专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法
【高考地位】
立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
类型一 空间中线线角的求法
方法一 平移法
例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A.
6π B. 4π C. 3π D. 2
π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点
F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ）
在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）
A B C D ．
79
【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体
1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ）
A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．,63ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
C ．,43ππ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦
D ．,
32ππ⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中，
2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所
成的角为（ ）
A ．
π
6
B ．
π4
C ．
π3
D ．
π2
【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，
4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC
上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ）
A ．
1
6
B ．
3
C D ．
6
方法二 空间向量法
例2、【重庆市第三十七中学校2020-2021学年高三上学期10月月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，E ，
F ，
G 分别为棱1AA ，11C D ，1DD 的中点，12AB AA AD ==，则异面直线EF 与BG 所成角的大小为
（ ） A ．30
B ．60︒
C ．90︒
D ．120︒
例3、【四川省泸县第四中学2020-2021学年高三上学期第一次月考】在长方体1111ABCD A B C D -中，2BC =，
14AB BB ==，E ，F 分别是11A D ，CD 的中点，则异面直线1A F 与1B E 所成角的余弦值为（ ）
A ．
34
B ．34
-
C D ．
6
【变式演练5】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，
且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为（ ）
A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 【变式演练6】【云南省云天化中学、下关一中2021届高三复习备考联合质量检测卷】如图所示，在正方体
1111ABCD A B C D -中，点E 为线段AB 的中点，点F 在线段AD 上移动，异面直线1B C 与EF 所成角最小
时，其余弦值为（ ）
A ．0
B ．
1
2
C D ．
1116
类型二 空间中线面角的求法
方法一 垂线法
第一步 首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点；
第二步 然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步 得出结论.
例3如图，四边形ABCD
是矩形，1,AB AD ==E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F ，GF ⊥平
面ABCD .
（Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；
（Ⅰ）若AF FG =，求直线EG 与平面ABG 所成角的正弦值.
【变式演练7】已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等,1A 在底面ABC 内的射影为ABC 的中心,则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）
A ．13 B
． C
．3 D ．23
【变式演练8】【北京市朝阳区2020届高三年级下学期二模】如图，在五面体ABCDEF 中，面ABCD 是正方形，AD DE ⊥，4=AD ，2DE EF ==，且π
3
EDC ∠=
．
（1）求证：AD ⊥平面CDEF ；
（2）求直线BD 与平面ADE 所成角的正弦值；
G
F
E
D
C
B
A
（3）设M 是CF 的中点，棱AB 上是否存在点G ，使得//MG 平面ADE ？若存在，求线段AG 的长；若不存在，说明理由．
方法二 空间向量法
第一步 首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步 然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标；
第三步 再利用a b
sin a b
θ→→
→→
⋅=
即可得出结论.
例4 【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）模拟】在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，222AD BC CD ===，O 是AD 的中点，PO ⊥平面ABCD ，过AB 的平面交棱PC 于点E （异于点C ，P 两点），交PO 于F .
（1）求证：//EF 平面ABCD ；
（2）若F 是PO 中点，且平面EFD 与平面ABCD 求PC 与底面ABCD 所成角的正切值.
【变式演练9】【2020年浙江省名校高考仿真训练】已知三棱台111ABC A B C -的下底面ABC 是边长为2
的正三角形，上地面111A B C △是边长为1的正三角形.1A 在下底面的射影为ABC 的重心，且11A B A C ⊥.
（1）证明：1A B ⊥平面11ACC A ；
（2）求直线1CB 与平面11ACC A 所成角的正弦值.
类型三 空间二面角的求解
例4【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】三棱锥S ABC -中，
2SA BC ==，SC AB ==，SB AC ==记BC 中点为M ，SA 中点为N
（1）求异面直线AM 与CN 的距离； （2）求二面角A SM C --的余弦值.
【变式演练10】【2021年届国著名重点中学新高考冲刺】如图，四边形MABC 中，ABC 是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，MAC △是边长为2的正三角形，以AC 为折痕，将MAC △向上折叠到DAC △的
位置，使D 点在平面ABC 内的射影在AB 上，再将MAC △向下折叠到EAC 的位置，使平面EAC ⊥平面ABC ，形成几何体DABCE .
（1）点F 在BC 上，若//DF 平面EAC ，求点F 的位置； （2）求二面角D BC E --的余弦值. 【高考再现】
1．【2020年高考山东卷4】日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球（球心记为O ），地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面．在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40︒，则晷针与点A 处的水平面所成角为 （ ）
A ．20︒
B ．40︒
C ．50︒
D ．90︒
2. 【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A B C D 3．【2020年高考全国Ⅰ卷理数16】如图，在三棱锥P ABC -的平面展开图中，
1,3,,,30AC AB AD AB AC AB AD CAE ===⊥⊥∠=︒，则cos FCB ∠=_____________．
4.【2020年高考全国Ⅱ卷理数20】如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点．过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．
（1）证明：1AA //MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ；
（2）设O 为Ⅰ111C B A 的中心，若F C EB AO 11平面∥，且AB AO =，求直线E B 1与平面AMN A 1所成角的正弦值．
5.【2020年高考江苏卷24】在三棱锥A —BCD 中，已知CB =CD BD =2，O 为BD 的中点，AO Ⅰ平面BCD ，AO =2，E 为AC 的中点．
（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；
（2）若点F在BC上，满足BF=1
4
BC，设二面角F—DE—C的大小为θ，求sinθ的值．
6．【2020年高考浙江卷19】如图，三棱台DEF—ABC中，面ADFC⊥面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC =2BC．（I）证明：EF⊥DB；
（II）求DF与面DBC所成角的正弦值．
7．【2020年高考山东卷20】如图，四棱锥P ABCD
-的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，设平面PAD与平面PBC的交线为l．
（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知1
PD AD
==，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【反馈练习】
1．【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是线段BC ，1BB 的中点，则异面直线DE 与1D F 所成角的余弦值为（ ）
A B C ．35 D ．45
2．【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】某四棱锥的三视图如图所示，点E 在棱BC 上，且2BE EC =，则异面直线PB 与DE 所成的角的余弦值为（ ）
A ．
B
C
D ．15
3．【2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟】如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点
P 是平面11A BC 内一个动点，且满足12DP PB +=1B P 与直线1AD 所成角的余弦值的取值范围为（ ）
A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．12⎡⎢⎣⎦
D ．1,22⎡⎢⎣⎦
4．【广西玉林市2021届高三11月教学质量监测理科】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱AD ，CC 1的中点，则异面直线A 1E 与BF 所成角的大小为（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．3π
D ．2
π 5．【山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量】如图，在三棱锥A —BCD 中，AB =AC =BD =CD =3，AD =BC =2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是（ ）
A ．58
B ．8
C ．78
D ．8
6．【福建省厦门市2020届高三毕业班（6月）第二次质量检查（文科）】如图，圆柱1OO 中，12OO =，1OA =，
1OA O B ⊥，则AB 与下底面所成角的正切值为( )
A ．2
B
C ．2
D ．12
7．【内蒙古赤峰市2020届高三（5月份）高考数学（理科）】若正方体1AC 的棱长为1，点P 是面11AA D D 的中心，点Q 是面1111D C B A 的对角线11B D 上一点，且//PQ 面11AA B B ，则异面直线PQ 与1CC 所成角的正弦值为__.
8．【吉林省示范高中（四平一中、梅河口五中、白城一中等）2020届高三第五次模拟联考】如图，已知直三棱柱ADF BCE -，AD DF ⊥，2AD DF CD ===，M 为AB 上一点，四棱锥F AMCD -的体积与该直三棱柱的体积之比为512
，则异面直线AF 与CM 所成角的余弦值为________.
9．【湖北省华中师大附中2020届高三下学期高考预测联考文科】如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上一点，PA ⊥平面ABC ，E 、F 分别是PC 、PB 边上的中点，点M 是线段AB 上任意一点，若2AP AC BC ===.
（1）求异面直线AE 与BC 所成的角：
（2）若三棱锥M AEF -的体积等于19，求AM BM
10．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试】如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形，侧面11BCC B 为菱形，且平面11BCC B ⊥平面ABC ，160CBB ∠=︒，D 为棱1AA 的中点．
（1）证明：1BC ⊥平面1DCB ；
（2）求二面角11B DC C --的余弦值．
11．【河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试数学（理）】如图，四边形ABCD 为菱形，120ABC ∠=︒，四边形BDFE 为矩形，平面BDFE ⊥平面ABCD ，点P 在AD 上，EP BC ⊥.
（1）证明：AD ⊥平面BEP ；
（2）若EP 与平面ABCD 所成角为60°，求二面角C PE B --的余弦值.
12．【广西南宁三中2020届高三数学（理科）考试】如图1，在直角ABC 中，90ABC ∠=︒，AC =
AB =D ，E 分别为AC ，BD 的中点，连结AE 并延长交BC 于点F ，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，如图2所示.
（1）求证：AE CD ⊥；
（2）求平面AEF 与平面ADC 所成锐二面角的余弦值.
13．【广西柳州市2020届高三第二次模拟考试理科】已知三棱锥P ABC -的展开图如图二，其中四边形
ABCD ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：
（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；
（2）若M 是PA 的中点，求二面角P BC M --的余弦值．
14．【浙江省“山水联盟”2020届高三下学期高考模拟】四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，侧面PBC 为正三角形，平面PBC ⊥平面ABCD ，3ABC π
∠=，点M 为AD 中点.
；
（1）求证：CM PB
（2）若点N是线段PA上的中点，求直线MN与平面PCM所成角的正弦值.
高中数学 空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路
D B A C α 空间中线线角，线面角，面面角成法原理与求法思路 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是2 , 0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动 直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是]2 , 0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角， 则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角 两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点在面α内的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明： PA ＝PA ，PN ＝PM ，90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①
空间向量及二面角的向量求法专题
空间向量 一、定义： （1）已知，则),,(121212z z y y x x ---= （2）已知),,(),,,(222111z y x b z y x a == ，则),,(212121z z y y x x b a +++=+ ； ),,(212121z z y y x x b a ---=- ；212121z z y y x x b a ++=? （3）数量积：cos a b a b θ?=?? 注：2 2 a a =；2()a b a b += +；222||z y x a ++= （4）应用：已知),,(),,,(222111z y x b z y x a == 1122//x y a b b a x y λ?=? ==2 1 z z 00212121=++?=??⊥z z y y x x b a b a 二、空间向量解决空间立体几何问题： 1、位置关系判定： （1）线线平行：111 222 //x y z a b a b x y z λ→ → → → ?=? == 线线垂直：121212(cos 0)02 a b x x y y z z π θθ→→ ⊥?= =??+?+?= （2）线面平行：//a m l α→→ ⊥?（其中m → 为平面的法向量） 线面垂直：//a m l α→ → ?⊥ （3）面面平行：////,m n m n αβαβ→→→→ ?其中为的法向量，为 的法向量 面面垂直：,m n m n αβαβ→ → → → ⊥?⊥其中为的法向量，为的法向量
2、求夹角： （1）线线角：|| |||||cos |b a b a ??=θ，其中[0,]2πθ∈ （2）线面角：|||||||cos |sin m a m a ??==θθ，其中[0,]2 π θ∈ （3）二面角：cos |||| m n m n θ→→ → → ?= ?，其中[0,)θπ∈ 向量法求解二面角 向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。 随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为?，则有π?θ=+（图1）或 ?θ=（图2） 图
2019-2020年高考数学 专题34 空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板
2019-2020年高考数学 专题34 空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板 【高考地位】 立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题. 【方法点评】 类型一 空间中线线角的求法 方法一 平移法 使用情景：空间中线线角的求法 解题模板：第一步 首先将两异面直线平移到同一平面中； 第二步 然后运用余弦定理等知识进行求解； 第三步 得出结论. 例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A. 6π B. 4π C. 3π D. 2 π 【答案】B 平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常转化为解三
角形的问题处理，要注意异面直线所成角的范围为0, 2π?? ?? ? 。 【变式演练1】如图，四边形ABCD 是矩形， 沿直线BD 将ABD ?翻折成'A BD ?，异面直线CD 与'A D 所成的角为α, 则（ ） A ．'A CA α<∠ B ．'A CA α>∠ C.'A CD α<∠ D ．'A CD α>∠ 【答案】B 考点：异面直线所成角的定义及运用. 【变式演练2】【2018年衡水联考】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ， F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（ ） ①//DF 平面11D EB ； ②异面直线DF 与1B C 所成角为60?； ③1ED 与平面1B DC 垂直； ④11 12 F CDB V -=． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】对于①，∵DF 11//B D ，DF ?平面11D EB ， 11B D ?平面11D EB ，∴//DF 平面11D EB ，正确； 对于②，∵DF 11//B D ，∴异面直线DF 与1B C 所成角即异面直线11B D 与1B C 所成角，△11C B D 为等边三角形，故异面直线DF 与1B C 所成角为60?，正确； 对于③，∵1ED ⊥1A D ， 1E D ⊥CD，且1A D ?CD=D ，∴1E D ⊥平面11A B DC ，即1E D ⊥平面1B DC ，正确；
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角） 空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。 空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。下面举例说明。 一、异面直线所成的角： 例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。E 、F 分别是 线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。 思路一：本题易于建立空间直角坐标系， 把1EC 与1FD 所成角看作向量EC u u u r u u u r 1与FD 的夹角，用向量法求 解。 思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。（图1） 解法一：以A 为原点，1AB AD AA u u u r u u u r u u u r 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的 正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是 11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-u u u u r u u u u r 设EC 1与FD 1所成的角为β，则： 112222221121 cos 14132(4)22 EC FD EC FD β?===?++?-++u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为 21 14 解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。 在Rt △BE 1F 中， 2222115126E F E F BF = += += 。
专题35 空间中线线角、线面角,二面角的求法-
专题35 空间中线线角、线面角、二面角的求法 【高考地位】 立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题. 类型一 空间中线线角的求法 方法一 平移法 例1正四面体ABCD 中， E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A. 6π B. 4π C. 3π D. 2 π 【变式演练1】【2021届全国著名重点中学新高考冲刺】如图，正方体1111ABCD A B C D -，的棱长为6，点 F 是棱1AA 的中点，AC 与BD 的交点为O ，点M 在棱BC 上，且2BM MC =，动点T （不同于点M ） 在四边形ABCD 内部及其边界上运动，且TM OF ⊥，则直线1B F 与TM 所成角的余弦值为（ ）
A B C D ． 79 【变式演练2】【江苏省南通市2020-2021学年高三上学期9月月考模拟测试】当动点P 在正方体 1111ABCD A B C D -的棱DC 上运动时，异面直线1D P 与1BC 所成角的取值范围（ ） A ．,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,63ππ⎡⎤⎢ ⎥⎣⎦ C ．,43ππ⎡⎤⎢ ⎥⎣⎦ D ．, 32ππ⎡⎫ ⎪⎢⎣⎭ 【变式演练3】【甘肃省白银市靖远县2020届高三高考数学（文科）第四次联考】在四面体ABCD 中， 2BD AC ==，AB BC CD DA ====E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与AC 所 成的角为（ ） A ． π 6 B ． π4 C ． π3 D ． π2 【变式演练4】【2020年浙江省名校高考押题预测卷】如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ， 4AB BC ==，90ABC ∠=︒，侧棱SB 与平面ABC 所成的角为45︒，M 为AC 的中点，N 是侧棱SC 上一动点，当BMN △的面积最小时，异面直线SB 与MN 所成角的余弦值为（ ） A ． 1 6 B ． 3 C D ． 6 方法二 空间向量法
空间角及其求法
空间角及其求法张玉洪异面直线所成角直线与平面所成二面角 图 示 定义在空间任取一点o，分 别作a，b的平行线， 从而形成的的锐（角） 叫作异面直线所成角。 斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角。 从一条直线引出的两个半平面所 组成的图形叫做二面角。 表 示 异面直线a、b所成角线a与平面所成角 范 围 备 注 平移、妙选顶点找射影、二足相连用什么度量？ 一.用定义求空间角的步骤 1.作出所求的空间角<定位> 2.证明所作的角符合定义<定性> 3.构造三角形并求出所要求角<定量> 简言之，空间角的求解步骤为：“一作”、“二证”、“三算” 二典例分析 例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M、N分别是棱A1B1和BB1的中点，求直线AM 和CN所成角。 解析： 途径一过D1作D1E//AM，作D1F//CN，连接EF，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△D1EF即可。 途径二过D作D1E//AM，再过N作NG//D1E，显然为异面直线AM与CN所成角。通过解△ＮＧＣ即可。 方法提炼1求两条异面直线所成的角关键在于妙选点、作平线。常选中点或线端点，利用中位线的性质或平行四边形的性质等作出符合要求的平行线。 例2.如图棱长是1的正方体，p、Q分别是棱AB、CC1上的内分点，满足. （1）求证：A1p⊥平面AQD； （2）求直线pQ与平面AQD所成角的正弦值.
解析：过Q作QR平行AD，交BB1与R，连接AR，易知面ADQR即为面AQD由（1）知A1p ⊥面AQD， 设A1p交AR与S，连接SQ即可。由以上的作法可知 即为所求角，只需解三角形SpQ即可。 方法提炼2.求直线和平面所成角要领“找射影，二足相连”。由于平面的一条斜线在这个平面的射影只有一条，所以关键在于寻该斜线在面上的射影。 例3. 在四棱锥p-ABCD中，已知ABCD为矩形，pA ⊥平面ABCD，设pA=AB=a，BC=2a，求二面角B-pC-D的大小。 解析1.定义法过D作DE ⊥pC于E，过E作EF ⊥pC于F，连接FD，由二面角的平面角的定义可知是所求二面角B-pC-D的平面角。求解二面角B-pC-D的大小只需解△DEF 即可。 解析2.垂面法易证面pAB⊥面pBC，过A作AM ⊥Bp于M，显然AM ⊥面pBC，从而有AM ⊥pC，同法可得AN ⊥pC，再由AM与AN相交与A得pC ⊥面AMN。设面AMN交pC于Q，则为二面角B-pC-D的平面角；再利用三面角公式可解。 解析3.利用三垂线求解把四棱锥p-ABCD补成如图的直三棱柱pAB-EDC，显然二面角 E-pC-D与二面角D-pC-B互补，转化为求二面角E-pC-D。 易证面pEDA ⊥pDC，过E作EF ⊥pD于F，显然pF ⊥面pDC，在面pCE内，过E 作EG ⊥pC于G， 连接GF，由三垂线得GF⊥pC 即为二面角E-pC-D的平面角，只需解△EFG即可。
线线角、线面角、二面角知识点及练习
线线角、线面角、面面角专题 一、异面直线所成的角 1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把a '与b '所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。 2.角的取值范围：090θ<≤︒； 垂直时，异面直线当b a ,900=θ。 例1.如图, 在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ==== ，点D 为AB 的中点 求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值 二、直线与平面所成的角 1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角， 叫这条斜线和这个平面所成的角 2.角的取值范围：︒ ︒ ≤≤900θ。 例2. 如图、四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点， 求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角的正切值。 B M H S C A _ C _1 _1 _ A _1 A _ C
一、 二面角： 1. 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半 平面叫做二面角的面。 2. 二面角的取值范围：︒ ︒ ≤≤1800θ 两个平面垂直：直二面角。 3.作二面角的平面角的常用方法有六种： 1.定义法 ：在棱上取一点O ，然后在两个平面内分别作过棱上O 点的垂线。 2.三垂线定理法：先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角。 3.向量法：分别作出两个半平面的法向量，由向量夹角公式求得。二面角就是该夹角或其补角。 二面角一般都是在两个平面的相交线上，取恰当的点，经常是端点和中点。 例3.如图，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求 (1)二面角111D C A D --所成的角的余弦值 (2)平面AB 1E 和底面C C BB 11所成锐角的正切值. A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A
立体几何空间角的求值的多种解决方法（线线角，线面角，二面角）
立体几何空间角的求值的多种解决方法（线线角，线面角，二 面角） 立体几何作为高考数学浙江卷的拿分“大户”，总分20多分，向来高考数学中具有举足轻重的作用，而其中以计算题形式出现的更是重中之重。 立体几何一般来说作为第二大题的样子出现，是很多同学能够争取拿到大部分分数或满分的题目，但往往却拿不全分数，甚至部分基础薄弱但坚持学习的同学拿不了几分，对学习积极性来说是很大的挫败。但实际上立体几何更有“套路”，掌握“套路”后比其他大题更容易得分。 接下来，我来总结一下立体几何（大题）的一般求法： 第一部分：平行与垂直的证明 立体几何一般以两问出现的较多，其中第一问相对较多出现的是平行和垂直的证明，而浙江卷又以垂直出现的可能性更大。当然垂直证明一般难度大于平行的证明。对于这一块内容，我们简单介绍下。我制作了一张平行互推图和垂直互推图。大家可以看一下。 打开今日头条，查看更多精彩图片 平行证明
垂直证明 平行与垂直的证明，我们放在下一块求空间角时，分析大题目时一起分析。 第二部分：求空间角 立体几何的第二问基本都以求空间角的形式出现 求空间角主要分为三块内容：异面直线所成的角(线线角)，线与面所成的角（线面角），面与面所成的角（二面角）。 首先，我们看一下考纲里面对空间角的要求： A. 理解直线与平面所成角的概念，了解二面角及其平面角的概念． B.了解求两直线夹角、直线与平面所成角、二面角的向量方法． 接下来我们分三点来分析空间角的求法： 1）异面直线所成的角(线线角) 定义：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）． 异面直线所成的角
空间中线线角、线面角、面面角成法原理与求法思路知识分享
空间中的夹角 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是（0,］。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动 2 直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是［0,—］。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 2 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不 用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为"作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角 中的最小角，即若B为线面角，为斜线与平面内任何一条直线所成的角, 则有；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为BAD CAD ) 2.1确定点的射影位置有以下几种方法: ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分 线上； 已知：如图，BAC在一个平面内, PN AC,PM AB,且PN= PM （就是点P到角 两边的距离相等）过P作PO （说明点O为P点在面内的射影） 求证：OAN= OAM （OAN= OAM，所以AO为BAC的角 平分线，所以点O会在BAC的角平分线上） 证明：Q PA =PA , PN = PM PNA= PMA=90 PNA PMA （斜边直角边定理） AN = AM PO NO MO （斜线长相等推射影长相等） PN = PM
线面角及二面角的求法
第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法： (1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解． (2）二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量． ： ] 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质． 【典例讲解】 【例1】如图，在四棱锥P。ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1）求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明:AE⊥平面PCD； （3)求二面角A－PD－C的正弦值． （1)解在四棱锥P－ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD， 故PA⊥AB。又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 从而AB⊥平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为PA, 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角． 在Rt△PAB中,AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明在四棱锥P－ABCD中， 因PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD, 故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A,
∴CD⊥平面PAC。 又AE⊂平面PAC，∴AE⊥CD。 由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC。 又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 (1）证明PA∥平面EDB; (2)证明PB⊥平面EFD； （3）求二面角C－PB－D的大小． （1）证明如图所示,连接AC，AC交BD于O，连接EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点． 在△PAC中,EO是中位线， ∴PA∥EO. 而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB， ∴PA∥平面EDB. 【针对训练】 1．如图,四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2错误!，PA＝2,E 是PC上的一点,PE＝2EC。
线线角、线面角,二面角(高考立体几何法宝)
1 A 1 B 1 C 1 D A B C D E F G 线线角、线面角、二面角的求法 1.空间向量的直角坐标运算律： ⑴两个非零向量与垂直的充要条件是 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++= ⑵两个非零向量与平行的充要条件是 a · b =±|a ||b | 2.向量的数量积公式 若a 与b 的夹角为θ(0≤θ≤π),且123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =,则 （1）点乘公式： a ·b =|a ||b | cos θ （2）模长公式：则2 12||a a a a a =⋅=++2 ||b b b b =⋅=+（3）夹角公式：2 cos ||||a b a b a b a ⋅⋅==⋅+（4）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2 | |(AB AB x ==,A B d = ①两条异面直线a 、b 间夹角0,2πα⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ 在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>= 例1 (福建卷)如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是（ ） A ．5 15arccos B ． 4 π C ．5 10 arccos D ．2π （向量法，传统法）
P B C A 例 2 (2005年全国高考天津卷)如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且 PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____． 解：（1）向量法 （2）割补法：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即 t a n 2PD DBA DB ∠ = =． 点评：本题是将三棱柱补成正方体'''DBCA D B C P - ②直线a 与平面α所成的角0,2πθ⎛⎤ ∈ ⎥⎝⎦ (重点讲述平行与垂直的证明) 可转化成用向量→ a 与平面α的法向量→ n 的夹角ω表示，由向量平移得：若 ππ（图）；若ππ 平面α的法向量→ n 是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.求平面法向量的一般步骤： (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标111222(,,),(,,)a a b c b a b c == (2)设出平面的一个法向量为(,,)n x y z = (3)根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组(0a < (4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量。 图1－ 图1－ 图1－ 1 D 1 B 1 C P D B C A
空间角的求法
空间角的求法 一、异面直线所成角的求法 平移法 常见三种平移方式：直接平移；中位线平移（尤其是图中显现了中点）；补形平移法。“补形法”是立体几何中一种常见的方式，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处置，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是经常使用的方式之一。 （1）直接平移法 例1 如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=10，求AD 与PC 所成角的正切值。（ 5 2 4） （2）中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。 例2 设S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝ 2 π ，M 、N 别离是AB 和SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值。（5 10） （3）补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以利于找出平行线。 例3在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是1CC 的中点，求直线AC 与ED 1所成角的余弦值。（5 10 ） 二、线面角的三种求法 B M A N C S
1.直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。一般是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它能够起到联系各线段的作用。 例1四面体ABCS 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M 为AB 的中点，求：（1）BC 与平面SAB 所成的角；（60°） （2）SC 与平面ABC 所成的角。（ 7 7 ） （“垂线”是相对的，SC 是面SAB 的垂线，又是面ABC 的斜线。作面的垂线常依照面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2.利用公式l h = θsin ：其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，l 是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 中AB=3，BC=2，A 1A= 4，求AB 与面AB 1C 1D 所成的角的正弦值。（ 5 4） 3.利用公式21cos cos cos θθθ⋅= ：如图，若OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，1θ为OA 与OB 所成的角，即线面角，2θ为OB 与 OC 所成的 角，那么21cos cos cos θθθ⋅=，它揭露了斜线和平面所成的角是这条斜线和那个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理） 例3 已知直线OA ，OB ，OC 两两所成的角为60°，求直线OA 与面OBC 所成的角的余弦值。（3 3 ） B M H S C A A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 2 3 B A D O α D A B
高考数学 专题34 空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板-人教版高三全册数学试题
专题34 空间中线线角、线面角的求法 【高考地位】 立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作——证——解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题. 【方法点评】 类型一 空间中线线角的求法 方法一 平移法 使用情景：空间中线线角的求法 解题模板：第一步 首先将两异面直线平移到同一平面中； 第二步 然后运用余弦定理等知识进行求解； 第三步 得出结论. 例1正四面体ABCD 中，E F ，分别为棱AD BC ，的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为 A. 6π B. 4π C. 3π D. 2 π 【答案】B
平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常转化为解三角形的问题处理，要注意异面直线所成角的X 围为0,2π⎛ ⎤ ⎥⎝⎦ 。 【变式演练1】如图，四边形ABCD 是矩形， 沿直线BD 将ABD ∆翻折成'A BD ∆，异面直线CD 与'A D 所成的角为α, 则（ ） A ．'A CA α<∠ B ．'A CA α>∠ C.'A CD α<∠ D ．'A CD α>∠ 【答案】B
考点：异面直线所成角的定义及运用. 【变式演练2】【2018年某某联考】在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是侧面11AA D D 与底面ABCD 的中心，则下列命题中错误的个数为（ ） ①//DF 平面11D EB ； ②异面直线DF 与1B C 所成角为60︒； ③1ED 与平面1B DC 垂直； ④1112F CDB V -= ． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】对于①，∵DF 11//B D ，DF ⊄平面11D EB ，11B D ⊂平面11D EB ，∴//DF 平面11D EB ，正确； 对于②，∵DF 11//B D ，∴异面直线DF 与1B C 所成角即异面直线11B D 与1B C 所成角，△11C B D 为等边三角形，故异面直线DF 与1B C 所成角为60︒，正确； 对于③，∵1ED ⊥1A D ，1E D ⊥CD，且1A D ⋂CD=D ，∴1E D ⊥平面11A B DC ，即1E D ⊥平面1B DC ，正确； 对于④，11CDF 1111133412F CDB B CDF V V S --== ⨯⨯=⨯=，正确， 故选：A 【变式演练3】设三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面垂直，90BCA ∠=︒，2BC CA ==，若该棱柱的所有顶点都在体积为323 π的球面上，则直线1B C 与直线1AC 所成角的余弦值为（ ） A ．23- B ．23 C ． 【答案】B