空间向量二面角求法
空间向量二面角求法
空间向量二面角是指两个非零向量之间的夹角。在空间中，向量的方向和大小都是重要的，因此求解空间向量的二面角是一项重要的任务。本文将介绍几种常见的方法来计算空间向量的二面角。
一、点乘法
点乘法是最简单直接的方法之一。给定两个向量a和b，它们的点乘结果可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。通过对点乘结果进行逆余弦运算，可以得到夹角的大小。然而，点乘法只适用于平面内的向量，对于空间向量则不适用。二、向量投影法
向量投影法是通过将一个向量投影到另一个向量上，然后计算投影向量与原向量之间的夹角来求解二面角。具体方法是，首先计算向量a在向量b上的投影向量p，然后计算向量a与投影向量p之间的夹角θ。这种方法适用于空间向量，但需要计算向量的投影，相对复杂一些。
三、向量叉乘法
向量叉乘法是一种常用的求解空间向量二面角的方法。给定两个向量a和b，它们的叉乘结果可以表示为|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。通过对叉乘结果进行逆正弦运算，可以得到夹角的大小。这种方法适用于空间向量，且不需要计算向量
的投影，相对简单方便。
四、三角函数法
三角函数法是一种基于三角函数的计算方法。给定两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：
cosθ=(a·b)/(∥a∥∥b∥)
sinθ=∥a×b∥/(∥a∥∥b∥)
tanθ=sinθ/cosθ
通过上述公式，可以根据向量的点乘和叉乘结果来计算夹角的大小。这种方法适用于空间向量，且具有较高的计算准确性。
总结：
空间向量的二面角求解是一个重要的问题，涉及到向量的方向和大小。本文介绍了几种常见的求解方法，包括点乘法、向量投影法、向量叉乘法和三角函数法。这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解空间向量的二面角。在实际应用中，需要根据具体问题的要求和计算复杂度来选择合适的方法。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法 求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。 一、向量法 向量法是一种简便的求解二面角的方法。它利用向量的夹角来表示二面角。首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。 二、坐标法 坐标法是一种常用的求解二面角的方法。它利用坐标系中的点来表示二面角。我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。 三、三角法 三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。 四、平面几何法 平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大
小。例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。 五、球面几何法 球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。 六、投影法 投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。 通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。 总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。这些方法在实际应用中具有重要的意义，对于解决相关问题非常有帮助。通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用二面角的概念。
空间向量及二面角的向量求法专题
空间向量 一、定义： （1）已知，则),,(121212z z y y x x ---= （2）已知),,(),,,(222111z y x b z y x a == ，则),,(212121z z y y x x b a +++=+ ； ),,(212121z z y y x x b a ---=- ；212121z z y y x x b a ++=? （3）数量积：cos a b a b θ?=?? 注：2 2 a a =；2()a b a b += +；222||z y x a ++= （4）应用：已知),,(),,,(222111z y x b z y x a == 1122//x y a b b a x y λ?=? ==2 1 z z 00212121=++?=??⊥z z y y x x b a b a 二、空间向量解决空间立体几何问题： 1、位置关系判定： （1）线线平行：111 222 //x y z a b a b x y z λ→ → → → ?=? == 线线垂直：121212(cos 0)02 a b x x y y z z π θθ→→ ⊥?= =??+?+?= （2）线面平行：//a m l α→→ ⊥?（其中m → 为平面的法向量） 线面垂直：//a m l α→ → ?⊥ （3）面面平行：////,m n m n αβαβ→→→→ ?其中为的法向量，为 的法向量 面面垂直：,m n m n αβαβ→ → → → ⊥?⊥其中为的法向量，为的法向量
2、求夹角： （1）线线角：|| |||||cos |b a b a ??=θ，其中[0,]2πθ∈ （2）线面角：|||||||cos |sin m a m a ??==θθ，其中[0,]2 π θ∈ （3）二面角：cos |||| m n m n θ→→ → → ?= ?，其中[0,)θπ∈ 向量法求解二面角 向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。 随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为?，则有π?θ=+（图1）或 ?θ=（图2） 图
用向量求二面角4例
坐标法求二面角例举 高二数学 陈作美 求两平面所成的二面角是立体几何的基本问题，也是核心问题，更是考试的重点所在。传统几何方法求二面角，一般都要经历“寻找二面角的平面角、证明是二面角的平面角，计算二面角的三角函数值”的过程，而这往往需要添加较多的辅助线，这给解题带来一定的困难。坐标法给出一种通过空间向量求二面角的简便方法，不需要“找、证”，只需“算”。当二面角所处的图形适合建立空间直角坐标系时，十分凑效。 1. 求二面角的公式 如图1，两平面，向量是它们的法向量，设平面所 成的二面角为θ，向量 所成的为，则 cos θ=- 12 12 n n n n ?（注意：二面角的两个法向量都必须指向二面角的内部） 2. 平面的法向量求法 在空间直角坐标系O －xyz 中，已知不平行的向量 ， 在平面π上，设向量 是平面π的法向量，则 即 ， 因为法向量有无数个，故可以通过任意取定的一个分量来确定一 个特殊的法向量（但不能是零向量）。特别地，当平面π 在三个坐标轴上的交点
分别是A（a、0、0）、B（0、b、0）、C（0、0、c）（abc≠0）时，易证 是它的一个法向量。 3. 应用例举 例1. 如图2，正方形ABCD，ADEF的边长都是1，而且平面ABCD，ADEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若 。 （1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN的长最小； （3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小的余弦值。（02年全国高考改编） 解（仅解（3））由（2）可知，当M，N分别为AC，BF的中点时，MN的长最小。如图2，以线段AB的中点为原点建立空间直角坐标系，则M、 ， 故分别是面MNA与面MNB的法向量，设面MNA与面MNB所成的二面角是θ，则 ，因此cos =-1/3.
空间向量二面角求法
空间向量二面角求法 空间向量二面角是指两个非零向量之间的夹角。在空间中，向量的方向和大小都是重要的，因此求解空间向量的二面角是一项重要的任务。本文将介绍几种常见的方法来计算空间向量的二面角。 一、点乘法 点乘法是最简单直接的方法之一。给定两个向量a和b，它们的点乘结果可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。通过对点乘结果进行逆余弦运算，可以得到夹角的大小。然而，点乘法只适用于平面内的向量，对于空间向量则不适用。二、向量投影法 向量投影法是通过将一个向量投影到另一个向量上，然后计算投影向量与原向量之间的夹角来求解二面角。具体方法是，首先计算向量a在向量b上的投影向量p，然后计算向量a与投影向量p之间的夹角θ。这种方法适用于空间向量，但需要计算向量的投影，相对复杂一些。 三、向量叉乘法 向量叉乘法是一种常用的求解空间向量二面角的方法。给定两个向量a和b，它们的叉乘结果可以表示为|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。通过对叉乘结果进行逆正弦运算，可以得到夹角的大小。这种方法适用于空间向量，且不需要计算向量
的投影，相对简单方便。 四、三角函数法 三角函数法是一种基于三角函数的计算方法。给定两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算： cosθ=(a·b)/(∥a∥∥b∥) sinθ=∥a×b∥/(∥a∥∥b∥) tanθ=sinθ/cosθ 通过上述公式，可以根据向量的点乘和叉乘结果来计算夹角的大小。这种方法适用于空间向量，且具有较高的计算准确性。 总结： 空间向量的二面角求解是一个重要的问题，涉及到向量的方向和大小。本文介绍了几种常见的求解方法，包括点乘法、向量投影法、向量叉乘法和三角函数法。这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解空间向量的二面角。在实际应用中，需要根据具体问题的要求和计算复杂度来选择合适的方法。
高考数学专题：向量求二面角(含答案)
高考数学专题：向量求二面角 向量法求二面角大小的两种方法 (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M 为BC上一点，且BM＝1 2，MP⊥AP. (1)求PO的长； (2)求二面角A-PM-C的正弦值． 2、如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为AC，DC的中点． (1)求证：EF⊥BC； (2)求二面角E-BF-C的正弦值． 3、如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a. (1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值； (2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1； (3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值． 4、如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E-BC-A的余弦值． 5、如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面 ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.
空间向量法求角
空间向量法求角 1、利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量，则 （2）线面角 设 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 2、利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 其计算公式为：设分别为平面 的法向量，则 与 互补或相 等， 例题： 1、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点 （1）证明AD ⊥D 1F ； （2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1D 1F
2、如图正方体1111ABCD A B C D -中，1111111 4 B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦。 3、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 10 30 B ．2 1 C ． 15 30 D ．1015 4、 在长方体1111A B C D A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2C F A B C E ==,1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦 值；（2）求二面角1A ED F --的正弦值。 5、在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点． （1）证明：ED ⊥AC 1，ED ⊥BB 1； （2）设1,AA AC ==求二面角11A AD C --的大小．
二面角的多种求法(最新经典版)
六种方法求二面角 从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份， 并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。 一、 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG F G
文档：空间向量求二面角的方法
空间向量求二面角的方法 方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是二面角l αβ--的一个平面角，则向量与所成的角就是所求的二面角的大小． 例1 正四面体ABCD 中，求相邻两个面所成的二面角． 解析：如图1，取BC 边的中点Ｅ，连结AE 、DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AED 就是正四面体的两个相邻面ABC 与DBC 所成二面角的平面角，且BC ⊥平面ADE ， ∴BC ⊥AD ，∴0EC DA =． 设正四面体棱长为1． ∵()()ED EA EC CD EC CD DA =+++ 222EC EC CD EC DA CD DA CD ++++ 11121cos120011cos1201424 =+⨯⨯⨯++⨯⨯+=． 又在△ABC 与△BCD 中，可求得32ED EA == ， ∴cos ED EA ED EA ED EA =，114 33322==⨯． 故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为1arccos 3 ． 方法二：利用法向量求解：设是平面的法向量，是平面的法向量．①若两个平面的二面角如图2所示的示意图，则与之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的二面角如图3所示的示意图，设与之间的夹角为．则两个平面的二面角为． 例2 如图4，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA=BC=2，AB=4，D 、N 分别是BC 、AB 的中点．求二面角S-ND-A 的余弦值． 解析：平面ABC 的法向量是，设平面SND 的法向量为 BC AB AS λμ=++n ． ∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，SA ⊥AB ，
二面角的几种求法
二面角的几种求法 4.1概念法 顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。 例1：如图2所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。求二面角A BC D --的大小。 图2 分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。 解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。 根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。 根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。 可以求出AE = DE =3AD =。 根据余弦定理知： 2 22 2 2 2 37cos 24AE DE AD AED AE DE +-+-∠= = =-⨯ 即二面角A BC D --的大小为7 arccos 4 π-。 同样，例2也是用概念法直接解决问题的。
例2：如图3所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角 A PD C --的大小。 图3 解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。 由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。即AE PD ⊥。由于 CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。 通过计算可以得到：PC = PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算 得到CE = AE CE == ，又AC =。 由余弦定理：2 2 2 22 2133cos 22223 AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅ 即：23AEC π ∠=。 4.2空间变换法 空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。 下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
空间向量处理二面角
二面角 二面角的求解方法（范围：） 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 变式：如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。 p A B D L H A P H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
变式1、如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 变式2、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小 变式3、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点 A 在直线l 上的射影为A 1，点 B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小. 三、垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直； 例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3 39 2， 求二面角βα--l 的大小. P β α l C B A B 1 A α β A 1 B L E F
求解二面角的四种基本方法
求解二面角的四种基本方法 高中数学学习过程中，求解二面角是高考理科高考的必考题型，多种角度，多种方法处理这类问题是一项重要的基本能力，是落实数学核心素养培养的基本方法，在教学过程中有必要对本类型习题进行详尽的介绍和广泛的探索，提升本类问题的处理方式和方法，是多种知识交汇，处理问题的能力的体现，本文根据近年高考题与模拟题中的常见题型，对常用的处理方法进行探究和总结，希望能够找到本类题型的常见处理方法，帮助学生建立良好的处理策略. 一、利用定义求解 例1. 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形， 23AC =，12A A BD ==,E 为1BD 中点. 求二面角E DC A --的余弦值. 分析 过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ，则EFO ∠是二面 角E OC A --的平面角. 解答过O 作OF CD ⊥，垂足为F ，连OF ， ∵1DD ⊥面ABCD ，1//OE DD ，∴OE ⊥面ABCD . ∴EFO ∠是二面角E OC A --的平面角. ∵1112OE DD ==，3OF =，∴7EF =，217 cos EFO ∠=. 故二面角E DC A --的余弦值为 217. 说明 二面角是规则图形的面与面之间的角是，采用二面角的定义，直接做出角，利用边长的长度关系找到二面角的平面角之间的边长长度关系，进而求解二面角大小. 变式训练1 （2019年天津高考题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平 行四边形，PCD △为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA CD ⊥，2CD =，3AD =， D C O A B
二面角求解方法
二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θ cos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角P-BC-A 的平面角 在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6 P C B A E
∴PEA ∠=90 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900 。 例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC ∴平面PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM AB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2
利用空间向量求二面角
【方法总结】 (2)如图②③，n，n分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos 若平面α，β的法向量分别是n和n，则平面α与平面β的夹角即为向量n和n的夹角或其补角．设
【例题选讲】 考点一 棱柱(台)模型 解析 (1)连接 AF ，∵E ，F 分别为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2， ∴CF ＝1，BF ＝5，∵BF ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，∴BF ⊥AB ， ∴AF ＝AB 2+BF 2＝22+(5)2＝3，AC ＝AF 2－CF 2＝32－12＝22，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即BA ⊥BC ． 故以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (2，0，0)，B (0，0，0)，C (0，2，0)，E (1，1，0)，F (0，2，1)，设B 1D ＝m ，则D (m ，0，2)， ∴BF →＝(0，2，1)，DE →＝(1－m ，1，－2)，∵BF →·DE → ＝0，∴BF ⊥DE ． (2)∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴平面BB 1C 1C 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， 由(1)知，DE →＝(1－m ，1，－2)，BF → ＝(－1，1，1)， 设平面DFE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨ ⎪⎧ n ·DE →＝0， n ·EF →＝0， ，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ (1－m )x ＋y －2z ＝0， －x ＋y ＋z ＝0. 令x ＝3，则y ＝m ＋1，z ＝2－m ，故n ＝(3，m ＋1，2－m )， 所以cos
二面角求法及经典题型归纳
二面角求法归纳 18题，通常是立体几何（12-14分），本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。 以下是求二面角的五种方法总结，及题形归纳。 定义法： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。 例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 证（I ）略 解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ， 连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 222-=-=⨯⨯- +=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG F G F G
空间向量几何
空间向量解立体几何 概念梳理： 空间角 1．异面直线所成的角 点A ，B ∈直线a,C ，D ∈直线b 。构成向量CD AB , 。><>= < AB AB cos 所对应的锐角或 直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。 2．线面所成的角 与平面α的法向量所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面α所 成的角θ，所以AP 与n 的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面α所成的角的正弦值。 ><=∴n AP ,cos arcsin θ 3．二面角的求法 二面角βα--l ，平面α的法向量m ，平面β的法向量n 。θ>= 的距离。其求法与点到面的距离求法相同。 4． 平面与平面间的距离 平面α与平面β平行时，其中一个平面α上任意一点到平面β的距离就是平面α与平面β间的距离。其求法与点到面的距离求法相同。 例题讲解 要点考向1：利用空间向量证明空间位置关系 考向链接：1．空间中线面的平行与垂直是立体几何中经常考查的一个重要内容，一方面考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；另一个方面考查“向量法”的应用。 2．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量来论证。 例1：（2010·安徽高考理科·Ｔ18）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF ∥AB ， EF FB ⊥，2AB EF =，90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点。 (1)求证：FH ∥平面EDB ； (2)求证：AC ⊥平面EDB ； (3)求二面角B DE C --的大小。 【方法技巧】1、证明线面平行通常转化为证明直线与平面内的一条直线平行； 2、证明线面垂直通常转化为证明直线与平面内的两条相交直线垂直； 3、确定二面角的大小，可以先构造二面角的平面角，然后转化到一个合适的三角形中进行求解。 4、以上立体几何中的常见问题，也可以采用向量法建立空间直角坐标系，转化为向量问题进行求解证明。应用向量法解题，思路简单，易于操作，推荐使用。