高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的运算教案 理
第1讲 变化率与导数、导数的运算
【2013年高考会这样考】
1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】
本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导.
基础梳理
1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率
函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f x 2－f x 1
x 2－x 1
.
若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy
Δx .
2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义
称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m
Δx →0 Δy Δx
＝ li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0
Δx
为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导
数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m
Δx →0 Δy Δx . (2)几何意义
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝
f ′(x 0)(x －x 0)．
3．函数f (x )的导函数
称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx
为f (x )的导函
数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0；
若f (x )＝x α
(α∈R )，则f ′(x )＝αx
α－1
；
若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ；
若f (x )＝a x
(a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x
ln_a ； 若f (x )＝e x
，则f ′(x )＝e x
；
若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1
x ln a ；
若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1
x
.
5．导数四则运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；
(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤f x g
x
′＝f ′x g x －f x g ′x
[g x ]
2
(g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 一个区别
曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别：
曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存
在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 两种法则
(1)导数的四则运算法则． (2)复合函数的求导法则． 三个防范
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．要正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点的区别． 3．正确分解复合函数的结构，由外向内逐层求导，做到不重不漏．
双基自测
1．下列求导过程中
①⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ′＝－1x 2；②(
x )′＝
12
x
；③(log a x )′＝⎝
⎛⎭⎪⎫
ln x ln a ′＝ 1x ln a
；④(a x )′＝(eln a x )′＝(e x ln a )′＝e x ln a ln a ＝a x
ln a
其中正确的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 D
2．(人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2
的导数为( )．
A ．2(x 2
－a 2
) B ．2(x 2
＋a 2
) C ．3(x 2
－a 2
) D ．3(x 2
＋a 2
)
解析 f ′(x )＝(x －a )2
＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2
－a 2
)．
答案 C
3．(2011·湖南)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －1
2在点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4，0处的切线
的斜率为( )．
A ．－12 B.12 C ．－22 D.2
2
解析 本小题考查导数的运算、导数的几何意义，考查运算求解能力．
y ′＝
cos x sin x ＋cos x －sin x cos x －sin x
sin x ＋cos x
2
＝
11＋sin 2x ，把x ＝π4代入得导数值为1
2.
答案 B
4．(2011·江西)若f (x )＝x 2
－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( )．
A ．(0，＋∞)
B ．(－1,0)∪(2，＋∞)
C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0) 解析 令f ′(x )＝2x －2－4
x
＝
2
x －2
x ＋1
x
＞0，利用数轴
标根法可解得－1＜x ＜0或x ＞2，又x ＞0，所以x ＞2.故选C. 答案 C
5．如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝______；li m
Δx →0 f 1＋Δx －f 1
Δx
＝________(用数字作答)．
答案 2 －2
考向一 导数的定义
【例1】►利用导数的定义求函数f (x )＝x 3
在x ＝x 0处的导数，并求曲线f (x )＝x 3
在x ＝x 0处切线与曲线f (x )＝x 3
的交点． [审题视点] 正确理解导数的定义是求解的关键．
解 f ′(x 0)＝lim x →x 0 f x －f x 0x －x 0
＝lim x →x 0 x 3－x 30
x －x 0 ＝lim x →x 0 (x 2
＋xx 0＋x 2
0)＝3x 2
0.
曲线f (x )＝x 3在x ＝x 0处的切线方程为
y －x 30＝3x 20·(x －x 0)，
即y ＝3x 20x －2x 3
0，由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝x 3
，y ＝3x 20x －2x 3
0，
得(x －x 0)2
(x ＋2x 0)＝0，解得x ＝x 0，x ＝－2x 0. 若x 0≠0，则交点坐标为(x 0，x 3
0)，(－2x 0，－8x 3
0)； 若x 0＝0，则交点坐标为(0,0)．
利用定义求导数的一般过程是：(1)求函数的增量Δy ；(2)
求平均变化率Δy Δx ；(3)求极限li m
Δx →0 Δy
Δx
. 【训练1】 利用导数的定义证明奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．
证明 法一 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有
f (－x )＝－f (x )
f ′(x )＝li m
Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx
则f ′(－x )＝li m
Δx →0 f －x ＋Δx －f －x Δx
＝li m Δx →0 f x －Δx －f x －Δx
＝f ′(x )
因此f ′(x )为偶函数，同理可证偶函数的导数是奇函数． 法二 设y ＝f (x )是奇函数，即对定义域内的任意x 都有
f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－f (－x )
因此f ′(x )＝[－f (－x )]′＝－ [f (－x )]′＝f ′(－x ) 则f ′(x )为偶函数
同理可证偶函数的导数是奇函数．
考向二 导数的运算
【例2】►求下列各函数的导数：
(1)y ＝x ＋x 5＋sin x
x
2
； (2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝sin x 2⎝ ⎛
⎭⎪⎫
1－2cos 2
x 4；
(4)y ＝11－x ＋1
1＋x
；
[审题视点] 先把式子化为最简式再进行求导． 解 (1)∵y ＝x 1
2＋x 5＋sin x x 2＝x －32＋x 3＋sin x
x
2，
∴y ′＝⎝
⎛⎭⎪⎫x －32′＋(x 3)′＋(x －2
sin x )′
＝－32x －52
＋3x 2－2x －3sin x ＋x －2
cos x .
(2)法一 y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2
＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2
＋12x ＋11.
法二 y ′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′ ＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)· (x ＋2)
＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝3x 2
＋12x ＋11.
(3)∵y ＝sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫
－cos x 2＝－1
2
sin x ，
∴y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12sin x ′＝－12(sin x )′＝－1
2cos x .
(4)y ＝11－x ＋11＋x
＝1＋x ＋1－x
1－r(x 1＋x
)＝2
1－x
， ∴y ′＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫21－x ′＝－2
1－x ′1－x 2
＝2
1－x
2
.
(1)熟记基本初等函数的导数公式及四则运算法则是正确
求导的基础．
(2)必要时对于某些求导问题可先化简函数解析式再求导． 【训练2】 求下列函数的导数： (1)y ＝x n e x
； (2)y ＝cos x
sin x ；
(3)y ＝e x
ln x ；
(4)y ＝(x ＋1)2
(x －1)． 解 (1)y ′＝nx
n －1e x ＋x n e x ＝x
n －1e x
(n ＋x )．
(2)y ′＝－sin 2x －cos 2
x sin 2x ＝－1
sin 2x
.
(3)y ′＝e x
ln x ＋e x
·1x
＝e x ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
x
＋ln x .
(4)∵y ＝(x ＋1)2(x －1)＝(x ＋1)(x 2－1)＝x 3＋x 2
－x －1， ∴y ′＝3x 2
＋2x －1.
考向三 求复合函数的导数
【例3】►求下列复合函数的导数． (1)y ＝(2x －3)5
；(2)y ＝3－x ； (3)y ＝sin
2
⎝
⎛⎭⎪⎫
2x ＋π3；(4)y ＝ln(2x ＋5)．
[审题视点] 正确分解函数的复合层次，逐层求导． 解 (1)设u ＝2x －3，则y ＝(2x －3)5
， 由y ＝u 5
与u ＝2x －3复合而成，
∴y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 5
)′(2x －3)′＝5u 4
·2 ＝10u 4
＝10(2x －3)4
.
(2)设u ＝3－x ，则y ＝3－x . 由y ＝u 1
2
与u ＝3－x 复合而成．
y ′＝f ′(u )·u ′(x )＝(u 12)′(3－x )′＝12u －1
2(－1)
＝－12u －12＝－123－x ＝3－x
2x －6.
(3)设y ＝u 2
，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3
，
则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2
＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫
4x ＋2π3.
(4)设y ＝ln u ，u ＝2x ＋5，则y x ′＝y u ′·u x ′
y ′＝
12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5
.
由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的
结构，解这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外向内，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常见的基本函数，逐步确定复合过程． 【训练3】 求下列函数的导数：
(1)y ＝x 2
＋1； (2)y ＝sin 2
2x ； (3)y ＝e －x
sin 2x; (4)y ＝ln 1＋x 2
.
解 (1)y ′＝1
2 x 2
＋1·2x ＝x x 2＋1
， (2)y ′＝(2sin 2x )(cos 2x )×2＝2sin 4x (3)y ′＝(－e －x
)sin 2x ＋e －x
(cos 2x )×2 ＝e －x
(2cos 2x －sin 2x )．
(4)y ′＝11＋x 2·121＋x
2·2x ＝x
1＋x 2.
规范解答6——如何求曲线上某一点的切线方程
【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致错误., 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是
“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.
【示例】►(本题满分12分)(2010·山东)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x
－1(a ∈R )．
(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当a ≤1
2
时，讨论f (x )的单调性．
(1)求出在点(2，f (2))处的斜率及f (2)，由点斜式写出切
线方程；
(2)求f ′(x )，再对a 分类讨论．
[解答示范] (1)当a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2
x
－1，
x ∈(0，＋∞)．所以f ′(x )＝x 2＋x －2
x 2
，x ∈(0，＋∞)，(1分)
因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.
又f (2)＝ln 2＋2，
所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为
y －(ln 2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln 2＝0.(3分)
(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1
x
2＝
－ax 2－x ＋1－a x 2
，x ∈(0，＋∞)．(4分)
令g (x )＝ax 2
－x ＋1－a ，x ∈(0，＋∞)． ①当a ＝0时，g (x )＝－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，
所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，
此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；
当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；(6分)
②当a ≠0时，由f ′(x )＝0，
即ax 2
－x ＋1－a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝1a
－1. a ．当a ＝12
时，x 1＝x 2，g (x )≥0恒成立，此时f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(7分)
b ．当0＜a ＜12时，1a
－1＞1＞0. x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； x ∈⎝
⎛⎭⎪⎫1，1a －1时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；(9分)
c ．当a ＜0时，由于1a
－1＜0，x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；
x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．(11分)
综上所述：
当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，
函数f (x )在(1，＋∞)上单调递增；
当a ＝12时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0＜a ＜12
时，函数f (x )在(0,1)上单调递减， 函数f (x )在⎝
⎛⎭⎪⎫1，1a －1上单调递增， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1，＋∞上单调递减．(12分)
求解切线问题的关键是切点坐标，无论是已知切线斜率还是切线经过某一点，切点坐标都是化解难点的关键所在．
人教A版高中数学选修1-1《三章导数及其应用3.1变化率与导数3.2导数的概念》优质课教案_24
1.1.2导数的概念 （一）教材分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时. 导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. （二）教学目标 （1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念； （2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （3）会求函数在某点的导数及简单应用. （三）教学重点与难点 重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念. （四）教学过程 1. 复习引入 （1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式； （2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式. 2. 合作探究 在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度. 探究一：瞬时速度的求解 从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能 反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？ 设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度. 以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t2 6.5t 10. 探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？ 设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法. 我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：
高中数学 第3章 导数及其应用 3.1 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念(教师用书)教
3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解导数概念的实际背景．(难点) 2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点) 3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点) 1．通过学习导数概念，培养学生数学 抽象的素养. 2.借助导数的定义求函数在某点的导 数，培养数学运算的素养. 1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 . (2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． (4)几何意义：P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，那么平均变化率 Δy Δx ＝ f (x 2)－f (x 1) x 2－x 1 表示割线P 1P 2的斜率． 思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示]Δx ≠0，Δy ∈R . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .
高考数学一轮复习 第三篇 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的运算教案 理
第1讲 变化率与导数、导数的运算 【2013年高考会这样考】 1．利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程． 2．考查导数的有关计算，尤其是简单的函数求导． 【复习指导】 本讲复习时，应充分利用具体实际情景，理解导数的意义及几何意义，应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数求导. 基础梳理 1．函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率li m Δx →0 Δy Δx ＝ li m Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导 数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝ f ′(x 0)(x －x 0)． 3．函数f (x )的导函数
称函数f ′(x )＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx 为f (x )的导函 数，导函数有时也记作y ′. 4．基本初等函数的导数公式 若f (x )＝c ，则f ′(x )＝0； 若f (x )＝x α (α∈R )，则f ′(x )＝αx α－1 ； 若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x ； 若f (x )＝cos x ，则f ′(x )＝－sin x ； 若f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝a x ln_a ； 若f (x )＝e x ，则f ′(x )＝e x ； 若f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则f ′(x )＝1 x ln a ； 若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1 x . 5．导数四则运算法则 (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ] 2 (g (x )≠0)． 6．复合函数的求导法则 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′. 一个区别 曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存
高考数学第一轮复习教案 专题3导数与其应用
专题三 导数与其应用 一、考试内容 导数概念及其几何意义 导数及其应用 二、考试要求 （1）理解导数概念及其几何意义，掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.。 （2）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；. 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.。 （3）会利用导数解决实际问题。 三、命题热点 分析近几年的高考试题，导数这一知识点是高考的必考内容，对导数的考查主要是有三个方面：一是考查导数的运算与导数的几何意义，二是考查导数的简单应用，例如求函数的单调区间、极值与最值等，三是考查导数的综合应用.导数的几何意义以及简单应用通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题；而对于导数的综合应用，则主要是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查，例如一些不等式恒成立问题、参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题.。在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有导数试题，而且常考常新.以函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式进行考查是高考命题的新趋势。 四、知识回顾 （一）导数的概念及几何意义 （1）平均变化率 一般地，函数21,),(x x x f y =是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子 2121) ()(x x x f x f --表示，这个式子称，函数的到从21),(x x x f y =平均变化率，记为 =??x f 2121)()(x x x f x f --=x x f x x f ?-?+)()(21 （2）曲线的切线
高中数学导数导学案,导数及其应用导学案
第13讲 变化率与导数、导数的运算 1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ), f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 =Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率 几何意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的 物理意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则Δy Δx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度 (2)导数: 概念 点x 0处 ΔΔΔΔx→0 Δy Δx =ΔΔΔ Δx→0 f(x 0+Δx)-f(x 0) Δx ,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记为f'(x 0)或y'|x =x 0,即 f'(x 0)=ΔΔΔΔx→0 Δy Δx = ΔΔΔ Δx→0 f(x 0+Δx)-f(x 0) Δx 区间 (a ,b ) 当x ∈(a ,b )时,f'(x )=ΔΔΔΔx→0Δy Δx =ΔΔΔΔx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数 几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是 物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x 0时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程 2.导数的运算
常用导数公式原函 数 导函数特例或推广 常数 函数 C'=0(C为常数) 幂函 数 (x n)'= (n∈Z) (1 Δ )'=-1 Δ2 三角 函数 (sin x)'= ,(c os x)'= 偶(奇)函数的导数 是 奇(偶)函数,周期 函数 的导数是周期函数指数 函数 (a x)'= (a>0,且a≠1) (e x)'=e x 对数 函数 (log a x)'= (a>0,且a≠1) (ln x)'=1 Δ ,(ln|x|)'= 1 Δ 四则运算法则加减 [f(x)±g(x)]'=(∑ Δ=1 Δ ΔΔ(Δ))'= ∑ Δ=1 Δ f'i(x) 乘法 [f(x)·g(x)]'= [Cf(x)]'=Cf'(x) 除法 [Δ(Δ) Δ(Δ) ]'= (g(x)≠0) [1 Δ(Δ) ]'=-Δ'(Δ) [Δ(Δ)]2 复合函数 求导复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x= ,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u 的导数与u对x的导数的乘积”
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 1 第1讲 变化率与导数、导数的计算教学案
第三章导数及其应用知识点最新考纲 变化率与导数、导数的计算 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义． 会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数). 导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间． 理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值. 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim Δx→0f（x0＋Δx）－f（x0） Δx ＝lim Δx→0 Δy Δx 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或 y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx→0 f（x0＋Δx）－f（x0） Δx . (2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x －x0)． (3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝lim Δx→0f（x＋Δx）－f（x） Δx 为f(x)的导函数． 2．基本初等函数的导数公式 原函数导函数f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝x n(n∈Q*)f′(x)＝nx n－1
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢ ⎡⎦ ⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2 (g (x )≠0)． 4．复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝ y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [疑误辨析] 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x 0)与[f (x 0)]′表示的意义相同．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( ) (5)函数f (x )＝sin(－x )的导数是f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× [教材衍化] 1．(选修2－2P65A 组T2(1)改编)函数y ＝x cos x －sin x 的导数为( ) A ．x sin x B ．－x sin x C ．x cos x D ．－x cos x 解析：选B.y ′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－(sin x )′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .
高考数学理科一轮复习导数的概念及运算学案(含答案)
高考数学理科一轮复习导数的概念及运算学案（含答案） 第三章导数及其应用 学案13导数的概念及运算 导学目标：1.了解导数概念的实际背景，理解函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念.2.能根据导数定义，求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x 的导数．熟记基本初等函数的导数公式(c，xm(m为有理数)，sinx，cosx，ex，ax，lnx，logax的导数)，能利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数． 自主梳理 1．函数的平均变化率 一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商________________________＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)在区间x0，x0＋Δx](或x0＋Δx，x0])的平均变化率． 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 函数y＝f(x)在点x0处的瞬时变化率______________通常称为f(x)在x ＝x0处的导数，并记作f′(x0)，即______________________________．(2)几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是过曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))的____________． 导函数y＝f′(x)的值域即为__________________． 3．函数f(x)的导函数 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都是可导的，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，其导数也是开区间(a，b)内的函数，又称作f(x)的导函数，记作____________． 4．基本初等函数的导数公式表 原函数导函数 f(x)＝Cf′(x)＝______ f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝______(α∈Q*) F(x)＝sinxf′(x)＝__________ F(x)＝cosxf′(x)＝____________ f(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝____________(a>0，a≠1) f(x)＝exf′(x)＝________ f(x)＝logax(a>0，a≠1，且x>0)f′(x)＝__________(a>0，a≠1，且x>0) f(x)＝lnxf′(x)＝__________ 5．导数运算法则 (1)f(x)±g(x)]′＝__________； (2)f(x)g(x)]′＝______________； ＝______________g(x)≠0]．
高考数学一轮复习 第三章导数及其应用3.1导数、导数的计算教学案 理
第三章 导数及其应用 3.1 导数、导数的计算 考纲要求 1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义． 3．能根据导数定义，求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2 ， y ＝x 3 ，y ＝1x ，y ＝x 的导数． 4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．能求简单复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数． 1．导数的概念 一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0Δy Δx ＝__________，称其为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或0 |x x y =. 2．导函数 如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每一个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是在区间(a ，b )内____构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数，记为f ′(x )或y ′. 3．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．相应地，切线方程为______________． 4 5 (1)[f (x )±g (x )]′＝__________；
(2)[f (x )·g (x )]′＝__________； (3)⎣⎢⎡⎦ ⎥⎤ f (x ) g (x )′＝__________(g (x )≠0)． 6．复合函数的导数 设u ＝v (x )在点x 处可导，y ＝f (u )在点u 处可导，则复合函数y ＝f [v (x )]在点x 处可导，且f ′(x )＝________，即y ′x ＝________. 1．若函数f (x )＝2x 2 －1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋ Δx,1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )． A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2Δx 2 2．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( )． A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 3．曲线y ＝x 3 在点P 处的切线的斜率为3，则点P 的坐标为( )． A ．(－1,1) B ．(－1，－1) C ．(1,1)或(－1，－1) D ．(1，－1) 4．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2 ＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )． A ．－1 B ．－2 C ．2 D ．0 5．若曲线y ＝x 4 的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为__________． 6．y ＝sin 2x 的导数为__________． 一、根据导数的定义求函数的导数 【例1－1】已知f ′(2)＝2，f (2)＝3，则lim x →2f (x )－3 x －2＋1的值为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
2018_2019学年高中数学第三章导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义讲义(含解析)新人教A版
3．1.3 导数的几何意义 预习课本P76～79，思考并完成以下问题 1．导数的几何意义是什么？ 2．导函数的概念是什么？怎样求导函数？ 3．怎么求过一点的曲线的切线方程？ [新知初探] 1．导数的几何意义 (1)切线的概念：如图，对于割线PP n，当点P n趋近于点P时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线． Δx→0 (2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝li m f x 0＋Δx－f x0 ＝f′(x0)． Δx 2．导函数的概念
(1)定义：当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)． (2)记法：f ′(x )或y ′，即f ′(x )＝y ′＝li m Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx . [点睛] “函数y ＝f (x )在x ＝x 0的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 “函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数”是一个数值，是针对x 0而言的，与给定的函数及x 0 的位置有关，而与Δx 无关；“导函数”简称为“导数”，是一个函数，导函数是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与x ，Δx 无关． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)导函数f ′(x )的定义域与函数f (x )的定义域相同( ) (2)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点( ) (3)函数f (x )＝0没有导函数( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 2．曲线y ＝x 2 在点P (1,1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1 C ．y ＝2x ＋1 D ．y ＝－2x 答案：B 3．已知曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为2x －y ＋2＝0，则f ′(1)＝( ) A ．4 B ．－4 C ．－2 D ．2 答案：D 4．已知f (x )＝－1 x ，则f ′(x )＝________. 答案：1 x 2 [典例] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋4 3，求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程． [解] 将x ＝2代入曲线C 的方程得y ＝4，
高考数学大复习 第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算教师用书 文 苏教版(2021年最新
（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算教师用书文苏教版 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算教师用书文苏教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.1 导数的概念及运算教师用书文苏教版的全部内容。
3.1 导数的概念及运算 1。导数与导函数的概念 （1）设函数y＝f（x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a,b)，若Δx无限趋近于0时,比值错误!＝错误!无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f（x）在x＝x0处的导数（derivative),记作f′(x0)。 （2)如果函数y＝f（x）在开区间(a，b）内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区间内的导函数。记作f′（x）或y′。 2.导数的几何意义 函数y＝f（x）在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x）在点P(x0,f(x0））处的切线的斜率k，即k＝f′(x0）。 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数导函数 f(x）＝C(C为常数）f′（x)＝0 f（x）＝xα（α为常数）f′（x）＝αxα－1 f(x)＝sin x f′（x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x）＝－sin x f（x）＝e x f′（x)＝e x f(x）＝a x（a>0，a≠1）f′(x)＝a x ln a f（x）＝ln x f′(x）＝错误! f（x）＝log a x（a>0，a≠1)f′（x)＝错误!
数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算学案理
第三章导数及其应用 3。1导数的概念及运算 必备知识预案自诊 知识梳理 1。函数y=f（x)从x1到x2的平均变化率为f(f2)-f(f1) f2-f1(或Δf Δf ). 2。函数y=f(x）在x=x0处的导数 （1)定义:f'(x0）=lim Δf→0f y f x =fff f x→0 f(f0+Δf)-f(f0) Δf 。 (2)几何意义：f’（x0)是曲线y=f（x）在点（x0，f(x0））处的切线的. 3.函数f（x)的导函数：一般地,如果一个函数f（x）在区间(a，b）内的每一点x处都有导数，导数值记为f'(x）,则f'（x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x）的，通常也简称为导数. 4。导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度） 函数导函数 y=c(c为 常数) y’=0 y=xα（α 为实 数） y’= y=sin x y'= y=cos x y'= y=tan x y’=
y=cot x y'= y=a x （ a 〉0，a ≠1) y’= y=e x y’= y=log a x （a 〉0,a ≠1） y'= y=ln x y’= 5.导数的运算法则 (1）［f （x )±g (x ）]'= ; （2）[f （x ）·g (x ）］'= ; （3）[f (f )f (f ) ]’=f '(f )f (f )-f (f )f '(f ) [f (f )] 2 (g （x ）≠0 ）。 6。复合函数的导数 复合函数y=f (g (x ））的导数和函数y=f (u ),u= g （x )的导数间的关系为y'x = ,即y 对x 的导数等于 的导数与 的导数的乘积. 1。奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数。 2。函数y=f （x )的导数f'(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向,其大小｜f'(x ）|反映了变化的快慢,|f'(x )|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 考点自诊
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义》优质课教案_7
导数的几何意义 一、教材分析： 1、地位和作用： 《导数的几何意义》是一节新知概念课，内容选自于选修1－1中第§3．1．3节，是在学生学习了平均变化率，瞬时变化率，及用瞬时变化率定义导数基础上，进一步从几何意义的基础上认识导数的含义与价值，是可以充分应用信息技术进行概念教学与问题探究的内容。 《导数的几何意义》还是下位内容——常见函数导数的计算，导数在研究函数中的应用的基础．因此，导数的几何意义有承前启后的重要作用，是本章的关键内容，也是高考中的一个常见考点。 2、教学目标的拟定： 【知识与技能】 （1）概括曲线的切线定义，明确导数的几何意义及应用； （2）培养观察、分析、合作、归纳与应用（知识与思想方法）等方面的能力 【过程与方法】 （1）由问题引发认知冲突，引导学生经历割线“逼近”切线的过程，推广切线的定义； （2）利用几何画板直观展示知识发生的过程，帮助学生寻找导数的几何意义； 【情感态度价值观】 （1）通过对切线定义的探究，培养学生严谨的科学态度； （2）通过渗透无限“逼近”的思想，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系。 （3）利用“以直代曲”的近似替代的方法，培养学生分析问题解决问题的习惯，初步体会发现问题的乐趣 3、教学重点、难点 重点：导数的几何意义及应用 难点：对导数几何意义的推导过程 二、学情分析 1、从认知上看，学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率来刻画现实问题的过程，知道瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，但这些都是建立在“代数”的基础上的，学生也渴求寻找导数的另一种体现形式——图形。学生对曲线的切线有一定的认识，特别是对抛物线的切线的概念在学习圆锥曲线与直线关系时有很深的与认识． 2、从能力上看，通过一年多的高中学习，学生积累了一定的探究问题的经验，具有一定的想象能力和研究问题的能力． 3、从学习心理上看，学生已经从“公共点个数”方面知道了圆锥曲线切线的含义，当然在思维方面，也形成了定势：“直线与曲线相切，直线与切线只有一个公共点”。在本节中，我们在概念上不是从公共点上定义切线，而是由割线的逼近来定义曲线的切线，把曲线的切线上升到新的思维层面上，以此激发学生的好奇心和思维的兴奋点。 三、教法： 1、采用“DJP学案”教学模式：运用了“探究+小组合作”的教学方法，将全班学生分为6小组，并分配给他们相应任务，让学生亲身经历“实验、探究、论证、应用”的过程，体验从特殊到一般的认知规律，增强学生的参与和责任意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教育的主体。 2、利用多媒体辅助教学：通过几何画板的动态演示，让学生直观感受无限“逼近”的思想方法，这能使学生更好的明确导数的几何意义，有利于难点的突破． 四．学法指导： 采用“学案”教学，让学生学会： 1、实验观察：利用几何画板的几何直观与数值计算功能，感知曲线的切线的定义和导数的几何意义； 2、反思探究：明确曲线的切线的逼近定义的科学性； 3、小组合作：激活学生的思维，经历用导数几何意义进行定性分析； 4、思想渗透：借助几何画板局部放大的直观性，学生直观体会“以直代曲”“无限逼近”的数学思想． 五、教学过程
备战2023年高考数学一轮复习 第1节 导数的概念及其意义、导数的运算
第1节 导数的概念及其意义、导数的运算 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 2.能根据导数定义求函数y=c(c 为常数),y=x,y=x 2,y=x 3,y=1 x ,y=√x 的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数,会使用导数公式表. 1.函数y=f(x)在x=x 0处的导数 (1)定义:如果当Δx →0时,平均变化率Δy Δx 无限趋近于一个确定的值, 即Δy Δx 有极限,则称y=f(x)在x=x 0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x) 在x=x 0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f ′(x 0)或y ′|x=x 0,即 f ′(x 0)=lim Δx →0Δy Δx =lim Δx →0 f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . f (x )-f (x )
(2)几何意义:函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)切线的斜率k0,即 k0=lim Δx→0f(x0+Δx)-f(x0) Δx = . 2.函数y=f(x)的导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个的数.这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即 f′(x)=y′=lim Δx→0f(x+Δx)-f(x) Δx . 3.基本初等函数的导数公式
4.导数的运算法则 若f ′(x),g ′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′= ; (2)[f(x)·g(x)]′= ; (3)[ f (x ) g (x ) ]′= f'(x )g (x )-f (x )g'(x ) [g (x )] 2 (g(x)≠0). 5.复合函数的导数 一般地,对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y ′x = .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积. 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论: (1)( 1 x )′=-1 x 2; (2)(√x )′=2√x ; (3)[ 1f (x ) ]′=- f'(x ) [f (x )] 2 (f(x)≠0); (4)[af(x)±bg(x)]′=af ′(x)±bg ′(x).
高考数学一轮复习 第3章 导数及应用 第1课时 导数的概念及运算练习 理-人教版高三全册数学试题
第1课时 导数的概念及运算 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(2018·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(2018·某某质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A
全国统考2022版高考数学大一轮复习第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算2备考试题文含解析
第三章导数及其应用 第一讲导数的概念及运算 1.点P 在曲线y =4 (2x +1)ln2上,α为曲线在点P 处的切线的倾斜角,那么α的取值范围是 () A .[0,π 4) B .[π4,π 2) C .(π2 ,3π 4 ] D .[3π 4 ,π) 2.[2021晋南高中联考]函数f (x )=ln 2x -1x 的图象在点(12 ,f (1 2 ))处的切线方程为 () A.y =6x -5 B.y =8x -6 C.y =4x -4 D.y =10x -7 3.[条件创新]函数f (x )=(x 2 +m )e x (m ∈R)的图象在x =1处的切线的斜率等于e,且g (x )=f (x )x ,那么g'(-1)=() A.4e 4 e C.e 4e 4 4.[易错题]函数f (x )=f'(1)x 2 +2x +2f (1),那么f'(2)的值为 () 5.[2021石家庄市一检]原子有稳定和不稳定两种.不稳定的原子除天然元素外,主要由核裂变或核聚变过程中产生碎片形成,这些不稳定的元素在放出α、β、γ等射线后,会转变成稳定的原子,这种过程称之为“衰变〞.这种不稳定的元素就称为放射性同位素.随着科学技术的开展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N (单位:贝克)与时间t (单位:天)满足函数关系N (t )=N 02-t 24,其中N 0为t =0时钍234的含量.t =24时,钍234含量的瞬时变化率为-8ln 2,那么N (120)= () B.12ln 2贝克 D.6ln 2贝克 6.[2021江西五校联考]曲线C :y =x e x 过点A (a ,0)的切线有且仅有两条,那么实数a 的取值范围是 () A .(-∞,-4)∪(0,+∞) B .(0,+∞) C .(-∞,-1)∪(1,+∞) D .(-∞,-1) 7.[2021福建五校联考]函数f (x )={ln (-x +1),x <0,x 2+3x ,x ≥0,假设f (x )-(m +2)x ≥0,那么实数m 的取值范围是 () A.(-∞,1] B.[-2,1] C.[0,3] D.[3,+∞) 8.[2021洛阳市统考]直线y =2x +1与曲线y =x 3 +ax +b 相切于点(1,3),那么a 3 +b =. 9.[2021大同市调研测试]假设曲线y =ln x +1的一条切线的方程是y =ax +b ,那么4a +e b 的最小值是. 10.[2021河北六校联考]函数f (x )=x ln x -1 2mx 2 (m ∈R),g (x )=-x+1e x −2e x + e -1e . (1)假设函数f (x )的图象在(1,f (1))处的切线与直线x -y +1=0平行,求m ;
2023年高考数学一轮复习第三章一元函数的导数及其应用1导数的概念及其意义导数的运算练习含解析
导数的概念及其意义、导数的运算 考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如 f (ax ＋b ))的导数． 知识梳理 1．导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y . f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx . (2)函数y ＝f (x )的导函数 f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx . 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1) f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝lo g a x (a >0，且a ≠1) f ′(x )＝1 x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；
【步步高】届高三数学大一轮复习 3.1导数的概念及其运算教案 理 新人教A版
§3.1 导数的概念及其运算 2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导． 复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程． 1． 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率 函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率为f x 2－f x 1 x 2－x 1 ，若Δx ＝x 2－x 1，Δy ＝f (x 2) －f (x 1)，则平均变化率可表示为Δy Δx . 2． 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义 称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f x 0＋Δx －f x 0 Δx . (2)几何意义 函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3． 函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx 为f (x )的导函数，导函数有时也记作y ′. 4． 基本初等函数的导数公式
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢ ⎡⎦ ⎥ ⎤f x g x ′＝f x g x －f x g x [g x 2 (g (x )≠0)． 6． 复合函数的导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝ y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． [难点正本 疑点清源] 1． 深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系 (1)函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)是一个常数； (2)函数y ＝f (x )的导函数，是针对某一区间内任意点x 而言的．如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内每一点x 都可导，是指对于区间(a ，b )内的每一个确定的值x 0都对应着一个确定的导数f ′(x 0)．这样就在开区间(a ，b )内构成了一个新函数，就是函数f (x )的导函数f ′(x )．在不产生混淆的情况下，导函数也简称导数． 2． 曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 1． f ′(x )是函数f (x )＝13 x 3 ＋2x ＋1的导函数，则f ′(－1)的值为________．