空间向量法求角
空间向量法求角
1、利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为:
（1）异面直线所成角
设分别为异面直线的方向向量，则
（2）线面角
设
是直线l 的方向向量，n
是平面的法向量，则
2、利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。
其计算公式为：设分别为平面
的法向量，则 与
互补或相
等，
例题：
1、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点
（1）证明AD ⊥D 1F ；
（2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1D 1F
2、如图正方体1111ABCD A B C D -中，1111111
4
B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦。
3、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）
A ．
10
30
B ．2
1 C ．
15
30 D ．1015
4、 在长方体1111A B C D A B C D
-中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2C F A B C E ==,1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦
值；（2）求二面角1A ED F --的正弦值。
5、在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点．
（1）证明：ED ⊥AC 1，ED ⊥BB 1；
（2）设1,AA AC ==求二面角11A AD C --的大小．
利用空间向量求夹角(例、练及答案)
利用空间向量求夹角（例、练及答案） 1．利用面面垂直建系 例1：在如图所示的多面体中，平面平面，四边形为边长为2的菱形， 为直角梯形，四边形为平行四边形，且，，． （1）若，分别为，的中点，求证：平面； （2）若，与平面 所成角的正弦值为求二面角的余弦值． 2．线段上的动点问题 例2：如图，在中，，，，沿将翻折到的位置， 使平面平面． （1）求证：平面； （2）若在线段上有一点满足，且二面角的大小为， 求的值． 11ABB A ⊥ABCD 11ABB A ABCD 11BCC B AB CD ∥AB BC ⊥1CD =E F 11A C 1BC EF ⊥11AB C 160A AB ∠=?1AC ABCD 11A AC D --ABCD Y 30A ∠=?2AB =BD ABD △A BD '△A BC '⊥A BD 'A D '⊥BCD A C 'M A M A C λ=''uuuu v uuu v M BD C --60?λ
3．翻折类问题 例3：如图1，在边长为2的正方形中，为中点，分别将，沿 ，所在直线折叠，使点与点重合于点，如图2．在三棱锥中，为中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求二面角的大小． 练习 一、单选题 1．如图，在所有棱长均为的直三棱柱中，，分别为， 的中 ABCD P CD PAD △PBC △PA PB C D O P OAB -E PB PO AB ⊥BP POA P AO E - -a 111ABC A B C -D E 1BB 11A C
点，则异面直线，所成角的余弦值为（） A ． B C ． D ． 2．在三棱柱中，底面是边长为1的正三角形，侧棱底面，点在棱上， 且，若与平面所成的角为，则的值是（） A B C D 3．如图，圆锥的底面直径，高，为底面圆周上的一点， ，则空间中两条直线与所成的角为（） A ． B ． C ． D ． 4．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面 ，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（） AD CE 12 1545 111ABC A B C -1AA ⊥ABC D 1BB 1BD =AD 11AA C C αsin α2 2AB =OC D 120AOD ∠=?AD BC 30?60?75?90?P ABCD -ABCD PA PD ==ABCD ⊥ PAD M PC O AD BM PCO
利用空间向量求空间角考点与题型归纳
利用空间向量求空间角考点与题型归纳 一、基础知识 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b | ? ， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向 向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量， φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n | |a ||n | ? . 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． (2)平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝ |n 1·n 2| |n 1||n 2| ? ，如图(2)(3)． 两异面直线所成的角为锐角或直角，而不共线的向量的夹角为(0，π)，所以公式中要加绝对值． 直线与平面所成角的范围为????0，π 2，而向量之间的夹角的范围为[0，π]，所以公式中要加绝对值． 利用公式与二面角的平面角时，要注意〈n 1，n 2〉与二面角大小的关系，是相等还是互
补，需要结合图形进行判断． 二、常用结论 解空间角最值问题时往往会用到最小角定理 cos θ＝cos θ1cos θ2. 如图，若OA 为平面α的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在平面α内的射影，OC 为平面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角，θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么cos θ＝cos θ1cos θ2. 考点一 异面直线所成的角 [典例精析] 如图，在三棱锥P -ABC 中，P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，N 分别为棱P A ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，P A ＝AC ＝4，AB ＝2. (1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)已知点H 在棱P A 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7 21 ，求线段AH 的长． [解] 由题意知，AB ，AC ，AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ―→，AC ―→，AP ―→ 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．依题意可得A (0，0,0)，B (2，0,0)，C (0,4,0)，P (0，0,4)，D (0,0,2)，E (0,2,2)，M (0，0,1)，N (1,2,0)． (1)证明：DE ―→＝(0,2,0)，DB ―→ ＝(2,0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量， 则????? n ·DE ―→＝0，n ·DB ―→＝0， 即????? 2y ＝0，2x －2z ＝0. 不妨取z ＝1，可得n ＝(1,0,1)．
利用空间向量求空间角
2-? AB,n?或 2，所以sinθ 利用空间向量求空间角 (1)两条异面直线所成的夹角 范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是0 ≤θ≤90 。 向量求法：设直线a,b的方向向量为a,b，其夹角为θ，若a与b的夹角为锐角，则θ=cos?a,b?，若a与b的夹角为钝角则θ=π-?a,b?，所以有cosθ=cos?a,b? 练习在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则对角线DB1与CM所成角的余弦值为_____. (2)直线与平面所成的角 定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。 范围：直线和平面所夹角的取值范围是0 ≤θ≤90 。 向量求法： 若n是平面α的法向量,AB是直线L的方向向量,则L与α所成的角θ= π θ=?AB,n?- π=cos?AB,n? 练习：1：正方体ABCD—A1B1C1D1中，E,F分别是AB,C1D1的中点，求A1B1与平面A1EF 所成的角
A = | AB | ? 2：在三棱锥 P —OCB 中，PO ⊥ 平面 OCB,OB ⊥ OC ，OB=OC= 2 ,PC=4，D 为 PC 的中点， 求 OD 与平面 PBC 所成的角 (3)二面角 二面角的取值范围是 0 ≤ θ ≤ 180 。 二面角的向量求法： 方法一：在两个半平面内任取两个与棱垂直的向量，则这两个向量所成的 即为所求的二面角的大小； 方法二：设 n 1 ， n 2 分别是两个面的法向量，则向量 n 1 与 n 2 的夹角(或其补角 )即 为所求二面角的平面角的大小。 (4)点到平面的距离 A 为平面α 外一点(如图), n 为平面α 的法向量,过 A 作平面α 的斜线 A B 及垂线 AH.，斜线 AB 与平面α 的夹角为θ | AH |=| AB | ? s in θ =| AB | ? | cos < AB , n >| | AB ? n | | AB | ? | n | = | AB ? n | | n | n B H 典题赏析 题目 1：如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， 侧棱 PA ⊥ 底面 ABCD ， AB = 3 ， BC = 1 ， PA = 2 ， E 为 PD 的中点. （Ⅰ）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面 PAB 内找一点 N ，使 NE ⊥ 面 PAC ， 并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离. 解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A , B , C , D , P , E 的坐标为 A (0,0,0) 、
空间向量法求角
空间向量法求角 1、利用空间向量求两异面直线所成的角,直线与平面所成的角的方法及公式为: （1）异面直线所成角 设分别为异面直线的方向向量，则 （2）线面角 设 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 2、利用空间向量求二面角的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。 其计算公式为：设分别为平面 的法向量，则 与 互补或相 等， 例题： 1、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点 （1）证明AD ⊥D 1F ； （2）求AE 与D 1F 所成的角； （3）证明面AED ⊥面A 1D 1F
2、如图正方体1111ABCD A B C D -中，1111111 4 B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦。 3、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ） A ． 10 30 B ．2 1 C ． 15 30 D ．1015 4、 在长方体1111A B C D A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点，2C F A B C E ==,1::1:2:4AB AD AA =（1）求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦 值；（2）求二面角1A ED F --的正弦值。 5、在直三棱柱111ABC A B C -中，AB=BC ，D 、E 分别为1BB 、1AC 的中点． （1）证明：ED ⊥AC 1，ED ⊥BB 1； （2）设1,AA AC ==求二面角11A AD C --的大小．
向量法求解空间距离与空间角
向量法求解空间距离与空间角 要求能掌握用向量法解决空间距离与空间角问题。 一、 空间向量与空间距离 由向量的数量积||||cos AB b AB b θ?=? 可知，向量AB 在向量b （直线l 的方向向量）方向 上的射影（投影）是||cos || AB b AB b θ?= ，也就是说向量AB 在向量b （直线l 的方向向量）方 向上的射影（投影）是线段AB 在直线l 上射影线段的长。 1、 点面距离公式： 平面α的法向量为n ，P 是平面α外一点，点M 为平面α内任一点，则P 到平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向上射影的绝 对值，即|| || n MP d n ?= 。 2、 线面距离公式： 平面α∥直线l ，平面α的法向量为n ，P ∈直线l ，点M 为平 面α内一点，则直线l 与平面α的距离d 就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值，即||||n MP d n ?= 。 3、 面面距离公式： 平面α∥平面β，平面α的法向量为n ，点M 为平面α内一点，点P 为β平面β内一点，则平面α与平面β的距离d 就是MP 在向量n 方向上射影的绝对值，即|| || n MP d n ?= 。 4、向量法求解距离问题的步骤： ① 建立适当的空间直角坐标系； ② 将相应线段及平面的法线等用向量或坐标表示出来； ③ 利用向量的相应距离公式求解。 5、典例评析： 例1、（03广东）已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AA 1=2，点E 是CC 1的中点，F 是BD 1中点。 （1）证明：EF 是BD 1与CC 1的公垂线； （2）求点D 1到面BDE 的距离。
文档：空间向量求二面角的方法
空间向量求二面角的方法 方法一：先作出二面角的平面角，再利用向量的内积公式求解：设∠AOB 是二面角l αβ--的一个平面角，则向量与所成的角就是所求的二面角的大小． 例1 正四面体ABCD 中，求相邻两个面所成的二面角． 解析：如图1，取BC 边的中点Ｅ，连结AE 、DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC ，所以∠AED 就是正四面体的两个相邻面ABC 与DBC 所成二面角的平面角，且BC ⊥平面ADE ， ∴BC ⊥AD ，∴0EC DA =． 设正四面体棱长为1． ∵()()ED EA EC CD EC CD DA =+++ 222EC EC CD EC DA CD DA CD ++++ 11121cos120011cos1201424 =+⨯⨯⨯++⨯⨯+=． 又在△ABC 与△BCD 中，可求得32ED EA == ， ∴cos ED EA ED EA ED EA =，114 33322==⨯． 故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为1arccos 3 ． 方法二：利用法向量求解：设是平面的法向量，是平面的法向量．①若两个平面的二面角如图2所示的示意图，则与之间的夹角就是欲求的二面角；②若两个平面的二面角如图3所示的示意图，设与之间的夹角为．则两个平面的二面角为． 例2 如图4，△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，SA ⊥平面ABC ，SA=BC=2，AB=4，D 、N 分别是BC 、AB 的中点．求二面角S-ND-A 的余弦值． 解析：平面ABC 的法向量是，设平面SND 的法向量为 BC AB AS λμ=++n ． ∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC ，SA ⊥AB ，
专题3：空间向量法求角基础知识与典型例题(解析版)
专题3：空间向量法求角基础知识与典型例题（解析版） ⑴求异面直线所成的角 已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD θ?= 1．已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，点M 、N 分别是11A B 和1BB 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出图中M 、N 的坐标； (2)求直线AM 与NC 所成角的余弦值. 【答案】(1)M （2，1，2），N （2，2，1）.(2) 25 ． 【分析】 (1)根据正方体的棱长，直接写出坐标； (2)利用向量夹角公式能求出直线AM 与CN 所成的角的余弦值． 【详解】 (1)由于正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2. 由题意知A （2，0，0），B （2，2，0），∴M （2，1，2）， C （0，2，0），∴N （2，2，1）. (2)由(1)可知()012AM =，，，CN =（2，0，1）， 设直线AM 与CN 所成的角为θ， 则cosθ＝|cos AM CN ＜，＞|＝55?|25 =．
∴直线AM 与CN 所成的角的余弦值是25． 【点睛】 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查了空间向量法的应用，是基础题． 2．如图,三棱柱111OAB O A B -中,平面11OBB O ⊥平面OAB ,且 160O OB ∠=?,190,2,3AOB OB OO OA ∠=?===,求异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值. 【答案】17 【分析】 以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 利用向量法求异面直线1A B 与1O A 所成角的余弦值. 【详解】 以O 为坐标原点,,OA OB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则11(3,0,0),(0,2,0),(3,1 3),(0,13)A B A O , 所以11(3,1,3),(3,1,3)A B O A =--=--.
第5讲 空间向量求夹角学生
第5讲 空间向量求夹角 [玩前必备] 1．两条异面直线所成角的求法 设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 l 1与l 2所成的角θ a 与 b 的夹角β 范围 (0，π2] [0，π] 求法 cos θ＝|a ·b | |a ||b | cos β＝ a ·b |a ||b | 2.设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，a 与n 的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝|a ·n | |a ||n | . 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉． (2)如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． [玩转典例] 题型一 求异面直线所成的角 例1 如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，AB ＝2，∠BAD ＝60°.
(1)求证：BD ⊥平面PAC ； (2)若PA ＝AB ，求PB 与AC 所成角的余弦值． [玩转跟踪] 1.(2014·课标全国Ⅱ)直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A.110 B.25 C.3010 D.22 2.（2018江苏）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，点P ，Q 分别为11A B ， BC 的中点． (1)求异面直线BP 与1AC 所成角的余弦值； 题型二 求直线与平面所成的角 例2 （2018全国卷Ⅰ）如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF ⊥． (1)证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值． A B C Q P A 1 C 1 B 1
用空间向量研究夹角问题
用空间向量研究夹角问题 课程标准 学习目标 1.能用向量方法解决 简单夹角问题. 2.体会向量方法在研 究几何问题中的作用 1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法 向量,能求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角或夹角. 2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合 几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作 用,感悟向量是研究几何问题的有效工具 知识点一 空间角 空间图形 范围 向量法 几何法 异面直线所成的角 0°< θ≤90° cos θ=|cos |= 平移交于一点,解三角形 直线与平面所成 的角 sin θ=|cos |= 过直线上一点作平 面的垂线,解三角形 平面与平面的夹 角 cos θ=|cos
例1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是DC 的中点,建立如图1-4-27所示的空间直角坐标系, 图1-4-27 则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为 ( ) A .√10 10 B . √10 5 C .-√1010 D .- √105 (2)如图1-4-28所示,在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值. 图1-4-28 [素养小结] 用向量法求异面直线的夹角时,常在两异面直线a 与b 上分别取点A ,B 和C ,D ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a ,b 的方向向量,若异面直线a ,b 的夹角为θ,则cos θ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ | |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. 运用向量法常有两种途径: ①基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式 cos =a ·b |a ||b |求向量a ,b 的夹角时,关键是求出a ·b ,|a|与|b|,一般是把a ,b 用基向量表示出来,再求有关的量. ②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线 线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.
利用空间向量求二面角
【方法总结】 (2)如图②③，n，n分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos 若平面α，β的法向量分别是n和n，则平面α与平面β的夹角即为向量n和n的夹角或其补角．设
【例题选讲】 考点一 棱柱(台)模型 解析 (1)连接 AF ，∵E ，F 分别为直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱AC 和CC 1的中点，且AB ＝BC ＝2， ∴CF ＝1，BF ＝5，∵BF ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，∴BF ⊥AB ， ∴AF ＝AB 2+BF 2＝22+(5)2＝3，AC ＝AF 2－CF 2＝32－12＝22，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即BA ⊥BC ． 故以B 为原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (2，0，0)，B (0，0，0)，C (0，2，0)，E (1，1，0)，F (0，2，1)，设B 1D ＝m ，则D (m ，0，2)， ∴BF →＝(0，2，1)，DE →＝(1－m ，1，－2)，∵BF →·DE → ＝0，∴BF ⊥DE ． (2)∵AB ⊥平面BB 1C 1C ，∴平面BB 1C 1C 的一个法向量为m ＝(1，0，0)， 由(1)知，DE →＝(1－m ，1，－2)，BF → ＝(－1，1，1)， 设平面DFE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎪⎨ ⎪⎧ n ·DE →＝0， n ·EF →＝0， ，即 ⎩⎪⎨⎪⎧ (1－m )x ＋y －2z ＝0， －x ＋y ＋z ＝0. 令x ＝3，则y ＝m ＋1，z ＝2－m ，故n ＝(3，m ＋1，2－m )， 所以cos
求向量的大小与夹角的方法
求向量的大小与夹角的方法 向量的大小（或长度）可以使用向量的模（magnitude）来表示，记作v。夹角可以通过向量之间的点积来计算。 1. 向量的大小： 向量的大小是向量的长度或者模。在二维空间中，一个向量v的大小可以通过以下公式来计算： v= √(v₁²+ v₂²) 其中，v₁和v₂分别表示向量v在v轴和v轴上的分量。在三维空间中，一个向量v的大小可以通过以下公式来计算： v= √(v₁²+ v₂²+ v₃²) 其中，v₁、v₂和v₃分别表示向量v在v轴、v轴和v轴上的分量。 2. 向量的夹角： 向量的夹角是指两个向量之间的夹角，可以通过向量之间的点积来计算。设v和v是两个向量，它们的夹角记作θ，则通过以下公式计算两个向量之间的夹角：cos(θ) = v·v / ( v v) 其中，v·v表示向量v和向量v的点积，v和v表示向量v和向量v的大小。
3. 例子： 为了更好地理解向量大小与夹角的计算方法，我们来看一个具体例子。假设有两个二维向量v和v，v = (3, 4) 和v = (4, 3)。首先，我们可以计算出这两个向量的大小： v= √(3²+ 4²) = 5 v= √(4²+ 3²) = 5 然后，我们可以计算出这两个向量之间的夹角： cos(θ) = v·v / ( v v) = (3*4 + 4*3) / (5*5) = 24 / 25 通过求反余弦函数，我们可以得到夹角的大小： θ= cos⁻¹(24 / 25) ≈26.57 因此，向量v和向量v之间的夹角约为26.57。 需要注意的是，以上计算方法适用于二维和三维向量，对于高维向量也可以进行类似的计算。此外，还有其他一些求向量大小和夹角的方法，比如使用三角函数，但以上介绍的方法是最常用且较为简单的方法。 总结起来，向量的大小可以通过向量的模来计算，而向量的夹角可以通过向量之间的点积来计算。根据这些计算方法，我们可以准确地求得向量的大小和夹角。
已知空间平面法向量,求欧拉角
已知空间平面法向量,求欧拉角 欧拉角是描述空间旋转的一种方式，通常用于机器人、航天器、飞行器等领域。欧拉 角分为三个维度，分别是俯仰角、偏航角和翻滚角。其中俯仰角和偏航角是针对水平面内 的旋转，而翻滚角则是垂直于水平面的旋转。在本文中，我们将介绍如何通过已知的空间 平面法向量求得欧拉角。 首先，我们需要明确什么是空间平面法向量。空间平面法向量是指垂直于某个平面的 向量，它的方向与该平面的法向量相同。在三维空间中，一个平面可以由其法向量和平面 上一点确定。因此，我们可以根据已知的空间平面法向量求出该平面上的一点，并计算出 该点的欧拉角。 具体的求解方法如下： 1. 求出空间平面的法向量 已知空间平面法向量，我们可以直接使用该向量作为该平面的法向量。 2. 求出平面上一点 对于一个向量，我们可以通过将其与另一个向量相加，来求得一个新的向量。因此， 我们可以将空间平面的法向量与一个垂直于该向量的任意向量相加，来求得平面上的一点。例如，在水平面内，我们可以选择向量(0,1,0)，将空间平面法向量(可以假设为(1,0,0)) 与该向量相加，得到平面上的一个点(1,1,0)。若空间平面法向量为(0,0,1)，则平面上的 一个点可以是(1,0,1)。 3. 求出该点的欧拉角 通过上一步求出的平面上一点，我们可以计算出该点的欧拉角。具体方法是，将该点 的坐标系旋转到与水平面或垂直于水平面的坐标系重合，然后分别计算出俯仰角、偏航角、翻滚角。 如果我们假设水平面为xy平面，那么我们可以通过以下步骤求出该点的欧拉角： 1) 计算出平面上的一点在水平面内的投影坐标，即( x', y', 0 )； 2) 计算出该点与水平面的夹角，即俯仰角pitch=arctan(z / sqrt(x^2 + y^2))； 值得注意的是，对于某些情况，欧拉角可能不唯一，可能会存在歧义问题。例如，在 水平面内旋转180度和在垂直于水平面的方向旋转180度所得到的欧拉角不同。因此，在 实际应用中，需要根据具体情况选择合适的欧拉角表示方式，以避免歧义问题的出现。
利用向量法求空间角——经典教案
利用空间向量求空间角 目标：会用向量求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的方式； 一、温习回忆向量的有关知识： （1）两向量数量积的概念：><=⋅,cos ||||（2）两向量夹角公式：| |||,cos b a b a >= < 二、知识讲解与典例分析 知识点1：两直线所成的角（范围：]2 , 0(π θ∈） （1）概念：过空间任意一点o 别离作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a 、b 的方向向量别离为a 和b ， 问题1： 当与的夹角不大于90°时，异面直线a 、b 所成 的角θ与 和 的夹角的关系？ 问题 2：与 的夹角大于90°时，，异面直线a 、θ与a 和b 的夹角的关系？ 结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为| ||||,cos |cos n m = ><=θ 例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。 2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。 解 ： 如 图 成 立 空 间 直 角 坐 标 系 xyz A -，那么 )2,,0(),0,21 ,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A -- ∴ )2,21,23(1a a a AC - =，)2,2 1 ,23(1a a a CB = 即21323||||,cos 2 2 111111==>=<11,cos BE DF 与> 空间向量角的求法 内容摘要：空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处 理空间问题的方法更有灵活性。如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键． 关键词：空间角 向量 向量法求两条异面直线所成的角： 夹角公式：112233222222 123123 cos ,||||a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++⋅<>= = ⋅++⋅++. 模长公式：222123||a a a a a a = ⋅=++（2||||a a a a a a =⋅⇒=⋅）. 1.异面直线所成角： （1）范围：(0,90]︒︒； （2）向量法：设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成角的余弦值为cos ⋅<>= a b a,b |a ||b | . (则两异面直线所成的角arccos α⋅=a b |a ||b | ；) 证明两条异面直线垂直,即所成角为90︒. 一般步骤： ①.建立合适的空间直角坐标系 ②.将各点,各线段所在向量标出 ③.利用向量夹角公式计算 ④.判断所得夹角是两条直线所成角还是补角,并得出结论 例1 、直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，∠BCA=90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是__________． 分析：用向量法求异面直线所成的角，是建立适当的空间直角坐标系，求出两条异面直线各自的方向向量，把异面直线所成角的求解转化为向量运算． 解：(向量法)建立如图所示的坐标系，设BC=1 §3.2.3立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求空间角教学目标 1、使学生学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面 角的向量方法； 2、使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3、使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解二面角的向量方法 教学难点 二面角的大小与两平面法向量夹角的大小的关系 教学过程 一、复习引入 1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （化为向量问题）（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算）（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） 2、向量的有关知识： （1）两向量数量积的定义： （2）两向量夹角公式： （3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析 知识点1、异面直线所成的角（范围： ） （1）定义：过空间任意一点 o 分别作异 面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的不大于90°的角 ，叫做异面直线a 与b 所成的角。 （2）用向量法求异面直线所成角 ⋅⋅= ,cos ⎥ ⎦⎤ ⎝⎛∈2,0πθ b a ⋅⋅=⋅a ´ b ´ • o θ 设两异面直线a、b的方向向量分别为m和 ， 问题1 当与n的夹角不大于90°时，异面直线a 、b所成的 角与 m 和 的夹角的关系？ 相等 问题 2 当m 与n 的夹角大于90°时，异面直线a 、b 所成的角 与 m 和 的夹角的关系？ 互补 所以，异面直线a 、b 所成的角的余弦值为 典型例题1：在Rt△AOB 中，∠AOB=90°，现将△AOB 沿着平面AOB 的法向量方向平移到△A 1O 1B 1的位置，已知OA=OB=OO 1，取A 1B 1 、A 1O 1的中点D 1 、F 1，求异面直线BD 1与AF 1所成的角的余弦值。 解：以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，并设OA=1,则 A(1,0,0) B(0,1,0) F 1(21 ,0,1) D 1(21 , 2 1 ,1) = = n m , cos cos θ 2 2 22222121212 12121z y x z y x z z y y x x ++⋅++++= ),1,0,21(1-=∴AF ) 1,2 1 ,21(1-=BD θ 利用空间向量求空间角-教案 3、面面角公式：设1 n ，2 n 分别为平面α、β的法向 量，二面角为θ，则12 ,n n θ= 或1 2 ,n n θπ=-（需要根据 具体情况判断相等或互补），其中12 1212 cos ,n n n n n n ⋅= . （二）典例分析 如图，已知：在直角梯形OABC 中，//OA BC ，90AOC ∠=， SO ⊥ 面OABC ，且1,2OS OC BC OA ====.求： （1）异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值； （2）OS 与面SAB 所成角α的正弦值； （3）二面角B AS O --的余弦值. α θ O O A B C S n a 解：如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(2,0,0)A ， (1,1,0) B ，(0,1,0) C ，(0,0,1)S ，于是我们有(2,0,1)SA =-，(1,1,0) AB =-，(1,1,0)OB =，(0,0,1)OS =， （1）10 cos ,52 SA OB SA OB SA OB ⋅= = =⋅， 所以异面直线SA 和OB 所成的角的余弦值为10 5 . （2）设平面SAB 的法向量(,,)n x y z =， 则 0,0, n AB n SA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0, 20. x y x z -+=⎧⎨ -=⎩ 取1x =，则1y =，2z =，所以(1,1,2)n =， 26 sin cos ,16 OS n OS n OS n α⋅∴== = =⨯. （3）由（2）知平面SAB 的法向量1 (1,1,2)n =， 又OC ⊥ 平面AOS ，OC ∴是平面AOS 的法向量， 令2 (0,1,0) n OC ==，则有121212 16 cos ,6 61n n n n n n ⋅= = =⨯. ∴二面角B AS O --6（三）巩固练习 1、在长方体111 1 ABCD A BC D -中，2AB =，1 1BC AA ==，点E 、 1.两条异面直线所成角的求法 设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 l 1与l 2所成的角θ a 与 b 的夹角β 范围 (0，π 2] [0，π] 求法 cos θ＝|a ·b | |a ||b | cos β＝ a ·b |a ||b | 2.斜线和平面所成的角 (1)斜线和它在平面内的射影的所成的角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角). (2)斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 3.二面角 (1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角. (2)在二面角α—l —β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做二面角α—l —β的平面角. 4.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉. 2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝ cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉. 5.(选用)点面距的求法 如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离d ＝|AB →·n ||n |. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角.( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π 2]，二面角的范围是[0，π].( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°.( √ ) (6)若二面角α－a －β的两个半平面α，β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－a －β的大小是π－θ.( × ) 1.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 答案 D 解析 以A 为原点，以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AA 1所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设棱长为1，则A 1(0,0,1)，M (1 2，1,0)，D (0,1,0)， N (1,1，12)，A 1M →＝(12，1，－1)，DN → ＝(1,0，12). cos 〈A 1M →，DN → 〉＝ 12－121 4 ＋1＋1 1＋ 14 ＝0， ∴A 1M 与DN 所成的角的大小是90°. 2.已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－1 2，则l 与α所成的角 为( ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 A 解析 设l 与α所成角为θ，∵cos 〈m ，n 〉＝－12 ， 【模块标题】空间向量求角度 【模块目标】★★★★☆☆ 识别 【模块讲解】 在高考立体几何中，我们经常遇到求角度问题，解答题必考一题，空间立体复杂而抽象，很多空间想象力比较差的孩子，往往面临不知如何找角的问题，因此空间向量的代数角度处理方法就变得至关重要，因此学好空间向量求夹角问题很有必要． 知识回顾： 一．空间向量的基础知识： 1．已知111(,,)a x y z =，111(,,)b x y z =，则： () 121212,,a b x x y y z z ±=±±±， () 111,,a x y z λλλλ=， 121212 a b x x y y z z ⋅=++， 2a x =+,a b a b a b ⋅=； //a b a b λ⇔=，0a b a b ⊥⇔⋅=． 2．直线的方向向量与平面的法向量 直线的方向向量： 空间已直线l ，,A B 是直线l 上两点，则向量AB 为直线l 的方向向量． (方向向量不唯一，只要与直线平行的向量即可) 法向量： 若直线l α⊥，则直线 l 的方向向量叫作α的法向量． 求法向量l ： （1）找出平面内的两条相交直线； （2）求出直线的方向向量,n m （3）00l n l l m ⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩ 要点提炼： 1．求面的法向量，因为与面垂直的向量不唯一，所以法向量只是满足与面垂直，模长和正反方向没有要求；2．在求解过程中，对其中一个不定坐标可任意赋值，进而求解法向量 ； 3．在面求法向量时，还有一种行列式的求法，以实例来讲解： 若(,AB x y =，(,AC x y =的法向量n 为11 ,(y z 二．空间向量求角度： 1．空间向量求线线角 找平行平移直线，转移到同一个平面． 的方向向量分别为,a b ，因为异面直线所成角为锐角或直角，所以有,a b ． 2．空间向量求线面角空间向量角的求法
立体几何中的向量方法-利用空间向量求空间角
利用空间向量求空间角-教案
第八章 8.8空间向量在立体几何中的应用(二)——求空间角和距离
空间向量求角度