用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。
向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。
一． 规定法向量的指向方向
1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指，
如：图1中的1n 向量。
2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的2n 向量。
二． 法向量的夹角和二面角大小的关系
1.设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--
l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有πϕθ=+（图2）；
2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时ϕθ=（图3）
图2
图3
三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向
1.已知二面角βα--l ，若平面α的法向量)3,4,4(=n ，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量n 有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面α法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。
2.若平面α法向量)1,3,4(--=，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。
四．应用举例
例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别为AA 1、AB 、BC 的中点，求作二面角G —EF —D 半平面GEF 的法向量并判断其
(=
方向。
解：以D 为原点建立空间直角坐标系，则E(1，
21,0) 、F(2
1
，1,0) 、 G(1,0，2
1
)由此得:
)21,21,0(-=)021,21(-=
设平面的法向量为),,(z y x = 由⊥及⊥可得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=
-=∙=-=∙021*******y x z y ⎩
⎨
⎧==⇒y z y x 令y=1取平面的一个法向量为)1,1,1(=n
评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量即可，再令其从原点出发，做出法向量)1,1,1(=n 如图所示，方向指向二面角G —EF —D 的外部。
例题2. 如图7，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 解 如图，建立空间直角坐标系． 依题意：A 1（0，0，2），D （0，4，0）． ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)0,2,2(),2,2,2(1-=-=QD Q A 半平面面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =
则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅,
022,022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨
⎧==⇒,2,13
12a a a a ∴)2,,(1112a a a n = 令a 1=1，则)2,1,1(2=n
做出从原点出发的向量)2,1,1(2=n ，如图所示，从图形得出，半平面AA 1D
y
z
的法向量)0,0,1(1=n 的方向指向为二面角A —A 1D —Q 的里面，半平面A 1DQ 的法向量)2,1,1(2=n 的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等。即：
cos θ
=6
66
11,cos 21=⋅=
>=
6arccos 。 评析（1）传统方法求二面角大小时需三个步骤：“找——证——求”，而用法向量求二面角大小时简化成了两步骤：“判断——计算”，这在一定程度上降低了学生解决立体几何问题的难度，也体现了各部分知识间的贯通性和灵活性，更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神。 （2）求出法向量此)2,1,1(2=n 之后，在坐标系中令其从原点出发做出此法向量，然后判断其方向指向，即指向二面角A —A 1D —Q 的里面，又半平面A 1DQ 的法向量)2,1,1(2=n 的方向指向为二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等。从而，二面角的大小利用向量的数量积而求得。 例题 3. 如图8，在底面是直角梯形的四棱锥S —A BCD 中，AD//BC ，∠ A BC=900，S A ⊥面A BCD ，S A =21，A B=BC=1，A D=2 1 。 求侧面SCD 与面SB A 所成的二面角的余弦值。 解： 以A 为原点如图建立空间直角坐标系， 则S （0，0， 2 1 ）， A （0，0，0）， B （0，1，0），C （1，1，0），D （2 1 ，0，0）， )2 1 ,1,1(),21,0,21(-=-=， 显然平面SB A 的一个法向量为1n =(1，0，0)， 设平面SCD 的一个法向量为2=(x ，y ，z )，则2n ⊥平面SCD ∴ )214121(,2102200 2 22,,n z z y x z x n -==⎩⎨⎧=-+=-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅则取 由图知，半平面SB A 的法向量为1n =(1，0，0)的方向指向面SCD 与面SB A 所成 的二面角的里面，半平面SCD 的法向量)2 1 ,41,21(2-=n 指向面SCD 与面SB A 所 成的二面角的外面，所以二法向量的夹角与二面角的大小相等，由此得： cos θ=3 2,cos 212 121=⋅>= 3 2. 若在：)21 4121(,2102202--=-=⎩⎨ ⎧=-+=-,,n z z y x z x 则取 这时，两个半平面的法向量就都指向面 SCD 与面SB A 所成的二面角的里面了， 如图9，两个法向量的夹角与二面角的 大小互补，即： θ=-π<>21,n n ∴cos θ=32 | |||,cos 212 12 1=>=<-n n n n <注：在求得关于x,y,z 的关系式，给z 赋值时，由于版面的空间有限，只好取z=2 1 ， 而通常我们在做题时，一般都令z=1,这样便于计算。> 评析：（1）因为所求的二面角的交线在图中较难作出，所以用传统的方法求二面角比较困难，向量法在这里就体现出它特有的优势；（2）法向量的取法可以灵活多变，但做出法向量的时候，要遵循一个原则，即：从原点出发。 将向量知识引进中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野，又给很多问题的解决增加了亮点，比如：在解析几何上，在立体几何上都有其非常广泛的应用，向量知识必将逐步的被我们广大师生所接受所认可并发挥其应有的作用。 图9 求二面角的六种方法 一、引言 二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。 二、向量法 向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。具体步骤如下： 2.1 确定两个平面 首先，我们需要确定需要求解的两个平面。平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。 2.2 求解法向量 找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。 2.3 计算二面角的余弦值 通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值： cosθ= n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥ 2.4 计算二面角 通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值： θ=arccos(cosθ) 三、三角函数法 三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。具体步骤如下： 3.1 确定两个平面 同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。 3.2 求解法向量和对应边长 求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。 3.3 计算三角函数的值 根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。 3.4 计算二面角 通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。 四、三边长法 三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。具体步骤如下： 4.1 确定三个边长 根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。 4.2 应用余弦定理 利用余弦定理计算夹角：cosC =a 2+b 2−c 22ab ，其中cosC 即为夹角的余弦值。 高考数学专题：向量求二面角 向量法求二面角大小的两种方法 (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M 为BC上一点，且BM＝1 2，MP⊥AP. (1)求PO的长； (2)求二面角A-PM-C的正弦值． 2、如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为AC，DC的中点． (1)求证：EF⊥BC； (2)求二面角E-BF-C的正弦值． 3、如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a. (1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值； (2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1； (3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值． 4、如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E-BC-A的余弦值． 5、如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面 ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2. 利用法向量求二面角 1. 什么是二面角 在几何学中，二面角指的是两个平面的夹角，通常用来描述空间中的角度关系。具体地说，二面角是由两个面的法向量所定义的角度，通过测量一个面对相邻面的法向量之间的夹角来计算。 2. 法向量的概念 在三维空间中，平面可以通过一个法向量来定义。法向量垂直于平面，并且指向平面的外部。根据向量的定义，法向量具有方向和大小。法向量的大小表示平面的倾斜程度，而法向量的方向则指示平面的朝向。 3. 利用法向量求二面角的方法 要计算两个平面之间的二面角，可以利用它们的法向量。具体的方法如下： 步骤1：首先，确定两个平面的法向量。可以通过计算平面上的三个非共线点的向量叉积来获得一个平面的法向量。同样地，另一个平面的法向量也可以通过相同的方法来计算。 步骤2：然后，计算两个法向量之间的夹角。夹角可以通过计算两个向量的内积的反余弦值来获得。 步骤3：最后，得到的夹角就是两个平面之间的二面角。根据需要，可以将夹角的单位转换为度数或弧度。 4. 示例 为了更好地理解利用法向量求二面角的方法，我们来看一个示例。假设有两个平面，A和B，它们的法向量分别为 n_n=(n,n,n)和n_n=(n,n,n)。 首先，计算法向量的夹角。夹角n可以表示为 n=nn+nn+nn。 然后，得到的角度n就是平面A和平面B之间的二面角。 5. 总结 利用法向量可以方便地计算两个平面之间的二面角。通过计算两个平面的法向量的夹角，可以得到二面角的值。这个方法在计算几何学和计算机图形学中都有广泛的应用，用于描述三维空间中的角度关系。 以上就是利用法向量求二面角的说明文档，希望对你有所帮助。如果你有任何问题或需要进一步的解释，请随时向我提问。 讲义：立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结 一、几种角的范围 1、 _________________________________ 二面角平面角的范围： 2、 _________________________________ 线面角的范围： 3、 _________________________________ 直线倾斜角范围： 4、异面直线夹角范围：_______________ 5、向量夹角范围：_________________ 二、立体几何中的向量方法 1. 三个重要向量 (1) 直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有 ______ . (2) 平面的法向量：直线I丄平面a取直线I的方向向量，则这个向量叫做平面a的法向量.显 然一个平面的法向量有 ____ ，它们是共线向量. (3) 直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=O的正法向量为n=(A,B). 2. 直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用 (1) 直线l i的方向向量为u 1= (a i, b i, c i),直线l2的方向向量为比=(a2, b2, C2). 女口果丨1 //丨2,那么U1 // U2? 5=右2? ____________________________ ； 女口果丨1丄l2, 那么U1丄U2? U1 U2= 0? ________________ ⑵直线I的方向向量为u= (a1, b1, C1),平面a的法向量为n= (a2, b2, C2). 若I // a 贝U u 丄n? u n = 0? __________________ 若I 丄a 贝U u // n? u = k n? ______________________ (3)平面a的法向量为U1 = (a1, b1, C1)，平面B的法向量为u2= (a2, b2, C2). 若all B U1 / U2? U1 = k u2? (a1, b1, G)= _________________ ； 若a丄B 贝y U1 丄U2? U1 U2= 0? ______________________ 3. 利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角：设a, b分别是两异面直线I1, I2的方向向量，则 二面角 二面角的求解方法（范围：） 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 变式：如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。 p A B D L H A P H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O 变式1、如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 变式2、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小 变式3、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点 A 在直线l 上的射影为A 1，点 B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小. 三、垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直； 例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3 39 2， 求二面角βα--l 的大小. P β α l C B A B 1 A α β A 1 B L E F 立体几何向量法求二面角 一、引言 在几何学中，二面角是指两个平面或者一个平面和一个直线之间的夹角。它是描述多面体中相邻两个面之间的夹角的重要参数。在工程学、物理学和化学等领域，求解二面角是非常常见的问题。本文将介绍立 体几何向量法求解二面角的方法。 二、立体几何向量法 立体几何向量法是一种非常有效的求解二面角的方法。它基于向量叉 积和点积的运算，通过将多面体分解成若干个三角形来计算二面角。1. 向量叉积 向量叉积是两个向量所构成的新向量，其大小等于两个向量所构成平 行四边形的面积，方向垂直于这两个向量所构成平行四边形所在平面。设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的叉 积c = a × b定义为： c = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1) 其中c表示a和b所构成平行四边形所在平面上一条垂直这个平行四边形的向量。 2. 向量点积 向量点积是两个向量所构成的标量，其大小等于两个向量夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。设有两个三维向量a = (a1, a2, a3)和b = (b1, b2, b3)，则它们的点积c = a · b定义为： c = a1b1 + a2b2 + a3b3 其中c表示a和b之间夹角的余弦值乘以它们的模长之积。 3. 二面角计算公式 二面角可以通过计算相邻两个面法线向量之间夹角的余弦值来求解。具体地，设有一个多面体，其中相邻两个面A和B所对应的法线分别为nA和nB，则它们之间的二面角θAB可以通过以下公式计算： cosθAB = -nA·nB / |nA||nB| 其中“·”表示向量点积，“| |”表示向量模长。 法向量法求二面角 一、理论依据 法向量法指的是用法向量-一个从表面出发穿过面的单位向量来表达几何面。航空、航天航空测量和光学测量中，求取几何面构型、计算法向量都是必不可少的过程。求取几何面构型，就是求几何面的法向量的过程。 二、概念介绍 法向量描述的是面的厚度方向。一般来讲，法向量由两个部分组成：一个指向厚度的圆柱半径方向，另一个指向面的夹角方向。它们的方向总是一致的，问题就在于如何从中获得夹角的大小。 法向量法可以用来求解二面角。即，通过计算两个面的夹角（也称为法向量夹角）来求解二面角。首先，利用空间坐标系中的法向量（也称为外法线）进行定义，并计算出两个面的夹角。其次，利用此夹角反求二面角的大小。 三、具体方法 1.步骤一：求解法向量 首先，要求解二面角，就要求出两个面的法向量。可以根据几何关系，先求出两个面上的共轭矢量，也就是它们的外法线，然后再用外法线来求解一个点在某个平面上的法向量。 2.步骤二：求解夹角 求解完两个面的法向量后，在空间坐标系内将它们标注出来。通过计算两个法向量在空间坐标系里的长度将它们进行标注并计算出它们的夹角关系。 最后，将两个面的夹角进行反求，从而求出二面角的大小。 四、实际应用 法向量法可以用来测量几何模型的表面，例如金属和塑料等模型的曲率，机械零件的导程和装配精度，以及航空、航天航空结构以及造船等领域。此外，法向量法还可以用于航空测量，卫星控制平台等应用中，用来求解准确的轨迹位置及方位角。 此外，法向量法还可以建立三维地形和面模型，例如数字海洋面模型、第三维空间基点网模型以及地形模型，以及使用影像地理信息技术的应用。 本文的介绍，以法向量法求二面角为例，详细讲述了法向量法原理、概念介绍以及具体方法，以及它的实际应用。通过法向量法可以准确地测量几何模型表面的夹角关系，有效便捷地缩短求解二面角的时间，为工程技术的发展起到重要作用。 法向量二面角的求法 法向量是空间几何中一个重要的概念。它可以用来描述平面或曲面在某一点上垂直于该点的线段或直线。在几何学中，我们经常用法向量来判断两个平面的关系，例如判断两个平面是否相交，或者判断一个点是否在一个平面上。而法向量的角度也是一个重要的问题，我们需要知道如何计算法向量的角度，以便我们可以更好地理解空间中的曲面和平面。 首先，让我们来看看什么是法向量。在空间几何中，一个平面可以由一个点和一个法向量来定义。法向量垂直于平面，并且与平面上的所有点的连线方向都相同。对于一个平面P，我们可以用一个法向量n来表示，记作P: n。法向量n的模长为1，且与平面P垂直。 在空间几何中，两个平面的夹角可以通过它们的法向量的角度来计算。设平面P1和P2的法向量分别为n1和n2，则两个平面的夹角θ可以通过下面的公式计算得到： θ = arccos(n1 · n2) 其中，·表示向量的数量积，也叫点积。公式中的arccos函数表示反余弦函数，可以通过计算得到夹角的大小。值得注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，所以计算得到的夹角θ的范围也是[0,π]。 有了两个平面的夹角，我们可以进一步计算法向量的二面角。二面角指的是两个切平面的夹角，也可以通过两个切平面的法向量的角度来计算。设切平面T1和T2的法向量分别为n1和n2，切平面T1和T2同时通过一个公共的切线，则两个切平面的二面角α可以通过下面的公式计算得到： α = arccos(n1 · n2) 公式中的·同样表示向量的数量积，arccos函数表示反余弦函数。计算得到的二面角α的范围是[0,π]。 在实际中，我们可以通过计算得到的二面角来判断两个切平面的 一、几种角的范围 1、二面角平面角的范围： 2、线面角的范围： 3、直线倾斜角范围： 4、异面直线夹角范围： 5、向量夹角范围： 二、立体几何中的向量方法 1．三个重要向量 (1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有_______个． (2)平面的法向量：直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有_____个，它们是共线向量． (3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=0的正法向量为n=(A,B). 2．直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用 (1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)． 如果l1∥l2，那么u1∥u2⇔u1＝λu2⇔______________________________； 如果l1⊥l2，那么u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔_____________________. (2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)． 若l∥α，则u⊥n⇔u·n＝0⇔______________________. 若l⊥α，则u∥n⇔u＝k n⇔__________________________. (3)平面α的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为u2＝(a2，b2，c2)． 若α∥β，u1∥u2⇔u1＝k u2⇔(a1，b1，c1)＝______________； 若α⊥β，则u1⊥u2⇔u1·u2＝0⇔________________________. 3．利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角：设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 【方法总结】 (2)如图②③，n，n分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos 若平面α，β的法向量分别是n和n，则平面α与平面β的夹角即为向量n和n的夹角或其补角．设 【例题选讲】 考点一 棱柱(台)模型 解析 (1)连接 AF ，∵E ，F 分别为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2， ∴CF ＝1，BF ＝5，∵BF ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，∴BF ⊥AB ， ∴AF ＝AB 2+BF 2＝22+(5)2＝3，AC ＝AF 2－CF 2＝32－12＝22，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即BA ⊥BC ． 故以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (2，0，0)，B (0，0，0)，C (0，2，0)，E (1，1，0)，F (0，2，1)，设B 1D ＝m ，则D (m ，0，2)， ∴BF →＝(0，2，1)，DE →＝(1－m ，1，－2)，∵BF →·DE → ＝0，∴BF ⊥DE ． (2)∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴平面BB 1C 1C 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， 由(1)知，DE →＝(1－m ，1，－2)，BF → ＝(－1，1，1)， 设平面DFE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨ ⎪⎧ n ·DE →＝0， n ·EF →＝0， ，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ (1－m )x ＋y －2z ＝0， －x ＋y ＋z ＝0. 令x ＝3，则y ＝m ＋1，z ＝2－m ，故n ＝(3，m ＋1，2－m )， 所以cos 用法向量确定二面角大小的三个基本关系 作者：程映军 来源：《甘肃教育》2012年第23期 〔关键词〕数学教学；法向量；二面角；符号；方向；相 关关系 〔中图分类号〕 G633.65 〔文献标识码〕 A 〔文章编号〕 1004—0463（2012）23—0082—02 求二面角平面角的问题在传统立体几何中解决的方法较多，这也是高考的一个重要内容，但新教材对此问题有所淡化，只要求学生能用平面法向量求出二面角平面角的大小.而两个法向量的夹角与二面角的平面角到底何时相等？何时互补？教材中处理得比较含糊，要求借助于图形直观解决，实际上此法可操作性并不大，因此，到了这个部分便常常出现“老师想讲讲不清，学生能学学不透”的尴尬局面.那么，如何在判断方法上兼顾理论依据的正确性和事件操作的可行性、简捷性呢？笔者认为，只要认识清楚以下三个基本关系，我们并不需要借助其他理论工具，就能快速解决这一问题. 一、空间向量坐标的符号与向量方向的关系 一个向量的坐标并不是刻画这个向量在空间直角坐标系O-xyz中的具体位置，而是刻画向量相对于标准正交基[i][➝]=（1，0，0），[j][➝]=（0，1，0），[k][➝]=（0，0，1）的“分解程度”.如，将向量[m][➝]=（x，y，z）分解，则此向量在x轴、y轴、z轴上的分向量依次是=（x，0，0）=x[i][➝]，=（0，y，0）=y[j][➝]，=（0，0，z）=z[k][➝]，从而x，y，z的正负直接反映这三个分向量与对应的基底是同向还是反向，如下表： 二、平面法向量的横、纵、竖之间的相关关系 平面α的法向量的坐标之间构成正比例关系. 证明：设A0（x0，y0，z0），A1（x1，y1，z1），A2（x2，y2，z2）是平面α上任意三个不共线的点，[m][➝]=（x，y，z）是平面α的法向量，则[m][➝] ⊥ [m][➝]⊥ ⇒[m][➝] 利用空间向量求二面角的两种策略 策略一：先作出二面角的的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是一二面角α-l -β的一个平面角，则向量OA →与OB → 所成的角就是所求的二面角的大小. 例1 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角. 解法一：如图1，设AC 与BD 交于O ，连结A 1O ，C 1O ，因为A 1D=A 1B ，所以A 1O ⊥BD ，同理C 1D ⊥BD.∴∠A 1OC 1就是平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的平面角. 设正方体棱长为1，则|AO → |=22 ，A 1O →=A 1A →+AO →， ∴|A 1O →|2=(A 1A →+AO →)·(A 1A →+AO →)=|A 1A →|2+2A 1A →·AO →+|AO →|2=1+1 2+2×22×cos90︒=32, ∴|A 1O →|=62 ，同理|C 1O → |=62 ， 又OA 1→·OC 1→=(OA →+AA 1→)·(OC →+CC 1→)=OA →·OC →+OA →·CC 1→+AA 1→·OC →+AA 1→·CC 1→ =﹣12+0+0+1=12， ∴cos §3.2.3立体几何中的向量方法 ——立体几何中的向量方法求二面角 教学目标 1.使学生学会求平面与平面所成的角的方法,能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 2.用数学语言描述几何知识，提高学生的数学表达和交流能力，发展独立获取数学知识的能力。 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解面面角的向量方法 教学难点 二面角的平面角的大小与两个平面的法向量的夹角的大小的关系 教学过程 一、引入新课 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。本节课主要是讨论怎么样用向量的办法解决二面角问题。 二、课前练习 1、若直线1l 的方向向量与2l 的方向向量的夹角是150度，则1l 与2l 这两条异面直线所成的 角等于（ ） A 、0 30 B 、0150 C 、030 或0 150 D 、以上均错 2、若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于0 120，则直线l 与平面α所成的角等 于（ ） A 、 120 B 、060 C 、0 30 D 、以上均错 3、正四棱柱D C B A ABCD 1 1 1 1 - 中，平面ABCD 的法向量为哪个向量？ 设计目的：根据1、2题归纳线线角，线面角都转化为两个向量夹角问题；3题重温求法向量的过程。 三、新课讲解 平面与平面所成的角 复习二面角定义，从垂面法引出二面角转化为两个面法向量夹角问题。 练习1 如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中找出平面B 1BDD 1与平面C 1CDD 1的法向量，并判断这两个平面法向量的夹角与这两个平面二面角的平面角的关系？ 析：图中二面角的平面角的大小很容易看出，要求学生从法向量夹角入手，与本节课知识相联系。 知识讲解： B D A 1 A C B 1 C 1 D 1 C A 用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定 我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。 向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。 一． 规定法向量的指向方向 1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指， 如：图1中的 向量。 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指， 如：图1中的 向量。 二．法向量的夹角和二面角大小的关系 1.设 分别为平面 的法向量，二面角 的大小为 ，向量 的夹角为 ，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有 （图2）； 2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时 （图3） 图2 图3 三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向 1.已知二面角 ，若平面 的法向量 ，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量 有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面 法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。 2.若平面 法向量 ，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。 四．应用举例 例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别为 AA1、AB、BC的中点，求作二面角G—EF—D半平面GEF的法向量并判断其方向。解：以D为原点建立空间直角坐标系，则E(1， ,0) 、F( ，1,0) 、 确定二面角大小的方法 求二面角的大小是高考的一个热点，但对学生来说又是一个难点。难在用向量的夹角公式 21212 1n n n n ，n n os ⋅= c （1n 、2n 分别为二面角βα--a 的面βα、的一个法向量）算出后，不知道二面角的大小为2121n n n n ⋅arccos 或π-2121n n n n ⋅arccos 。因为要结合图形看二面角的平面角是锐角或钝角才能确定答案。这对有些题，学生不易办到。在许多资料上遇到求二面角的大小 时，只给出答案，避而不谈为什么。另外对于出“求二面角大小”的题也有局限性。因此本文介绍一个简便的方法，用于判断二面角的大小为2121n n n n ⋅arccos 或 π-2 121n n n n ⋅arccos 。 引理1： 如果1n 、2n 的方向如图（1）所示，那么二面角的大小为π-2 12 1n n n n ⋅arccos 。如果1n 、 2n 的方向如图（2）所示，那么二面角的大小为2 121n n n n ⋅arccos 。 引理1的证明比较简单，本文从略。 引理2： 若平面α的一个法向量为n ，点P 在平面α内，点Q 在平面α外，若PQ ∙ n ＞ 0， 则n 和的方向指向平面α的同侧； 若∙n . ＜0，则n 和的方向指向平面α的两侧。 证明：如图（3）所示，作=n ， 则PR ⊥α ，若 PQ ∙n ＞0，则PQ ∙＞0，∴∠RPQ ∈⎪⎭ ⎫⎢⎣⎡20 π，，∴和的方向指向平面α的同侧，即n 和的方向指向平面α的同侧。若 ∙n ＜0，则∙ ＜0，∴∠RPQ ∈⎥⎦ ⎤ ⎝⎛ππ，2，∴和的方向指向平面α的两侧， 即n 和的方向指向平面α的两侧。 定理：在二面角βα--a 的 棱a 上任取一点P ，在该二面角内任取一点Q ，平面βα、的一个法向量分别为1n 、2n ，若PQ ∙1n 与PQ ∙2n 同号，则二面角的大小为π-2 12 1n n n n ⋅arccos ；若 ∙1n 与∙2n 异号，则二面角的大小为 证明： 若∙1n 与∙2n 同号，则∙1n 与∙2n 同正或同负。 当∙1n 与∙2n 同正时，由引理2得与1n 的方向指向平面α的同侧，并且与2n 的方向指向平面β的同侧。如图（4）所示，再由引理1得二面角的大小为π-2 12 1n n n n ⋅arccos 。 当∙1n 与∙2n 同负时，由引理2得与1n 的方向指向平面α的两侧，并且与2n 的 图（2） 图（4） 图（5） 直线和平面所成的角、二面角都是教学大纲和高考考纲要求掌握的，是立体几何的重点内容，也是高考的必考内容.要熟练掌握它们，需要从以下四个方面入手。 一、1个公式 公式12cos cos cos q q q =中涉及三个角，q 是指平面的斜线l 与平面内过斜足且不同于射影的直线m 所在所成的角，1q 是指l 与其射影'l 所成的角，2q 是指'l 与m 所成的角.其中210cos 1,.q q q <<<由此可得最小角定理. 二、2个定义 1.线面角：一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角（斜线和平面的夹角）.如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或直线在平面内，那么说直线和平面所成的角是零度的角.直线和平面所成的角的取值范围为[0,90]鞍，斜线和平面所成角的取值范围为(0,90)鞍. 2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，其中直线、半平面分别叫做二面角的棱和面.一个平面垂直于二面角l a b --的棱l ，且与两个半平面的交线分别是射线OA OB 、，O 为垂足，则AOB Ð叫做二面角l a b --的平面角.它决定着二面角的大小.其中平面角是直角的二面角叫做直二面有，相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面.二面角的取值范围为[0,180]鞍. 三、3个定理 1.最小角定理：平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角. 2.平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 3.平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面. 四、4类求法 1.几何法求直线和平面的夹角：根据直线和平面所成角的定义，先找出或作出直线在平面内的射影，然后把直线、射影对应的线段放在三角形中进行求解，其中能够寻找到垂直关系用直角三角形求解更佳. 2.向量法求直线和平面的夹角：主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目. (1)平面向量法：在斜线上取向量a 和其射影上取向量'a (注意方向，夹角为锐角)，则|'| c o s ,'|||'| a a a a a a ×<>= ×，这里a 、'a 形式上在同一个平面内； (2)法向量法：在斜线上取向量a ，并求出平面的法向量n ，所求夹角记为q ，则||sin |cos ,|||||a n a n a n q ×=<>= ×，所以|| arcsin |||| a n a n q ×=×. 需要注意的是，当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量，当法向量与坐标平面不 平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小. 3.几何法求二面角的大小： (1)定义法(垂面法)：过二面角内的一点作棱的垂面，垂面与二个半平面的交线形成所求平面角. (2)等价定义法：在二面角的棱上取一点(中点等特殊点) ，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. (3)三垂线法：先作(或找)出二面角的一个面内一点到另一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出平面角. (4)射影面积法：利用面积射影公式cos S S q =射投其中 为平面角的大小，特点在于不需要画出平面角，也不需要找出棱，尤其适用于没有画出棱的二面角问题. 4.向量法求二面角的大小： 图形比较规则，又不容易直接作出平面角的具体顶点时，可采用此法. (1)平面向量法:在棱上取一平面角的顶点，利用向量垂直时点乘等于零，求出平面角顶点的坐标，进而转化为向量夹角问题，此时两个向量形式上在同一个平面内. (2)空间向量法：方法基本同(1)，此时两个向量形式上不在同一个平面内，思维量、运算都小一些，求二面角的六种方法
高考数学专题：向量求二面角(含答案)
利用法向量求二面角
立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结
空间向量处理二面角
立体几何向量法求二面角
法向量法求二面角
法向量二面角的求法
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利用空间向量求二面角
用法向量确定二面角大小的三个基本关系
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用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
确定二面角大小的方法
利用向量知识求线线角,线面角,二面角的大小