二面角的几种求法

二面角的几种求法

4.1概念法

顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。

例1：如图2所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。求二面角A BC D --的大小。

图2

分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。

解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。

根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。

根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。

可以求出AE =

DE =3AD =。 根据余弦定理知：

2

22

2

2

2

37cos 24AE DE AD

AED AE DE

+-+-∠=

=

=-⨯ 即二面角A BC D --的大小为7

arccos 4

π-。

同样，例2也是用概念法直接解决问题的。

例2：如图3所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角

A PD C --的大小。

图3

解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。

由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ≅三角形三角形。即AE PD ⊥。由于

CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。

通过计算可以得到：PC =

PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算

得到CE =

AE CE ==

，又AC =。 由余弦定理：2

2

2

22

2133cos 22223

AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-⋅⋅ 即：23AEC π

∠=。

4.2空间变换法

空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。

下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。

例3：如图4所示，现有平面α和平面β，它们的交线是直线DE，点F在平面α内，点C在平面β内。求二面角F DE C

--的大小。

图4

分析：过点C作辅助线CA垂直于DE，作CB垂直于平面β于点B。

4.2.1补角法

直接求解二面角F DE C

--的大小是有些困难的，那么可以先求解二面角C DE B

--与二面角C DE B

--是互补的关系，现在先求出--。因为二面角F DE C

二面角C DE B

--的大小就很容易计算了。

--后，二面角F DE C

4.2.2三垂线法

由于CA DE

⊥，CB⊥平面β。那么根据三垂线定理可以得知：CA在平面β内的射影AB垂直于两平面的交线DE。即AC DE

⊥且AB DE

⊥，根据定义可知，二面角

--的大小可以用补角法得

∠的大小。那么二面角F DE C

--的大小即为CAB

C DE B

到。

4.2.3切平面法

切面法的基本思想是做一个垂面，它垂直于两个平面的交线，在所得的图形中就可以很容易观察与计算二面角。如图4所示，可以作平面CAB垂直于两个平面的交线DE，平面CAB与平面α的交线是AC，平面CAB与平面β的交线是AB，根据二面角的定义知CAB

∠即为所求二面角的补角，根据补角法，可以求出二面角F DE C

--

的大小。

下面用例4来详细讲解一下切平面法。

例4： 在图5中，PA ABC ⊥平面，90o ABC ∠=。其中1PA AB ==

，PB BC ==E 是PC 的中点，DE PC ⊥。求二面角C BD E --的大小。

图5

解：由于E 是PC 的中点，且PBC ∆是等腰三角形，那么BD PC ⊥。 又DE PC ⊥，可以推出：PC BDE ⊥平面。所以：PC BD ⊥。 又PA ABC ⊥平面，则BD PA ⊥，所以BD PAC ⊥平面。 可以得出：PAC 平面是CBD 平面和EBD 平面的公共切平面。 由此，根据切平面法知CDE ∠即为所求二面角的平面角。 由于CDE CPA ≈∆V ，那么：

2CE CD CP CA =

⋅==

，1CE DE PA CA =⋅==

。

又：112CE PC =

===。 在三角形CDE 中根据余弦定理可知：

2

2

2

412

1

1

3cos 422

3CD DE CE CDE CD DE +-+-∠====⋅

那么60o CDE ∠=。

即求二面角C BD E --的大小是60o 。

4.2.4补形法

以上讲解了三垂线法、补角法和垂面法三种空间变换法，以下通过一个单独的例子来讲解第四种方法——补形法。

例5：在图6中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是一个直角梯形，其中1PA =，

1AD =，1CD =，1

2

AB =。90BAD ADC ︒∠=∠=。求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小。

图6

解：延长直线DA 与BC ，它们相交于点E ，连接PE 。

由题意可知，BA 平行于CD ，AB 的长度是CD 的一半，且BA AD ⊥，BA PA ⊥，

那么BA PED ⊥平面，CD PED ⊥平面，1AE =，PE =

在三角形PED 中，PD PE ==，2ED AE AD =+=。那么根据勾股定理可知

90DPE ︒∠=，即DP PE ⊥。

CD PED ⊥平面，DP PE ⊥，且DP 是CP 在平面PED 内的射影，根据三垂线定理

知：CP PE ⊥。

又DP PE ⊥，即CPD ∠即为所求的二面角。

在Rt CDP ∆中，1CD =，PD =PC =。那么cos CPD ∠=

即：CPD ∠=

所以平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小是arccos

3

。 在有些问题中，所给的图形不是能够很好观测到二面角的平面角，可以通过补形的方法来观测二面角的平面角。在例5中，很好的运用了补形法和三垂线法来解决问题，这也告诉我们，可以在一个问题中使用多种方法来达到解决问题目的。

4.3空间向量法

4.3.1二面角和两平面的夹角之间的关系

两平面的夹角有两个，它们之间互补，取它们中角度较小的为1θ，那么1θ的取值范围是(0,]2

π

。而二面角是指两个特定的半平面所组成的图形，二面角2θ的取值范围是

(0,)π。

但是我们可以利用两个平面的夹角来求二面角，它们之间的关系具体如下： 如果202

π

θ≤≤，21θθ=。（1）

如果

22

π

θπ≤≤，21θπθ=-。

（2） 因此，在用空间向量法求解二面角的时候，必须先判断二面角的大小是锐角还是钝角，然后由以上发现的规律来求解。当然，前提是先求出两平面的夹角。

4.3.2平面法向量的求法

两平面间的夹角一般根据两平面的法向量来求。如果平面方程已知，平面的法向量可以直接给出，如果平面方程未知，法向量可以根据平面内的三个点的坐标求出来。如图7所示：

例6：如图7所示在平面α内，已知三点111(,,)X x y z =，222(,,)Y x y z =，

333(,,)Z x y z =。

图7

下面求解平面α的一个法向量n v

。

解法一：

求平面的法向量的大小，可以用该平面内的两个向量的矢性积来求，即：

n XY XZ =⨯v uu u v uu u v

又212121{,,}XY x x y y z z =---u u u v ，313133{,,}XZ x x y y z z =---u u u v

可以求出：

21

2121

2121

213133333131

31

{,

,

}y y z z z z x x x x y y n y y z z z z x x x x y y ------=------v

解法二：

设平面α的方程为0Ax By Cz D +++=

将点X ，Y ，Z 的坐标分别代入方程可以解出系数A ，B ，C ，D 。

在此特别强调一下，三个点带入方程后得到的应该是一个四元三次方程，可能无解，如果有解，那么一定有无数多个解。可以通过解方程，将A ，B ，C 全部用D 表示，这样就可以得到一个形如2540Dx Dy Dz D +++=的方程，可以将新得到的方程两边同时除以D （0D 一定不等于，否则=0A B C D ===，方程无意义），那么就可以得到平面的方程25410x y z +++=。

得到了平面的一般方程，即得平面的法向量坐标{,,}n A B C =v

。

解法三：

在图7中，由所给的信息，可以求出向量XY uu u v 、XZ uu u v

的大小。设平面α的一个法向量{,,}n x y z =v

。

若111{,,}XY a b c =uu u v ，222{,,}XZ a b c =u u u v

。

由0n XY ⋅=v uu u v ，0n XZ ⋅=v uu u v

可以得到：

1112220

a x

b y

c z a x b y c z ++=⎧⎨

++=⎩ 可以求解出x ，y ，z 的关系。此方程一定有无数多个解，可以将x ，y 用z 表示。

如{2,4,}n z z z =v ，由此可知向量{2,4,1}n =v

是平面α的一个法向量。

4.3.3两平面夹角的公式

两平面相交时，定义它们之间的夹角θ为它们法向量的夹角为12,n n 〈〉u v u u v

，其中{,,},1,2

i i i i n A B C i ==u v

。于是：

12

12

cos n n n n θ⋅==

⨯u v u u v

u v u u v 4.3.4两平面的夹角转化成二面角

利用上述方法，先求出两平面的法向量，再求两平面的夹角，最后可以根据（1）、（2）求出二面角的大小。

例7：如图8所示，四边形ABCD 是一个矩形，点E 和点F 分别在边AD 和边AB 上，其中4AE AF ED ===，6FB =。现在以直线EF 为折痕，将三角形AEF 折起，得到三角形'A EF ，同时使得平面'A EF 与底面ABCD 垂直。求二面角'A FB C --的大小。

图8

解：以点A 为坐标原点，建立如图8所示的直角坐标系A xyz -，设点H 是线段EF 的中点，连接'A H 。可以得到：

(0,0,0)A

，'(2,2,A ，(10,8,0)C ，(4,0,0)F

，'{2,2,FA =-uuu v ，{6,0,0}FB =uu v

。

由于''A E A F =，所以'A H EF ⊥uuuu v uu u v

。

又平面'A EF 与底面ABCD 垂直。

所以：'A H ABCD ⊥uuuu v

平面。

即

'(0,0,HA =uuu v 是底面ABCD 的一个法向量。 设(,,)n x y z =v

是平面'A FB 的一个法向量。那么：'0n FA ⋅=v uuu v ，0n FB ⋅=v uu v

即：22060x y x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩

那么：0x =，2y =-

，z =

{0,n =-v

。

'cos ','HA n HA n HA n

⋅<>==

⋅uuu v v

uuu v v uuu v v 即二面角'A FB C --

的大小为 4.4另类方法

比较常用的另类方法是四面体体积法、角度法和面积摄影法。

4.4.1四面体体积法

例8：如图9所示，在空间四面体A BCD -中，四面体的所有棱长都是1，求二面角A BD C --的大小。

图9

分析：过点A 作辅助线AO ⊥平面BCD 于点O ，过点A 作辅助线AE BD ⊥于点E ，连接直线EO ，AEO θ∠=，sin AO

AE

θ=

。由于四面体A BCD -是一个正四面体,AEO ∠即为所求二面角。（也可以推导出当四面体不是正四面体时AEO ∠同样是所求的二面角）

正四面体A BCD -的棱长是1，可以求出正四面体A BCD -

的体积是

12

()2sin 1

3

33BCD BCD ABD A BCD BCD AO

S BD AE AE S S V AO S BD BD

θ-⨯⨯⨯⋅⋅=

⨯==

根据已知条件可知：A BCD V -=

，1BD =

，ABD BCD S S ==

可以求出：sin 3θ=

arcsin 3

θ=。 当四面体A BCD -不是正四面体时也可以用这种方法求解，只需要知道体积、两个面的面积、公共边的长度就可以解出二面角的大小了。

4.4.2角度法

例9：如图10所示，以点A 为顶点的三条射线分别是AB 、AC 、AD ，其中AB 、AD 的夹角是1θ，AB 、AC 的夹角是2θ，AC 、AD 的夹角是3θ。现在要求二面角C AB D --的大小。

图10

分析：现在设CB AB ⊥，并且DB AB ⊥（由于AB 、AC 、AD 的长度没有给出，这样的假设是合理可行的），那么CBD ∠即为所求二面角的大小。

根据已知条件可以得到：

1tan BD AB θ=⨯， 1

cos AB

AD θ= 2tan BC AB θ=⨯， 2cos AB

AC θ=

又22232cos CD AC AD AC AD θ=+-⋅⋅ 将1cos AB AD θ=、2cos AB AC θ=带入得到： 223221212

2cos 11()cos cos cos cos CD AB θθθθθ=+-⋅ 在三角形BCD 中,

222cos 2BC BD CD

CBD BC BD

+-∠=⋅ 222223122212122122cos 11tan tan (

)cos cos cos cos 2tan tan AB AB AB AB θθθθθθθθθ⋅+⋅-+-⋅=⋅⋅

2231222121212

2cos 11(tan )(tan )cos cos cos cos 2tan tan θθθθθθθθθ-

+-+⋅=⋅ 31212

2cos 11cos cos 2tan tan θθθθθ--⋅=⋅ 31212

cos cos cos cos cos θθθθθ-⋅=⋅ 即：31212cos cos cos arccos

cos cos CBD θθθθθ-⋅∠=⋅ 通过这种方法，可以在没有任何长度条件的情况下求解出二面角的大小，因此，该方法是一个比较特殊实用的方法。

4.4.3面积射影法

例10：如图11所示，在空间直角坐标系O XYZ -中，点A 、B 、C 分别在X 、Y 、Z 轴上，现在要求二面角O AB C --的大小θ。

图11

分析：作CD AB ⊥并且CD 与AB 相交于点D 。连接OD 。根据三垂线定理可知：OD AB ⊥。即：CDO ∠即为所求二面角θ。

在CAB ∆中，12CAB S CD AB ∆=

⋅。 在OAB ∆中，12

OAB S OD AB ∆=⋅。 并且cos OD CD θ=⋅。

OAB ∆是CAB ∆在平面XOY 内的射影。 由以上的条件可以得到： 12cos 12

OAB

CAB OD AB OD S S CD CD AB θ∆∆⋅===⋅ 即：arccos

arccos OAB CAB OD S S CD θ∆∆==（其中OAB ∆是CAB ∆在平面XOY 内的射影。） 用另外一种简便语言表示就是： arccos

S S θ=三角形射影三角形