向量描述的是面的厚度方向。一般来讲，法向量由两个部分组成：一个指向厚度的圆柱半径方向，另一个指向面的夹角方向。它们的方向总是一致的，问题就在于如何从中获得夹角的大小。 法向量法可以用来求解二面角。即，通过计算两个面的夹角（也称为法向量夹角）来求解二面角。首先，利用空间坐标系中的法向量（也称为外法线）进行定义，并计算出两个面的夹角。其次，利用此夹角反求二面角的大小。 三、具体方法 1.步骤一：求解法向量 首先，要求解二面角，就要求出两个面的法向量。可以根据几何关系，先求出两个面上的共轭矢量，也就是它们的外法线，然后再用外法线来求解一个点在某个平面上的法向量。 2.步骤二：求解夹角 求解完两个面的法向量后，在空间坐标系内将它们标注出来。通过计算两个法向量在空间坐标系里的长度将它们进行标注并计算出它们的夹角关系。 最后，将两个面的夹角进行反求，从而求出二面角的大小。 四、实际应用 法向量法可以用来测量几何模型的表面，例如金属和塑料等模型的曲率，机械零件的导程和装配精度，以及航空、航天航空结构以及造船等领域。此外，法向量法还可以用于航空测量，卫星控制平台等应用中，用来求解准确的轨迹位置及方位角。 此外，法向量法还可以建立三维地形和面模型，例如数字海洋面模型、第三维空间基点网模型以及地形模型，以及使用影像地理信息技术的应用。 本文的介绍，以法向量法求二面角为例，详细讲述了法向量法原理、概念介绍以及具体方法，以及它的实际应用。通过法向量法可以准确地测量几何模型表面的夹角关系，有效便捷地缩短求解二面角的时间，为工程技术的发展起到重要作用。
空间向量与立体几何：第7讲利用平面向量求角度问题
利用平面向量求角度问题 【基础知识】 一般地，异面直线AC ，BD 的夹角β的余弦值为cos β＝|AC →·BD →| |AC →||BD →| . 利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 【规律技巧】 注意线线、线面和二面角的平面角的角度的取值范围 【典例讲解】 求异面直线所成的角 【例1】 如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．已知AB ＝2，AD ＝22，P A ＝2.求： (1)△PCD 的面积． (2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小． 解 (1)因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥CD . 【变式探究】 如右图所示正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，已知点H 在A ′B ′C ′D ′的对角线B ′D ′上，∠HDA ＝60°.
求DH与CC′所成的角的大小． 利用空间向量求直线与平面所成的角 【例2】如图，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点．在五棱锥P－ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H. (1)求证：AB∥FG； (2)若P A⊥底面ABCDE，且P A＝AE.求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长． 【变式探究】(2014·福建卷)在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD，将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图． (1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值． 利用空间向量求二面角 【例3】如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
向量法求解二面角
一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，则有πϕθ=+（图1）或 ϕθ=（图2） 图1 图2 基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角． 二. 如何求平面的一个法向量: 例题1: 如图3，在正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 为AA 1、AB 、 BC 的中点，求平面GEF 的法向量。 三. 法向量的应用举例: 例题4. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． y O （A 1 z 图4
例5 如图5，在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中，AD//BC ，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=21，AB=BC=1，AD=2 1 。 求侧面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小。 四. 当直观很难判断二面角是锐角还是钝角时, 通过判断法向量的方向来求解二面角. 原理 首先我们再重新认识一下法向量夹角和二面角的关系： 如上图6所示，当我们把法向量控制成“一进一出”， 此时两法向量在三个坐标平面xoz yoz xoy ,,的投影也 可以看成是“一进一出”，这时不难得出12,n n 的夹角 就是二面角的大小，反之就不是。 其次如何控制一个平面的法向量方向是我们想 要的“向上或向下”，“向后或向前”，“向左或向右”呢？ 如图7所示：平面ABC 的法向量n 若要法向量n 的方向“向上”,可设n ＝)1,,(y x 或 n ＝),,(0z y x ,其中0z >0；若要法向量n 的方向 “向前”,可设n ＝),,1(z y 或n ＝),,(0z y x ,其中 00 x ；若要法向量n 的方向“向右” ，可设n ＝ 图5 图6
用法向量求二面角及证明两平面垂直
用法向量求二面角和证明两平面垂直 用法向量证明两平面垂直问题 要证两平面相互垂直， 只需找出这两个平面的两个法向量， 证明这两个法向量相互垂直。 例 1. 如右图，△ ABC 是一个正三角形， EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ，且 CE=CA=2BD ，M 是 EA 的中点。 求证：（ 1） DE=DA ； （ 2）平面 BDM ⊥平面 ECA ； （ 3）平面 DEA ⊥平面 ECA ； 解析（ 3）：建立以以下图右手直角坐标系 ，不如设 CA=2，则 CE=2， BD=1，C （ 0， 0，0），A （ 3 ，1，0），B （ 0，2，0），E （ 0，0，2），D （ 0， 2，1）， EA 3,1, 2 ， CE 0,0,2 ， ED 0,2, 1 ， 分别假设面 CEA 与面 DEA 的法向量是 n 1 x 1 , y 1 , z 1 、 n 2 x 2 , y 2 , z 3 ，所以得 3x 1 y 1 2z 1 0 y 1 3x 1 ， 3x 2 y 2 2z 2 0x 2 3y 2 2z 1 z 1 2 y 2 z 2 0 z 2 2 y 2 不如取 n 1 1, 3,0 、 n 2 3,1,2 ，从而计算得 n 1 n 2 0 ，所以两个法向量相互 垂直，两个平就相互垂直。 用法向量求二面角 如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量 n 1 与 n 2 ，则平面α与β所成的 角跟法向量 n 1 与 n 2 所成的角相等或互补，所以第一必定判断二面角是锐角还是钝角。 例 2、以以下图，在梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AB ⊥ BC ， AB=a ， AD=3a ，sin ∠ ADC= 5 ，且 5 PA ⊥平面 ABCD ， PA=a ，求二面角 P-CD-A 的平面角的余弦值。 解析：依题意，先过 C 点 CE ⊥ AD ，计算得 ED=2a ， BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系， 则 P （ 0， 0， a ） ,D(0,3a,0) ， C(a,a,0), PD 0,3a , a , PC a, a, a , AD 0,3a,0 , AC a,a,0 取平面 ACD 的一个法向量 n 1 0,0,1 ，设平面 PCD 的法向量是、 n 2 x 2 , y 2 , z 3 ，所 以得 3ay 2 az 2 0 2 y 2 x 2 。 ax 2 ay 2 az 2 0 3x 2 2z 2 不如取 n 2 2,1,3 ，从而计算得 n 1 n 2 3 3 14 cos n 1 , n 2 14 14 n 1 n 2
二面角求值方法八种
二面角求值方法八种 摘要】在奥妙无穷的空间形式里，二面角的平面角总是以量的大小决定着某些图形的空间形式，使得立体几何研究中，求二面角的大小成为了一个“角量计算”的重要内容。那么怎样去求二面角的大小呢？笔者通过自身的实践，总结出常见的八种求法。 【关键词】二面角；二面角求值；八种1定义法 11定义：二面角求值的“定义法”就是依二面角的平面角的定义，通过对线线垂直关系的研究，首先将空间角转化为平面角，然后依据解三角形的相关知识或某些公理体系的保证求出这个平面角，从而达到求二面角大小的数学方法。它体现了“回到定义中去”是数学解题的根本方法。 12用“定义法”求二面角大小的解题思路是：求作二面角的平面角→证明这个平面角是所求→解出这个二面角。 13求作二面角的平面角应把握的原则：先找后作。常见的作法有两种：其一，根据定义或图形的特征作。其二，根据三垂线定理（或逆定理）作。此法难点在于找到平面的垂线，解决的办法：先找面面垂直，利用面面垂直的性质定理找到面的垂线，作棱的垂线，连接垂足与面的垂线的端点，利用线线垂直得出所求角是二面角的平面角。 14常见的线线垂直的判断方法有：①三垂线定理及逆定理。②等腰三角形“中线是高线”的性质。③勾股定理的逆定理。④菱形对角线互相垂直的性质。⑤线面垂直则线线垂直的性质。⑥同一法（有公共边的全等三角形中，公共边上的垂足相同） 例1（2005年全国卷Ⅰ.18）：已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD且PA=AD=DC=12AB=1，M是PB的中点，求平面AMC与平面BMC所成二面角的大小。 解：过点A作AN⊥CM，垂足为N，连BN，过点M作MQ⊥AB，垂足为Q，连QN，QC，由三垂线的逆定理知：MC⊥NQ，由三垂线定理知：BN⊥MC，故 ∠ANB为所求二面角的平面角。 由勾股定理的逆定理知：BC⊥AC，再由三垂线定理知：BC⊥PC，由直角三角形中线的性质有：MA=MC，由等面积求高法知：AN=NB=305，在△ANB中，由余弦定理有：cos∠ANB=AN2+BN2-AB22AN·BN=-23，从而所求二面角的大小是：π-arccos23 题评：本例也可以先证△AMC≌△BMC，再利用“同一法”得出BN⊥MC。本问题求解的过程，涵盖了“利用三垂线定理及逆命题研究线线垂直”，“已知三角形三边长求三角形面积或某一内角”，“等面积求高法”，“同一法”。这在常规常法的解题训练中无疑是一道好题。 2向量法 21定义：“向量法”就是利用向量的相关知识达到解证几何问题的数学方法。它的本质特征就是实现几何问题的代数化。 22利用“向量法”求二面角大小的解题思路是：建立空间直角坐标系→写出相关点的坐标→向量的坐标运算→作答 23注意事项：①建空间直角坐标系时，三轴所在的直线必须保证两两垂直并遵循“右手系”法则。②写点时必须理解中，的定义，正确写出相关点的坐标。③平面的法向量的确定最实在的方法是矢量法。即：平面α内有不重合的两向量
利用空间向量求二面角
【方法总结】 (2)如图②③，n，n分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos 若平面α，β的法向量分别是n和n，则平面α与平面β的夹角即为向量n和n的夹角或其补角．设
【例题选讲】 考点一 棱柱(台)模型 解析 (1)连接 AF ，∵E ，F 分别为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2， ∴CF ＝1，BF ＝5，∵BF ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，∴BF ⊥AB ， ∴AF ＝AB 2+BF 2＝22+(5)2＝3，AC ＝AF 2－CF 2＝32－12＝22，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即BA ⊥BC ． 故以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (2，0，0)，B (0，0，0)，C (0，2，0)，E (1，1，0)，F (0，2，1)，设B 1D ＝m ，则D (m ，0，2)， ∴BF →＝(0，2，1)，DE →＝(1－m ，1，－2)，∵BF →·DE → ＝0，∴BF ⊥DE ． (2)∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴平面BB 1C 1C 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， 由(1)知，DE →＝(1－m ，1，－2)，BF → ＝(－1，1，1)， 设平面DFE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨ ⎪⎧ n ·DE →＝0， n ·EF →＝0， ，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ (1－m )x ＋y －2z ＝0， －x ＋y ＋z ＝0. 令x ＝3，则y ＝m ＋1，z ＝2－m ，故n ＝(3，m ＋1，2－m )， 所以cos
第35讲 立体几何中的夹角问题(学生版)
第35讲 立体几何中的夹角问题 [玩前必备] 1．两条异面直线所成角的求法 设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 2.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n | |a ||n |. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD → 〉． (2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． [玩转典例] 题型一 求异面直线所成的角 例1 (2015·新课标全国卷Ⅰ) 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC . (1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ； (2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．
[玩转跟踪] 1.(2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 2.(2019·浙江高考)如图，已知三棱柱ABC A 1B 1C 1，平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，A 1A ＝A 1C ＝AC ，E ，F 分别是AC ，A 1B 1的中点． (1)证明：EF ⊥BC ； (2)求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 题型二 求直线与平面所成的角 例2 (2018·全国Ⅰ)如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF ⊥BF . (1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值． [玩转跟踪]
高考数学二面角10种求法及锐钝角的判断
二面角10种求法及判断锐钝角 二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。 1.概念法 顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。 例1：如图所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。求二面角A BC D --的大小。 分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。 解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。 根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。 根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。 可以求出3 2 AE = ，3DE =，并且3AD =。 根据余弦定理知： 2 22 222 3( )(3)372cos 243 23 2 AE DE AD AED AE DE +-+-∠= = =-⨯⨯⨯ 即二面角A BC D --的大小为7arccos 4 π-。 同样，例2也是用概念法直接解决问题的。
例2：如图所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角A PD C --的大小。 解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。 由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。即AE PD ⊥。由于CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。 通过计算可以得到：2PC =，3PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算得到63 CE = 。由此可以得到：6 3 AE CE == ，又2AC =。 由余弦定理：2 2 2 2221 33cos 22223 AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅ 即：23 AEC π ∠=。 2.空间变换法 空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。 下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
向量法解线面角与二面角
利用法向量求二面角的平面角 【教学目标】 1、让学生初步理解二面角的平面角与半平面法向量的关系，并能解决与之有关 的简单问题。 2、通过本节课的学习，培养学生观察、分析与推理从特殊到一般的探究能力和 空间想象能力。 3、培养学生主动获取知识的学习意识，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的 情感体验。 【教学重点】利用法向量计算二面角的大小。 【教学难点】求两个面的法向量及判断二面角大小与两个面的法向量的夹角的关系。 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、内容回顾 求二面角的平面角的方法：定义法、三垂线法、向量法。 前两种方法是空间立体的方法，难度较大，都涉及到要在两半平面内找棱的垂线，或是找点在平面内的射影，再算边长，通过解三角形来解决。 而向量法也是要找两个与棱垂直的且和半平面延伸方向一致的向量来计算夹角。所以这些方法都涉及到了找垂线，再说明，再计算的过程，都需要逻辑推理。 而如果解决二面角的平面角也能像前面解决线线角或线面角问题一样，能通过空间向量的方法来解决，那么这些逻辑推理过程，我们能通过利用空间向量的程式化计算来转化。因为空间中平面的位置可以用平面的法向量来表示，所以二面角的平面角可以用平面的法向量的夹角来解决，那么向量的夹角与二面角的平面角有着一种什么样的联系呢？ 二、新课讲授
如图，二面角为l αβ-- 1、记121212 ,,C =A,=B.l l l l l l αβαβ⊥⊥且与相交于， 2、过B 作,()BO l AO AOB ⊥∠连下面说明即是二面角的平面角 11,,.,.l l BO l l BOC l OC l l l AOC l AO AOB ⊥⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴∠面面是二面角的平面角（一找、二证、三计算） 3、,l AOC BOC ⊥面和面 0=360. AOC BOC AOBC AOBC ∴又过空间一点有且只有一个平面和已知直线垂直。面和面重合。 即四点共面，即有平面四边形内角和 4、在12 l l ，上分别取直线的方向向量12,,n n ，事实上，由于线面垂直，两方向向量即是两平面的法向量。 ①001212,,180,180.ACB n n ACB AOB AOB n n ∠=<>∠+∠=⇒∠+<>= ②001212,180,180,.ACB n n ACB AOB AOB n n ∠+<>=∠+∠=⇒∠=<> 由①②分别可得 1212,,COS AOB COS n n COS AOB COS n n ∠=-<>∠=<> 5、总结。计算二面角的平面角，可先找两平面的法向量的夹角。即计算法 向量的数量积。可求出法夹角的余弦值，继而得到平面角的余弦值。 注释： 这里不能像解决线线角或线面角那样，对向量夹角的余弦值套上绝对值。