利用法向量求二面角
利用法向量求二面角
1. 什么是二面角
在几何学中，二面角指的是两个平面的夹角，通常用来描述空间中的角度关系。具体地说，二面角是由两个面的法向量所定义的角度，通过测量一个面对相邻面的法向量之间的夹角来计算。
2. 法向量的概念
在三维空间中，平面可以通过一个法向量来定义。法向量垂直于平面，并且指向平面的外部。根据向量的定义，法向量具有方向和大小。法向量的大小表示平面的倾斜程度，而法向量的方向则指示平面的朝向。
3. 利用法向量求二面角的方法
要计算两个平面之间的二面角，可以利用它们的法向量。具体的方法如下：
步骤1：首先，确定两个平面的法向量。可以通过计算平面上的三个非共线点的向量叉积来获得一个平面的法向量。同样地，另一个平面的法向量也可以通过相同的方法来计算。
步骤2：然后，计算两个法向量之间的夹角。夹角可以通过计算两个向量的内积的反余弦值来获得。
步骤3：最后，得到的夹角就是两个平面之间的二面角。根据需要，可以将夹角的单位转换为度数或弧度。
4. 示例
为了更好地理解利用法向量求二面角的方法，我们来看一个示例。假设有两个平面，A和B，它们的法向量分别为
n_n=(n,n,n)和n_n=(n,n,n)。
首先，计算法向量的夹角。夹角n可以表示为
n=nn+nn+nn。
然后，得到的角度n就是平面A和平面B之间的二面角。
5. 总结
利用法向量可以方便地计算两个平面之间的二面角。通过计算两个平面的法向量的夹角，可以得到二面角的值。这个方法在计算几何学和计算机图形学中都有广泛的应用，用于描述三维空间中的角度关系。
以上就是利用法向量求二面角的说明文档，希望对你有所帮助。如果你有任何问题或需要进一步的解释，请随时向我提问。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法 求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。 一、向量法 向量法是一种简便的求解二面角的方法。它利用向量的夹角来表示二面角。首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。 二、坐标法 坐标法是一种常用的求解二面角的方法。它利用坐标系中的点来表示二面角。我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。 三、三角法 三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。 四、平面几何法 平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大
小。例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。 五、球面几何法 球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。 六、投影法 投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。 通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。 总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。这些方法在实际应用中具有重要的意义，对于解决相关问题非常有帮助。通过学习和掌握这些方法，我们可以更好地理解和应用二面角的概念。
用向量求二面角4例
坐标法求二面角例举 高二数学 陈作美 求两平面所成的二面角是立体几何的基本问题，也是核心问题，更是考试的重点所在。传统几何方法求二面角，一般都要经历“寻找二面角的平面角、证明是二面角的平面角，计算二面角的三角函数值”的过程，而这往往需要添加较多的辅助线，这给解题带来一定的困难。坐标法给出一种通过空间向量求二面角的简便方法，不需要“找、证”，只需“算”。当二面角所处的图形适合建立空间直角坐标系时，十分凑效。 1. 求二面角的公式 如图1，两平面，向量是它们的法向量，设平面所 成的二面角为θ，向量 所成的为，则 cos θ=- 12 12 n n n n ?（注意：二面角的两个法向量都必须指向二面角的内部） 2. 平面的法向量求法 在空间直角坐标系O －xyz 中，已知不平行的向量 ， 在平面π上，设向量 是平面π的法向量，则 即 ， 因为法向量有无数个，故可以通过任意取定的一个分量来确定一 个特殊的法向量（但不能是零向量）。特别地，当平面π 在三个坐标轴上的交点
分别是A（a、0、0）、B（0、b、0）、C（0、0、c）（abc≠0）时，易证 是它的一个法向量。 3. 应用例举 例1. 如图2，正方形ABCD，ADEF的边长都是1，而且平面ABCD，ADEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若 。 （1）求MN的长； （2）当a为何值时，MN的长最小； （3）当MN的长最小时，求面MNA与面MNB所成的二面角的大小的余弦值。（02年全国高考改编） 解（仅解（3））由（2）可知，当M，N分别为AC，BF的中点时，MN的长最小。如图2，以线段AB的中点为原点建立空间直角坐标系，则M、 ， 故分别是面MNA与面MNB的法向量，设面MNA与面MNB所成的二面角是θ，则 ，因此cos =-1/3.
法向量求二面角大小的又一个简单判定方法
法向量求二面角大小的又一个简单判定方法 红 岩 求二面角大小问题是高考重点考察内容，法向量法是求二面角大小的一种主要方法。我们知道：二面角大小与其两个平面的法向量夹角相等或互补。但到底是相等还是互补，教学中很多师生采用直观判断；参考资料涉及此问题也回避不谈，文【1】（数学通讯2013教师版2）给出了一种很好的判定方法，本文给出另一种更为简单的判定方法。 一．判定方法 引理：设点A 、B 分别是平面α内、外的点,→ n 是平面α的法向量, 当→ → ?n AB >0 则→ n 的方向向上。(如图) 当→ → ?n AB <0 则→ n 的方向向下。(如图) 定理：一个起点、终点在不同平面上的向量，分别与这两个平面法向量的数量积，若数量积的符号相同，则这两个平面二面角的大小等于其法向量夹角的大小；若数量积的符号相反，则这两个平面二面角的大小与其法向量夹角的大小互补。 结论可记为“相同相等，相反互补”，或“同等异补”。 已知：设A 、B 分别是βα,上的点,且两点都不在平面βα,交线上（若两点中有在平面 βα,交线上，则(→→?n AB )(→ →?m AB )≠0）, →n 、→ m 分别是βα,的法向量,θ为平面βα,的 平面角。证明：若(→ → ?n AB )(→ → ?m AB )＞0, 则θ=m n m n ?arccos ； 若(→ → ?n AB )(→ → ?m AB )＜0, 则θ=π-m n m n ?arccos 。 证明：⑴当→ →?n AB >0, → →?m AB >0,根据引理，得→n 、→ m 的方向如图。 βα,的平面角等于→ n 、→ m 的夹角，∴θ=m n m n ?arccos ⑵当→ → ?n AB <0, → →?m AB <0, 根据引理得→n 、→ m 的方向如图。 βα,的平面角等于→n 、→ m 的夹角，∴θ=m n m n ?arccos
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定
用法向量求二面角的大小及其角度关系的确定 我们都知道，向量知识在数学学科里有其非常广泛的应用，尤其是在立体几何求角和距离时，若利用向量知识求解会得到事半功倍的效果，也正体现了向量知识的工具性和灵活性。而在应用向量知识求解二面角的大小时，不是所有的二面角的两个半平面的法向量的夹角都和二面角相等，有时是互补，那么，什么时候相等，什么时候互补，如何确定其“角度之间的大小关系”一直以来是困扰很多教师和学生的一个难题。 向量有其自身的独特性质—自由性，当一个向量在空间的某一位置时，可以自由移动，只要满足其方向不变，其无论移动到任何位置，向量都是相等的。根据这一性质，当我们把二面角的某个半平面的法向量求出后，把它的起点放到坐标原点，然后确定其向量的方向的指向，从而确定其法向量的夹角和二面角的大小的关系，在确定了法向量的夹角与二面角的关系后，再利用向量的数量积求出二面角的大小，下面就来具体阐述一下这一做法。 一． 规定法向量的指向方向 1.当法向量的方向指向二面角的内部时称之为向里指， 如：图1中的1n 向量。 2.当法向量的方向指向二面角的外部时称之为向外指，如：图1中的2n 向量。 二． 法向量的夹角和二面角大小的关系 1.设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα-- l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，当两个法向量的方向都向里或都向外指时，则有πϕθ=+（图2）； 2.当两个法向量的方向一个向里指一个向外指时ϕθ=（图3） 图2 图3
三、在坐标系中做出法向量，从而确定法向量的方向指向 1.已知二面角βα--l ，若平面α的法向量)3,4,4(=n ，由向量的相等条件知，坐标是（4，4，3）的向量n 有无数多个，根据向量的自由性，我们只需做出由原点出发的一个向量便可，如图4所示，从而，我们很容易的判断出平面α法向量的方向的指向，是指向二面角的里面。 2.若平面α法向量)1,3,4(--=，同理可做出从原点出发的法向量，如图5所示，显然，方向是指向二面角的外面。 四．应用举例 例题1. 如图6，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别为AA 1、AB 、BC 的中点，求作二面角G —EF —D 半平面GEF 的法向量并判断其 (=
二面角的向量求法
二面角的向量求法 知识点 利用法向量求二面角 利用二面角的法向量求二面角时，需要直观估计二面角是锐角还是钝角．设m 、n 分别是二面角l αβ--的面α、β的法向量，二面角大小为θ，则 （1）当所求二面角明显为锐角或钝角时，直接由法向量夹角余弦求出相应结果即可． （2）当所求二面角比较接近或者图形放的位置不适宜时，很容易估错所求二面角究竟是锐角还是钝角，这时要结合两个法向量的方向关系来确定二面角的大小，具体如下： （ⅰ）当m 、n 均指向二面角内部或外部时，θ= ,π-??m n ，cos θ = cos ,|||| ?-??=- m n m n m n ． （ⅱ）当m 、n 一个指向二面角内部，另一个指向二面角外部时，θ=,??m n ， cos θ= cos ,|||| ???= m n m n m n ． 口诀： “碰头”“碰尾”互补 ， “一颠一倒”相等 ． 例1 （2014浙江）如图，在四棱锥A BCDE -中，平面ABC ⊥平面 BCDE ， 90CDE BED ∠=∠=?，2AB CD ==，1DE BE ==，AC = （1）证明：DE ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AD E --的大小． 解：（1）在直角梯形BCDE 中，由1DE BE ==，2CD = ，BD BC = 由AC ，2AB =，得222AB AC BC =+，即AC BC ⊥．又平面ABC ⊥平面BCDE ， 平面ABC 平面=BCDE BC ，从而AC ⊥平面BCDE ． 因为DE ?平面BCDE ，所以AC DE ⊥．又DE DC ⊥，DE DC D =，从而DE ⊥平面ACD ． （2）以D 为原点，分别以射线DE ，DC 为x ，y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示． 由题意知各点坐标如下：(0,0,0)D ，(1,0,0)E ，(0,2,0)C ，A ，(1,1,0)B ． 设平面ADE 的法向量为(,,)x y z =m ，平面的法向量为(,,)p q r =n ，可算得(0,2,AD =-，(1,2,AE =-，(1,1,0)BD =， 由0,0, AD AE ??=?? ?=??m m 即20,20, y x y ?-=?? -=??可取(0,1,=m ．由0,0, AD BD ??=? ? ?=??n n 即20, 0, q r p q ?--=?? +=??可取(1,1,2)=-n ． E D C B A E D C B A
高考数学专题：向量求二面角(含答案)
高考数学专题：向量求二面角 向量法求二面角大小的两种方法 (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小． (2)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小． 1、如图，四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝π3，M 为BC上一点，且BM＝1 2，MP⊥AP. (1)求PO的长； (2)求二面角A-PM-C的正弦值． 2、如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F 分别为AC，DC的中点． (1)求证：EF⊥BC； (2)求二面角E-BF-C的正弦值． 3、如图所示，在多面体ABCD-A1B1C1D1中，上、下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a. (1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值； (2)已知F是AD的中点，求证：FB1⊥平面BCC1B1； (3)在(2)的条件下，求二面角F-CC1-B的余弦值． 4、如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°. (1)证明：平面ABEF⊥平面EFDC； (2)求二面角E-BC-A的余弦值． 5、如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面 ABCD，点G为AB的中点，AB＝BE＝2.
利用法向量求二面角
利用法向量求二面角 1. 什么是二面角 在几何学中，二面角指的是两个平面的夹角，通常用来描述空间中的角度关系。具体地说，二面角是由两个面的法向量所定义的角度，通过测量一个面对相邻面的法向量之间的夹角来计算。 2. 法向量的概念 在三维空间中，平面可以通过一个法向量来定义。法向量垂直于平面，并且指向平面的外部。根据向量的定义，法向量具有方向和大小。法向量的大小表示平面的倾斜程度，而法向量的方向则指示平面的朝向。 3. 利用法向量求二面角的方法 要计算两个平面之间的二面角，可以利用它们的法向量。具体的方法如下： 步骤1：首先，确定两个平面的法向量。可以通过计算平面上的三个非共线点的向量叉积来获得一个平面的法向量。同样地，另一个平面的法向量也可以通过相同的方法来计算。
步骤2：然后，计算两个法向量之间的夹角。夹角可以通过计算两个向量的内积的反余弦值来获得。 步骤3：最后，得到的夹角就是两个平面之间的二面角。根据需要，可以将夹角的单位转换为度数或弧度。 4. 示例 为了更好地理解利用法向量求二面角的方法，我们来看一个示例。假设有两个平面，A和B，它们的法向量分别为 n_n=(n,n,n)和n_n=(n,n,n)。 首先，计算法向量的夹角。夹角n可以表示为 n=nn+nn+nn。 然后，得到的角度n就是平面A和平面B之间的二面角。 5. 总结 利用法向量可以方便地计算两个平面之间的二面角。通过计算两个平面的法向量的夹角，可以得到二面角的值。这个方法在计算几何学和计算机图形学中都有广泛的应用，用于描述三维空间中的角度关系。
以上就是利用法向量求二面角的说明文档，希望对你有所帮助。如果你有任何问题或需要进一步的解释，请随时向我提问。
法向量求解二面角的平面角
法向量求解二面角的平面角 求二面角是高考中必考内容，学习过程中要备受关注，利用传统方法求解二面角的关键是首先知道二面角的平面角，再转化到三角形中解决，而利用法向量可以降低问题的难度，把问题转化为程序化的求解过程，本文就剖析如何利用法向量求解二面角． 一、法向量求二面角步骤 1、建立适当的直角坐标系，当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系；如果没有明显交于一点的三条直线，但图形中有一定对称关系，（如正三棱柱、正四棱柱等）利用图形对称性建立空间直角坐标系解题；此外页可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系． 2、求法向量：一般用待定系数法求解，一般步骤如下：（1）设出平面的法向量为n ＝（x ，y ，z ）；（2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标),,(111c b a a =， ),,(222c b a b =；（3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组???=?=?0 0b n a n ；（4）解方 程组，取其中的一个解，即得法向量￡? 3、利用数量积公式求角：设1n ，2n 分别是两个半平面的法向量，则 由 21,cos n n >= <求得><21,n n ，而><21,n n 的大小或其补角的大小即为二面角的 大小，应注意1n ，2n 的方向。所以二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，他等于两法向量的夹角或其补角． 二、考题剖析 例1、在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 为矩形， 1 (0)AB PA BC a a == >. (Ⅰ)当1a =时，求证：BD PC ⊥； (Ⅱ)若BC 边上有且只有一个点Q ，使得QD PQ ⊥，求此时二面角Q PD A --的 余弦值. A B Q D C P
例说用向量方法求二面角
例说用向量方法求二面角 一、平面法向量的2种算法 在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z = ，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量． 还有一种求法向量的办法也比较简便： 若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ,0,0)、B (0,b ,0)、C (0,0,c )，定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A = a , y B = b , z C = c （a ,b ,c 均不为0），则平面 ABC 的法向量为111 (,,)(0)n a b c λλ=≠ ．参数λ 的值可根据实际需要选取． 这种方法非常简便，但要注意几个问题： （1）若平面和某个坐标轴平行，则可看作是平面和该坐标轴交点的坐标值为∞，法向量对应于该轴的坐标为0．比如若和x 轴平行（交点坐标值为∞），和y 轴、z 轴交点坐标值 分别为b 、c ，则平面法向量为11 (0,,)n b c λ= ；若平面和x ,y 轴平行，和z 轴交点的坐标值 为c ，则平面法向量为1 (0,0,)n c λ= ． （2）若平面过坐标原点O ，则可适当平移平面． 例1．如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD ，E 、F 分别是AB 、SC 的中点。设SD = 2CD ，求二面角A －EF －D 的大小； 解：不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ?? ?? ? ????? ，，，，，，，，，，，，，，．
法向量法求二面角
法向量法求二面角 一、理论依据 法向量法指的是用法向量-一个从表面出发穿过面的单位向量来表达几何面。航空、航天航空测量和光学测量中，求取几何面构型、计算法向量都是必不可少的过程。求取几何面构型，就是求几何面的法向量的过程。 二、概念介绍 法向量描述的是面的厚度方向。一般来讲，法向量由两个部分组成：一个指向厚度的圆柱半径方向，另一个指向面的夹角方向。它们的方向总是一致的，问题就在于如何从中获得夹角的大小。 法向量法可以用来求解二面角。即，通过计算两个面的夹角（也称为法向量夹角）来求解二面角。首先，利用空间坐标系中的法向量（也称为外法线）进行定义，并计算出两个面的夹角。其次，利用此夹角反求二面角的大小。 三、具体方法 1.步骤一：求解法向量 首先，要求解二面角，就要求出两个面的法向量。可以根据几何关系，先求出两个面上的共轭矢量，也就是它们的外法线，然后再用外法线来求解一个点在某个平面上的法向量。 2.步骤二：求解夹角 求解完两个面的法向量后，在空间坐标系内将它们标注出来。通过计算两个法向量在空间坐标系里的长度将它们进行标注并计算出它们的夹角关系。 最后，将两个面的夹角进行反求，从而求出二面角的大小。 四、实际应用 法向量法可以用来测量几何模型的表面，例如金属和塑料等模型的曲率，机械零件的导程和装配精度，以及航空、航天航空结构以及造船等领域。此外，法向量法还可以用于航空测量，卫星控制平台等应用中，用来求解准确的轨迹位置及方位角。 此外，法向量法还可以建立三维地形和面模型，例如数字海洋面模型、第三维空间基点网模型以及地形模型，以及使用影像地理信息技术的应用。 本文的介绍，以法向量法求二面角为例，详细讲述了法向量法原理、概念介绍以及具体方法，以及它的实际应用。通过法向量法可以准确地测量几何模型表面的夹角关系，有效便捷地缩短求解二面角的时间，为工程技术的发展起到重要作用。
用法向量求二面角及证明两平面垂直
用法向量求二面角和证明两平面垂直 用法向量证明两平面垂直问题 要证两平面相互垂直， 只需找出这两个平面的两个法向量， 证明这两个法向量相互垂直。 例 1. 如右图，△ ABC 是一个正三角形， EC ⊥平面 ABC ， BD ∥ CE ，且 CE=CA=2BD ，M 是 EA 的中点。 求证：（ 1） DE=DA ； （ 2）平面 BDM ⊥平面 ECA ； （ 3）平面 DEA ⊥平面 ECA ； 解析（ 3）：建立以以下图右手直角坐标系 ，不如设 CA=2，则 CE=2， BD=1，C （ 0， 0，0），A （ 3 ，1，0），B （ 0，2，0），E （ 0，0，2），D （ 0， 2，1）， EA 3,1, 2 ， CE 0,0,2 ， ED 0,2, 1 ， 分别假设面 CEA 与面 DEA 的法向量是 n 1 x 1 , y 1 , z 1 、 n 2 x 2 , y 2 , z 3 ，所以得 3x 1 y 1 2z 1 0 y 1 3x 1 ， 3x 2 y 2 2z 2 0x 2 3y 2 2z 1 z 1 2 y 2 z 2 0 z 2 2 y 2 不如取 n 1 1, 3,0 、 n 2 3,1,2 ，从而计算得 n 1 n 2 0 ，所以两个法向量相互 垂直，两个平就相互垂直。 用法向量求二面角 如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量 n 1 与 n 2 ，则平面α与β所成的 角跟法向量 n 1 与 n 2 所成的角相等或互补，所以第一必定判断二面角是锐角还是钝角。 例 2、以以下图，在梯形 ABCD 中， AD ∥BC ， AB ⊥ BC ， AB=a ， AD=3a ，sin ∠ ADC= 5 ，且 5 PA ⊥平面 ABCD ， PA=a ，求二面角 P-CD-A 的平面角的余弦值。 解析：依题意，先过 C 点 CE ⊥ AD ，计算得 ED=2a ， BC=AE=a,建立如图右角直角坐标系， 则 P （ 0， 0， a ） ,D(0,3a,0) ， C(a,a,0), PD 0,3a , a , PC a, a, a , AD 0,3a,0 , AC a,a,0 取平面 ACD 的一个法向量 n 1 0,0,1 ，设平面 PCD 的法向量是、 n 2 x 2 , y 2 , z 3 ，所 以得 3ay 2 az 2 0 2 y 2 x 2 。 ax 2 ay 2 az 2 0 3x 2 2z 2 不如取 n 2 2,1,3 ，从而计算得 n 1 n 2 3 3 14 cos n 1 , n 2 14 14 n 1 n 2
法向量求二面角公式
法向量求二面角公式 在几何学中，二面角是一种重要的概念，它由两条相交的平面构成。此外，当两条相交的直线所在的平面具有相同的法向量时，它们构成的夹角叫做二面角。而要求出两个法向量构成的二面角，可以采用“法向量求二面角公式”。 “法向量求二面角公式”可以用下面的公式表示： α = arccos (N1 . N2 / (|N1| |N2|)) 其中，N1、N2分别是两个法向量，“.”表示内积，“|N1| |N2|”表示两个法向量的向量积，α表示由N1、N2两个法向量构成的夹角。 要用“法向量求二面角公式”求出N1、N2两个法向量的夹角，第一步是求出N1、N2的值。N1、N2的值可以用下面的公式求得： N1 = (x1, y1, z1) N2 = (x2, y2, z2) 其中，(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两个法向量在三个坐标方向上的值，x1、y1、z1是N1在三个坐标方向上的值，x2、y2、z2是N2在三个坐标方向上的值。 第二步，根据求得的N1、N2值，就可以用“法向量求二面角公式”求出N1、N2所构成的夹角，具体公式如上所述。 以上就是“法向量求二面角公式”的介绍，它可以帮助我们快速确定两个法向量构成的夹角。这种公式的优点在于它可以简单快速地求得椭圆夹角、圆柱夹角、椎体夹角等复杂夹角，为几何学研究带来了方便。
当然，如果希望用“法向量求二面角公式”求出精确的夹角，需要准确求出N1、N2的值，还需要采用精度更高的计算机程序。另外，在计算N1、N2的值时，也要注意两个法向量的向量积及其长度是否相等，不然就会得到错误的结果。 本文介绍了“法向量求二面角公式”，它可以用于求出相交的两个法向量构成的夹角，使几何学研究变得更加容易简单。然而，为了保证计算出来的结果准确无误，求值时需要考虑到N1和N2之间的向量积及长度等因素。
法向量求二面角公式
法向量求二面角公式 法向量求二面角公式，是一种用于计算两个法向量之间（或三维空间中三点之间）夹角的公式。夹角是指连接两个法向量的线段与其与第三条线段（三维空间中坐标点）之间的夹角，因此这个公式能够用来计算三维空间中任意三点之间的夹角。 一般来说，法向量求二面角公式可以用下面的算式表示：∠A = acos(AB/ |A| |B| )，其中A和B分别是要计算的两个法向量，结果为两个法向量之间的夹角，以弧度表示。 要想使用这个公式，首先需要计算出两个法向量A 、B向量积AB，也可以把它看作两个向量的夹角余弦值，然后需要计算出两个法向量的绝对值|A|、 |B|。最后，把这三个值带入上面的公式，就能 够得到两个法向量之间的夹角了。 由于法向量求二面角公式能够有效地计算三维空间中任意三点 之间的夹角，因此它在很多领域都有着广泛的应用。例如，在机械设计领域，法向量求二面角公式能够有效地计算机械模型中设计出来的各个零件之间的夹角，从而更好地保证机械设计的准确性。 此外，法向量求二面角公式还能用于物理和力学方面的研究，比如用来解决力学中的静定点和碰撞问题，计算受力情况下的局部夹角，研究物体的力学变形和应力情况等。此外，在计算几何和拓扑学领域，法向量求二面角公式也常被用来计算三角形内角和外角，以及多边形的内部夹角，有助于形状分析与空间建模。 总之，法向量求二面角公式是一个非常有用、多方面应用的数学
公式，主要用于计算两个法向量之间或三维空间中三点之间的夹角，并且在机械设计、物理力学以及计算几何和拓扑学等领域中都有着广泛的应用。它的优点在于计算简单，准确性高，可以有效解决三维空间中的相关问题。
用向量法求二面角的常用技巧
用向量法求二面角的常用技巧作者：唐中奎 来源：《新课程·中学》2019年第09期
摘要：在高中数学教学中，不管是教学观念，还是教学方法，都发生了很大的变化，作为高中数学教师，需要积累丰富的教学经验以及诸多的解题技巧，并且充分认识到教学过程中存在的不足之处，进而采取有效的解决对策，提升教学水平。其中，对二面角进行教学时，教师应该对向量法给予高度重视，让学生充分掌握常用的解题技巧。主要阐述了采用向量法求二面角的常用技巧。 关键词：向量法;技巧;二面角 由于新课改的不断推进，在现阶段的高中数学教学中，为了有效提高教学效率，数学教师应该从学生的学习情况出发，明确教学中存在的问题，不断调整教学模式，设计的教学内容要满足学生的实际需求，尤其要重视一些解题技巧，以此提高学生的解题能力。一直以来，在高中教学中，向量法是重要的教学内容，在高考的考点中，二面角方面的命题也比较常见，通过空间向量的应用，为二面角命题提供了有效的解题方式。下面以向量求解二面角问题为例。 题目：在四棱锥P-ABCD中，PD⊥CD，PDC面与ABCD面相互垂直，ABCD为直角梯形，∠ADC为直角，AB∥CD，AB=PD=AD=1，DC=2，详情见图1。 （1）证明：BC垂直于面PBD; （2）求二面角B-PC-D的余弦值; （3）在PC中，是否存在点Q，可以使P-DB-Q等于45°，如果存在点Q，请给出具体位置，如果不存在，请说明理由。 一、根据现有的垂直关系构建空间坐标系 （1）证明：因为PCD⊥ABCD，CD⊥PD，所以，PD⊥ABCD。具体见图2所示。 以D为原点，构建D-xyz空间直角坐标系，那么，A（1，0，0），B（1，1，0），C （0，2，0），P（0，0，（1，1，0），因此，B⊥BC。 由于PD⊥ABCD，PD也就垂直于BC，因此，BC⊥PBD。 二、向量求解 在求解二面角的过程中，能够直接转化成为两个平面的夹角问题，通过求出两个平面的法向量，可以找到答案，一般题中会给出一个平面的垂直线段，这就可以看作是法向量。对于另一个平面的法向量进行求解时，需要根据法向量的定义进行求解，也就是说，利用一个法向量，得到另一个法向量。在本题的（2）中，对于PCD法向量，能够直接利用向量DA进行求解。
漫谈向量法求解面角
向量法求二面角的原理、方法和释疑 一. 利用法向量求二面角的大小的原理: 设 21,n n 分别为平面βα,的法向量，二面角βα--l 的大小为θ，向量 21,n n 的夹角为ϕ，则有πϕθ=+（图1）或 ϕθ=（图2） 图1 图2 基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角． 二. 如何求平面的一个法向量: 例题1: 如图3，在正方体ABCD-A 1B !C 1D 1中G 、E 、F 分别 为AA 1、AB 、BC 的中点，求平面GEF 的法向量。 略解：以D 为原点建立右手空间直角坐标系，则E(1，21 ,0) 、F(2 1，1,0) 、 G(1,0， 2 1 )由此得:)21,21,0(-=GE )021,21(-=FE 设平面的法向量为),,(z y x n = 由n ⊥GE 及n ⊥FE 可得 ϕω θ β l α 2n 1n θ β l α ϕ 1n 2n D A B C A B C D 图3 G E F x y z
⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ =-=∙=-=∙021*******y x FE n z y GE n ⎩ ⎨ ⎧==⇒y z y x 令y=1取平面的一个法向量为)1,1,1(=n 评析 因为平面的法向量有无数个，方向可上可下，模可大可小，我们只要求出平面的某一个法向量（教简单的）即可。 三. 法向量的应用举例: 例题4. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB=2，BC=4，AA 1=2,点Q 是BC 的中点，求此时二面角A —A 1D —Q 的大小． 解 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A 1（0，0，2），D （0，a ，0）． ∴Q （2，2，0），D （0，4，0）， ∴)20,2(),2,2,2(1-=-=QD Q A ． 面AA 1D 的法向量)0,0,1(1=n ． 设面A 1DQ 的法向量),,(3212a a a n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=-+=⋅, 022, 022*********a a QD n a a a Q A n ⎩⎨ ⎧==⇒,2,13 12a a a a ∴)2,,(1112a a a n =． 令a 1=1，则)2,1,1(2=n ， ∴6 66 11,cos 2 12121=⋅= ⋅>=