文档：空间向量求二面角的方法
空间向量求二面角的方法
方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是二面角l αβ--的一个平面角，则向量与所成的角就是所求的二面角的大小． 例1 正四面体ABCD 中，求相邻两个面所成的二面角．
解析：如图1，取BC 边的中点Ｅ，连结AE 、DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AED 就是正四面体的两个相邻面ABC 与DBC 所成二面角的平面角，且BC ⊥平面ADE ，
∴BC ⊥AD ，∴0EC DA =．
设正四面体棱长为1．
∵()()ED EA EC CD EC CD DA =+++ 222EC EC CD EC DA CD DA CD ++++ 11121cos120011cos1201424
=+⨯⨯⨯++⨯⨯+=． 又在△ABC 与△BCD 中，可求得32ED EA ==
， ∴cos ED EA ED EA ED EA =，114
33322==⨯． 故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为1arccos 3
．
方法二：利用法向量求解：设是平面的法向量，是平面的法向量．①若两个平面的二面角如图2所示的示意图，则与之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的二面角如图3所示的示意图，设与之间的夹角为．则两个平面的二面角为．
例2 如图4，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA=BC=2，AB=4，D 、N 分别是BC 、AB 的中点．求二面角S-ND-A 的余弦值． 解析：平面ABC 的法向量是，设平面SND 的法向量为
BC AB AS λμ=++n ．
∵SA ⊥平面ABC ，
∴SA ⊥BC ，SA ⊥AB ，
∴0AS BD =，0AS BN =，0AS BC =，0AS AB = 又AB ⊥BC ，∴0BC BN =，0AB BD =，0BC NA =． 由()()ND BC AB AS BD BN λμ=++-n 280BC BD AB BN λμλμ=-=+=。
又()()NS BC AB AS NA AS λμ=++-n 840AB NA AS AS μμ=+=-+=
12μ∴=，2λ=-，122
BC AB AS =-++n 。 又1242AS AS BC AB AS AS AS ⎛⎫=-++== ⎪⎝⎭
n ，2AS =， 22122BC AB AS ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭n 22214244BC AB AS =++=，
∴=n 记为所求二面角，则46cos 6226AS AS θ=
==n n 。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法 求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。 一、向量法 向量法是一种简便的求解二面角的方法。它利用向量的夹角来表示二面角。首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。 二、坐标法 坐标法是一种常用的求解二面角的方法。它利用坐标系中的点来表示二面角。我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。 三、三角法 三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。 四、平面几何法 平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大
小。例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。 五、球面几何法 球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。 六、投影法 投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。 通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。 总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。这些方法在实际应用中具有重要的意义，对于解决相关问题非常有帮助。通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用二面角的概念。
空间向量及二面角的向量求法专题
空间向量 一、定义： （1）已知，则),,(121212z z y y x x ---= （2）已知),,(),,,(222111z y x b z y x a == ，则),,(212121z z y y x x b a +++=+ ； ),,(212121z z y y x x b a ---=- ；212121z z y y x x b a ++=? （3）数量积：cos a b a b θ?=?? 注：2 2 a a =；2()a b a b += +；222||z y x a ++= （4）应用：已知),,(),,,(222111z y x b z y x a == 1122//x y a b b a x y λ?=? ==2 1 z z 00212121=++?=??⊥z z y y x x b a b a 二、空间向量解决空间立体几何问题： 1、位置关系判定： （1）线线平行：111 222 //x y z a b a b x y z λ→ → → → ?=? == 线线垂直：121212(cos 0)02 a b x x y y z z π θθ→→ ⊥?= =??+?+?= （2）线面平行：//a m l α→→ ⊥?（其中m → 为平面的法向量） 线面垂直：//a m l α→ → ?⊥ （3）面面平行：////,m n m n αβαβ→→→→ ?其中为的法向量，为 的法向量 面面垂直：,m n m n αβαβ→ → → → ⊥?⊥其中为的法向量，为的法向量
2、求夹角： （1）线线角：|| |||||cos |b a b a ??=θ，其中[0,]2πθ∈ （2）线面角：|||||||cos |sin m a m a ??==θθ，其中[0,]2 π θ∈ （3）二面角：cos |||| m n m n θ→→ → → ?= ?，其中[0,)θπ∈ 向量法求解二面角 向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。 随着新教材中向量工具的引入，立体几何的解题更加灵活多样，这为那些空间想象能力较差的同学提供了机遇。利用平面的法向量几乎可以解决所有的立几计算和一些证明的问题，尤其在求点面距离、空间的角（斜线与平面所成的角和二面角）时，法向量有着它独有的优势，以下举例全面剖析在立几中如何用法向量求二面角。 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为?，则有π?θ=+（图1）或 ?θ=（图2） 图
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定 我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。 向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。 一． 规定法向量的指向方向 1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指， 如：图1中的1n 向量。 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的2n 向量。 二． 法向量的夹角和二面角大小的关系 1.设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα-- l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有πϕθ=+（图2）； 2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时ϕθ=（图3） 图2 图3
三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向 1.已知二面角βα--l ，若平面α的法向量)3,4,4(=n ，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量n 有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面α法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。 2.若平面α法向量)1,3,4(--=，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。 四．应用举例 例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别为AA 1、AB 、BC 的中点，求作二面角G —EF —D 半平面GEF 的法向量并判断其 (=
空间向量二面角求法
空间向量二面角求法 空间向量二面角是指两个非零向量之间的夹角。在空间中，向量的方向和大小都是重要的，因此求解空间向量的二面角是一项重要的任务。本文将介绍几种常见的方法来计算空间向量的二面角。 一、点乘法 点乘法是最简单直接的方法之一。给定两个向量a和b，它们的点乘结果可以表示为a·b=|a||b|cosθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。通过对点乘结果进行逆余弦运算，可以得到夹角的大小。然而，点乘法只适用于平面内的向量，对于空间向量则不适用。二、向量投影法 向量投影法是通过将一个向量投影到另一个向量上，然后计算投影向量与原向量之间的夹角来求解二面角。具体方法是，首先计算向量a在向量b上的投影向量p，然后计算向量a与投影向量p之间的夹角θ。这种方法适用于空间向量，但需要计算向量的投影，相对复杂一些。 三、向量叉乘法 向量叉乘法是一种常用的求解空间向量二面角的方法。给定两个向量a和b，它们的叉乘结果可以表示为|a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为向量a和b之间的夹角。通过对叉乘结果进行逆正弦运算，可以得到夹角的大小。这种方法适用于空间向量，且不需要计算向量
的投影，相对简单方便。 四、三角函数法 三角函数法是一种基于三角函数的计算方法。给定两个向量a和b，它们的夹角θ可以通过以下公式计算： cosθ=(a·b)/(∥a∥∥b∥) sinθ=∥a×b∥/(∥a∥∥b∥) tanθ=sinθ/cosθ 通过上述公式，可以根据向量的点乘和叉乘结果来计算夹角的大小。这种方法适用于空间向量，且具有较高的计算准确性。 总结： 空间向量的二面角求解是一个重要的问题，涉及到向量的方向和大小。本文介绍了几种常见的求解方法，包括点乘法、向量投影法、向量叉乘法和三角函数法。这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法来求解空间向量的二面角。在实际应用中，需要根据具体问题的要求和计算复杂度来选择合适的方法。
求二面角的6种方法【自己总结全面】
a O 课题3：二面角求法总结 一、知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、 二面角的求解方法 对二面角的求解通常是先定位二面角的平面角，从而将三维空间中的求角问题转化为二维空间并可以通过三角形的边角问题加以解决.定位出二面角为解题的关键环节，下面就二面角求解的步骤做初步介绍： 一、“找”：找出图形中二面角，若不能直接找到可以通过作辅助线补全图形定位二面角的平面角 二、“证”：证明所找出的二面角就是该二面角的平面角 三、“算”：计算出该平面角 由于定位二面角的难度较大，对于求解二面角还有一种思路就是绕开定位二面角这一环节，通过一些等价的结论或公式或用空间向量等方法来直接求出二面角的大小.本文将根据这两种解题思路对二面角的解题方法做一一介绍. 5、二面角做法：做二面角的平面角主要的方法有： 6、 （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹 的角； 7、 （2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 （3）射影法：凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos 斜 射S S = θ）求出二面角的大小。 （4）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角； （5）无交线的二面角处理方法 （6）向量法 二、二面角的基本求法及练习 1、定义法（从两面内引两条射线与棱垂直，这两条射线可以相交也可异面，从而面面角就转化为线线角来求） 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫 做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面 内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面
高考数学专题：向量求二面角(含答案)
高考数学专题：向量求二面角 向量法求二面角大小的两种方法 (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M 为BC上一点，且BM＝1 2，MP⊥AP. (1)求PO的长； (2)求二面角A-PM-C的正弦值． 2、如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为AC，DC的中点． (1)求证：EF⊥BC； (2)求二面角E-BF-C的正弦值． 3、如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a. (1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值； (2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1； (3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值． 4、如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E-BC-A的余弦值． 5、如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面 ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.
空间向量法求角
空间向量法求角 1、利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量，则 （2）线面角 设 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 2、利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 其计算公式为：设分别为平面 的法向量，则 与 互补或相 等， 例题： 1、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点 （1）证明AD ⊥D 1F ； （2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1D 1F
2、如图正方体1111ABCD A B C D -中，1111111 4 B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦。 3、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 10 30 B ．2 1 C ． 15 30 D ．1015 4、 在长方体1111A B C D A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2C F A B C E ==,1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦 值；（2）求二面角1A ED F --的正弦值。 5、在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点． （1）证明：ED ⊥AC 1，ED ⊥BB 1； （2）设1,AA AC ==求二面角11A AD C --的大小．
向量法求空间角、距离和二面角
向量法求空间角、距离和二面角 1.1.向量的数量积和坐标运算 a,b是两个非零向量，它们的夹角为，则数|a| |b|cos叫做a与b的数量积（或内积），记作a b，即a b | a | | b | cos .其几何意义是a的长度与b在a的方向上的投影的乘积.其坐标运算是： —￥■—* 若a （x1,y1,^）,b （X2,y2,Z2），贝U ① a b X1X2 y〃2 Z1Z2; ②|a| X12y12z/,|b| X22目; Z22; ③ a b X1X2 y1 y2 z1z2 X1X2 y“2 Z1Z2 ④C0S a ， b 丨 2 2 2 厂 2 2 2 X1 y1 Z, . X2 y2 Z2 1.2.异面直线m,n所成的角 分别在直线m,n上取定向量a,b,则异面直线m,n所 成的角等于向量a,b所成的角或其补角（如图1所 示），则cos |a b 1 .（例如2004年高考数学广东 D图1 b B |a| |b| 卷第18题第（2）问） 1.3.异面直线m、n的距离 分别在直线m、n上取定向量a,b,求与向量a、b都垂直的 向量n，分别在m、n上各取一个定点A、B，则异面直线m、n的距离d等于AB在
| AB n | n上的射影长，即d |n| 证明：设CD为公垂线段，取CA a, DB b （如图1所示），则
CD CA AB BD CD n (CA AB BD) |CD n| |AB n| d |CD| 皿 1 |n| 设直线m, n所成的角为，显然cos la b| |a| |b| 14直线L与平面所成的角 在L上取定AB ,求平面的法向量n （如图2所 示）, 再求cos ，则 |AB| | n| 2为所求的角. 1.5 . 二面角 方法一：构造二面 角 量n1、门2 （都取向上的方向，如图3所示）， 则 的两个半平面、的法向 ① 若二面角l 是“钝角型”的如图3甲所示, 那么其大小等于两法向量n1、n2的夹角的补角，即cos ri t n2 g | “2 | .(例如2004年高考数学广东卷第18题第（1）问）. ②若二面角l 是“锐角型”的如图3乙所示, 那么其大小等于两法向量n1、门2的夹角，即 n t n2 cos .（例如2004年高考数学广东卷第 |n 1 | |n2 | 图3 乙 18题第（1）问）. 方法二：在二面角的棱I上确定两个点A、 求出与I垂直的向量n1、门2 （如图4所示），则
文档：空间向量求二面角的方法
空间向量求二面角的方法 方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是二面角l αβ--的一个平面角，则向量与所成的角就是所求的二面角的大小． 例1 正四面体ABCD 中，求相邻两个面所成的二面角． 解析：如图1，取BC 边的中点Ｅ，连结AE 、DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AED 就是正四面体的两个相邻面ABC 与DBC 所成二面角的平面角，且BC ⊥平面ADE ， ∴BC ⊥AD ，∴0EC DA =． 设正四面体棱长为1． ∵()()ED EA EC CD EC CD DA =+++ 222EC EC CD EC DA CD DA CD ++++ 11121cos120011cos1201424 =+⨯⨯⨯++⨯⨯+=． 又在△ABC 与△BCD 中，可求得32ED EA == ， ∴cos ED EA ED EA ED EA =，114 33322==⨯． 故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为1arccos 3 ． 方法二：利用法向量求解：设是平面的法向量，是平面的法向量．①若两个平面的二面角如图2所示的示意图，则与之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的二面角如图3所示的示意图，设与之间的夹角为．则两个平面的二面角为． 例2 如图4，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA=BC=2，AB=4，D 、N 分别是BC 、AB 的中点．求二面角S-ND-A 的余弦值． 解析：平面ABC 的法向量是，设平面SND 的法向量为 BC AB AS λμ=++n ． ∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，SA ⊥AB ，
二面角的几种求法
二面角的几种求法 4.1概念法 顾名思义，概念法指的是利用概念直接解答问题。 例1：如图2所示，在四面体ABCD 中，1AC AB ==,2CD BD ==,3AD =。求二面角A BC D --的大小。 图2 分析：四面体ABCD 的各个棱长都已经给出来了，这是一个典型的根据长度求角度的问题。 解：设线段BC 的中点是E ，接AE 和DE 。 根据已知的条件1AC AB ==，2CD BD ==，可以知道AE BC ⊥且DE BC ⊥。又BC 是平面ABC 和平面DBC 的交线。 根据定义，可以得出：AED ∠即为二面角A BC D --的平面角。 可以求出2 AE = ，DE ，并且3AD =。 根据余弦定理知： 2 22 2 2 2 37cos 24AE DE AD AED AE DE +-+-∠= = =-? 即二面角A BC D --的大小为7 arccos 4 π-。 同样，例2也是用概念法直接解决问题的。
例2：如图3所示，ABCD 是正方形，PB ABCD ⊥平面，1PB AB ==，求二面角 A PD C --的大小。 图3 解：作辅助线CE PD ⊥于点E ，连接AC 、AE 。 由于AD CD =，PA PC =，所以PAD PCD ?三角形三角形。即AE PD ⊥。由于 CE PD ⊥，所以AEC ∠即为所求的二面角的大小。 通过计算可以得到：PC ，PD =，又1CD =，在三角形PCD 中可以计算 得到CE = 。由此可以得到：AE CE == ，又AC =。 由余弦定理：2 2 2 22 2133cos 22223 AE CE AC AEC AE AC +-+-∠===-?? 即：23AEC π ∠=。 4.2空间变换法 空间变换法指的是基本的空间方法，包括三垂线法、补角法、垂面法、切平面法等方法。 下面用例3介绍三垂线法、补角法和垂面法。
空间向量处理二面角
二面角 二面角的求解方法（范围：） 一、定义法： 直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 变式：如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 二、三垂线定理法： 已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角； 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。 p A B D L H A P H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O
变式1、如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 变式2、ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小 变式3、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l ，A ∈α，B ∈β，点 A 在直线l 上的射影为A 1，点 B 在l 的射影为B 1，已知AB=2，AA 1=1，BB 1=2，求：二面角A 1－AB －B 1的大小. 三、垂面法： 已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直； 例、空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别为4、3、3 39 2， 求二面角βα--l 的大小. P β α l C B A B 1 A α β A 1 B L E F
法向量法求二面角
法向量法求二面角 一、理论依据 法向量法指的是用法向量-一个从表面出发穿过面的单位向量来表达几何面。航空、航天航空测量和光学测量中，求取几何面构型、计算法向量都是必不可少的过程。求取几何面构型，就是求几何面的法向量的过程。 二、概念介绍 法向量描述的是面的厚度方向。一般来讲，法向量由两个部分组成：一个指向厚度的圆柱半径方向，另一个指向面的夹角方向。它们的方向总是一致的，问题就在于如何从中获得夹角的大小。 法向量法可以用来求解二面角。即，通过计算两个面的夹角（也称为法向量夹角）来求解二面角。首先，利用空间坐标系中的法向量（也称为外法线）进行定义，并计算出两个面的夹角。其次，利用此夹角反求二面角的大小。 三、具体方法 1.步骤一：求解法向量 首先，要求解二面角，就要求出两个面的法向量。可以根据几何关系，先求出两个面上的共轭矢量，也就是它们的外法线，然后再用外法线来求解一个点在某个平面上的法向量。 2.步骤二：求解夹角 求解完两个面的法向量后，在空间坐标系内将它们标注出来。通过计算两个法向量在空间坐标系里的长度将它们进行标注并计算出它们的夹角关系。 最后，将两个面的夹角进行反求，从而求出二面角的大小。 四、实际应用 法向量法可以用来测量几何模型的表面，例如金属和塑料等模型的曲率，机械零件的导程和装配精度，以及航空、航天航空结构以及造船等领域。此外，法向量法还可以用于航空测量，卫星控制平台等应用中，用来求解准确的轨迹位置及方位角。 此外，法向量法还可以建立三维地形和面模型，例如数字海洋面模型、第三维空间基点网模型以及地形模型，以及使用影像地理信息技术的应用。 本文的介绍，以法向量法求二面角为例，详细讲述了法向量法原理、概念介绍以及具体方法，以及它的实际应用。通过法向量法可以准确地测量几何模型表面的夹角关系，有效便捷地缩短求解二面角的时间，为工程技术的发展起到重要作用。
法向量二面角的求法
法向量二面角的求法 法向量是空间几何中一个重要的概念。它可以用来描述平面或曲面在某一点上垂直于该点的线段或直线。在几何学中，我们经常用法向量来判断两个平面的关系，例如判断两个平面是否相交，或者判断一个点是否在一个平面上。而法向量的角度也是一个重要的问题，我们需要知道如何计算法向量的角度，以便我们可以更好地理解空间中的曲面和平面。 首先，让我们来看看什么是法向量。在空间几何中，一个平面可以由一个点和一个法向量来定义。法向量垂直于平面，并且与平面上的所有点的连线方向都相同。对于一个平面P，我们可以用一个法向量n来表示，记作P: n。法向量n的模长为1，且与平面P垂直。 在空间几何中，两个平面的夹角可以通过它们的法向量的角度来计算。设平面P1和P2的法向量分别为n1和n2，则两个平面的夹角θ可以通过下面的公式计算得到： θ = arccos(n1 · n2) 其中，·表示向量的数量积，也叫点积。公式中的arccos函数表示反余弦函数，可以通过计算得到夹角的大小。值得注意的是，由于反余弦函数的定义域是[0,π]，所以计算得到的夹角θ的范围也是[0,π]。 有了两个平面的夹角，我们可以进一步计算法向量的二面角。二面角指的是两个切平面的夹角，也可以通过两个切平面的法向量的角度来计算。设切平面T1和T2的法向量分别为n1和n2，切平面T1和T2同时通过一个公共的切线，则两个切平面的二面角α可以通过下面的公式计算得到： α = arccos(n1 · n2) 公式中的·同样表示向量的数量积，arccos函数表示反余弦函数。计算得到的二面角α的范围是[0,π]。 在实际中，我们可以通过计算得到的二面角来判断两个切平面的
(完整版)二面角求解方法
二面角的作与求 求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立， 是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ∆所在平面外一点，而PBC ∆和ABC ∆都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。 分析：由于这两个三角形是全等的三角形， 故采用定义法 解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角 在PAE ∆中AE=PE=3，PA=6 P C B A E
∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。 例2：已知ABC ∆是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角 来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作 平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点 间距离公式求二面角的平面角。 解1：（三垂线定理法） 取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF ⊥PA 平面ABC ，PA ⊂平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角 设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法） 取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM AB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ⊂平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解7---用空间向量求二面角,点面距
新高考数学复习考点知识与题型专题讲解 用空间向量求解二面角，点面距 考向一 用坐标法求二面角 1、如图，三棱锥V ABC -的侧棱长都相等，底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E 为线段AC 的中点，F 为直线AB 上的动点，若平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ，则cos θ的最大值是（） A ．23C 【答案】D 【解析】底面ABC 与侧面VAC 都是以AC 为斜边的等腰直角三角形， 则Rt ABC Rt VAC ≅，所以VA VC BA BC === 设2VA VC BA BC VB =====， 由E 为线段AC 的中点， 则VE BV ==，
由222VE BE VB +=， 所以VE EB ⊥， 以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，EV 为z 轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则() C ，)B ，(V ，设() ,F x x ， (0,VC = ，( 2,0,VB = ，(EV = ，(,VF x x =， 设平面VBC 的一个法向量()111,,m x y z =， 则00m VC m VB ⎧⋅=⎨⋅= ⎩ ，即11110 ⎧+=⎪=， 令11x =，则11y =，11z =， 所以()1,1,1m =. 设平面VEF 的一个法向量()222,,n x y z =， 则00n EV n VF ⎧⋅=⎨⋅= ⎩ ，即(222200x x x y =⋅+ ⋅+=⎪⎩ ，
解得20z =，令21y =，则22 1x = -， 所以21,1,0n x ⎛⎫ =- ⎪ ⎪⎝⎭ ， 平面VEF 与平面VBC 所成锐二面角的平面角为θ， 则22cos 222 32m n x m n x x θ⋅==-+， 将分子、分母同除以 1 x ，可得 2 2 2 2322226626 x x x x = -+-+ 令()2 226626632f x x x x ⎛⎫ =-+=-+ ⎪ ⎪⎝ ⎭， 当22 x = 时， ()min 3f x =， 则cos θ的最大值为： 26 3 =.故选：D 2、如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝5 4，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△D′EF 位置， OD′＝10. (1)证明：D′H ⊥平面ABCD ；
空间几何求二面角方法
空间几何求二面角方法 空间几何求二面角方法 随着科技的不断发展，计算机对各行各业的运用日渐普及。空间几何是计算机科学领域的重要分支，它主要研究在三维空间中点、直线、平面、多面体等基本元素的性质，以及它们之间的相互关系。在空间几何中，二面角是一个重要的概念。在这篇文档中，我们将详细介绍如何求解二面角的方法。 一、二面角的定义和性质 二面角通常和两个平面有关。可以把二面角定义为两个互相垂直的平面所夹的角度。这个角度可以用带符号的度数或无符号的弧度来表示。如果两个平面在同一侧，则二面角是正的，如果它们在相反的侧，则二面角是负的。 二面角的计算可以通过向量的内积公式来实现，具体来说，两个平面的法向量可以用向量之间的内积计算得到，然后使用反余弦函数，求出它们之间的夹角即可。 二面角具有以下性质： 1、对于任意两个平面，它们所夹的角度的正负值是与两个平面的法向量朝向有关的。 2、如果两个平面的法向量是相反的，那么它们夹角的绝对值是180度。
3、如果两个平面的法向量是平行的，那么它们夹角的大小是0度或180度之间的一个值。 二、二面角的计算方法 在计算机图形学和机器视觉中，需要经常求解二面角。二面角的计算可以通过以下几种方法实现： 1、向量法 向量法是最基本的计算二面角的方法。它将两个平面的法向量进行内积运算，然后使用反余弦函数计算夹角。向量法的优点是计算简单，并且可以快速进行并行计算。但是，对于极端情况，如两个平面法向量非常接近于平行或垂直，向量法的计算结果可能不够准确。 2、平面交线法 平面交线法是通过两个平面的交线计算二面角的方法。这种方法需要先求出两个平面的交线，然后求出交线与两个平面的交角。平面交线法的优点是可以处理平行的情况，但是它还需要处理交线的特殊情况，如两个平面的交线为直线或点。 3、三角剖分法 三角剖分法也是计算二面角的一种有效方法。它先将两个平面分别按照三角剖分的方法进行分割，然后对两个平面的所有三角形两两匹配，计算它们之间的夹角。三角
空间几何二面角解题技巧练习
空间几何二面角解题技巧练习 知识点：二面角的求法 一、思想方法 求二面角的大小，是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作（或找）出二面角的平面角，间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法有以下几种： 方法一（定义法）即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图1。 方法二（三垂线法）在二面角的一个面上一点P 棱及另一个面分别引垂线PA 、PB ，连接AB ，根据三垂线定理（或逆定理），∠PAB 为所求的二面角的平面角.如图2。 方法三（作垂面法）作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角（图3中∠MAN ）.
方法四（投影面积法）一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/ S S . 方法五（异面直线法）如图4中，平面α、β相交成θ角，AC 、BD 分别在α、β上，且与棱垂直.若AC=m ， BD=n, CD=d ，则有AB 2=m 2+n 2+d 2 -2mncos θ，故cos θ=2 2 2 2 2m n d AB mn ++- （1） 在已知二面角两个面上两点间距离（即|AB|）的情况下，可以用此公式来求θ. 说明：原来的公式中θ理解为两异面直线间的夹角，只
取锐角（或直角），故根据A 、B 的位置情况公式是AB 2=m 2+n 2+d 2 ±2mncos θ.但二面角可以取钝角，故只需取“-”号得出公式（1）. 方法六（空间向量法）如图5，设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内．侧，另一个指向外．侧，则二面角l αβ--的平面角α=12 12arccos |||| n n n n ?。 二、例题： 例1．在棱长为1的正方体1AC 中，（1）求二面角11A B D C --的大小； （2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小 例2．如果二面角l αβ--的平面角是锐角，点P 到,,l αβ的距离分别为22,4,42，求二面角的大小（垂面法）。 例3．在正方体AC 1中，E 是BC 中点，F 在AA 1上，且A 1F∶FA=1∶2，求平面B 1EF 与底面A 1B 1C 1D 1所成的二面角. D H B A 例4．矩形ABCD 的两边AB=1，AD= 3，以BD 为棱折成二面角，使AC= 72 .求二面角A-BD-C 的大小. 例5．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，Ｐ是侧棱1AA 上任意一点．当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的大小．例6．如图，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥，若2AB BC BD ==，求二面角B AC D --
二面角的计算方法精讲
二面角的计算方法精讲本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March
图 1 二面角的计算方法精讲 二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的三种基本计算方法，供同学们学习参考。 一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常 作二面角的平面角的途径有： ⑴定义法：在二面角的棱上取一个特殊点，由此 点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线； ⑵三垂线法：如图1，C 是二面角βα--AB 的面 β内 的一个点，CO ⊥平面α于O ，只需作OD ⊥AB 于D ，连接CD ，用三垂线定理可证明∠CDO 就是 所求二面角的平面角。 ⑶垂面法：即在二面角的棱上取一点，过此点作平面γ，使γ垂直于二面角的棱，则γ 与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。 例1 如图2，在四棱锥V-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形, 平面VAD ⊥底面ABCD ． （1）证明AB ⊥平面VAD ； （2）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小． 解：（1）证明： VAD ABCD AB AD AB VAD AB ABCD AD VAD ABCD ⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪=⎭平面平面平面平面平面平面 （2）解：取VD 的中点E ，连结AF ，BE ， ∵△VAD 是正三形，四边形ABCD 为正方形，
∴由勾股定理可知， 2222BD AB AD AB VA VB,=+=+= ∴AE ⊥VD ，BE ⊥VD ， ∴∠AEB 就是所求二面角的平面角. 又在Rt △ABE 中，∠BAE=90°，AE= 3AD=3AB ， 因此，tan ∠AEB= .3 3 2=AE AB 即得所求二面角的大小为.33 2arctan 例2 如图3，AB ⊥平面BCD ，DC ⊥CB ，AD 与平面 BCD 成30°的角，且AB=BC. （1）求AD 与平面ABC 所成的角的大小； （2）求二面角C-AD-B 的大小； （3）若AB=2，求点B 到平面ACD 的距离。 解：(1) ∵AB ⊥平面BCD ， ∴∠ADB 就是AD 与平面BCD 所成的角,即∠ADB=300,且CD ⊥AB ， 又∵DC ⊥BC ，AB BC B =, ∴ CD ⊥平面ABC ， ∴ AD 与平面ABC 所成的角为∠DAC ， 设AB=BC=a,则AC=a 2， BD=acot300=a 3,AD=2a, a BC BD CD 222=-=, ∴ tan ∠DAC=122==a a CD AC , ∴ 045=∠DAC , 即，AD 与平面ABC 所成的角为450. (2)作CE ⊥BD 于E ，取AD 的中点F ，连CF ， ∵ AB ⊥面BCD ，ABD AB ⊂面， ∴ 面ABD ⊥面BCD ， 又∵ 面ABD 面BCD=BD ，BCD CE ⊂面，CE ⊥BD ，